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L'ampli� ateur opérationnel mode tension
Table des matières
1 L'ampli� ateur opérationnel idéal 3
1.1 Dé�nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Modélisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Deux exemples typiques d'utilisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.1 Montage non-inverseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.2 Montage inverseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 L'ampli� ateur opérationnel réel 5
2.1 Spé i� ations statiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.1 L'ex ursion maximum de la tension de mode ommun d'entrée . . 6
2.1.2 L'ex ursion maximum du signal de sortie . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.3 La tension de dé alage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.4 Les ourants de polarisation et de dé alage . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Spé i� ations dynamiques petit signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2.1 Le gain de mode di�érentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2.2 Le gain de mode ommun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2.3 La réje tion des alimentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.4 La fréquen e de transition et la marge de phase . . . . . . . . . . 8
2.2.5 Les résistan es d'entrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.6 Les apa ités d'entrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.7 La résistan e de sortie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.8 La apa ité de sortie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Le bruit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4 Spé i� ation dynamique grand signal :le slew-rate . . . . . . . . . . . . . 9
2.5 Interdépendan e des gains parasites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 L'ampli� ateur opérationnel à sortie di�érentielle 10
4 Stabilité en bou le fermée 11
4.1 Stabilité en terme de diagramme de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.2 Ampli� ateur à un p�le . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.3 Ampli� ateur à deux p�les . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.3.1 Réponse fréquentielle et temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.3.2 Temps d'établissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.4 Stabilité en terme de marge de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.5 In�uen e d'un doublet p�le-zéro sur le temp d'établissement . . . . . . . 17
5 La ompensation 18
5.1 Le prin ipe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5.2 Dispositifs à un n÷ud haute impédan e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5.3 Dispositifs à deux n÷uds haute impédan e . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5.3.1 Compensation purement apa itive . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5.3.2 Compensation par dip�le RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1
5.3.3 Compensation a tive par suiveur de ourant . . . . . . . . . . . . 23
5.3.4 Cara téristiques des ir uits à deux n÷uds haute impédan e et ompensation par e�et Miller 23
2
1 L'ampli� ateur opérationnel idéal
1.1 Dé�nition
C'est un dispositif a tif banalisé permettant la réalisation de la plupart des fon -
tions analogiques linéaires ou non-linéaires par l'intermédiaire d'un réseau de réa tion
omposé d'éléments passifs ou éventuellement a tifs. Sa fa ilité d'utilisation en fait un dis-
positif essentiel de l'éle tronique analogique. Dans sa version non-di�érentielle l'ampli�-
ateur opérationnel mode tension (AOP) est représenté symboliquement par le s héma
fon tionnel de la �gure 1.
AOP
Figure 1 �
Symbole de l'AOP idéal
1.2 Modélisations
Con eptuellement un ampli� ateur opérationnel mode tension est un transdu teur
tension/tension (ampli� ateur de tension) idéal, 'est à dire ave une impédan e d'entrée
in�nie, une impédan e de sortie nulle, et possédant un gain en tension in�ni. Il est ainsi
dire tement modélisable par le modèle sour e de tension de la �gure 2.
)
e
eA ∝
e eA( Vs
Figure 2 �
Modéle sour e de tension de l'AOP idéal
En terme de théorie des réseaux éle triques, en régime linéaire, la tension de sortie
étant stru turellement bornée 'est à dire imposée par les omposants du réseau dans
lequel l'AOP est inséré, on est onduit à é rire pour l'entrée et la sortie les relations
pathologiques (physiquement non réalisables)
v1 = e+ − e− = 0 et i1 = 0et
v2 arbitraire et i2 arbitraire.
L'ampli� ateur opérationnel est ainsi modélisable par le modèle nullor
de la �gure 3.
3
V
i 1 i 2
V 1 2
Figure 3 �
Modéle nullor de l'AOP idéal
1.3 Deux exemples typiques d'utilisation
1.3.1 Montage non-inverseur
A
Vs
Z1
Z2
Ve
Figure 4 �
Montage non-inverseur
En onsidérant le ir uit de la �gure 4, ave
e− = V S Y2
Y1+Y2
et
e+ = V e
le modèle sour e de tension ave
V s = A(e+ − e−)
permet d'é rire ave A → ∞
V s
V e=
A
1 + A Y2
Y1+Y2
= 1 +Z2
Z1.
On notera que le modèle nullor ave e+ = e− soit
V e = V s Y2
Y1+Y2
onduit dire tement à l'expression de la fon tion de transfert.
4
1.3.2 Montage inverseur
Ve
A
Z1
Z2
Vs
Figure 5 �
Montage inverseur
En onsidérant le ir uit de la �gure 5, ave
e− = V S Y2+V e Y1
Y1+Y2
et
e+ = 0
le modèle sour e de tension ave
V s = A(e+ − e−)
permet d'é rire ave A → ∞
V s
V e=
−A Y1
Y1+Y2
1 + (−A Y1
Y1+Y2)(−Y2
Y1)= −Z2
Z1
.
On notera que le modèle nullor ave e+ = e− = 0 (prin ipe dit de "la masse virtuelle")
onduit dire tement à l'expression de la fon tion de transfert.
2 L'ampli� ateur opérationnel réel
Si on onsidère l'ampli� ateur opérationnel physiquement réalisable de la �gure 6,
ave son ir uit d'alimentation, il peut être onsidéré omme un hexap�le régi éle trique-
ment par le jeu d'équations grand signal
Ip+ = f(V ed, V ec, V al+, V al−, Is)Ip− = f(V ed, V ec, V al+, V al−, Is)Ial+ = f(V ed, V ec, V al+, V al−, Is)Ial− = f(V ed, V ec, V al+, V al−, Is)
dans lequel, onformément au hangement de variable utilisé dans les stru tures di�érentielles
V ed = V e+ − V e− est la tension di�érentielle d'entrée
et
5
Is
Val
VsIal
Ial
Ip
Ip
AOP
Ve
Ve
Val
Figure 6 �
L'ampli� ateur opérationnel réel
V ec = V e++V e−
2est la tension de mode ommun d'entrée.
