4
50 et 45 dvx -=0 dt 40 35 20 p(m) 22 21 5. Pour quelle valeur de l'angle a la portée (voir schéma ci- contre) serait-elle maximale? 2. Le poids retombe en M à la date tM. Donner l'équation littérale vérifiée par tM• Exprimer tM• 3. En déduire l'expression numérique de la performance p en ne conservant que le paramètre a. 4. On donne la courbe représentant p en fonction de a, pour a variant de 35° à 55°. Pour quelle valeur de a la performance est-elle maximale? Quelle est cette perfor- mance? Que vaudrait-elle pour a = 37°? 47°? 1. a = g. En projection sur (i, k), on obtient Alors Vx = C1 et Vz =- gt + C2. Conditions initiales: v/t = 0) = C1 = vocos a et vz(t = 0) = C2 = vosina soit: vx=vocosa et vz=-gt+vosina On en déduit: ~ = vocosa et ~ =- gt + vosina d'où: x(t) = vocosa·t + K1 et z(t) =- 1/2gt2 + vosina·t + K2 Conditions initiales: x(t = 0) = K1 = Xo et z(t = 0) = K2 = Zo soit: x(t)= vocosa·t+xo et z(t)=-1/2gt2+vosina·t+zo MODÈLE DE RÉSOLUTION Lancement du poids 1. La composante de g sur k est négative puisque k est orienté vers le haut. Ne pas oublier les constantes d'inté- gration: on les détermine grâce aux conditions initiales du mouvement. }~~M ot.~. 17: 1 1 X 1 1 1 Portée 1 1 1 Il "1 1 1 1 1 Performance 1 1. _1 CONSEILS 1. Établir les équations paramétriques x(t) et z(t) du mou- vement du poids. Le point a se trouve en bordure de l'aire de lancement. Le point A a pour coordonnées Xo = 0,60 m et Zo = 2,00 m. On mesure grâce à un enregistrement vidéo Vo= 13,7 m· ç1. La performance p est la distance entre le point a et le point de chute (noté M) du poids sur le sol. Un sportif pratiquant le lancer de poids désire améliorer ses performances. À la date t = 0, à la suite de la phase d'élan, le lanceur lâche le poids au point A dans le repère terrestre (0; i, k), avec une vitesse Vo faisant un angle a avec le vec- teur horizontal i. On prendra 9 = 9,8 m. ç1. 2. La date tM ne peut être négative. 2. zM = 0 par définition. tM vérifie donc l'équation du second degré: - 1/2gt2 + vosin a· t + Zo = 0 vosin a + Y (vosina)2 + 2gzo tM = 9 . L'autre racine de l'équation est négative. 3. Savoir interpréter les grandeurs sur les axes du graphique. 3. xM = vocosa·tM + Xo = 1,40cosa[13,7sina + Y188sin2a + 39,2] + 0,6. 4. Sur la courbe, on trouve que p est maximale pour a = 42°, Pmax = 21,7 m. Pour 37° et 47°, p = 21,5 m. 172 9. MOUVEMENT PARABOLIQUE DANS UN CHAMP DE PESANTEUR UNIFORME

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50

et

45

dvx-=0dt

4035

20

p(m)

22

21

5. Pour quelle valeur de l'angle a la portée (voir schéma ci­contre) serait-elle maximale?

2. Le poidsretombe en M

à la date tM. Donner l'équationlittérale vérifiée par tM• Exprimer tM•

3. En déduire l'expression numérique de la performance p

en ne conservant que le paramètre a.

4. On donne la courbe représentant p en fonction de a,pour a variant de 35° à 55°. Pour quelle valeur de a laperformance est-elle maximale? Quelle est cette perfor­mance? Que vaudrait-elle pour a = 37°? 47°?

1. a = g. En projection sur (i, k), on obtient

Alors Vx = C1 et Vz = - gt + C2.

Conditions initiales: v/t = 0) = C1 = vocos a et vz(t = 0) = C2 = vosina

soit: vx=vocosa et vz=-gt+vosina

On en déduit: ~ = vocosa et ~ = - gt + vosina

d'où: x(t) = vocosa·t + K1 et z(t) = - 1/2gt2 + vosina·t + K2

Conditions initiales: x(t = 0) = K1 = Xo et z(t = 0) = K2 = Zo

soit: x(t)= vocosa·t+xo et z(t)=-1/2gt2+vosina·t+zo

MODÈLE DE RÉSOLUTION

Lancement du poids

1. La composante de g sur k est

négative puisque k est orienté versle haut.

