N° d’ordre : 434 Année 2005

THESEPrésentée en vue de

l’obtention du titre de

DOCTEURde

L’ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEUREDE L’AÉRONAUTIQUE ET DE L’ESPACE

ÉCOLE DOCTORALE : Énergétique et dynamique des fluides

SPÉCIALITÉ : Dynamique des fluides

par

Laure DUPLAND

Modélisation de la turbulence thermique : modèlesalgébriques pour la prévision des flux de chaleur turbulents

Soutenue le 5 décembre 2005 devant le jury :

MM. P. CHASSAING PrésidentH. BÉZARD Directeur de thèseJ.P. CALTAGIRONE RapporteurR. COLLERCANDYE. LAROCHEC. REY Rapporteur

1

Remerciements

Ces trois années de thèse n’auraient pas pu être réalisées sans l’aide d’un certain nombre de personnesque je tiens à citer ici.

En premier lieu, je remercie monsieur Jean Cousteix pour m’avoir accueillie au sein du départementDMAE et pour m’avoir donné la chance de dispenser ses PC de couche limite en deuxième année deSupaéro.

Je tiens également à remercier Bertrand Aupoix pour m’avoir intégrée au sein de son unité, avec toutce que cela implique, comme les nombreuses réunions d’unité... Plus sérieusement, je le remercie pour lesconseils qu’il m’a transmis durant ces trois années de thèse.

Je remercie très sincèrement Hervé Bézard qui m’a encadrée, suivie, supportée, etc., pendant cettethèse et le stage qui l’a précédée. Il a été d’une patience exemplaire avec moi et d’une disponibilité horsdu commun. Je retiendrai de lui une gentillesse qui n’a d’égal que la qualité de son encadrement. Merciinfiniment.

Je tiens également à exprimer ma gratitude envers les membres du jury, en premier lieu vers le présidentM. Chassaing, professeur à l’ENSICA, qui m’a suivie depuis mon arrivée à Toulouse. Merci également auxdeux rapporteurs, M. Caltagirone de Bordeaux et M. Rey de Marseille. Merci à M. Collercandy d’AirbusFrance et M. Laroche de Snecma pour avoir apporté un regard industriel sur mon travail.

Je tiens à remercier chaleureusement Robert Houdeville pour son aide précieuse avec elsA. Merciégalement pour toutes ses histoires, anecdotes, ragots et autres contrepèteries dont il nous a fait part àla pause café mais également dans les couloirs, les bureaux, etc.

Merci aux secrétaires, Corinne Plantade, Christine Pujol et plus récemment Valérie Duplessis pourleur grande disponibilité.

Je tiens à remercier également toute l’équipe du SRI qui permet à l’ensemble du département dedisposer de moyens informatiques performants, en toute transparence. Merci également pour leur venuerégulière aux événements du département et pour l’ambiance inégalable qu’ils y mettent.

Ces trois années n’auraient pas été les mêmes sans la présence de tous les doctorants et stagiairesque j’ai pu croiser. Je tiens à remercier Thomas Daris, le papa du k-kL, qui m’a confié son bébé. Malgréla courte période pendant laquelle on s’est croisés à l’ONERA, il est devenu pour moi bien plus qu’uneréférence sur la modélisation de la turbulence thermique, un ami. Merci à Mylène Thiery avec qui j’aipartagé le bureau pendant trois ans et qui m’a été d’un grand soutien. Merci à Gilles Studer pour sabonne humeur inébranlable et son accent qui a le don d’égayer les moments les plus durs. Je remercieégalement Yann Chauvat qui est le détenteur actuel des blagues les plus nulles, quoique en forte concur-rence... Je n’oublierai pas ses enflammages durant nos nombreuses parties de coinches. Mes pensées vontégalement vers Ludovic Perrin et Damien Biau, deux piliers de la fine équipe. Je leur souhaite sincèrementbon courage pour leur dernière année. Je tiens également à remercier tous ceux qui ont pour mission degarder en vie la communauté des doctorants du premier étage : François Chedevergne, Julien Cliquet,Estelle Piot et François-Xavier Vandernoot. Finalement, merci à tous ceux que j’ai pu croisés ici : Cécilia

2

Robitaillé qui est passée très rapidement du statut de collègue au statut d’amie, Damien Guénot qui n’acessé de guetter la question "où ?" pour s’adonner à son jeu favori, Frédéric Louis, Laurent Albugues,Paul Ferrey et Thierry Féraille qui ont contribué à la bonne ambiance du département.

D’un point de vue purement personnel, je souhaiterais remercier du fond du cœur mes parents quiont rendu tout cela possible et qui croient en moi depuis le début. Merci pour m’avoir donné les moyensd’arriver jusque là.

Je tiens à remercier tous mes amis qui ont eu confiance en moi et qui m’ont été d’un soutien plus queprécieux. Merci en particulier à Cécile et Christophe et Emilie et Jeff, vous êtes des êtres chers à mesyeux et vous m’apportez tous les jours bien plus que je pourrais l’imaginer.

Finalement, tous les mots ne serviraient pas à remercier comme il se doit Joss qui guide mes pasdepuis trois ans. Merci d’être là, d’être toi.

TABLE DES MATIÈRES 3

Table des matières

Notations 17

1 Concepts de base 231.1 Décomposition de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.2 Équations générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.2.1 Équations générales dynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.2.2 Équations générales thermiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.3 Modélisation de la turbulence dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.3.1 Équation de transport des tensions de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.3.2 Notion de viscosité turbulente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.3.3 Modèles à deux équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.3.3.1 Modèles k − ε . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.3.3.2 Modèle k − kL de Daris [28] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.3.4 Modèles au second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.3.5 Modèles algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.3.5.1 Formulation EARSM de Gatski-Speziale [33] . . . . . . . . . . . . . . . . 381.3.5.2 Formulation EARSM de Wallin-Johansson [86] . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.4 Modélisation de la turbulence thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.4.1 Équation de transport des flux de chaleur turbulents . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.4.2 Notion de diffusivité turbulente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.4.3 Modèles à deux équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.4.3.1 Modèle kθ − εθ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431.4.3.2 Modèle kθ − kθLθ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

1.4.4 Modèles au second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461.4.5 Modèles algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2 Formulation d’un modèle algébrique thermique 492.1 Hypothèse d’équilibre local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.2 Modélisation de φiθ − εiθ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.3 Solution pour les flux de chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.3.1 Solution pour un écoulement tridimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.3.2 Solution pour un écoulement bidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.3.3 Inversibilité du système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.4 Modèle algébrique de Wikström, Wallin et Johansson [88] . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.5 Autres modèles algébriques thermiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.5.1 Modèle de Younis, Speziale et Clark [92] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.5.2 Modèle de Shabany et Durbin [72] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.5.3 Modèle de So et Sommer [76] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.5.4 Modèle de Rhee et Sung [68] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.5.5 Modèle de Rogers, Mansour et Reynolds [71] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4 TABLE DES MATIÈRES

3 Contraintes sur le modèle 633.1 Écoulements homogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.2 Écoulements de couche limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.2.1 Zone logarithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.2.1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.2.1.2 Contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.2.2 Zone en racine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.2.2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.2.2.2 Contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.3 Frontière entre un écoulement turbulent et un écoulement non turbulent . . . . . . . . . . 833.3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.3.2 Contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.3.2.1 Contraintes sur le modèle EARSM de Wallin et Johansson . . . . . . . . 863.3.2.2 Contraintes sur le modèle EAHFM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3.4 Détermination des constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 933.4.1 Cas où r = cste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 933.4.2 Cas où r = cste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4 Mise au point d’un modèle de paroi 974.1 Comportements asymptotiques à la paroi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.1.1 Comportement théorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.1.2 Observations expérimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.1.2.1 Expériences de couche limite faiblement chauffée . . . . . . . . . . . . . . 1004.1.2.2 Expérience de couche limite faiblement chauffée avec gradient de pression

adverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.1.2.3 Simulations numériques directes de couches limites thermiques . . . . . . 1024.1.2.4 Simulations numériques directes d’un canal chauffé à parois isothermes . 1044.1.2.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.2 Étude bibliographique sur les modèles de paroi en thermique . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.2.1 Modèle de Park, Sung et Suzuki [63] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064.2.2 Modèle de Deng, Wu et Xi [29] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074.2.3 Modèle de Youssef, Nagano et Tagawa [93] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1084.2.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4.3 Amortissement du modèle EAHFM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1104.3.1 Comportement du modèle sans amortissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.3.1.1 Modèle EARSM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1114.3.1.2 Modèle EAHFM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4.3.2 Amortissement dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1134.3.2.1 Amortissement du modèle k − kL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1134.3.2.2 Amortissement de la formulation EARSM . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

4.3.3 Amortissement thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1174.3.3.1 Création d’un modèle théorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1174.3.3.2 Mise au point d’une fonction d’amortissement . . . . . . . . . . . . . . . 121

5 Application sur des écoulements simples 1255.1 Écoulement isotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1255.2 Écoulement homogène cisaillé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

5.2.1 Présentation des DNS de Rogers et al. [70] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1275.2.2 Résultats du modèle EAHFM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

5.3 Écoulement turbulent en canal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1305.3.1 Présentation des DNS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1305.3.2 Recherche de la loi logarithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1305.3.3 Résultats du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

5.4 Écoulements de similitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1335.4.1 Rappels sur les écoulements de similitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

TABLE DES MATIÈRES 5

5.4.1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1335.4.1.2 Sillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1365.4.1.3 Couche de mélange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1375.4.1.4 Jet plan et jet axisymétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1395.4.1.5 Région externe d’une couche limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

5.4.2 Équations de similitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1465.4.3 Présentation du code de calcul SIMIL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1475.4.4 Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

5.4.4.1 Résultats en dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1485.4.4.2 Résultats en thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

6 Applications avec le code Navier-Stokes elsA 1656.1 Présentation du code de calcul elsA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1656.2 Écoulement de plaque plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

6.2.1 Maillage et conditions de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1666.2.2 Calculs k − kL à Prt constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

6.2.2.1 Implantation du modèle dans elsA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1676.2.2.2 Implicitation IRS des seconds membres des équations de transport . . . . 1686.2.2.3 Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

6.2.3 Calculs k − kL EARSM à Prt constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1726.2.3.1 Implantation du modèle dans elsA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1726.2.3.2 Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

6.2.4 Calculs k − kL EARSM EAHFM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1786.2.4.1 Implantation dans elsA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1786.2.4.2 Analyse des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

6.2.5 Calculs k − kL/kθ − kθLθ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1816.2.5.1 Implantation dans elsA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1816.2.5.2 Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

6.2.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1826.3 Écoulement de jet débouchant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

6.3.1 Description du cas expérimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1836.3.2 Maillage et conditions de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1846.3.3 Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

6.3.3.1 Calcul du jet froid avec le modèle k − L de Smith [74] . . . . . . . . . . . 1866.3.3.2 Calcul du jet froid avec le modèle k − kL . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1906.3.3.3 Calcul du jet froid avec le modèle k − kL EARSM . . . . . . . . . . . . . 1926.3.3.4 Calcul du jet chaud avec le modèle k − kL EARSM . . . . . . . . . . . . 193

6.3.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1946.4 Écoulement de jet impactant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

6.4.1 Présentation du cas test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1956.4.2 Maillage et conditions de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1966.4.3 Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

6.4.3.1 H/D = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1996.4.3.2 H/D = 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

6.4.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

Références bibliographiques 219

6 TABLE DES MATIÈRES

TABLE DES FIGURES 7

Table des figures

1.1 Évolution du nombre de Prandtl turbulent pour différents écoulements libres de similitude . . . . 42

3.1 Représentation multi-domaines de la couche limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.2 Profil de vitesse. Expérience de Smith et Smits [75] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.3 Profil de température. Expérience de Subramanian et Antonia [81] . . . . . . . . . . . . . . . . 683.4 Expérience de Skåre et Krogstad [73] (p+

= 0, 018) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.5 Expérience d’Orlando et al. [62] (p+

= 0, 0197) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.6 Évolution du nombre de Prandtl turbulent avec le gradient de pression . . . . . . . . . . . . . . 703.7 Vérification de l’hypothèse

κt1

κt0= 1. Expériences de Houra [38], p+

= 0, p+= 0, 0087, p+

= 0, 018

et p+= 0, 024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.8 Profil de vitesse en variables adimensionnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.9 Rapport −u′v′

k. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.10 Mise en évidence de la loi en racine pour la vitesse. Expérience de Skåre et Krogstad [73] . . . . 783.11 Expérience d’Orlando et al. [62] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.12 Expérience de Perry et al. [65] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.13 Comparaison des profils de température et de vitesse adimensionnées sur un écoulement de jet

axisymétrique chauffé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.1 Profil de vitesse adimensionnée - : Re = 990, × : Re = 1500, : Re = 3100, ⋄ : Re = 4750,∗ : Re = 6500, + : Re = 7100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.2 Profil de température adimensionnée - Mêmes symboles qu’en Fig. 4.1 . . . . . . . . . . . . . . 1004.3 Distribution de la tension de Reynolds −u′v′

+- Mêmes symboles qu’en Fig. 4.1 . . . . . . . . . 101

4.4 Distribution du flux de chaleur turbulent v′θ+

- Mêmes symboles qu’en Fig. 4.1 . . . . . . . . . 1014.5 Évolution du nombre de Prandtl turbulent - Mêmes symboles qu’en Fig. 4.1 . . . . . . . . . . . 1014.6 Profil de vitesse moyenne adimensionnée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.7 Profil de température moyenne adimensionnée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.8 Évolution du flux de chaleur transversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.9 Évolution du nombre de Prandtl turbulent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.10 Profil de vitesse adimensionnée - : Reδ2 = 300, − · − · − : Reδ2 = 400, : Reδ2 = 300,

Spalart, : Reδ2 = 400, Ching et al. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.11 Profil de température adimensionnée - : Re∆2 = 348, −− : Re∆2 = 431, − · − · − : Re∆2 =

493, : Re∆2 = 348, Kader, : Re∆2 = 341, Kim et al. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.12 Évolution du flux de chaleur transversal - Mêmes symboles qu’en Fig. 4.11 . . . . . . . . . . . . 1034.13 Évolution du nombre de Prandtl turbulent - Mêmes symboles qu’en Fig. 4.11 . . . . . . . . . . . 1034.14 Évolution de la vitesse moyenne adimensionnée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1044.15 Évolution de la température moyenne adimensionnée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1044.16 Évolution de la tension de Reynolds croisée adimensionnée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.17 Évolution du flux de chaleur transversal adimensionné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.18 Évolution du nombre de Prandtl turbulent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.19 Comparaison de la température moyenne adimensionnée avec les DNS de Kasagi et al. [45] . . . 1064.20 Comportement près de la paroi du flux de chaleur turbulent transversal . . . . . . . . . . . . . . 1084.21 Évolution de u′θ

+en fonction de y+ pour le modèle EAHFM sans amortissement . . . . . . . . 113

4.22 Évolution de v′θ+

en fonction de y+ pour le modèle EAHFM sans amortissement . . . . . . . . 113

8 TABLE DES FIGURES

4.23 Évolution de a12 = 2b12 dans l’écoulement de canal. Comparaison entre le modèle EARSM avec( ) et sans (−−) correction de proche paroi, le modèle à viscosité turbulente (· · ·) et les DNS(•) de Kim [46] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

4.24 Évolution de a11 = 2b11(a) et a22 = 2b22(b) dans l’écoulement de canal. Comparaison entre lemodèle EARSM avec ( ) et sans (−−) correction de proche paroi et les DNS (•) de Kim [46] 116

4.25 Représentation théorique du nombre de Prandtl turbulent avec modélisation de van Driest et cor-rection de proche paroi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

4.26 Représentation théorique du nombre de Prandtl turbulent avec modélisation de van Driest, correc-tion de proche paroi et fonctions de lissage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

4.27 Profil du gradient de vitesse adimensionnée issu du modèle théorique . . . . . . . . . . . . . . . 1224.28 Profil du gradient de température adimensionnée issu du modèle théorique . . . . . . . . . . . . 1224.29 Profils de v′θ

+. Comparaison entre le modèle théorique, le modèle EAHFM sans amortissement et

le modèle EAHFM avec amortissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1234.30 Profils de αt. Comparaison entre le modèle théorique, le modèle EAHFM sans amortissement et

le modèle EAHFM avec amortissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

5.1 Évolution du flux adimensionné en fonction du temps adimensionné - Écoulement isotrope . . . . 1265.2 Évolution au cours du temps des flux scalaires adimensionnés - Écoulement homogène cisaillé . . 1285.3 Profil de vitesse dans le canal plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1315.4 Profil de température dans le canal plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1315.5 Profil de la composante b12 dans le canal plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1315.6 Profil des flux de chaleur adimensionnés dans le canal plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1315.7 Profil des corrélations u′v′

+et v′θ

+dans le canal plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

5.8 Profil des temps caractéristiques dynamique et thermique dans le canal plan . . . . . . . . . . . 1335.9 Écoulement de similitude. Application au sillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1365.10 Comparaison des profils de vitesse dans le sillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1385.11 Écoulement de similitude. Application à la couche de mélange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1385.12 Comparaison des profils de vitesse dans la couche de mélange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1395.13 Comparaison des profils de température dans la couche de mélange . . . . . . . . . . . . . . . . 1395.14 Écoulement de similitude. Application au jet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1405.15 Expérience de jet plan. Comparaison des expériences de Gutmark et Wygnanski [36] et d’Antonia

et al. [4] sur le profil de vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1415.16 Expérience de jet axisymétrique. Comparaison des expériences de Ninomiya et Kasagi [60] et de

Chua et Antonia [22] sur le profil de vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1425.17 Écoulement de similitude. Application à la couche limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1425.18 Résultats des modèles dynamiques en écoulement de sillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1505.19 Résultats des modèles dynamiques en écoulement de couche de mélange . . . . . . . . . . . . . . 1515.20 Résultats des modèles dynamiques en écoulement de jet plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1525.21 Résultats des modèles dynamiques en écoulement de jet axisymétrique . . . . . . . . . . . . . . 1535.22 Résultats des modèles dynamiques en écoulement de couche limite à β∗

= 0 . . . . . . . . . . . . 1545.23 Résultats des modèles dynamiques en écoulement de limite à β∗

= 6 . . . . . . . . . . . . . . . 1555.24 Vérification de la bonne représentation de la loi logarithmique dynamique en couche limite . . . . 1565.25 Résultats des modèles algébriques thermiques en écoulement de sillage . . . . . . . . . . . . . . 1575.26 Résultats des modèles algébriques thermiques en écoulement de couche de mélange . . . . . . . . 1585.27 Résultats des modèles algébriques thermiques en écoulement de jet plan . . . . . . . . . . . . . . 1595.28 Résultats des modèles algébriques thermiques en écoulement de jet axisymétrique . . . . . . . . . 1605.29 Résultats des modèles algébriques thermiques en écoulement de couche limite à β∗

= 0 . . . . . . 1615.30 Résultats des modèles algébriques thermiques en écoulement de limite à β∗

= 6 . . . . . . . . . . 1625.31 Vérification de la bonne représentation de la loi logarithmique thermique en couche limite . . . . 1635.32 Évolution de r dans l’écoulement de sillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1635.33 Évolution de r dans l’écoulement de couche de mélange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1635.34 Évolution de r dans l’écoulement de jet plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1635.35 Évolution de r dans l’écoulement de jet axisymétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1635.36 Évolution de r dans l’écoulement de couche limite à β∗

= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1645.37 Évolution de r dans l’écoulement de couche limite à β∗

= 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

TABLE DES FIGURES 9

6.1 Maillage utilisé pour l’écoulement de plaque plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1666.2 Évolution des résidus. Modèle k − kL. Implicitation IRS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1706.3 Évolution des résidus. Modèle k − kL. Implicitation LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1706.4 Coefficient de frottement de plaque plane. Comparaison entre k − kL et évolution théorique de

Kármán-Schoenherr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1706.5 Facteur d’analogie s. Modèle k − kL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1716.6 Loi logarithmique dynamique. Modèle k − kL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1716.7 Loi logarithmique thermique. Modèle k − kL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1716.8 Évolution du coefficient Cµ

∗. Modèle k − kL EARSM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1736.9 Évolution de la composante b12 du tenseur d’anisotropie. Modèle k − kL EARSM . . . . . . . . 1736.10 Évolution du coefficient Cµ

∗ avant et après correction. Modèle k − kL EARSM . . . . . . . . . . 1756.11 Évolution de b12 avant et après correction. Modèle k − kL EARSM . . . . . . . . . . . . . . . . 1756.12 Évolution de la composante b11 du tenseur d’anisotrope. Modèle k − kL EARSM . . . . . . . . . 1756.13 Évolution de la composante b22 du tenseur d’anisotrope. Modèle k − kL EARSM . . . . . . . . . 1756.14 Évolution de u+ en fonction de y+. Modèle k − kL EARSM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1756.15 Évolution de T+ en fonction de y+. Modèle k − kL EARSM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1756.16 Évolution de u+ en fonction de y+, pour M = 0, 7, M = 0, 5 et M = 0, 2. Modèle k − kL EARSM 1766.17 Évolution de T+ en fonction de y+, pour M = 0, 7, M = 0, 5 et M = 0, 2. Modèle k − kL EARSM 1766.18 Coefficient de frottement de plaque plane. Modèle k − kL EARSM à M = 0, 2 . . . . . . . . . . 1776.19 Facteur d’analogie s. Modèle k − kL EARSM à M = 0, 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1776.20 Loi logarithmique thermique. Modèle k − kL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1776.21 Loi logarithmique dynamique. Prt = 0, 5, Prt = 0, 9 et Prt = 1.3. Modèle k−kL EARSM à M = 0, 21786.22 Loi logarithmique thermique. Prt = 0, 5, Prt = 0, 9 et Prt = 1.3. Modèle k−kL EARSM à M = 0, 21786.23 Loi logarithmique dynamique. Modèle k − kL EARSM EAHFM . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1796.24 Loi logarithmique thermique. Modèle k − kL EARSM EAHFM . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1796.25 Coefficient de frottement de plaque plane. Modèle k − kL EARSM EAHFM . . . . . . . . . . . 1796.26 Facteur d’analogie s. Modèle k − kL EARSM EAHFM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1796.27 Composante u′θ

