Prsentation de la thorie des jeux

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Universit Mohammed PremierFacult des Sciences Juridiques Economiques et SocialesOujda

Master : Economie et Management des OrganisationsLa thorie des jeux2013-2014

Les joueurs se sont les agents qui interagissent.Les rgles sont les actions quun individu peut entreprendre et les informations quils disposent lorsquils prennent leurs dcisions.les choix: Il est important galement de prciser les diffrentes possibilits de combinaison de ces actions de manire a constitu une stratgie. les gains ou pertes pour chaque combinaison de stratgies.Exemple: Pierre-Feuille-Ciseaux1

PlanIntroduction I Prsentation de la thorie des jeux1. Historique2. Dfinition3. Hypothses4. Elments des jeux II Typologie des jeux 1. Jeux coopratifs et non coopratifs2. Jeux somme nulle et jeux somme positive3. Jeux simultans et jeux squentiels4. Jeux finis5. Jeux rpts6. Jeux information complte et incomplteIII Forme des jeux de stratgie1. Forme extensive2. Forme normale IV Le dilemme du prisonnierV Lquilibre de NashConclusion

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IntroductionLa thorie des jeux est une approche distincte et interdisciplinaire du comportement humain, elle a t fonde par les grands mathmaticiens John Von Neuman et Oskar Morgenstern dans leur livre publi en 1944, intitul Theory of Games and Economic Behavior (la thorie des jeux et comportement conomique) 1. Lorsque des personnes interagissent entre elles, on peut dire quil y a un jeu. Lorsquun commerant dtermine le prix dun bien, il joue un jeu avec ses clients et ses concurrents. La ngociation des salaires est un jeu entre le patron, les employs et les syndicats. Napolon et Wellington jouaient un jeu lors de la bataille de Waterlou tout comme Kroutchev et Kennedy lors de la crise de Cuba. 3

4Donc la thorie des jeux est prsente souvent en conomie, en management, en politique, en sociologie, en situation de guerrel o des dcisions complexes doivent tre prises.Lobjet de cette thorie est dtudier les principes et rgles mathmatiques et les mettre profit dans des situations de conflits lors dune interaction stratgique entre plusieurs preneurs de dcisions (appels agents en conomie et joueurs en thorie des jeux). Ces preneurs de dcisions interagissent dans le sens o le sort de chacun dpend non seulement des dcisions quil prend mais galement des dcisions prises par dautres preneurs de dcisions, donc le choix optimal dpend gnralement de ce que font les autres

I. Prsentation de la thorie des jeux1. Historique 5

19941950 1944

1938

2. Dfinition 6 La thorie des jeux peut tre dnie comme ltude mathmatiques des Interactions Stratgiques entre plusieurs agents Rationnels. Interaction : il y a plusieurs agents (appels aussi joueurs, "decision makers", etc...), et ils interagissent : le contentement (appel aussi paiement, gain, utilit, bien-tre) de chacun ne dpend pas que de lui, mais aussi en partie des autres. Stratgique : Les joueurs ont le choix entre plusieurs options. Rationnel : un joueur ne joue pas nimporte comment, il cherche optimiser son paiement.

73. Hypothses

Recherche du gain maximum et Rationalit 8Cest une hypothse fondamentale. En effet, chaque joueur cherche maximiser ses gains. Le gain de chacun dpend autant des dcisions des autres que de sa propre dcision. Il est donc ncessaire quil y ait anticipation de ce que vont faire les autres et cela repose sur des croyances.

Information ComplteChaque joueur connat tous les dtails du modle et peut se mettre la place du modlisateur. Il sait que les autres savent quil sait, quils savent quil sait quils savent, etc.

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4. Elments des jeux

10Lorsque lon dsire modliser des comportements conomiques faisant apparaitre des interactions stratgiques sous la forme dun jeu, il est ncessaire de dfinir prcisment ces lments :Les joueursLes rgles Les choix possibles: les stratgiesRsultat: les gains ou pertes

II. Typologie des jeux1-Jeux coopratifs/Jeux non coopratifsJeux coopratifsLes joueurs peuvent communiquer librement et passer entre eux des accords qui les lient de faon contraignante.Ils cherchent lintrt gnral suivi dun partage des gains entre tous les joueurs ( intelligence collective).Jeux solidaires :les joueurs gagnent ou perdent tous ensemble ( ils ne jouent pas lun contre lautre).

