Labouidya_com-num_master 2012 (Chapitre II) Bande Transposée Partie II

Pr. Ouidad LABOUIDYA COMMUNICATIONS NUMÉRIQUES

Pr. Ouidad LABOUIDYA [email protected]

Master Réseaux et Télécommunications

2011 - 2012

mailto:[email protected]


PLAN DU COURS

Chapitre I : Introduction aux communications numériques.

Chapitre II : Modulations et transmission en bande transposée.

Chapitre III : Modulations et transmission en bande de base.

ENSEIGNEMENT DES COMMUNICATIONS NUMERIQUES

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PLAN DU COURS

Chapitre I : Introduction aux communications numériques.

Chapitre II : Modulations et transmission en bande transposée.

Chapitre III : Modulations et transmission en bande de base.

ENSEIGNEMENT DES COMMUNICATIONS NUMERIQUES

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CHAPITRE II : MODULATIONS ET TRANSMISSION EN BANDE TRANSPOSÉE

1. Introduction

2. Modulation par Déplacement d'Amplitude (ASK).

3. Modulation par déplacement de fréquence (FSK)

4. Modulation par Déplacement de Phase (PSK).

5. Modulation d'amplitude sur deux porteuses en quadrature (QAM)

6. Applications

7. conclusion

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CHAPITRE II : MODULATIONS ET TRANSMISSION EN BANDE TRANSPOSÉE

1. Introduction

2. Modulation par Déplacement d'Amplitude (ASK).

3. Modulation par déplacement de fréquence (FSK)

4. Modulation par Déplacement de Phase (PSK).

5. Modulation d'amplitude sur deux porteuses en quadrature (QAM)

6. Applications

7. conclusion

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4. MODULATION PAR DÉPLACEMENT DE PHASE (PSK)

Les Modulations par Déplacement de phase (MDP) sont aussi souvent appelés

par leur abréviation anglaise : PSK pour "Phase Shift Keying".

Reprenons l'expression générale d'une modulation numérique :

→ Les signaux élémentaires ak(t) et bk(t) utilisent la même forme d'onde g(t) qui est

ici une impulsion rectangulaire, de durée T et d'amplitude égale à A si t appartient

à l'intervalle [0, T[ et égale à 0 ailleurs.

On a toujours :

Soit :

CHAPITRE II Modulations et transmission en bande transposée

𝑚 𝑡 = 𝑅𝑒 𝑐𝑘 𝑡 . 𝑒𝑗 𝜔0𝑡+ 𝜑0

𝑘

𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑐𝑘 𝑡 = 𝑎𝑘 𝑡 + 𝑗 𝑏𝑘 𝑡

𝑎𝑘 𝑡 = 𝑎𝑘 . 𝑔 𝑡 − 𝑘𝑇 𝑒𝑡 𝑏𝑘 𝑡 = 𝑏𝑘 . 𝑔 𝑡 − 𝑘𝑇

𝑐𝑘 𝑡 = 𝑎𝑘 + 𝑗 𝑏𝑘 ∙ 𝑔 𝑡 − 𝑘𝑇 = 𝑐𝑘 . 𝑔 𝑡 − 𝑘𝑇

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Dans le cas présent, les symboles ck sont répartis sur un cercle, et par

conséquent :


𝑐𝑘 = 𝑎𝑘 + 𝑗 𝑏𝑘 = 𝑒𝑗𝜑𝑘

d’où : 𝑎𝑘 = 𝑐𝑜𝑠 𝜑𝑘 , 𝑏𝑘= 𝑠𝑖𝑛 𝜑𝑘

et 𝑎𝑘(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠 𝜑𝑘 ∙ 𝑔(𝑡 − 𝑘𝑇)

𝑏𝑘(𝑡) = 𝑠𝑖𝑛 𝜑𝑘 ∙ 𝑔(𝑡 − 𝑘𝑇)

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L'ensemble des phases possibles se traduit alors par les expressions suivantes :

Les symboles ck prennent leurs valeurs dans un alphabet 𝑒𝑗𝜑𝑘 de M > 2

éléments 𝑜ù 𝜑𝑘 est défini ci-dessus avec k = 0,1,…M-1.

Les ak et bk prennent simultanément leurs valeurs dans l'alphabet :


𝜑𝑘 = 𝜋

𝑀+ 𝑘 2𝜋

𝑀 𝑙𝑜𝑟𝑠𝑞𝑢𝑒 𝑀 > 2

𝜑𝑘= 0 𝑜𝑢 𝜋 𝑙𝑜𝑟𝑠𝑞𝑢𝑒 𝑀 = 2

cos (𝜑𝑘) 𝑒𝑡 sin (𝜑𝑘)

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Le signal modulé devient :

Soit, plus simplement, en ne considérant que l'intervalle de temps [kT, (k+1)T[ :

Cette dernière expression montre que la phase de la porteuse est modulée par

l'argument 𝜑𝑘 de chaque symbole ce qui explique le nom donné à la PSK.