+du flux de chaleur turbulent. Modèle k − kL EARSM EAHFM . . . . . . . . . 180

6.28 Composante v′θ+

du flux de chaleur turbulent. Modèle k − kL EARSM EAHFM . . . . . . . . . 1806.29 Nombre de Prandtl turbulent. Modèle k − kL EARSM EAHFM . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1806.30 Nombre de Prandtl turbulent. Modèle k − kL/kθ − kθLθ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1826.31 Schéma du montage du jet débouchant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1836.32 Photo du montage du jet débouchant sans chambre de tranquillisation . . . . . . . . . . . . . . 1846.33 Vue d’ensemble du maillage pour le calcul du jet débouchant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1856.34 Zoom sur le plan de sortie du jet débouchant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1856.35 Génération du maillage axisymétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1866.36 Champ de nombre de Mach en sortie de jet froid. Modèle k − L de Smith . . . . . . . . . . . . . 1876.37 Champ d’énergie cinétique de turbulence en sortie de jet froid. Modèle k − L de Smith . . . . . . 1886.38 Évolution du nombre de Mach et de l’énergie cinétique turbulente adimensionnée sur l’axe du jet

froid. Modèle k − L de Smith . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1886.39 Évolution de l’épaisseur du jet froid. Modèle k − L de Smith . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1896.40 Profil de vitesse en variable de similitude. Modèle k − L de Smith . . . . . . . . . . . . . . . . . 1896.41 Profil d’énergie cinétique turbulente en variable de similitude. Modèle k − L de Smith . . . . . . 1896.42 Profil de viscosité turbulente en variable de similitude. Modèle k − L de Smith . . . . . . . . . . 1896.43 Champ de nombre de Mach en sortie de jet froid. Modèle k − kL . . . . . . . . . . . . . . . . . 1906.44 Champ d’énergie cinétique de turbulence en sortie de jet froid. Modèle k − kL . . . . . . . . . . 1906.45 Évolution du nombre de Mach et de l’énergie cinétique turbulente adimensionnée sur l’axe du jet

froid. Modèle k − kL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1916.46 Évolution de l’épaisseur du jet froid. Modèle k − kL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1916.47 Champ de nombre de Mach en sortie de jet froid. Modèle k − kL EARSM . . . . . . . . . . . . 1926.48 Champ d’énergie cinétique de turbulence en sortie de jet froid. Modèle k − kL EARSM . . . . . 1926.49 Évolution du nombre de Mach et de l’énergie cinétique turbulente adimensionnée sur l’axe du jet

froid. Modèle k − kL EARSM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1936.50 Évolution de l’épaisseur du jet froid. Modèle k − kL EARSM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1936.51 Champ de nombre de Mach en sortie de jet chaud. Modèle k − kL EARSM . . . . . . . . . . . . 194

10 TABLE DES FIGURES

6.52 Champ d’énergie cinétique de turbulence en sortie de jet chaud. Modèle k − kL EARSM . . . . . 1946.53 Vue schématique du jet impactant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1966.54 Maillage du jet impactant. H/D = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1966.55 Maillage du jet impactant. H/D = 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1966.56 Géométrie du problème du jet impactant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1976.57 Profil de vitesse dans la conduite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1976.58 Profil de l’énergie cinétique turbulente dans la conduite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1976.59 Profil de la viscosité turbulente dans la conduite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1986.60 Champ de nombre de Mach. H/D = 2. Modèle k − L de Smith . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2006.61 Champ de nombre de Mach. H/D = 2. Modèle k − ε de Chien . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2006.62 Champ de nombre de Mach. H/D = 2. Modèle k − kL de Daris . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2006.63 Champ de nombre de Mach. H/D = 2. Modèle k − kL EARSM . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2006.64 Champ d’énergie cinétique turbulente. H/D = 2. Modèle k − L de Smith . . . . . . . . . . . . . 2016.65 Champ d’énergie cinétique turbulente. H/D = 2. Modèle k − ε de Chien . . . . . . . . . . . . . 2016.66 Champ d’énergie cinétique turbulente. H/D = 2. Modèle k − kL de Daris . . . . . . . . . . . . 2016.67 Champ d’énergie cinétique turbulente. H/D = 2. Modèle k − kL EARSM . . . . . . . . . . . . . 2016.68 Répartition du coefficient de frottement. H/D = 2. Modèles k −L, k − ε, k − kL et k − kL EARSM2016.69 Répartition du nombre de Nusselt. H/D = 2. Modèles k − L, k − ε, k − kL et k − kL EARSM . . 2026.70 Zoom sur la répartition du nombre de Nusselt. H/D = 2. Modèles k − L, k − ε, k − kL et k − kL

EARSM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2026.71 Champ de nombre de Mach. H/D = 2. Modèle k − kL EARSM EAHFM . . . . . . . . . . . . . 2036.72 Champ d’énergie cinétique turbulente. H/D = 2. Modèle k − kL EARSM EAHFM . . . . . . . . 2036.73 Répartition du coefficient de frottement. H/D = 2. Modèle k − kL EARSM EAHFM . . . . . . . 2036.74 Répartition du nombre de Nusselt. H/D = 2. Modèle k − kL EARSM EAHFM . . . . . . . . . . 2036.75 Répartition du nombre de Nusselt. H/D = 2. Modèle k − kL EARSM EAHFM avec et sans limiteur2056.76 Répartition du nombre de Nusselt. H/D = 2. Modèle k − kL EARSM à Prt constant avec et sans

limiteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2056.77 Répartition de température de paroi. H/D = 2. Données IMFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2066.78 Évolution du nombre de Nusselt. H/D = 2. Paroi isotherme et paroi iso-flux . . . . . . . . . . . 2066.79 Évolution du nombre de Nusselt. H/D = 2. Paroi isotherme à Tp/Tj = 1, 1, Tp/Tj = 1, 05 et

Tp/Tj = 1, 02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2076.80 Évolution du nombre de Nusselt. H/D = 2. Paroi isotherme à Tp/Tj = 1, 02. Comparaison entre

maillages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2086.81 Évolution du nombre de Nusselt (nouvelle définition). H/D = 2. Comparaison entre les différentes

conditions de paroi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2086.82 Champ de nombre de Mach. H/D = 6. Modèle k − L de Smith . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2096.83 Champ de nombre de Mach. H/D = 6. Modèle k − ε de Chien . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2096.84 Champ de nombre de Mach. H/D = 6. Modèle k − kL de Daris . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2106.85 Champ de nombre de Mach. H/D = 6. Modèle k − kL EARSM . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2106.86 Champ d’énergie cinétique turbulente. H/D = 6. Modèle k − L de Smith . . . . . . . . . . . . . 2106.87 Champ d’énergie cinétique turbulente. H/D = 6. Modèle k − ε de Chien . . . . . . . . . . . . . 2106.88 Champ d’énergie cinétique turbulente. H/D = 6. Modèle k − kL de Daris . . . . . . . . . . . . 2106.89 Champ d’énergie cinétique turbulente. H/D = 6. Modèle k − kL EARSM . . . . . . . . . . . . . 2106.90 Répartition du coefficient de frottement. H/D = 6. Modèles k −L, k − ε, k − kL et k − kL EARSM2116.91 Répartition du nombre de Nusselt. H/D = 6. Modèles k − L, k − ε, k − kL et k − kL EARSM . . 2116.92 Zoom sur la répartition du nombre de Nusselt. H/D = 6. Modèles k − L, k − ε, k − kL et k − kL

EARSM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2116.93 Répartition du nombre de Nusselt. H/D = 6. Modèle k − kL EARSM EAHFM . . . . . . . . . . 212

LISTE DES TABLEAUX 11

Liste des tableaux

1.1 Coefficients du modèle k − ε de Chien [20] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.2 Coefficients du modèle k − ε de Bézard [13] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.3 Coefficients du modèle k − kL de Daris [28] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.4 Coefficients des différents modèles EARSM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.5 Coefficients du modèle k − ε de Bézard [13] EARSM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.6 Coefficients du modèle k − kL de Daris [28] EARSM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.7 Coefficients du modèle kθ − εθ de Daris [28] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451.8 Coefficients du modèle kθ − kθLθ de Daris [28] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.1 Coefficients du modèle algébrique thermique de Wikström, Wallin et Johansson [88] . . . . . . . 572.2 Coefficients du modèle algébrique thermique de Younis, Speziale et Clark [92] . . . . . . . . . . . 582.3 Coefficients du modèle algébrique thermique de Shabany et Durbin [72] . . . . . . . . . . . . . . 592.4 Coefficients du modèle algébrique thermique de So et Sommer [76] . . . . . . . . . . . . . . . . 612.5 Coefficients du modèle algébrique thermique de Rhee et Sung [68] . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.1 Performances dans la zone logarithmique des modèles k−ε [13] + EARSM et k−kL [28] + EARSM 743.2 Performances dans la zone en racine des modèles k − ε [13] + EARSM et k − kL [28] + EARSM 823.3 Valeurs des épaisseurs dynamique et thermique pour un écoulement de couche limite. Expériences

de Subramanian et Antonia [81] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.4 Valeurs des épaisseurs dynamique et thermique pour un écoulement de couche limite. Expériences

d’Orlando et al. [62] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.5 Évolution en λ des différents termes pour les équations de transport de k et φ . . . . . . . . . . 893.6 Performances à la frontière extérieure d’un écoulement turbulent des modèles k − ε [13] et k − kL

[28] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.7 Évolution en λ des différents termes pour les équations de transport de kθ et φθ . . . . . . . . . 923.8 Performances à la frontière extérieure d’un écoulement turbulent des modèles k − ε/kθ − εθ et

k − kL/kθ − kθLθ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923.9 Valeurs des constantes du modèle EAHFM à r = cste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 943.10 Performances du modèle EAHFM à r = cste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 943.11 Valeurs des constantes du modèle EAHFM à r = cste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 953.12 Performances du modèle EAHFM à r = cste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.1 Valeurs des constantes du modèle de Youssef et al. [93] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1104.2 Comportement à la paroi des différents termes de la formulation EARSM . . . . . . . . . . . . 1114.3 Composantes b11 et b22 du tenseur d’anisotropie. Comparaison entre DNS de Kim [46] et modèle

EARSM sans amortissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1124.4 Comportement à la paroi des grandeurs thermiques turbulentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

5.1 Données DNS. Écoulement homogène isotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1265.2 Comparaison des valeurs de ξ2 entre résultats DNS, modèle EAHFM à r = cste, modèle EAHFM

(r)

à r quelconque et modèle WWJ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1275.3 Comparaison des composantes du flux de chaleur turbulent entre résultats DNS, modèle EAHFM

à r = cste, modèle EAHFM à r quelconque et modèle WWJ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

12 LISTE DES TABLEAUX

5.4 Comparaison du rapport u′θ/v′θ entre résultats DNS, modèle EAHFM à r = cste, modèle EAHFMà r quelconque et modèle WWJ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

5.5 Comparaison des composantes du vecteur φiθ−εiθ entre résultats DNS, modèle EAHFM à r = cste,modèle EAHFM à r quelconque et modèle WWJ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

5.6 Comparaison du nombre de Prandtl turbulent entre résultats DNS, modèle EAHFM à r = cste,modèle EAHFM à r quelconque et modèle WWJ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

5.7 Comparaison des valeurs de ξ1 et ξ2 entre résultats DNS, modèle EAHFM à r = cste, modèleEAHFM à r quelconque et modèle WWJ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

5.8 Schéma hybride de Pantakar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

6.1 Coefficients du modèle k − L de Smith [74] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

13

Notations

Alphabet latin :

a, b Coefficients relatifs à l’expression de la variable générique φ φ = kaεb

bij Tenseur d’anisotropie bij =u′

iu′j

2k− 1

3δij

c Célérité du son

c, d, p, q Coefficients relatifs à l’expression de la variable générique φθ φθ = kcεdkpθεq

θ

Cf Coefficient de frottement Cf =τp

12ρeu2

e

Ch Coefficient d’échange Ch =qp

ρeue (hp − hf )

Cp Chaleur massique à pression constante

Cv Chaleur massique à volume constant

d Distance à la paroi

fθ Fonction de paroi du modèle thermique

h Enthalpie massique

H Enthalpie massique totale H = h +1

2u2

i

k Énergie cinétique de turbulence k =u′

iu′i

2

kθ Demi-variance des fluctuations de température kθ =θ2

2

L Échelle de longueur des grosses structures dynamiques L =k3/2

ε

M Nombre de Mach M =u

c

14 Notations

p+ Paramètre de pression en zone interne p+ =ν

ρu3τ

dP

dx

P Pression statique

Pk Production de k Pk = −u′iu

′k

∂ui

∂xk

Pθ Production de kθ Pθ = −u′iθ

∂T

∂xi

Pr Nombre de Prandtl moléculaire Pr =ν

α

Prt Nombre de Prandtl turbulent Prt =νt

αt

qk Flux de chaleur dans la direction k qk = ρCpu′kθ

qp Flux de chaleur pariétal qp = −(λ∂T

∂y

)p

r Rapport des temps caractéristiques de la turbulence r =τθ

τ

R Constante du gaz

Rx Nombre de Reynolds basé sur la longueur x Rx =uex

ν

Rδ2Nombre de Reynolds basé sur l’épaisseur de quantité de mouvement Rδ2

=ueδ2

ν

s Facteur d’analogie s =Ch

Cf/2

Sij Tenseur des taux de déformation Sij =1

2

(∂ui

∂xj+

∂uj

∂xi

)

Sij Tenseur des taux de déformation adimensionné Sij =k

εSij

St Nombre de Stanton St =qp

ρCp (Tp − Te)ue

t Temps

T Température

Tβ Température de pression Tβ =qp

ρCpup

Tτ Température de frottement Tτ =qp

ρCpuτ

up Vitesse de pression up =

(ν

ρ

dP

dx

) 13

Notations 15

uτ Vitesse de frottement uτ =

√τp

ρ

u′iu

′j Tenseur de Reynolds

u′iθ Flux de chaleur turbulent

x, y, z Coordonnées cartésiennes

y+ Ordonnée de paroi réduite y+ =yuτ

ν

Alphabet grec :

α Diffusivité thermique du fluide α =λ

ρCp

αt Diffusivité thermique turbulente αt =λt

ρCp

α∗t Diffusivité thermique turbulente équivalente

β Paramètre de pression dans la zone externe β = − δ

uτ

due

dx

β∗ Paramètre de pression adimensionné en variable de Clauser β∗ = −δ1

τp

dP

dx

βi Coefficients du modèle WJ

δ Épaisseur de couche limite dynamique

δ1 Épaisseur de déplacement δ1 =

∫ +∞

−∞

u − ue

uedy

δ2 Épaisseur de quantité de mouvement δ2 =

∫ +∞

−∞

u

ue

(1 − u

ue

)dy

δij Symbole de Kronecker 1 si i = j, 0 sinon

δt Demi-taux d’ouverture thermique

ε Taux de dissipation de k ε = ν∂u′

i

∂xj

∂u′i

∂xj

εθ Taux de dissipation de kθ εθ = α

(∂θ

∂xj

)2

η Ordonnée adimensionnée en variable externe η =y

δ

θ Fluctuation de température

16 Notations

Θi Vecteur gradient de température moyenne adimensionné Θi =k

ε

√k

kθ

∂T

∂xi

κ Pente de la loi logarithmique dynamique

κt Pente de la loi logarithmique thermique

λ Conductibilité thermique du fluide

μ Viscosité dynamique du fluide

μt Viscosité dynamique turbulente

ν Viscosité cinématique du fluide ν =μ

ρ

νt Viscosité cinématique turbulente νt =μt

ρ

ν∗t Viscosité cinématique turbulente équivalente

ξi Flux de chaleur turbulent adimensionné ξi =u′

iθ√kkθ

ρ Masse volumique

σ Taux de cisaillement adimensionné σ =1

2

k

ε

du

dy

τ Temps caractéristique de la turbulence dynamique τ =k

ε

τij Tenseur des contraintes visqueuses τij = μ

(∂ui

∂xj+

∂uj

∂xi

)− 2

3μ

∂ul

∂xlδij

τp Contrainte de frottement pariétal

τθ Temps caractéristique de la turbulence thermique τθ =kθ

εθ

φiθ Corrélation pression-température φiθ =1

ρP ′ ∂θ

∂xi

ω Fréquence caractéristique dynamique ω =ε

k

Ωij Tenseur des taux de rotation Ωij =1

2

(∂ui

∂xj− ∂uj

∂xi

)

Ωij Tenseur des taux de rotation adimensionné Ωij =k

εΩij

Notations 17

Notations :

( )+ Relatif à l’adimensionnement en variables de paroi

( ˆ ) Relatif à l’adimensionnement dans la loi en racine

( )′ Fluctuation

( )′′ Fluctuation pondérée par la masse volumique

( ¯ ) Moyenne d’ensemble

( ˜ ) Moyenne d’ensemble pondérée par la masse volumique

( )e Relatif aux conditions à l’extérieur

( )i Relatif aux conditions d’arrêt

( )eq Relatif à l’équilibre

( )ref Relatif aux grandeurs de référence

( )∞ Relatif aux grandeurs à l’infini

Abréviations :

EAHFM Explicit Algebraic Heat Flux Model

EARSM Explicit Algebraic Reynolds Stress Model

LRR Modèle de Launder, Reece et Rodi [52]

SSG Modèle de Speziale, Sarkar et Gatski [79]

VD Relatif à la modélisation de van Driest

WJ Modèle EARSM de Wallin et Johansson [86]

WWJ Modèle EAHFM de Wikström, Wallin et Johansson [88]

18

19

Introduction

Les écoulements turbulents en présence de transferts de chaleur sont extrêmement courants dans lesapplications industrielles, aéronautiques et spatiales. Ces écoulements interviennent en aérodynamiqueinterne, dans le cas par exemple du refroidissement par circulation de fluide froid d’aubes de turbine ouencore le dégivrage des entrées d’air de moteurs par impacts de mini-jets (système piccolo). En aérodyna-mique externe, on peut citer l’exemple de l’impact du jet d’air chaud d’éjection du système de dégivragesur la nacelle ou bien la zone de mélange formée de l’air chaud d’un turboréacteur et de l’air froid extérieur.

La connaissance précise des phénomènes physiques dynamiques et thermiques, intervenant à l’intérieurou autour d’un élément donné, est nécessaire à l’industriel qui veut concevoir et dimensionner cet élément(aube, nacelle, etc.). La prévision des champs de vitesse, de pression et de température doit non seulementêtre fiable mais aussi générer un coût moindre.

Un moyen d’y parvenir est d’essayer de reproduire expérimentalement la configuration et les conditionsde vol dans lesquelles évoluent l’élément en question. Toujours est-il que ces expériences sont coûteuseset pas toujours évidentes à mettre en place. Il est parfois ardu de représenter exactement ces condi-tions de vol, dans le sens où les paramètres de similitude, comme le nombre de Reynolds notamment,ne peuvent pas toujours être respectés. De plus, les moyens de mesure actuels ne permettent pas tou-jours d’accéder fidèlement à certaines grandeurs, comme les coefficients d’échanges pariétaux par exemple.

Bien que ces expériences soient dans la plupart des cas indispensables à la compréhension des phé-nomènes, l’outil numérique demeure un moyen abordable du point de vue coût et permet de manièrerelativement simple et rapide de multiplier les cas de calculs. Aussi, les simulations numériques sont ellesprésentes dans toutes les phases de conception, constituant ainsi un complément à l’exploration expéri-mentale.

L’approche numérique peut se faire selon divers degrés de complexité, dépendant essentiellement dela configuration à traiter. L’avancée technologique dont bénéficient les machines de calcul rend possiblela résolution numérique directe des équations de Navier-Stokes ; c’est ce que l’on nomme les simulationsnumériques directes ou DNS (pour Direct Numerical Simulations). Néanmoins, Kolmogorov a montréque la turbulence était régie par le phénomène de cascade d’énergie, laquelle est extraite du mouvementmoyen aux grandes échelles (dites échelles intégrales) vers les structures de taille inférieure, jusqu’auxplus petites structures (échelles de Kolmogorov) pour ensuite être dissipée. Ces plus petites structuresjouent donc un rôle prépondérant dans la turbulence et c’est pourquoi elles doivent être captées par lemaillage, dont la taille de mailles ne doit pas excéder cette échelle de Kolmogorov et ceci, dans toutes lesdirections de l’espace. Il en résulte des maillages excessivement volumineux qui, malgré une améliorationsignificative des ressources informatiques, empêchent la mise en œuvre des DNS sur des configurationsindustrielles complexes. Dès lors, ce type de traitement est destiné aux géométries simples, à faiblesnombres de Reynolds, avec pour vocation, la compréhension approfondie des phénomènes physiques, laconstitution de bases de données ou encore la validation de modèles macro-échelles.

Une alternative aux DNS est la simulation aux grandes échelles (ou LES pour Large Eddy Simula-tion), certes moins précise, mais plus facilement applicable aux configurations complexes. Cette méthodeconsiste à ne résoudre que les plus grandes échelles, les petites structures faisant quant à elles l’objet d’unmodèle de sous-maille. Cette démarche permet de traiter des écoulements plus complexes et à nombre de

20 Introduction

Reynolds élevé et commence à susciter un intérêt industriel. Son application est toutefois limitée de parla taille des maillages qui demeurent encore très volumineux.

L’approche la plus communément employée dans l’industrie reste la résolution des équations de Navier-Stokes moyennées (ou RANS pour Reynolds Averaged Navier-Stokes). Le passage à la moyenne des équa-tions de Navier-Stokes fait apparaître des termes inconnus, les corrélations turbulentes. Il s’agit, pour ladynamique, des tensions de Reynolds −u′

iu′j et pour la thermique, des flux de chaleurs turbulents −u′

iθ.Le passage à la moyenne de ces équations occasionne par conséquent une perte d’informations et rendpar là même la méthode moins précise que la DNS ou la LES. Cependant, son intérêt repose sur la possi-bilité de traiter des configurations industrielles d’une manière simple et rapide. Toute l’approche RANSréside dans la représentation de ces deux termes par le biais de modèles de turbulence. Ces modèles deturbulence diffèrent par leur degré de complexité.

La première classe de modèles, dits du second ordre, est la plus complexe. Elle consiste en la résolutiondirecte des équations de transport des tensions de Reynolds et des flux de chaleur turbulents, ainsi quecelles des échelles caractéristiques de la turbulence. Ces équations sont donc au nombre de douze, avecsept équations pour la dynamique et cinq pour la thermique. Bien que ces équations s’écrivent de manièreexacte, elles font intervenir un certain nombre de nouvelles corrélations inconnues qui nécessitent à leurtour d’être modélisées. Cette catégorie de modèles est des plus réalistes, dans le sens où elle permet deprendre en compte divers phénomènes tels que les effets de courbure sur la turbulence ou encore les effetsd’anisotropie. Cependant, les modèles du second ordre restent encore fort peu utilisés dans le cadre in-dustriel, du fait du nombre important d’équations à résoudre et des fortes non-linéarités qui apparaissentdans les termes à modéliser et qui rendent le système numériquement délicat à résoudre.

Partant de ces équations de transport des tensions de Reynolds et des flux de chaleur turbulents, ilest possible d’émettre une hypothèse d’équilibre local de la turbulence qui revient à négliger les termesd’advection et de diffusion de ces équations. Cette méthodologie s’inscrit dans le cadre des modèles ditsalgébriques. On parle alors de modèles aux tensions de Reynolds algébriques (ou ARSM pour AlgebraicReynolds Stress Models) pour la dynamique et de modèles aux flux de chaleur turbulents (ou AHFMpour Algebraic Heat Flux Models) pour la thermique. Les relations issues de l’hypothèse d’équilibre localsont dans la plupart des cas implicites et nécessitent alors d’être traitées par un processus itératif. Ce-pendant, il est possible, moyennant certaines conditions, de rendre le système d’équations explicite. Il estalors question des modèles EARSM et EAHFM (le E signifiant Explicit). D’un point de vue dynamique,ces modèles fournissent une alternative à l’hypothèse de Boussinesq qui relie linéairement les tensions deReynolds aux gradients de vitesse et par là même permettent de prendre en compte les effets d’anisotro-pie. Quant à la partie thermique, ils pallient les inconvénients intrinsèques à la définition de la diffusivitéturbulente classiquement employée qui aligne le flux de chaleur turbulent au gradient de températuremoyenne. Ces modèles, associés aux équations de transport des échelles caractéristiques de la turbulence(deux pour la dynamique et deux pour la thermique) bénéficient d’une résolution numérique plus aisée,tout en assurant une bonne représentation de phénomènes physiques complexes, comme l’influence de larotation sur la turbulence.

