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Lambert Victor TIPE – Rapport ENS

La suite logistique : un système dynamique chaotique. Objectifs : Etudier la théorie du chaos à travers l’exemple de la suite logistique. Utiliser le logiciel Maple pour mettre en évidence certaines propriétés de cette suite. Modéliser ce système dynamique par un circuit électronique.

I) ETUDE DE LA SUITE LOGISTIQUE EN FONCTION DES VAL EURS PRISES PAR A. ............................................................................................................ 2

A- LE DIAGRAMME DE BIFURCATION. .......................................................................... 2 B- ANALYSES ET EXPLICATIONS DU DIAGRAMME. ....................................................... 2

II) LA ROUTE VERS LE CHAOS. ............................................................................ 3

A- A ∈ [3,4[ : AUGMENTATION DES POINTS PERIODIQUES. ........................................... 3 B- A=4 : LE CHAOS. ...................................................................................................... 4

III) ILLUSTRATIONS DE LA SENSIBILITE AUX CONDITIONS INITIALES. ......................................................................................................................................... 5

A- L’ EFFET PAPILLON. .................................................................................................. 5 B- APPROXIMATIONS : SOURCES D’ERREURS. .............................................................. 5

IV) MODELISATION DE LA SUITE LOGISTIQUE PAR UN CIRC UIT ELECTRONIQUE. ....................................................................................................... 6

V) COMPLEMENTS SUR L’ETUDE DU DIAGRAMME DE FEIGENBA UM. . 8

A- LE THEOREME DE SARKOVSKII. ............................................................................... 8 B- ORBITES ATTRACTIVES. ........................................................................................... 8

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Introduction

On appelle fonction logistique la fonction définie sur [0,1] par f(x)=ax(1-x), où a est un paramètre réel. Ici, on impose à a d'être compris entre 0 et 4 afin que [0,1] soit stable par f. La suite logistique est une suite récurrente définie par u0 appartenant à [0,1], et un+1=f(un), où f est la fonction logistique. Bien que la suite logistique semble simple au premier abord, elle peut, suivant les valeurs de a, avoir un comportement très étrange, et même mener au chaos!

I) Etude de la suite logistique en fonction des valeurs prises par a.

a- Le diagramme de bifurcation.

Dans le diagramme de bifurcation, dit de Feigenbaum, on représente en abscisses la valeur de a et en ordonnées les valeurs prises par la suite logistique entre deux rangs M et N suffisamment élevés, pour un u0 fixé. Cela permet d’observer le comportement de la suite en l’infini, selon la valeur donnée à a. Par exemple : Pour u0=0, 4 N=100 M=150, on obtient le diagramme ci-contre :

b- Analyses et explications du diagramme.

Le comportement de la suite logistique pour des valeurs de a dans l’intervalle [0,3[ est assez simple, étant donné la présence d’un unique point fixe attractif. Si a ∈ [0,1[ : le seul point fixe de f sur [0,1] est 0, et il est attractif. En effet, on a f’(0) = a<1 pour a ∈ [0,1[. Si a=1 : 0, seul point fixe de f est neutre dans ce cas, mais on démontre aisément que u converge vers 0. Si a ∈ ]1,3[, on a deux points fixes : 0 qui est répulsif car f’(0)=a>1 et λ(a)=1-1/a qui est attractif puisque f’(λ(a))=2-a ∈ ]-1,1[. Ensuite, la complexité du comportement de la suite provient du fait que les deux points fixes de f, 0 et 1-1/a sont désormais répulsifs lorsque a>3. La représentation en toile d’araignée de la fonction logistique permet d’observer ces différents comportements. A chaque itération, on reporte la valeur de un sur la droite puis on cherche l’image de ce point par f pour obtenir un+1.Voici ci-dessous trois de ces représentations pour différentes valeurs données à a, établie pour la condition initiale u0=0.3, en considérant les 40 premiers termes de la suite. En rouge est représentée la première bissectrice, en bleu la fonction f et en vert la « toile d’araignée ».

a=1.9 a=2.8 a=3.4

3

II) La route vers le chaos.

a- a ∈ [3,4[ : augmentation des points périodiques. Définition : un point x est dit périodique pour f s’il existe k>0 tel que fk(x)=x et on définit la période comme étant le plus petit des entiers k strictement positifs vérifiant fk(x)=x.

