laser-two-frequencies - quantique.u-strasbg.fr L’ordre de grandeur d’une valeur est sa plus proche puissance de ... lement de toute onde électromagnétique) en permettant de calculer

Li en e de Chimie

Mathématiques pour Chimistesà la Rentrée Universitaire

ÉDITION 2017/2018

Table des matières

1 Applications simples 1

1.1 Notation scientifique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Composition d’un système macroscopique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.3 Gaz parfaits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.4 Échantillon de Silicium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.5 Photons et lumière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.6 Energie cinétique et vitesse d’une molécule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.7 Constante de vitesse d’une réaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.8 Gaz réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.9 Équilibre réactionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.10 L’acidité d’une solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.11 Analyse par spectrométrie de masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.12 Bilan stoechiométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Fonctions usuelles et dérivées 7

2.1 Puits d’énergie d’interaction double . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Cinétiques chimiques d’ordre un et deux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 Loi d’Arrhénius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Fonctions trigonométriques et vecteurs 10

3.1 Connaître les fonctions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.2 Les fonctions de base réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.3 Les fonctions composées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.4 Les relations entre les fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.5 L’angle entre deux vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

A Fiche de cours : fonctions usuelles, dérivées première et seconde, point d’in-flexion 17

B Tableau périodique 21

Ce fascicule est composé d’une série d’exercices qui montrent l’utilisation de quelques no-tions de base de l’application des mathématiques en chimie. Certains concepts et notions sontexpliqués au sein de l’énoncé dans des cases démarquées. D’autres se trouvent en annexe.

Les solutions des exercices seront distribués ultérieurement.

Maths pour Chimistes à la Rentrée Universitaire 2017/2018 1

1 Applications simples

1.1 Notation scientifique

La notation scientifique d’un nombre relatif non nul est l’écriture unique de la forme a · 10n (oua 10n) où a est un nombre à un seul chiffre avant la virgule (autre que 0) et n est un entier relatif.L’ordre de grandeur d’une valeur est sa plus proche puissance de 10.

Donner la notation scientifique et l’ordre de grandeur des valeurs ci-dessous :

a) 67, 542 · 102b) 0, 127 10−1

c) 8, 31 · 32d) −41 103e) −6 · 10−4

1.2 Composition d’un système macroscopique

L’or commercial dit à x carats contient x grammes d’or pour 24 g d’échantillon. L’or utilisé enjoaillerie a un titre de 18 carats.

a) Quelle est la quantité d’or et quel est le nombre d’atomes d’or dans un bijou pesant 12 g ?

b) L’autre constituant de l’alliage utilisé est le nickel. Quelle est la quantité de nickel que l’ontrouve au total dans ce bijou ? Cette quantité correspond à combien d’atomes de nickel ?

c) L’élément nickel est constitué de plusieurs isotopes naturels. Le moins abondant de tousa pour nombre de masse 64 et constitue 0,904% (proportion en atomes) de cet élément.Combien le bijou contient-il d’atomes de cet isotope ?

On rapelle que l’unité SI de la quantité de matière est la mole, dont le symbole est mol.Une mole de matière contient 6, 022 140 76 1023 entités élémentaires de cette matière. Cenombre, aussi appelé nombre d’Avogadro, est la valeur numérique de la constante d’AvogadroNA = 6, 022 140 76 1023 mol−1 .

Pour calculer la quantité de matière nX à partir de la masse mX d’un échantillon X, on utilise laformule

nX = mX/MX

où MX est sa masse molaire.

1.3 Gaz parfaits

Le vide le plus poussé que l’on puisse obtenir est de l’ordre de 10−9 torr. Combien de moléculessubsistent-elles dans une enceinte dont la contenance est de 1 litre et dans laquelle on a réaliséun tel vide ? On rappelle que 1 torr = 133, 322Pa ; l’équation des gaz parfaits : PV = nRT où Pest la pression, V le volume, n est la quantité de matière, R ≈ 8, 314 JK−1 mol−1 la constanteuniverselle des gaz et T la température.


1.4 Échantillon de Silicium

Le silicium qui est employé en électronique est un des éléments chimiques parmi les plus pursque l’on trouve sur le marché. Il peut être pur à raison de 99, 999 999%. Combien y a-t-il departicules d’impuretés dans un échantillon de 1 g de silicium d’une telle pureté ?

1.5 Photons et lumière

Le but de cet exercice est de montrer l’utilisation d’unités et de leur conversion par le biais del’algèbre de grandeurs (lire la fin de cet exercice).

La relation de Planck-Einstein traduit le modéle corpusculaire de la lumière (ou plus généra-lement de toute onde électromagnétique) en permettant de calculer l’énergie transportée parun photon. Cette relation s’écrit simplement : E = hν = h c/λ où E est l’énergie du photon,h ≈ 6, 63 10−34 Js est la constante de Planck, c ≈ 3 108 m/s est la vitesse de la lumière dans levide, ν est la fréquence de l’onde électromagnétique associée au photon considéré et λ la lon-gueur d’onde correspondante. On étudie divers photons dont les énergies sont les suivantes :10 MeV ; 10−3 eV ; 5 eV ; 0,02 eV ; 2,80 eV. Calculer les longueurs d’onde correspondantes etclasser ces rayonnements selon leur type (cf. la figure ci-dessous).