L'expression de la PSK montre qu'il s'agit d'une modulation à enveloppe

constante. Cette propriété est intéressante pour des transmissions sur des

canaux non linéaires, ce qui fait de la PSK un outil de choix par exemple pour les

transmissions par satellites.


𝑚 𝑡 = 𝑅𝑒 𝑒𝑗𝜑𝑘 ∙ 𝑔(𝑡 − 𝑘𝑇) ∙ 𝑒𝑗 𝜔0𝑡+ 𝜑0

𝑘

= 𝑅𝑒 𝑔(𝑡 − 𝑘𝑇) ∙ 𝑒𝑗 𝜔0𝑡+ 𝜑0+𝜑𝑘

𝑘

𝑚𝑘 𝑡 = 𝑅𝑒 𝐴 ∙ 𝑒𝑗 𝜔0𝑡+ 𝜑0+𝜑𝑘

𝑚𝑘 𝑡 = 𝐴 ∙ cos 𝜔0𝑡 + 𝜑0 + 𝜑𝑘

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Modulation à "M-PSK" :

On appelle "M-PSK" une modulation par déplacement de phase (PSK)

correspondant à des symboles M-aires. La figure suivante montre différentes

constellations de PSK pour M = 2, 4 et 8.

La disposition des symboles sur un cercle se traduit non seulement par

enveloppe constante, mais aussi, par une énergie identique mise en œuvre pour

transmettre chaque symbole.

Constellation des symboles en modulation de phase M-PSK


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Exemple 1 : La modulation "2-PSK" :

La modulation 2-PSK est encore appelée par son abréviation anglaise : BPSK

pour "Binary Phase shift Keying".

C'est une modulation binaire (un seul bit est transmis par période T) :

n = 1, M = 2 et 𝜑𝑘 = 0 𝑜𝑢 𝜋

Le symbole 𝑐𝑘 = 𝑒𝑗𝜑𝑘 prend donc sa valeur dans l'alphabet {-1, 1}.

Ici, la modulation ne s'effectue que sur la porteuse en phase cos 𝜔0𝑡 + 𝜑0 .

C'est une modulation mono dimensionnelle. Le signal modulé s'écrit alors pour t

appartenant à l'intervalle [0, T[ :

𝑚 𝑡 = ± 𝐴 ∙ cos 𝜔0𝑡 + 𝜑0


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Exemple 1 : La modulation "2-PSK"

La constellation 2-PSK est représentée ci-dessous. On remarquera que cette

modulation est strictement identique à la modulation 2-ASK symétrique.

Constellation de la modulation de phase 2-PSK

Chronogramme de la modulation de phase 2-PSK


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Modulateur :

Le modulateur est constitué d'un multiplicateur qui effectue le changement de

fréquence sur un train numérique codé en NRZ.

Modulateur 2-PSK


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Démodulateur :

Le récepteur requiert l'utilisation d'une démodulation cohérente :

Démodulateur 2-PSK (synoptique simplifié)


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Démodulateur :

Soit 𝒓𝒌 𝒕 = 𝑩 ∙ 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝟎𝒕 + 𝝋𝟎 + 𝝋𝒌 le signal non bruité reçu par le récepteur

dans l'intervalle de temps [kT, (k+1)T[ .

Après multiplication avec la porteuse récupérée, on obtient :

𝑺𝟏 𝒕 = 𝑩 ∙ 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝟎𝒕 + 𝝋𝟎 + 𝝋𝒌 ∙ 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝟎𝒕 + 𝝋𝟎

Soit, après filtrage pour éliminer la composante à la fréquence 2f0 :

𝑺𝟐 𝒕 =𝑩

𝟐∙ 𝒄𝒐𝒔 𝝋𝒌

Le récepteur doit encore récupérer le rythme des symboles transmis, puis

échantillonner le signal S2(t) au milieu de chaque période.

Suivant le symbole émis –1 ou 1, 𝜑𝑘 prend la valeur 𝜋 ou 0 et le signe de S2(t)

devient négatif ou positif mettant en évidence la donnée binaire reçue "0" ou "1".


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Le spectre de la "2-PSK" :

Le spectre du signal en bande de base est le spectre de puissance de g(t) qui est

ici une impulsion rectangulaire :

Le spectre du signal modulé est décalé vers ±f0 (bande minimale pour un filtre de

Nyquist en cosinus surélevé) .


𝛾𝛼𝑚 𝑓 = 𝐴2 𝑇sin 𝜋𝑓𝑇

𝜋𝑓𝑇

2

1

𝑇(1 + 𝛼)

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Spectre en fréquence

Contenu en fréquence de la 2-PSK

En modulation BPSK, il n’y a qu’une seule fréquence de porteuse. Lorsque la

donnée binaire est 1, on envoie la porteuse et lorsqu’elle est 0, on envoie l’inverse

de la porteuse, soit un déphasage de 180°.


1

𝑇(1 + 𝛼)

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Exemple

Pour un modulateur BPSK avec une fréquence porteuse de 1 GHz et un débit

binaire de 10 Mbits/s, calculer :

1) Le nombre de bits par symbole.

2) La bande passante minimum avec un filtre ayant un α de 0,5.