Ces relations permettent de dé�nir un ensemble de spé i� ations statiques, grand signal
dynamiques et petit signal, ara térisant les propriétés de l'ampli� ateur opérationnel
réel.
2.1 Spé i� ations statiques
2.1.1 L'ex ursion maximum de la tension de mode ommun d'entrée
Cet indi e grand signal statique spé i�e la plage de variation de la tension de mode
ommun d'entrée
V emcmin < V ec < V emcmax
à l'intérieur de laquelle l'ampli� ateur reste en fon tionnement orre te, 'est à dire typ-
iquement, quand tous les transistors MOS d'entrée du dispositif reste en régime saturé.
2.1.2 L'ex ursion maximum du signal de sortie
Cet indi e grand signal statique spé i�e la plage de variation de sortie
V smin < V s < V smax
à l'intérieur de laquelle l'ampli� ateur reste en fon tionnement orre te, 'est à dire
typiquement, quand tous les transistors MOS de sortie du dispositif reste en régime
saturé.
2.1.3 La tension de dé alage
Par dé�nition, 'est la valeur ED0 de la sour e de tension statique qu'il faut pla er
en entrée de l'ampli� ateur pour avoir une tension de sortie nulle, 'est à dire telle que
V s(ED0, V ec, V al+, V al−, 0) = 0.
6
Ainsi, elle est donnée impli itement par
ED0 = f(V ec, V al+, V al−)
et omporte une omposante aléatoire et éventuellement une omposante systématique
de on eption.
2.1.4 Les ourants de polarisation et de dé alage
Les ourants de polarisation Ip+ et Ip− sont les ourants statiques né essaires à
la polarisation des transistors d'entrée de l'AOP. Ils peuvent être donnés en terme de
ourant moyen de polarisation
IP0 =Ip+ + Ip−
2
et de ourant de dé alage
ID0 =Ip+ − Ip−
2.
En te hnologie MOS, es ourants étant stru turellement trés faibles (de l'ordre du fA)
es indi es ne sont que trés rarement onsidérés.
2.2 Spé i� ations dynamiques petit signal
L'ampli� ateur opérationnel étant onvenablement polarisé, à partir d'un développe-
ment en série de Taylor au voisinage des di�érents ourants et tensions de repos, on peut
dé�nir les ara téristiques petit signal (in rémentales) suivantes.
2.2.1 Le gain de mode di�érentiel
C'est un indi e de performan e essentiel de l'ampli� ateur opérationnel :
Ad =∂V s
∂V ed=
vs
ved.
2.2.2 Le gain de mode ommun
S'il est formellement dé�ni par
Ac =∂V s
∂V ec=
vs
vec
trés souvent il est spé i�é en terme de rapport de réje tion du mode ommun
RRMC =| AdAc
| .
Comme la tension de dé alage, le gain de mode ommun omporte une omposante aléa-
toire et une omposante systématique. Si on onsidère la tension de dé alage ED0 omme
fon tion de la tension de mode ommun V ec, ave V al+ et V al− onstantes et Is nul, àpartir de
∂V s(ED0,V ec,V al+,V al−,0)∂V ec
= 0
on peut é rire
7
∂V s∂ED0
dED0 +∂V s∂V ec
dV ec = 0.
D'autre part, ave
∂V s∂ED0
= Ad et
∂V s∂V ec
= Ac,
on en déduit que
∂ED0
∂V ec= −Ad
Ac= − 1
RRMC.
Ainsi, l'inverse du rapport de réje tion du mode ommun peut être vue (et mesuré)
omme le résultat de la tension dedé alage produit par une variation de la tension de
mode ommun d'entrée [1℄.
2.2.3 La réje tion des alimentations
Si un signal parasite est superposé aux tensions d'alimentation, autant que faire e
peut, il doir être rejeté par l'ampli� ateur opérationnel. On spe i�e ainsi les deux indi es
de performan e
- le rapport de réje tion de l'alimentation positive : RRAL+ = Ad/ ∂V s∂V al+
- le rapport de réje tion de l'alimentation négative : RRAL− = Ad/ ∂V s∂V al−
2.2.4 La fréquen e de transition et la marge de phase
Par dé�nition, la fréquen e de transition est la fréquen e FT pour laquelle le gain
di�érentiel est égal à l'unité. A ette fréquen e parti ulière, usuellement on dé�nit la
marge de phase pour une impédan e de harge donnée par
MP = 180o − phase de Ad
2.2.5 Les résistan es d'entrée
De part la nature di�érentielle de l'entrée, on peut dé�nir
- la résistan e d'entrée di�érentielle : red = ∂V ed∂(Ip+−Ip−)
- la résistan e d'entrée du mode ommun : rec = 2 ∂V ec∂(Ip++Ip−)
On notera qu'en te hnologie MOS es deux résistan es stru turellement élevées sont
rarement onsidérées.
2.2.6 Les apa ités d'entrée
Tout ampli� ateur opérationnel présente sur ses entrees inverseuse et non-inverseuse
une apa ité parasite stru turelle ce+ et ce−.
2.2.7 La résistan e de sortie
rs =∂V s
∂Is.
2.2.8 La apa ité de sortie
Tout ampli� ateur opérationnel présente sur sa sortie une apa ité stru turelle cs.