Tout symbole x représentant une grandeur physique dans une équation remplace le produitd’une valeur numérique v(x) et d’une unité u(x) de cette grandeur :

x = v(x) × u(x)

Par exempleE = 8, 010 10−19 J ou E = 5eV

Dans le premier cas, v(E) = 8, 010 10−19 et u(E) = J, dans le second, v(E) = 5 et u(E) = eV. Ilest clair que les valeurs numériques et les unités pour une même grandeur sont indissociables,et que deux unités pour la même grandeur doivent être inter-convertibles.

S’il est souhaité d’exprimer une grandeur x dans une autre unité valable pour x, par exempleu′(x), on écrira

x = v′(x)× u′(x) = v(x)× u(x)⇒ v′(x) =u(x)

u′(x)× v(x)

Le facteur u(x)/u′(x) est le facteur de conversion.

Par exemple, les unités joule (J) et électronvolt (eV) sont toutes les deux des unités valablespour l’énergie. La définition de l’électrovolt, eV ≈ 1, 602 10−19 J donne directement le facteur deconversion eV/J ≈ 1, 602 10−19 .

Dans une expression mettant en rapport plusieurs grandeurs physiques, les unités doivent êtrecohérentes :

a = b · c⇔ v(a) × u(a) = v(b)× u(b) · v(c)× u(c)⇔ v(a) = v(b) · v(c)× u(b) · u(c)u(a)

Puisque toutes les valeurs v sont des valeurs numériques, le rapport d’unités doit lui aussi êtreun facteur numérique. Si ce facteur est 1, u(b)·u(c)

u(a) = 1 ⇒ u(a) = u(b) × u(c) et le système estappelé cohérent. Le Système International d’unités (SI) est cohérent.

En pratique, les unités très souvent ne rélèvent pas du SI, et il faudra toujours en tenir compteexplicitement dans le calcul. Pour le calcul des valeurs numériques, par exemple d’une relationdu type a = b · c, à la place de calculer v(a) = v(b) · v(c), cela implique toujours calculer

a

u(a)=

b

u(b)· c

u(c)× u(b) · u(c)

u(a)

Ce calcul est appelé algèbre de grandeurs. C’est une algèbre dans laquelle les symboles pourles unités sont traités au même titre que les symboles pour les grandeurs physiques.


1.6 Energie cinétique et vitesse d’une molécule

On considére une molécule de N2 de masse 4, 6 10−26 kg à une température de 293 K. La vi-tesse de cette molécule est liée à son énergie cinétique par l’équation suivante : Ec =

12mv2. En

moyenne, cette énergie dépend de la temperature selon Ec =32kbT , où kb ≈ 1, 38 10−23 JK−1

est la constante de Boltzmann.

Calculer la vitesse moyenne de cette molécule.

1.7 Constante de vitesse d’une réaction

Arrhenius a déterminé une loi phénoménologique qui met en rapport la constante de vitessek d’une réaction chimique et la température T , à laquelle la réaction a lieu. Cette loi s’écritcomme suit :

k = A exp

(

− Ea

RT

)

Cette équation fera aussi le sujet de l’exercice 2.3.

a) Exprimer T en fonction des autres paramètres de l’équation d’Arrhenius.

b) Considérant une réaction ayant une énergie d’activation Ea = 52, 0 kJmol−1, et A =1, 00 s−1, évaluer la valeur de T pour des constantes de vitesse de 5, 29 10−12 s−1 et8, 73 10−10 s−1.

1.8 Gaz réels

En physique, et plus particulièrement en thermodynamique, l’équation d’état de van der Waalsest une équation d’état approchée d’un gaz réel proposée par le physicien Johannes Diderikvan der Waals. L’équation modifie la loi des gaz parfaits en introduisant phénoménologiquementla taille finie des molécules ainsi que l’interaction attractive entre celles-ci. Son expression estla suivante :

(

p+an2

V 2

)

(V − nb) = nRT

où p est la pression, V le volume et T la température absolue d’une quantité n de gaz et a et bsont des constantes relatives à ce gaz.

a) Calculer la température d’un système contenant 1,0 mol d’argon occupant un volume de25·10−3m3 à une pression de 105 Pa avec a = 0, 10 Pa ·m6 ·mol−2 et b = 4, 0 10−5 m3 ·mol−1.

b) Exprimez la pression en fonction des autres variables du système.


1.9 Équilibre réactionnel

La constante d’équilibre K d’une réaction chimique de la forme :

aA+ bB = cC + dD

est définie par l’expression suivante :

K =[C]c [D]d

[A]a [B]b

Donner l’expression de − logK en fonction d’une somme de logarithmes.

1.10 L’acidité d’une solution

L’acide formique est un acide faible ayant une constante de dissociation Ka = 1, 8·10−4 molL−1.La constante Ka relie la concentration des protons en solution H+, que l’on note [H+], et laquantité volumique d’acide dissous notée Ca,0 selon l’équation suivante :

Ka =[H+]2

Ca,0 − [H+]

Calculer le pH de la solution sachant que Ca,0 = 0, 1mol/L. On rappelle que, approximative-ment, pH = − log([H+]).

