La trigonométrie des figures et formes géométriques arrondies

MENDZINA ESSOMBA FRANCOIS

ESSOMBA ESSOMBA DIEUDONNE GAEL

Résumé

Une même équation mathématique relie le cercle au carré, la sphère au cube, l’hyper-sphère à l’hyper-cube, une autre également relie l’ellipse au rectangle, l’ellipsoïde à un parallélépipède rectangle, l’hyper-ellipsoïde à l’hyper- parallélépipède rectangle.

La compréhension de ces équations nous a emmené très loin dans un univers si familier aux mathématiciens, l’univers des fonctions périodiques et celui des formes géométriques aux bouts arrondis en y dévoilant une infinité de nouvelles constances mathématiques associées.

Abstract

The same mathematical equation connects the circle to the square, the sphere to the cube, the hyper-sphere to the hyper-cube, another also connects the ellipse to the rectangle, the ellipsoid to a rectangular parallelepiped, the hyper-ellipsoid To the rectangular hyper-parallelepiped.

The understanding of these equations has taken us very far in a universe so familiar to mathematicians, the universe of periodic functions, and that of geometric forms with rounded ends revealing an infinity of new mathematical constants associated with them.

Il y a si longtemps que nous nous intéressés aux équations du cercle et du carré dont la forme ont la particularité d’être constructibles grâce à une règle et un compas. Je me suis longtemps interroger sur la nature des figures qui pouvaient exister entre le cercle et le carré, jusqu'à ce que nous répondions à cette interrogation que modestement nous présentons dans c’est article consacré à la trigonométrie desdites figures.

I- Description des fonctions trigonométriques de base à partir de l’équation générale.

soit l’équation cartésienne (S) générale dans Le plan suivante :

(𝑆) ∶ 𝑋𝑛 + 𝑌𝑛 = 1 (1.1)

L’équation différentielle associée à (S) est (S’):

(𝑆)′ ∶ 𝑋′𝑋𝑛−1 + 𝑌′𝑌𝑛−1 = 0 (1.2)

Théorème 1:

(S’) admet pour solution :

𝑋′ = −𝑌𝑛−1 (1.3) 𝑌′ = 𝑋𝑛−1

On peut facilement vérifier ce théorème par remplacement de 𝑋’ et 𝑌’ dans l’équation

différentielle.

Pour le cas 𝑛 = 2 . On a :

𝑋2 + 𝑌2 = 1 , 𝑋′ = −𝑌 , 𝑌′ = 𝑋 On en déduit aisément que :

𝑋 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) 𝑒𝑡 𝑌 = 𝑠𝑖𝑛(𝑥)

Ce qui indique que (𝑆) est bien un cercle.

Il en résulte de ce premier théorème qu’il existe une infinité de fonctions 𝑋 et 𝑌

différentes les unes aux autres en fonction de l’indice 𝑛, ainsi pour 𝑛 = 1 le système (S) est

une droite d’équation, pour 𝑛 = 2, (𝑠) est un cercle de rayon 1.

Intéressons nous à présent au cas 𝑛 > 2, en recherchant quelques propriétés élémentaires, la figure associée et la représentation géométrique.

II- symbolique :

Avant de commencer nous noterons 𝑋 = cos 𝑒𝑠𝑠𝑛 (𝑥)𝑒𝑡 𝑌 = sin 𝑒𝑠𝑠𝑛 (𝑥) correspondant au cosinus et sinus de François Mendzina Essomba pour les valeurs d’indice 𝑛

pairs et 𝑋 = cosh 𝑒𝑠𝑠𝑛 (𝑥)𝑒𝑡 𝑌 = sinh 𝑒𝑠𝑠𝑛 (𝑥) pour les fonctions hyperboliques générales :

Ce qui nous amène à réécrire pour le premier cas les formules (2) et (3):

(cos 𝑒𝑠𝑠𝑛 (𝑥))𝑛+ (sin 𝑒𝑠𝑠𝑛 (𝑥))

𝑛= 1

(cos 𝑒𝑠𝑠𝑛 (𝑥))′= −(sin 𝑒𝑠𝑠𝑛 (𝑥))

𝑛−1 (2.1)

(sin 𝑒𝑠𝑠𝑛 (𝑥))′= (cos 𝑒𝑠𝑠𝑛 (𝑥))

𝑛−1

III- fonctions réciproques et fonctions composées générales:

Nous définissons de manière générale les réciproques des fonctions 𝑋 et 𝑌 de même que nous présentons quelques fonctions qui peuvent en résulter d’elles:

1) Fonctions réciproques :

i) Cas de la fonction 𝑋(𝑥). Nous avons :

𝑋(𝑋−1(𝑥)) = 𝑥 ⟹ (𝑋−1(𝑥))’𝑋’(𝑋−1(𝑥)) = 1

Grace à l’équation (3), on remplace 𝑋’(𝑋−1(𝑥)) par sa fonction dérivée et on

trouve :

(𝑋−1(𝑥))’ [−[𝑌(𝑋−1(𝑥))]𝑛−1

] = 1 ⟹ (𝑋−1(𝑥))’ = −1

[𝑌(𝑋−1(𝑥))]𝑛−1

Par la suite on considère l’équation (1) et on obtient :

(𝑋−1(𝑥))’ = −1

[𝑌(𝑋−1(𝑥))]𝑛−1 = −

1

[(1 − (𝑋(𝑋−1(𝑥)))𝑛

)1/𝑛

]

𝑛−1

= −1

(1 − 𝑥𝑛)𝑛−1𝑛

Ce qui donne finalement :

𝑋−1(𝑥) = −arc cos 𝑒𝑠𝑠𝑛(𝑥) = −∫𝑑𝑥

(1 − 𝑥𝑛)𝑛−1𝑛

(3.2)

ii) Cas de la fonction 𝑌(𝑥) Pour la fonction 𝑌, nous en déduisons que :

𝑌−1(𝑥) = arc sin 𝑒𝑠𝑠𝑛(𝑥) = ∫𝑑𝑥

(1 − 𝑥𝑛)𝑛−1𝑛

(3.3)

2) fonctions composées générales:

1) - les résultantes de types tangentes :

Cette fonction sera notée 𝑇𝑛(𝑥) et sera définie par la relation :

𝑇𝑛(𝑥) = tan essn(x) =𝑌(𝑥)

𝑋(𝑥)=sin 𝑒𝑠𝑠𝑛(𝑥)

cos 𝑒𝑠𝑠𝑛(𝑥) (3.4)

𝑇(𝑥) est définie pour 𝑋(𝑥) ≠ 0, et a pour fonction dérivée :

𝑇𝑛′(𝑥) =

1

(𝑋(𝑥))2 =

1

(cos 𝑒𝑠𝑠𝑛(𝑥))2= (1 + Tn)

2/n (3.5)

Sa fonction réciproque :

arctan 𝑒𝑠𝑠𝑛 = ∫𝑑𝑥

(1 + 𝑥𝑛)2/𝑛 (3.6)

Remarque : pour 𝒏 = 𝟐, la formule (𝟐. 𝟔) correspond à la fameuse courbe lemniscatique de Gauss.