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Exemple: Le ct de conduite 12conduire du mme ct que les autres permet de se dplacer en relative scurit (gain de 100). conduire dans le sens oppos rend un accident trs probable (gain 0).On obtient la matrice suivante:

Conduire gaucheConduire droiteConduire gauche1000Conduire droite0100

Jeux non coopratifs 13Les individus adopte un comportement goste et opportuniste chaque instant:Absence de la communication entre les joueurs.Les joueurs agissent selon le principe de rationalit conomique: chacun cherche son intrt individuel.

Exemple : E/SE 1 et lE/se 2 ayant leur disposition les actions: produire et ne pas produire :

14E2E1ProduitNe produit pasProduit(-3;-2)(10;0)Ne produit pas(0;8)(0;0)

2. Jeux somme nulle/ Jeux somme non nulle 15Jeux somme nulle (ou interdpendance comptitive)Un jeu est somme nulle si la somme des gains est constante : somme gale zro.Dans ce type de jeu ce que gagne lun des joueurs lautre le perd.Par exemple:Les checs; le poker; la pierre, papier, ciseau sont des jeux somme nulle.

Exemple: 16Jeu de matching Pennies :Deux joueurs annoncent simultanment Pile ou face:- Si les annonces sont identiques:*Le joueur 1 reoit 20 que lui paie le joueur 2.- Si les annonces ne concordent pas:*Le joueur 1 verse 20 2.Matrice des gains:

J2J1PileFacePile(20;-20)(-20;20)Face(-20;20)(20;-20)

Jeux somme non nulle (indpendance coopratifs) 17Dit aussi jeux somme positive:Ils reprsentent les situations o les joueurs peuvent potentiellement gagner sils parviennent cooprer ou coordonner leurs stratgies.

Alors le rsultat dun tel jeu peut tre:*(positif; positif): tous les joueurs sont gagnants.*(ngatif; ngatif):tous les joueurs sont perdants.

Exemple:

Deux entreprises ont le choix dans leur politique de communication entre lancer une compagne de publicit ou ne rien faire .

18E2

E1Lancer la compagne pubNe rien faireLancer la compagne pub(40;90)(60;50)Ne rien faire(25;140)(25;50)

3. Jeux squentiels/Jeux simultans 19Jeux squentiels

Il existe des jeux o les joueurs jouent lun aprs lautre: jeux squentiels.Celui qui joue en premier est le leader , celui qui joue en deuxime est le follower .Le joueur dans ce cas peut savoir ce que lautre a jou avant de prendre sa dcision.

Exemple 20Un monopoleur peut observer le comportement de la demande des consommateurs avant de produire.Un duopoleur peut observer linvestissement en capital de son concurrent avant de prendre sa propre dcision.Remarque:Le duopole: une structure du march oligopolistique dans laquelle deux entreprises offreuses font face une infinit de demandeurs.

Jeux simultans 21Chaque joueur choisit son plan daction complet au dbut du jeu et une fois pour toutes.

Le joueur ne connat pas les choix effectu par les autres joueurs donc il doit prvoir les choix des autres.

Exemple:Le dilemme du prisonnier.

4. Jeux finis

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On dit qu'un jeu est fini lorsque l'ensemble des stratgies de chacun des joueurs est fini.

Le dilemme du prisonnier est un jeu fini car chacun des joueurs n'a que deux stratgies possibles.

5. Jeux rpts 23

La rptition dun jeu, avec connaissance des rsultats intermdiaires, change souvent fondamentalement son droulement (les meilleurs coups et la conclusion).

Par exemple, il peut tre utile de prendre ponctuellement le risque de perdre pour voir , tester les autres joueurs, et mettre en place des stratgies de communication par les coups jous ( dfaut dautre moyen de communication).

6. Jeux information complte et incomplte

Jeux information complte 24 On dit qu'un jeu est information complte si chaque joueur connat lors de la prise de dcision: ses possibilits d'action les possibilits d'action des autres joueurs Rsultats de la dcision qui sera prise les motivations des joueurs

Jeux information incomplte 25

On dit quun jeu est information incomplte sil manque de linformation

(lorsquil n y a pas de connaissance des gains, ou de certaines rgles ).

Jeux information incomplte 26

On parle de jeu information parfaitedans le cas de jeu sous forme extensive, o chaque joueur a une connaissance parfaite de toute l'histoire du jeu

Jeux information incomplte 27 Un jeu information incomplte est aussi information imparfaite. Les jeux information complte peuvent tre information imparfaite soit du fait de la simultanit des choix des joueurs, soit lorsque des vnements alatoires sont cachs certains joueurs.