Le comportement en l’infini de la suite logistique lorsque a>3 s’explique par

l’augmentation des points périodiques de f. On peut le constater graphiquement, ou bien à l’aide du diagramme de bifurcation, ou bien en étudiant les courbes des puissances de f, puis à l’aide d’une « renormalisation », constater que plus a sera grand, plus il existera des points de différentes périodes.

On va montrer en étudiant les courbes des puissances de f que la période des points périodiques de f va doubler régulièrement lorsque a augmente.

On s’intéresse maintenant à f².Pour a>2, on représente f² et on considère plus particulièrement la partie de la courbe contenue dans le carré de coté p-q. L’allure de f² dans ce carré est semblable a celle -f sur [0,1].Lorsque a augmente, f² admet un point fixe dans cette boite, c'est-à-dire un point de période 2 pour f.

a=2.7 a=3.2 a=3.5

Pour préciser cette idée on va procéder à une « renormalisation » : Pour a>2, on pose p=1-1/a et q=1/a. On a : q<p et f(p)=f(q)=p. On définit r1 :[q,p] [0,1] telle que r1(x)=(x-p)/(q-p) bijective avec r1

-1(x)=(q-p)x+p On définit alors : Rf par Rf(x)=r1of²or1

-1(x). Un point fixe de Rf est alors point fixe de f².

L’intérêt de cette méthode réside dans le fait que ce qui a été préalablement étudié dans le cas de f ─ c’est-à-dire la présence d’un unique point fixe qui, de plus, est attractif lorsque a ∈ [0,1], puis dès que celui-ci devient répulsif l’apparition d’un nouveau point fixe attractif, et enfin la perte d’attractivité des deux seuls points fixes de f ─ se retrouve alors dans la « renormalisée » de f. Ainsi, lorsque les deux seuls points fixes de Rf deviennent répulsifs, on se situe à la deuxième bifurcation visible sur le diagramme de Feigenbaum, et on peut alors étudier R(Rf) qui permet de mettre en évidence des points de période 2 pour Rf, donc de période 4 pour f. En itérant ce processus, on constate alors un doublement des périodes.

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Ci-dessous sont représentées les fonctions Rf pour les mêmes valeurs de a utilisées dans les représentations de f² établies précédemment. Géométriquement, la renormalisation consiste à retourner le carré de côté p-q représenté sur le graphique de f² et à le redimensionner, par un changement d’échelle.

a=2.7 a=3.2 a=3.5

On aperçoit d’autant plus le doublement des périodes lorsqu’on regarde précisément le diagramme ; on voit par exemple sur la partie du diagramme ci-contre que le « mécanisme » expliquée précédemment dans le cas de la première bifurcation, semble se répéter.

b- a=4 : Le chaos.

Une fonction f : K→ K est dite chaotique si et seulement si : elle est topologiquement

transitive, elle présente une dépendance sensible aux conditions initiales et ses points périodiques sont denses dans K.

Les définitions de ces trois notions sont les suivantes :

~ Elle est dite topologiquement transitive si pour tous ouverts I,J C K, il existe k>0 tel que fk(I)∩J≠Ø. ~ Elle présente une dépendance sensible aux conditions initiales s’il existe δ>0 tel que, pour tout x ∈ J et pour tout voisinage N de x, il existe y ∈ N et n≥0 tels que |fn(x)-fn(y)|>δ. ~ Ses points périodiques sont denses dans K si pour tout (x,y) ∈ K², il existe z ∈ ]x,y[ tel que z soit un point périodique de f. Pour a=4, la fonction logistique est chaotique. Pour le démontrer, on peut procéder comme il est fait en page annexe 4.

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III) Illustrations de la sensibilité aux conditions initiales.