8
2.3 Le bruit
Le bruit
de ha une des deux voies d'ampli� ation pouvant être ramené sur les deux entrées,
et les deux générateurs de tension de bruit en série dans la maille d'entrée pouvant être
regroupés en un seul, on peut spé i�er l'ampli� ateur opérationnel bruité en terme de
densité spe trale de ourant et de tension omme indiqué sur le modèle de la �gure 7.
SE
SJ-
SJ
AOP
+
Figure 7 �
Modélisation de l'ampli� ateur opérationnel bruité
2.4 Spé i� ation dynamique grand signal :le slew-rate
Lorsque la tension di�érentielle d'entrée dépasse une ertaine valeur, l'ampli� a-
teur opérationnel n'est plus en régime linéaire ( ertains transistors peuvent être blo-
qués) et le on ept petit signal n'est plus appli able. Ce mode de fon tionnement par-
ti ulier est généralement ara térisé par la vitesse d'ex ursion maximum ou slew-rate
(SR). Physiquement, ette ara téristique non-linéaire orrespond à la vitesse maximum
à laquelle les di�érentes apa ités présentes aux di�érents n÷uds du dispositif a tif peu-
vent être hargées ou dé hargées. Si ette vitesse est donnée par
dV (t)dt
= I(t)C
et si le ourant I(t) hargeant la apa ité C est limité physiquement à une valeur Imax,le slew-rate s'exprime formellement par
SR = (dV (t)
dt)max =
Imax
C.
On notera que ette situation est une ara téristique typique des ir uits omportant
une paire di�érentielle .
Un autre indi e de performan e, quelquefois asso ié au slew-rate pour ara tériser un
ampli� ateur opérationnel, est la fréquen e maximum à amplitude maximum FPB (Full
9
Power Bandwith). Elle est donnée à partir d'une on�guration en gain unité pour laque-
lle la variation d'un signal de sortie orrespondant à une attaque sinusoïdale est limitée
par
(dV (t)dt
)max = ( ω V smax cos(ωt) )max = ω V smax = SR.
Le paramètre FPB est ainsi �xé par
FPB =SR
2π V smax
.
2.5 Interdépendan e des gains parasites
En petit signal et en fon tion de la fréquen e, l'ampli� ateur opérationnel peut être
ara térisé extérieurement par
vs(p) = Ad(p) ved + Ac(p) vec + Aal+(p) val+ + Aal−(p) val−.
Les paramètres Aal+(p) et Aal−(p) étant respe tivement le gain entre les signaux val+ et
val− perturbant l'alimentation positive et négative et la sortie. Si le potentiel de référen e
des six a és au ir uit est translaté d'une valeur arbitraire va(p), on é rit
vs(p) + va(p) =Ad(p)ved+Ac(p)(vec+ va(p)) +Aal+(p)(val+ + va(p)) +Aal−(p)(val− + va(p)).
Par soustra tion ave la première expression on obtient la relation fondamantale liant
les trois gains parasites [5℄
Ac(p) + Aal+(p) + Aal−(p) = 1
soit
1
RRMC+
1
RRAL++
1
RRAL−
=1
Ad(p).
Ainsi, il est physiquement impossible de on evoir un ampli� ateur opérationnel à six
a és permettant de minimiser simultanément le gain de mode ommun et les gains d'al-
imentation, il est don né essaire de e donner un degré de liberté ave un septième a és
auxiliaire Vaux. En e�et, dans e as, si Aaux(p) est la fon tion de transfert orrespon-
dante à e septième a és, ave
Ac(p) + Aal+(p) + Aal−(p) + Aaux(p) = 1
il su�t de onne ter Vaux à une tension de référen e non bruitée ave Aaux(p) = 1pour pouvoir théoriquement minimiser simultanément le gain de mode ommun et les
deux gains d'alimentation.
3 L'ampli� ateur opérationnel à sortie di�érentielle
En mi ro-éle tronique, de part la rédu tion des tensions d'alimentation imposée
par les faibles longueurs des transistors MOS, pour la réalisation de ertaines fon tions
analogiques, on est onduit à utiliser des stru tures di�érentielles
10
pour pouvoir répondre aux spé i� ations demandées sur la dynamique des signaux
éle triques traités. Pour e faire, on doit utiliser des ampli� ateurs à sortie di�érentielle
(�gure 8). De part le prin ipe du demi- ir uit, pour l'AOP réel, les ara téristiques
éle triques ne sont pas modi�ées. Il su�t pour les indi es a�e tant la sortie, de onsidérer
une omposante pour le mode ommun et une omposante pour le mode di�érentiel. On
notera que toutes les erreurs systématiques (tension de dé alage systématique, réje tion
d'alimentation, ... ), pertubent le mode ommun et sont stru turellement rejetées par le
mode di�érentiel.
Figure 8 �
Symbole de l'ampli� ateur opérationnel à sortie di�érentielle
4 Stabilité en bou le fermée
4.1 Stabilité en terme de diagramme de Bode
En régime linéaire, l'ampli� ateur opérationnel est toujours asso ié à un réseau de
réa tion négative. Si nous ondidérons le s héma fon tionnel d'un système réa tionné
homogène de la �gure 9, les variables de prélévement et réinje tion du réseau de rea tion
K sont des tensions et orrespondent aux variables de sortie et d'entrée de l'ampli� ateur
réa tionné. Le signal d'erreur ǫ s'é rivant ǫ = Xe −K.Xs, on détermine la fon tion de
transfert globale
T =Xs
Xe=
A
1 + A.K.