2) les résultantes de types cotangentes : La fonction de type cotangente associée s’écrira :

𝑐𝑜𝑇𝑛(𝑥) =𝑋(𝑥)

𝑌(𝑥)=cos 𝑒𝑠𝑠𝑛(𝑥)

sin 𝑒𝑠𝑠𝑛(𝑥) (3.7)

Et sa fonction dérivée :

(𝑐𝑜𝑇𝑛(𝑥))′ =

−1

(𝑌(𝑥))2 (3.8)

Sa fonction réciproque :

arc cotg 𝑒𝑠𝑠𝑛(𝑥) = −∫𝑑𝑥

(1 + 𝑥𝑛)2/𝑛 (3.9)

On peut également construire pour les fonctions ℎ(𝑥) , 𝑠ℎ(𝑥), ou avec des extensions semblables à exponentiel et logarithme des fonctions cos(x) et sin(x).

IV- Fonctions de type hyperbolique :

Nous n’allons pas trop nous étendre sur ce volet ici, les figures associées étant de nature divergente. Nous le ferons dans un autre article plus profondément. La description portent donc sur la présentation de quelques fonctions.

soit l’équation cartésienne (S) générale dans Le plan suivante :

(𝑆) ∶ 𝑋𝑛 − 𝑌𝑛 = 1 (4.1)

L’équation différentielle associée à (S) est (S’):

(𝑆)′ ∶ 𝑋′𝑋𝑛−1 − 𝑌′𝑌𝑛−1 = 0 (4.2)

Théorème 1:

(S’) admet pour solution :

𝑋′ = 𝑌𝑛−1 (4.3) 𝑌′ = 𝑋𝑛−1

𝑋′ = 𝑌𝑛−1 = (sinh 𝑒𝑠𝑠𝑛 (𝑥))𝑛−1

𝑌′ = 𝑋𝑛−1 = (cosh 𝑒𝑠𝑠𝑛 (𝑥))𝑛−1

1) Les fonctions réciproques sont :

𝑋−1(𝑥) = arc cosh 𝑒𝑠𝑠𝑛(𝑥) = ∫𝑑𝑥

(𝑥𝑛 − 1)𝑛−1𝑛

(4.4)

𝑌−1(𝑥) = arc sinh 𝑒𝑠𝑠𝑛(𝑥) = ∫𝑑𝑥

(𝑥𝑛 − 1)𝑛−1𝑛

(4.5)

2) Les fonctions qui en résultent :

𝑇ℎ𝑛(𝑥) = tanh essn(x) =𝑌(𝑥)

𝑋(𝑥)=sinh 𝑒𝑠𝑠𝑛(𝑥)

cosh 𝑒𝑠𝑠𝑛(𝑥) (4.6)

𝑐𝑇ℎ𝑛(𝑥) =𝑋(𝑥)

𝑌(𝑥)=cosh 𝑒𝑠𝑠𝑛(𝑥)

sinh 𝑒𝑠𝑠𝑛(𝑥) (4.7)

V- Généralisation des fonctions trigonométriques symétriques

Nous définissons les fonctions trigonométriques symétriques comme toutes

formules qui satisfont l’équation 𝑥𝑚 + 𝑦𝑚 = 1 où 𝑚 = 2𝑘, 𝑘 de 𝑁, les fonctions trigonométriques asymétriques étant obtenues par toute équation 𝑥𝑚 + 𝑦𝑛 = 1 où 𝑚 et

𝑛 sont des entiers pairs et 2𝑚 ≠ 2𝑛

Les formules trigonométriques symétriques sont définies par la relation :

𝑋2𝑘 + 𝑦2𝑘 = 1 (5.1)

I- Description générale :

1) Théorème 3 Les fonctions 𝑋(𝑥) et 𝑌(𝑥) sont des fonctions périodiques et la période 𝑝 desdites fonctions est donnée par la relation :

𝑝 = 2𝜎𝑘 = 4∫𝑑𝑥

(1 − 𝑥2𝑘)2𝑘−12𝑘

=1

0

2

kB (

1

2k,1

2k) =

2

k

(Γ (12k))

2

Γ (1k)

(5.1)

Ce qui nous permet d’écrire :

𝑋(𝑥 + 2𝜎𝑘) = 𝑋(𝑥) et 𝑌(𝑥 + 2𝜎𝑘) = 𝑌(𝑥) (5.2)

Γ(x)𝑒𝑡 𝐵(𝑥)é𝑡𝑎𝑛𝑡𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑙𝑒𝑠 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝐺𝑎𝑚𝑚𝑎 𝑒𝑡 𝐵𝑒𝑡𝑎

2) Théorème 4

Les constances 𝜎𝑘 sont irrationnelles et transcendants.

3) Théorème 5 Soient 𝑆1 et 𝑆2 , respectivement ensembles des solutions des équations 𝑋(𝑥) = 0 et

𝑌(𝑥) = 0 : On a :

𝑆1 = {𝜎𝑘2+ 2𝑘𝑖𝜎𝑘 , 𝑘𝑖 ∈ ℤ} ; 𝑆2 = { 𝜎𝑘 + 2𝑘𝑖𝜎𝑘 , 𝑘𝑖 ∈ ℤ } (5.3)

Ce qui nous amène à écrire :

𝑋 (𝜎𝑘2) = 𝑋 (

3𝜎𝑘2) = 𝑋 (

5𝜎𝑘2) = 𝑋 (

7𝜎𝑘2) = ⋯ = 𝑋 (

(2𝑘 + 1)𝜎𝑘2

) = 0

𝑌(𝜎𝑘) = 𝑌(2𝜎𝑘) = 𝑌(3𝜎𝑘) = 𝑌(4𝜎𝑘) = ⋯ = 𝑌(𝑘𝜎𝑘) = 0

4) Théorème 6 Les fonctions 𝑋(𝑥) sont des fonctions paires et 𝑌(𝑥) des fonctions impaires.

(5.4)

5) Théorème 7

𝜎1 < 𝜎𝑘 < 𝜎𝑘→∞ ⟹ 𝜋 < 𝜎𝑘 < 4 (5.5)

La preuve est le point culminant de ce travail, l’interprétation géométrique de cette formule lie le cercle au le carré et l’ellipse au rectangle en une équation unique.

En effet, pour 𝑘 = 2, (𝑆) décris un cercle de rayon 𝑟 = 1.

Et lorsque 𝑘 → ∞ l’équation (S) définie par S : 𝑋2𝑘 + 𝑌2𝑘 = 1 décris une figure

mathématique qui tend de plus en plus vers un carré de côté 𝑐 = 2.

6) Théorème 8

Lorsque 𝑘 → ∞ l’équation (S) définie par S :

𝑋2𝑘

𝑎2𝑘+𝑌2𝑘

𝑏2𝑘= 1 (5.6)

est un objet mathématique qui tend de plus en plus proche du rectangle de longueur 𝑎 et de

largeur 𝑏 si 𝑎 > 𝑏 et inversement si 𝑏 > 𝑎.