1.11 Analyse par spectrométrie de masse

Les résultats d’une expérience de spectrométrie de masse indiquent que deux fragments d’unemolécule contiennent tous deux du carbone et de l’hydrogène. La formule du premier fragmentest C2H5 et sa masse est de 29 u ; u est unité de masse atomique, aussi appelée dalton,symbole Da. Le second a une formule de C8H18 avec une masse de 114 u. Calculer les massesdu carbone et de l’hydrogène en unité de masse atomique.


1.12 Bilan stoechiométrique

L’aniline C6H5NH2 peut être synthétisée à partir du nitrobenzène C6H5NO2 selon la réactionsuivante :

4C6H5NO2 + 9Fe + 4H2O = 4C6H5NH2 + 3Fe3O4

On rapelle l’équation fondamentale de la stoechiométrie :

∆n(A)

∆n(B)=

ν(A)

ν(B)

où ν(X) et ∆n(X) sont le coefficient stoechiométrique attribué à X et la variation de la quantitéde X lors de l’avancement de la réaction, respectivement.

Typiquement, la variation de la quantité d’un réactif R est négative, ∆n(R) < 0 (le réactif setrouve à gauche dans l’équation stoechiométrique), par conséquent on attribue au coefficientstoechiométrique correspondant un signe négatif : ν(R) < 0.

De même, la variation de la quantité d’un produit P est positive, ∆n(P) > 0 (le produit setrouve à droite dans l’équation stoechiométrique), par conséquent on attribue au coefficientstoechiométrique correspondant un signe positif : ν(P) > 0.

Dans de souci d’obtenir une notation plus légère, et si toute ambiguïté peut être écartée, il estpossible de noter :

n(A)

n(B)=

ν(A)

ν(B)

Dans cette notation simplifiée, il faut interpréter n(X) comme étant le module de la variationde la quantité de X, et ν(X) est le module du coefficient stoechiométrique de X dans le bilansteochiométrique donné.

a) Ecrire un facteur de conversion permettant de relier la quantité de fer et de nitrobenzène.

b) Quelle est la masse minimale de Fe nécessaire pour réagir complètement un échantilloninitial de 810,5 g de nitrobenzène ?

c) Ecrire un facteur de conversion permettant de relier les quantités d’aniline et de nitroben-zène.

d) Quelle est la masse maximale d’aniline pouvant être formée à partir de 810,5 g de nitro-benzène avec un excès de fer et d’eau ?

e) Ecrire un facteur de conversion permettant de relier les quantités de Fe3O4 et d’aniline.

f) Quelle est la masse de Fe3O4 formée en parallèle à la masse d’aniline calculée en partied) ?

g) Si 478,2 g d’aniline sont formés à partir de 810,5 g de nitrobenzène avec un excès de feret d’eau, quel est le rendement de la réaction ?


2 Fonctions usuelles et dérivées

2.1 Puits d’énergie d’interaction double

La fonction f : x 7→ f(x) = x4−2x2 de R dans R est utilisée en chimie théorique pour modéliser,par exemple, la molécule d’ammoniac. Dans ce cas, x décrit la position de l’atome d’azote parrapport au plan des trois atomes d’hydrogène (x > 0 s’il est au dessus du plan et x < 0 s’il esten dessous). Le nombre réel f(x) correspond alors à l’énergie d’interaction entre l’azote et leshydrogènes. L’objectif de l’exercice est de comprendre pourquoi la fonction f est dite "à doublepuits" et de généraliser son expression.

a) Soit f ′ : x 7→ f ′(x) =df(x)

dxla dérivée première de f . Donner l’expression de f ′(x) en

fonction de x.

b) Déterminer les valeurs de x pour lesquelles f ′(x) = 0. Ces valeurs, que l’on appelle points

stationnaires, sont interprétées comme des positions d’équilibre pour l’atome d’azote.

c) Soit f ′′ : x 7→ f ′′(x) =d2f(x)

dx2la dérivée seconde de f , c’est-à-dire la dérivée de la

derivée de f . Donner l’expression de f ′′(x) en fonction de x.

d) On note xe une des positions d’équilibre trouvées à la question 2.1 b). On dit que xe estune position d’équilibre stable si f ′′(xe) > 0 et instable si f ′′(xe) < 0. Montrer que f admetdeux points d’équilibre stables et un point d’équilibre instable.

e) Donner, à l’aide des questions 2.1 a) et 2.1 b), le tableau de variations de la fonction fpuis en donner une représentation graphique qualitative.

f) Justifier le nom "puits double" attribué à la fonction f .

g) On considère une fonction d’énergie d’interaction plus générale V : x 7→ V (x) = λx4 −2kx2 où λ et k sont des nombres réels strictement positifs quelconques dont la valeurdépend de la molécule étudiée. Pour quelles valeurs de λ et k retrouve-t-on la fonctionf ?

h) On note x0 et −x0 (x0 > 0) les points stationnaires de V correspondant aux positionsd’équilibre stables. Exprimer x0 en fonction de λ et k.

i) Soit W = V (0)− V (x0) la hauteur du puits. Exprimer W en fonction de λ et k.

j) Exprimer λ et k puis la fonction V à l’aide des quantités physiques x0 et W .


