LE PUITS DOUBLE

L’EXEMPLE STANDARD DE LA MOLECULE D’AMMONIAC

I.  EXERCICE  PRELIMINAIRE:  EFFET  TUNNEL

I-1/ Soit une barrière de potentiel rectangulaire (Fig. 1), unidimensionnelle, de largeur a et de hauteur V0 (V(x)=V0 pour

€

0 ≤ x ≤ a , V(x)=0 partout ailleurs). On se propose d’étudier la transparence de cette barrière pour une particule de masse m et d’énergie E

€

(E ≤V0) .

V(x)

V0

a0

E

Figure 1 : Barrière de potentiel

Montrer que le coefficient de transmission (ou transparence) d’une telle barrière, pour la particule considérée, peut s’écrire :

€

T = ch2βa +14βα−αβ

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

2

sh2βa⎡

⎣ ⎢ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ⎥

−1

= 1+14βα

+αβ

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

2

sh 2βa⎡

⎣ ⎢ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ⎥

−1

(1)

où

€

α 2 =2mE2

et

€

β 2 =2m(V0 − E)2

(2)

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I-2/ On remarque que T ne dépend que des paramètres sans dimension :

€

X =EV0

≤1 et

€

aλ*

où

λ* est la longueur d’onde réduite de de Broglie de la particule à l’intérieur de la   barrière  

€

λ* =λ2π

=1β

. On peut donc construire un réseau de courbes universelles de T en coordonnées

réduites :

€

T = f X, aλ*

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ .

Montrer que :

€

T = 1+sh 2 a

λ*⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

4X(1− X)

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

−1

(3) .

I-3/ Tracer ln T(x) en fonction de

€

aλ*

pour X=1 ,  X=0.75, X=0.5, variations de la transparence

logarithmique de la barrière en fonction de sa largueur réduite.

I-­4/  Montrer  que  :

  -­‐Si  la  largeur  de  la  barrière  est  faible  :  

€

T ≈1− mV0a2

22X (4)

-Si la barrière est très large :

€

lnT ≈ −2aλ*

+ ln 16X(1− X)[ ] (5)

Ce dernier résultat est-il cohérent avec l’allure du réseau de courbe tracé précédemment ?

I-5/ On se place maintenant dans le cas usuel où X n’est pas trop voisin de 0 ou de 1 (par

exemple 0.001<X<0.999). On suppose de plus

€

aλ*

≈10. Comparer dans ce cas l’importance

relative des deux termes de l’expression (5). Conclusion?

I-6/ Que vaut la transparence de la barrière dans le cas où l’énergie de la particule est juste égale à la hauteur de la barrière (attention à l’ordre des limites!!!)? Comparer cette valeur avec celle que donnerait la mécanique classique.

I-7/ Comment obtenir sans calcul (ou presque!) la formule (3) dans le cas où E>V0. Dans ce cas (où maintenant X>1), tracer maintenant T(x).

Les gaz rares sont complètement transparents à des électrons de 0.7 eV (effet Ramsauer – Townsend). Comment expliquez-vous ce phénomène ?

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II.  UN  MODELE  DE  LA  MOLECULE  D’AMMONIAC

Il existe de nombreuses situations physiques où le potentiel auquel est soumis une particule possède plusieurs minima et présente l’allure d’une succession de puits. Dans le cas le plus simple, on a un puis double. Un exemple standard est fourni par la molécule d’ammoniac NH3 si l’on s’intéresse à la position de l’atome d’azote N par rapport au plan défini par les trois atomes d’hydrogène H. On dit en général que la forme de la molécule est pyramidale. Ceci veut dire que l’atome N est en équilibre (par rapport aux forces de liaison moléculaires) lorsqu’il se trouve à une distance déterminée des trois atomes H (figure 2). Il existe donc deux positions d’équilibre, symétriques par rapport au plan, soit deux minima de la fonction potentiel (figure 3). Etudions le comportement d’une particule dans un tel potentiel à l’aide d’un modèle à potentiel plat par morceaux comme celui représenté en trait pointillé sur la figure (3).

H

HH

N

N

HH

H

Figure 2 : Pour une position donnée des atomes d’hydrogène (aux sommets d’un triangle équilatéral), il existe deux positions d’équilibre de l’atome d’azote N, au sommet d’une pyramide de part et d’autre du plan

des hydrogènes.

V(x)

x

V0

a

b

a

-b 0

Figure 3 : Variations en fonction de x de l’énergie potentielle V(x) de la molécule. V(x) présente deux minima séparés par un barrière de potentiel due à la répulsion pour x petit, entre l’atome d’azote et les trois hydrogènes. En trait pointillé nous avons représenté le potentiel plat par morceaux utilisé pour approximer V(x).

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II-1. Puits simple infini

a) Donner l’expression des énergies propres En et des fonctions d’onde ϕn d’une particule piégée dans un puits de potentiel infini de largeur a.

b) A t=0 on considère que la particule est dans un état de superposition linéaire de l’état n=1

et n=2 :

€

Ψ(x, t = 0) =12ϕ1(x) +ϕ 2(x)( )

Déterminer l’évolution de la fonction d’onde

€

Ψ(x, t) en fonction du temps t. Calculer

également

€

Ψ(x,t)2 . Que peut-on en déduire pour la particule ?