Preuve des théorèmes 7 et 8 :

Faisons une représentation géométrique dans un repère orthonormé (O, I , J) de l’objet mathématique associé à l’équation :

𝑋2𝑘 + 𝑌2𝑘 = 1

A cela, intéressons nous aux points particuliers 𝐴𝑘(0,1), 𝐵𝑘(1,0) et 𝐶𝑘(𝑋 = 𝑌, 𝑌 = 𝑋)

𝐴𝑘(0,1) 𝑒𝑡 𝐵𝑘(1,0) sont des points invariants :

- 𝐴1(0,1) = 𝐴2(0,1) = 𝐴3(0,1) = ⋯ = 𝐴𝑘(0,1) - 𝐵1(1,0) = 𝐵2(1,0) = 𝐵3(1,0) = ⋯ = 𝐵𝑘(1,0)

Pour le point 𝐶𝑘(𝑋 = 𝑌, 𝑌 = 𝑋),

𝑋2𝑘 + 𝑌2𝑘 = 1 ⇒ 2𝑋2𝑘 = 2𝑌2𝑘 = 1 ⇒ 𝑋 = 𝑌 = (1

2)

12𝑘

Impliquant une borne de 𝑘 ∈ [1 ; ∞[

lim𝑘⟶∞

𝑌 = lim𝑘⟶∞

𝑋 = lim𝑘⟶∞

(1

2)

12𝑘= 1

‖OC⃗⃗⃗⃗ ⃗1‖ < ‖OC⃗⃗⃗⃗ ⃗2‖ < ‖OC⃗⃗⃗⃗ ⃗3‖ < ⋯ < ‖OC⃗⃗⃗⃗ ⃗k‖

Nous en déduisons donc :

Pour 𝑘 = 1, nous avons : 𝐴1(0,1) ; 𝐵1(1,0) et 𝐶1(1

√2,

1

√2) , ce qui correspond à un

cercle.

Pour ⟶ ∞ , nous avons : 𝐴𝑘(0,1) ; 𝐵𝑘(1,0) et 𝐶𝑘(1, 1) , ce qui tend vers un carré. Il est facilement vérifiable que la diagonale est également bornée :

1

√2< (

1

2)

12𝑘< 1

Les objets décrits que nous pouvons considérer comme des carrés à bouts arrondis de

longueur centrale r = 1 et de diagonale ‖OC⃗⃗⃗⃗ ⃗k‖ sont contenus sur la surface hachurée en noire.

𝐵𝑘 𝐶𝑘

𝐴𝑘

Pour les ellipses le même raisonnement conduit à la démonstration :

Faisons une représentation géométrique dans un repère orthonormé (O, I , J) de l’objet mathématique associé à l’équation :

𝑋2𝑘

𝑎2𝑘+𝑌2𝑘

𝑏2𝑘= 1

A cela, intéressons nous aux points particuliers 𝐴𝑘(0, 𝑎), 𝐵𝑘(1, 𝑏) et 𝐶𝑘(𝑋 = 𝑌, 𝑌 = 𝑋)

𝐴𝑘(𝑎, 0) 𝑒𝑡 𝐵𝑘(0, 𝑏) sont des points invariants :

- 𝐴1(𝑎, 0) = 𝐴2(𝑎, 0) = 𝐴3(𝑎, 0) = ⋯ = 𝐴𝑘(𝑎, 0) - 𝐵1(0, 𝑏) = 𝐵2(0, 𝑏) = 𝐵3(0, 𝑏) = ⋯ = 𝐵𝑘(0, 𝑏)

Pour le point 𝐶𝑘(𝑋 = 𝑎/𝑏 𝑌, 𝑌 = 𝑏/𝑎𝑋),

𝑋2𝑘

𝑎2𝑘+𝑌2𝑘

𝑏2𝑘= 1 ⇒ 𝑋2𝑘 (

1

𝑎2𝑘+

1

𝑏2𝑘(𝑏

𝑎)2𝑘

) = 𝑋2𝑘 (2

𝑎2𝑘) = 1

⇒ 𝑋 =𝑎

21/2𝑘 𝑒𝑡 𝑌 =

𝑏

21/2𝑘

Impliquant une borne de 𝑘 ∈ [1 ; ∞[

lim𝑘⟶∞

𝑌 = lim𝑘⟶∞

(𝑏

21/2𝑘) = 𝑏 ; lim

𝑘⟶∞𝑋 = lim

𝑘⟶∞(

𝑎

21/2𝑘) = 𝑎

‖OC⃗⃗⃗⃗ ⃗1‖ < ‖OC⃗⃗⃗⃗ ⃗2‖ < ‖OC⃗⃗⃗⃗ ⃗3‖ < ⋯ < ‖OC⃗⃗⃗⃗ ⃗k‖

Nous en déduisons donc :

Pour 𝑘 = 1, nous avons : 𝐴1(𝑎, 0) ; 𝐵1(0, 𝑏) et 𝐶1(𝑎, 𝑏) , ce qui correspond à une ellipse.

Pour ⟶ ∞ , nous avons : 𝐴𝑘(𝑎, 0) ; 𝐵𝑘(0, 𝑏) et 𝐶𝑘(𝑎, 𝑏) , ce qui tend vers un

rectangle de côté 𝑎 et 𝑏.

Les objets décrits que nous pouvons considérer comme des rectangles à bouts arrondis de

longueur et largeur centrales 𝐿 = 𝑎 et 𝑙 = 𝑏 sont contenus sur la surface hachurée en noire.

𝐵𝑘 𝐶𝑘

𝐴𝑘

VI- Surfaces et périmètres des figures géométriques décrites.

Théorème 9

La surface d’un carré de bout arrondi généré par l’équation 𝑋2𝑘 + 𝑌2𝑘 = 1 est :

𝑆 = 𝜎𝑘 Preuve :

On obtient d’après la relation (5.1) : 𝑌 = (1 − 𝑋2𝑘)1/2𝑘 A travers la symétrie de la figure, l’on utilise une intégrale :

𝑆 = 2∫ (1 − 𝑋2𝑘)1/2𝑘𝑑𝑥1

−1

= 4∫ (1 − 𝑋2𝑘)1/2𝑘𝑑𝑥1

0

=2

𝑘𝐵 (

1

2𝑘 ; 1 +

1

2𝑘) = 𝜎𝑘 (6.1)

Plus généralement, la surface d’un carré arrondi d’indice 𝑛, de longueur centrale 𝑟 = 𝑅 = 𝑂𝐴𝑘 et de longueur diagonale ℎ = 𝑂𝐶𝑘 est :

𝑆 = 𝜎𝑘𝑅2 (6.2).

Théorème 10

Le périmètre d’un carré arrondi d’indice 𝑛, de longueur centrale 𝑟 = 𝑅 = 𝑂𝐴𝑘 et de

longueur diagonale ℎ = 𝑂𝐶𝑘 est :

𝑃 = 4𝜎𝑘 (6.3)

Démonstration :

Le périmètre 𝑃 du carré arrondi de rayon central 𝑅 est compris entre le périmètre du

cercle 𝑅 et le périmètre du carré de coté 𝑐 = 2𝑅.

2𝜋𝑅 < 𝑃 < 8𝑅

D’après le théorème 7

𝜋 < 𝜎𝑘 < 4

On en déduit que :

2𝜋𝑅 < 2𝑅𝜎𝑘 < 8𝑅 ⇒ 𝑃 = 2𝑅𝜎𝑘

Théorème 11

L’aire de la surface d’une ellipse de grand axe a et de petit axe b est :

𝑆 = 𝑎𝑏𝜎𝑘 (6.4)

La preuve peut également être obtenue du théorème 7, en considérant cette fois là qu’à l’infini l’ellipse décris un rectangle de longueur 2a et de largeur 2b, le périmètre recherché devient donc encadré par :

𝜋𝑎𝑏 < 𝑃 < 4𝑎𝑏

On en déduit que :

𝑆 = 𝑎𝑏𝜎𝑘 Théorème 11

Le périmètre d’un rectangle arrondi est compris entre le périmètre d’une ellipse de grand

axe a et de petit axe b et celui d’un rectangle de coté 2𝑎 𝑒𝑡 2𝑏 :

4∫ √𝑎2(cos(𝑥))2 + 𝑏2(sin(𝑥))2dx𝜋/4

0

< 𝑃 < 4(𝑎 + 𝑏) (6.5)

Cette inégalité dans ses deux bornes ne nous permet d’en déduire théorème 7, par conséquent nous ne pouvons pas en déduire la valeur exacte de P par cette méthode.