XsA
K
εXe
Figure 9 �
S héma de prin ipe d'un système réa tionné
Si on tient ompte de la variation du gain A en fon tion de la fréquen e, le fa teur de
11
réa tion K étant supposé réel, on peut é rire
T =A(ω)
1 +K.A(ω).
Pour une valeur du gain de bou le L = K.A(ω) = M.exp(jφ) = −1 soit M = 1 et
φ = 180o, le dénominateur de T peut s'annuler. La sortie de l'ampli� ateur réa tionné
peut se pla er sur une tension d'alimentation ou présenter une os illation, il y a insta-
bilité potentielle. En é rivant
20 log|L(jω)| = 20 log(K) + 20 log|A(jω)|soit
|L(jω)|dB = |A(jω)|dB − (1/K)dB
on peut donner une interprétation graphique simple des onditions de stabilité en terme
de diagramme de Bode. En e�et, si on onsidère le gain en bou le ouverte A(ω) de la
�gure 10, le diagramme de Bode de L(ω) orrespond à la ourbe omprise entre |A(ω)|dBet l'axe ∆. Au sens stri te, la stabilité est satisfaite si l'axe ∆ oupe la ourbe de A(ω) enun point où la phase ne dépasse pas −180o. Ainsi, une mesure obje tive de l'instabilité
potentielle peut être donnée à partir de la valeur de la phase de A(ω) lorsque |L(ω)| = 1.Cette mesure est la marge de phase
MP = Φ(ωK)− (−180o).
Une se onde mesure omplémentaire peut également être fournie, 'est la marge de gain
MG, dé�nie par la relation
MG = |A(ωK)|dB − |A(ωB)|dBωB étant la pulsation orrespondant à une phase de −180o.
Kφ( )
ωK
-135 o
-180 o
A( )ω
L( )ω
o
ω
-45dB
ωB
ω
1/K
MG
∆
Figure 10 �
Diagramme de Bode d'un système réa tionné
12
4.2 Ampli� ateur à un p�le
Si on modélise le gain de l'ampli� ateur A(ω) par un système à un p�le tel que
A(p) = A0
1+ pωc
on peut mettre la fon tion de transfert du système bou lé sous la forme
T (p) = T0
1+ pωc′
ave T0 =A0
1+KA0et ωc′ = ωc(1 +KA0).
La bande passante de l'ampli� ateur ontre-rea tionné est elle de l'ampli� ateur A(ω)augmentée du taux de réa tion 1 + L, mais le produit gain-bande PGB = A0ωc égal
asymptotiquement à la fréquen e de transition ωT est onservé. L'ampli� ateur est un
système à un p�le quelque soit le gain en bou le fermée, il est dit in onditionnellement
stable. En parti ulier, pour un gain K unité
T (p) =1
1 + 1A0
+ p
A0ωc
≈ A0
1 + A0
1
1 + p
ωT
.
La réponse indi ielle V s(t) à un é helon de tension U(t) est donnée par
V s(t) =A0
1 + A0(1− e−ωT t)U(t).
Le temps d'établissement dé�ni omme le temps requi pour qu'en gain unité, la sortie
dans l'intervalle V s(t) = 1− ǫ est inversement proportionnel à la fréquen e de transition
et au gain statique de l'ampli� ateur opérationnel. L'erreur résiduelle ǫ peut ainsi êtredé omposée en un terme d'erreur statique ontr�lable par le gain statique A0 de l'AOP
ǫsta =1
1 + A0
et un terme d'erreur dynamique ontr�lable par la fréquen e de transition FT de l'AOP
ǫdyn = e−ωT t.
dé�ni omme le temps requi pour qu'en gain unité, la sortie s'établisse à la valeur
V s(t) = A0
1+A0.
4.3 Ampli� ateur à deux p�les
4.3.1 Réponse fréquentielle et temporelle
Si on modélise le gain de l'ampli� ateur A(ω) par un système à deux p�les tel que
A(p) = A0
(1+ pωa
)(1+ pωb
)
la fon tion de transfert du système bou lé se met sous la forme
T (p) = A0ωaωb
p2+(ωa+ωb)p+(1+A0K)ωaωb.
13
Par identi� ation ave la forme anonique passe-bas du deuxième ordre
T (p) =Gω2
0
p2+ω0Q0
p+ω20
le paramètre Σ = ωb
ωaétant le fa teur de séparation des p�les, on détermine
1. le gain G = A0
1+A0K
2. la pulsation de résonan e ω0 =√
(1 + A0K)ωaωb
3. le oe� ient de qualité Q0 =ω0
ωa+ωb=
√Σ(1+A0K)
1+Σ
Pour un gain statique A0 et une pulsation de oupure ωa donnés, le oe� ient de
qualité ne dépend que de la position du se ond p�le ωb. Selon la valeur de e oe� ient
de qualité, on dé�nit usuellement trois régimes de fon tionnement (�gure 11)
1. le régime amorti ou sur ompensé pour lequel Q0 < 0, 5
2. le régime ritique pour lequel Q0 = 0, 5
3. le régime sousamorti ou sous ompensé pour lequel Q0 > 0, 5
3
5
4
2
1
ω20
log|
T(j
)|
5
ω/ωο
4
Qo = 0.3
3
2
Qo = 51
Qo = 1Qo = 0.707Qo = 0.5
10.1
20
10
10
0
-50
-10
-20
-30
-40
Figure 11 �
Réponse en fréquen e de l'ampli� ateur opérationnel
à deux p�les en bou le fermée ave G=1
Pour une utilisation de l'ampli� ateur opérationnel en ir uit de gain unité, par
transformation de Lapla e inverse sur
T (p)p, le paramètre ξ = 1
2Q0étant le oe� ient
d'amortissement, on obtient les trois types de réponse indi ielle, normalisés à l'unité et
au terme d'erreur statique ǫsta =1
1+A0prés, orrespondants aux trois régimes pré édem-
ment dé�nis (�gure 12) :
1. le régime amorti ave Q0 < 0.5 soient ξ > 1 et ξ2,1 = ξ ±√
ξ2 − 1 orrespondant à
une réponse exponentielle ave
V s(t) = 1− 1
2√
ξ2 − 1[1
ξ1exp(−ξ1ω0t)−
1
ξ2exp(−ξ2ω0t)]
2. le régime ritique ave Q0 = 0, 5 soit ξ = 1 orrespondant également à une réponse
exponentielle ave
V s(t) = 1− (1 + ω0t)exp(−ω0t)
14
3. le régime sousamorti ave Q0 > 0, 5 soit ξ < 1 orrespondant à une réponse présen-tant une suros illation suivie d'une sinusoïde amortie exponentiellement
V s(t) = 1− { 1√
1− ξ2sin(
√
1− ξ2ω0t) + cos(√
1− ξ2ω0t)}exp(−ξω0t)
1
Qo = 1Qo = 0.707Qo = 0.5Qo = 0.3
2
3
4
Qo = 5
5
ωο.
