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Calcul Extérieur Discret:Application à la mécanique des fluides
Rama AYOUBDina RAZAFINDRALANDY
Aziz HAMDOUNI
Laboratoire des Sciences de l’Ingénieur pour l’EnvironnementLaSIE−UMR-7356 CNRSUniversité La Rochelle
Congrès Français de Mécanique 2017-Lille
R. Ayoub (LaSIE) 23ème CFM 2017 1 / 25
Plan
1 Motivations
2 Calcul Extérieur Discret (DEC)
3 Discrétisation DEC des équations de Navier-Stokes anisothermes
4 Résultats numériques
5 Conclusion
R. Ayoub (LaSIE) 23ème CFM 2017 2 / 25
Calcul extérieur pour les simulations numériques
Géométrie cal. tensoriel−−−−−−−−−→ Opérateurs physiques−−−−−−−→ Equation −→ Discrétisationdiv, grad, rot
Perte de propriétés géométriquesrot grad f = 0, div rotu = 0 discrétisation incohérentediv u = 0 =⇒ u = rotφStokes:
∫∂V
u.dS =∫V
div udV,∫∂S
rotu.dl =∫Su.dS...
Perte des lois de conservation
Géométrie −→ Géométrie −→ Opérateurs −→ Équationdiscrète discrets discrète
Avantagesdiscrétisation cohérente des opérateursIndépendance vis-à-vis des coordonnéesCourbure, torsion discrètes...
Approche par calcul extérieurR. Ayoub (LaSIE) 23ème CFM 2017 3 / 25
Pourquoi le calcul extérieur ?Intérêt en mécanique• Formulation Hamiltonienne iXω = dH ω ∈ Λ2
• En électromagnétisme
rotE = −∂B
∂tdE[ = −∂tB[
rotH = −∂D∂t
+ Jl dH[ = −∂tD[ + J[l
divB = 0 dB[ = 0
divD = ρl dD[ = ρ[l
• Étude des géométries complexes
Champ dans R3 Calcul extérieurOutils: Champs de vecteurs/tenseur Formes différentielles ω ∈ Λk
u = (ui) ∈ R3 ],[←→ u[ = (ui = gijuj) ∈ Λ1
R grad−−−→ R3 rot−−→ R3 div−−→ R Λ0 d−→ Λ1 d−→ Λ2 d−→ Λ3rot grad = 0,div rot = 0 d2 = 0Stokes:
∫∂V u.dS =
∫V div udV, ...
∫∂V ω =
∫V dω
grad f = (df)], rot u = (?du[)], div u = ?d ? u[ avec ?: opérateur étoile de HodgeR. Ayoub (LaSIE) 23ème CFM 2017 4 / 25
Discrétisation du domaine
Ω
k-simplexe dans RN , 0 ≤ k ≤ NEnveloppe convexe de dimension k formée par k + 1 sommets (non dégénérés)
(dégénéré)
Complexe simpliciel=collection K de simplexes telle que• Les faces de tous les simplexes de K sont dans K• L’intersection de deux simplexes de K est une face commune ou vide.