Des trois caractéristiques d’un système chaotique la sensibilité aux conditions initiales est sans doute la plus visible. On l’appelle souvent « Effet Papillon », d’après une métaphore utilisée par le météorologue Edward Lorenz lors d’une conférence.

En 1963, il a mis en évidence le caractère vraisemblablement chaotique de la météorologie, qui explique pourquoi les prévisions ne peuvent être fondées qu’à court terme. Il a eu l'idée de chercher un modèle simplifié pour étudier une situation physique particulière et a abouti à un système dynamique différentiel, beaucoup plus simple à intégrer numériquement que les équations de départ. Il observa alors, par pur hasard, qu'une modification minime des données initiales entraînait des résultats très différents.

a- L’effet papillon.

Pour ce qui est de la suite logistique, afin

de mettre en évidence la sensibilité aux conditions initiales, en utilisant Maple, j’ai considéré deux suites logistiques ne différant que par leurs conditions initiales u0=0.4 et v0=0.4+10-50. Lorsqu’on trace (un,vn), on obtient après 400 itérations le graphique ci-contre, qui montre que les deux suites obtenues sont totalement différentes :

b- Approximations : sources d’erreurs.

Un ordinateur a de grandes difficultés à étudier un système dynamique sensible aux

conditions initiales comme la suite logistique, étant donné que selon la manière dont il va calculer, selon les arrondis qu’il va faire, il obtiendra des résultats quelquefois bien différents.

Afin d’illustrer ce phénomène, j’ai réalisé les deux simulations suivantes avec Maple, dont les programmes sont donnés en page annexe 2: Tout d’abord, considérons deux suites logistiques un et vn définies par la même condition initiale uo=vo=0.3, calculées avec une même précision de 80 décimales. On les définit respectivement par un+1=4un(1-un) et vn+1=4vn-4vn². Il s’agit de la même définition mathématique pour les deux suites. Seulement, on observe sur le graphique ci-contre représentant (un,vn), pour les 400 premières valeurs de la suite, que les méthodes de calcul de Maple conduisent à des suites différentes. Si l’on définit cette fois les deux suites d’une manière strictement identique, mais qu’on effectue les calculs avec des précisions différentes : 89 décimales pour un et 90 pour vn, on obtient là aussi des suites relativement différentes :

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IV) Modélisation de la suite logistique par un circuit électronique. (Cette partie pratique du TIPE a été effectuée en binôme avec B. Garcia) Lors de nos recherches sur la suite logistique, nous avons fait la connaissance de Madhekar Suneel, chercheur à l’Institut des Sciences en Inde, avec lequel nous avons communiqué par mail afin qu’ils nous aident à réaliser un circuit électronique qui nous permette d’obtenir en pratique les résultats obtenus lors de l’étude théorique de la suite logistique, et nous souhaitions notamment obtenir sur oscilloscope le diagramme de Feigenbaum. Pour cela, nous avons réalisé le circuit dont le montage est décrit dans le schéma suivant (la liste du matériel utilisé est donnée en page annexe 1) :

AD633JN

X11

Y13

Y2

6Z

111

5-V

s+V

s8

Z2

4

Output7

X2

2

AD633JNX11

Y13

Y2

6Z

111

5-V

s+V

s8

Z2

4

Output7

X2

2

2,2k

2,2k

2,2k

22k

22k

2k 510

10k

R

2,2k 2,2k 2,2k10k

1k

22k

22k

5kPOT

+

-

U1A

TLO81

3

21

84

+

-

U1B

TLO81

5

67

LF398

3514

876

2N1711

+15V

+15V

-15V

+15V

-15V

LF398

35

14

876

-15V

+15V

+15V

-15V

0,1µf

+15V

-15V

+15V

0,1µf

CLOCK

A

Le schéma synoptique correspondant explique en quoi ce circuit nous permet de reproduire la suite logistique et ainsi retrouver son comportement :

7

Voici une photo du montage que l’on a réalisé ainsi qu’un exemple de courbe que l’on a pu obtenir sur oscilloscope :