Ne pas oublier les constantes d'inté­

gration: on les détermine grâce auxconditions initiales du mouvement.

}~~Mot.~.17: 1 1 X1 1 1 Portée 1 1

1 Il "1 11 1

1 Performance 1

1. _1

CONSEILS

1. Établir les équations paramétriques x(t) et z(t) du mou­vement du poids.

Le point a se trouve en bordure de l'aire de lancement. Le

point A a pour coordonnées Xo = 0,60 m et Zo = 2,00 m. Onmesure grâce à un enregistrement vidéo Vo= 13,7 m· ç1.La performance p est la distance entre le point a et le pointde chute (noté M) du poids sur le sol.

Un sportif pratiquant le lancer de poids désire améliorer sesperformances. À la date t = 0, à la suite de la phase d'élan,le lanceur lâche le poids au point A dans le repère terrestre

(0; i,k), avec une vitesse Vo faisant un angle a avec le vec­teur horizontal i. On prendra 9 = 9,8 m. ç1.

2. La date tM ne peut être négative. 2. zM = 0 par définition. tM vérifie donc l'équation du second degré:

- 1/2gt2 + vosina· t + Zo = 0

vosina + Y (vosina)2 + 2gzotM = 9 . L'autre racine de l'équation est négative.

3. Savoir interpréter les grandeurs

sur les axes du graphique.3. xM = vocosa·tM + Xo = 1,40cosa[13,7sina + Y188sin2a + 39,2] + 0,6.

4. Sur la courbe, on trouve que p est maximale pour a = 42°, Pmax = 21,7 m.Pour 37° et 47°, p = 21,5 m.

172 9. MOUVEMENT PARABOLIQUE DANS UN CHAMP DE PESANTEUR UNIFORME

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Mouvement d'une bille en acier

Lemouvement d'une bille en acier dans le champ de pesan­teur a été enregistré à l'aide d'un caméscope à raison de25 images par seconde. La durée de l'enregistrement dechaque image est de 1/2000 de seconde. Les coordonnéesx (horizontale) et z (verticale) des positions successives dela bille ont été numérisées. Le graphique ci-dessous donne

ces positions. À la date t = 0, elle se trouvait en (0, 0).

1,4 ~ z(m)...... .. .

1

0,60,21 .-

1

11111 •• x(m)

00,511,522,53

1. Quelle durée sépare deux positions successives de labille?

2. À quelle date ts la bille passe-t-elle par le sommet S desa trajectoire?

3. Connaissant 9 = 9,81 m· ç2, en déduire la valeur de la

coordonnée voz du vecteur vitesse initiale vO' Déterminer sacoordonnée vox' sa valeur Vo et l'angle lX qu'il fait avecl'horizontale .

4. Déterminer Vo et lX par une autre méthode.

5. La vitesse limite de la bille en chute verticale est de

62 m· çl. On suppose que la valeur F de la force defrottement de l'air est égale à Kv2. Calculer la valeur maxi·

male du rapport F/mg au cours du mouvement enregistré.Aurait-il fallu prendre en compte la force de frottement?

CONSEILS MODÈLE DE RÉSOLUTION

9. MOUVEMENT PARABOLIQUE DANS UN CHAMP DE PESANTEUR UNIFORME 173

gt ­

2

~ 4. Discussion (pour zA> 0): pour que l'équation

du second degré ait une solution réelle, il faut quev2sin2a

ZA ~ a 2g . tl correspond à la phase ascendante et

t2 à la phase descendante du mouvement du projectile.

et

1. (1 s)/25 = 40 ms.

2. S correspond au ne point de la courbe. ts = 13 x 40 ms = 0,52 s.

3. Vz= - gt+ voz' En S, VZ = 0 donc voz = gts = 9,81 x 0,52 = 5,1 m .çl.

À t1 = 2ts, Xl = 3 m. Or Xl = VO/1 d'où vox = 3/(2 x 0,52) = 2,9 m· çl.

Vo= v'5,12 + 2,92 = 5,9 m· çl. tan lX = voz/vox = 1,76 soit lX = 60°.

