LAPPRENTISSAGE DES FRACTIONS ET DES NOMBRES DECIMAUX du CYCLE 3 à la 6 ème. Stages interdegré - 2011 -

L’APPRENTISSAGE DES L’APPRENTISSAGE DES FRACTIONS ET DES FRACTIONS ET DES

NOMBRES DECIMAUXNOMBRES DECIMAUXdu CYCLE 3 à la 6du CYCLE 3 à la 6èmeème..

Stages interdegré- 2011 -

LES DIFFICULTÉS ET LEURS ORIGINES

PRINCIPES GÉNÉRAUX D’ENSEIGNEMENT

HISTORIQUE (DISME ET STÉVIN)

DOCUMENT D’ACCOMPAGNEMENT CYCLE 3

DOCUMENT D’ACCOMPAGNEMENT 6ÈME

DES ACTIVITÉS ET DES OUTILS

LES NOMBRES: ÉCRITURE ET NATURE

EXEMPLE DE PROGRAMMATION CYCLE3-6

ÈME

EXEMPLE DE PROGRESSION 6ÈME

BIBLIOGRAPHIE

DIFFICULTÉS RELATIVES À LA COMPRÉHENSION DES NOMBRES DÉCIMAUX :

Les évaluations 6ème et CM2 mettent en évidence que certains élèves semblent considérer que la virgule sépare deux nombres entiers : ils traitent la partie décimale comme un entier.

Menu Suite

LES DIFFICULTÉS ET LEURS ORIGINESLES DIFFICULTÉS ET LEURS ORIGINES

RÉFLEXIONS SUR UN « TEST »: J. Bolon a proposé la tâche suivante à des

élèves depuis la fin du CM1 jusqu’à la 5e :« Par rapport à 7, quel est le nombre le plus

proche : 6,9 ou 7,08 ? » Réussite obtenue:

CM1 22% CM2 30% 6° 27% 5° 29%

Menu Suite


RÉFLEXIONS SUR UN « TEST »: Double conclusion:1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne

conceptualisation des décimaux dès la fin du CM1 (Cf. le pourcentage de réussite observé).

2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce moment, seront vraisemblablement confrontés à des obstacles dans les quelques années qui suivent.

=> Importance du travail initial à l’école.

Menu Suite


DOCUMENT D’ACCOMPAGNEMENT 6ÈMEDOCUMENT D’ACCOMPAGNEMENT 6ÈME

Menu

La difficulté de l’apprentissage des nombres décimaux tient notamment au fait que celui-ci nécessite la compréhension de propriétés ou de techniques dont les unes sont en continuité et les autres en rupture avec celles des entiers naturels.

Suite

Les nombre décimaux entre continuité et rupture …

Les nombre décimaux entre continuité et rupture …

OBSTACLES Les règles de fonctionnement des entiers ne

peuvent être entièrement étendues aux décimaux. Elles ne sont pas supprimées pour autant.

→ Instabilité des connaissances


Menu Suite


Menu

Nombres entiers nombres décimaux rupture

Par exemple :23 10 = 230 2,3 10 =

2,30 20,30 20,3

2,3 10 = 23 La virgule a-t-elle bougé ?...

Suite

DOCUMENT D’ACCOMPAGNEMENT CYCLE 3DOCUMENT D’ACCOMPAGNEMENT CYCLE 3

Menu

Les écritures à virgule prennent un sens en étant mises en relation avec les fractions décimales (introduction historique des décimaux).

La valeur d’un chiffre est dix fois plus petite que celle du chiffre écrit à sa gauche et dix fois plus grande que celle de celui qui est écrit à sa droite.

Travail sur l’échange : La cible.La cible

Suite

ORIGINE DES DIFFICULTÉS:1. La façon d’écrire, de lire et de dire les nombres décimaux (« 3 virgule

8 »).

2. Dans la vie quotidienne, l’utilisation des nombres décimaux renforce l’idée de juxtaposition de deux entiers (7€35 ou 7h35min).

3. Les techniques de calcul, pour ces nombres, sont les mêmes que pour les entiers.

4. Les «recettes» mnémotechniques employées parfois pour la comparaison des nombres décimaux, ou pour certaines opérations (multiplication par 10, 100..)