5
4
3
2
1
Vs(t)
t
1.8
2
0 2 4 6 8 10 12 14
1.6
160
18 20
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
Figure 12 �
Réponse indi ielle de l'ampli� ateur opérationnel
à deux p�les en bou le fermée ave G=1
4.3.2 Temps d'établissement
Le temps d'établissement dynamique étant maintenant dé�ni omme le temps requi
pour qu'en gain unité la sortie à un é helon U(t) s'établisse dans l'intervalle V s(t) =1 ± ǫdyn, pour les trois régimes usuellement dé�nis, le temps d'établissement est une
fon tion impli ite du oe� ient de qualité. Un quatrième régime, spé i�que aux ir uits
analogiques temps dis ret pour lesquelles le régime transitoire est déterminant, peut être
dé�ni [6℄. Ce mode de fon tionnement (régime MST) est optimal du point de vue temps
d'établissement. Il orrespond à une valeur de oe� ient de qualité Q0 pour laquelle la
première suros illation en sortie tangente la valeur 1 + ǫdyn (�gure 13).
tT MST 0T
1+
ωο.
ε
1- εVs(t)
2 4 6 8 100 12
1
14 16 18 20
Figure 13 �
Dé�nition du régime MST
15
Pour obtenir expli itement le oe� ient de qualité orrespondant, il su�t d'annuler
la dérivée de V s(t) pour déterminer l'instant T0 de la première suros illation
T0 =π
ω0
√
1− ξ2
et de onsidérer
V s(t)t=T0 = 1 + exp( −π.ξ√1−ξ2
) = 1 + ǫdyn.
On obtient ainsi
QMST = 0.5
√
π2 + [Log(1/ǫdyn)]2
Log(1/ǫdyn)
et en terme de fa teur de séparation des p�les, ave Σ ≫ 1
ΣMST ≈ 4A0
1 + [π/Log(1/ǫdyn)]2
4.4 Stabilité en terme de marge de phase
Si au sens stri te l'ampli� ateur opérationnel à deux p�les simples en ontre-
réa tion est stable, en régime fréquen iel ou temporel il peut présenter une surtension
d'autant plus prononçé que la marge de phase est petite. Si on onsidère les diagrammes
de Bode de la �gure 14, pour un gain en bou le fermé unité, la marge de phase à ω = ωT
est donnée par
MP = 180o − arctg(ωT
ωa
)− arctg(ωT
ωb
) ≈ 90o − arctg(ωT
ωb
) ≈ arctg(ωb
ωT
)
ω
ωa
ωPGB
ωbωT
A( )
ω0
-135
-180
-90
-45
Ao
ω
MP
φ( )
Figure 14 �
Mesure de la marge de phase
Si on onsidère l'expression du module du gain en bou le ouverte à la pulsation ωT , on
16
doit é rire ave Σ ≫ 1
A0
ΣωTωb
√
1+(ωTωb
)2= 1
on en déduit l'expression du rapport
ωT
ωb=
√
0, 5(√
1 + (2A0
Σ)2 − 1)
et la marge de phase orrespondante
MP = arctg( 1√
0,5(√
1+(2A0Σ
)2−1)
).
Ainsi, à partir de l'expression du fa teur de séparation des p�les orrespondant au temps
d'établissement optimum , on détermine
MPMST = arctg(1
√
0, 5(√1 + Y 2 − 1)
) avec Y =1 + [π/Log(1/ǫdyn)]
2
2
Si le se ond p�le est su�samment éloigné de la fréquen e de transition (ωb > 4ωT ),
une formulation simpli�ée mais moins pré ise (�gure 15) de ette marge de phase peut
être donnée ave l'approximation usuelle ωT = ωPGB = A0ωa :
MP ≈ arctg(Σ ωa
ωT) ≈ arctg( Σ
A0)
et
MPMST ≈ arctg(4
1 + [π/Log(1/ǫdyn)]2).