Une valeur approchée de P pour de grande valeur de k serait :

𝑃 ≈ (𝑎 + 𝑏)𝜎𝑘 (6.6) La valeur exacte quant-à elle devrait faire intervenir les intégrales elliptiques de

troisième et de quatrième espèce.

VII- Extension des fonctions trigonométriques aux bords arrondis dans l’espace

Nous définissons les fonctions trigonométriques symétriques dans l’espace

comme toutes formules qui satisfont l’équation 𝑥𝑚 + 𝑦𝑚 + 𝑧𝑚 = 1 où 𝑚 = 2𝑘, 𝑘 de 𝑁,

les fonctions trigonométriques asymétriques étant obtenues par toute équation 𝑥𝑚 +𝑦𝑛 + 𝑧𝑤 = 1 où 𝑚 , 𝑛 et 𝑤 sont des entiers pairs et 𝑚 ≠ 𝑛 ≠ 𝑤

Les formules trigonométriques symétriques dans l’espace sont définies par la relation :

𝑋2𝑘 + 𝑦2𝑘 + 𝑍2𝑘 = 1 (7.1)

1- Les sphères bombées ou cubes aux bouts arrondis

soit l’équation générale dans l’espace (S) suivante :

(𝑆) ∶ 𝑋𝑛 + 𝑌𝑛 + 𝑍𝑛 = 1 (7.2)

Théorème 12

L’équation différentielle associée à (S) est :

𝑋′𝑋𝑛−1 + 𝑌′ 𝑌𝑛−1 + 𝑍′𝑍𝑛−1 = 0 (7.3)

Cette équation admet pour solutions :

𝑋 ′ = 𝑌𝑛−1 + 𝑍𝑛−1

𝑌 ′ = −𝑋𝑛−1 + 𝑍𝑛−1 (7.4)

𝑍 ′ = −𝑋𝑛−1 − 𝑌𝑛−1

Théorème 13

- Pour 𝑛 = 2, (𝑆) désigne une sphère de rayon 1 ;

- Pour 𝑛 = 2𝑘, avec 𝑘 → ∞ (𝑆) tend vers un cube de côté 𝑐 = 2 ; (7.5)

2- Les ellipsoïdes bombées ou pavés aux bouts arrondis

soit l’équation générale dans l’espace (S) suivante :

(𝑆) ∶𝑋𝑛

𝑎𝑛 +

𝑌𝑛

𝑏𝑛 +

𝑍𝑛

𝑐𝑛= 1 (7.6)

Théorème 14

L’équation différentielle associée à (𝑆) est :

𝑋 ′𝑋𝑛−1

𝑎𝑛 +

𝑌 ′𝑌𝑛−1

𝑏𝑛 +

𝑍 ′𝑍𝑛−1

𝑐𝑛= 0 (7.7)

Qui admet pour solution :

𝑋 ′ =𝑌𝑛−1

𝑏𝑛+𝑍𝑛−1

𝑐𝑛

𝑌 ′ = −𝑋𝑛−1

𝑎𝑛+𝑍𝑛−1

𝑐𝑛 (7.8)

𝑍 ′ = −𝑋𝑛−1

𝑎𝑛−𝑌𝑛−1

𝑏𝑛

Théorème 15

- Pour 𝑛 = 2, (𝑆) désigne une ellipsoide ;

- Pour 𝑛 = 2𝑘, avec 𝑘 → ∞ (𝑆) tend vers un pavé droit de côté 𝑎, 𝑏 𝑒𝑡 𝑐 (7.9)

3- les hyper-sphères bombées ou hyper-cubes aux bouts arrondis dans un espace de dimension m

Soit l’équation générale dans l’espace (S) suivante :

(𝑆) ∶ 𝑥1𝑛 + 𝑥2

𝑛 + 𝑥3𝑛 +⋯𝑥𝑚,

𝑛 = 1 (7.10)

Théorème 16

L’équation différentielle associée à (𝑆) est :

(𝑥1)′𝑥1𝑛−1

+ (𝑥2)′𝑥2𝑛−1 + (𝑥3)′𝑥3

𝑛−1+⋯(𝑥𝑚)′𝑥𝑚,

𝑛−1= 0 (7.11)

Et a pour solution :

{

(𝑥1)

′ = 𝑥2𝑛−1 + 𝑥3

𝑛−1 +⋯+ 𝑥𝑚𝑛−1 + 𝑥𝑚

𝑛−1

(𝑥2)′ = −𝑥1

𝑛−1 + 𝑥3𝑛−1 +⋯+ 𝑥𝑚

𝑛−1 + 𝑥𝑚𝑛−1

(𝑥3)′ = −𝑥1

𝑛 − 𝑥2𝑛 +⋯+ 𝑥𝑚

𝑛−1 + 𝑥𝑚𝑛−1

.

.

.(𝑥𝑚−1)

′ = −𝑥1𝑛 − 𝑥2

𝑛 −⋯−𝑥𝑚𝑛−1 + 𝑥𝑚

𝑛−1

(𝑥𝑚)′ = −𝑥1

𝑛 − 𝑥2𝑛 −⋯−𝑥𝑚−1

𝑛−1 − 𝑥𝑚𝑛−1

(7.12)

Théorème 17

- Pour 𝑛 = 2, (𝑆) désigne une hyper-sphère de dimension 𝑛 ;

- Pour 𝑛 = 2𝑘, avec 𝑘 → ∞ (𝑆) tend vers un hypercube de dimension 𝑛 de côté

𝑐 = 2 ; 4- les hyper-ellipsoïdes et hyper-pavés aux arrondis

Soit l’équation générale dans l’espace (S) suivante dans un répère orthonormé dans un espace à n dimensions :

(𝑆) ∶𝑥1

𝑛

𝑎1𝑛 +

𝑥2𝑛

𝑎2𝑛 +

𝑥3𝑛

𝑎3𝑛 +⋯

𝑥𝑚𝑛

𝑎𝑚𝑛= 1 (7.12)

Théorème 15 :

L’équation différentielle associée à (𝑆) est :

(𝑥1)′𝑥1𝑛−1

𝑎1𝑛 +

(𝑥2)′𝑥2

𝑛−1

𝑎2𝑛 +

(𝑥3)′𝑥3𝑛−1

𝑎3𝑛 +⋯

(𝑥𝑚)′𝑥𝑚𝑛−1

𝑎𝑚𝑛

= 0 (7.13)

Et a pour solution :

{

(𝑥1)′ = 𝑥2

𝑛−1/𝑎2 + 𝑥3𝑛−1/𝑎3 +⋯+ 𝑥𝑚−1

𝑛−1/𝑎𝑚−1 + 𝑥𝑚𝑛−1/𝑎𝑚

(𝑥2)′ = −𝑥1

𝑛−1/𝑎1 + 𝑥3𝑛−1/𝑎3 +⋯+ 𝑥𝑚−1

𝑛−1/𝑎𝑚−1 + 𝑥𝑚𝑛−1/𝑎𝑚

(𝑥3)′ = −𝑥1

𝑛−1/𝑎2 − 𝑥2𝑛−1/𝑎2 +⋯+ 𝑥𝑚−1

𝑛−1/𝑎𝑚−1 + 𝑥𝑚𝑛−1/𝑎𝑚

.