#
Régularité: K forme une variété C0
R. Ayoub (LaSIE) 23ème CFM 2017 5 / 25
Orientation
OrientationUn simplexe orienté
[v0, ..., vk
]est la classe d’équivalence de (v0, ..., vk)
par: (v0, ..., vk) ≡ (vp(0), ..., vp(k)) si p permutation paire
Deux orientations possibles:[v0, ..., vk
]et −
[v0, ..., vk
]Sauf pour les 0-simplexes (orientation triviale)[v0, v1
],[v1, v2
],[v0, v2
]des 1-simplexes (arbitrairement) orientés
v0 v1
v2
[v0, v1, v2
]=
[v1, v2, v0
]=
[v2, v0, v1
]un 2-simplexe (arbitraiment) orienté
• Les simplexes de dimension la plus élevée sont de même orientation
Orientation induite sur les facesUn simplexe orienté σ =
[v0, ..., vk
], k > 1, induit une orientation sur
chaque face:[v0, ...v̂i..., vk
]a même orientation que σ si i est paire
Ex: L’orientation induite par[v0, v1, v2
]est
[v1, v2
],−
[v0, v2
],[v0, v1
]v0 v1
v2
R. Ayoub (LaSIE) 23ème CFM 2017 6 / 25
Opérateur de bord
Opérateur de Bord: ∂[v0...vk
]=∑k
i=0(−1)i[v0, ...v̂i..., vk
]∂[v0, v1
]= v1 − v0, ∂
[v1, v2
]= v2 − v1, ∂
[v0, v2
]= v2 − v0
∂[v0, v1, v2
]=[v1, v2
]−[v0, v2
]+[v0, v1
]Matriciellement: ∂
[v0, v1
][v1, v2
][v0, v2
] =
−1 1 00 −1 1−1 0 1
v0v1v2
v0 v1
v2
∂[v0v1v2
]=[1 1 − 1
][v0, v1
][v1, v2
][v0, v2
]
R. Ayoub (LaSIE) 23ème CFM 2017 7 / 25
Formes discrètes
Formes discrètesContinu: k-forme ω : D −→
∫D ω ∈ R
Avec D domaine de dim kDiscret: k-forme ω : σ ∈ Kk −→< ω, σ > ∈ R
Kk={simplexe orienté de dim k}Kk={k-forme discrète, (ou k-cochaine)}
1
-3
0.5
31
0.3
-28-4
-0.5
3
Differentielle: < dω, σ >=< ω, ∂σ > Stokes:∫D dω =
∫∂D ω
ω1 ω2
ω4ω3
ω2-ω1
ω 3-ω1
ω3 -ω
2
ω3-ω4
ω 4-ω2
0
0
ω dω d2ω
∂∂ = ∅ =⇒ d2 = 0R. Ayoub (LaSIE) 23ème CFM 2017 8 / 25
Opérateur de Hodge
? Continu: isomorphisme de Λk −→ Λn−kτ ∧ ?ω = g(k)(τ, ω)vol
Dans R2 avec la métrique Euclidienne et V ol = dx ∧ dy?1 = dx ∧ dy, ?dx = dy, ?dy = −dx
Dans R3 avec la métrique Euclidienne et V ol = dx ∧ dy ∧ dz?1 = dx ∧ dy ∧ dz, ?dx = dy ∧ dz, ?(dx ∧ dy) = dz, ...
*
*
1
| ? σ|
∫?σ?ω ' 1
|σ|
∫σω
dual circumcentrique
? Discret: k-formes−→ n− k-formes < ?ω, ?σ >| ? σ|
=< ω, σ >
|σ|
Autres opérateurs:• Co-différentiel: δ(Λ0) = 0 δω = (−1)nk+1 ? d ? ω si rankω = k + 1• Laplace-Beltrami: ∆ = δd+ dδ• Produit extérieur, Produit intérieur, Dérivée de Lie,...
R. Ayoub (LaSIE) 23ème CFM 2017 9 / 25
Équation de Navier-Stokes anisotherme
Formulation tensorielle du problème:∂u
∂t+ div(u⊗ u) + 1
ρgrad p− ν∆u+ βgθ ey = 0,
div u = 0,
∂θ
∂t+ div(uθ)− k∆θ = 0.
(1)
Formulation en calcul extérieur:En appliquant [ , on obtient:
∂v
∂t+ iv]dv +
1
ρdp− νδdv + βgθdy = 0,
δv = 0,
∂θ
∂t− δ(θv) + kδdθ = 0.
(2)
(grad p[) = dp, (rotu)[ = ?dv, div u = δv, (∆u)[ = dδv + δdv = δdv
p = p +1
2ρu2 est la pression dynamique. L’opérateur ] est l’inverse de [, et v = u[.
R. Ayoub (LaSIE) 23ème CFM 2017 10 / 25
Résolution
Traitement de la pression dynamiqueAppliquons d à l’équation (2) pour éliminer la pression.
Formulation fonction de courantδv = 0 =⇒ v = − ? dψ (fonction de courant)
Le problème devient:∂
∂td ? dψ + d(iv]d ? dψ)− νdδd ? dψ − βgd(θdy) = 0,
v = − ? dψ,∂θ
∂t− δ(θv) + kδdθ = 0.