2.2 Cinétiques chimiques d’ordre un et deux

a) Soit l’équation différentielle

f ′(t) = −2f(t) (1)

qui est utilisée en chimie, par exemple, pour décrire les cinétiques chimiques d’ordre 1.La concentration d’un réactif est donnée par la fonction f : t 7→ f(t) de R

+ dans R+ que

l’on doit déterminer en résolvant l’équation (1). La seule information dont on dispose estla concentration intiale du réactif f(0) = 1. Montrer que la solution s’écrit f(t) = e−2t.Commenter, sans faire de calculs, la variation de f au cours du temps.

b) Soit l’équation différentielle plus générale

f ′(t) = −kf(t), (2)

où k est un nombre réel strictement positif qui dépend de la nature des réactifs et desconditions expérimentales (température par exemple). La concentration initiale f(0) est a

priori quelconque. Montrer que la solution à l’équation (2) s’écrit f(t) = f(0)e−kt.

c) On se place à l’instant t = 1 et on suppose que f(0) = 1. Calculer f(1) pour plusieursvaleurs de k (k = 0, 1, 2, 5, 10 par exemple) puis expliquer pourquoi le nombre k est appeléconstante de vitesse de la réaction.

d) On suppose à nouveau que f(0) a une valeur quelconque. Exprimer, à l’aide de la ques-tion 2.2 b), ln (f(t)) en fonction de f(0), k et t. Expliquer alors comment il est possiblede vérifier expérimentalement, à partir des mesures de f(t) à plusieurs instants t, qu’uneréaction a bien une cinétique d’ordre 1. Comment obtiendrait-on la valeur de k ?

e) Il est important de noter que l’équation (2) ne permet pas de décrire la cinétique den’importe quelle réaction. Certaines réactions sont par exemple régies par l’équation dif-férentielle suivante

f ′(t) = −kf2(t), (3)

où f2(t) = f(t) × f(t). On parle alors de cinétique chimique d’ordre deux. Montrer que

la solution générale à l’équation (3) s’écrit f(t) =f(0)

1 + f(0)× kt. Donner, sans faire de

calculs, la variation de f au cours du temps et commenter le résultat.

f) Exprimer, à l’aide de la question 2.2 e),1

f(t)en fonction de f(0), k et t puis expliquer com-

ment il est possible de vérifier expérimentalement qu’une réaction a bien une cinétiqued’ordre deux. Comment obtenir la valeur de k dans ce cas?


2.3 Loi d’Arrhénius

Dans cet exercice on utilisera la notation exp(x) = ex.

a) Soit la fonction f : T 7→ f(T ) = 2 exp

(

− 3

2T

)

. Montrer que la fonction g : T 7→ g(T ) =

ln (f(1/T )) est affine. Donner la pente et l’ordonnée à l’origine de la droite représentantg.

On considère la fonction plus générale

k : T 7→ k(T ) = A exp

(

− Ea

RT

)

, (4)

où A, Ea et R sont des nombres réels strictement positifs indépendant de T . D’aprèsla loi d’Arrhénius, la constante de vitesse de réaction introduite dans l’exercice 2.2 estune fonction de la température T dont l’expression est donnée par l’équation (4). Ea estalors interprétée comme l’énergie d’activation molaire de la réaction (dont l’unité est joulepar mole (J mol−1)) et R ≈ 8, 314 JK−1 mol−1 est la constante universelle des gaz. Latempérature T est alors exprimée en kelvin (K).

b) Expliquer, en s’inspirant de la question 2.3 a), comment les valeurs de Ea et A peuventêtre déterminées expérimentalement pour une réaction donnée, sachant que la constantede vitesse de réaction peut être mesurée à une température donnée, comme expliquédans l’exercice 2.2.


3 Fonctions trigonométriques et vecteurs

3.1 Connaître les fonctions de base

Le Laser (de l’Anglais “Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation”), est un outilessentiel d’étude en physique et en chimie. C’est un excellent outil d’analyse et caractérisa-tion fine d’un composé chimique, par exemple, en spectroscopie optique. Ou encore, il sert àcontrôler les réactions chimiques au niveau moléculaire. Le Laser est caractérisé par la fonctionmathématique :

E(t) = E0 cos(ωt)

E(t) désigne l’intensité du champ électrique, ωsa pulsation et E0 est une constante ; t désignele temps, et le produit ωt est appelé la phase duLaser. La phase peut être interprétée commeun angle sur le cercle unitaire (de rayon 1).

Le but de cet exercice est la familiarisationavec la fonction cos(φ) et sa fonction jumellesin(φ). Ces fonctions sont les fonctions trigono-métriques de base. Elles sont définies à l’aidedu cercle unitaire, cf. la figure ci-contre. Lesangles sont portés sur le cercle modulo 2π, sa-chant que π rad = 180◦.

φ )

1

x

φ

y

−1

cos(

−1

1

φ )

sin(

π

π 2/

π 2/3

π 2

Par convention, un angle est donné sans unité quand il est exprimé en radian (rad). Par exempleφ = 1, 75. Il est alors aussi possible de préciser l’unité, φ = 1, 75 rad, et de désigner par lesymbole {φ}rad la valeur numérique de cet angle, quand exprimé en radian : {φ}rad = 1, 75.