.

.(𝑥𝑚−1)

′ = −𝑥1𝑛−1/𝑎1 − 𝑥2

𝑛−1/𝑎2 −⋯−𝑥𝑚−2𝑛−1/𝑎𝑚−2 + 𝑥𝑚

𝑛−1/𝑎𝑚(𝑥𝑚)

′ = −𝑥1𝑛−1/𝑎2 − 𝑥2

𝑛−1/𝑎2 −⋯−𝑥𝑚−2𝑛−1/𝑎𝑚−2 − 𝑥𝑚−1

𝑛−1/𝑎𝑚−1

(7.14)

Théorème 16 :

- Pour 𝑛 = 2, (𝑆) désigne un hyper-ellipsoide de dimension 𝑛 ;

- Pour 𝑛 = 2𝑘, avec 𝑘 → ∞ (𝑆) tend vers un hyperpavé de dimension 𝑎1𝑎2…𝑎𝑚 ;

(7.15)

VIII- Volume des sphères et des ellipsoïdes aux formes arrondies.

1) Volume de la sphère de la sphère de dimension 3:

Si l’on fait tourner une surface (S) le long de l’axe (OI) le volume élémentaire engendré par l’aire de la surface sera :

𝑑𝑉 = 𝜎𝑛𝑥2𝑑𝑦

En revenant sur l’ équation (1.1)

𝑥𝑛 + 𝑦𝑛 = 1 ⟹ 𝑥𝑛 = 1 − 𝑦𝑛 ⟹ 𝑥 = (1 − 𝑦𝑛)1𝑛

On en déduit :

𝑥2 = (1 − 𝑦𝑛)2𝑛

En remplacant dans la formule :

𝑑𝑉 = 𝜎𝑛 (1 − 𝑦𝑛)2𝑛 𝑑𝑦 ⟹ 𝑉𝑛(3) = ∫ 𝜎𝑛 (1 − 𝑦𝑛)

2𝑛 𝑑𝑦

1

−1

Ce qui nous conduit à :

𝑉𝑛(1) = ∫ 𝜎𝑛 (1 − 𝑦𝑛)2𝑛 𝑑𝑦

1

−1

=2𝜎𝑛𝑛𝐵 (

1

𝑛;𝑛 + 2

𝑛) =

2𝜎𝑛n

Γ (1n) Γ (1 +

2n)

Γ (1 +3n)

En remplacant n par 2k, on obtient :

𝑉𝑘(3) = ∫ 𝜎𝑘 (1 − 𝑦2𝑘)1𝑘 𝑑𝑦

1

−1

= 2∫ 𝜎𝑘 (1 − 𝑦2𝑘)1𝑘 𝑑𝑦

1

0

=𝜎𝑘𝑘𝐵 (

1

2𝑘;𝑘 + 1

𝑘)

Ce qui donne finalement :

𝑉𝑘(3) =𝜎𝑘k

Γ (12k) Γ (1 +

1k)

Γ (1 +32k)

=1

k2

(Γ (12k))

3

Γ (1 +1k)

Γ (1K) Γ (1 +

32k)

(8.1)

Et pour n’importe quel rayon R, nous aurons :

𝑉𝑘(𝑅) =𝜎𝑘𝑘𝐵 (

1

2𝑘; 1 +

1

𝑘)𝑅3 =

𝜎𝑘k

Γ (12k) Γ (1 +

1k)

Γ (1 +32k)

𝑅3

=1

k2B (

1

2k,1

2k)𝐵 (

1

2𝑘; 1 +

1

𝑘)𝑅3 =

1

k2

(Γ (12k))

2

Γ (1k)

Γ (12k) Γ (1 +

1k)

Γ (1 +32k)

𝑅3

Ce qui donne finalement :

𝑉𝑘(𝑅) =𝜎𝑘k

Γ (12k) Γ (1 +

1k)

Γ (1 +32k)

𝑅3 =1

k2

(Γ (12k))

3

Γ (1 +1k)

Γ (1K) Γ (1 +

32k)

𝑅3 (8.2)

On peut vérifier l’encadrement suivant pour tout 𝑘 ∈ Ν :

4𝜋

3< 𝑉𝑘(𝑅) < 8 (8.3)

Où les deux bornes sont respectivement les volumes du cercle de rayon 1 et cube de côté 𝑐 =2.

2) volume de l’ellypsoide dans un espace à trois dimensions générée par l’équation ellyptique suivante :

Si l’on fait tourner une surface (S) le long de l’axe (OI) le volume élémentaire engendré par l’aire de la surface sera :

𝑑𝑉 = 𝜎𝑛𝑥2𝑑𝑦

En revenant sur l’équation (5.6)

𝑥𝑛

𝑎𝑛+𝑦𝑛

𝑏𝑛= 1 ⟹ 𝑥𝑛 = 𝑎𝑛 (1 −

𝑦𝑛

𝑏𝑛) ⟹ 𝑥 = 𝑎 (1 −

𝑦𝑛

𝑏𝑛)

1𝑛

On en déduit :

𝑥2 = 𝑎2 (1 −𝑦𝑛

𝑏𝑛)

2𝑛

En remplacant dans la formule :

𝑑𝑉 = 𝜎𝑛𝑎2 (1 −

𝑦𝑛

𝑏𝑛)

2𝑛

𝑑𝑦 ⟹ 𝑉𝑛(𝑅) = 𝜎𝑛𝑎2∫ (1 −

𝑦𝑛

𝑏𝑛)

2𝑛

𝑑𝑦𝑏

−𝑏

Ce qui nous conduit à :

𝑉𝑛(3) = 𝜎𝑛𝑎2∫ (1 −

𝑦𝑛

𝑏𝑛)

2𝑛

𝑑𝑦𝑏

−𝑏

=𝑏𝑎2𝜎𝑛𝑛

𝐵 (1

𝑛;𝑛 + 2

𝑛) =

𝑏𝑎2𝜎𝑛n

Γ (1n) Γ (1 +

2n)

Γ (1 +3n)

En remplacant n par 2k, on obtient :

𝑉𝑘(3) = 𝜎𝑛𝑎2∫ (1 −

𝑦𝑛

𝑏𝑛)

2𝑛

𝑑𝑦𝑏

−𝑏

=𝑏𝑎2𝜎𝑘𝑘

𝐵 (1

2𝑘; 1 +

1

𝑘) =

𝑏𝑎2𝜎𝑘k

Γ (12k) Γ (1 +

1k)

Γ (1 +32k)

Finalement :

𝑉𝑘(3) =𝑏𝑎2𝜎𝑘k

Γ (12k) Γ (1 +

1k)

Γ (1 +32k)

=𝑏𝑎2

k2

(Γ (12k))

3

Γ (1 +1k)

Γ (1K) Γ (1 +

32k)

(8.4)

Pour la formule plus générale (7.6) suivante :

𝑥𝑛

𝑎𝑛+𝑦𝑛

𝑏𝑛+𝑧𝑛

𝑐𝑛= 1

Nous aurons :