Ne parvenant pas à obtenir un diagramme amplement satisfaisant sur oscilloscope en mode xy, nous avons procédé à de nombreux relevés de mesure sur le logiciel synchronie, puis après regroupement de 50000 valeurs, nous avons, avec Matlab, réalisé le graphique synthétique suivant, sur lequel on reconnaît l’allure du diagramme de bifurcation que l’on souhaitait obtenir, malgré de nombreuses valeurs parasites. On note par exemple que pour la valeur du paramètre a égale à 1 (i.e 2,5 dans notre expérience), on a bien le changement de pente attendu. Par contre, pour la première bifurcation, qui est la seule véritablement exploitable sur ce graphique, compte tenu de la trop grande densité de points au niveau des autres points de bifurcation, celle-ci devrait avoir lieu pour a égale à 3 (i.e 7,5 dans l’expérience), mais on l’obtient expérimentalement à une valeur d’environ 6,9, ce qui ne peut être jugé satisfaisant.

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V) Compléments sur l’étude du diagramme de Feigenbaum.

a- Le théorème de Sarkovskii.

Considérons l’ordre de Sarkovskii qui est le suivant :

3►5►7►9►11►13►…►6►10►14►18►22►… ►12►20►28►36►44►…►3.2m

►5.2m ►7.2m ►9.2m ►11.2m ►… ►32►16►8►4►2►1

On a en fait tout d’abord dans un ordre croissant les nombres impairs, excepté 1, puis, ces mêmes nombres multipliés par 2, puis pas 2², puis 23, etc… et cet ordre se poursuit par les puissances de 2 dans un ordre décroissant, et se termine par 1.

Le mathématicien russe a démontré que si une fonction f est continue définie sur un intervalle I stable par f et admet un point périodique de période m, alors pour tout n tel que m ►n , f admet également un point périodique de période n.

Ainsi, dès que f admet un point périodique de période 3, elle en admet de toutes périodes.

On constate de plus pour la fonction logistique que les périodes apparaissent dans le sens décroissant de l’ordre de Sarkovskii, au fur et à mesure que a augmente. En effet, d’après l’étude réalisée dans le II-a) sur le doublement des périodes, on a vu que c’est vrai pour toutes les puissances de 2 ; de plus, si l’on considère m ►n , s’il existe un point périodique de période m, alors il en existe un de période n et l’apparition de la période m n’a donc pu se faire avant celle de la période n.

b- Orbites attractives.

Définition : Pour x périodique de période n, l’orbite O(x) est l’ensemble des itérés de x. On a O(x) = {x, f(x),..., f n-1 (x)}. Celle-ci est dite attractive si x est attractif pour f .

D’après un théorème, dont les grandes idées de la preuve sont données en page annexe 5, il existe au plus une orbite attractive pour la fonction logistique avec a fixé. On peut trouver la preuve de ce théorème dans l’épreuve de Mathématiques 1 du concours d’admission à l’Ecole Nationale de la Statistique et de l’Administration Economique (ENSAE) 1991. Celle-ci utilise notamment la dérivée Schwarzienne définie par :

Sf xf x

f x

f x

f x( )

( )

( )

( )

( )

( ) 2

=′

− ′′′

33

2

Cela explique pourquoi on peut voir certaines zones claires dans le diagramme de Feigenbaum ; par exemple, comme on peut le constater sur la partie du diagramme ci-contre, il y a une orbite attractive de longueur 3, qui est alors la seule :

Conclusion :

La fonction logistique étant par exemple utilisé dans le domaine de la modélisation de l’évolution des populations, cette sensibilité aux conditions initiales pose problème. Et c’est encore plus frappant dans le domaine météorologique où l’on utilise d’autres fonctions chaotiques, ce qui explique que les prévisions ne peuvent être justifiées qu’à court terme. Il est tout de même remarquable qu’une simple parabole puisse susciter autant de questions.