Quelques outils ●Une réglette. (tableau_virgule)

● Un tableur: mult div 10 100 1000 tableur.ods


Menu SuiteSuite

Ces difficultés masquent la nature de « fraction » des nombres décimaux et peuvent conduire de très nombreux élèves à les assimiler à des entiers.


Menu

PRINCIPES GÉNÉRAUX D’ENSEIGNEMENTPRINCIPES GÉNÉRAUX D’ENSEIGNEMENT

Menu

1/ Les nombres décimaux ne sont pas seulement des nombres à virgule ; ils sont aussi et surtout représentés par des fractions décimales.

2/ Les nombres décimaux sont des nombres rationnels inventés pour approcher d’aussi près que l’on veut la mesure d’une grandeur continue.

3/ Enseigner d’abord les décimaux sous forme de fractions décimales puis, dans un deuxième temps, l’écriture à virgule de ces fractions décimales. Suite

PRINCIPES GÉNÉRAUX D’ENSEIGNEMENTPRINCIPES GÉNÉRAUX D’ENSEIGNEMENT

Menu

4/ Pour enseigner les décimaux, utiliser d’abord des unités de mesure non conventionnelles pour favoriser l’appropriation de l’idée de fractionnement et éviter la confusion avec les entiers.

5/ Enseigner l’écriture à virgule comme un simple changement de notation.

6/ Faire oraliser systématiquement les nombres à virgule, en explicitant les dixièmes, centièmes etc.

HISTORIQUE (DISME ET STÉVIN)HISTORIQUE (DISME ET STÉVIN)

Menu

Première page de La Disme de Simon Stevin (édition de 1585)

Suite

HISTORIQUE (DISME ET STÉVIN)HISTORIQUE (DISME ET STÉVIN)

Menu


Menu

Au cycle 3, approche de la fraction dans le but d’aider à la compréhension des décimaux

Les fractions sont des nouveaux nombres utiles pour résoudre des problèmes où les nombres entiers sont insuffisants.

Quelques fractions (1/2, 1/3, 1/4, 1/8..) peuvent être illustrées ou évoquées en référence à des pliages successifs ou bien l’on peut avoir recours à un réseau de droites parallèles équidistantes qui permet de partager une longueur en plusieurs longueurs égales, sans recours à la division. (machine à partager)

Suite


Menu

La notion de valeur approchée fait l’objet d’un premier travail qui doit prendre sens pour l’élève, en relation avec un contexte issu de la vie courante.

Développer des représentations mentales à propos de certains nombres et des relations qui les lient 0,1 et 1/10 ainsi que 0,5 et 1/2….

EXEMPLE D’ACTIVITE: les bandelettes.

Consigne: 1er temps

1) Rangez vos instruments.

2) Vous allez recevoir une feuille sur laquelle sera indiqué votre numéro de groupe (un numéro et la lettre A ou B).

3) Sur cette feuille, sont tracés plusieurs segments

4) Vous aurez une feuille navette pour envoyer un message : le professeur fera le facteur.

5) Chaque groupe doit envoyer un message au groupe qui a le même numéro que lui. Le but du message est de faire reproduire le segment de votre choix, sans faire de dessin sur le message. Menu Suite

1- La fraction partage1- La fraction partage

Menu Suite

2ème temps: Essayer de faire un dessin qui correspond au

message qui vous a été envoyé pour l’autre groupe.

3ème temps: Rencontre et contrôle : le segment réalisé

est-il le même que celui de départ ?

Menu Suite

o Montrer l’insuffisance des nombres entiers pour effectuer des mesures.

o les fractions traduisent les actions menées.

o Plusieurs écritures peuvent désigner la même mesure: 1/2u +1/2u =1u ; 1u +1u +1/2u = 2u+1/2u

Objectifs

Exercice 1 A l'aide de votre bandelette et sans mesure supplémentaire,

construire des segments de longueurs: ½u ; ¼u ; 1+½u ; 2u

Exercice 2

Menu Suite

♦ Un partage plus ’’délicat’’

Menu Suite

Comment partager une bande en 7 parties égales ?

ierguideane.g2w

Objectif présenter une machine à partager : le guide-âne


Menu Suite Guide_démo.g2w Activité papier à partager

Vers le repérage sur la demi-droite graduée

Menu Suite

SÉANCE 1 : PARTAGE À MAIN-LEVÉE

Menu Suite

OBJECTIFS

Distinguer le rôle du dénominateur, puis celui du numérateur.