𝑉𝑘(𝑘) =𝑎𝑏𝑐 𝜎𝑘𝑘

𝐵 (1

2𝑘; 1 +

1

𝑘) =

𝑎𝑏𝑐 𝜎𝑘k

Γ (12k) Γ (1 +

1k)

Γ (1 +32k)

=abc

k2

(Γ (12k))

3

Γ (1 +1k)

Γ (1K) Γ (1 +

32k)

Ainsi :

𝑉𝑘(𝑘) =𝑎𝑏𝑐 𝜎𝑘k

Γ (12k) Γ (1 +

1k)

Γ (1 +32k)

=abc

k2

(Γ (12k))

3

Γ (1 +1k)

Γ (1K) Γ (1 +

32k) (8.5)

3) Volume et surface de l’hyper-sphère dans un espace de dimension m

Il est démonstré pour le degré 2 que le volume est proportionnel au rayon r, par récurrence on démontre facilement qu’il en est de même pour les indices supérieurs :

Cette propriété nous amène à établir ce qui suit avec 2𝑘 comme degré de l’équation, 𝑚

dimension de l’espace et 𝑉(𝑚) volume de la figure arrondie :

𝑉𝑘(3) = ∫ 𝜎𝑘 (1 − 𝑦2𝑘)1𝑘 𝑑𝑦

1

−1

=𝜎𝑘k

Γ (12k) Γ (1 +

1k)

Γ (1 +32k)

=1

k2

(Γ (12k))

3

Γ (1 +1k)

Γ (1K) Γ (1 +

32k)

𝑉𝑘(4) = ∫ 𝑉3(𝑘) (1 − 𝑦2𝑘)32𝑘 𝑑𝑦

1

−1

=𝑉3(𝑘)

kB (

1

2𝑘; 1 +

3

2𝑘)

=𝜎𝑘𝑘2𝐵 (

1

2𝑘;𝑘 + 1

𝑘)B (

1

2𝑘; 1 +

3

2𝑘)

=1

k3

(Γ (12k))

4

Γ (1 +1k)

Γ (1K) Γ (1 +

42k)

𝑉𝑛(5) = ∫ 𝑉𝑛(4) (1 − 𝑦2𝑘)42𝑘 𝑑𝑦 =

𝑉𝑛(4)

kB (

1

2𝑘; 1 +

4

2𝑘)

1

−1

=𝜎𝑘𝑘3𝐵 (

1

2𝑘; 1 +

1

𝑘)B (

1

2𝑘; 1 +

3

2𝑘)B (

1

2𝑘; 1 +

4

2𝑘)

=1

k4

(Γ (12k))

5

Γ (1 +1k)

Γ (1K) Γ (1 +

52k)

On en déduit de cette récurrence que :

𝑉𝑛(𝑚) = ∫ 𝑉𝑛(𝑚 − 1) (1 − 𝑦2𝑘)𝑚−12𝑘 𝑑𝑦 =

𝑉𝑛(𝑚 − 1)

kB (

1

2𝑘; 1 +

𝑚 − 1

2𝑘)

1

−1

=

=𝜎𝑘𝑘𝑚−2

𝐵 (1

2𝑘; 1 +

2

2𝑘) B (

1

2𝑘; 1 +

3

2𝑘) B (

1

2𝑘; 1 +

4

2𝑘) × …× B (

1

2𝑘; 1 +

𝑚 − 1

2𝑘)

=𝜎𝑘𝑘𝑚−2

Γ (12k) Γ (1 +

22k) Γ (

12k) Γ (1 +

32k) Γ (

12k) Γ (1 +

42k)… Γ (

12k) Γ (1 +

m − 12k

)

Γ (1 +32k) Γ (1 +

42k) Γ (1 +

52k)… Γ (1 +

m2k)

Après simplification, le volume de l’hypersphère de rayon 𝑅 = 1 est donné par la relation :

𝑉𝑘(𝑚) =1

𝑘𝑚−1

[Γ (12k)]m

Γ (1 +1k)

Γ (1k) Γ (1 +

m2k)

=1

𝑘𝑚

[Γ (12k)]m

Γ (1 +m2k) (8.6)

Ce volume pour un rayon quelconque R sera :

𝑉𝑘(𝑚) =1

𝑘𝑚−1

[Γ (12k)]m

Γ (1 +1k)

Γ (1k) Γ (1 +

m2k)

𝑅𝑚 =1

𝑘𝑚

[Γ (12k)]m

Γ (1 +m2k)𝑅𝑚 (8.7)

Son aire sera par conséquent :

𝑆𝑘(𝑚) =𝑚

𝑘𝑚−1

[Γ (12k)]m

Γ (1 +1k)

Γ (1k) Γ (1 +

m2k)

𝑅𝑚−1 =𝑚

𝑘𝑚

[Γ (12k)]m

Γ (1 +m2k)𝑅𝑚−1 (8.8)

4) Volume et surface de l’hyper-ellipsoide de dimension m

𝑉𝑘(𝑚) =𝑎1𝑎2𝑎3…𝑎𝑚

𝑘𝑚−1

[Γ (12k)]m

Γ (1 +1k)

Γ (1k) Γ (1 +

m2k)

=𝑎1𝑎2𝑎3…𝑎𝑚

𝑘𝑚

[Γ (12k)]m

Γ (1 +m2k) (8.9)

Son aire sera sensiblement :

𝑆𝑘(𝑚) ≈(𝑎1

𝑚−1 + 𝑎2𝑚−1 +⋯+ 𝑎𝑚

𝑚−1)

𝑘𝑚−1

[Γ (12k)]m

Γ (1 +1k)

Γ (1k) Γ (1 +

m2k) (8.10)

IX- Fonctions générées par des degrés asymétriques.

Généralisation : Dans la première partie du document nous avons étudié les fonctions pour des degrés de même valeurs que nous avons considérées comme des équations aux degrés symétriques. Nous considérons les équations au degré asymétriques, toutes équations de la forme :

𝑋2𝜆 + 𝑌2𝛽 = 1 (9.1) 𝑜ù 𝜆 𝑒𝑡 𝛽 ∈ ℕ / 𝜆 ≠ 𝛽 ≠ 0

L’équation différentielle associée à (S) est (S’):

(𝑆)′ ∶ 𝜆𝑋′𝑋2𝜆−1 + 𝛽𝑌′𝑌2𝛽−1 = 0 (9.2)

Théorème 17:

(S’) admet pour solution :

𝑋′ = −𝛽𝑌2𝛽−1 (9.3) 𝑌′ = 𝜆𝑋2𝜆−1

Nous noterons pour les fonctions à degré asymétriques 𝑋 =cos 𝑒𝑠𝑠𝜆/𝛽 (𝑥) 𝑒𝑡 𝑌 = sin 𝑒𝑠𝑠𝜆/𝛽 (𝑥) pour les figures fermées et 𝑋 =

cosh 𝑒𝑠𝑠𝜆/𝛽 (𝑥) 𝑒𝑡 𝑌 = sinh 𝑒𝑠𝑠𝜆/𝛽 (𝑥) pour les figures hyperboliques générales. Des

constructions de toutes les autres fonctions deviennent évidentes avec cette forme notamment :

cos−1 𝑒𝑠𝑠𝜆/𝛽 (𝑥), sin−1 𝑒𝑠𝑠𝜆/𝛽 (𝑥) , tan 𝑒𝑠𝑠𝜆/𝛽 (𝑥) , tan

−1 𝑒𝑠𝑠𝜆/𝛽 (𝑥), sec 𝑒𝑠𝑠𝜆/𝛽 (𝑥) ,

sec−1 𝑒𝑠𝑠𝜆/𝛽 (𝑥)… etc.