3) L’efficacité spectrale.

4) Dessiner le spectre du signal émis.


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Solution

1) Chaque symbole ne peut prendre que 2 valeurs différentes, soit un niveau

logique 0 pour un déphasage de 180°, soit un niveau logique 1 pour un

déphasage de 0°. Il n’y a donc qu’un seul bit par symbole.

2) La bande passante minimum est R (1 + α) = 10 ˣ 106 (1 + 0,5) = 15 MHz.

3) L’efficacité spectrale est 10 Mbits/s / 15 MHz = 0,67 bits par seconde par Hertz

de bande passante.

4) Spectre du signal émis :


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Un autre exemple de modulation M-PSK est la modulation 4-PSK encore appelée

par son abréviation anglaise : QPSK pour "Quadrature Phase shift Keying".

C'est une modulation d'amplitude à deux niveaux sur chacune des porteuses en

quadrature. Dans ce cas :

Les bits du train binaire entrant sont groupés par 2 pour former des symboles

correspondant aux ck qui prennent alors leurs valeurs dans l’alphabet suivant

contenant 4 éléments :

Les ak et bk prennent simultanément leurs valeurs dans l'alphabet :


𝑛 = 2,𝑀 = 4 𝑒𝑡 𝜑𝑘 = 𝜋

4+ 𝐾 𝜋

2

𝑒𝑗𝜑𝑘 𝑜ù 𝜑𝑘 = 𝜋

4,3𝜋

4,5𝜋

4,7𝜋

4

cos (𝜑𝑘) 𝑒𝑡 sin (𝜑𝑘)

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Le tableau suivant précise les différentes valeurs en fonction du symbole à

transmettre :

Ce tableau met en évidence la relation simple qui existe entre les bits pairs et les

ak, et entre les bits impairs et les bk.


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En désignant par { ik } la suite des valeurs du train binaire au rythme de 𝑇𝑏 = 𝑇

2 ,

on obtient dans ce cas précis du tableau précédent :

Soit, en ne considérant que l'intervalle de temps [kT, (k+1)T[ :


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𝒂𝒌 = 𝟏 − 𝟐 ∙ 𝒊𝟐𝒌 𝒆𝒕 𝒃𝒌 = 𝟏 − 𝟐 ∙ 𝒊𝟐𝒌+𝟏

𝒎 𝒕 = 𝑨 ∙ 𝟏 − 𝟐 ∙ 𝒊𝟐𝒌 ∙ 𝒈 𝒕 − 𝒌𝑻 . 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝟎𝒕 + 𝝋𝟎 − 𝑨 ∙ (𝟏 − 𝟐 ∙ 𝒊𝟐𝒌+𝟏) ∙ 𝒈 𝒕 − 𝒌𝑻 . 𝒔𝒊𝒏(𝝎𝟎𝒕 + 𝝋𝟎)

𝒌𝒌

𝒎 𝒕 = 𝒂 𝒕 ∙ 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝟎𝒕 + 𝝋𝟎 − 𝒃 𝒕 . 𝒔𝒊𝒏(𝝎𝟎𝒕 + 𝝋𝟎)

𝒎𝒌 𝒕 = 𝑨 ∙ 𝟏 − 𝟐 ∙ 𝒊𝟐𝒌 ∙ 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝟎𝒕 + 𝝋𝟎 − 𝑨 ∙ 𝟏 − 𝟐 ∙ 𝒊𝟐𝒌+𝟏 ∙ 𝒔𝒊𝒏(𝝎𝟎𝒕 + 𝝋𝟎)

𝒎𝒌 𝒕 = 𝑨 ∙ 𝒂𝒌 ∙ 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝟎𝒕 + 𝝋𝟎 − 𝑨 ∙ 𝒃𝒌. 𝒔𝒊𝒏(𝝎𝟎𝒕 + 𝝋𝟎)




Le train binaire entrant { ik } est aiguillé en un train binaire :

→ {𝒊𝟐𝒌 } sur la voie en phase pour les bits pairs

→ {𝒊𝟐𝒌+𝟏 } sur la voie en quadrature pour les bits impairs.

La vitesse des suites { ak } et { bk } est 2 x plus lente que celle de la suite { ik }.


𝒎𝒌 𝒕 = 𝑨 ∙ 𝟏 − 𝟐 ∙ 𝒊𝟐𝒌 ∙ 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝟎𝒕 + 𝝋𝟎 − 𝑨 ∙ 𝟏 − 𝟐 ∙ 𝒊𝟐𝒌+𝟏 ∙ 𝒔𝒊𝒏(𝝎𝟎𝒕 + 𝝋𝟎)

𝒎𝒌 𝒕 = 𝑨 ∙ 𝒂𝒌 ∙ 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝟎𝒕 + 𝝋𝟎 − 𝑨 ∙ 𝒃𝒌. 𝒔𝒊𝒏(𝝎𝟎𝒕 + 𝝋𝟎)

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La constellation 4-PSK montre que l'affectation des bits aux points de la

constellation se fait en général selon un codage de Gray.