III. Les formes des jeux 281. Jeu sous forme extensiveLorsquil y a information complte, chaque joueur connait toutes les donnes du problme, pour lui et pour les autres. Trois types de situations peuvent alors tre envisags:Soit les joueurs font leurs choix de faon squentielle, dans un ordre prcis fix lavance.Soit ils prennent leur dcision simultanmentSoit ils font face des situations mixtes, avec des coups successifs et des coups simultans.

29Lorsque les rgles du jeu stipulent que les joueurs interviennent les uns aprs les autres, dans un ordre prcis et que le nombre dactions parmi lesquelles leur choix sexerce est fini, la reprsentation qui semble la plus approprie consiste tracer un arbre (appel arbre de Kuhn). Une telle reprsentation, dite sous forme extensive, peut tre illustre par lexemple suivant prsent par Bernard Guerrien.

FIG : Exemple d'un arbre de Kuhn

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(-3.-2) Ne cde pas M Cde Entre (4.4)NV Nentre pas (0.10)

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La construction et ltude des jeux sous forme extensive offrent un moyen commode de reprsenter des interactions stratgiques squentielles dans des jeux information parfaite.

Dans le cas des jeux information imparfaite, le recours un arbre de Kuhn est toujours possible. Dans ce cas lexistence de coups simultans se traduit par lapparition densembles dinformations regroupant des nuds de larbre relatifs ces coups.

FIG: forme extensive reprsentant un jeu information imparfaite

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t1 U (s1.t1) s1 J t2 U (s1.t2) I s2 J t1 U (s2.t1) t2 U(s2.t2) s3 J t1 U (s3.t1) t2 U (s3.t2)

2. Jeux sous forme stratgique 33

La forme normale est une faon pratique de prsenter les gains (ou utilits) et les stratgies de chaque joueur : elle estconstitue dun tableau (2 dimensions) lorsquil y a 2 joueurs. Lorsquil y a N joueurs, on est oblig de construire plusieurs tableaux pour reproduire la dimension N. On associe par exemple le gain au nombre 1, le match nul 0, la dfaite 1.Si le gain est alatoire (ex du jeu de carte ou du lancer de d), son gain ou son utilit est alors son esprance mathmatique.

34Le caillou casse lesciseaux (Caillou> Ciseaux).La feuille enveloppe le caillou(Feuille > Caillou).Les ciseaux coupent lafeuille (Ciseaux > Feuille).

31/03/201535IV- Le dilemme du prisonnierQuelque part, un crime est commis et la police arrte deux suspects. La police est certaine que ces deux hommes sont impliqus dans le crime, mais n'ont aucune preuve. L'un des policiers a eu alors une ide. Il dcide de mettre les prisonniers dans des cellules spares et leur fait la proposition suivante:Ils ont le choix entre dnoncer leur complice et passer moins de temps en prison ou ils peuvent tous deux garder le silence.

36Si aucun des prisonniers ne parle, la police n'aura aucune preuve et les deux prisonniers iront en prison 1 an pour possession d'arme. Si l'un d'eux parle et l'autre garde le silence, le mouchard sera libre et l'autre ira en prison pour 10 ans. Si les deux prisonniers se dnoncent mutuellement, alors ils iront en prison pour 8 ans (et non 10 ans, car ils auront aid la justice tous les deux).

37Nous pouvons prsenter ces informations sous forme de tableau :P1 SilenceP1 DnonceP2 Silence1,10,10P2 Dnonce10,08,8

Ce tableau s'appelle une matrice o nous voyons tous les rsultats possibles pour les deux "joueurs" (les prisonniers) impliqus dans ce jeu. Le premier nombre est toujours le rsultat pour le premier prisonnier (P1) et le nombre aprs la virgule est le rsultat pour le second prisonnier (P2).

38En analysant la situation dinterdpendance de chacun des prisonniers, il est vident que pour eux, la meilleure solution est davouer le crime en esprant que lautre niera. Il y a donc une interdpendance comptitive ou il y aura un gagnant et un perdant, sauf que si les deux prisonniers adoptent le mme schma de rflexion alors ils se retrouvent dans une relation de perdant- perdant.Tout cela est un problme de confiance, que se portent les deux prisonniers.Mais sils identifient tout les deux quil y a une solution gagnant- gagnant, il y aura donc une interdpendance cooprative.

