L’APPRENTISSAGE DES L’APPRENTISSAGE DES FRACTIONS ET DES FRACTIONS ET DES

NOMBRES DECIMAUXNOMBRES DECIMAUXdu CYCLE 3 à la 6du CYCLE 3 à la 6èmeème..

Stages interdegré- 2012 -

LES DIFFICULTÉS ET LEURS ORIGINES PRINCIPES GÉNÉRAUX D’ENSEIGNEMENT HISTORIQUE (DISME ET STÉVIN) DOCUMENT D’ACCOMPAGNEMENT CYCLE3 DOCUMENT D’ACCOMPAGNEMENT 6ÈME

LES NOMBRES: ÉCRITURE ET NATURE BIBLIOGRAPHIE

DIFFICULTÉS RELATIVES À LA COMPRÉHENSION DES NOMBRES DÉCIMAUX :Les évaluations 6ème et CM2 mettent en évidence

que certains élèves semblent considérer que la virgule sépare deux nombres entiers : ils traitent la partie décimale comme un entier.

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LES DIFFICULTÉS ET LEURS ORIGINESLES DIFFICULTÉS ET LEURS ORIGINES

RÉFLEXIONS SUR UN « TEST »:J. Bolon a proposé la tâche suivante à des

élèves depuis la fin du CM1 jusqu’à la 5e :« Par rapport à 7, quel est le nombre le plus

proche : 6,9 ou 7,08 ? »Réussite obtenue:

CM1 22% CM2 30% 6° 27% 5° 29%

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LES DIFFICULTÉS ET LEURS ORIGINESLES DIFFICULTÉS ET LEURS ORIGINES

RÉFLEXIONS SUR UN « TEST »:Double conclusion:1°) Un petit quart des élèves ont déjà une

bonne conceptualisation des décimaux dès la fin du CM1 (Cf. le pourcentage de réussite observé).

2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup mieux dans les quelques années qui suivent.

=> Importance du travail initial à l’école.Menu Suite

LES DIFFICULTÉS ET LEURS ORIGINESLES DIFFICULTÉS ET LEURS ORIGINES

OBSTACLESLes règles de fonctionnement des entiers ne

peuvent être étendues aux décimaux. Elles ne sont pas supprimées pour autant.

→ Instabilité des connaissances

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ORIGINE DES DIFFICULTÉS:1. La façon d’écrire, de lire et de dire les nombres

décimaux (« 3 virgule 8 »).

2. Dans la vie quotidienne, l’utilisation des nombres décimaux renforce l’idée de juxtaposition de deux entiers (7€35 ou 7h35min).

3. Les techniques de calcul, pour ces nombres, sont les mêmes que pour les entiers.

4. Les « recettes » mnémotechniques employées parfois pour la comparaison des nombres décimaux.

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Ces difficultés masquent la nature de « fraction » des nombres décimaux et peuvent conduire de très nombreux élèves à les assimiler à des entiers.

LES DIFFICULTÉS ET LEURS ORIGINESLES DIFFICULTÉS ET LEURS ORIGINES

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PRINCIPES GÉNÉRAUX D’ENSEIGNEMENTPRINCIPES GÉNÉRAUX D’ENSEIGNEMENT

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1/ Les nombres décimaux ne sont pas seulement des nombres à virgule ; ils sont aussi et surtout représentés par des fractions décimales.

2/ Les nombres décimaux sont des nombres rationnels inventés pour approcher d’aussi près que l’on veut la mesure d’une grandeur continue.

3/ Enseigner d’abord les décimaux sous forme de fractions décimales puis, dans un deuxième temps, l’écriture à virgule de ces fractions décimales.

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PRINCIPES GÉNÉRAUX D’ENSEIGNEMENTPRINCIPES GÉNÉRAUX D’ENSEIGNEMENT

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4/ Pour enseigner les décimaux, utiliser d’abord des unités de mesure non conventionnelles pour favoriser l’appropriation de l’idée de fractionnement et éviter la confusion avec les entiers.

5/ Enseigner l’écriture à virgule comme un simple changement de notation.

6/ Faire oraliser systématiquement les nombres à virgule, en explicitant les dixièmes, centièmes, etc.