Normalement, la valeur de l’argument des fonctions trigonométriques est la valeur numériqued’un angle quand exprimé en radian : cos(φ) ≡ cos({φ}rad).

Par convention on pose aussi qu’un angle positif est pris dans le sens direct (aussi nommétrigonométrique) sur le cercle unitaire (cf. la figure ci-dessus), tandis qu’un angle négatif estpris dans le sens indirect, cad. dans le sens de rotation des aiguilles d’un horloge.

a) Donner la valeur de φ = 1, 75 rad en degré (le symbole du degré pouvant être deg ou ◦).

b) Déterminer graphiquement, à l’aide du cercle unitaire dessiné ci-dessus, la valeur decos(φ), où φ = 135◦. Utiliser de préférence règle et rapporteur, ou règle, compas etéquerre. Calculer cette valeur aussi avec le calculatrice et comparer les deux résultats.

c) Soient x(φ) = cos(φ) et y(φ) = sin(φ). A l’aide du cercle unitaire ci-dessus, déterminerx(φ), et y(φ) pour :

φ ∈ {0, π/2, π, 3π/2, 2π,−π/2,−π}.Présenter les résultats dans un tableau.

d) Montrer : cos(−φ) = cos(φ) et sin(−φ) = − sin(φ).


e) Donner l’ensemble des solutions des équations

cos(φ) = cos(φ+ 2π)

sin(φ) = sin(φ+ 2π)

se trouvant dans l’espace réel R. Justifier.

f) Montrer :

cos(φ) = cos(φ+ 2π n)

sin(φ) = sin(φ+ 2π n)

où φ ∈ R et n ∈ Z (l’espace des nombres entiers).

Une fonction f(x) possédant la propriété f(x + a) = f(x) est appelée périodique ; leparamètre a étant sa période.

g) Déterminer tous les points stationnaires de la fonction cos(φ).

Un point φ est stationnaire quand il satisfait la condition cos′(φ) = 0. Le symbole f ′

désigne la dérivée prime d’une fonction f ,

f ′(x) =dfdx

(x) = limǫ→0

f(x+ ǫ)− f(x)

ǫ

quand cette limite existe, cad. quand f est dérivable. On rappelle, dans ce contexte, queles fonctions trigonométriques de base cos et sin sont toujours dérivables, et que

cos′(φ) = − sin(φ)

sin′(φ) = cos(φ)

h) Parmi les points stationnaires de la fonction cos(φ), lesquels correspondent à des pointsextrêmes de la fonction cos(φ)?

Un point stationnaire x d’une fonction f(x) correspond à unmaximum de f , quand f ′′(x) < 0 ;minimum de f , quand f ′′(x) > 0.

Le symbole f ′′ désigne la dérivée seconde d’une fonction f ,

f ′′(x) =df ′

dx(x) = lim

ǫ→0

f ′(x+ ǫ)− f ′(x)

ǫ

quand cette limite existe, cad. quand f ′ est dérivable.

Les points x pour lesquels f ′′(x) = 0 sont des points d’inflexion de f .

i) Au vu des réponses aux questions précédentes, esquisser les fonctions cos(φ) et sin(φ)pour φ ∈ [−2π, 2π].

j) Proposer une expression permettant de calculer la fonction sin(x) à partir de la fonctioncos, et vice-versa.

k) Soient E(t) = dEdt

(t), et E(t) = dEdt

. Calculer E(t) et E(t) pour la fonction E(t) décrivantl’intensité du champ électrique du Laser et montrer que cette grandeur physique satisfaitl’équation différentielle

E(t) = KE(t)

où K est une constante. Donner l’expression pour K.


3.2 Les fonctions de base réciproques

La relation de Bragg,2d sin(θn) = nλ

est utilisée en cristallographie pour déterminer la structure d’un cristal. Dans cette relation, dest une distance entre deux plans cristallins, λ est la longueur d’onde du rayonnement mono-chromatique et n = 0, 1, 2, 3, . . . est un ordre du rayonnement diffusé ; le cristallographe mesure,pour un ordre n du signal de diffusion donné, l’angle θn auquel le signal de diffusion sera maxi-mal, et détermine ainsi la distance d en fonction de la longueur d’onde du rayonnement.

Dans un cristal de cuivre, la distance entre deux plans est de 255, 6 pm (1 pm = 10−12 m). Soitλ = 200pm. Pour combien d’angles le signal de diffusion sera-t-il maximal ?

Pour répondre à cette question, il est nécessaire de connaître la fonction trigonométrique réci-proque : arccos. Le but de cet exercice est la familiarisation avec cette fonction, ainsi qu’avecsa fonction jumelle arcsin.

Les fonctions trigonométriques réciproques arccos(x) et arcsin(x) sont définies dans l’intervallex ∈ [−1, 1].

Le résultat d’une fonction trigonométrique réciproque est un angle exprimé en radian (rad). Parconvention, quand un angle est exprimé en radian, on peut tacitement supprimer l’unité rad.

a) Esquisser les fonctions x = sin(φ) et x = cos(φ) dans l’intervalle φ ∈ [−π/2, π/2] et φ ∈[0, π], respectivement. Puis inverser graphiquement abscisse et ordonnée pour obtenirles esquisses des fonctions réciproque, φ = arcsin(x) et φ = arccos(x).

b) Résoudre la relation de Bragg pour déterminer le nombre d’angles susceptibles d’êtreobservés dans une expérience de diffusion sur le cuivre avec les paramètres donnésci-dessus. Donner la valeur des ces angles en degré.