Il n’en demeure pas moins que les modèles de turbulence les plus couramment utilisés dans le mondeindustriel sont les modèles à équations de transport des échelles caractéristiques de la turbulence, asso-ciés aux notions de viscosité et de diffusivité turbulentes. Ces échelles permettent de relier les tensions deReynolds aux gradients de vitesse moyenne et les flux de chaleur turbulents aux gradients de températuremoyenne et ce, de manière linéaire. Ces relations sont établies respectivement via la viscosité turbulenteνt et la diffusivité turbulente αt, quantités qui peuvent être reliées entre elles par l’intermédiaire dunombre de Prandtl turbulent Prt = νt/αt, par analogie au nombre de Prandtl moléculaire. Ces modèlesà équations de transport sont d’un degré de complexité inférieur à celui des modèles algébriques, puisqueces derniers proposent une relation non linéaire entre tensions de Reynolds et gradients de vitesse d’unepart et flux de chaleur turbulents et gradients de température d’autre part. Les termes νt et αt sontici directement déduits des échelles caractéristiques de la turbulence et le nombre de Prandtl turbulentcorrespondant est conséquemment variable au sein de l’écoulement considéré.

Introduction 21

À ce stade, une simplification supplémentaire à la modélisation de la turbulence est fréquemmentapportée, en considérant le nombre de Prandtl turbulent constant (de l’ordre de 0,9), ce qui permet des’affranchir de la résolution des équations de transport des deux échelles thermiques. Toutefois, il a étéexpérimentalement démontré que cette hypothèse est largement contestable puisque le nombre de Prandtlturbulent varie non seulement d’un écoulement à un autre (il est par exemple de l’ordre de 0,9 dans unsillage chauffé et de 0,7 dans une couche de mélange chauffée), mais également au sein d’un même écou-lement (on peut citer l’exemple de la couche limite pour laquelle le nombre de Prandtl turbulent variesensiblement entre la paroi et la région externe). Cette approximation relative au nombre de Prandtlturbulent peut avoir des conséquences non négligeables sur la prévision des flux de chaleur turbulents.

La dernière catégorie de modèles, la plus simpliste du point de vue de la représentation des phéno-mènes de turbulence, s’affranchit de la totalité des équations de transport pour ne faire intervenir qu’uneseule relation entre la viscosité turbulente et les gradients de vitesse moyenne. On parle alors de modèleà zéro équation de transport. Ils sont très rarement employés, du fait de leur caractère trop rudimentaire.

Depuis quelques années, on voit apparaître un intérêt nouveau pour les modèles algébriques qui offrentun compromis tout à fait satisfaisant entre simplicité de mise en œuvre et prise en compte de phénomènescomplexes intervenant dans de nombreuses applications industrielles. Cependant, la modélisation algé-brique thermique est encore peu développée et l’hypothèse d’un nombre de Prandtl turbulent constantest toujours largement appliquée.

L’objectif de ces travaux de thèse est précisément de mettre au point un modèle algébrique thermiques’affranchissant ainsi de cette hypothèse inadaptée de nombre de Prandtl turbulent constant. Dans unécoulement, le profil de température étant fortement conditionné par celui de la vitesse, la mise en placed’un modèle thermique passe immanquablement par la résolution du champ dynamique et ainsi, un mo-dèle AHFM est la plupart du temps associé à un modèle ARSM, par souci de cohérence. Les modèlesalgébriques impliquant les échelles caractéristiques de la turbulence, leur développement repose donc surla résolution des équations de transport de ces échelles. Ainsi, doivent ils être couplés à un modèle àquatre équations de transport. Pour la dynamique, il s’agit de transporter en général l’énergie cinétiquede turbulence k, donnant ainsi l’échelle caractéristique de la vitesse et une autre échelle de turbulence(ε, ω, L...) permettant l’accès à l’échelle caractéristique de la longueur. Quant à la partie thermique,la première échelle transportée est la demi-variance des fluctuations de température kθ et la deuxièmeéchelle est la plupart du temps son taux de dissipation εθ. Or, Daris [28] a montré que la majorité desmodèles à équations de transport existants ne parviennent pas à reproduire correctement les effets d’ungradient de pression adverse, source du décollement de couche limite, phénomène souvent rencontré dansles applications industrielles. Un autre défaut fréquemment observé est le comportement au voisinagede la frontière d’un écoulement turbulent pour lequel certains modèles tendent à donner une solutionpour les champs dynamique et thermique dépendante de la solution à l’extérieur. Ainsi, Daris [28] a misau point, à partir des travaux analytiques de Catris [16], un modèle de turbulence k − kL/kθ − kθLθ

respectant la physique de certains écoulements jugés incontournables. Le principe mis en jeu consiste àtraduire les contraintes portant sur les comportements physiques à satisfaire sous forme de relations entreles constantes du modèle. Daris a de plus montré que le choix de la deuxième échelle transportée estdéterminant et que toutes ces échelles ne se valent pas d’un point de vue du comportement à l’extérieurde l’écoulement turbulent.

La présente étude se limite au cas des écoulements incompressibles, faiblement chauffés, pour lesquelsla température peut être considérée comme un scalaire passif, c’est-à-dire qu’elle n’influe pas sur le champdynamique (l’inverse étant faux).

Les travaux présentés ici s’inscrivent dans le cadre du développement d’un modèle algébrique ther-mique explicite s’appuyant sur cette démarche théorique. Le modèle ainsi obtenu aura pour contraintesde respecter la physique de certains écoulements, comme les écoulements homogènes, les écoulements decouche limite faiblement chauffée en présence ou non d’un gradient de pression adverse et les écoulementscisaillés libres chauffés. Le modèle EAHFM sera ainsi calibré sur le modèle k − kL/kθ − kθLθ de Daris[28], pour lequel la détermination du champ de vitesse sera effectuée en association avec la formulation

22 Introduction

EARSM de Wallin et Johansson [86]. La recalibration des constantes du modèle dynamique par Bézard[15] permet à l’ensemble k − kL EARSM de respecter lui-même les contraintes en dynamique.

La thèse est agencée de la façon suivante :

Dans un premier temps, les équations de base régissant les champs dynamique et thermique turbulentsseront rappelées. Une étude bibliographique non exhaustive des modèles recensés dans la littérature seramenée.

Dans un second temps, la formulation du modèle EAHFM sera élaborée à partir des différentes hypo-thèses émises et une méthode de résolution simple sera proposée.

Ensuite, une étude théorique de divers écoulements sera effectuée, permettant ainsi de mettre au pointles relations analytiques entre les constantes du modèle et d’en déduire un jeu de constantes adéquat.

Un modèle de paroi sera alors mis en place de manière à assurer une bonne représentation des com-portements des différents quantités en présence de paroi.

Le modèle ainsi construit sera alors validé sur des écoulements de similitude (sillage, couche de mé-lange, jets plan et axisymétrique, couches limites soumises ou non à un gradient de pression).

Finalement, le modèle satisfaisant toutes les contraintes thermiques sera implanté dans le code Navier-Stokes elsA de l’ONERA pour être validé sur les écoulements de plaque plane chauffée, de jet débouchantet de jet impactant perpendiculairement une paroi chauffée.

23

Chapitre 1

Concepts de base

1.1 Décomposition de Reynolds

De nombreux écoulements observés dans la nature et dans le domaine aéronautique ne possèdentpas les propriétés du régime laminaire et sont, par conséquent, le siège d’instabilités conduisant au ré-gime turbulent. La turbulence a la particularité de ne pas être une propriété du fluide, mais un régimed’écoulement. Cet état d’écoulement, fortement rotationnel, apparaît lorsque le nombre de Reynolds cor-respondant est grand et se manifeste par le caractère aléatoire des variations de vitesse et de températureet par la forte tridimensionnalité du champ de vitesse instantanée, même pour un champ bidimensionnelen moyenne.

La turbulence est basée sur la notion de transfert d’énergie, laquelle est extraite du mouvement moyenaux grandes échelles (dites échelles intégrales) vers les structures de taille inférieure, jusqu’aux tourbillonsde Kolmogorov pour y être dissipée en chaleur. Ce transfert porte le nom de cascade d’énergie. L’échellede longueur caractérisant la dissipation (appelée échelle de Kolmogorov) demeurant nettement supérieureà celle du libre parcours moyen, les équations classiques de la mécanique des milieux continus restentapplicables dans le cas d’écoulements turbulents [24]. Néanmoins, la résolution des équations de quantitéde mouvement s’avère particulièrement délicate, de par la non-linéarité du terme de convection. Ceséquations de quantité de mouvement (ou équations de Navier-Stokes) s’écrivent sous forme instantanée :

ρ∂ui

∂t+

∂ρukui

∂xk= − ∂P

∂xi+

∂τik

∂xk(1.1)

τik est le tenseur des contraintes visqueuses et s’exprime, pour un fluide newtonien, par :

τik = μ

(∂ui

∂xk+

∂uk

∂xi

)− 2

3μ

∂ul

∂xlδik (1.2)

μ est la viscosité dynamique du fluide considéré et peut être déterminée à partir de la loi de Sutherland :

μ

μref=

(T

Tref

) 32 Tref + S

T + S(1.3)

Pour l’air, S = 110, 4 K, Tref = 273 K et μref = 1, 71110−5 Pl.

Notons que l’équation de quantité de mouvement telle que décrite plus haut (1.1), néglige les forcesvolumiques extérieures appliquées au fluide (pesanteur, etc.).

À l’équation (1.1) est associée l’équation de continuité ou de conservation de la masse :

24 Chapitre 1 : Concepts de base

∂ρ

∂t+

∂ρuk

∂xk= 0 (1.4)

Concernant l’aspect thermique, on se place dans le cadre d’un écoulement sans réaction chimiqueet soumis à aucune force volumique. Si on suppose le fluide caloriquement parfait, alors les coefficientsde chaleur spécifique à pression constante Cp et à volume constant Cv sont constants. L’équation detransport de l’enthalpie totale H définie par H = h + uiui

2 , où h désigne l’enthalpie du fluide, s’écrit :

∂ρH

∂t+

∂ρHuk

∂xk=

∂P

∂t+

∂ (−qk + τikui)

∂xk(1.5)

où ∂∂xk

(−qk) est la diffusion de température et −qk est le vecteur flux de chaleur de conduction dans ladirection xk et s’exprime à l’aide de la loi de Fourier par :

−qk = λ∂T

∂xk(1.6)

λ est le coefficient de conductibilité thermique et vaut, dans le cas de l’air à 273 K, 0,024 Wm−1K−1.L’évolution de ce coefficient est similaire à celle de la viscosité dynamique μ et on peut donc introduireun nombre sans dimension reliant ces deux grandeurs. Ce nombre est le nombre de Prandtl et il est définipar :

Pr =μCp

λ(1.7)

Pour l’air, dans les conditions standard, ce nombre de Prandtl vaut 0,71.La résolution directe des équations de quantité de mouvement pour un écoulement turbulent (appelée

aussi DNS pour Direct Numerical Simulation) demeure encore très coûteuse en temps, malgré les avan-cées technologiques observées sur la puissance des calculateurs. Elle se limite donc à des écoulementspour lesquels le nombre de Reynolds est relativement peu élevé, le temps de calcul évoluant comme lenombre de Reynolds à la puissance trois. Une alternative à cette résolution directe consiste à séparer lesdifférentes variables en valeurs moyennes et en valeurs fluctuantes. On utilise en général la décompositionde Reynolds, pondérée par la masse volumique du fluide. Ainsi, si on note φ une variable quelconque àdécomposer, on écrira :

φ = φ + φ′′ (1.8)

avec φ =ρφ

ρet φ′′ = 0 (1.9)

Le symbole ρφ désigne la moyenne d’ensemble de ρφ, au sens statistique, c’est-à-dire :

ρφ = limN→∞

N∑

i=1

(ρφ)i (1.10)

où (ρφ)i désigne un échantillon i de la grandeur ρφ.Pour un écoulement stationnaire en moyenne, le principe d’ergodicité impose que la moyenne statis-

tique soit égale à la moyenne temporelle définie par :

ρφ = limT→∞

1

N

∫ t′+t

t′(ρφ) (t) dt (1.11)

Pour des écoulements incompressibles (ρ = cste), la décomposition de Reynolds pondérée par la massevolumique se ramène à :

φ = φ + φ′ (1.12)

avec φ′ = 0 (1.13)

1.2 Équations générales 25

Cette décomposition est appelée décomposition de Reynolds.Les deux moyennes (celle de Reynolds et celle de Reynolds pondérée par la masse volumique) sont

reliées par la relation :

φ + φ′ = φ + φ′′ d’où φ′′ =−ρ′φ′

ρ(1.14)

Les grandeurs physiques auxquelles ces décompositions de Reynolds seront appliquées sont, dans notrecas, la vitesse, la pression et la température. Ainsi :

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

ui = ui + ui′′ = ui + ui

′

P = P + P ′′ = P + P ′

T = T + θ′′ = T + θρ = ρ + ρ′′ = ρ + ρ′

(1.15)

1.2 Équations générales

1.2.1 Équations générales dynamiques

En séparant les grandeurs en variables moyennes et en variables fluctuantes, selon la décompositionde Reynolds pondérée par la masse volumique, puis en moyennant, les équations de continuité (1.4) et dequantité de mouvement (1.1) deviennent respectivement :

∂ρ

∂t+

∂ρuk

∂xk= 0 (1.16)

∂ρui

∂t+

∂ρuiuk

∂xk= − ∂P

∂xi+

∂

∂xk

(τik − ρu′′

i u′′k + τ ′′

ik

)(1.17)

Les termes τik et τ ′′ik sont les contraintes visqueuses moyennes et fluctuantes qui peuvent être déduites

de l’hypothèse de fluide newtonien :

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

τik = μ

(∂ui

∂xk+

∂uk

∂xi

)− 2

3μ

∂ul

∂xlδik

τik′′ = μ

(∂u′′

i

∂xk+

∂u′′k

∂xi

)− 2

3μ

∂u′′l

∂xlδik

(1.18)

On observe, dans ce dernier système d’équations, que les fluctuations de viscosité dynamique du fluide

n’apparaissent pas. En effet, si on s’intéresse au terme˜

μ(

∂ui

∂xk+ ∂uk

∂xi

), alors il est rigoureusement égal à :

˜μ

(∂ui

∂xk+

∂uk

∂xi

)= μ

(∂ui

∂xk+

∂uk

∂xi

)+

˜μ′′(

∂u′′i

∂xk+

∂u′′k

∂xi

)(1.19)

Or, la fluctuation de viscosité peut être reliée à la fluctuation de température de la manière suivante :

μ′′ ≈ dμ

dTθ′′ (1.20)

Dès lors, μ′′ est lié aux grandes échelles, alors que(

∂u′′

i

∂xk+

∂u′′

k

∂xi

)est lié aux petites échelles. La corré-

lation entre ces deux termes est par conséquent très faible ; on pourra donc la négliger et écrire :

˜μ

(∂ui

∂xk+

∂uk

∂xi

)≈ μ

(∂ui

∂xk+

∂uk

∂xi

)(1.21)

et ainsi :

μ ≈ μ (1.22)

26 Chapitre 1 : Concepts de base

Les fluctuations de viscosité dynamique n’apparaissent donc pas dans les équations.

Quant à τ ′′ik, il s’agit d’un terme compressible qui disparaît donc quand ρ est constant :

τ ′′ik = μ

(∂u′′

i

∂xk+

∂u′′k

∂xi

)− 2

3μ

∂u′′l

∂xlδik (1.23)

Néanmoins, Morkovin [57] montre, à partir d’une étude de couche limite, que ce terme demeure négli-geable dans le cas d’écoulements incompressibles. En effet, il exprime les variations de masse volumiquepar :

ρ′

ρ≃ (γ − 1)M2 u∗

U(1.24)

où u∗ et U représentent respectivement l’ordre de grandeur des fluctuations de vitesse et de la moyennede la vitesse. Le rapport u∗/U est donc petit en général et ρ′/ρ l’est aussi si (γ − 1)M2 n’est pas tropgrand, c’est-à-dire si l’écoulement considéré n’est pas hypersonique. Ainsi, tous les termes purementcompressibles deviennent négligeables, autrement dit, la compressibilité n’affecte en rien les mécanismesfondamentaux de la turbulence. Bradshaw [11] montre que la limite de cette hypothèse se situe à M < 5pour les écoulements de sillage et de couche limite et à M < 1, 5 pour les écoulements de jet et de couchede mélange. Les effets de compressibilité sont uniquement pris en compte dans les termes ρ et μ.

Si maintenant on récrit les équations de continuité et de quantité de mouvement en faisant l’hypothèsed’un écoulement incompressible, c’est-à-dire en utilisant la décomposition de Reynolds, on obtient :

∂uk

∂xk= 0 (1.25)

ρ∂ui

∂t+ ρuk

∂ui

∂xk= − ∂P

∂xi+

∂

∂xk

(τik − ρu′

iu′k

)(1.26)

Cette dernière équation est appelée équation de Reynolds, dans laquelle :

τik = μ

(∂ui

∂xk+

∂uk

∂xi

)(1.27)

On remarque donc que les équations ont la même forme pour un écoulement compressible auquel onassocie la décomposition de Reynolds pondérée par la masse volumique et pour un écoulement incompres-sible en utilisant la décomposition de Reynolds simple. L’étude actuelle a été développée dans ce derniercas.

On voit apparaître dans cette dernière équation (1.26) de nouvelles inconnues de la forme ρu′iu

′k. Ces

termes, au nombre de six (de par leur symétrie on a ρu′iu

′k = ρu′

ku′i), forment le tenseur de Reynolds. Ils

décrivent l’influence du mouvement turbulent sur le mouvement moyen et forment une tension turbulenteapparente qui vient s’ajouter à la tension visqueuse τik. Notons que l’apparition de ce terme est due à lanon-linéarité du terme de convection des équations de Navier-Stokes.

1.2.2 Équations générales thermiques

On procède ici comme pour la dynamique. En séparant l’enthalpie totale en grandeur moyenne et engrandeur fluctuante (par la décomposition de Reynolds pondérée par la masse volumique) et en moyennantl’équation de transport instantanée de l’enthalpie totale (1.5), on obtient :

1.2 Équations générales 27

∂ρH

∂t+

∂ρHuk

∂xk=

∂P

∂t+

∂

∂xk

(−ρuiu′′

i u′′k − ˜qk − ρh′′u′′

k + τikui

)

+∂

∂xk

(−q′′k + uiτ ′′

ik

)

+∂

∂xk

(ρ

2˜u′′

i u′′i u′′

k + u′′i τik

)(1.28)

avec :

H = CpT +1

2

(uiui + u′′

i u′′i

),− ˜qk = λ

∂T

∂xket − q′′k = λ

∂θ′′

∂xk

La deuxième ligne de l’équation (1.28) est uniquement due à la compressibilité de l’écoulement. Onpeut donc à nouveau utiliser l’hypothèse de Morkovin [57] et supposer que ces termes sont négligeablesdevant les autres. On ne les prendra donc pas en compte par la suite. De nombreux auteurs [7] montrentque la dernière ligne est négligeable par rapport aux autres termes, pour des écoulements non hyper-soniques. Ce type d’écoulement n’étant pas abordé dans le cadre de cette thèse, on choisira de ne pasprendre en compte ce terme.

On introduit l’équation d’état des gaz parfaits qui permet de relier la pression P , la masse volumiqueρ et la température T . Cette loi d’état s’écrit :

P = ρRT (1.29)

où R représente le rapport de la constante universelle des gaz parfaits à la masse moléculaire du gazconsidéré (pour l’air, R ≈ 287 JKg−1K−1). Sous forme moyennée, cette loi devient :

P = ρRT (1.30)

À partir de cette dernière équation (1.30), on peut aisément exprimer les fluctuations de masse volu-mique en fonction des fluctuations des autres grandeurs du problème :

1

ρ

Dρ

Dt=

1

ρ

(∂ρ

∂T

)

P

DT

Dt+

1

ρ

(∂ρ

∂P

)

T

DP

Dt(1.31)

Si le fluide considéré est un gaz parfait, alors la loi d’état (1.30) peut être appliquée. On introduit

la définition de la célérité du son (c2 =(

Pρ

)S) où S désigne l’entropie. L’équation (1.31) peut alors se

récrire :

1

ρ

Dρ

Dt= − 1

T

DT

Dt+

γ

ρc2

DP

Dt(1.32)

où γ est le rapport de Cp sur Cv.

On voit donc que pour que les fluctuations de masse volumique soient négligeables, il faut que lesdeux termes du membre de droite de l’équation (1.32) le soient aussi. Autrement dit, pour pouvoirs’affranchir des variations de masse volumique il faut que, d’une part, les écarts de température au seinde l’écoulement considéré restent faibles (typiquement T max−T∞

T∞

≪ 1) et d’autre part, γM2 soit très

petit devant 1. L’équation (1.28) se réduit donc (en supprimant les variations de pression) à l’expressionsuivante :

∂ρH

∂t+

∂ρHuk

∂xk=

∂P

∂t+

∂

∂xk

(−ρuiu′′

i u′′k − ˜qk − ρh′′u′′

k + τikui

)(1.33)

Comme effectué pour la dynamique, on récrit les équations en faisant l’hypothèse d’un écoulementincompressible. On peut donc appliquer cette fois-ci la décomposition de Reynolds simple. L’équationpour l’enthalpie (1.5) devient :

28 Chapitre 1 : Concepts de base

Cpρ∂T

∂t+ Cpρuk

∂T

∂xk=

μ

2

(∂ui

∂xk+

∂uk

∂xi

)2

+μ

2

(∂u′

i

∂xk+

∂u′k

∂xi

)2

+∂

∂xk

(λ

∂T

∂xk− ρCpu′

kθ

)+

∂P

∂t(1.34)

Cette équation fait logiquement intervenir l’évolution de la pression. Une analyse des ordres de gran-deurs des termes présents dans l’équation de Navier-Stokes (1.26) permet de montrer que la variation de

pression ∂P∂t est du même ordre de grandeur que ρU2

2 où U désigne la vitesse moyenne de l’écoulement.

Si on veut comparer le terme ∂P∂t au terme de convection ρCp

∂T∂t , il suffit de faire l’analyse suivante :

P

ρCpT≃ 1

2

ρU2

ρCpT=

1

2

U2

CpT=

1

2

U2

γγ−1RT

=1

2(γ − 1)

U2

c2=

1

2(γ − 1)M2 (1.35)

puisque c2 = γRT .

Pour des écoulements subsoniques, la pression est donc d’un ordre inférieur au terme de température.On peut typiquement estimer que pour 1

2 (γ − 1)M2 < 0, 1, soit M < 0, 7, l’évolution temporelle de lapression peut être négligée.