4. On trace la tangente à la courbe en 0 et on mesure l'angle lX avec

l'axe horizontal. Pour déterminer vO' on mesure la distance entre lesdeux premiers points: on trouve approximativement 0,25 m.

D'où Vo = 0,25/0,040 = 6,2 m· çl, ce qui est satisfaisant étant donnéla précision des mesures sur le graphique.

5. L'application de la deuxième loi de Newton montre que KVTim= mgdonc F/mg = (V/V1im)2.La vitesse maximale est Vo= 5,9 m· çl soit F/ mg = (5,9/62)2 "" 10-2 :il n'est pas nécessaire de prendre en compte la force de frottement.

Dates de passage tA à une altitude donnée zAv sin a - v:;:

Les solutions sont: tl = 0 gv sin a + v:;:

o

3. Savoir que dans une chute libre, la coordon·née horizontale de la vitesse est constante et

que la coordonnée verticale est une fonctionaffine de t, de coefficient directeur - g.

1. Ne pas confondre la durée d'enregistrement

d'une image et la durée entre deux images.

5. Lorsque la vitesse limite est atteinte, F= mg.

~ 3. tA est solution de - 1/2gt2 + vosina· t = zA soit

-1/2gt2 + vosina· t- zA = O. On pose L\ = v~sin2a - 2gzA.

~ 1. Le projectile est tiré vers le haut du point 0 à la

date t = 0, le vecteur vitesse ~ de G est incliné d'un

angle a par rapport à l'horizontal. Le mouvement de G

est décrit dans le repère terrestre (0; 17 ï<\

~ 2. Les équations horaires sont:

t= vcosa·tet z=-1/2gt2 + vsina·to 0

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Équationde la trajectoire

EXERCICES D'APPLICATION

Équations horaires paramétriques

1101 On considère le repère (0; i, k) où l'origine a est sur lesol. k est vertical ascendant; le vecteur vitesse initiale est dansle plan (i, k). On ne tient pas compte des frottements.

À la date t = 0, une balle de tennis se trouve au point A à laverticale de 0, à une altitude de 1,0 m. Elle vient d'être frap­

pée par la raquette du joueur; son vecteur vitesse va est alorsdans le plan (i, k). Il est dirigé vers le haut et fait un angle de

7,2° avec l'horizontale; sa valeur va est égale à 28 m·çl.

1. Établir l'équation de la trajectoire de la balle.

2. À quelle distance du point a touchera-t-elle le sol si elle n'estpas interceptée par l'adversaire?

DUn joueur de rugbydégage en chandelle:on suppose qu'à l'issue

de son coup de pied, la ~balle quitte le sol au point aà la date t = 0, avec une vitesse va'

On considère le repère (0; i, k) où k est vertical ascendant.

Le vecteur va est dans le plan (i, k). Il fait un angle de 65°

avec i, et sa valeur va est égale à 20,0 m· çl.1. À partir de la deuxième loi de Newton et des conditionsinitiales, établir l'équation de la trajectoire du ballon. Sescoordonnées sont désignées par x et z.

2. Déterminer la valeur de x au moment où le ballon retombesur le sol. Calculer l'altitude maximale du ballon.

[f]Frappée par le club, une balle de golf quitte le sol au pointa avec une vitesse de valeur 52 m· çl, inclinée d'un anglede13° sur l'horizontale. On ne tient pas compte des frottements.

1. Proposer un repère et une date origine pour établir les équa­tions horaires du mouvement de la balle dans le champ depesanteur. Établir ces équations.

2. À quelle date la balle atteindra-t-elle le sommet de satrajectoire? Calculer les coordonnées de ce point.

[J Lors d'un service, un joueur de tennis frappe la balteà

une hauteur de 2,8 m, en lui communiquant une vitesse devaleur 57 m· çl. À cette date choisie comme origine des temps,la balle est au point A. Le vecteur vitesse initiale est dirigé versle bas et fait un angle de 6,8° avec l'horizontale. On considèrele repère (0; i, k): l'origine a est sur le sol, à la verticale deA. k est vertical ascendant, et le vecteur vitesse initiale est

dans le plan (i, k). On ne tient pas compte des frottements.

1.a. Faire un schéma précisant le repère et les conditionsinitiales du mouvement de la balle.

b. Établir les équations horaires du mouvement de la balle detennis lors de son mouvement de chute libre.