II-2. Double puits infini.

   

V(x)

x0

a

-b b

Figure 4 : Modèle du double puits infini.

Avant de calculer les fonctions propres et valeurs propres de l’Hamiltonien correspondant au potentiel carré de la figure 3, nous allons dans un premier temps supposer que la barrière de potentiel V0 est infinie. Cela nous permettra ensuite de mieux comprendre les conséquences de l’effet tunnel à travers la barrière finie. Nous considérons donc tout d’abord une particule soumise à un potentiel V(x) constitué de deux puits infinis de largeur a centrés en x=±b (figure 4). Si la particule est dans un puits, elle ne peut pas passer dans l’autre.

a) En utilisant les résultats de la question précédente, donner l’expression des fonctions d’onde

€

ϕGn et

€

ϕDn correspondant aux cas où la particule est dans le puits de gauche ou dans le

puits de droite. Donner le spectre d’énergie de la molécule en précisant la dégénérescence des différents niveaux. Dessiner l’allure de ces fonctions dans le double puits pour n=1.

b) On introduit maintenant les fonctions d’onde symétrique

€

ϕS1 et antisymétrique

€

ϕA1 obtenues

par superposition linéaire de

€

ϕG1 et

€

ϕD1 :

€

ϕS1 =

12ϕG1 +ϕD

1( ) et

€

ϕA1 =

12−ϕG

1 +ϕD1( )

Dessiner l’allure des fonctions

€

ϕS1 et

€

ϕA1 et donner leurs énergies propres ES et EA.

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II-3. Molécule d’ammoniac : double puits séparés par une barrière de potentiel finie.On se place maintenant dans le cadre d’une barrière de potentiel finie comme présenté sur la figure 3.

A l’intérieur des deux puits de potentiel (quand V(x)=0), la fonction d’onde est de la forme :

€

χDn (x) = Asin k(b +

a2− x)

⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥ si b − a

2≤ x ≤ b +

a2

χGn (x) = ʹ′ A sin k(b +

a2

+ x)⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥ si b − a

2≤ −x ≤ b +

a2

où k est relié à l’énergie

€

E =2k 2

2m (6).

Vérifiez que, comme dans le cas précédent,

€

χG(D )n (x) s’annule toujours en

€

x = ±(b +a2) car V

(x) devient infini en ce deux points. En revanche, V0 étant fini,

€

χG(D )n (x) ne s’annule plus en

€

x = ±(b − a2) et

€

k ≠ nπa

.

a) Comme précédemment, on introduit les fonctions symétrique

€

χSn (x) et antisymétrique

€

χAn (x) combinaisons linéaires de

€

χGn (x) et

€

χDn (x) . Les valeurs propres associées seront

désignées par ES et EA ce qui permet de définir les valeurs correspondantes kS et kA du paramètre k à partir de la relation (6).

Etablir l’expression de

€

χSn (x) et

€

χAn (x) dans l’intervalle

€

-(b − a2) ≤ x ≤ b − a

2. On introduira le

paramètre α tel que

€

V0 =2α 2

2m.

En effectuant le raccord des fonctions d’onde dans les différentes parties de l’espace montrer notamment que kS et kA peuvent être déterminés à partir des équations suivantes :

€

tg(kSa) = −kS

α 2 − kS2coth α 2 − kS

2 b − a2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ (7)

€

tg(kAa) = −ka

α 2 − ka2th α 2 − kA

2 b − a2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ (8)

b) Quel est l’effet d’une barrière finie sur la dégénérescence de l’état symétrique et antisymétrique ? Montrer que dans le cas d’une barrière infinie, on retrouve bien les valeurs de kS et kA déterminées précédemment.c) Dessinez l’allure des fonctions

€

χSn (x) et

€

χAn (x) dans tout l’espace.

Dans le cas le plus général, les équations (7) et (8) ne peuvent être résolues que numériquement ou graphiquement.

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d) A t=0 on considère que la particule est dans un état de superposition linéaire de l’état

symétrique n=1 et de l’état antisymétrique n=1:

€

Ψ(x, t = 0) =12χS1 (x) + χA

1 (x)( )

Déterminer l’évolution de

€

Ψ(x,t)2 en fonction du temps t. En déduire la fréquence

d’inversion caractéristique de la molécule de NH3.

L’atome d’azote ayant tendance à attirer vers lui les électrons des trois atomes d’hydrogène, la molécule d’ammoniac possède un dipôle électrique proportionnel à la valeur moyenne <X> de la position de la particule fictive que nous avons étudiée. Ce dipôle est une fonction oscillante du temps et dans ces conditions la molécule d’ammoniac est susceptible d’émettre ou d’absorber du rayonnement électromagnétique à la fréquence d’inversion. Expérimentalement, la valeur de cette fréquence tombe dans le domaine des ondes centimétriques. En radioastronomie, on a pu ainsi mettre en évidence la présence de molécules d’ammoniac dans l’espace interstellaire.

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