Intéressons nous maintenant aux deux premiers termes du membre de droite de l’équation (1.34). Cestermes sont des termes de dissipation de la température. Si on prend le cas d’un écoulement de couchelimite, alors ils sont de l’ordre de u∗2

l2 où u∗ et l sont la vitesse et la longueur caractéristiques de la

turbulence. Le terme de convection ρCpuk∂T∂uk

est quant à lui de l’ordre de ρCpUTL où L est cette fois

l’échelle de longueur convective. Généralement, on admet que dans un écoulement de couche limite lestemps caractéristiques de la turbulence et du mouvement convectif sont du même ordre de grandeur,autrement dit u∗

l ≃ UL . Ainsi, le rapport des termes qui nous intéressent ici est le suivant :

u∗2µl2

ρCpTUL

≃ μU

ρCpTL=

γ − 1

γ

νU

LrT=

ν

UL

U2

c2(γ − 1) =

1

RLM2 (γ − 1) (1.36)

où RL est le nombre de Reynolds basé sur la longueur L. Si ce nombre de Reynolds est grand, alors leterme de dissipation est négligeable, à condition toutefois que M2 (γ − 1) reste faible, autrement dit quel’écoulement ne soit pas hypersonique.Bien que ce raisonnement soit mené pour des écoulements de type couche mince, on admettra par la suiteque ces termes de dissipation ont une influence moindre par rapport à celle des termes de convection et dediffusion. Ainsi, pour des nombres de Mach inférieurs à 0,7, l’équation n’admet ni terme de production, niterme de dissipation. Dans ce contexte-ci, la température se conduit comme un scalaire passif. En d’autresmots, on suppose l’indépendance du champ dynamique vis-à-vis du champ thermique, c’est-à-dire que lavitesse influe sur la température, mais que la température n’influe pas sur le champ de vitesse. L’équation(1.34) se réduit alors à :

∂T

∂t+ uk

∂T

∂xk=

∂

∂xk

(α

∂T

∂xk− u′

kθ

)(1.37)

avec α la diffusivité thermique telle que α = λρCp

.On aboutit finalement à un équilibre entre la convection et la diffusion. On peut donc faire le parallèleavec l’équation finale obtenue en compressible (1.33). Il en résulte que, comme en dynamique, les équa-tions à résoudre en compressible et en incompressible ont la même forme et les termes mis en jeu sont lesmêmes (convection et diffusion), dans le domaine de validité de l’hypothèse de Morkovin. C’est pourquoi,dans la suite de l’étude, seuls les écoulements incompressibles seront abordés et la moyenne de Reynoldsadoptée.

De même qu’en dynamique, il apparaît dans l’équation finale de transport de la température moyenneT (1.37) un nouveau terme u′

kθ, issu de la non-linéarité de l’équation de base. Ce terme, contrairementaux tensions de Reynolds qui forment un tenseur, est un vecteur et représente la corrélation fluctuation

1.3 Modélisation de la turbulence dynamique 29

de vitesse-fluctuation de température. Il représente le transfert de chaleur au sein du champ moyen dûà la turbulence et pour cette raison, est appelé flux de chaleur turbulent, par analogie avec le flux dechaleur moyen −qk.

1.3 Modélisation de la turbulence dynamique

Le chapitre précédent se proposait de fournir une alternative à la résolution directe des équations deNavier-Stokes dans le cas d’écoulements turbulents et a permis d’introduire la notion de décompositionet moyenne de Reynolds. Que ce soit en compressible ou en incompressible, cette méthode, couplée àla non-linéarité du terme de convection, engendre de nouveaux termes dans l’équation de transport dela grandeur moyenne considérée. En dynamique, ce sont les tensions de Reynolds qui apparaissent dansle terme de diffusion de l’équation de transport de la vitesse moyenne. Ces nouveaux termes étant desinconnues, le système résultant du passage à la moyenne devient ouvert et nécessite par conséquent unefermeture.

Divers types de modélisation, balayant un champ assez large de complexité et de performances, existentet l’objectif de cette partie consiste à présenter les différents degrés de modélisation utilisés pour la dé-termination des tensions de Reynolds.

Dans un premier temps, nous allons établir l’équation de transport des tensions de Reynolds, puison introduira la notion de viscosité turbulente qui, déduite de la résolution d’une ou deux équationsde transport, permet de relier les tensions de Reynolds au gradient de vitesse moyenne. Une deuxièmephilosophie consiste à résoudre les équations de transport des termes inconnus eux-mêmes. Et finalement,le dernier degré de modélisation abordé concerne les modèles dits algébriques pour lesquels une hypothèsed’équilibre local de la turbulence permet de relier le tenseur de Reynolds aux grandeurs connues (grandeursmoyennes ou préalablement déterminées via leurs propres équations de transport).

1.3.1 Équation de transport des tensions de Reynolds

On s’intéresse en premier lieu à l’établissement de l’équation de transport des tensions de Reynolds,utile pour aborder les prochains points sur la modélisation de la turbulence dynamique. L’équation detransport de la vitesse fluctuante u′

i est obtenue en soustrayant l’équation de Reynolds (1.26), c’est-à-direl’équation pour le mouvement moyen, à l’équation de Navier-Stokes instantanée (1.1) :

ρ∂u′

i

∂t+ ρ uk

∂u′i

∂xk+ ρu′

k

∂ui

∂xk= −∂P ′

∂xi+

∂

∂xk

(μ

∂ui

∂xk+ ρ (u′

iu′k − u′

iu′k)

)(1.38)

L’équation de transport des tensions de Reynolds est obtenue en multipliant (1.38) par u′j, en lui

ajoutant l’équation pour u′j multipliée par u′

i et après passage à la moyenne :

∂u′iu

′j

∂t+ uk

∂u′iu

′j

∂xk︸ ︷︷ ︸Cij

= −u′ku′

j

∂ui

∂xk− u′

ku′i

∂uj

∂xk︸ ︷︷ ︸Pij

+P ′

ρ

(∂u′

i

∂xj+

∂u′j

∂xi

)

︸ ︷︷ ︸φij

−∂u′

iu′ju

′k

∂xk︸ ︷︷ ︸Dtij

−1

ρ

(∂P ′u′

i

∂xj+

∂P ′u′j

∂xi

)

︸ ︷︷ ︸DPij

+∂

xk

(ν

∂u′iu

′j

xk

)

︸ ︷︷ ︸Dνij

− 2ν∂u′

i

xk

∂u′j

xk︸ ︷︷ ︸εij

(1.39)

30 Chapitre 1 : Concepts de base

• Cij représente la convection de u′iu

′j.

• Pij représente la production de u′iu

′j par le mouvement moyen.

• φij est le terme de redistribution d’énergie par la pression suivant les différentes composantes dutenseur de Reynolds.

• Dtijdésigne la diffusion due à la turbulence.

• DPijdésigne la diffusion due aux fluctuations de pression.

• Dνijdésigne la diffusion moléculaire.

• εij est le terme de dissipation par la viscosité du fluide.

1.3.2 Notion de viscosité turbulente

Les modèles les plus couramment employés dans l’industrie reposent sur la notion de viscosité turbu-lente, issue de l’hypothèse de Boussinesq. Cette hypothèse permet de relier les tensions de Reynolds auxgradients de vitesse moyenne, soit en incompressible :

−u′iu

′j +

2

3kδij = νt

(∂ui

∂xj+

∂uj

∂xi

)(1.40)

où k représente l’énergie cinétique de turbulence définie par k =u′

iu′

i

2 . La viscosité turbulente est désignéepar μt telle que μt = νtρ. Cette hypothèse de Boussinesq repose sur une analogie entre le transport de

quantité de mouvement par la turbulence et le transport moléculaire décrit par μ(

∂ui

∂xj+

∂uj

∂xi

). Cependant

il faut d’ores et déjà noter que cette analogie a ses limites, de par sa définition même, puisque la viscositémoléculaire est une propriété du fluide, alors que la viscosité turbulente traduit un état de l’écoulement.En pratique, cette hypothèse s’avère donner des résultats corrects, en particulier dans le cas d’écoulementspour lesquels seule la composante u′v′ intervient, autrement dit des écoulements de type couche mince.

Fermer le système revient maintenant à modéliser la viscosité turbulente μt. Or, d’après leurs défini-tions, μt et μ ont la même dimension, à savoir :

[μt] = [μ] = ρu∗l = ρu∗2τ (1.41)

Il s’agit donc de déterminer les échelles turbulentes de vitesse u∗ et de longueur l ou de temps τ et pource faire, la méthode la plus généralement employée réside dans la résolution des équations de transportde ces deux échelles.

1.3.3 Modèles à deux équations

Les modèles à deux équations se proposent de fournir, via deux équations de transport, les deuxéchelles de vitesse et de longueur nécessaires à la reconstitution de la viscosité turbulente qui, une foisconnue, fournit directement les composantes du tenseur de Reynolds. u∗ est la vitesse caractéristique desstructures turbulentes et peut être reliée à l’énergie cinétique turbulente par u∗ ∝

√k. k constitue donc

une première échelle à transporter. La seconde échelle peut être en théorie toute combinaison d’échellespermettant de remonter à l. L’échelle la plus largement utilisée est ε, qui représente le taux de dissipation

de l’énergie cinétique de turbulence de sorte que ρε = μ(

∂u′

i

∂xk+

∂u′

k

∂xi

). Pour que ε puisse être relié à l (ou

à un temps τ = lu∗

), on fait l’hypothèse d’une échelle de temps unique qui consiste à supposer que letemps nécessaire aux petits tourbillons pour dissiper une quantité d’énergie donnée est le même que celuiqu’il faudrait à cette même quantité d’énergie pour être transportée des gros vers les petits tourbillons.Ce temps caractéristique de la turbulence est défini par :

τ =k

ε(1.42)

Avec ce choix d’échelles, μt est donc proportionnel à ρu∗2τ = ρk2

ε .On pose alors :

1.3 Modélisation de la turbulence dynamique 31

μt = Cµρk2

ε(1.43)

où Cµ est un coefficient de proportionnalité.

D’autres quantités que ε peuvent être transportées et ceci constitue une diversité de modèles, parmi

lesquels on peut citer les modèles k − ω [89] avec ω = εk , k − L [74] avec L = k

32

ε ou k − ϕ [25] avecϕ = ε√

k. Nous n’aborderons ici que les modèles à deux équations utiles pour la suite de l’étude, à savoir

le k − ε [20] [13] et le k − kL [28].

L’étude à suivre concerne des écoulements à grand nombre de Reynolds, pour lesquels les termesvisqueux sont négligés. En d’autres termes, on se placera loin des parois.

1.3.3.1 Modèles k − ε

1.3.3.1.1 Équation de transport de k

L’équation de transport de k s’obtient à partir de l’équation de transport des tensions de Reynolds

(1.39), en faisant i = j et en divisant par 2 (puisque k =u′

iu′

i

2 ) :

∂ρk

∂t+ uk

∂ρk

∂xk︸ ︷︷ ︸Ck

= −ρu′iu

′k

∂ui

∂xk︸ ︷︷ ︸ρPk

− ∂

∂xk

⎛⎜⎜⎜⎝

Dtk︷ ︸︸ ︷1

2ρu′

iu′iu

′k +

DPk︷︸︸︷P ′u′

i δik

Dµk︷ ︸︸ ︷−μ

∂k

∂xk

⎞⎟⎟⎟⎠

︸ ︷︷ ︸Jk

−μ

(∂u′

i

∂xk

)2

︸ ︷︷ ︸ρε

(1.44)

• Ck représente la convection de k.• Pk représente la production de k par les gradients de vitesse.• Jk est le flux de diffusion composée de trois contributions :

– Dtkla diffusion turbulente

– DPkla diffusion due à la pression

– Dµkla diffusion moléculaire

• ε est le taux de dissipation de k.

δik est le symbole de Kronecker, ou tenseur identité. Il vaut 1 si i = k et 0 sinon.

La majorité des modèles utilisant cette équation de transport la formulent dans un cadre incompres-sible et intègrent les effets d’une compressibilité éventuelle dans les variations de ρ. La diffusion turbulenteDtk

et la diffusion due à la pression DPksont modélisées sous une forme en gradient similaire au terme

de diffusion moléculaire Dµk. On néglige la diffusion moléculaire, comme précisé en introduction. Ainsi,

le terme Jk peut se mettre sous la forme simplifiée Jk = − µt

σk

∂k∂xk

où σk est une constante empirique.

Ainsi, l’équation de transport de k est récrite de manière symbolique :

Dk

Dt= Pk − ε +

∂

∂xk

(νt

σk

∂k

∂xk

)(1.45)

1.3.3.1.2 Équation de transport de ε

L’équation de transport de la dissipation de k, ε, est obtenue à partir de l’équation de transport

des fluctuations de vitesse (1.38), puisque ε = ν(

∂u′

i

∂xk+

∂u′

k

∂xi

). Elle s’écrit :

32 Chapitre 1 : Concepts de base

Dε

Dt= −2ν

∂u′i

∂xk

∂u′i

∂xl

∂u′k

∂xl︸ ︷︷ ︸Ptε

− 2ν2

(∂2u′

i

∂xk∂xl

)2

︸ ︷︷ ︸Dε

− ∂

∂xk

(νu′

k

∂u′i

∂xl

∂u′i

∂xl+

2ν

ρ

∂u′k

∂xl

∂P ′

∂xl− ν

∂ε

∂xk

)

︸ ︷︷ ︸Jε

− 2ν

(∂u′

i

∂xk

∂u′i

∂xl+

∂u′l

∂xi

∂u′k

∂xi

)

︸ ︷︷ ︸Pmε

− 2νu′k

∂u′i

∂xk

∂2ui

∂xk∂xl︸ ︷︷ ︸Pgε

(1.46)

• Ptεreprésente la production due à la turbulence.

• Dε est le terme de destruction.• Jε est le terme de diffusion.• Pmε

représente la production mixte.• Pgε

représente la production par gradient.

À grand nombre de Reynolds, les termes dominants sont la différence entre la production due à laturbulence et la destruction d’une part et la diffusion d’autre part. En revanche, les termes de productionmixte et de production par gradient sont souvent négligés. Dans le terme de diffusion Jε, on peut ànouveau supprimer la contribution visqueuse pour ne garder que la diffusion turbulente et la diffusiondue à la pression, en les modélisant encore une fois sous forme de gradient et ainsi écrire Jε = νt

σε

∂ε∂xk

. Ladifférence entre la production et la destruction est modélisée selon l’approche de Jones et Launder [43]qui posent :

Ptε− Dε = −Cε1

ε

ku′

iu′k

∂ui

∂xk− Cε2

ε2

k(1.47)

Ainsi, l’équation de transport pour la dissipation à grand nombre de Reynolds, proposée pour lapremière fois par Launder et Spalding [53], devient :

Dε

Dt= Cε1Pk

ε

k− Cε2

ε2

k+

∂

∂xk

(νt

σε

∂ε

∂xk

)(1.48)

1.3.3.1.3 Choix des constantes

Plusieurs modèles k − ε existent et diffèrent de par le choix des constantes et celui du modèle deparoi adopté. On peut citer les modèles de de Jones et Launder [43], de Nagano et Kim [58], ou encorecelui de So, Sommer et Zhang [77]. Les deux modèles retenus ici sont le modèle k − ε de Chien [20] etk − ε de Bézard [13].

Modèle k − ε de Chien [20]Les constantes suggérées par Chien [20] sont les suivantes :

Cµ σk Cε1Cε2

σε

0,09 1,00 1,35 1,80 1,30

TAB. 1.1 – Coefficients du modèle k − ε de Chien [20]

Modèle k − ε de Bézard [13]On s’attache ici à décrire le modèle k − ε de Bézard [13]. La forme générale des équations de transport

de k et de ε est la même que pour les modèles cités ci-dessus. Cependant, le jeu de constantes a été obtenu

1.3 Modélisation de la turbulence dynamique 33

par une optimisation numérique de façon à obtenir des résultats numériques aussi proches que possibledes données expérimentales, en terme de profil de vitesse, de tension croisée −u′v′ et de taux d’évasementsur des écoulements de similitude (sillages, jets, couches de mélange et zone externe d’une couche limite).Les coefficients issus de cette optimisation sont les suivants :

Cµ σk Cε1Cε2

σε

0,09 0,58 1,48 1,97 1,14

TAB. 1.2 – Coefficients du modèle k − ε de Bézard [13]

1.3.3.2 Modèle k − kL de Daris [28]

Comme abordé plus haut, de nombreux modèles consistent à transporter une autre échelle que ε.Les auteurs motivent ce choix de deuxième échelle par la volonté de respecter un certain comportementphysique. Daris [28] a fait une étude approfondie de différents modèles existants et a montré que, bienqu’on puisse toujours déduire une échelle d’une autre, le choix de celle-ci s’avère primordial pour lesperformances du modèle. La question qui se pose alors est de savoir quelle est la meilleure grandeur àtransporter, en plus de k, pour optimiser le modèle.Une manière d’y répondre est de considérer l’échelle la plus générale possible, à savoir φ = kaεb etd’écrire son équation de transport à partir de celle de k et de celle de ε. Néanmoins, l’équation (1.48)fait intervenir une modélisation en premier gradient du terme de diffusion. De manière à conserver lecaractère général de l’étude menée ici, on introduit un terme supplémentaire dans ce terme de diffusion.Il s’agira d’un terme qui caractérisera l’influence de la diffusion de k dans l’équation pour φ. φ étantune combinaison de k et de ε, l’écriture de son équation de transport donne lieu à l’apparition de termescroisés, produits scalaires de gradient de k et de gradient de φ. Typiquement, on retrouve quelques-unsde ces termes dans l’équation pour ω (modèle k − ω [89]) ou pour L (modèle k − L [74]).

Les équations de transport s’écrivent, de manière la plus générale possible :

Dk

Dt= Pk − ε +

∂

∂xk

(νt

σk

∂k

∂xk

)(1.49)

Dφ

Dt= Cφ1

Pkφ

k− Cφ2

εφ

k+

∂

∂xk

⎛⎜⎜⎜⎝

νt

σφ

∂φ

∂xk+

νt

σφk

φ

k

∂k

∂xk︸ ︷︷ ︸DS

⎞⎟⎟⎟⎠

+ Cφφνt1

φ

∂φ

∂xk

∂φ

∂xk+ Cφkνt

1

k

∂k

∂xk

∂φ

∂xk+ Ckkνt

φ

k2

∂k

∂xk

∂k

∂xk︸ ︷︷ ︸TC

(1.50)

où DS désigne le termes de diffusion supplémentaire et TC les termes croisés.

Catris [16] a montré qu’on peut déduire les constantes d’une équation pour φ′ à partir de celles del’équation pour φ, de même forme analytique.

L’analyse du comportement du modèle à la frontière entre l’écoulement turbulent et l’écoulement non

turbulent révèle qu’un choix possible pour la deuxième échelle transportée est kL telle que kL = k52

ε , au-trement dit a = 5

2 et b = −1. En effet, la contrainte naturelle à imposer à φ est que cette quantité tendevers 0 à la paroi, de manière à éviter certains problèmes numériques pouvant survenir pour une grandeurtendant vers l’infini, comme ω par exemple. La condition résultant de cette contrainte est a > 0. À lafrontière entre l’écoulement turbulent et l’écoulement non turbulent, les grandeurs telles que la vitesse,l’énergie cinétique k et la deuxième échelle transportée φ, ainsi que leurs dérivées, doivent s’annuler à l’ex-térieur, en supposant que la turbulence externe est nulle. On assure ainsi un raccord progressif entre ces

34 Chapitre 1 : Concepts de base

deux écoulements et par là même l’indépendance des grandeurs à l’écoulement externe, conformément àl’analyse de Cazalbou [17]. Daris [28] a montré que cette contrainte est loin d’être triviale, puisque le choixde l’échelle lui-même conditionne le bon comportement du modèle à la frontière. Il a entre autre dégagéle fait qu’un modèle de type k−L ou k−τ ne peut pas assurer à la fois le bon comportement de k et celuide la deuxième échelle transportée. Le modèle k−kL, quant à lui, est capable de respecter cette contrainte.

De manière à déterminer les coefficients intervenant dans les équations de transport, on force le modèleà respecter certaines caractéristiques d’écoulements jugées essentielles, tels que le bon comportement enécoulement homogène, l’évolution de la vitesse dans la zone logarithmique d’une couche limite soumiseou non à un gradient de pression adverse modéré, dans la zone en racine d’une couche limite en présencede fort gradient de pression et enfin, comme on vient de le voir, le bon comportement à la frontière entrel’écoulement turbulent et l’écoulement non turbulent. Nous reviendrons sur les caractéristiques de cesécoulements, ou zones d’écoulements, ultérieurement.

Le choix a été fait de supprimer certains termes des équations et notamment le terme de diffusionsupplémentaire qui est numériquement très instable, de par la présence de dérivées d’ordre 2. Ainsi,σφk = +∞. De plus, Daris [28] a montré que dans le cas où le coefficient b est strictement négatif (cequi est vérifié par le modèle k − kL puisque b = −1), il est tout à fait possible de poser Ckk = 0 sansque cela ne détériore les performances du modèle. Au final, on a un modèle k − kL avec les coefficientssuivants :

Cµ Cφ1 Cφ2 σk σφ σφk Ckk Cφk Cφφ

0,09 1 0,58 1,8 1,03 +∞ 0 0,96 -1,72

TAB. 1.3 – Coefficients du modèle k − kL de Daris [28]

1.3.4 Modèles au second ordre

Les modèles du second ordre (ou modèles aux tensions de Reynolds) sont axés sur la résolution directedes équations de transport des tensions de Reynolds (1.39) qui s’écrivent de manière symbolique :

Cij = Pij + φij + Dtij+ DPij

+ Dνij− εij (1.51)

Une telle formulation permet donc de s’affranchir de la notion de viscosité turbulente, contrairementaux modèles à deux équations. Rappelons que les termes Cij et Pij peuvent être déterminés de manièreexacte. Quant aux cinq autres, ils nécessitent une modélisation afin de pouvoir fermer le système. Ceséquations de transport font apparaître des corrélations d’ordre supérieur (ordre 3) qui doivent à leur tourêtre modélisées pour pouvoir fermer le système. Un des termes les plus problématiques est la corrélationvitesse-pression. On peut montrer qu’il est possible de le séparer en deux parties distinctes, φij,1

qui nefait intervenir que des termes fluctuants et qui tend à faire revenir la turbulence vers un état isotrope (onparle alors de terme lent ou de terme non linéaire) et φij,2

qui dépend directement du gradient de vitessemoyenne et qui, par conséquent, répond de manière instantanée à toutes les variations du gradient del’écoulement moyen (on parle alors de terme rapide ou terme linéaire). Bien que ce niveau de modélisationsoit très efficace en terme de résultats (de par la prise en compte de phénomènes physiques complexes),il s’avère néanmoins considérablement coûteux en temps de calcul. De plus, sa mise en œuvre demeuredélicate compte tenu des inconnues supplémentaires apparaissant dans les équations et de nombreuxproblèmes d’ordre numérique, telle que la stabilité ou la lenteur de convergence, rendent cette approcheencore peu utilisée dans les codes industriels, mais néanmoins prometteuse.