3.3 Les fonctions composées

Le dichroïsme circulaire est une technique puissante d’analyse de spécification chirale. Danscette technique, l’ellipticité θ d’un rayonnement est mesurée. Cette grandeur est définie par larelation

tan(θ) =Emin

Emaj

où Emin et Emaj sont les intensités du champ électrique polarisé elliptiquement dès lors que lerayonnement a traversé un échantillon contenant une substance chirale : Emin est l’intensité del’axe mineur, Emaj est celle de l’axe majeur.

Le but de cet exercice est la familiarisation avec la fonction x = tan(φ) et sa fonction réciproque,φ = arctan(x).


La fonction trigonométrique tan(φ) est définie par

tan(φ) =sin(φ)

cos(φ)

Elle est définie sur tout l’espace réel R à l’exception de l’ensemble {±π/2,±3π/2,±5π/2, . . .}.Sa fonction réciproque est la fonction arctan(x), celle-ci définie sur tout l’espace réel R.

La fonction tan(x) satisfait l’équation différentielle

d tandx

(x) = 1 + tan2(x)

a) Avec la calculatrice, calculer certains valeurs de tan(φ) pour φ légèrement inférieur à π/2,puis légèrement supérieur à cet angle. Déterminer ainsi les valeurs limites tan(π/2−) =lim

φ→π/2−

tan(φ), quand φ s’approche de π/2 mais reste inférieur à l’angle limite, et tan(π/2+) =

limφ→π/2+

tan(φ), quand φ s’approche de π/2 mais reste supérieur à l’angle limite.

b) Montrer que la fonction tan(φ) est périodique. Donner sa période.

c) Esquisser la fonction x = tan(φ) dans l’intervalle φ ∈ [−π, π] et pour x ∈ [−10, 10].Reproduire correctement la pente de la fonction à l’origine, ainsi qu’aux points exclus−π/2 et π/2.

d) Par inversion d’abscisse et ordonnée, tracer la fonction φ = arctan(x) pour x ∈ [−10, 10].

3.4 Les relations entre les fonctions trigonométriques

En spectroscopie l’interaction entre un atome ou une molécule avec le rayonnement électro-magnétique est exploitée pour étudier les états de la matière microscopique. Ce rayonnementest normalement polychromatique, cad. il est composé de plusieurs fréquences monochroma-tiques élémentaires. Trouver cette composition est appelée décomposition spectrale.

Soit, par exemple, l’intensité du champ électrique d’un rayonnement polychromatique donnépar l’expression

E(t) = E0 cos(Σt) sin(∆t)

.

où ∆ = 0, 063 ps−1 et Σ = 0, 627 ps−1 sont deux pulsations. L’évolution temporelle de ce champest montrée dans la figure ci-dessous.


−1

−0.5

0

0.5

1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

E(t

)/E

0

t/ps

Nous nous intéressons à retrouver une décomposition du type

E(t) = E1 cos(ω1t+ φ1) + E2 cos(ω2t+ φ2)

.

Il faut donc trouver des expressions pour E1, ω1, φ1 ainsi que pour E2, ω2, φ2 en fonction deE0,Σ et ∆.

Le but de cet exercice est l’application de certaines relations trigonométriques pour trouver ladécomposition spectrale d’une fonction dépendante du temps.

Deux relations utiles entre les fonctions trigonométriques :

sin(α+ β) = sin(α) cos(β) + cos(α) sin(β)

cos(α+ β) = cos(α) cos(β)− sin(α) sin(β)

a) Grâce aux relations données ci-dessus, et aux autres propriétés connues des fonctionstrigonométriques, déterminer des relations similaires pour

sin(α− β), cos(α− β), sin(2α), cos(2α)

b) Trouver une relation simple faisant intervenir les fonctions sin2(α) et cos2(α). Démontrerla relation trouvée aussi géométriquement à l’aide du cercle unitaire de la question 3.1.

c) Trouver une expression pour cos2(α) qui ne dépend que des constantes et de la fonctioncos sous une forme linéaire.

d) Trouver la décomposition spectrale de la fonction E(t).


3.5 L’angle entre deux vecteurs

En cristallographie l’on détermine la structure d’un cristal en mesurant les positions des atomesavec l’aide d’un rayonnament électromagnétique (rayons x). Ces positions sont décrits avecdes vecteurs définis dans l’espace tridimensionnel. La figure ci-dessous donne un aperçu d’unréseau cristallin cubique simple, où les atomes se trouvent sur les sommets d’un cube. Lestrois vecteurs ~ax, ~ay et ~az définissent la base du système cubique. Leur norme soit a.

ay ax

azb

z

y

x

B

A

Le but de cet exercice est de montrer l’application en cristallographie de la relation entre lesvecteurs et l’angle formé par eux.

L’angle formé par deux vecteurs.