Constellation de la modulation de phase 4-PSK


"𝒊𝟐𝒌+𝟏 𝒊𝟐𝒌"

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On observe aussi que la phase du signal modulé m(t) peut changer de

0,±𝜋

2 𝑜𝑢 𝜋 radiants lors du passage d'un symbole à un autre.

Chronogramme de la modulation de phase 4-PSK


1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

4

5

6

7

8

8

9 10

9

10

1 0 0 1 1 0 0 0 1 1

10 01 10 00 11

{𝒊𝟐𝒌+𝟏}

{𝒊𝟐𝒌}

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Modulateur

Le schéma synoptique montre le démultiplexage du train binaire à l'entrée du

modulateur en deux trains binaires sur les voies en phase et en quadrature. Les

deux trains binaires sont alors codés en NRZ.


𝒎 𝒕 = 𝒂 𝒕 ∙ 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝟎𝒕 + 𝝋𝟎 − 𝒃 𝒕 . 𝒔𝒊𝒏(𝝎𝟎𝒕 + 𝝋𝟎)

{𝑖2𝑘+1}

{𝑖2𝑘}

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Démodulateur

La démodulation cohérente est applicable lorsque le récepteur a une connaissance

exacte de la fréquence et de la phase de la porteuse.


𝑺𝒂𝟏 𝒕 𝑺𝒂𝟐 𝒕

𝑺𝒃𝟏 𝒕

𝑺𝒃𝟐 𝒕

{𝑖2𝑘}

{𝑖2𝑘+1}

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Démodulateur

Le démodulateur 4-PSK est essentiellement constitué de deux démodulateurs

BPSK. En effet, le signal reçu est démodulé dans deux voies parallèles par deux

porteuses en quadrature.

Le signal reçu par le récepteur dans l'intervalle de temps [kT, (k+1)T[ est :

Pour la voie "a" et après multiplication avec la porteuse récupérée, on obtient :

Après filtrage pour éliminer la composante à la fréquence 2f0 :


𝒓𝒌 𝒕 = 𝒂𝒌 ∙ 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝟎𝒕 + 𝝋𝟎 − 𝒃𝒌. 𝒔𝒊𝒏(𝝎𝟎𝒕 + 𝝋𝟎)

𝑺𝒂𝟏 𝒕 = [𝑎𝑘∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜔0𝑡 + 𝜑0 − 𝑏𝑘 . 𝑠𝑖𝑛(𝜔0𝑡 + 𝜑0)] ∙ 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝟎𝒕 + 𝝋𝟎

𝑺𝒂𝟐 𝒕 = 𝒂𝒌𝟐

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Démodulateur

De la même manière on obtient pour la voie "b" :

Le récepteur doit encore récupérer le rythme des symboles transmis, puis

échantillonner les signaux Sa2(t) et Sb2(t) au milieu de chaque période. Les trains

binaires { i2k } et { i2k+1 } ainsi récupérés sont alors multiplexés pour obtenir le train

binaire { ik }.


𝑺𝒃𝟐 𝒕 = 𝒃𝒌𝟐

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Généralisation aux M-PSK

Modulateur

Le schéma du modulateur 4-PSK ne se généralise pas aux modulateurs M-PSK

pour M > 4.

Les bits du train entrant sont groupés par n = log2M bits pour former des

symboles ck qui sont répartis sur un cercle et vérifient :

ak module en amplitude la porteuse en phase et bk module en amplitude la

porteuse en quadrature.


𝑐𝑘 = 𝑎𝑘 + 𝑗𝑏𝑘 = 𝑒𝑗𝜑𝑘 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑎𝑘 = 𝑐𝑜𝑠 𝜑𝑘 , 𝑏𝑘 = 𝑠𝑖𝑛 𝜑𝑘

𝑒𝑡 𝜑𝑘 = 𝜋

𝑀+ 𝑘 2𝜋

𝑀

𝑚𝑘 𝑡 = 𝐴 ∙ cos 𝜔0𝑡 + 𝜑0 + 𝜑𝑘

𝑚𝑘 𝑡 = 𝐴 ∙ cos 𝜔0𝑡 + 𝜑0 𝑐𝑜𝑠 𝜑𝑘 − 𝐴 ∙ sin 𝜔0𝑡 + 𝜑0 𝑠𝑖𝑛 𝜑𝑘

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Modulateur

Une solution générale pour générer les ak et les bk à partir du train entrant { ik }

est de faire intervenir deux convertisseurs N/A ainsi qu'une logique de contrôle :

Modulateur M-PSK


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Démodulateur

De même le démodulateur fait intervenir deux convertisseurs A/N ainsi qu'une

logique de décodage pour déterminer les symboles puis régénérer les bits reçus :

Démodulateur M-PSK


𝑺𝒂𝟏 𝒕 𝑺𝒂𝟐 𝒕

𝑺𝒃𝟏 𝒕

𝑺𝒃𝟐 𝒕

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Spectre et efficacité spectrale

Pour une même rapidité de modulation 𝑅 =1

𝑇 :

→ le spectre du signal modulé de la M-PSK est identique à celui du signal 2-PSK

(et donc largeur de bande B constante).