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Page annexe 1 Bibliographie : ~ Robert L. Devaney, An Introduction to Chaotic Dynamical Systems, second edition ; Addison-Wesley Publishing Company (1989). ~ K.T. Alligood, T.D. Sauer, J.A. Yorke, Chaos, an introduction to dynamical systems ; Springer (1997). ~ M. Demazure, Catastrophes et bifurcations ; Ellipses (1989). ~ Université Montpellier II, Analyse numérique avec géoplan : une présentation de « la » suite logistique ; http://ens.math.univ-montp2.fr/SPIP/IMG/html/Suite_logistique.html (novembre 2006) ~ Wikipedia, Fonction logistique ; http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_logistique (octobre 2006) ~ Épreuve de Mathématiques 1 du concours d’admission à l’Ecole Nationale de la Statistique et de l’Administration Economique (ENSAE) 1991. Contact : Suneel Madhekar : chercheur à l'Institut des Sciences, à Bangalore, en Inde. Liste du matériel utilisé pour la réalisation du circuit électronique : Amplificateur opérationnel : TL081CP 58CJJHNM Multiplieur : AD 633JN 0507 613830.1 Alimentation (+15V,-15V) : AL 890N Générateur basse fréquence : GX245 Métrix Oscilloscope : Agilent 54621A Transistor : 2N1711 99033 Interrupteur commandé : LF398 100nK 63 (C’est le seul composant que notre établissement ne possédait pas, et que nous avons alors dû commander)

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Page annexe 2 Programmes Maple : → Le programme suivant permet d’obtenir un=f(vn) avec des précisions de calcul différentes pour les deux suites ou avec des conditions initiales différentes: sci:=proc(n,uo,vo) > local f,u,v,i,M: > f:=x->4*x*(1-x): > u:=uo: > v:=vo: > M:=[u,v]: > for i from 1 to n do > Digits:=89: > u:=evalf(f(u)): > Digits:=90: > v:=evalf(f(v)): > M:=(M,[u,v]): > od: > plot([M],style=point); > end: → Le programme suivant permet d’obtenir un=f(vn) avec les deux suites définies respectivement par un+1=4un(1-un) et vn+1=4vn-4vn² : scibis:=proc(n,uo) > local g,f,u,v,i,M: > f:=x->4*x*(1-x): > g:=x->(-4*x*x+4*x): > u:=uo: > v:=uo: > M:=[u,v]: > for i from 1 to n do > u:=evalf(f(u)): > v:=evalf(g(v)): > M:=(M,[u,v]): > od: > plot([M],style=point); > end:

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Page annexe 3 Programmes Maple (suite): → Le programme suivant permet d’obtenir la représentation en toile d’araignée de la fonction logistique pour un paramètre a donné : araigne:=proc(n,u0,a) > local M,b,i,f: > f:=x->a*x*(1-x):M:=[u0,0]: > b:=u0: > for i from 1 to n do > M:=(M,[b,b],[b,f(b)]): > b:=f(b): > od: > plot([x,f(x),[M]],x=0..1,color=[red,blue,green]); > end: → La procédure suivante permet d’obtenir le diagramme de bifurcation : bifurc:=proc(Amin,Amax,p,Nmin,Nmax); > M:=NULL; > g:=x->(x*(1-x)); > for a from Amin to Amax by p do > L:=NULL; > t:=0.4; > for k from 1 to Nmin do t:=a*evalf(g(t)) od; > for k from Nmin to Nmax do > L:=L,[a,t]; > t:=evalf(a*g(t)); > od; > M:=M,plot([L],x=Amin..Amax,style=point,symbol=point); > od; > display([M]); > end:

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Page annexe 4 Démonstration du caractère chaotique de la fonction logistique lorsque a=4 : En bleu sont données les définitions qui sont suivies par les démonstrations correspondantes pour f : On considère donc f(x)=4x(1-x). Définissons g et h sur le cercle unité, noté U, par : g(θ)=2θ h(θ)=1/2(1-cosθ) (h envoie U sur [0,1])

On a : hog(θ)=1/2(1-cos2θ)=4(1/2-cosθ/2)(1/2+cosθ/2)=foh(θ)

g et h sont alors dites semi-conjuguées (non conjuguées car h n’est pas bijective). Par récurrence, on montre aisément: hogn=fnoh Le caractère chaotique de g, que l’on montre plus facilement que celui de f, est utilisé tout au long de cette preuve. Topologiquement transitive : f : K → K est dite topologiquement transitive si pour tous ouverts I,J C K, il existe k>0 tel que fk(I)∩J≠Ø.