1.3.5 Modèles algébriques

Les modèles aux tensions de Reynolds algébriques ou ARSM pour Algebraic Reynolds Stress Modelsont été développés dans l’optique de fournir un compromis entre les modèles à deux équations de transportet les modèles du second ordre. Ils se proposent de simplifier l’équation de transport des tensions deReynolds (1.39) de manière à en déduire une relation simple entre la quantité inconnue (les tensions

1.3 Modélisation de la turbulence dynamique 35

de Reynolds en l’occurrence) et les grandeurs auxquelles il est possible d’accéder (gradients de vitessemoyenne et échelles de turbulence). Les modèles algébriques classiques sont fondés sur l’hypothèse quel’équilibre local de la turbulence est atteint, hypothèse introduite par Rodi [69]. Cette hypothèse consiste àsupposer que les anisotropies existant au sein d’un écoulement de fluide donné restent constantes lorsqu’onsuit ce fluide dans son mouvement. Autrement dit, on considère que la redistribution de l’énergie suivantles axes est négligeable, soit :

Du′iu

′j

Dt=

u′iu

′j

k

Dk

Dt(1.52)

Cette hypothèse est vraie pour des écoulements homogènes à l’équilibre, ou pour des écoulements àévolution lente. En revanche, elle peut être discutable pour des écoulements en proche paroi ou en fortdéséquilibre.

Le tenseur d’anisotropie bij est défini par :

bij =u′

iu′j

2k− 1

3δij (1.53)

où k est l’énergie cinétique de la turbulence et u′iu

′j le tenseur de Reynolds.

Les équations de transport aux tensions de Reynolds (1.39) sont récrites en terme d’anisotropie etainsi deviennent :

2kDbij

Dt−(

Dij −u′

iu′j

kDk

)= Pij − εij + φij + Coij −

u′iu

′j

k(Pk − ε) (1.54)

où Dij représente le terme de diffusion de bij , Dk la diffusion de k, Pij le terme de production, εij leterme de destruction, φij le terme de corrélation pression-déformation ou terme de redistribution, Coij

le terme d’accélération de Coriolis qui apparaît en repère relatif, Pk la production de k et ε le taux dedissipation de k.

Les termes de production et d’accélération de Coriolis ne nécessitent pas de modélisation. Le termede production s’écrit :

Pij = −u′iu

′k

∂uj

∂xk− u′

ju′k

∂ui

∂xk= −4

3kSij − 2k(bikSkj + Sikbkj) + 2k(bikΩkj − Ωikbkj) (1.55)

où Sij et Ωij représentent respectivement les tenseurs des taux de déformation et de rotation et s’écrivent :

Sij =1

2

(∂ui

∂xj+

∂uj

∂xi

)(1.56)

Ωij =1

2

(∂ui

∂xj− ∂uj

∂xi

)(1.57)

Le terme d’accélération de Coriolis s’écrit :

Coij = −2Ωm(ǫmkju′iu

′k + ǫmkiu′

ju′k) = 4k(bikΩc

kj − Ωcikbkj) avec Ωc

ij = ǫmjiΩm (1.58)

Ωm représente le vecteur vitesse angulaire du repère tournant par rapport au repère fixe et ǫijk le tenseurde permutation (εijk = 1 si i, j, k sont dans l’ordre 1, 2, 3 et 0 sinon).

L’hypothèse d’équilibre local, revenant à négliger la convection et la diffusion du tenseur d’anisotropie,se traduit mathématiquement par :

Dbij

Dt= 0 (1.59)

soit :

36 Chapitre 1 : Concepts de base

(2bij +

2

3δij

)(Pk − ε) = Pij − εij + φij + Coij (1.60)

Par la suite, nous abandonnerons le terme d’accélération de Coriolis, qui n’intervient pas dans le typed’écoulements traités ici. Ce terme ne nécessitant pas de modélisation, il est aisé de le rajouter en cas debesoin.

En revanche, εij et φij ne peuvent pas être déterminés de manière exacte.On modélise le tenseur de dissipation εij en faisant l’hypothèse de Kolmogorov d’isotropie du mouve-

ment des petites échelles dissipatives. Cette hypothèse conduit à :

εij =2

3εδij (1.61)

Concernant le terme φij , on lui impose une forme linéaire en bij , dont l’écriture générale est :

φij = −2C1εbij − 2C′1Pkbij + C2kSij

+C3k

(bikSkj + Sikbkj −

2

3bmnSnmδij

)

−C4k (bikΩkj − Ωikbkj)

(1.62)

Il existe divers modèles pour φij , qui diffèrent par les valeurs des constantes C1, C′1, C2, C3 et C4. Le

tableau suivant (TAB. 1.4) résume les valeurs des constantes utilisées par différents auteurs.

Modèle C1 C′1 C2 C3 C4

Launder, Reece et Rodi [52] 18c2+1211

−18c2+2011

(LRR) 1,5 0 4/5 ≈ 1, 745 ≈ 1, 309(c2 = 0, 4)

Wallin et Johansson [86] 18c2+1211

−18c2+2011

(WJ) 1,8 0 4/5 =2 ≈ 1, 11(c2 = 5/9)

Speziale, Sarkar et Gatski [79]et Girimaji [35] 1,7 0,9 0,36 1,25 0,4

(SSG)

TAB. 1.4 – Coefficients des différents modèles EARSM

Pour les modèles LRR et WJ, les constantes C3 et C4 ne sont pas indépendantes et dépendent d’uneautre constante notée c2 :

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

C3 =18c2 + 12

11

C4 =−18c2 + 20

11

(1.63)

Ces deux modèles diffèrent par la valeur attribuée aux constantes C1 et c2. Taulbee [83] entre autresa proposé la valeur de 5/9 pour la constante c2 (soit C3 = 2), ce qui permet au modèle WJ de simplifierl’expression algébrique finale par rapport aux autres modèles et par là même d’offrir un avantage numé-rique.

Le modèle SSG n’adopte pas, contrairement aux autres, une constante C2 de 4/5, valeur donnée parla théorie de la distorsion rapide appliquée à un écoulement cisaillé initialement isotrope [27].

En remplaçant les expressions pour φij (1.62) et pour εij (1.61) dans l’équation (1.60), on obtient :

1.3 Modélisation de la turbulence dynamique 37

[C1 − 1 + (C′

1 + 1)Pk

ε

]bij =

k

ε

(C2

2− 2

3

)Sij

+k

ε

(C3

2− 1

)(bikSkj + Sikbkj −

2

3bmnSmnδij)

+k

ε

(1 − C4

2

)(bikΩkj − Ωikbkj)

(1.64)

On constate effectivement, avec cette écriture, que le choix fait par WJ de poser C3 = 2 permet desimplifier considérablement l’équation en supprimant le deuxième terme du membre de droite.

On introduit les tenseurs des taux de déformation et de rotation adimensionnés par l’échelle de tempscaractéristique de la turbulence, qui sont notés :

Sij =k

εSij , Ωij =

k

εΩij (1.65)

En divisant l’équation (1.64) par 1 − C4/2, on obtient symboliquement :

Nb = −A2S − A3

(b · S + S · b− 2

3tr(b · S)I

)+ b · Ω− Ω · b (1.66)

avec : ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

N = A1 + A′1

Pk

εA1 =

C1 − 1

1 − C4

2

A′1 =

C′1 + 1

1 − C4

2

A2 = −C2

2 − 23

1 − C4

2

A3 = −C3

2 − 1

1 − C4

2

(1.67)

et où tr(...) représente la trace du tenseur (somme des termes diagonaux), I le tenseur identité et ” · ” leproduit de deux tenseurs.

Cette équation est pour l’instant implicite en bij puisque le rapport Pk/ε =(−u′

iu′j/ε)

(∂ui/∂xj) =

−2tr(bS)

intervient dans l’expression de N et Rodi [69] propose de la résoudre de façon itérative.La résolution explicite, quant à elle, a d’abord été introduite par Pope [66] et consiste à chercher la

solution pour bij dans la base des tenseurs indépendants à trace nulle, fonctions de S et Ω. On parleraalors de modèles EARSM, pour Explicit Algebraic Reynolds Stress Models. Dans le cas le plus générald’un écoulement tridimensionnel, ces groupes tensoriels indépendants sont au nombre de dix, dont neufseulement sont utilisés. En revanche, pour un écoulement bidimensionnel, ce nombre se réduit à trois,T1, T2, T3 (pour trois composantes indépendantes du tenseur d’anisotropie). Dans ce cas, on recherchela solution sous la forme :

b = β1T1 + β2T2 + β3T3 (1.68)

où T1 = S, T2 = S2 − 1

3 tr(S

2)I et T3 = S · Ω− Ω · S.

et où l’expression des βi se simplifie en :

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

β1 = −A2N

Q, β2 =

2A2A3

Q, β3 = −A2

Q

Q = N2 − 2η2 −2

3η1A

23 , N = A1 + A′

1Pk/ε

(1.69)

À ce stade, l’expression est toujours implicite de par la présence du terme Pk

ε = −2tr(bS)

dansl’expression de N . On distingue alors deux formulations explicites fondamentalement différentes suivantla façon de traiter le terme Pk/ε.

38 Chapitre 1 : Concepts de base

1.3.5.1 Formulation EARSM de Gatski-Speziale [33]

L’approche de Gatski et Speziale [33] consiste à imposer a priori la valeur de Pk/ε à sa valeur enécoulement homogène cisaillé. Les expériences donnent une valeur proche de 2 et à partir de l’équationde transport de ε, on peut montrer que Pk/ε = (Cε2

− 1) / (Cε1− 1) ≈ 2. Cette formulation présente

l’avantage d’être relativement simple, mais devient par là même inconsistante car le rapport Pk/ε obtenuen fin de calcul est souvent différent de la valeur imposée au départ. De plus, elle peut conduire à dessingularités pour certains écoulements, notamment des écoulements en fort déséquilibre pour lesquelsl’hypothèse de départ n’est plus valable. Cette singularité provient du dénominateur Q, apparaissantdans les coefficients βi, qui peut s’annuler car la valeur de Pk/ε dans N est fixée et ne peut donc pass’ajuster naturellement avec les gradients de vitesse, ce qui conduit Gatski et Speziale à effectuer unerégularisation pour éviter la singularité.

1.3.5.2 Formulation EARSM de Wallin-Johansson [86]

Wallin et Johansson [86] ont montré qu’il n’est pas nécessaire d’imposer la valeur de Pk/ε pourrendre le modèle explicite et qu’il est tout à fait possible de conserver la consistance de la formulation endéveloppant une équation où Pk/ε est déterminé en fonction des gradients de vitesse et des échelles de laturbulence.

Ce modèle représentant une étape primordiale dans notre étude, on choisit de la présenter sous sa formegénérale, c’est-à-dire développé pour un écoulement tridimensionnel. L’expression du tenseur d’anisotropieintroduit en (1.68) pour le cas bidimensionnel devient alors :

b = β1T1 + β2T2 + β3T3 + β4T4 + β5T5 + β6T6 + β7T7 + β8T8 + β9T9 (1.70)

avec :⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

β1 = −A2N2Q

(30A3η4 − 21η2N − 2A3

3η3 + 6N3 − 3A32η1N

)

β2 = −A2A3

Q

(6A3η4 + 12η2N + 2A3

3η3 − 6N3 + 3A32η1N

)

β3 = −A2

Q

(2A3

3η3 + 3A32η1N + 6A3η4 − 6η2N + 3N3

)

β4 = − 3A2

Q

(2A3

2η3 + 3A3η1N + 6η4

)

β5 = 9A2A3N2

Q

β6 = − 9A2N2

Q

β7 = 18A2A3NQ

β8 = 9A2A32N

Q

β9 = 9A2NQ

N = A1 + A′1

Pk

ε

Q = 3N5 −(

15

2η2 +

7

2A3

2η1

)N3 +

(21A3η4 − A3

3η3

)N2

+(3η2

2 − 8A32η1η2 + 25A3

2η5 + A34η1

2)N +

2

3A3

5η1η3

+2A33η1η4 − 2A3

3η2η3 − 6A3η2η4

(1.71)

où les ηi sont les invariants des tenseurs des taux de déformation et de rotation adimensionnés :

η1 = tr(S

2), η2 = tr

(Ω

2), η3 = tr

(S

3), η4 = tr

(SΩ

2), η5 = tr

(S

2Ω

2)

1.3 Modélisation de la turbulence dynamique 39

et les tenseurs indépendants des gradients de vitesse ont pour expression :⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

T1 = S ; T2 = S2 − 1

3η1I ; T3 = SΩ− ΩS

T6 = Ω2 − 1

3η2I ; T5 = S2Ω − ΩS

2 ; T6 = SΩ2 + Ω

2S− 2

3η4I

T7 = S2Ω

2 + Ω2S

2 − 23η5I ; T8 = SΩS

2 − S2ΩS ; T9 = ΩSΩ

2 − Ω2SΩ

(1.72)

En remplaçant les expressions des βi (1.71) dans la définition du terme N , on obtient une équation dedegré 6 pour N en tridimensionnel et de degré 3 en bidimensionnel. En tridimensionnel, aucune solutionà cette équation n’a été trouvée à ce jour. En bidimensionnel, l’équation pour N est la suivante :

N3 − N2A1 −[η1

(2A2A

′1 +

2

3A3

2

)+ 2η2

]N + 2A1

(1

3η1A3

2 + η2

)= 0 (1.73)

La solution à cette équation de degré 3 est :

N =

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

A1

3+(P1 +

√P2

) 13

+ sign(P1 −

√P2

) ∣∣∣P1 −√

P2

∣∣∣13

si P2 ≥ 0

A1

3+ 2(P1

2 − P2

) 16 cos

[1

3arccos

(P1√

P12 − P2

)]si P2 < 0

(1.74)

avec :

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

P1 = A1

(1

27A1

2 +1

3A′

1A2η1 −2

9A3

2η1 −2

3η2

)

P2 = P12 −(

1

9A1

2 +2

3A′

1A2η1 +2

9A3

2η1 +2

3η2

)3(1.75)

Cette solution est strictement valable en bidimensionnel et constitue une bonne approximation pourles écoulements tridimensionnels. Connaissant la solution N , on peut en déduire les coefficients βi, doncles composantes du tenseur d’anisotropie et au final, le tenseur de Reynolds.

Notons qu’au travers des tenseurs de déformation et de rotation adimensionnés S et Ω, apparaissentles échelles de la turbulence dynamique k et ε. La mise en œuvre du modèle algébrique passe donc parl’utilisation simultanée d’un modèle à deux équations.

On peut montrer que le dénominateur Q apparaissant dans les coefficients βi du modèle ne peut s’an-nuler. Cette formulation de Wallin et Johansson ne présente donc pas de singularité à l’inverse de cellede Gatski et Speziale sans régularisation.

À partir de là, il est possible de définir une viscosité turbulente équivalente, notée νt∗, équivalente

dans le sens où elle n’est pas issue d’une relation de type Boussinesq, mais d’une relation constitutivebeaucoup plus complexe :

νt∗ = Cµ

∗ k2

ε= Cµ

∗ φ√k

avec Cµ∗ = −β1 en 2D et Cµ

∗ = − (β1 + η2β6) en 3D (1.76)

Ainsi, le coefficient Cµ est cette fois variable et dépend des gradients de vitesse, contrairement à unevaleur constante pour les modèles de type Boussinesq. Pour un écoulement purement bidimensionnel, onpeut montrer que l’expression 3D de Cµ

∗ prend la même forme que l’expression 2D.

Il faut noter que modifier la relation constitutive altère le comportement de l’échelle de longueur,notamment vis-à-vis d’un gradient de pression. Par conséquent, il est nécessaire de recalibrer le modèlesous-jacent (i.e. le modèle à deux équations).

Les nouvelles constantes établies pour le modèle k−ε de Bézard [13] utilisé avec la formulation EARSMde Wallin et Johansson sont regroupées dans le tableau suivant :

40 Chapitre 1 : Concepts de base

σk Cε1 Cε2 σε

1,00 1,5 1,9 1,3

TAB. 1.5 – Coefficients du modèle k − ε de Bézard [13] EARSM

Cφ1 Cφ2 σk σφ σkφ σφk Ckk Cφk Cφφ

1 0,58 0,9 1,58 +∞ +∞ 0 1,53 -1,37

TAB. 1.6 – Coefficients du modèle k − kL de Daris [28] EARSM

Celles du k − kL de Daris [28] en association avec la formulation EARSM :

Avec ces valeurs de constantes, le modèle k − kL, en présence de la formulation EARSM, satisfait unensemble de contraintes pour bien prévoir les écoulements isotropes, les écoulements homogènes cisailléset la couche limite soumise ou non à un gradient de pression.

1.4 Modélisation de la turbulence thermique

Tout comme en dynamique, où des termes supplémentaires apparaissent dans l’équation de transportde la vitesse moyenne, la décomposition de Reynolds induit des corrélations vitesse-température dansl’équation de transport de la température. La présence de ces flux de chaleur turbulents u′

iθ engendredonc un problème de fermeture du système. À nouveau, on va considérer divers degrés de modélisationpermettant de fermer le système. Le parallèle sera fait avec la détermination des tensions de Reynoldsen dynamique. Auparavant, il faut souligner le fait que dans l’équation de bilan de l’enthalpie totale(1.28) le champ dynamique intervient (via uk). La répartition d’énergie dépend donc du champ de vi-tesse. Par conséquent, la résolution du champ thermique ne peut se faire sans la résolution préalabledes équations de Navier-Stokes. De même, la température a une influence sur les équations de Navier-Stokes par l’intermédiaire de ρ et de μ. Il y a donc couplage entre le problème dynamique et le problèmethermique. Cependant, on a vu que, dans l’hypothèse d’un écoulement incompressible, la températurepouvait être considérée comme un scalaire passif, c’est-à-dire que le champ thermique n’influe pas sur lechamp dynamique. À l’inverse, la connaissance de la vitesse est requise pour la détermination du profilde température.

1.4.1 Équation de transport des flux de chaleur turbulents

Une étape préalable à la présentation des différents types de modélisation de la turbulence thermiqueconsiste à établir l’équation de transport des flux de chaleur turbulents u′

iθ. Pour ce faire, on soustraitl’équation de transport de la température moyenne (1.37) à l’équation de transport de l’enthalpie totaleinstantanée (1.5) (au facteur ρCp près), et ainsi on obtient l’équation de transport des fluctuations detempérature :

∂θ

∂xk+ u′

k

∂T

∂xk+ uk

∂θ

∂xk=

∂

∂xk

(α

∂θ

∂xk+(u′

kθ − u′kθ))

(1.77)

Si on multiplie cette dernière équation par la fluctuation de vitesse u′i et qu’on lui ajoute l’équation

de transport de la fluctuation de vitesse (1.38) multipliée par θ, alors résulte du passage à la moyennel’équation de transport des flux de chaleur turbulents :

1.4 Modélisation de la turbulence thermique 41

∂u′iθ

∂t+ uk

∂u′iθ

∂xk︸ ︷︷ ︸Ciθ

= −u′kθ

∂ui

∂xk︸ ︷︷ ︸Piθ1

−u′ku′

i

∂T

∂xk︸ ︷︷ ︸Piθ2

+1

ρP ′ ∂θ

∂xi︸ ︷︷ ︸φiθ

−∂θu′iu

′k

∂xk︸ ︷︷ ︸Jtiθ

−1

ρ

∂P ′θ

∂xi︸ ︷︷ ︸JPiθ

+ν

Pr

∂

∂xk

(u′

i

∂θ

∂xk

)+ ν

∂

∂xk

(θ

∂u′i

∂xk

)

︸ ︷︷ ︸Jνiθ

− ν

(1 +

1

Pr

)∂θ

xk

∂u′i

xk︸ ︷︷ ︸εiθ

(1.78)

où Pr =μCp

λ=

ν

αest le nombre de Prandtl moléculaire qui traduit l’importance des effets visqueux sur

les effets thermiques et caractérise donc la similitude entre le transport de la température et celui de lavitesse.

Les différentes contributions à l’équation de transport des flux de chaleur turbulents sont les suivantes :

• Ciθ représente la convection de u′iθ.

• Piθ1représente la production de u′

iθ par les gradients de vitesse moyenne.• Piθ2

représente la production de u′iθ par les gradients de température moyenne.

• φiθ représente le terme de corrélation pression-température.• Jtiθ

représente la diffusion due à la turbulence.• JPiθ

représente la diffusion due aux fluctuations de pression.• Jνiθ

représente la diffusion conductive et visqueuse.• εiθ représente le terme de dissipation par la viscosité du fluide.

1.4.2 Notion de diffusivité turbulente

Par analogie avec la viscosité turbulente pour la modélisation dynamique, la démarche la plus large-ment employée dans l’industrie consiste à introduire un terme de diffusivité turbulente, notée αt, de tellemanière que le flux de chaleur peut être directement relié au gradient de température moyenne. Il s’agitde l’hypothèse de Boussinesq, appliquée à la thermique. αt est telle que :

−u′iθ = αt

∂T

∂xi↔ −ρCpu′

iθ = λt∂T

∂xi(1.79)

où λt est la conductivité turbulente telle que λt = αtρCp. Il existe donc une analogie entre la diffusion ther-mique moléculaire et la diffusion thermique turbulente de par la loi de Fourier qui les relie au gradient detempérature moyenne. αt est donc de même dimension qu’une viscosité et ainsi : [αt] = uth

∗2τth = uth∗lth

où l’indice th décrit les quantités relatives au champ thermique.

Par similitude avec les constatations faites en dynamique, la diffusivité moléculaire α est une propriétéintrinsèque au fluide alors que la diffusivité turbulente αt relève de l’état de l’écoulement.

Disposant d’une viscosité turbulente νt et d’une diffusivité turbulente αt, on peut définir un nombrede Prandtl turbulent Prt = νt/αt.

À partir de là, la méthode la plus simple est de poser le nombre de Prandtl turbulent comme étantconstant (l’analogie de Reynolds considère Prt = 1). Ainsi, la détermination des flux de chaleur estimmédiate, puisqu’ils ne dépendent plus que des gradients de température moyenne et de la viscositéturbulente, elle-même obtenue par résolution du champ dynamique.

Cependant, on peut d’ores et déjà signaler que cette hypothèse de nombre de Prandtl turbulent estune approximation plus que discutable puisque les expériences (Fig. 1.1) montrent que ce nombre dePrandtl turbulent varie de manière significative d’un écoulement à un autre (sillage [3], jet plan [4], jetaxisymétrique [22] et couche de mélange [18]) mais également au travers d’un même écoulement (on peutciter l’exemple de la couche limite où Prt varie entre 1,1 dans la région interne et 0,85-0,9 dans la régionlogarithmique).

42 Chapitre 1 : Concepts de base

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

= y/

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

Pr t

Couche de melange U2/ U=0

Sillage

Jet plan

Jet axi

FIG. 1.1 – Évolution du nombre de Prandtl turbulent pour différents écoulements libres de similitude

En vue de pallier les inconvénients associés à ce type de modélisation, il est nécessaire de s’affranchir del’hypothèse de nombre de Prandtl turbulent constant. Comme en dynamique, on répertorie les différentsniveaux de modélisation permettant une meilleure approche physique des écoulements turbulents.