→ le débit binaire, 𝐷 =1

𝑇𝑏, de la M-PSK est multiplié par n = log2M par rapport

celui de la 2-PSK.


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Spectre et efficacité spectrale


𝑇 :

→ l'efficacité spectrale η =𝐷

𝐵 est multiplié par n = log2M .

Gain obtenu sur le débit binaire et sur l'efficacité spectrale pour diverses

modulations M-PSK pour une même rapidité de modulation.


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Les performances

L'augmentation de M réduit la distance entre symboles adjacents sur la

constellation et cela dégrade naturellement les performances.

Comme nous l'avions fait pour les M-ASK, il est possible de comparer les M-PSK

entre elles. En fonction du rapport 𝐸𝑏

𝑁0, on trouve que la probabilité d'erreur par

symbole est donnée par la relation :

→ Eb représente l'énergie émise par bit,

→ N0 représente la densité spectrale de puissance de bruit.


𝑃𝑠 𝑒 = erfc 𝑙𝑜𝑔2 𝑀 ∙ 𝐸𝑏

𝑁0 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜋

𝑀 avec erfc 𝑧 = 1 − erf 𝑧 =

2

𝜋 𝑒−𝜉

2

𝑑𝜉∞

𝑧

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Les performances

On constate que pour conserver une

probabilité d'erreur par symbole 𝑃𝑠(e)

constante lorsque M augmente, il faut

aussi augmenter le rapport 𝐸𝑏

𝑁0

Il faut donc augmenter l'énergie émise

par bit Eb.

Probabilité d'erreur par symbole de la PSK


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Les performances

Pour M = 8, le rapport 𝐸𝑏

𝑁0 nécessaire à une probabilité d'erreur donnée est 4 dB

plus grand que pour M = 4.

Pour M élevé, le rapport 𝐸𝑏

𝑁0 doit être augmenté de 6 dB chaque fois que l'on

double M c'est-à-dire chaque fois que l'on ajoute un bit par symbole émis.

De même que pour l’ASK, la probabilité d'erreur par bit Pb(e) peut s'écrire :


𝑃𝑏 𝑒 = 𝑃𝑠(𝑒)

𝑙𝑜𝑔2 𝑀

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Conclusion sur la PSK :

La tentation d'augmenter M (c'est à dire le nombre de bits transmis par symbole) est

grande mais présente les avantages et les inconvénients suivants :

L'efficacité spectrale augmente, (pour une largeur de la bande

B donnée).

La probabilité d'erreur par symbole Ps(e) augmente aussi, ce qui nécessite

d'augmenter le rapport signal sur bruit, cette augmentation restant raisonnable

jusque M = 16.


η = 1

𝑇𝐵 𝑙𝑜𝑔2 𝑀

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Conclusion sur la PSK :

Nous avons vu que la complexité de l'ensemble émission/réception de la PSK

augmente avec M. Cependant cette complexité n'est pas très élevée et fait de la

PSK une modulation fréquemment utilisée pour M allant de 2 à 16 avec de

bonnes performances.

Dans les inconvénients de la PSK, citons l'existence de sauts de phase

importants de ± π radiants qui font apparaître des discontinuités d'amplitude.

Les modulations décalés sont une solution à ce problème.


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DPSK (Differential Phase Shift Keying)

C’est une modulation différentielle, qui code l’information binaire dans un écart de

phase avec le symbole précédent : Δ𝜑𝑖 = 𝜑𝑖 − 𝜑𝑖−1 = 𝑘 2𝜋

𝑀 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑘 = 0, … ,𝑀 − 1

Le niveau binaire 1 correspond à une inversion de phase (180°) et le niveau

binaire 0 à aucun changement de phase (0°).

Contrairement à la BPSK, il n’est pas nécessaire que la porteuse régénérée soit

cohérente puisque l’information n’est pas dans la phase elle-même (comme pour

la BPSK), mais dans la différence de phase par rapport au symbole précédent.

"1" "0"

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Modulation 8DPSK :

On remarquera que le codage utilisé est un code de Gray qui a pour particularité de

ne présenter qu’un bit différent entre deux moments voisins. Ceci permet de limiter

le nombre d’erreurs en cas de mauvaise interprétation d’un saut de phase relatif.

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Il est à noter que la BPSK, résiste un peu moins bien au bruit comme le montre la

figure ci-après :

→ On constate que pour un même taux

d’erreur (TEB) de 10−8, il faut un rapport

signal à bruit (𝐸𝑏 𝑁0 ) de 12 dB pour

la QPSK et de plus de 14 dB pour

DQPSK.

𝐸𝑏 𝑁0 𝑑𝐵

10−8

BE

R

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Comparaison de l’ASK et la PSK

Cette comparaison en fonction de M peut se faire à partir des courbes de probabilité

d'erreur par symbole Ps(e) :

Par exemple, pour une probabilité d'erreur par symbole Ps(e) de 10-5 et pour un

rapport signal sur bruit 𝐸𝑏

𝑁0 de 14 dB, l’ASK ne peut émettre que 2 bits par

symbole (M = 4), là où la PSK peut en émettre 3 (M = 8).