2 formule "precise"
2
1
dyn
1 formule approximative
MP
ε1 /
MST
100010010
75
10000
70
50
65
60
55
Figure 15 �
Marge de phase optimale vs 1/ǫdyn
4.5 In�uen e d'un doublet p�le-zéro sur le temp d'établissement
Certains ampli� ateurs opérationnels possèdent dans leur fon tion de transfert un
fa teur de la forme
17
F =1+ p
ωz
1+ pωx
'est à dire un "doublet p�le-zéro". Cette on�guration se présente prin ipalement lorsqu'une
fra tion du signal d'entrée est partiellement réinje tée en sortie (volontairement ou in-
volontairement), ou lorsqu'on est onduit à e�e tuer la di�éren e de signaux empruntant
des hemins di�érents (défauts de symétrie dans les stru tures di�érentielles). Pour un
ampli� ateur ara térisé par une réponse en bou le ouverte
A(p) = A01+ p
ωz
(1+ pωa
)(1+ pωx
)
et onne té en suiveur de tension, la réponse indi ielle est donnée approximativement
par [2℄
V s(t) = 1− exp(−ωT t) +ωz − ωx
ωT
exp(−ωzt)
Cette expression onsidère que les deux fréquen es du doublet sont pro hes et en deçà
de la fréquen e de transition. Elle montre que si l'in iden e du doublet est faible sur
la réponse en fréquen e, la présen e du terme exponentiel "supplémentaire" ave une
onstante de temps égale à 1/ωz peut a�e ter gravement le temps d'établissement du
dispositif. On notera que lorsqu'on diminue la fréquen e du doublet on allonge son temps
réponse et on baisse son amplitude et inversement, un doublet haute fréquen e est ar-
a térisé par un temps de réponse trés bref mais de forte amplitude, produisant ainsi
un phénomène de suros illation sur un ir uit normalement du premier ordre. Consid-
érant que la pré ision ultime sur le temps d'établissement est 1/A0, on onstate qu'il peut
s'avérer être extrèmement di� ile de réduire l'amplitude de l'exponentiel du doublet trés
en dessous de ette valeur pour des ampli� ateurs opérationnels à grand gain statique.
Autant que faire e peut, lors de la ompensation, on her hera à repousser la fréquen e
du doublet au delà de la fréquen e de transition.
5 La ompensation
5.1 Le prin ipe
Stru turellement, un ampli� ateur opérationel est toujours onstitué d'ine haîne
de un ou plusieurs étages à sortie haute impédan e pour obtenir un grand gain statique,
éventuellement terminée par un étage de gain unitaire à sortie basse impédan e. L'étage
�nal éventuelle ne produisant que des p�les à trés haute fréquen e il n'a pas d'in iden e
notable sur la marge de phase, ainsi, la ompensation onsiste à modi�er la valeur des
p�les des étages haute impédan e a�n de respe ter une ontrainte de marge de phase de-
mandée. Pratiquement, les ar hite tures d'ampli� ateurs opérationnels sont ainsi réper-
toriées par leur nombre de n÷ud haute impédan e [3℄. Les dispositifs ne possédant qu'un
seul n÷ud haute impédan e sur leur sortie sont ompensables extérieurement et dire te-
ment par leur harge apa itive alors que les dispositifs possédant plusieurs n÷uds haute
impédan e sont ompensables intérieurement, typiquement par e�et Miller pour deux
n÷uds, et par e�et Miller imbriqué pour un nombre de n÷uds supérieur à deux. Pra-
tiquement, de part la omplexité du réseau de ompensation à mettre en ÷uvre, on ne
onçoit pas d'AOP à plus de trois étages.
18
5.2 Dispositifs à un n÷ud haute impédan e
Les ar hite tures d'ampli� ateur modélisables par un ir uit à un n÷ud haute im-
pédan e sont dédiées au pilotage de harge purement apa itives (typiquement les ir uits
à apa ités ommutés). Au sens stri t, si e sont des ir uits du premier ordre la notion de
marge de phase n'a évidemment pas de sens, mais pratiquement asso ié au n÷ud haute
impédan e il existe souvent un n÷ud basse impédan e faisant que l'AOP est modélisable
par un ir uit du deuxième ordre possédant un p�le dominant et un p�le se ondaire. La
ara téristique essentielle des e type d'ar hite ture est que la harge apa itive �xant
le p�le dominant ω1, détermine le produit gain-bande PGB = Ad0 ω1. Ainsi, lorsqu'elle
augmente, la valeur du p�le dominant diminuant, le fa teur de séparation des p�les
augmente et la marge de phase à ω = ωT ≈ PGB augmente ave
MP ≈ 90o − arctg(ωT
ω2
).
5.3 Dispositifs à deux n÷uds haute impédan e
Dans e as, La ompensation onsiste à ajuster le fa teur de séparation des deux
p�les orrespondant aux deux n÷uds haute impédan eà partir d'un réseau passif ou
éventuellement a tif (�gure 16).
comp
gm1 G1 C1 v1 gm2 v1 G 2
B
C2
A
vsveve
Figure 16 �
Modélisation d'un réseau à deux p�les dominants
5.3.1 Compensation purement apa itive
La modélisation la plus ourante onsiste à prendre pour réseau de ompensation
un simple ondensateur Cc onne té entre les n÷uds A et B du modèle de la �gure 17.
Ave e modèle, on détermine la fon tion de transfert
vs
ve=
gm1gm2
G1G2(1− Cc
gm2p)
C1C2+Cc(C1+C2)G1G2
p2 + (C1+CcG1
+ C2+CcG2
+ gm2Cc
G1G2)p+ 1
.
Si les p�les sont réels et su�samment éloignés, 'est à dire si le systéme est ar-
a térisé par un p�le p1 (p�le dominant) trés inférieur au p�le p2 (p�le se ondaire), les
ra ines du dénominateur de vs/ve, données par l'équation
(p− p1)(p− p2) = p2 − (p1 + p2)p+ p1p2 = 0,
19
veve gm1 G1 C1 v1 gm2 v1 G 2 C
Cc
2
A B
vs
Figure 17 �
Compensation purement apa itive
orrespondent aux deux p�les
p1 = − 1R1C1+R2(C2+Cc(1+R1(gm2+G2)))
et
p2 = − 1
R1C1(1+C2Cc
C1(C2+Cc))− gm2
C1+C2+C1C2Cc
− 1
R2C2(1+C1Cc
C2(C1+Cc)).