Théorème 18 :

Les fonctions X et Y sont des fonctions périodiques de période p :

𝑝 =4

𝜆

Γ (12𝜆) Γ (1 +

12𝛽)

Γ (1 +12𝜆

+12𝛽)= 2

Γ (12𝛽) Γ (1 +

12𝜆)

Γ (1 +12𝜆

+12𝛽) (9.4)

Théorème 19:

L’aire de la figure géométrique décrite est de p/2 ;

𝜎𝜆/𝛽 = 𝜎𝛽/𝜆 =2

𝜆

Γ (12𝜆) Γ (1 +

12𝛽)

Γ (1 +12𝜆

+12𝛽)=Γ (

12𝛽) Γ (1 +

12𝜆)

Γ (1 +12𝜆

+12𝛽) (9.5)

Théorème 20:

Lorsque 𝜆, 𝛽 ⟶ ∞, la figure géométrique décrite est un carré de coté c=4. Ce qui justifie l’encadrement suivant :

2√𝜋Γ (14)

3Γ (34)

< 𝜎𝜆/𝛽 < 4 (9.6)

Théorème 21:

Le volume est proportionnel au rayon, nous en déduisons :

𝑉𝜆/𝛽(𝑚) = ∫ 𝑉𝜆/𝛽(𝑚 − 1) (1 − 𝑦2𝛽)𝑚−12𝜆 𝑑𝑦

1

−1

= 𝑉𝜆/𝛽(𝑚 − 1)B(1

2𝛽 , 1 +

2𝜆 + (𝑚 − 1)

2𝑘)

X- Exemple numérique :

Cas de l’équation : (𝑋(𝑥))4 + (𝑌(𝑥))4 = 1 ;

Posons 𝑋(𝑥) = cos 𝑒𝑠𝑠4(𝑥) et 𝑌(𝑥) = sin 𝑒𝑠𝑠4(𝑥) Nous avons :

(cos 𝑒𝑠𝑠4(𝑥))4 + (sin 𝑒𝑠𝑠4(𝑥))

4 = 1 Fonctions dérivées :

(cos 𝑒𝑠𝑠4(𝑥))′ = −(sin 𝑒𝑠𝑠4(𝑥))

3 𝑒𝑡 (sin 𝑒𝑠𝑠4(𝑥))′ = (cos 𝑒𝑠𝑠𝑛(𝑥))

3 Fonctions réciproques :

𝑎𝑟𝑐 cos 𝑒𝑠𝑠4(𝑥) = −∫𝑑𝑥

(1 − 𝑥𝑛)34

et 𝑎𝑟𝑐 sin 𝑒𝑠𝑠4(𝑥) = ∫𝑑𝑥

(1 − 𝑥𝑛)34

Période des fonctions :

𝑝 = 2𝜎2 = 4∫𝑑𝑥

(1 − 𝑥4)34

1

0

=[Γ (

14)]2

√𝜋

Valeur numérique approchée de la constance associée :

𝜎2 =[Γ (

14)]2

2√𝜋= 3,708149354620986

Equations associées :

cos 𝑒𝑠𝑠4(𝑥) = 0 solutions : 𝑥 =𝜎2

2+ 2𝑘𝜎2𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑘 ∈ Ζ

sin 𝑒𝑠𝑠4(𝑥) = 0 solutions : 𝑥 = 𝜎2 + 2𝑘𝜎2 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑘 ∈ Ζ Représentation géométrique de l’objet mathématique décrit :

3𝜎2

4

𝜎2

2

𝜎2

4

𝜎2 0

5𝜎2

4

3𝜎2

2

7𝜎2

4

On peut également , en partant de l’équation 𝑥4 + 𝑦4 = 1 , vérifier que l’aire de cette surface sur l’intervalle [0 ; 1] vaut :

𝐴 = ∫ (1 − 𝑥4)14

1

0

𝑑𝑥 =𝜎24

Nous allons considérer la figure reprentée comme un objet de rayon 𝑅 = 1 et de valeur

hypothénuse ℎ = (1

2)1/4

avec une surface de valeur : 𝑆 = 𝜎2

Pour des rayons 𝑅 supérieurs, avec la meme valeur ℎ, la surface est donnée par la relation :

𝑆 = 𝜎2𝑅2

Représentation graphique des deux fonctions :

Sur la figure la courbe de cos 𝑒𝑠𝑠4(𝑥) est en bleue et de sin 𝑒𝑠𝑠4(𝑥) en rouge.

1

−2𝜎2 −3𝜎2

2 −𝜎2 −

𝜎2

2 0

𝜎2

2 𝜎2

3𝜎2

2 2𝜎2

-1

Développement limité desdites fonctions :

Pour le calcul des dérivées, nous posons :

[𝑟, 𝑘] = 𝑋𝑟𝑌𝑘

En dérivant :

([𝑟, 𝑘])′ = 𝑟𝑋′𝑋𝑟−1𝑌𝑘 + 𝑘𝑌′𝑌𝑘−1𝑋𝑟

Or en revenant à l’équation (1.2), on obtient :

([𝑟, 𝑘])′ = −𝑟𝑌𝑛−1𝑋𝑟−1𝑌𝑘 + 𝑘𝑋𝑛−1𝑌𝑘−1𝑋𝑟 = −𝑟𝑋𝑟−1𝑌𝑘+𝑛−1 + 𝑘𝑋𝑟+𝑛−1𝑌𝑘−1

= −𝑟[𝑟 − 1 , 𝑘 + 𝑛 − 1] + 𝑘[𝑟 + 𝑛 − 1 , 𝑘 − 1]

Nous en déduisons pour 𝑎 un réel quelconque :

𝑎([𝑟, 𝑘])′ = −𝑟𝑎[𝑟 − 1 , 𝑘 + 𝑛 − 1] + 𝑘𝑎[𝑟 + 𝑛 − 1 , 𝑘 − 1]

Un algorithme informatique reproduisant cette boucle pourrait facilement nous emmener à donner un développement limité de nos fonctions. Tableau récapitulatif de quelques constances FME

N° Valeur approchée de la constance 𝜎𝑛

𝜎1 = 𝜋 3,14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628

𝜎2 3,70814935460274383686770069439052009243519764704353381117185609011204355375

𝜎3 3,85524259331999626209139557665254611917427312380704283412389421412743373445

𝜎4 3,91384328781318103070893034994827917302712799744352778220721985728429873838

𝜎5 3,94292789781003233263347789093030507915700438454787339418153597796358020327

𝜎6 3,95943650355640911426981334884246873724389762506719737954011346424202275338

𝜎7 3,96969669227111521338562009531125881481761886714244333918222707823827237334

𝜎8 3,97650520621106741560910078785663643077000880323612441939340100950475614095

𝜎9 3,98125285310061061009439732081904425397799083721733379829042425851558596596

𝜎10 3,98469454206269945104112798385575213664812234261601518598579439273149048179

𝜎11 3,98726873180520489211118336816534811960488928949322483761131409357801799386

𝜎12 3,98924421751849778769331837014783106846504467551596185715617057499252750127

𝜎13 3,99079321846673925105765183010179870847489457683325167597087962970164800402

𝜎14 3,99203020865927973874796585993698449692603132610622945651955357376909824271

𝜎15 3,99303368294156842699000564950924446980228612990848431750902811987929354699

𝜎16 3,99385892009847599048232973332097445719613984479931572345578152700051143975

𝜎17 3,99454576017319105416336172772984647657215727879424037082195626571842196358

𝜎18 3,99512350367501713877258186856170070609020586325906388455659064717154204806

𝜎19 3,99561408852165959089258181763062744076525754327697229580788831282102433936

𝜎20 3,99603420342206981090832551166720286542511755381279417325015973917222635964

𝜎21 3,99639672596773053807127534238777240969426891628729085955044482404660066685

𝜎22 3,99671172122628755328610824426351912886519759948009990137375447678662352919

𝜎23 3,99698714789527023984239060295098955527709867704886007329431497426250825171

𝜎24 3,99722936594726207587975782749682576226369767582093711727235504158680729023

𝜎25 3,99744350707068882330131074387668808108282708714144035056742772098742563904

𝜎100 3,99983670259035443320728014490361436136027215893817180675701312157437446263