Ceci donne un net avantage à la PSK pour M allant de 2 à 16.

→ Pour des valeurs de M supérieures à 16 la dégradation des performances de

la PSK conduit à rechercher d'autres modulations aux prix d'une complexité

accrue des modulateurs et des démodulateurs.

Du point de vu de la simplicité de réalisation c'est la l’ASK qui est avantagée,

ceci venant du fait qu'elle est toujours mono dimensionnelle


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5. MODULATION D'AMPLITUDE SUR DEUX PORTEUSES EN QUADRATURE (QAM)

Les modulations d'amplitude sur deux porteuses en quadrature (MAQ) sont aussi

appelées par leur abréviation anglaise : QAM pour "Quadrature Amplitude

modulation". C'est une modulation dite bidimensionnelle.

L’ASK et la PSK ne constituent pas une solution satisfaisante pour utiliser

efficacement l'énergie émise lorsque le nombre de points M est grand.

→ dans l’ASK les points de la constellation sont sur une droite, et dans la PSK

les points sont sur un cercle.

→ la probabilité d'erreur est fonction de la distance minimale entre les points

de la constellation.

La meilleure modulation est celle qui maximise cette distance pour une

puissance moyenne donnée.

Un choix plus rationnel est alors une modulation qui répartit les points

uniformément dans le plan.


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Pour faire cela, nous avons vu que le signal modulé m(t) peut s'écrire :

et que les deux signaux a(t) et b(t) ont pour expression :

Le signal modulé m(t) est donc la somme de deux porteuses en quadrature,

modulées en amplitude par les deux signaux a(t) et b(t).

En effet, la modulation d'amplitude deux porteuses en quadrature peut être

considérée comme équivalente à la fois à la modulation d'amplitude et de phase

d’une seule porteuse.


𝑚 𝑡 = 𝑎 𝑡 . cos (𝜔0𝑡 + 𝜑0) − 𝑏 𝑡 . sin (𝜔0𝑡 + 𝜑0)

𝑎 𝑡 = 𝑎𝑘 . 𝑔 𝑡 − 𝑘𝑇

𝑘

𝑒𝑡 𝑏 𝑡 = 𝑏𝑘 . 𝑔 𝑡 − 𝑘𝑇

𝑘

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Modulation à " M-QAM " :

"QAM" : une généralisation de l’ASK et de la PSK:

En ne considérant le signal m(t) que pendant une période T, on a :

avec : 𝑐𝑘 = 𝑎𝑘 + 𝑗 𝑏𝑘 = 𝐴𝑘 ∙ 𝑒𝑗𝜑𝑘

en posant : 𝐴𝑘 = 𝑎𝑘2 + 𝑏𝑘

2 𝑒𝑡 𝜑𝑘 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔( 𝑏𝑘

𝑎𝑘 )

→ Le signal m(t) s'écrit alors : 𝑚𝑘 𝑡 = 𝐴𝑘 . cos 𝜔0𝑡 + 𝜑0 + 𝜑𝑘


𝑚𝑘 𝑡 = 𝑎𝑘 . cos 𝜔0𝑡 + 𝜑0 − 𝑏𝑘 . sin 𝜔0𝑡 + 𝜑0

= 𝑅𝑒[ 𝑎𝑘 + 𝑗 𝑏𝑘 ∙ 𝑒𝑗 𝜔0𝑡+ 𝜑0 ]

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"QAM" : une généralisation de l’ASK et de la PSK:

Cette écriture montre que la modulation QAM peut être considérée comme une

modulation simultanée de la phase et de l'amplitude :

→ Ainsi la modulation de phase PSK peut être considérée comme une

modulation QAM où Ak est constant.

→ De même, la modulation d'amplitude ASK peut être considérée comme

une modulation QAM où les bk sont nuls


𝑚𝑘 𝑡 = 𝐴𝑘 . cos 𝜔0𝑡 + 𝜑0 + 𝜑𝑘

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Les constellations M-QAM :

Intérêt :

Le signal m(t) est une combinaison de deux porteuses en quadrature modulées en

amplitude par des symboles ak et bk indépendants prenant très souvent leurs

valeurs dans un même alphabet à M éléments.

Exemples

La 16-QAM est construite à partir de symboles ak et bk qui prennent leurs valeurs

dans l'alphabet {±d, ±3d} où d est une constante donnée. On a donc 16 symboles

de 4 bits. Nous pouvons mettre ceux-ci sur le cercle mais les points de la

constellation seront très serrés donc le taux d'erreur va augmenter.

La 16-QAM a été souvent utilisée pour la transmission sur ligne téléphonique du

RTC (à 9600 bit/s) et pour les faisceaux hertziens à grande capacité (140

Mbits/s) développés dans les années 1980.


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Modulation et démodulation

Le signal m(t) est une combinaison de deux porteuses en quadrature modulées

en amplitude par des symboles ak et bk indépendants,

Simplification du modulateur et du démodulateur.