Soient ~a et ~b deux vecteurs. Ces deuxvecteurs forment l’angle θab, cf. la figure ci-contre. Cet angle est définit par l’expression

~a ·~b = a b cos(θab)

où a et b sont les normes, respectivement,de ces vecteurs, et l’expression ~a ·~b est leurproduit scalaire.

a

Θab

b

Décomposition, base, vecteurs de coordonnées (vecteurs colonne).La décomposition d’un vecteur quelconque ~v dans une base de vecteurs ~a1, . . . ,~an est l’en-semble unique des coefficients v

(a)1 , . . . , v

(a)1 qui permettent d’écrire

~v = v(a)1 ~a1 + . . .+ v

(a)n ~an

Cet ensemble définit les coordonnées du vecteur ~v dans la base ~a1, . . . ,~an, et définit lui-mêmeun vecteur que l’on écrit

v(a) =

v(a)1...

v(a)n

Ce vecteur est aussi appelé vecteur colonne et il représente le vecteur des coordonnées dansla base ~a1, . . . ,~an.


Norme d’un vecteur.La norme d’un vecteur quelconque ~v s’écrit aussi |~v|, ce qui est souvent raccourci par le sym-bole v (le symbole du vecteur sans la flèche). C’est la longueur du vecteur, ou bien la distanceentre les deux points reliés par le vecteur.

Par ailleurs, la norme d’un vecteur est calculée à l’aide du produit scalaire :

v =√~v · ~v

Bases orthogonales et orthonormées.Une base ~u1, . . . , ~un est appelée orthogonale, quand ~ui · ~uj = 0 pour tous i 6= j. Si, en plus,tous les vecteurs de la base ont la norme 1, c.a.d. ~ui · ~ui = 1, pour tous i, la base est appeléeorthonormée. Une base orthonormée est aussi appelée Cartésienne.

Par ailleurs, dans une base orthogonale, le produit scalaire s’écrit

~a ·~b = a(u)1 b

(u)1 u21 + . . .+ a(u)n b(u)n u2n

où a(u)i et b(u)i (i = 1, . . . , n) sont les coordonnées des vecteurs ~a et ~b, respectivement, dans la

base ~u1, . . . , ~un, et ui (i = 1, . . . , n) les normes des ces vecteurs de base.

Dans une base orthonormée, le produit scalaire s’écrit

~a ·~b = a(u)1 b

(u)1 + . . .+ a(u)n b(u)n

et la formule pour le calcul de la norme d’un vecteur est simplifiée :

v =√~v · ~v =

√

v21 + . . .+ v2n

où v1, . . . , vn sont les coordonnées Cartésiennes du vecteur ~v.

a) Le vecteur donnant la position de l’atome B par rapport à l’atome A soit nommé~b. A l’aidede la figure, donner la décomposition de ~b dans la base des vecteurs ~ai (i = x, y, z), etpréciser quel est le vecteur colonne b(a) des coordonnées de ~b dans ladite base.

b) La norme de~b donne la distance entre les atomes A et B. Calculer cette distance ; utiliserla norme a comme étant l’unité de longueur.

c) Calculer l’angle entre les vecteurs ~b et ~ax. Astuce : considérer que la base des vecteursest orthogonale, et que les normes des vecteurs de base sont toutes égales à a. Il n’estpas nécessaire de connaître la valeur spécifique de la norme a, afin de calculer cet angle.


A Fiche de cours : fonctions usuelles, dérivées première et se-conde, point d’inflexion

1) Une fonction quelconque f dite réelle associe à un nombre réel x un autre nombre réel quel’on notera f(x). Ceci s’écrit mathématiquement comme suit,

f : x 7→ f(x).

Exemples de fonctions réelles :

f : x 7→ f(x) = x2, g : x 7→ g(x) =√x, h : x 7→ h(x) = (x4 + 3x)2.

2) Une fonction f : x 7→ f(x) = ax+ b où a et b sont des constantes (c’est-à-dire des nombresréels indépendant de x) est dite affine.

3) Soit la fonction exponentielle x 7→ exp(x) = 1 + x+x2

2!+

x3

3!+ . . . = 1 +

+∞∑

n=1

xn

n!

où n! = 1× 2× . . .× (n− 1)× n.

On note généralement exp(x) = ex avec e = exp(1) = 2 +1

2!+

1

3!+ . . . ≈ 2, 718.

4) Il est important de souligner que ex > 0 quelle que soit la valeur de x.

5) Soit une fonction f et un nombre réel x. Pour étudier la variation de f autour de x, on peut

considérer un autre nombre réel h et calculer(

f(x+h)− f(x))

/h. En prenant h de plus en

plus petit jusqu’à le faire tendre vers 0, on obtient un nombre que l’on appelle dérivée de lafonction f en x et que l’on note f ′(x).

6) La dérivée d’une fonction constante f : x 7→ f(x) = c est nulle puisque f(x+h) = c = f(x).

7) Si f est affine, f(x) = ax + b et donc f(x + h) = ax + ah + b = f(x) + ah de sorte quef ′(x) = a. La dérivée d’une fonction affine est donc constante.

8) On peut montrer que si f(x) = xq alors f ′(x) = q×xq−1 où q est un nombre réel quelconque.

9) Une propriété remarquable de la fonction exponentielle est que sa dérivée est égale à elle-même soit exp′(x) = exp(x).

10) Formules utiles : soient deux fonctions f et g.