39Imaginons que nous soyons P1. Nous sommes assis dans notre cellule, rflchissant ce qu'il faut faire. Nous ignorons ce que fera P2 et nous n'avons aucun moyen de communiquer. Si P2 nous dnonce, alors il est prfrable pour nous de le dnoncer galement. Si P2, ne nous dnonce pas, alors notre meilleur choix est aussi de le dnoncer. Dans les deux cas, peu importe ce que choisit P2, le dnoncer vous permet de rduire le temps que vous passerez en prison.Pour P2, la situation est exactement la mme et il aura intrt nous dnoncer pour les mmes raisons. Certes, P1 peut penser : "Peut-tre que je ne devrais rien dire, si P2 fait de mme, nous serons libres dans 1 an". Mais si P2 dcide de parler, vous irez en prison pour 10 ans ! Avez-vous envie de prendre ce risque ? En gnral, non.

40Aussi, la fin du "jeu", les deux prisonniers coperont de 8 ans de prisons. Cette situation s'appelle l'quilibre de Nash, d'aprs le nom du clbre mathmaticien John Forbes Nash. Lorsque cet quilibre est atteint, aucun joueur ne peut ajuster sa stratgie unilatralement pour en tirer profit. C'est exactement ce qui se passe pour nos deux prisonniers. Imaginons que nous soyons sur le point d'quilibre de Nash, les deux prisonniers se dnoncent et vont en prison pour 8 ans. P1 peut changer sa stratgie et garder le silence, mais il ira en prison pour 10 ans et n'aura rien gagn. La situation est la mme pour P2. Aucun changement unilatral de stratgie ne peut profiter ces "joueurs".

V. Equilibre de Nash1. Equilibre de Nash en stratgie pure

41Soit un jeu 2 joueurs avec un nombre fini de stratgiesConsidrons que chaque joueur:

optimise et poursuit son intrt individuel: la rationalit

choisit une stratgie une fois pour toutes, cest--dire que chaque agent effectuait un seul choix et sy tenait: la stabilit

42 Joueur B gauche droiteJoueur A haut 2, 1 0, 0 bas 0, 0 1, 2

La stratgie (haut, gauche) est un quilibre de Nash. En effet, si A choisit haut, la meilleure chose que B puisse faire, cest choisir gauche puisque son gain est 1 sil choisit gauche et 0 sil choisit droite.

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Nous dirons quune paire de stratgies est un quilibre de Nash si le choix de A (ou de B) est optimal compte tenu du choix de B(ou de A).

Exemple 1: 44lquilibre de Cournot est un quilibre de Nash avec des stratgies en quantit doutput produite. Chaque firme choisit loutput qui maximise son profit compte tenu du choix de lautre firme.

Exemple 2: 45Lquilibre de Bertrand, galement est un quilibre de Nash avec des stratgies en prix. Chaque firme choisit le prix qui maximise son profit, compte tenu du choix quelle pense que lautre firme fera.

46Limites de lquilibre de Nash en stratgie pure

Tout dabord, un jeu peut avoir plus quun quilibre de Nash. En fait, les choix (bas, droite) correspondent galement un quilibre de Nash.

Le second est que pour certains jeux, de tels quilibres nexistent pas.

472. Equilibre de Nash avec stratgie mixte

La notion dquilibre de Nash en stratgies pures suppose que chaque joueur connat les stratgies des autres joueurs. Or, il existe des jeux o chaque joueur a intrt cacher sa stratgie.

Par consquent, on admet que les agents peuvent choisir des stratgies alatoires, cest--dire attribuer une probabilit chaque choix et jouer ces choix sur la base de ces probabilits.

48Exemple: Pierre Papier et ciseaux

Conclusion 49 La thorie des jeux fournit un cadre d'analyse permettant d'tudier les situations conflictuelles dans lesquelles les individus ou les firmes sont en interaction. Lorsque peu de firmes dominent un march ou bien lorsque des pays concluent un accord sur les politiques commerciales, les agents concerns (individus, firmes, tats) doivent prendre en compte les ractions des autres et anticiper leurs propres dcisions. Il sagit alors d'analyser la manire dont les agents coordonnent ou peuvent coordonner leurs dcisions dans diffrentes configurations.

Bibliographie

Yildizoglu, Introduction la thorie des jeux, Dunod 2004. Umbhaver,Thorie des jeux, Vuilbert 2004. Rasmusen, Jeux et info, De Boeck 2004.EMMANUELLE BENICOURT, BERNARD GUERRIEN: La thorie conomique noclassique : microconomie, macroconomie et thorie des jeux, dition la dcouverte,2008.VARIAN, Hal R.(1996). Intermediate Microeconomics, 4 me d., W. W. Norton and Company, New york/London.http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_des_jeuxhttp://www.cril.univartois.fr/~konieczny/enseignement/TheorieDesJeux.pdf

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