Les { ik } entrant au modulateur sont facilement divisés en deux trains {ak} et { bk.}

Modulateur QAM-M


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Modulation et démodulation

La réception d'un signal QAM fait appel à une démodulation cohérente et par

conséquent nécessite l'extraction d'une porteuse synchronisée en phase et en

fréquence avec la porteuse à l'émission.

Le synoptique du démodulateur M-QAM est très voisin de celui proposé pour la

démodulation PSK.

Le signal reçu est démodulé dans deux branches parallèles, sur l'une avec la

porteuse en phase et sur l'autre avec la porteuse en quadrature.

Les signaux démodulés sont convertis par deux CAN, puis une logique de

décodage détermine les symboles et régénère le train de bits reçus.


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La première constellation QAM généralement rencontrée est la 16QAM. La

raison pour laquelle elle est habituellement la première utilisée, c'est que un bref

examen révèle que le 2QAM et 4QAM sont en fait équivalentes respectivement à

une BPSK et une QPSK :


2QAM : 1 valeur d’amplitude et 2 valeurs de phase 4QAM : 1 valeur d’amplitude et 4 valeurs de phase

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Exemple la 8QAM :

Une telle modulation requiert donc 23 soit 8 combinaisons binaires différentes. Dans

notre exemple, nous prendrons 2 amplitudes combinées avec 4 phases différents.

La table de correspondance pourra être du type :


Symbole Amplitude Phase

000 1 0

001 2 0

010 1 𝜋/2

011 2 𝜋/2

100 1 𝜋

101 2 𝜋

110 1 3𝜋/2

111 2 3𝜋/2

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Exemple la 8QAM :

Exemple de codage de la suite binaire 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 à partir de la table ci-

dessus :

En outre, la performance du taux d'erreur de la 8-QAM est proche de celle de

16QAM : seulement environ 0,5 dB de mieux (http : // en.wikipedia.org /wiki/

Quadrature_amplitude_modulation),

Mais son débit de données est seulement trois quarts de celui de la 16QAM.


100 101 011 100

Phase 𝜋 𝜋 𝜋

2 𝜋

Amplitude

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Exemple la 16QAM :

Soit à coder l’information 1100 en modulation QAM avec 4 bits par symbole

(16QAM). On utilise les deux premiers bits pour la porteuse Q et les deux autres

pour la porteuse I selon une table de vérité arbitraire à priori (dans cet exemple, on

utilise une constellation normalisée : code Gray). Le résultat de l’addition pondérée

de I et de Q donne un vecteur résultant d’amplitude 𝐴𝑘 et de phase 𝜑𝑘 données.


11 00

Q = 11 (bk = 3) ; I = 00 (ak = -1)

𝐴𝑘 = 𝑎𝑘2 + 𝑏𝑘

2 = 10 ≌ 3,163

𝜑𝑘 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (𝑏𝑘𝑎𝑘) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 −3 ≌ 108°

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Exemple la 16QAM :

Cette constellation n’utilise pas de code Gray, dans ce cas là, le codage de

l’information 1100 donne :


11 00

Q = 11 (bk = -1) ; I = 00 (ak = -1)

𝐴𝑘 = 𝑎𝑘2 + 𝑏𝑘

2 = 2

𝜑𝑘 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑏𝑘𝑎𝑘= 225°

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Pour la constellation 16QAM suivante (pour une autre disposition du code Gray), on

obtient le signal 16QAM correspondant :


2 315° 225°

10

3 2

198°

225°

18°

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Dans la pratique, nous augmentons le débit sans augmentation de bande

passante (D = n . R).

Des algorithmes plus ou moins compliqués permettent de définir des

constellations contenant de plus en plus de points, c'est à dire de plus en plus de

bits dans chaque symbole. Ainsi, nous utiliserons des modulations de type :


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Exemple

Pour un modulateur 16QAM avec une fréquence porteuse de 700 MHz et un débit

binaire de 1 Mbits/s, calculer (considérer un filtre en cosinus surélevé) :

1) Le nombre de bits par symbole.

2) La bande passante minimum théorique de Nyquist.

3) La bande passante minimum avec un filtre ayant un α de 0,3.

4) L’efficacité spectrale théorique et réelle.


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Solution

1) Avec 16 symboles différents, on peut coder 4 bits (M = 16 = 24).

2) Le débit des symboles est R = D / n = 1 Mbits/s / 4 = 0,25 ˣ 106 bauds.

Selon le théorème de Nyquist, la bande passante minimum théorique avec des

filtres parfaits est R = 0,25 MHz (filtre en cosinus surélevé).

3) La bande passante réelle est R (1 + α) = 0,25 ˣ 106 (1 + 0,3) = 0,325 MHz.

4) L’efficacité spectrale théorique est : 1 Mbits/s / 0,25 MHz = 4 bits/s/Hz

L’efficacité spectrale réelle est : 1 Mbits/s / 0,325 MHz = 3,08 bits/s/Hz


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Efficacité spectrale :


𝑇 :

→ le débit binaire, 𝐷 =1

𝑇𝑏, de la M-QAM est multiplié par n = log2M par rapport

celui de la 2QAM.