1.4.3 Modèles à deux équations

Les modèles à deux équations thermiques, comme ceux développés pour la détermination du champdynamique, se proposent de fournir les deux échelles caractéristiques nécessaires au calcul de αt (u∗

th

et lth ou u∗th et τth) via leurs équations de transport. Iritani et al. [42] ont montré que les structures

porteuses du maximum d’énergie thermique sont les mêmes que celles porteuses de l’énergie cinétiqueturbulente k. Il semble donc approprié d’attribuer à la dynamique et à la thermique la même échellede vitesse. Ainsi, on a u∗

th = u∗ =√

k. Avec ces considérations, il apparaît clairement la nécessité derésoudre préalablement le champ dynamique pour pouvoir s’intéresser à la thermique. Afin de maintenirune cohérence dans la résolution, il est pertinent de garder le même degré de modélisation pour la partiethermique et la partie dynamique. Par conséquent, un modèle à deux équations dynamique sera associéau modèle à deux équations thermique. On parle alors de modèle à quatre équations de transport.Il reste désormais à définir l’échelle de temps τth ou de longueur lth associée au problème thermique.L’échelle de temps est le plus souvent considérée comme étant fonction à la fois de l’échelle de tempsdynamique τ = k/ε et de l’échelle de temps thermique τθ. Par analogie avec la définition de τ , l’échellede temps caractéristique des phénomènes turbulents thermiques peut s’écrire :

τθ =kθ

εθ=

θ2

2εθ(1.80)

où kθ = θ2/2 est la demi-variance des fluctuations de température (analogue thermique de k) et εθ sontaux de dissipation (analogue thermique de ε) tel que :

εθ = α

(∂θ

∂xk

)2

(1.81)

L’échelle de temps totale τth étant une combinaison des deux échelles de temps dynamique et ther-mique, on peut écrire :

τth = τmτθn avec m + n = 1 pour des questions d’homogénéité. (1.82)

La diffusivité thermique se déduit alors directement :

1.4 Modélisation de la turbulence thermique 43

αt = Cλk

(k

ε

)m(2kθ

εθ

)n

(1.83)

Cλ est le coefficient de proportionnalité. Par la définition de αt qui dépend des échelles dynamiques etthermiques, on s’affranchit de l’hypothèse de nombre de Prandtl turbulent constant qui a ses limitations,comme vu précédemment :

Prt =νt

αt=

Cµk2/ε

Cλk(

kε

)m(2kθ

εθ

)n =Cµ

Cλ

(k

ε

)1−m(2kθ

εθ

)−n

(1.84)

Les échelles de la turbulence dynamique k et ε (ou k et une autre échelle ω, l...) sont données par larésolution des équations de transport associées. De la même manière, les échelles de turbulence thermiquekθ et εθ (ou kθ et une autre échelle ωθ, lθ...) sont déterminées à partir de l’écriture de leurs équations detransport. Il est à noter que ces modèles sont le plus couramment utilisés en association avec l’hypothèsede Boussinesq (1.79) qui relie le flux de chaleur turbulent au gradient de vitesse moyenne :

−u′iθ = αt

∂T

∂xi(1.85)

Cette définition des flux de chaleur possède l’avantage d’être simple, mais la conséquence directe estque ces flux de chaleur deviennent alignés avec le gradient de température moyenne, c’est-à-dire que, parexemple, dans le cas d’un gradient de température à une composante non nulle seulement (e.g. ∂T

∂xi), le

vecteur flux de chaleur ne possédera qu’une seule composante (selon i). On peut citer comme contre-exemple les DNS de Rogers et al. [70], concernant un écoulement homogène cisaillé, pour lesquels ungradient de température selon x engendre un flux de chaleur turbulent non nul dans les directions x et y.

1.4.3.1 Modèle kθ − εθ

1.4.3.1.1 Équation de transport de kθ

L’équation de transport de kθ est obtenue en multipliant l’équation de transport des fluctuations detempérature (1.77) divisées par deux (puisque kθ est la demi-variance) par la fluctuation de températureelle-même (θ) :

∂kθ

∂t+ uk

∂kθ

∂xk︸ ︷︷ ︸Cθ

= −u′kθ

∂T

∂xk︸ ︷︷ ︸Pθ

+∂

∂xk

(α

∂kθ

∂xk− u′

kkθ

)

︸ ︷︷ ︸Jθ

−α∂θ

∂xk

∂θ

∂xk︸ ︷︷ ︸εθ

(1.86)

où :

• Cθ représente le taux d’évolution de kθ.• Pθ est le terme de production de kθ dû au gradient de température.• Jθ est la diffusion.• εθ désigne la dissipation thermique de kθ.

Grâce à l’introduction de la diffusivité turbulente, le terme de production peut s’exprimer à partir degrandeurs connues. Il ne nécessite donc aucune modélisation. En revanche, le terme de diffusion a besoind’un traitement particulier. On peut le scinder en une partie moléculaire α ∂kθ

∂xket en une partie turbulente

u′kkθ. En configuration proche paroi, c’est la contribution moléculaire qui est prépondérante devant les

effets turbulents. Cette tendance s’inverse quand on s’éloigne de la paroi. À grand nombre de Reynolds,les termes de production et de dissipation sont prépondérants mais leur différence reste du même ordrede grandeur que la diffusion turbulente et la convection. En revanche, la diffusion moléculaire peut êtrenégligée. La diffusion turbulente est quant à elle à nouveau modélisée par une expression en premiergradient :

−∂u′kkθ

∂xk=

∂

∂xk

(αt

σkθ

∂kθ

∂xk

)(1.87)

44 Chapitre 1 : Concepts de base

où σkθest une constante de la modélisation.

1.4.3.1.2 Équation de transport de εθ

L’équation de transport de εθ s’obtient elle aussi à partir de l’équation pour l’enthalpie (1.5) :

Dεθ

Dt= −2α

∂θ

∂xl

∂u′k

∂xl

∂T

∂xk︸ ︷︷ ︸Pθεθ

− 2αu′k

∂θ

∂xl

∂2T

∂xk∂xl︸ ︷︷ ︸Pdεθ

− 2α∂uk

∂xl

∂θ

∂xk

∂θ

∂xl︸ ︷︷ ︸Puεθ

− 2α∂θ

∂xl

∂θ

∂xk

∂u′k

∂xl︸ ︷︷ ︸Ptεθ

− ∂

∂xk

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

Jtεθ︷ ︸︸ ︷αu′

k

∂θ

∂xl

∂θ

∂xl−

Jνεθ︷ ︸︸ ︷α

∂εθ

∂xk︸ ︷︷ ︸Jεθ

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

− 2

(α

∂2θ

∂xk∂xl

)2

︸ ︷︷ ︸Dεθ

(1.88)

où :

• Pθεθreprésente le terme de production par le gradient de la température moyenne.

• Pdεθest le terme de production en double gradient.

• Puεθest la production par le gradient de vitesse moyenne.

• Ptεθdésigne la production due à la turbulence.

• Jεθest la diffusion de εθ, somme de :

– Jνεθdiffusion moléculaire

– Jtεθdiffusion turbulente

• Dεθreprésente la destruction.

Les DNS de canal de Kasagi et al. [45] permettent de quantifier l’évolution, suivant la normale à laparoi, des différentes termes de cette équation. On retrouve à nouveau un équilibre entre la diffusionmoléculaire et la dissipation à la paroi. Dans la région pleinement turbulente au dessus de la paroi, où lenombre de Reynolds est grand, les termes dominants sont la production turbulente Ptεθ

et la destructionDεθ

. Dans la région externe, le terme de diffusion turbulente retrouve son importance et doit être conservé.À grand nombre de Reynolds, les termes qui régissent l’équation sont donc la production turbulente, ladestruction et la diffusion turbulente. À nouveau, ce dernier terme se modélise par une forme en premiergradient :

αu′k

∂θ

∂xl

∂θ

∂xl= − αt

σεθ

∂εθ

∂xk(1.89)

Les termes de production et de dissipation sont modélisés de manière à reproduire convenablement lecomportement d’une turbulence de grille en présence d’un gradient de température et d’un gradient devitesse [59]. Ainsi, l’équation de transport de εθ, à grand nombre de Reynolds, prend la forme suivante :

Dεθ

Dt= Cp1

Pθεθ

2kθ+ Cp2

Pkεθ

k− Cd1

ε2θ

2kθ− Cd2

εεθ

k+

∂

∂xk

(αt

σεθ

∂εθ

∂xk

)(1.90)

avec :

Pk = −u′ku′

i

∂ui

∂xket Pθ = −u′

kθ∂T

∂xk

1.4 Modélisation de la turbulence thermique 45

1.4.3.1.3 Modèle kθ − εθ de Daris

Le modèle kθ − εθ de Daris [28], associé au modèle à deux équations k − ε de Bézard, a été cali-bré de manière à fournir une bonne représentation des phénomènes pour un écoulement homogène, dansla zone logarithmique d’une couche limite, soumise ou non, à un gradient de pression modéré et enfin àla frontière de l’écoulement turbulent et de l’écoulement non turbulent. En cela, il se distingue des autresmodèles k− ε/kθ − εθ, comme celui de Nagano et Kim [58], de Youssef, Nagano et Tagawa [93] ou encorecelui de So, Sommer et Zhang [77].Les valeurs des coefficients retenus dans le cas présent sont reportées dans le tableau (TAB. 1.7) :

Cλ m n Cp1Cp2

Cd1Cd2

σkθσεθ

0,106 0,50 0,50 1,19 1,30 2,00 0,97 0,80 1,36

TAB. 1.7 – Coefficients du modèle kθ − εθ de Daris [28]

Le choix a été fait ici d’attribuer, pour la définition de αt, le même poids à la partie dynamique et àla partie thermique, à savoir m = n = 1/2. Ainsi, on a :

αt = Cλk

(k

ε

) 12(

2kθ

εθ

) 12

(1.91)

1.4.3.2 Modèle kθ − kθLθ

Ce modèle a été développé de manière à être associé au modèle dynamique k−kL présenté plus haut.Par analogie, on le nomme kθ − kθLθ, où l’échelle kθLθ est issue de l’analyse de l’équation de transportde l’échelle générique φθ, combinaison des échelles k, ε, kθ et εθ :

φθ = kcεdkpθεq

θ (1.92)

Comme en dynamique, le choix de la deuxième échelle transportée est primordial. On écrit donc leséquations de transport de kθ et de φθ de la manière la plus générale possible. La mise au point de l’équationde transport de φθ fait intervenir des termes croisés qui s’expriment par des produits de gradients de kθ etde φθ. Pour obtenir une forme générique des équations, ces termes seront intégrés dans l’équation pour φθ.De plus, pour généraliser la modélisation de la diffusion par une forme en premier gradient, on introduitdans l’équation de φθ un terme de diffusion supplémentaire de kθ. Le système d’équations s’écrit donc :

Dkθ

Dt= Pθ − εθ +

∂

∂xk

(αt

σkθ

∂kθ

∂xk

)(1.93)

Dφθ

Dt=

φθ

2kθ(Cp1

Pθ − Cd1εθ) +

φθ

k(Cp2

Pk − Cd2ε) +

∂

∂xk

⎛⎜⎜⎜⎝

αt

σφθ

∂φθ

∂xk+

αt

σφθkθ

φθ

kθ

∂kθ

∂xk︸ ︷︷ ︸DS

⎞⎟⎟⎟⎠

+ Cφθφθαt

1

φθ

∂φθ

∂xk

∂φθ

∂xk+ Cφθkθ

αt1

kθ

∂kθ

∂xk

∂φθ

∂xk+ Ckθkθ

αtφθ

kθ2

∂kθ

∂xk

∂kθ

∂xk︸ ︷︷ ︸TC

(1.94)

où DS désigne le terme de diffusion supplémentaire et TC les termes croisés.

La démarche est alors la même qu’en dynamique : l’analyse du modèle à la paroi et à la frontièreentre l’écoulement turbulent et l’écoulement non turbulent suggère qu’une deuxième échelle thermique

possible est φθ = kθLθ = ε12 k

52

θ ε− 3

2

θ (soit c = 0, d = 1/2, p = 5/2 et q = −3/2). À nouveau, les coefficientsintervenant dans le modèle sont déduits des relations analytiques obtenues en forçant le modèle à respecterle maximum de contraintes concernant les écoulements homogènes, la zone logarithmique d’une couche

46 Chapitre 1 : Concepts de base

limite soumise ou non à un gradient de pression modéré, la zone en racine apparaissant dans le cas d’unfort gradient de pression adverse et enfin le raccord entre l’écoulement turbulent et l’écoulement extérieur.

Tout comme en dynamique, le terme de diffusion supplémentaire s’avérant très instable, il a été décidéde le supprimer. La loi en racine n’est alors plus exactement vérifiée, mais cela semble être un compromisraisonnable puisque le modèle devient notablement simplifié (dans ce cas on peut aussi poser Ckθkθ

= 0)pour une perte de performance très minime.

Le tableau (1.8) rassemble les valeurs des différents coefficients intervenant dans le modèle.

Cλ Cp1Cp2

Cd1Cd2

σkθσφθ

σφθkθCkθkθ

CφθkθCφθφθ

0,105 1 0 1 -0,42 1 0,35 +∞ 0 1,11 -3,5

TAB. 1.8 – Coefficients du modèle kθ − kθLθ de Daris [28]

Contrairement au modèle k − ε décrit précédemment, les coefficients m et n intervenant dans ladéfinition de la diffusivité turbulente ne sont pas identiques. En effet, on a vu que la diffusivité turbulentese modélisait par une forme semblable à celle de νt par :

αt = uth∗2τth = uth

∗lth (1.95)

avec uth∗ =

√k. τth et lth sont alors fonction des échelles dynamiques et thermiques par l’intermédiaire

du coefficient m. Or, lth est définie par :

lth ∝(

kθ

εθ

) 32

ε12 (1.96)

soit :

αt ∝√

k

(kθ

εθ

) 32

ε12 ∝ k

(kθ

εθ

) 32(

k

ε

)− 12

(1.97)

Ainsi, pour le présent modèle on a :

αt = Cλk

(k

ε

)− 12(

2kθ

εθ

) 32

= C′λ

φθ

kθ

√k (1.98)

avec C′λ = 2

32 Cλ.

On a donc :

m = −1

2et n =

3

2

1.4.4 Modèles au second ordre

De même qu’en dynamique avec les tensions de Reynolds, les modèles thermiques au second ordrepermettent de résoudre directement les équations de transport des flux de chaleur turbulents 1.78, ens’affranchissant de l’hypothèse de Boussinesq pour la diffusivité turbulente et de l’hypothèse de nombrede Prandtl turbulent constant. On rappelle que l’équation de transport des flux de chaleur turbulents1.78 s’écrit de manière symbolique :

Ciθ = Piθ1+ Piθ2

+ φiθ + Jtiθ+ JPiθ

+ Jνiθ− εiθ (1.99)

Tous les termes de cette équation, à l’exception des termes de production Piθ1et Piθ2

qui ne fontintervenir que les corrélations turbulentes u′

iu′j et u′

iθ et des grandeurs connues, sont à modéliser.La résolution des modèles au second ordre est donc lourde et en cela, ces modèles restent très peu

employés. Tout comme en dynamique, ils sont très sensibles numériquement et coûteux en temps de calcul.De plus, associés aux modèles aux tensions de Reynolds, ils impliquent douze équations turbulentesà résoudre (sept pour la dynamique, dont six pour les tensions de Reynolds et une pour le taux dedissipation de k et cinq pour la thermique, dont trois pour les composantes du flux de chaleur turbulent,une pour la demi-variance kθ et une pour son taux de dissipation εθ), en plus des équations de quantitéde mouvement et d’énergie.

1.4 Modélisation de la turbulence thermique 47

1.4.5 Modèles algébriques

Une limitation des notions de viscosité et de diffusivité turbulentes provient de l’hypothèse que letenseur de Reynolds et le vecteur flux de chaleur sont alignés respectivement avec le tenseur des taux dedéformation et le vecteur gradient de température moyenne. Cette hypothèse s’avère fausse en pratiquecar elle ne prend pas en compte l’anisotropie de la turbulence présente dans la plupart des écoulements.Pour pallier cette déficience, il faut mettre au point une autre loi d’évolution des tensions de Reynoldset des flux de chaleur turbulents en fonction des gradients de vitesse et de température (c’est ce que l’onappelle relation constitutive). Les modèles algébriques thermiques se proposent, à partir de l’étude del’équation de transport des flux de chaleur turbulents, d’établir cette nouvelle relation. La démarche estsimilaire à l’établissement des modèles algébriques dynamiques et repose également sur une hypothèsed’équilibre local de la turbulence. Cette catégorie de modèle constituant le noyau de la présente étude,l’établissement des relations sera exposé en détails dans le chapitre suivant.

48 Chapitre 1 : Concepts de base

49

Chapitre 2

Formulation d’un modèle algébrique

thermique

L’intérêt des modèles algébriques réside dans la simplicité de leur formulation et dans les avancéesqu’ils proposent d’un point de vue représentation des phénomènes physiques par rapport à des modèlesreposant sur les notions de viscosité et de diffusivité turbulentes. C’est pour cela qu’ils suscitent beau-coup d’intérêt depuis plusieurs années. La plupart des modèles existants [1] [2] reposent sur l’hypothèsed’équilibre faible, qui consiste à négliger l’advection et la diffusion du flux de chaleur turbulent. Une autredémarche peut être envisagée : négliger l’advection et la diffusion du flux de chaleur adimensionné parles échelles de la turbulence. C’est cette dernière démarche que nous allons suivre et qui est détailléedans ce chapitre. La mise en place d’une formulation algébrique conduit à une non-linéarité du système àrésoudre, qui se manifeste par des contraintes notables du point de vue numérique. Certains auteurs dé-cident de modéliser cette non-linéarité au moyen de termes connus, d’autres la conservent de sorte qu’ellesoit résolue implicitement avec la solution. Dans le premier cas, on aboutit à une solution explicite, maisqui ne remplit pas la condition dite de consistance, dans le sens où on émet une hypothèse a priori surle comportement du rapport Pθ/εθ [1]. En revanche, la deuxième démarche remplit correctement cettecondition, mais des problèmes numériques subsistent de par la conservation du terme non-linéaire [2].La nouvelle approche, introduite par Wikström, Wallin et Johansson [88], propose un compromis entreces deux alternatives en rendant le modèle à la fois explicite et consistant. Le modèle résultant (EAHFMpour Explicit Algebraic Heat Flux Model) constitue un analogue au modèle EARSM présenté plus haut.Un système algébrique et consistant est élaboré pour les flux de chaleur u′

iθ et est ensuite inversé. À partirde là, la seule connaissance du rapport production sur dissipation suffit à rendre les équations explicites.Ce chapitre se consacre à l’élaboration de ce modèle, étape par étape et référence d’autres modélisa-tions algébriques thermiques existantes. Nous analyserons deux démarches possibles pour la résolutiondu modèle développé ici.

2.1 Hypothèse d’équilibre local

En premier lieu, on rappelle l’équation de transport des flux de chaleur turbulents, introduite en(1.78). Si on rassemble d’une part les deux contributions à la production Piθ1

et Piθ2en Piθ et d’autre

part les trois composantes de la diffusion Jtiθ, JPiθ

et Jνiθen Di, alors l’équation s’écrit symboliquement :

Du′iθ

Dt− Di = Piθ + φiθ − εiθ (2.1)

où le terme de production est donné par :

Piθ = −u′iu

′j

∂T

∂xj− u′

jθ∂ui

∂xj(2.2)

50 Chapitre 2 : Formulation d’un modèle algébrique thermique

La diffusion Di, la corrélation pression-température φiθ et le tenseur du taux de destruction εiθ

contiennent des quantités inconnues et d’ordre supérieur. Ce sont donc ces termes qui nécessitent d’êtremodélisés, en fonction des grandeurs moyennes, de leurs gradients, des tensions de Reynolds et bien sûrdes flux de chaleur turbulents.

Une alternative à l’écriture de (2.1) consiste à former l’équation de transport pour le flux de chaleuradimensionné défini par :

ξi =u′

iθ√kkθ

(2.3)

L’équation de transport associée à cette nouvelle variable s’écrit :

Dξi

Dt− Di

(ξ) = −1

2ξi

(Pθ − εθ

kθ+

Pk − ε

k

)+

Piθ − εiθ + φiθ√kkθ

(2.4)

Rappelons que kθ est la demi-variance des fluctuations de température, analogue thermique de k. k etkθ possèdent leur propre équation de transport faisant intervenir leurs taux de dissipation ε et εθ, leursdiffusions D(k) et D(θ) et leurs productions Pk et Pθ :

Dk

Dt− D(k) = Pk − ε (2.5)

Dkθ

Dt− D(θ) = Pθ − εθ (2.6)

Ainsi, la diffusion (moléculaire et turbulente) de ξi, Di(ξ) s’exprime comme :

Di(ξ) =

Di√kkθ

− 1

2

(D(k)

k+

D(θ)

kθ

)ξi (2.7)

D’après l’équation de transport du flux de chaleur adimensionné ξi (2.4), on note que, pour fermer lesystème, les équations de k, ε, kθ et εθ seront nécessaires.

L’élaboration des modèles algébriques thermiques repose, tout comme les modèles algébriques dyna-miques, sur une hypothèse d’équilibre local de la turbulence. Cela revient à supposer que l’advection etla diffusion du flux de chaleur turbulent adimensionné sont nulles. On retrouve cet état d’équilibre pourdes écoulements proches de l’homogénéité. Le terme d’advection est exactement nul pour un écoulementparallèle stationnaire, comme un écoulement en canal par exemple. En revanche, l’hypothèse de diffusionnégligeable s’avère fausse dans les régions d’écoulements où les homogénéités sont fortes ou dans le cas oùle terme de production est faible. Néanmoins, cette hypothèse reste tout à fait raisonnable et constitueune avancée considérable par rapport à l’utilisation d’une diffusivité turbulente.À partir de ces considérations, le membre de gauche de l’équation (2.4) devient nul et ainsi :

1

2ξi

(Pθ − εθ

kθ+

Pk − ε

k

)=

Piθ − εiθ + φiθ√kkθ

(2.8)

Cette équation constitue une analogie directe avec l’hypothèse d’équilibre émise pour les tensions deReynolds dans le cadre des modèles EARSM.

L’équation précédente peut être récrite de la manière suivante :

1

2ξi

[Pθ

εθ− 1 + r

(Pk

ε− 1

)]=

1

εθ

√kθ

k(Piθ + φiθ − εiθ) (2.9)

où r est le rapport des temps caractéristiques de la turbulence (thermique sur dynamique) :

r =kθ/εθ

k/ε(2.10)

La diffusion étant nulle, le seul terme qui reste à modéliser est la différence φiθ − εiθ.Rappelons que les termes de production de k et kθ qui interviennent dans l’équation (2.9) s’écrivent :

2.2 Modélisation de φiθ − εiθ 51

Pk = −u′iu

′j

∂ui

∂xj(2.11)

Pθ = −u′iθ

∂T

∂xi(2.12)

On voit donc clairement apparaître une non-linéarité en ξi lorsqu’on substitue l’expression de Pθ dans(2.9). Le système est donc implicite à ce stade.