Soit I,J deux ouverts de [0,1], h étant continue, h-1(I)=Io et h-1(J)=Jo sont deux ouverts de U le cercle unité. Or,g étant topologiquement transitive, il existe k>0 tel que gk(Io)∩Jo≠Ø. Ainsi il existe x ∈ Io tel que gk(x)=y ∈ Jo, hogk(x)=h(y) ∈ J, donc fkoh(x) ∈ J ; or h(x) ∈ I donc fk(I)∩J≠Ø. Sensibilité aux conditions initiales : f : K → K a une dépendance sensible aux conditions initiales s’il existe δ>0 tel que, pour tout x ∈ J et pour tout voisinage N de x, il existe y ∈ N et n≥0 tels que |fn(x)-fn(y)|>δ.

Si on choisit δ=1/3, soit N un voisinage de x ∈ [0,1], il existe I arc du cercle unité tel que h(I)=N. Or, il existe n tel que gn(I)=U donc fnoh(I)=h(U)=U=fn(N). Ainsi, si fn(x) ∈ [0,1/2[, il existe y ∈ N tel que fn(y)>fn(x)+1/3 et si fn(x) ∈ [1/2,1], il existe y ∈ N tel que fn(y)<fn(x)-1/3. Densité des points périodiques : Pour tout (x,y) ∈ K², il existe z ∈ ]x,y[ tel que z soit un point périodique de f.

Soit x,y ∈ [0,1]², h-1(]x,y[)=I inclus dans U. Il existe z ∈ I, k>0 tels que gk(z)=z. Ainsi, fkoh(z)=h(z) et h(z) ∈ ]x,y[. Donc les points périodiques de f sont denses dans [0,1].

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Page annexe 5 Le résultat plus général qui est démontré dans l’épreuve de Mathématiques 1 du concours d’admission à l’Ecole Nationale de la Statistique et de l’Administration Economique (ENSAE) 1991 est le suivant : Théorème : Si f est une fonction polynomiale de degré d≥2 telles que les racines de f ’ soient toutes réelles, alors f a au plus d-1 orbites attractives. Dans le cas de la fonction logistique f ’(x)=a-2ax , donc les racines de f ’ sont bien toutes réelles, et ce théorème démontre alors, f étant polynomiale de degré 2, que f admet au plus une orbite attractive. La dérivée schwarzienne est définie comme suit, pour tout x tel que f’(x)≠0 :

Sf xf x

f x

f x

f x( )

( )

( )

( )

( )

( ) 2

=′

− ′′′

33

2

On note E l’ensemble des applications dont la dérivée schwarzienne est négative. On démontre alors les résultats suivants : E est stable par composition. Si f ∈E et si |f ’| admet un minimum local en x alors f ’(x) = 0. On en déduit alors que si f ‘ ne s’annule pas sur ]a,b[, pour tout x ∈ ]a,b[, |f ‘(x)|>inf(|f ‘(a)|,|f ‘(b)|). En particulier, si de plus a < x < c sont trois points fixes, le théorème des accroissements finis donne deux points de dérivée 1 de part et d’autre de x, et donc f’(x) > 1: x est instable. Puis, pour f ∈ E, et x0 point périodique stable de période q, notant Ux0={x ∈ Ι / fn(x) → x0 lorsque n→∞}, on montre que: soit [inf(I),x0] C Ux0 soit [x0,sup(I)] C Ux0 soit il existe un point critique y et un point x de l’orbite de x0 tels que fqn(y) → x. Ensuite, la démonstration du théorème énoncé plus haut utilise la décomposition en éléments simples de f ’’/f’ , f’ étant scindé sur R. On montre alors que f est dans E, ce qui permet d’utiliser les résultats précédents, et d’aboutir à une contradiction en procédant par l’absurde.