Expliciter les procédures: exemple pour placer 5/4 on utilise ses différentes écritures

Notion d’unité et d’abscisse, double usage de ces nouveaux nombres :

- représenter une longueur de bande - repérer un point de la demi-droite des nombres.

Erreurs du type 1/3 = 1,3.

Menu Suite

SÉANCE 2: À L’AIDE DE GRADUATIONS PRÉDÉFINIES

SÉANCE 3 : ÉGALITÉS DE FRACTIONS ET REPÉRAGE

Egalité de fractions et repérage

Menu Suite

Exercice (Fractions et repérages)

Place le plus précisément possible les nombres

suivants: 1/2; 1/3; 1/5; 9/7; 3/5; 5/3 ; 9/3

Tu peux prolonger la demi-droite si c’est nécessaire.

Objectifs:

- Utiliser le guide-âne pour effectuer des graduations

- Faire le lien entre des fractions de même dénominateur.

Exercice 2 (fractions et aires) Fractions et aires de carrés


Menu

CM27/3 c'est « 7 fois un tiers »Le dénominateur nomme le type de partage de l’unité (en parts égales) alors que le numérateur précise le nombre de parts qui seront reportées

Collège7/3 devient « le tiers de 7 ».7 : 3 = 7/3 (pas d’opération en suspend)

Suite

séance 1:

Compléter les égalités suivantes:

a)4 × … = 20 b) ... × 7 = 7c) 16 × … = 432 d) 15 × … = 48e) 5 × … = 2 f) … × 2 =

1g) 0 × … = 3 h) 3 × … = 4

Menu Suite

2- En sixième, la fraction quotient2- En sixième, la fraction quotient

séance 2: la puce

Menu Suite

Une puce se déplace sur une demi-droite graduée ci-dessous en faisant des bonds de longueur OA. Au bout de combien de bonds tombe-t-elle pour lapremière fois sur un nombre entier et quel est ce nombre ?

Sauts de puce

Objectifs :Objectifs :

4/3 est le nombre qui vérifie : 4/3 est le nombre qui vérifie :

3 × 4/3 = 43 × 4/3 = 4

C’est le quotient de 4 par 3. C’est le quotient de 4 par 3.

Menu Suite

séance 3: le retour de la puce

Une puce est partie du point D d’abscisse 0 et est arrivée au

point F d’abscisse 4, en faisant 3 bonds de même longueur.

Où est arrivée la puce au bout d’un bond ? Quelle est la longueur

De ce bond ?

Objectif:

Utilisation de la machine à partager pour montrer que montrer que

4/3 (vision cycle 3) est le même nombre que le tiers de 4 (vision 6ème)

Autre activité (Partage de cakes) Objectif: Montrer que 1/4 de 3 est égal à 3/4: Cakes

Menu Suite

Menu Suite

Exercice (Proportionnalité et repérage)Place 12; 72; 54 sur cette demi-droite.Tu peux la prolonger si cela te paraît nécessaire:

Objectifs: - Exploiter la proportionnalité.- Mettre en œuvre la notion de quotient dans une

situation de repérage.- Travailler la notion de fraction de…

En sixième on entreprend de « prendre une

fraction d’un nombre »

Exemple d’activité:

Prendre un nombre de

Menu Suite

Produit de nombres décimaux

Utilisation des aires: exemple d’activité

1ère séance (6 rectangles de même périmètre)

Consigne:Sur une feuille de papier millimétré, dessiner 6 rectangles de périmètre 10 cm.

Menu Suite

6 rectangles de même périmètre.2ème séance: Consigne : Voici des rectangles obtenus à la séance 1.

Quel est le rectangle de plus grande aire ?

Menu Suite

1ère séance

Consigne 1:

Sur une feuille de papier millimétré, dessiner 6 rectangles de périmètre 10

cm.

Menu Suite


Menu

Un premier objectif du collège est donc d’aider les élèves à différencier la nature d’un nombre de son écriture, notamment en mettant en relation différentes désignations d’un même nombre.