2.2 Modélisation de φiθ − εiθ

La modélisation de φiθ − εiθ doit se faire au moyen des termes connus (grandeurs moyennes) et destermes auxquels on peut facilement accéder (composantes de l’anisotropie, flux de chaleur turbulents).Elle doit également mettre en jeu les échelles caractéristiques de la turbulence, aussi bien dynamiquesque thermiques. Ainsi, la forme générale que doit prendre cette modélisation est :

φiθ − εiθ = εθ

√k

kθFi

(bmn, ξm, Smn, Ωmn, Θm, r

)(2.13)

où bmn est le tenseur d’anisotropie tel que bmn =u′

mu′

n

2k − 13δmn, Smn et Ωmn sont respectivement les

tenseurs des taux de déformation et de rotation, adimensionnés par ε/k :

Smn =1

2

k

ε

(∂um

∂xn+

∂un

∂xm

)et Ωmn =

1

2

k

ε

(∂um

∂xn− ∂un

∂xm

)(2.14)

Θm est le vecteur gradient de température moyenne adimensionné :

Θm =k

ε

√k

kθ

∂T

∂xm(2.15)

La modélisation de φiθ − εiθ la plus largement employée ([72], [51]), de par son caractère linéaire quiconduit à un système explicite, donc plus facile à résoudre, est celle introduite par Shabany et Durbin[72] :

φiθ − εiθ = −cθ1ε

ku′

iθ + cθ2u′jθ

∂ui

∂xj+ cθ3u′

jθ∂uj

∂xi+ cθ4u′

iu′j

∂T

∂xj(2.16)

Ce modèle, ainsi décrit, ne contient que les termes rapides de la modélisation de φiθ et par conséquent,ne fait intervenir que les gradients de vitesse moyenne (deuxième et troisième termes de (2.16)). L’effetdu gradient de température moyenne n’est capté que par le dernier terme. L’idée consiste donc à rendrele premier terme dépendant du gradient de température moyenne et ainsi, une alternative au terme encθ4 seul serait de lui ajouter le terme non-linéaire −cθ5 (1/k)u′

kθ(∂T/∂xk

)u′

iθ. Par conséquent, le termerésultant :

−(

cθ1 + cθ5k

εkθu′

kθ∂T

∂xk

)ε

ku′

iθ (2.17)

prend en compte aussi bien le terme lent de φiθ que la destruction. Craft et Launder [26] font de mêmeavec la modélisation de φiθ−εiθ : ils incluent le gradient de température moyenne de manière non-linéaire.

Le modèle pour φiθ − εiθ, utilisé ici, est donc le suivant :

φiθ − εiθ = −(

cθ1 + cθ5k

εkθu′

kθ∂T

∂xk

)ε

ku′

iθ + cθ2u′jθ

∂ui

∂xj+ cθ3u′

jθ∂uj

∂xi+ cθ4u′

iu′j

∂T

∂xj(2.18)

On aboutit ici à une forme très générale avec cinq degrés de libertés, représentés par les constantescθi.

52 Chapitre 2 : Formulation d’un modèle algébrique thermique

2.3 Solution pour les flux de chaleur

Le système formé des équations (2.9) et (2.18) peut être résolu directement, par une inversion simple.Néanmoins, on remarque que le modèle n’est pas pleinement explicite, puisqu’apparaît le rapport Pθ/εθ,lui-même inconnu, car dépendant de u′

iθ. La méthode de résolution utilisée ici a d’abord été proposéepar Adumitroaie [2] et se propose d’aboutir à une solution formelle, dans le cas général tridimensionnel,où cette quantité Pθ/εθ est inconnue. Cette solution est alors employée pour formuler une équation enPθ/εθ.

Tout comme le modèle EARSM dynamique proposé par Wallin et Johansson [86], la solution auproblème existe pour un écoulement bidimensionnel (le système devient explicite) et constitue une ap-proximation tout à fait honorable pour les écoulements tridimensionnels.

En remplaçant dans l’équation (2.9) l’expression pour φiθ − εiθ (2.18), on obtient le système suivant :

Nθξi = − (1 − cθ4)

(2bij +

2

3δij

)Θj

−((1 − cθ2 − cθ3)Sij + (1 − cθ2 + cθ3)Ωij

)ξj

(2.19)

où :

Nθ = G +1

r

Pθ

εθ

(1

2− cθ5

)= G −

(1

2− cθ5

)ξlΘl (2.20)

et :

G =1

2

(2cθ1 − 1 − 1

r+

Pk

ε

)(2.21)

On peut noter, que d’après l’expression de Nθ (2.20), le système est non-linéaire pour toute valeur decθ5 différente de 1/2, de par le terme ξlΘl qui multiplie ξi.

L’équation (2.19) peut être récrite comme suit :

Aijξj = −c′θ4

(2bij +

2

3δij

)Θj (2.22)

avec A matrice telle que :

Aij = Nθδij + cSSij + cΩΩij (2.23)

et :

cS = 1 − cθ2 − cθ3 ; cΩ = 1 − cθ2 + cθ3 ; c′θ4 = 1 − cθ4 (2.24)

Ainsi, l’équation pour cθ5 = 1/2 prend la forme suivante :

ξi = −c′θ4A−1ij

(2bjk +

2

3δjk

)Θk (2.25)

où c′θ4 = 1 − cθ4. À noter que, dans cette expression, Nθ n’est toujours pas déterminé.La matrice Aij

−1 faisant intervenir les tenseurs des taux de déformation et de rotation, l’expressionfinale dépend des gradients de vitesse moyenne, du tenseur d’anisotropie et du gradient de températuremoyenne.

Il est possible, à partir de l’équation pour ξi (2.25), de déduire une diffusivité turbulente équivalente,notée αt

∗. Si on récrit l’équation (2.25) en terme de grandeurs dimensionnées (u′iθ et T ), alors :

u′iθ = −c′θ4A

−1ij

(2bjk +

2

3δjk

)k2

ε

∂T

∂xk= −Bik

∂T

∂xk(2.26)

2.3 Solution pour les flux de chaleur 53

La définition de la diffusivité turbulente αt est telle que :

u′iθ = −αt

∂T

∂xi(2.27)

Or, ici, les Bii sont différents d’une composante à l’autre (B11 = B22 = B33) et on ne peut donc pasréduire notre expression (2.26) en une déclinaison de (2.27). D’où l’idée de déduire la diffusivité turbulenteéquivalente de la minimisation du carré de l’écart entre le flux de chaleur issu de la formulation algébriqueet le flux de chaleur donné par la formulation de Boussinesq. αt

∗ sera donc telle que :

∂

∂αt∗

[(u′

iθmodèle + αt∗ ∂T

∂xi

)2]

= 0 (2.28)

soit :

αt∗ =

k2

ε c′θ4A−1ik

(2bkj + 2

3δkj

)∂T∂xj

∂T∂xi(

∂T∂xi

)2 (2.29)

Cette diffusivité turbulente équivalente, de par sa définition même, dépend des grandeurs moyennes(vitesse et température), des échelles caractéristiques de la turbulence et du tenseur d’anisotropie. Elleprend donc une forme très générale. Si on s’intéresse à un écoulement unidirectionnel de type couchelimite pour lequel un seul gradient ∂T

∂xiest non nul, alors la relation suivante est obtenue (en posant i = j

dans (2.29)) :

αt∗ = coefficient sur la diagonale de B dans la direction du gradient de température (2.30)

avec Bij tel que :

Bij = c′θ4A−1ik

(2bkj +

2

3δkj

)k2

ε(2.31)

Il est donc désormais possible de définir un nombre de Prandtl turbulent, qui sera le rapport de laviscosité turbulente équivalente issue de la formulation EARSM sur la diffusivité turbulente équivalente :

Prt =νt

∗

αt∗ (2.32)

Dès lors, on remarque que le nombre de Prandtl turbulent n’est pas constant, mais dépend des quatreéchelles de la turbulence, k, ε, kθ et εθ, ainsi que des gradients de vitesse et de température moyennes.

2.3.1 Solution pour un écoulement tridimensionnel

L’expression du flux de chaleur adimensionné (2.25) fait directement intervenir l’inverse de la matriceA. Dans le cas général (i.e. tridimensionnel), cette matrice est obtenue à l’aide du théorème de Cayley-Hamilton, comme suggéré par Adumitroaie et al. [2]. Ce théorème, relatif aux tenseurs 3x3, stipule quechaque matrice est solution de son polynôme caractéristique :

A3 − tr AA

2 +1

2

(trA2 − tr

A

2)

A − det (A) I = 0 (2.33)

où tr A est la trace de A, det (A) son déterminant, I fait référence au tenseur identité et(A2)ij

≡AikAkj .

En multipliant (2.33) par A−1, l’inverse de A, sous réserve que cette dernière soit inversible, on

obtient :

A−1 =

12

(trA2 − tr

A

2)

I− tr AA + A2

det (A)(2.34)

54 Chapitre 2 : Formulation d’un modèle algébrique thermique

En remplaçant A par son expression (2.23) en fonction des tenseurs des taux de déformation S et destaux de rotation Ω, l’inverse de A peut se récrire :

A−1 =

(N2

θ − 12Q1

)I− Nθ

(cSS + cΩΩ

)+(cSS + cΩΩ

)2

N3θ − 1

2NθQ1 + 12Q2

(2.35)

où :

Q1 = cS2η1 + cΩ

2η2 et Q2 =2

3cS

3η3 + 2cScΩ2η4 (2.36)

Les invariants du gradient de l’écoulement moyen sont définis comme suit :

η1 = trS

2

; η2 = trΩ

2

; η3 = trS

3

; η4 = trSΩ

2

(2.37)

Pour une valeur de cθ5 quelconque, la quantité Nθ dépend du rapport production sur dissipation dekθ, Pθ/εθ, et peut être déterminée, entre autres, de manière itérative. Néanmoins, la relation (2.20) étantfortement non-linéaire, il n’est pas garanti que le processus itératif converge vers la solution physique. Deplus, la méthode d’itération influe directement sur la convergence de la solution. Il est donc préférable demanier une relation explicite, tout en conservant le caractère consistant de la solution, c’est-à-dire en nefaisant aucune hypothèse sur la comportement de Pθ/εθ. Pour ce faire, on introduit l’expression du fluxξi (2.25) dans celle de Nθ (2.20). On obtient :

Nθ = G −(

1

2− cθ5

)ξlΘl

= G +

(1

2− cθ5

)c′θ4Aij

−1

(2bjk +

2

3δjk

)ΘkΘi

(2.38)

Si maintenant on remplace l’inverse de A (2.35) dans cette dernière expression alors on aboutit à unpolynôme du quatrième degré pour Nθ :

2N4θ − 2GN3

θ − (Q1 + R1)N2θ + (GQ1 + R2 + Q2)Nθ − R3 − GQ2 +

1

2Q1R1 = 0 (2.39)

où :

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

R1 = 2

(1

2− cθ5

)c′θ4tr

(2b +

2

3I

)Θ

2

R2 = 2

(1

2− cθ5

)c′θ4tr

(cSS + cΩΩ

)(2b +

2

3I

)Θ

2

R3 = 2

(1

2− cθ5

)c′θ4tr

(cSS + cΩΩ

)2(2b +

2

3I

)Θ

2

(2.40)

et(Θ2)ij

= ΘiΘj.

Bien que les solutions de polynômes de quatrième degré soient connues, le problème qui survientest que le choix de la solution physique n’est pas toujours évident. C’est pour cela qu’il est proposéd’étudier le problème dans le cas particulier d’un écoulement bidimensionnel et d’étendre sa solution àdes écoulements tridimensionnels en première approximation.

2.3 Solution pour les flux de chaleur 55

2.3.2 Solution pour un écoulement bidimensionnel

Considérons, par exemple, la troisième direction comme étant la direction homogène. Dans ce cas,∀α = 3, on a Aα3 = A3α = bα3 = b3α = Θ3 = 0. Les composantes A33 et b33 ne sont pas nulles,mais d’après la définition de ξi (2.25), elles ne jouent aucun rôle, dans ce cas particulier. De plus, enbidimensionnel, les invariants η3 et η4 sont nuls. On a donc Q2 = 0. L’inverse du tenseur A devient :

A−1 =

(N2

θ − 12Q1

)I− Nθ

(cSS + cΩΩ

)+(cSS + cΩΩ

)2

N3θ − 1

2NθQ1 + 12Q2

(2.41)

où le déterminant est donné par :

det (A) = N3θ − 1

2NθQ1 (2.42)

L’équation pour Nθ est, quant à elle, obtenue à partir de l’expression (2.39). En bidimensionnel, on avu que Q2 = 0. On peut également montrer que R3 = Q1R1/2. Ainsi, l’équation pour Nθ devient :

(2N3

θ − 2GN2θ − (Q1 + R1)Nθ + GQ1 + R2

)Nθ = 0 (2.43)

On remarque que Nθ = 0 est solution de l’équation précédente. Néanmoins, dans ce cas, on auraitAij = cSSij + cΩΩij , dont le déterminant serait nul dans le seul cas trivial où on n’a aucun gradient devitesse. Cela entraînerait A = 0, d’où un flux nul.

Si on exclue la solution Nθ = 0, cette équation possède trois racines, nettement plus accessibles quepour un polynôme du quatrième degré. Ses solutions sont :

Nθ =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

G

3+ sign

(Pθ1 +

√Pθ2

)|Pθ1 +

√Pθ2|

13

+ sign(Pθ1 −

√Pθ2

)|Pθ1 −

√Pθ2|

13 pour Pθ2 ≥ 0

G

3+ 2(Pθ1

2 − Pθ2

) 16 cos

(1

3arccos

(Pθ1√

Pθ12 − Pθ2

))pour Pθ2 < 0 et Pθ1 ≥ 0

G

3+ 2(Pθ1

2 − Pθ2

) 16 cos

(−1

3arccos

(−Pθ1√

Pθ12 − Pθ2

)+

π

3

)pour Pθ2 < 0 et Pθ1 < 0

(2.44)avec :

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

Pθ1 =G3

27− 1

6GQ1 +

1

12GR1 −

1

4R2

Pθ2 = Pθ12 −(

G2

9+

1

6Q1 +

1

6R1

)3(2.45)

Notons que, dans le cas particulier où cθ5 = 1/2, la seule solution est Nθ = G, ce que l’on retrouveimmédiatement à partir de la définition de Nθ (2.20).

2.3.3 Inversibilité du système

Durant le déroulement du calcul, on a signalé que la résolution n’était possible que si la matrice A

est inversible, en d’autres termes, si son déterminant est non nul. Dans le cas où ce déterminant seraitnul, alors la relation (2.25) présenterait une singularité et il n’existerait aucune solution à l’équation (2.8).

Le déterminant de A s’écrit, dans le cas bidimensionnel :

det (A) = N2θ − 1

2Q1 = N2

θ − 1

2

(cS

2η1 + cΩ2η2

)(2.46)

56 Chapitre 2 : Formulation d’un modèle algébrique thermique

Cette expression présente l’inconvénient de dépendre d’un grand nombre de variables et de contenirdes termes aussi bien positifs que négatifs, de sorte qu’il est impossible d’accéder aux paramètres quiannulent ce déterminant. Il va donc falloir établir des contraintes fortes qui garantissent la non-nullité dudéterminant de A.

L’équation (2.46) permet d’écrire :

Q1 = 2N2θ − 2det (A) (2.47)

Ainsi, on peut reformuler l’équation cubique en Nθ (2.43) de la manière suivante :

2det(A

2D)(Nθ − G) = R1Nθ − R2 (2.48)

La seule possibilité pour que le déterminant de A soit nul est que R1Nθ = R2.On sait que la seule solution du problème dans le cas où cθ5 = 1/2 est Nθ = G. On va donc étudier

ce qu’il se passe dans ce cas particulier. L’expression du déterminant de A (2.46) devient :

4det (A) = 4G2 − 2Q1

=

(2cθ1 −

r + 1

r+

Pk

ε

)2

− 2cS2η1 − 2cΩ

2η2(2.49)

Il faut s’assurer du fait que ce déterminant soit non nul, c’est-à-dire qu’il ne change jamais de signe (ilest évident que si le déterminant peut prendre à la fois des valeurs positives et négatives alors il passeraforcément par la valeur nulle). Or, si on considère un écoulement sans aucun gradient de vitesse, alors cedéterminant est forcément positif. Dès lors, il faut garantir la positivité du déterminant de A. Pour cefaire, la condition forte consiste à imposer d’une part :

cθ1 >1

2

(1 +

1

r

)(2.50)

et d’autre part :

cS2 <

1

2η1

(2cθ1 −

r + 1

r+

Pk

ε

)2

− cΩ2 η2

η1(2.51)

Le rapport Pk/ε ne devient que très rarement négatif. Ce comportement n’étant pas capturé par lesmodèles algébriques dynamiques [88] (à utiliser toujours en association avec le modèle EAHFM), ce casparticulier n’est pas envisagé ici.

La contrainte portant sur le coefficient cθ1 (2.50) peut facilement être violée dans le cas où r serait petit(temps caractéristique de la turbulence thermique très faible devant celui de la turbulence dynamique).Un moyen d’éviter ce comportement délicat est de faire dépendre la constante cθ1 de r :

cθ1 = c′θ1

r + 1

r(2.52)

où c′θ1 est une constante supérieure à 1/2. Ainsi, même pour des faibles valeurs de r, la condition (2.50)est remplie.

Notons que pour des écoulements qui sont proches de l’état d’équilibre (état sur lequel est basée laformulation algébrique), le rapport des temps caractéristiques est à peu près constant et proche de 1/2d’après les expériences. La dépendance de cθ1 en r trouvera donc tout son intérêt pour des écoulementsqui dévient de cet état d’équilibre.

La limitation sur le coefficient cS est fortement conditionnée par les autres constantes du modèle,mais aussi par le modèle EARSM utilisé pour la détermination du tenseur d’anisotropie. Nous ne discute-rons pas ici des conditions, trop complexes, permettant de satisfaire l’inégalité (2.51). Nous supposeronsqu’elles sont toujours remplies, et ferons une vérification a posteriori (après résolution).

Les quatre échelles de la turbulence, dynamiques et thermiques, k, ε, kθ et εθ intervenant dans lemodèle EAHFM, il faudra, dans le cas général, lui associer un modèle à quatre équations. Néanmoins,on peut d’ores et déjà noter que deux approches de résolution sont envisageables. La première, qui est

2.4 Modèle algébrique de Wikström, Wallin et Johansson [88] 57

une approche simplifiée, consiste à supposer que le rapport des temps caractéristiques de la turbulencer = kθ/ε

k/ε est constant. Dans ce cas précis, la seule connaissance des échelles dynamiques suffit à larésolution du modèle EAHFM et ainsi, un modèle à deux équations dynamique lui sera associé. Laseconde approche est l’approche générale, pour laquelle aucune hypothèse n’est faite sur r. Cette quantitésera donc libre d’évoluer au sein de l’écoulement. Par conséquent, la résolution en parallèle d’un modèleà quatre équations est requise.

2.4 Modèle algébrique de Wikström, Wallin et Johansson [88]

Wikström, Wallin et Johansson [88] procèdent à des simplifications radicales dans le choix des constantesdu modèle. Ainsi, afin de supprimer la non-linéarité évoquée tout au long de la formulation du modèle, ilsposent cθ5 = 1/2. Ainsi, Nθ = G = 1/2 (2cθ1 − 1 − 1/r + Pk/ε) et l’expression de l’inverse de la matriceA prend la forme suivante :

A−1 =

(G2 − 1

2Q1

)I − G

(cSS + cΩΩ

)+(cSS + cΩΩ

)2

G3 − 12GQ1 + 1

2Q2

(2.53)

Cette expression peut directement être implantée dans l’équation pour les flux de chaleur turbulentset le calcul se fait de lui-même.

De plus, ils s’attachent à étudier le cas d’écoulements parallèles pour lesquels η1 = −η2. Dans ce cas,ils montrent que la relation sur cS (2.51) est automatiquement vérifiée dans le cas particulier où on choisitles constantes telles que cS = cΩ. La relation (2.51) devient alors :

0 <1

2η1

(2cθ1 −

r + 1

r+

Pk

ε

)2

(2.54)

L’invariant η1 étant constitué uniquement de termes positifs, cette dernière relation est par conséquentvérifiée.

L’ensemble des constantes utilisées par Wikström, Wallin et Johansson est reporté dans le tableausuivant :

c′θ1 cθ2 cθ3 cθ4 cθ5

1,6 0 0 0 1/2

TAB. 2.1 – Coefficients du modèle algébrique thermique de Wikström, Wallin et Johansson [88]

2.5 Autres modèles algébriques thermiques

D’autres modèles algébriques thermiques ont été référencés dans la littérature. Certains ont été éla-borés de manière suffisamment différente du modèle de Wikström, Wallin et Johansson pour ne paspouvoir les lier entre eux. D’autres sont des cas particuliers du modèle présenté ci-dessus, par le choixdes constantes adoptées.

2.5.1 Modèle de Younis, Speziale et Clark [92]

Younis et al. [92] emploient une démarche différente de celle présentée précédemment et modélisentdirectement le flux de chaleur turbulent, sans passer par son équation de transport. L’idée premièreconsiste à poser que le flux de chaleur turbulent dépend de plusieurs grandeurs (pour un écoulementincompressible, sans effet de flottabilité) :

−u′iθ = fi

(u′

iu′j , Sij , Ωij ,

∂T

∂xj, ρ, ε, kθ, T

)(2.55)

La forme générale adoptée pour le flux de chaleur turbulent est :

58 Chapitre 2 : Formulation d’un modèle algébrique thermique

−u′iθ = α1

∂T

∂xi+ α2u′

iu′j

∂T

∂xj+ α3Sij

∂T

∂xj+ α4u′

iu′ku′

ku′j

∂T

∂xj+ α5SikSkj

∂T

∂xj

+α6Ωij∂T

∂xj+ α7ΩikΩkj

∂T

∂xj+ α8 (SikΩkj + SjkΩki)

∂T

∂xj

+α9

(u′

iu′kSkj + u′

ju′kSki

) ∂T

∂xj+ α10

(u′

iu′kΩkj + u′

ju′kΩki

) ∂T

∂xj

(2.56)

où :

αi = αi (k, ε, kθ, ρ, ηα) , i = 1..10 (2.57)

avec ηα les invariants du problème.

Deux hypothèses sont alors émises :

• Les anisotropies et les échelles de temps turbulentes sont suffisamment faibles pour pouvoir suppri-mer les termes multilinéaires. Ainsi, les termes en α4, α5, α7 et α8 sont négligés.

• Il existe un équilibre entre les effets des taux de déformation et de rotation de sorte que α10 = −α9.

La forme suivante pour le flux de chaleur turbulent est alors obtenue :

−u′iθ = α1

∂T

∂xi+ α2u′

iu′j

∂T

∂xj+ α3

∂u

∂xj

∂T

∂xj+ α9

(u′

iu′k

∂uj

∂xk+ u′

ju′k

∂ui

∂xk

)∂T

∂xj(2.58)

Les auteurs adoptent l’échelle de temps dynamique τd = k/ε comme temps caractéristique et ainsi, leflux de chaleur peut s’exprimer comme :

−u′iθ = C1kτd

∂T

∂xi

+C2τdu′iu

′j

∂T

∂xj

+C3kτ2d

∂ui

∂xj

∂T

∂xj

+C4τ2d

(u′

iu′k

∂uj

∂xk+ u′

ju′k

∂ui

∂xk

)∂T

∂xj

(2.59)

où les constantes Ci sont déterminées à partir de résultats de DNS ou d’expériences en écoulementhomogène cisaillé. Ces constantes sont réunies dans le tableau (TAB. 2.2).