→ l'efficacité spectrale η =𝐷

𝐵 est multiplié par n = log2M pour une largeur de

bande B donnée.

Gain obtenu sur le débit binaire et sur l'efficacité spectrale pour diverses

modulations M-QAM pour une même rapidité de modulation. L'intérêt

d'augmenter M, même au prix d'une complexité accrue, est évident.


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Efficacité spectrale :

Si des taux de données au-delà de ceux offerts par les 8-PSK sont nécessaires,

il est plus judicieux de passer à la QAM car elle réalise une plus grande distance

entre les points adjacents dans le plan IQ en distribuant les points plus

uniformément.

Seulement cela fait augmenter le facteur de complication au niveau du récepteur,

c’est que les points n’ont plus tous la même amplitude et donc le démodulateur

doit maintenant détecter correctement la phase et l’amplitude, plutôt que

simplement la phase.


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6. APPLICATIONS

Les divers types de modulations que nous avons vus ne sont que des exemples.

Le principe reste cependant toujours le même, à savoir:

Construire des algorithmes qui permettent de passer le plus d'informations

possible dans une largeur de canal donnée (le plus possible de bits par symbole,

avec le nombre maximum de symboles par seconde que l'on peut utiliser sans

déborder du canal).

Prévoir des solutions de repli lorsque la qualité du signal en réception se

détériore à cause du bruit électronique.


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6. APPLICATIONS

Les domaines d'applications des diverses techniques de transmission numérique

que nous venons d'exposer sont très variés. Nous citons :

Les modems téléphoniques : La transmission d'un grand débit sur le canal

téléphonique (B=3500 Hz environ) a nécessité la mise en œuvre de modulations

à grand nombre d'états comme la 16QAM, la 32QAM et la 128QAM. On assiste

aujourd'hui au développement de modems "VFast" dont le débit atteint 28 kbit/s

voir 56 kbit/s sur des liaisons de bonne qualité.

Les faisceaux hertziens : Au début de la numérisation, les faisceaux hertziens

utilisait la 4PSK, mais l'utilisation efficace du spectre radioélectrique disponible a

nécessité le développement de faisceaux hertziens à haut débit (jusqu’à 280

Mbit/s) utilisant des modulations à grand nombre d'états comme la 16QAM, la

64QAM et la 256QAM.

A l'opposé se trouvent les faisceaux à faible débit (2 Mbit/s) et à faible coût dans

lesquels l'efficacité spectrale n'est pas primordiale. Les modulations utilisées sont

en général des FSK-PC à 2 ou à 4 états.


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6. APPLICATIONS



Les transmissions par satellite : Les transmissions par satellite sont

caractérisées par une forte atténuation de l'espace et une puissance limitée de

l'émetteur à bord du satellite. Ces considérations privilégient l'efficacité en

puissance (l'immunité au bruit) contre l'efficacité spectrale des liaisons. Les

modulations les plus souvent utilisées sont la 2PSK, la 4PSK et la 8PSK.

Toutefois, on assiste aujourd'hui à un intérêt croissant à utiliser les modulations

16PSK et 16QAM associées à un codage puissant.

La radiodiffusion : La technique retenue pour la radiodiffusion numérique

sonore est le COFDM (Coded Orthogonal Frequency Division Multiplexing) qui

est une technique de transmission multiporteuse associée à du codage de canal

et à de l'entrelacement (Elle n’entre pas dans le cadre de ce cours). Elle

nécessite une modulation à grande efficacité spectrale comme la 64QAM.


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6. APPLICATIONS



Les radiocommunications avec les mobiles : Les systèmes cellulaires

américains et japonais utilisent une modulation différente de celle employée dans

le système européen.

→ La modulation utilisée aux Etats-Unis et au Japon est la 𝜋/4-DQPSK qui est une

4PSK dont on tourne les axes d'un angle de 𝜋 /4 d'un symbole au suivant.

→ La modulation utilisée en Europe, appelé GSM (Groupe Spécial Mobile), est une

modulation à enveloppe constante connue sous le nom GMSK (Gaussian

Minimum Shift Keying). C'est une variante de la modulation MSK dont les

impulsions à l'entrée du modulateur sont de forme gaussienne.


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7. CONCLUSION

L'extraordinaire variété des applications que nous venons d'exposer met en

évidence l'importance capitale des différentes techniques de transmission

numérique sur porteuse.

Un intérêt majeur des transmissions numériques réside dans la possibilité de leur

insertion harmonieuse dans les réseaux intégrés numériques qui se développent

de jour en jour.

Un autre avantage réside dans la possibilité de conserver l'intégrité de

l'information à transmettre, ce qui est tout à fait impossible avec une transmission

analogique.

Les systèmes modernes de communication numérique sont complexes et

requièrent des circuits de modulation et de démodulation de plus en plus

sophistiqués.

Le choix d'un type de modulation est toujours déterminé par les contraintes de

l'application.


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Documents

Labouidya_com-num_master 2012 (Chapitre II) Bande Transposée Partie II