𝜎1000 3,99999835626738153135066036532231851591936269012449184669448833688169990034

𝜎10000 3,99999998355186132754304689727588846343447579828408510222086458036678535750

𝜎100000 3,99999999983550779536599247609425828160015749495801815396308060865250490462

𝜎1000000 3,99999999999835506713520806791658627731331456568203315321834473910077694798

Quelques constances pour les degrés asymétriques.

N° Valeur approchée de la constance 𝜎𝜆/𝛽 = 𝜎𝛽/𝜆

𝜎1/2 3.49607673905615974728645278652149255157700660190883088375576227173438744942

𝜎1/3 3.64297597183137241772991253467139687283255226731236391162494412820810853104

𝜎2/3 3.79426542131987384302394156027154767895229595882846110011656425995425111282

𝜎1/4 3.72349622789846200096805805698937132402429081317206587966913311911379012117

𝜎2/4 3.84108397266534886970412153301195688066441967251189260736120117052572278239

𝜎3/4 3.88829410645231725111637347897761746050021205582363070163038620351005160451

𝜎1/5 3.77436232507191790715198165052332100233054515441779181746871464584373475904

𝜎2/5 3.87052818944977808852518452337418301128540909207593322688040123276973649649

𝜎3/5 3.90904592110301592586937639010525485138237289548897457897806124183497398252

𝜎4/5 3.92987085818862052960103303824935922614013963541171938969727437239288574821

𝜎6/5 3.95188295988412538994088989456497229458365319060397405553366586257897712727

𝜎1/6 3.80941474965671051471243201816104734691450243053013286634856498618780013003

𝜎2/6 3.89076123156223175312997575129415654443187698552430363675260732622536382399

𝜎3/6 3.92329093089261085486486307075634176754330696836186181410327054824283404519

𝜎4/6 3.94086692153430527260879572645841741218665872884853366480746067583598183126

𝜎1/7 3.83503792910188743440596352304556229075793191563120267364995290118333434376

𝜎2/7 3.90552262486963359474770634729704334304335485614344510125833199745118590251

𝜎3/7 3.9336761249316475301629423034068376961919888579321262503796426394219444277

𝜎4/7 3.94888047338143164612276985400699517284211769665593443110571248796998855775

𝜎5/7 3.95840758598790036230814756183198953261938222314157815892529962563405351432

𝜎6/7 3.96493912399179700316008914287763178706759395252575529958530660151113628971

𝜎1/8 3.85458637898384354311417583813143693983761576416408160347776426884994309001

𝜎2/8 3.91676827513467262903412258535466888054352047889539064127053967483478888667

𝜎3/8 3.9415836638454334258183901623574182066993521480478110621006842602101803897

𝜎4/8 3.95498049586147992065104867252063569453275661060868694861407753550456622874

𝜎1/100 3.98777996732071559037763102678822693384321379116713456788218604592031382612

𝜎1/1000 3.99877313184611435766227691210259164941870370923944392847945268676929025145

𝜎1/10000 3.99987726430579688701577576849952606194788120906511345012748701701368273836

𝜎1/100000 3.9999877259415604621971766541069748479346830675557480652936656464341670388

𝜎1000000 3.99999877258926562276049487973384562091989390269887436636165074578599993801

XI- Quelques relations entre les constances sigma et la fonction gamma Nous en déduisons grâce à notre travails quelques valeurs sigulières de la fonction gamma. 1) Sur les quarts d’entiers

[Γ (1

4)] = √2𝜎2√𝜋 (9.1)

En utilisant le symbole de Pochhammer x(n), nous obtenons :

[Γ (𝑛 +1

4)] = x(n) [Γ (

1

4)] = x(n)√2𝜎2√𝜋 (9.2)

2) Plus généralement ∇𝑛 ∈ ℕ∗

[Γ (1

2𝑛)] = √n𝜎𝑛Γ (

1

𝑛) (9.3)

En utilisant le symbole de Pochhammer x(n), nous obtenons :

[Γ (𝑛 +1

2𝑘)] = x(k)√k𝜎𝑛Γ (

1

𝑘) (9.4)

3) Avec la formule (9.2), il devient plus aisé de construire des gammas à

valeurs singulières avec pour des termes en 2𝑛.

[Γ (𝑛 +1

8)] = x(4)√4𝜎4Γ (

1

4) (9.5)

En considérant la formule d’entrée (9.1), nous obtenons :

[Γ (𝑛 +1

8)] = x(4)√4𝜎4√2𝜎2√𝜋 (9.6)

4) Pour la fonction 1/16

[Γ (𝑛 +1

16)] = x(8)√8𝜎8√4𝜎4√2𝜎2√𝜋 (9.7)

5) Ce qui de manière récurente nous conduit à :

[Γ (𝑛 +1

2𝑛)] = x(2

n−1)2n−2√𝜎2𝑛−1√𝜎2𝑛−2√…√2𝜎2√𝜋 (9.8)

6) Avec un nombre entier p quelconque :

[Γ (𝑛 +1

2𝑛−1𝑝)] = x(p2

n−2)2n−2

√

p𝜎2𝑛−2√p𝜎2𝑛−1√…√p𝜎𝑝 [Γ (1

𝑝)] (9.9)

Théorème 22. Tous les nombres gamma peuvent s’exprimer comme une combinaison des constances de degré symétrique et asymétrique qui ont été définies. Référence : Wikipedia source.

Karl Rawer, Wave Propagation in the Ionosphere, Dordrecht, Kluwer Academic Publishers, 1993.

O. R. Rocktäschel, Methoden zur Berechnung der Gammafunktion für komplexes Argument, université technologique de Dresde, 1922, thèse de doctorat.

P. E. Böhmer, Differenzengleichungen und bestimmte Integrale, Leipzig, Köhler Verlag, 1939.

Serge Lang, Complex Analysis, Springer, coll. « GTM » (no 103), 1998 (ISBN 978-0-38798592-3, lire en

ligne [archive]), p. 418.

Paul Heinrich Fuss, Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIIIe siècle, vol. II, St. Pétersbourg, Académie impériale des sciences, 1843 (lire en ligne [archive]).

Detlef Gronau, « Why is the gamma function so as it is? », Teaching Mathematics and Computer Science, vol. 1, no 1, 2003, p. 43-53.

Jonathan M. Borwein et Robert M. Corless, « Gamma and Factorial in the Monthly », American Mathematical Monthly, Mathematical Association of America, vol. 121, mars 2017,