2. À quelle date atteindra-t-elle le sol si elle n'est pas inter­ceptée? À quelle distance de a se trouvera-t-elle alors?b. verticale;

d. de valeur minimale.

DAu sommet de la trajectoire parabolique d'un mouvementde chute libre, la vitesse est:

a. nulle;

c. horizontale;

174 9. MOUVEMENT PARABOLIQUE DANS UN CHAMP DE PESANTEUR UNIFORME

Répondre vrai ou faux. À chaque question peuvent correspondreaucune, une ou plusieurs propositions correctes.

mUn projectile est lancé depuis un sol horizontal avec une

vitesse inclinée de 60° sur l'horizontale, et de valeur va' Le pro­jectile retombe ensuite sur le sol. La durée de la chute libredu projectile:

a. ne dépend pas de la valeur va;

b. est proportionnelle à va;

c. est proportionnelle à v~;

d. est inversement proportionnelle à va'

o Lors d'un match de football, un gardien de but dégage le

ballon avec une vitesse de valeur va supposée identique àchaque dégagement. La valeur (J. de l'angle entre la vitesse ini­tiale du ballon et l'horizontale peut être différente. La duréede la trajectoire du ballon:

a. croît lorsque (J. augmente de 0° à 45°, puis diminue lorsque(J. augmente de 45° à 90°;

b. ne dépend pas de (J.;

c. croît toujours lorsque (J. augmente.

Il Deux billes en aciers sont lancées simultanément depuisun balcon situé à 15 m du sol. Les positions initiales des billes

appartiennent au même plan horizontal. La bille 1 est lâchéesans vitesse; la bille 2 est lancée avec une vitesse initiale hori­

zontale. À une date quelconque du mouvement de chute libredes billes, les altitudes des billes seront:

a. égales;

b. différentes, la bille 1 étant plus haute que la bille 2;

c. différentes, la bille 1 étant plus basse que la bille 2.

oUn caillou est lancé d'une altitude de 12 m, avec un vec­

teur vitesse initiale va dirigé vers le haut. Ce vecteur fait unangle de 30° avec l'horizontale. Le caillou retombe ensuite surle sol horizontal. Au cours du mouvement de chute libre du

caillou, l'angle entre le vecteur vitesse vet l'horizontale est:

a. toujours inférieur à 30°; b. toujours supérieur à 30°;

c. prend une valeur supérieure à 30° en certains endroits dela trajecto ire.

Il Un projectile est lancé en a depuis le sol horizontal. Ilretombe en P. On appelle 5 le sommet de la trajectoire et vle vecteur vitesse du projectile. Le vecteur accélération duprojectile:

a. est colinéaire à vet de sens opposé à v lors du mouvemententre a et 5;

b. est colinéaire à vet de même sens que v lors du mouve­ment entre 5 et P;

c. est toujours perpendiculaire à Ii.

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.11

p

~

mlA

1.,

o T

m m m~~om m m k v;,

h = 16 m

mmm

d

1

'1 ':~

1 1

14

5

z(m)"­

20

10

15

2. Exprimer en fonction de

0' 1 1 1 l '.x(m) vaz la date ts à laquelle Go 5 10 15 20 25 passe au sommet S de la

trajectoire.

3. Soit Zs l'altitude de S. Montrer que gzs = 1/2 v~z' Calculerla valeur de vaz à partir du graphique. En déduire celle de ts'

4. À partir de ts et de la valeur de xS' déterminer vax'

5. Soit a l'angle de va avec l'horizontale. Déterminer a à partirdes calculs précédents. Vérifier la valeur de tan a sur la courbe.

Calculer va en m· çl, puis en km· h-1.

1. Soit aB l'angle que fait la vitesse vB du ballon avec l'horizontalelorsqu'il passe par B. Sans faire de calcul, comparer aB à a.

2. Établir l'équation de la trajectoire du ballon dans le repère

(0; T, k), en prenant la valeur va de la vitesse comme paramètre.