HISTORIQUE (DISME ET STÉVIN)HISTORIQUE (DISME ET STÉVIN)

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Première page de La Disme de Simon Stevin (édition de 1585)

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HISTORIQUE (DISME ET STÉVIN)HISTORIQUE (DISME ET STÉVIN)

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DOCUMENT D’ACCOMPAGNEMENT CYCLE 3DOCUMENT D’ACCOMPAGNEMENT CYCLE 3

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Au cycle 3, approche de la fraction dans le but d’aider à la compréhension des décimaux

Les fractions sont des nouveaux nombres utiles pour résoudre des problèmes où les nombres entiers sont insuffisants.

Quelques fractions (1/2, 1/3, 1/4, 1/8..) peuvent être illustrées ou évoquées en référence à des pliages successifs ou bien l’on peut avoir recours à un réseau de droites parallèles équidistantes qui permet de partager une longueur en plusieurs longueurs égales, sans recours à la division. (machine à partager)

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DOCUMENT D’ACCOMPAGNEMENT CYCLE 3DOCUMENT D’ACCOMPAGNEMENT CYCLE 3

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CM27/3 c'est « 7 fois un tiers »Le dénominateur nomme le type de partage de l’unité (en parts égales) alors que le numérateur précise le nombre de parts qui seront reportées

Collège7/3 devient « le tiers de 7 ».7 : 3 = 7/3 (pas d’opération en suspend)

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DOCUMENT D’ACCOMPAGNEMENT CYCLE 3DOCUMENT D’ACCOMPAGNEMENT CYCLE 3

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Les écritures à virgule prennent un sens en étant mises en relation avec les fractions décimales (introduction historique des décimaux).

La valeur d’un chiffre est dix fois plus petite que celle du chiffre écrit à sa gauche et dix fois plus grande que celle de celui qui est écrit à sa droite.

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DOCUMENT D’ACCOMPAGNEMENT CYCLE 3DOCUMENT D’ACCOMPAGNEMENT CYCLE 3

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La notion de valeur approchée fait l’objet d’un premier travail qui doit prendre sens pour l’élève, en relation avec un contexte issu de la vie courante.

Développer des représentations mentales à propos de certains nombres et des relations qui les lient 0,1 et 1/10 ainsi que 0,5 et ½….

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La difficulté de l’apprentissage des nombres décimaux tient notamment au fait que celui-ci nécessite la compréhension de propriétés ou de techniques dont les unes sont en continuité et les autres en rupture avec celles des entiers naturels.

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Nombres entiers nombres décimaux rupture

Par exemple :23 10 = 230 2,3 10 =

2,30 20,30 20,3

2,3 10 = 23 La virgule a-t-elle bougé ?...

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DOCUMENT D’ACCOMPAGNEMENT 6ÈMEDOCUMENT D’ACCOMPAGNEMENT 6ÈME

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Un premier objectif du collège est donc d’aider les élèves à différencier la nature d’un nombre de son écriture, notamment en mettant en relation différentes désignations d’un même nombre.

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DOCUMENT D’ACCOMPAGNEMENT 6ÈMEDOCUMENT D’ACCOMPAGNEMENT 6ÈME

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le nombre dix-sept peut s’écrire 17 ou 34/2 ou 17,00 (écriture souvent utilisée pour les prix), etc. Dans tous les cas, c’est un nombre entier (et aussi un nombre décimal…) ;

le nombre deux plus cinq dixièmes peut s’écrire 2,5 ou 2,50 (cas des prix, toujours) 5/2, etc. Dans tous les cas, c’est un nombre décimal.

LES NOMBRESLES NOMBRES

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Exercice 1Exercice 1Combien de nombres différents sont écrits ?800/100 2 4  1 –

0,4    6 + 2  8,00  80/10

0,6  16 : 2  6 0,1

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ECRITURE D’UN NOMBRE:

LES NOMBRESLES NOMBRES

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Exercice 2Exercice 2 (sixième)Voici une liste de nombres :  6/2 6/4 6/7 7/10 14/5 8/3 3/2

.Parmi les nombres de la liste, lesquels ne

sont ni entiers, ni décimaux ?Parmi les nombres de la liste, lesquels sont

égaux ?

NATURE D’UN NOMBRE:

BIBLIOGRAPHIEBIBLIOGRAPHIE

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Brochure « Des nombres au collège : parcours vers le réel », de la CII Collège

« ERMEL : Apprentissages numériques et résolutions de problèmes », INRP, Hatier

«  Les fractions et les décimaux au CM1 - Une nouvelle approche » Conférence de Rémi BRISSIAUD - IUFM de Versailles

« La machine à partager - Fractions et décimaux au cours moyen » - C. Houdement – IREM Haute Normandie