Si h(x) = f(x) + g(x) alors h′(x) = f ′(x) + g′(x) ← sommeSi h(x) = f(x)× g(x) alors h′(x) = f ′(x)× g(x) + f(x)× g′(x) ← produit

Si h(x) = f(

g(x))

alors h′(x) = g′(x)× f ′

(

g(x))

← composition

11) D’après 8) et 10), si h(x) =(

f(x))q

= f q(x) alors h′(x) = q × f ′(x)× f q−1(x),

où q est un nombre réel quelconque.

Preuve : il suffit de poser g(x) = xq, d’écrire h(x) = g(

f(x))

puis d’utiliser la règle de com-

position (voir point 10)) .

12) Un point M est repéré dans l’espace réel à deux dimensions à l’aide de son abscisse x etde son ordonnée y. On le note souvent M(x, y).


FIGURE 1 – Construction de la fonction ln à partir de l’exponentielle.

13) La représentation graphique d’une fonction réelle f est l’ensemble des points M(x, f(x)) ob-tenus en faisant varier x. Il en résulte une courbe. Par exemple, la représentation graphiquede f : x 7→ f(x) = x2 est une parabole.

14) La représentation graphique d’une fonction affine f : x 7→ f(x) = ax + b est une droite. Ondira que a est le coefficient directeur (ou pente) de cette droite et que b est l’ordonnéeà l’origine. Ce que l’on appelle "équation de la droite" s’écrit y = ax + b. Cela signifieque tout point de la droite d’abscisse x a pour ordonnée ax + b. Il faut noter que, si l’onconnait les coordonnées de deux points A(xA, yA) et B(xB, yB) de la droite, alors on peut

déterminer a et b. En effet, puisque yA = axA + b et yB = axB + b, il vient a =yB − yAxB − xA

et

b =yAxB − xAyB

xB − xA.

15) La fonction logarithme népérien x 7→ ln(x) peut se définir comme la fonction réciproque dela fonction exponentielle. Concrètement, la fonction ln est telle que

ln(

exp(x))

= x,

ou bien, de manière équivalente,

exp(

ln(x))

= x.

Ces deux relations sont illustrées dans la Figure 1.D’après 4), ln(x) n’est défini que si x > 0.

16) On constate graphiquement que la droite de pente f ′(x) qui passe par le point M(x, f(x))est tangente à la courbe qui représente f . On comprend ainsi pourquoi, lorsque f estcroissante, f ′(x) > 0. De même, lorsque f est décroissante, f ′(x) < 0. Si f admet en x unminimum ou un maximum alors f ′(x) = 0. Ceci est illustré dans la Figure 2. Pour déterminerle tableau de variations d’une fonction f , il faut donc calculer f ′(x) et étudier son signe.


FIGURE 2 – Interprétation graphique de la dérivée première.

17) Soit f une fonction réelle. Si h(x) = f(−x) alors h′(x) = −f ′(−x).

Preuve : il suffit de poser g(x) = −x, d’écrire h(x) = f(

g(x))

puis d’utiliser la règle de

composition (voir point 10)) et le fait que g′(x) = −1 (d’après 7)).

18) On appelle dérivée seconde de f , que l’on note f”, la dérivée de la dérivée de f . Celasignifie que, si on pose g(x) = f ′(x), alors f”(x) = g′(x).

19) D’après 16), la dérivée seconde de f en x indique comment varie la pente de la tangenteà la courbe qui représente f . Autrement dit, le signe de f”(x) indique la courbure de cettedernière. Si f”(x) > 0, la courbe sera dite convexe et, si f”(x) < 0, on la dira concave. Sif”(x) s’annule en x en changeant de signe, cela signifie que la courbe change de courbureen M(x, f(x)). On dit qu’il s’agit d’un point d’inflexion. Ceci est illustré dans la Figure 3.

20) Soient deux fonctions affines distinctes f : x 7→ f(x) = ax + b et g : x 7→ g(x) = cx + d.Les droites qui les représentent sont parallèles si et seulement si elles ont la même pente,c’est-à-dire si et seulement si a = c.

Preuve : si a 6= c, le point d’abscisse x0 = (d− b)/(a− c) et d’ordonnée f(x0) appartient aux

deux droites puisque g(x0) =c(d− b)

(a− c)+d =

ad− bc

a− c=

a(d− b)

a− c+b = f(x0). L’existence d’un

point d’intersection est en contradiction avec le fait qu’elles sont parallèles. Réciproquement,si a = c, l’existence d’un point d’intersection d’abscisse x0 impliquerait que ax0+b = ax0+dsoit b = d ce qui conduit à f(x) = g(x) or les deux fonctions sont distinctes.

Compléments

21) Formule utile : exp(x+ y) = ex+y = ex × ey.

22) Propriétés remarquables du logarithme népérien :Si x > 0 et y > 0 alors ln(xy) = ln(x) + ln(y).


FIGURE 3 – Interprétation graphique de la dérivée seconde.

Pour n’importe quel nombre réel q, ln(xq) = q × ln(x).

La dérivée de ln est la fonction inverse, c’est-à-dire ln′(x) =1

x.

23) La fonction que l’on appelle simplement logarithme (log) est plus précisément une fonction

logarithme de base 10 soit log(x) =ln(x)

ln(10).


B Tableau périodique

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