(3)
R. Ayoub (LaSIE) 23ème CFM 2017 11 / 25
Schéma numériqueLa discrétisation en temps:
ψ n ψ n+1ψ n+1/2
D’abord, ψn+1/2 est approximé par un schéma Euler explicite:[d ? d
]ψn+1/2 = dvn +
∆t
2[−div]ndv
n + νdδdvn + βgd(θndy)] (4)
Une fois ψn+1/2 calculé, la vitesse (plus précisement, le flux) vn+1/2 est déduitEnsuite, ψn+1 est résolu semi-implicitement:[
1
∆td ? d+ div]n+1/2d ? d− νdδd ? d
]ψn+1 =
1
∆tdvn + βgd(θndy). (5)
La vitesse est de nouveau calculéFinallement, la température est résolue avec un schéma implicite:[
1
∆t+ ?d ? vn+1 ∧ ·+ kδd
]θn+1 =
1
∆tθn. (6)
La pression dynamique peut être calculée en utilisant:[δd
]pn+1 = −δiv]n+1dv
n+1 + νδδdvn+1 − βgδ(θn+1dy). (7)
R. Ayoub (LaSIE) 23ème CFM 2017 12 / 25
Résultats numériquesÉcoulement Couette et Poiseuille
• Le domaine spatial est le carré unité .• ∆xmean = longeur moyenne des arêtes
Maillage élémentaire
Les simulations avec ∆xmean = 1.39.10−2.
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
ux
y
ux exactux appr
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
θ
y
θ exactθ appr
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
ux,
θ
y
ux exactux appr θ exactθ appr
Écoulement Couette: Écoulement Couette: Écoulement Poiseuille:température vitesse vitesse et température
R. Ayoub (LaSIE) 23ème CFM 2017 13 / 25
Résultats numériquesÉcoulement Couette et Poiseuille
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-2
10-1
Err
or
∆xmean
EψEθEpEvEu
Pour Ψ: ∆x1.84
Pour θ: ∆x1.99
Pour v: ∆x1.15
Pour u: ∆x0.99
Pour p: ∆x1.65
Écoulement Couette: Erreure relative de la vorticité Ψ, température θ, flux v, pressiondynamique et vitesse u
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-2
10-1
Rela
tive e
rror
∆xmean
EψEθEpEvEu
Pour Ψ: ∆x1.369
Pour θ: ∆x1.947
Pour v: ∆x1.133
Pour u: ∆x1.002
Pour p: ∆x1.894
Écoulement Poiseuille: Erreure relative de la vorticité Ψ, température θ, flux v, pressiondynamique et vitesse u
R. Ayoub (LaSIE) 23ème CFM 2017 14 / 25
Résultats numériquesTraveling wave
ξ = ax+ by + ct k 6= ν
ux = u1 eλξ/ν +
k2βabg
(c+ w)2(k − ν)θ1 e
λξ/k
uy =w − au1
b,
p = −ρβbgkθ1c+ w
eλξ/k
θ = θ1 eλξ/k
(8)
Avec u1 et θ1 , sont des constantes λ =c+ w
a2 + b2La vitesse est une combinaison de deux exponentiels.
R. Ayoub (LaSIE) 23ème CFM 2017 15 / 25
Résultats numériquesTraveling wave
-1
-0.5
0
0.5
1
-0.4 -0.2 0 0.2 0.4
ψ
x
ψ exactψ appr
-0.004
-0.002
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
-0.4 -0.2 0 0.2 0.4
ux
x
ux exactux appr
a)fonction du courant b) vitesse horizontale
1.95
1.96
1.97
1.98
1.99
2
-0.4 -0.2 0 0.2 0.4
p
x
p exactp appr
-0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
-0.4 -0.2 0 0.2 0.4
θ
x
θ exactθ appr
b) Pression dynamique d) TempératureSolution de propagation d’onde. Profiles suivant y = 0
R. Ayoub (LaSIE) 23ème CFM 2017 16 / 25
Résultats numériquesVortex de Taylor-Green
Équation de la solution de Vortex de Taylor-Green anisotherme:ux = − cosx sin y e−2νt,uy = sinx cos y e
−2νt
p = −ρ4
(cos 2x+ cos 2y) e−4νt
θ = cosx cos y e−2kt .