3. Quelle doit-être la valeur vaB de va pour que le tir réussisse?

4. Que se passera-t-il si va est plus grand que vaB? plus petit?

m** Chute d'un toit

Une plaque de glace glisse jus­qu'au bord du toit enneigé d'unimmeuble. À la date t = 0, elle se

trouve au point 0, et commence

une chute libre avec une vitesse va

faisant un angle de 35° avec l'ho­rizontale. Soit A le point du solsitué à la verticale de O. La plaquetouche le sol au point P,à une dis­tance d du point A. La hauteur dubord de toit est h = 16 m.

1. Montrer que d ne peut être supérieure à 23 m.

2. Reproduire la figure et tracer qualitativement la trajectoirede la plaque.

3. On se place dans le repère (0; T, k) du schéma. a. Donner

sous forme numérique, en prenant va comme paramètre, leséquations horaires du mouvement de la plaque. En déduire

l'équation de sa trajectoire. b. On mesure d = 8,1 m. Calculer va'

c. Calculer la durée de chute de la plaque.

ml ** Trajectoire d'un ballon de rugby

Un joueur de rugby dégage en chandelle. La courbe ci-dessousdonne la trajectoire du centre d'inertie G du ballon. À la datet = 0, le ballon se trouve à l'origine a du repère.

1. Soit vax et vaz les compo­santes horizontale et verti­

cale de la vitesse initiale va

de G. Établir, à partir de ladeuxième loi de Newton et

des conditions initiales, les

équations paramétriquesxU) et zU) de la trajectoire.

III* Un match de football particulierUngardien de but dégage un ballon de football. À la date t= 0,leballon est au sol et sa vitesse initiale est va' Sa valeur va estde98 km· h-1 et l'angle entre va et l'horizontale vaut 45°.Leballon retombe sur le terrain au point P.

1.Choisir un repère d'espace. Établir les équations horairesparamétriquesdu mouvement du centre d'inertie du ballon,ennégligeant l'action de l'air.

2. Calculerla distance OP.

3. On imagine un match de football sur la Lune, dans une

{(bulle»équipée pour permettre des activités humaines. Lapesanteury est 6,0 fois plus faible que sur la Terre. Calculerlanouvellevaleur de la distance OP.

EXERCICES DE SYNTH~SE

~ ** Tir lobé au football

Unjoueur de football tente de tromper le gardien adverse grâceà untir lobé. Il se trouve à une distance d = 25,0 m face au

but,et communique au ballon une vitesse va faisant un anglea = 47,0° avec l'horizontale. Il souhaite que la trajectoire duballonpasse par le point B, situé juste sous la barre d'unehauteurh = 2,40 m.

m * Différentes altitudes de lancementOnconsidère une bille lancée horizontalement avec une vitesse

devaleur va = 5,0 m· çl. Soit a un point du sol supposé hori­zontal.Les différents points de lancement sont situés à la ver­

ticale de 0, à des altitudes hn différentes: hn = nha avecho = 5 m et n = 1; 2; 3; 4. La bille arrive sur le sol à la dis­tancexn de O.

1. Choisir un repère et donner les équations horaires dumouvementde chute libre de la bille, en prenant n commeparamètre.

2. Endéduire l'expression numérique de xn• Que remarque-1­on?Calculerxn pour les quatre valeurs de n.

m* La cible est-elle atteinte?

Soitun repère terrestre (0; T, k), k étant vertical ascendant. À

ladate t = 0, un projectile est lancé du point a à la vitesse va'

Cevecteur est contenu dans le plan vertical (i, k). va =100 m·çl et l'angle (T, va) est égal à 60,0°. Les calculs seronteffectuésau mètre près.

1.Lepoint A de coordonnées (xA = 100 m, zA = 162 m) sera­t·ilatteint par le projectile?

2. Mêmequestion pour le point B de coordonnées (xB = 700 m,lB = 251 m).

[Il * Temps de volUneballe est lancée du sol avec un vecteur vitesse V, qui fait

unangle a avec l'horizontale et dont la valeur va est égale à25m·çl. Elle retombe sur le sol 4,2 s plus tard: cette duréeestappelée temps de vol de la balle. Le sol est horizontal.

1. Définir un repère d'espace, préciser la date origine; établirleséquations horaires paramétriques du mouvement de la balle.

2. Calculer "angle a.3. Calculer l'altitude maximale de la balle. Calculer la vitesse

ence point.

9. MOUVEMENT PARABOLIQUE DANS UN CHAMP DE PESANTEUR UNIFORME 175