SuiteSuite

Différentes désignations d’un nombre décimalDifférentes désignations d’un nombre décimal


MenuMenu

le nombre dix-sept peut s’écrire 17 ou 34/2 ou 17,00 (écriture souvent utilisée pour les prix), etc. Dans tous les cas, c’est un nombre entier (et aussi un nombre décimal…) ;

le nombre deux plus cinq dixièmes peut s’écrire 2,5 ou 2,50 (cas des prix, toujours) 5/2, etc. Dans tous les cas, c’est un nombre décimal.

LES NOMBRESLES NOMBRES

MenuMenu

Exercice 1Exercice 1Combien de nombres différents sont écrits ?800/100 2 4 1 –

0,4 6 + 2 8,00 80/10

0,6 16 : 2 6 0,1

Exercice 2Exercice 2 (sixième)Fractions et nombres décimaux: Fractions d’aire et nombres Fractions d’aire et nombres

décimauxdécimaux

SuiteSuite

ECRITURE D’UN NOMBRE:


MenuMenu SuiteSuite

ECRITURES D’UN NOMBRE:

2,46

Deux virgule quarante-six

2+ (4x0,1)+(6x0,01)

246/100

Deux unités et quarante-six centièmes

2+ 46/100

Vingt-quatre dixièmes et six centièmes

2 +6/100+4/10

2 +46x0,01


MenuMenu

Exercice 3Exercice 3 (sixième)Voici une liste de nombres : 6/2 6/4 6/7 7/10 14/5 8/3 3/2

. Parmi les nombres de la liste, lesquels ne

sont ni entiers, ni décimaux ? Parmi les nombres de la liste, lesquels sont

égaux ?

NATURE D’UN NOMBRE:

EXEMPLE DE PROGRAMMATION CYCLE 3- 6EXEMPLE DE PROGRAMMATION CYCLE 3- 6ÈMEÈME

MenuMenu SuiteSuite

PROGRAMMES ET SOCLE COMMUN

Programmation CM1 - numération

EXEMPLE DE PROGRESSION 6ÈMEEXEMPLE DE PROGRESSION 6ÈME

MenuMenu

I Reprise et consolidation du Cycle 3

1. Les nombres entiers

2. Les fractions Comparaison de longueurs : directe, mesure avec des unités non usuelles.Activité Bandelette avec échange de messages par binômePrésentation de la machine à partager

SuiteSuite


MenuMenu

3. Les fractions décimales et les nombres décimauxSur demi-droite graduée, partage de l’unité en dix parts égales puis en cent parts.Texte de la Disme de Simon STEVIN pour arriver à l’écriture décimale

SuiteSuite


MenuMenu

II -Programme de SixièmeLes nombres rationnels

● Activité Multiplications à trou suivi du Saut de puce: la notion de quotient.● Activité Le retour de la puce : utilisation de la machine à partager pour montrer que les « 4 tiers » est le même nombre que « le tiers de 4 ». - Activité : partage de cakes● Transversalement, un travail sur les différentes écritures d’un nombre doit être mené.

● Comparaison 1/10 ; 1/100 … (exemple : « La cible »)

● Le calcul mental régulier est à poursuivre dans la continuité de l’école primaire (compter de 0,1 en 0,1; peut-on trouver un nombre entre 2,3 et 2,4 ...)

● Utilisation de la calculatrice pour aider à comprendre

les nombres décimaux. calculatricecalculatrice

SuiteSuite

BIBLIOGRAPHIEBIBLIOGRAPHIE

MenuMenu

Brochure « Des nombres au collège : parcours vers le réel », de la CII Collège

« ERMEL : Apprentissages numériques et résolutions de problèmes », INRP, Hatier

« Les fractions et les décimaux au CM1 - Une nouvelle approche » Conférence de Rémi BRISSIAUD - IUFM de Versailles

« La machine à partager - Fractions et décimaux au cours moyen » - C. Houdement – IREM Haute Normandie

La sixième entre fractions et décimaux (Irem de Lyon) Des nombres au collège

Parcours vers le réel Brochure APMEP No181 Irem Lyon ( activité des rectangles) Entrées dans l’algèbre 6e et 5e( Irem de Bordeaux1)

Documents

LAPPRENTISSAGE DES FRACTIONS ET DES NOMBRES DECIMAUX du CYCLE 3 à la 6 ème. Stages interdegré - 2011 -