-3
-2
-1
0
1
2
3
-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4
y
ux,uy,p,θ
ux exactux appr uy exactuy appr p exactp appr θ exactθ appr
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
-3 -2 -1 0 1 2 3
ux,u
y,p
,θ
x
ux exactux appr uy exactuy appr p exactp appr θ exactθ appr
Profiles de vitesse, pression dynamique et température le long de x = 0et y = 0 à t = 5
R. Ayoub (LaSIE) 23ème CFM 2017 17 / 25
Résultats numériquesVortex de Taylor
-2.0453e-15
0
2.0453e-15
-4.091e-15
4.091e-15divu
Divergence de la vitesse, div u, à t = 5 avec ∆xmean = 6.56× 10−2
Ψ flux u p θ
1.065.10−2 1.003.10−2 1.103.10−2 3.644.10−2 6.526.10−3
Tableau 1: Taylor-green vortex. Erreur relative à t = 5
R. Ayoub (LaSIE) 23ème CFM 2017 18 / 25
Résultats numériquesVortex de Taylor
-0.18309
0
0.18309
-3.662e-01
3.662e-01
ux
-0.18324
0
0.18324
-3.662e-01
3.668e-01
uy
a) Vitesse horizontale b) Vitesse verticale
-0.034184
0.00044134
0.035067
-6.881e-02
6.969e-02
p
-0.1828
0.0005773
0.18396
-3.662e-01
3.673e-01
θ
c) Pression dynamique d) TempératureTaylor-Green vortex. Solution approximée à t = 5
R. Ayoub (LaSIE) 23ème CFM 2017 19 / 25
Résultats numériquesCavité différentiellement chauffée
u=0
u=0
u=0θ=θL θ=θR
∂θ/∂y=0
u=0 ∂θ/∂y=0
H
Géometrie de la cavié chauffée
Prandtl = 0.71, et deux valeurs de Rayleigh sont utilisées, 104 et 105.Les résultats sont comparés avec ceux de Davis [1] ( Différences Finies).
[1]G. De Vahl Davis. Natural convection of air in a square cavity: A bench mark numerical solution.International Journal for Numerical Methods in Fluids, 3(3):249–264, 1983.
R. Ayoub (LaSIE) 23ème CFM 2017 20 / 25
Cavité différentiellement chauffée
travaux présents Ref Davis Travaux présents Ref DavisRa = 104 Ra = 104 Ra = 105 Ra = 105
|ψmid| 0.0484 0.05098 0.09128 0.09142|ψmax| 0.0484 − 0.09403 0.09644xψmax 0.50 − 0.275 0.285yψmax 0.50 − 060 0.602ux,max 0.153 0.162 0.320 0.348
yux,max 0.82 0.823 0.85 0.855
uy,max 0.189 0.195 0.657 0.682
xuy,max 0.12 0.120 0.07 0.066
Nu 2.299 2.234 4.518 4.510
Tableau 2: Cavité différentiellement chauffée . Valeurs caractéristiques
R. Ayoub (LaSIE) 23ème CFM 2017 21 / 25
RésultatsCavité différentiellement chauffée
a)Vitesse horizontale
b)Vitesse verticale
Lignes de contour de la vitessepour Ra = 104 (gauche) et Ra = 105 (droite).
R. Ayoub (LaSIE) 23ème CFM 2017 22 / 25
RésultatsCavité différentiellement chauffée
a) Fonction du courant
b) Température
La fonction du courant et lignes de contour de la températurepour Ra = 104 (gauche) et Ra = 105 (droite).
R. Ayoub (LaSIE) 23ème CFM 2017 23 / 25
Conclusion
Discrétisation cohérente des opérateurs de dérivationVéritable théorie de Calcul ExterieurRésultats cohérents avec les solutions analytiques et numériquesprécédentes.Respect de la physique à travers les lois de conservationCohérence avec les résultats théoriques dans le cas de fluide idéal(Kelvin)Existe d’autre construction de maillage dual liées à d’autreopérateurs de Hodge discretsExiste en version Élement finis (FEEC) "Arnold"Application potentielle dans tous les domaines de la science del’ingénieur (électromagnétisme "Bossavit", imagerie, mécaniquequantique...)
R. Ayoub (LaSIE) 23ème CFM 2017 24 / 25
Merci Pour Votre Attention !
R. Ayoub (LaSIE) 23ème CFM 2017 25 / 25
MotivationsCalcul Extérieur Discret (DEC)Discrétisation DEC des équations de Navier-Stokes anisothermesRésultats numériquesConclusion