Le ondensateur C a pour e�et de réer un zéro dans le demi-plan droit du plan om-
plexe (dégradant ainsi la marge de phase) et de modi�er la valeur des p�les qui, en son
abs en e ont respe tivement pour valeur
p1 = − 1R1C1+R2C2
et p2 = −( 1R1C1
+ 1R2C2
).
En poursuivant l'approximation des p�les, ave R1C1 >> R2C2, le p�le dominant s'é rit
p1 ≈ − 1
R1(C1 + CM)avec CM = Cc(1 +R2(gm2 +G1) ≈ Cc(
gm2
G2
+ 1)
et ave Cc >> C1 et C2 >> C1, le p�le se ondaire devient
p2 ≈ −1 + gm2R2
R2C2
≈ −gm2
C2
.
Par l'a tion de la apa ité de ompensation le p�le du premier étage est ramenée à
une fréquen e plus basse puisque Cc est multiplié par le gain du deuxième étage pour
donner la apa ité CM ( 'est l'e�et Miller), et le se ond p�le est amené à une fréquen e
potentiellement plus elevée. Physiquement le p�le du deuxième étage est annulé par un
zéro et rempla é par la valeur gm2/C2 [7℄. Ce type de ompensation est souvent appelé
ompensation par séparation des p�les (pole splitting).
• Stratégie de ompensation
Le gain statique du ir uit ayant pour valeur
A0 =gm1gm2
G1G2,
et le produit gain bande s'é rivant
PGB = A0ω1 ≈ gm1
Cc,
20
la marge de phase
MP ≈ 90o − arctg(ωT
ω1)− arctg(ωT
ωz)
peut être approximée par
MP ≈ 90o − arctg(PGBω2
)− arctg(PGBωz
)soit
MP ≈ 90o − arctg(gm1
gm2
C2
Cc)− arctg(
gm1
gm2).
Si la dominan e du premier p�le est e�e tive, la apa ité de ompensation a pour ex-
pression
Cc = C2gm1
gm2tan(MP )
1 + cot(MP ) gm1
gm2
1− tan(MP ) gm1
gm2
.
La marge de phase est ainsi omplétement déterminée en e donnant le rapport des
trans ondu tan es des deux étages et le rapport de la apa ité de harge sur la apa ité
de ompensation. Pratiquement, quelque soient les ar hite tures d'AOP, pour des marges
de phase supérieures à 60o, le premier rapport est de l'ordre de 1/5 à 1/10, et le se ond
de 1/10 à 1 pour limiter la harge du premier étage ( ontrainte de slew-rate interne).
5.3.2 Compensation par dip�le RC
Une autre te hnique ourante de ompensation onsiste à pla er entre les n÷uds
A et B du modèle un dip�le onstitué d'une résistan e Rc et d'une apa ité Cc en série
(�gure 18). Le dip�le passif réant un n÷ud supplémentaire, la fon tion de transfert est
du troisième ordre et a pour expression
vs
ve=
gm1gm2
G1G2(1− Cc( 1
gm2− Rc)p)
Ap3 +Bp2 + Cp+ 1
ave
A = C1C2CcG1G2Gc
,
B = C2CcG2Gc
+ C1CcG1G2
+ C1C2
G1G2+ C1Cc
G1Gc+ C2Cc
G1G2,
et
C = CcGc
+ CcG2
+ CcG1
+ gm2Cc
G1G2+ C1
G1+ C2
G2.
Les ra ines p1,p2 et p3 du dénominateur étant liées par les relations
p1 + p2 + p3 = −BA
, p1p2 + p1p3 + p2p3 =CA
et p1p2p3 = − 1A,
si on se pla e dans l'hypothèse de trois p�les réels séparés tels que p1 >> p2 >> p3,on détermine
p1 = −BA
, p2 = −CB
et p3 = − 1C
soit
p1 = −(G1+GcC1
+ G2+GcC2
+ GcCc),
21
B
vsveve gm1 G1 C1 v1 gm2 v1 G 2 C
Rc
2
CcA
Figure 18 �
Compensation par dip�le RC série
p2 = −CcGc(G1+G2+gm2)+CcG1G2+Gc(C1G2+C2G1)CcC2(G1+Gc)+CcC1(G2+Gc)+C1C2Gc
,et
p3 = − 1Cc(Rc+R2+R1+gm2R1R2)+R1C1+R2C2
.
Quant au zéro, il a pour valeur
ωz =1
Cc( 1gm2
−Rc).
D'autre part, ave R1C1 >> R2C2, Rc << R2 << R1, et ave C2 et Cc >> C1,
on approxime les trois p�les par :
p1 ≈ − 1
Rc(1
C1+
1
C2+
1
Cc) ≈ − 1
RcC1,
p2 = −1 +R2gm2
R2C2
≈ −gm2
C2
et
p3 ≈1
R1R2gm2Cc.
• Stratégies de ompensation
Deux stratégies sont ouramment utilisées. La première onsiste simplement à annuler
le zéro en �xant
Rc =1
gm2.
Le produit gain-bande étant toujours PGB = gm1/Cc et le rapport des p�les se ondairesétant dans le rapport C2/C1, le p�le le plus éloigné à généralement une in�uen e moindre
sur la marge de phase, omparativement à la ompensation par ondensateur simple le
gain sur MP est évident puisque
MP ≈ 90o − arctg(gm1
gm2
C2
Cc)− arctg(
gm1
gm2
C1
Cc),
orrespondant à une valeur de apa ités de ompensation de l'ordre de
Cc ≈ C2gm1
gm2tan(MP )
22
La se onde stratégie onsiste à dépla er le zéro dans le demi-plan gau he pour annuler
p2, en �xant
Rc =1
gm2(1 +
C2
Cc),
e qui onduit à
MP ≈ 90o − arctg(gm1
gm2
C1
C2 + Cc).
et
Cc ≈ C1gm1
gm2tan(MP )− C2
Si potentiellement la se onde stratégie est su eptible d'être plus performante en
terme de réponse fréquen ielle, elle est plus déli ate à mettre en ÷uvre que la première.
En e�et, l'annulation simple du zéro de la fon tion de transfert ne dépendant que du
paramètre intrinsèque gm2, elle peut être fa ilement réaliser de manière relativement
indépendante des variations des paramètres te hnologiques, typiquement par l'intermé-
diaire d'un transistor en régime ohmique. Quant à l'annulation du se ond p�le, elle
est sujette à ondition (C positif) et dépend du paramètre extrinsèque C2 di� iles à
maîtriser ave pré ision du fait des dispersions te hnologiques. D'autre part le degrè de
liberté sur l'a�e tation de la valeur du ondensateur de ompensation Cc est limité par
la valeur de Rc e�e tivement réalisable. La se onde méthode de ompensation est bien
adapté à la réalisation d'une grande marge de phase (> 75o) pour une petite apa ité de harge pour laquelle Cc ≈ C2 orrespond à un hoix raisonnable. On notera qu'une solu-
tion de ompromis souvent utlisé en pratique onsiste à pla er le zéro dans le demi-plan
gau he à une fréquen e légérement supérieure à la fréquen e de transition (≈ 1, 2ωT )
5.3.3 Compensation a tive par suiveur de ourant
L'utilisation d'une ompensation a tive a normalement pour but d'améliorer l'e�-
a ité du ir uit de ompensation et la réje tion des bruits d'alimentation en " assant"
le hemin dire te rée en haute fréquen e par le ondensateur. La te hnique la plus
ouramment utilisée [4℄ utilise un suiveur de ourant. Le s héma de prin ipe utilisant un
ampli� ateur as ode (base ommune) est donnée sur la �gure 19. La tension de polari-
sation V pol du as ode (non bruitée) onstituant pour l'AOP un a és supplémentaire,
onformément au paragraphe pré édent sur l'interdépendan e des gains parasites, elle
permet de fait une amélioration de la réje tion des bruits d'alimentation. Toutefois la
ontrainte de onsommation imposée pour éviter l'apparition d'une paire de p�les om-
plexes su eptible d'a�e ter la stabilité de l'AOP fait que e type de ompensation est
trés peu utilisée. D'autre part la tendan e a tuelle étant d'utiliser des ampli� ateurs
opérationnels à sortie di�érentielle, la ontrainte sur la réje tion des alimentations est
moins prioritaire.
5.3.4 Cara téristiques des ir uits à deux n÷uds haute impédan e et om-
pensation par e�et Miller
La ara téristique essentielle est que ontrairement aux ir uits à un n÷ud haute
impédan e, si la harge �xant le p�le se ondaire augmente, le fa teur de séparation des
p�les (don la marge de phase) diminue. En terme de fréquen e de transition, ils sont
également moins performants. Par ontre, ils permettent d'obtenir des gains statiques
importants tout en possèdant une "faible" résistan e de sortie, ils peuvent ainsi être util-
isés ave une harge résistive. D'autre part la présen e d'un se ond étage de gain donne
23
MNc
Cc
A
B
Vpol
I0
I0
Figure 19 �
Compensation a tive par suiveur de ourant
un degré de liberté permettant l'optimisation d'un indi e de performan e parti ulier
(bruit, slew-rate, ...)
24
Référen es
[1℄ P.R. GRAY and R.G. MEYER. "Re ent advan es in monolithi operational ampli�er
design". IEEE Transa tions on Cir uits and Systems, vol. 21 :pp. 317�327, May 1974.
[2℄ B.Y. KAMATH, R.G. MEYER, and P.R. GRAY. "Relationship between frequen y
response and settling time of operational ampli�ers". IEEE Journal of Solid-State
Cir uit, vol. 9(No. 6) :pp. 347�352, De . 1974.
[3℄ K.N. LEUNG and P.K.T. MOK. "Analysis of multistage ampli�er frequen y om-
pensation". IEEE Transa tions on Cir uits and Systems-I :Fundamental Theory and
Appli ation, vol. 48(No. 9) :pp. 1041�1056, September 2001.
[4℄ G. PALMISANO and G. PALUMBO. "A ompensation strategy for two-stage CMOS
opamps based on urrent bu�er ". Pro IEEE International Symposium Cir uits and
System, pages pp. 257�262, 1997.
[5℄ E. SACKINGER, J. GOETTE, and W. GUGGENBUHL. "A general relationship
between ampli�er parameters and its appli ation to pssr improvement". IEEE Trans-
a tions on Cir uits and Systems, vol. 38(No. 10) :pp. 1173�1181, O tober 1991.
[6℄ H.C. YANG and D.J. ALLSTOT. "Consideration for fast settling operational am-
pli�ers". IEEE Transa tions on Cir uits and Systems, vol. 37(No. 3) :pp. 326�334,
Mar. 1990.
[7℄ H.C. YANG and D.J ALLSTOT. "Modi�ed modeling of Miller ompensation for
two-stage operational ampli�er". Pro IEEE International Symposium Cir uits and
System, pages pp. 2557�2560, 1991.
25