C1 C2 C3 C4

-0,0455 0,373 -0,00373 -0,0235

TAB. 2.2 – Coefficients du modèle algébrique thermique de Younis, Speziale et Clark [92]

Ce modèle ne peut pas être relié à celui de Wikström, Wallin et Johansson présenté ci-dessus, caril ne tient pas compte, entre autres, des échelles caractéristiques de la turbulence thermique kθ et εθ.Il ne s’agit pas ici d’un modèle algébrique à proprement parler, mais plutôt d’une relation constitutivenon-linéaire.

2.5 Autres modèles algébriques thermiques 59

2.5.2 Modèle de Shabany et Durbin [72]

La démarche adoptée par Shabany et Durbin [72] consiste à modéliser les termes inconnus dansl’équation de transport des flux de chaleur dimensionnés u′

iθ. La modélisation employée est celle explicitéeen (2.16), donc sans le terme en cθ5. Ainsi, l’équation de transport du flux de chaleur est la suivante :

Du′iθ

Dt= (cθ1 − 1)u′

iu′j

∂T

∂xj+ (cθ2 − 1)u′

jθ∂ui

∂xj− CMε

ku′

iθ + cθ3u′jθ

∂uj

∂xi(2.60)

Les auteurs considèrent une turbulence homogène pour laquelle le gradient de température moyenneévolue comme :

D ∂T∂xi

Dt= −∂uj

∂xi

∂T

∂xj(2.61)

Ainsi, le flux de chaleur peut être défini par :

u′iθ = −Dij

∂T

∂xj(2.62)

où Dij est le tenseur de dispersion.

On écrit alors l’équation de transport de ce dernier :

DDij

Dt= Dik

∂uj

∂xk+ (1 − cθ1) u′

iu′j + (cθ2 − 1)

∂ui

∂xkDkj −

cMε

kDij + cθ3Dkj

∂uk

∂xi(2.63)

L’équation de transport de Kij = Dijεk2 est écrite et la condition d’équilibre local lui est appliquée

de sorte que DKij/Dt = 0. Ainsi :

0 = Kik∂uj

∂xk+ (1 − cθ1)

ε

k2u′

iu′j + (cθ2 − 1)

∂ui

∂xkKkj

−Kijε

k

(cM + (2 − cε1)

Pk

ε+ cε2 − 2

)+ cθ3Kkj

∂uk

∂xj

(2.64)

où cε1 et cε2 sont les constantes intervenant dans l’équation de transport de ε.

Les constantes ont été calibrées de manière à reproduire correctement un écoulement cisaillé. Ellessont rassemblées dans le tableau (TAB. 2.3).

cM cθ1 cθ2 cθ3

2,89 0 0,41 0,21

TAB. 2.3 – Coefficients du modèle algébrique thermique de Shabany et Durbin [72]

Encore une fois, les démarches étant très différentes, on ne peut relier ce modèle (qui conserve εk2 Dij)

à celui de Wikström, Wallin et Johansson (qui conserve ξi), sauf dans le cas où le gradient de températureest constant.

2.5.3 Modèle de So et Sommer [76]

So et Sommer [76] utilisent la version grand Reynolds de l’équation de transport du flux de chaleurturbulent, introduite par Lai et So [50] :

Du′iθ

Dt− Diθ

t = −u′iu

′k

∂T

∂xk− u′

kθ∂ui

∂xk− C1θ

1

τu′

iθ + C2θu′kθ

∂ui

∂xk(2.65)

où Diθt est la diffusion turbulente. L’équation de transport fait intervenir une échelle de temps caracté-

ristique τ . Lai et So la posent comme étant l’échelle de temps dynamique k/ε. La modification apportée

60 Chapitre 2 : Formulation d’un modèle algébrique thermique

par So et Sommer consiste à rendre cette échelle dépendante à la fois de l’échelle de temps dynamique τd

et de l’échelle de temps thermique τt, de sorte que :

τ =

√2k

ε

kθ

εθ=

√τdτt (2.66)

Les auteurs accordent ici autant d’importance au temps dynamique qu’au temps thermique, en affec-tant m = n = 1/2 dans la définition de l’échelle de temps totale, introduite en (1.82) : τ = τd

mτtn.

La condition d’équilibre local est appliquée à l’équation (2.65) et permet de s’affranchir du terme deconvection (le membre gauche de l’équation (2.65) devient nul). En ce sens, cette modélisation diffère decelle de Wikström, Wallin et Johansson, puisque ces derniers appliquent la condition d’équilibre local sur leflux de chaleur adimensionné et non sur le flux de chaleur. En d’autres termes, négliger la convection de u′

iθrevient à supposer que le flux de chaleur ne varie pas, alors que négliger la convection de ξi est équivalentà considérer que le module du flux de chaleur est proportionnel à

√kkθ. Cette dernière démarche est par

conséquent beaucoup plus physique et plus proche de ce que l’on peut observer expérimentalement.Ainsi, l’expression du flux de chaleur turbulent devient :

−u′iθ =

1

C1θ

√(2k

ε

kθ

εθ

)(u′

iu′k

∂T

∂xk+ (1 − C2θ) u′

kθ∂ui

∂xk

)(2.67)

L’expression résultante étant implicite, la méthode adoptée ici consiste à la rendre explicite en modélisanten premier gradient u′

iu′k et u′

kθ intervenant dans le membre de droite de l’équation (2.67) :

−u′iu

′k = νt

(∂ui

∂xk+

∂uk

∂xi

)− 2

3δikk (2.68)

et

−u′kθ = αt

∂T

∂xk(2.69)

L’équation finale prend la forme :

−u′iθ =

2

3C1θk

√(2k

ε

kθ

εθ

)∂T

∂xi

− 1

C1θ

√(2k

ε

kθ

εθ

)[(2νt + (1 − C2θ)αt)Sik + (1 − C2θ) αtΩik]

∂T

∂xk

(2.70)

où la viscosité et la diffusivité turbulentes sont données par :

νt = Cµk2

ε(2.71)

αt = Cλk

(2k

ε

kθ

εθ

) 12

(2.72)

Les coefficients Cµ et Cλ étant cette fois fixés et non plus dépendants des gradients moyens, le modèlede So et Sommer ne possède pas le caractère général de celui de Wikström, Wallin et Johansson.

Les coefficients du modèle sont les suivants :

2.5 Autres modèles algébriques thermiques 61

c1θ c2θ

3,28 0,4

TAB. 2.4 – Coefficients du modèle algébrique thermique de So et Sommer [76]

2.5.4 Modèle de Rhee et Sung [68]

Rhee et Sung [68] appliquent l’hypothèse d’équilibre local de la turbulence directement sur l’équationdu flux de chaleur. Ils supposent de plus une condition d’équilibre thermique qui permet de poser Pθ/εθ =1. Ainsi, l’équation de transport de u′

iθ se simplifie :

u′iθ =

2k/ε (Piθ + φiθ − εiθ)

(Pk/ε − 1)(2.73)

Le modèle de Gibson et Launder [34] est adopté pour la modélisation de φiθ − εiθ :

φiθ − εiθ = −C1θε

ku′

iθ − C2θPiθ (2.74)

L’équation qui en résulte est :

C1θ

1 − C2θ

ε

ku′

iθ = −u′jθ

∂ui

∂xj− u′

iu′j

∂T

∂xj(2.75)

où :

C1θ C2θ

3 0,33

TAB. 2.5 – Coefficients du modèle algébrique thermique de Rhee et Sung [68]

Le système étant implicite, il est alors récrit sous forme matricielle. Les auteurs procèdent à uneinversion de matrice pour pouvoir le résoudre.

2.5.5 Modèle de Rogers, Mansour et Reynolds [71]

Rogers, Mansour et Reynolds [71] considèrent eux aussi que le flux de chaleur adimensionné ξi =u′

iθ/√

kkθ atteint une valeur d’équilibre. Ainsi, ils écrivent :

Dξi

Dt=

Du′iθ

Dt

1√kkθ

+u′

iθ√kθ

(−1

2k−3/2 Dk

Dt

)+

u′iθ√k

(−1

2k−3/2θ

Dkθ

Dt

)= 0 (2.76)

et puisque, sans diffusion, les équations de transport de k et kθ s’écrivent respectivement :

Dk

Dt= Pk − ε (2.77)

et :Dkθ

Dt= Pθ − εθ (2.78)

l’équation devient :

∂u′iθ

∂t=

u′iθ

2k(Pk − ε) +

u′iθ

2kθ(Pθ − εθ) (2.79)

Ils constatent que les variations de u′iθ sont directement proportionnelles à u′

iθ lui-même. Ainsi, ils

adoptent une modélisation de∂u′

iθ

∂t alignée avec u′iθ.

Quant à la modélisation de φiθ −εiθ, ils reprennent la modélisation de Shabany et Durbin (2.16), maisne conservent que le terme en cθ1. Dès lors, l’équation de transport du flux de chaleur permet d’écrire :

62 Chapitre 2 : Formulation d’un modèle algébrique thermique

− (Piθ1+ Piθ2

) = u′iu

′k

∂T

∂xk+ u′

kθ∂ui

∂xk= φiθ − εiθ −

∂u′iθ

∂t= −CD

ε

2ku′

iθ (2.80)

CD est une constante empirique calibrée sur des écoulements homogènes cisaillés :

CD = 18

(1 +

130

Pe

)0,25(1 +

12, 5

Ret0,48

)−2,08

(2.81)

Pe = RetPr est le nombre de Péclet et Ret est le nombre de Reynolds turbulent défini par 4k2

νε .L’expression finale du flux de chaleur est la suivante :

u′iθ = −

(CD

ε

2kδik +

∂ui

∂xk

)−1

u′iu

′k

∂T

∂xk(2.82)

De plus, en reprenant l’expression (2.8), on obtient :

1√kkθ

∂u′iθ

∂t=

1

2ξi

(Pθ − εθ

kθ+

Pk − ε

k

)(2.83)

ce qui devient, en écoulement stationnaire :

0 = −1

2ξi

(Pθ − εθ

kθ+

Pk − ε

k

)(2.84)

Ce modèle de Rogers et al. se place dans un cas sans diffusion de ξi (homogène), comme Wikströmet al.. Ils écrivent de plus Dξi/Dt = 0, ce qui revient alors à appliquer l’hypothèse d’équilibre local sur leflux de chaleur adimensionné.

2.6 Conclusion

On a mis au point dans ce chapitre un modèle de turbulence algébrique thermique, basé sur l’hy-pothèse d’équilibre local de la turbulence. Ce modèle a été élaboré de manière à prendre en compte lemaximum de phénomènes physiques. Une méthode de résolution, dans le cas particulier d’un écoulementbidimensionnel, a été proposée et étendue au cas tridimensionnel. Le modèle ainsi formulé a été comparéà quelques modèles algébriques recensés dans la littérature, dont aucun ne présente un caractère aussigénéral.

63

Chapitre 3

Contraintes sur le modèle

Nous avons présenté, dans le chapitre précédent, un modèle algébrique thermique EAHFM comprenantcinq degrés de liberté. Les cinq constantes du modèle sont donc à déterminer et pour ce faire, on choisit deprocéder à l’analyse de certains écoulements, de manière à en déduire des relations analytiques entre cesconstantes, permettant de satisfaire les contraintes fixées. Ces écoulements (ou zones d’écoulements) sontla couche limite soumise à un gradient de pression d’intensité variable (nul, modéré et fort) et la frontièreentre l’écoulement turbulent et l’écoulement non turbulent. Le modèle devra aussi reproduire correctementles écoulements homogènes. Néanmoins, l’analyse de ces derniers ne conduisant pas à des relations entreles constantes du modèle EAHFM, on s’attachera à vérifier a posteriori leur bonne représentation. Ons’attachera ici à décrire la physique de ces écoulements et à en déduire les contraintes à imposer aumodèle. Les constantes pourront alors être déterminées.

3.1 Écoulements homogènes

En écoulement homogène, les propriétés statistiques ne dépendent pas des coordonnées de l’espace.Ainsi, les corrélations doubles en deux points des propriétés fluctuantes (u′

iu′j, u′

iθ, etc.) sont indépen-dantes des points de l’espace et ne varient plus qu’en fonction du temps et de la position relative des deuxpoints. Une conséquence de la propriété d’homogénéité est l’indépendance des gradients de vitesse et detempérature vis-à-vis du point de l’espace.

L’analyse suivante, basée sur l’approche de Newman, Launder et Lumley [59], se propose d’étudier lerapport des temps caractéristiques de la turbulence, r. Ces derniers ont montré que pour des écoulementshomogènes non cisaillés la valeur du rapport des temps caractéristiques tendait vers sa valeur à l’équilibre,req. À partir de la définition de r :

r =kθ/εθ

k/ε(3.1)

ils dérivent son équation de transport :

1

r

Dr

Dt=

1

kθ

Dkθ

Dt+

1

ε

Dε

Dt− 1

k

Dk

Dt− 1

εθ

Dεθ

Dt(3.2)

Or, en turbulence homogène sans gradient de vitesse ni gradient de température, les équations detransport de k (1.45), ε (1.48), kθ (1.86) et εθ (1.90) deviennent :

64 Chapitre 3 : Contraintes sur le modèle

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

∂k

∂t= −ε

∂ε

∂t= −Cε2

ε2

k

∂kθ

∂t= −εθ

∂εθ

∂t= −Cd1

2

ε2θ

kθ− Cd2

εεθ

k

(3.3)

Ainsi, on obtient :

1

r

Dr

Dt=

εθ

kθ

(Cd1

2− 1

)+

ε

k(1 + Cd2

− Cε2) (3.4)

Si on remplace t par τ = tε/k, temps adimensionné, alors :

1

r

Dr

Dτ=

1

r

(Cd1

2− 1

)+ 1 + Cd2

− Cε2(3.5)

r atteint sa valeur d’équilibre req quand DrDt → 0. On obtient alors une relation entre les coefficients

de dissipation :

Cε2=

1

req

(Cd1

2− 1

)+ 1 + Cd2

(3.6)

En remplaçant cette définition de Cε2dans l’équation (3.5), on obtient :

1

r

Dr

Dτ=

(1

r− 1

req

)(Cd1

2− 1

)(3.7)

Newman, Launder et Lumley supposent que, au moins localement, r tend vers sa valeur d’équilibrede façon uniforme. Par conséquent, le terme

Cd1

2 − 1 doit être positif et ainsi :

Cd1≥ 2 (3.8)

De même, ils supposent que les deux termes de dissipation de l’équation pour εθ participent à ladiminution de kθ. Dès lors, ils imposent :

Cd2≥ 0 (3.9)

De plus, en étudiant le spectre de k, Aupoix [6] a montré que la constante Cε2du terme de destruction

de l’équation pour ε devait satisfaire :

1, 7 < Cε2< 2 (3.10)

et en étudiant le spectre de kθ, Daris [28] a montré que les constantes Cd1et Cd2

satisfaisaient :

3, 4 < 3Cd1

2+ req (Cd2

− Cε2) < 4 (3.11)

En introduisant la relation (3.6) dans (3.11), on obtient l’expression simplifiée suivante :

17

5< Cd1

+ 2reqCd2+ 1 − req < 4 (3.12)

Si maintenant on injecte la relation (3.6) dans (3.10), on a alors :

17

5req < Cd1

− 2 + 2reqCd2+ 2req < 4req (3.13)

3.2 Écoulements de couche limite 65

En soustrayant ces deux dernières relations, on aboutit alors à l’inégalité suivante :

17

5− 4req < 3 (1 − req) < 4 − 17

5req (3.14)

soit :

2

5< req <

5

2(3.15)

Le rapport des temps caractéristiques r atteint toujours une valeur d’équilibre, mais Warhaft et Lum-ley [87] ont montré que cette valeur à l’équilibre dépend des conditions expérimentales. Le modèle doitdonc être capable de fournir des valeurs de req variables.

L’analyse de ce type d’écoulement ne conduisant pas directement à des relations analytiques sur lesconstantes du modèle, on s’assurera néanmoins au chapitre 6 que les constantes choisies permettent unebonne représentation des écoulements homogènes.

3.2 Écoulements de couche limite

La couche limite est un écoulement rencontré très souvent dans les applications industrielles et faitl’objet de nombreuses études. En particulier, la bonne représentation de la réponse de l’écoulement augradient de pression est incontournable car ces gradients participent activement au phénomène de décol-lement qui doit être parfaitement bien représenté. Il s’agit de plus d’un écoulement relativement simple àétudier théoriquement et numériquement. En cela, on doit s’assurer que le modèle de turbulence à élaborerrestitue correctement la physique des phénomènes. L’analyse de la couche limite consiste à supposer qu’àgrand nombre de Reynolds les effets de la viscosité du fluide sont concentrés dans une zone en proximitéde la paroi, dite couche limite. On se place dans un cadre d’écoulement bidimensionnel, pour lequel lesvariations dans la direction y normale à la paroi sont prépondérantes devant les variations dans le sensx, sens de l’écoulement. Une analyse des ordres de grandeur des équations de Navier-Stokes moyennéeset de l’énergie permet de les réduire à :

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

∂u

∂x+

∂v

∂y= 0

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y= −dP

dx+

∂

∂y

(ν

∂u

∂y− u′v′

)

dP

dy= 0

u∂T

∂x+ v

∂T

∂y=

∂

∂y

(α

∂T

∂y− v′θ

)

(3.16)

On peut montrer que, si le nombre de Reynolds est suffisamment grand, alors deux zones peuvent êtredistinguées au sein de la couche limite (Fig. 3.1). La première, dite zone de proche paroi ou zone interne,est dominée par les effets visqueux. Elle se divise en trois parties : la sous-couche visqueuse qui estfaiblement influencée par la turbulence et où la vitesse et la température varient linéairement avec ladistance à la paroi réduite y+, la zone logarithmique où u+ et T + évoluent en ln (y+) que la couchelimite soit soumise ou non à un gradient de pression et une zone tampon qui sépare ces deux régions. Ladeuxième zone de la couche limite à grand nombre de Reynolds est appelée zone externe et comprend lazone logarithmique et la zone dite de sillage, de par l’allure du profil qui rappelle celui d’un sillage (zonede vitesse déficitaire). La région interne et la région externe de la couche limite sont donc raccordées parla zone logarithmique, dite alors zone de recouvrement.

66 Chapitre 3 : Contraintes sur le modèle

FIG. 3.1 – Représentation multi-domaines de la couche limite

3.2.1 Zone logarithmique

3.2.1.1 Généralités

3.2.1.1.1 Couche limite sans gradient de pression

Dans la zone interne d’une couche limite, les termes de convection peuvent être négligés. Si de plus, lacouche limite en question n’est soumise à aucun gradient de pression, les équations (3.16) deviennent :

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

−u′v′ + ν∂u

∂y=

τp

ρ= cste

−v′θ + α∂T

∂y=

−qp

ρCp= cste

(3.17)

avec τp la contrainte de frottement pariétal et qp le flux de chaleur fourni à la paroi (positif si la paroi estchauffée et négatif si elle est refroidie). D’autre part, si la région de paroi est d’épaisseur suffisammentfaible, l’équation de quantité de mouvement indique que le frottement total reste approximativement égalau frottement pariétal, ainsi :

τ = −ρu′v′ + μ∂u

∂y= τp (3.18)

Il est possible de faire le même raisonnement avec le flux de chaleur pariétal et ainsi d’écrire :

−q = −ρCpv′θ + λ∂T

∂y= −qp (3.19)

On en conclut que, dans cette zone, la vitesse est entièrement pilotée par le frottement à la paroi, ladistance à la paroi et les caractéristiques du fluide μ et ρ. De même, la température peut être déduitedu flux de chaleur pariétal, de la température de paroi Tp, de la contrainte de frottement τp, de ρ, de ladistance à la paroi y et de la diffusivité α, elle-même reliée à μ par l’intermédiaire du nombre de Prandtl.

u = u (τp, ρ, μ, y) (3.20)

T = T (−qp, Tp, τp, ρ, α, y) (3.21)

3.2 Écoulements de couche limite 67

Dans cette zone, les profils de vitesse et de température sont par conséquent indépendants des condi-tions dans lesquelles évolue l’écoulement loin de la paroi.

L’utilisation du théorème de Vashy-Buckingham permet de former des variables réduites, en adimen-sionnant u et T par différentes variables de frottement, telles que :

uτ =

√τp

ρ; Tτ =

qp

ρCpuτ(3.22)

où uτ est la vitesse de frottement et Tτ est la température de frottement, introduite par Squire [80]. Ainsi,les variables réduites sont définies par :

y+ =yuτ

ν; u+ =

u

uτ; T + =

Tp − T

Tτ(3.23)

En rappelant que Pr = ν/α, on peut écrire :

u+ = f

(y+)

T + = fθ

(y+, P r

) (3.24)

A contrario, dans la zone externe et si le nombre de Reynolds est suffisamment grand, l’écoulement estentièrement piloté par la turbulence. Les échelles de longueur dynamique et thermique sont respectivementde l’ordre de δ et δt (épaisseurs des couches limites dynamique et thermique) et les fluctuations de vitesseet de température sont de l’ordre de uτ et Tτ . D’autre part, on admet que les échelles de temps de laturbulence sont imposées par le cisaillement ∂u

∂y et par le gradient de température ∂T∂y . À une abscisse x,

on doit avoir :

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

∂u

∂y=

uτ

δF ′(y

δ

)

∂T

∂y=

Tτ

δtF ′

θ

(y

δt

) (3.25)

Soit, en intégrant depuis l’extérieur :⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

ue − u

uτ= F (η) avec η =

y

δ

T − Te

Tτ= Fθ (ηθ) avec ηθ =

y

δt

(3.26)

Dans la région de recouvrement, on doit avoir un raccord entre les deux zones décrites plus haut, soit :⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

uτ2

ν

df

dy+= −uτ

δF ′ (η)

uτTτ

ν

dfθ

dy+= −Tτ

δtF ′

θ (ηθ)

(3.27)

On multiplie de part et d’autre par y :⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

y+ df

dy+= −ηF ′ (η)

y+ dfθ

dy+= −ηθF

′θ (ηθ)

(3.28)

Or, f et fθ sont indépendantes de η et de ηθ, alors que F et Fθ sont, quant à elles, indépendantes de y+.Ceci implique que y+ df

dy+ et y+ dfθ

dy+ sont des constantes et les profils suivants sont obtenus :

68 Chapitre 3 : Contraintes sur le modèle

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

u+ =1

κln(y+)

+ C

T + =1

κtln(y+)

+ Cθ

(3.29)

Cette première zone étudiée correspond donc à une région où la vitesse et la température évoluent enlogarithme de la distance à la paroi. D’après le système (3.26), on obtient, en variables déficitaires :

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

ue − u

uτ= − 1

κln (η) + B

T − Te

Tτ= − 1

κtln (ηθ) + Bθ

(3.30)

Expérimentalement, on trouve κ = 0, 41 et κt = 0, 48. C ∼ 5, 2 et Cθ varie, selon les auteurs, entre 2et 3,8. En revanche, B et Bθ ne sont pas des constantes universelles et dépendent entre autres du gradientde pression.

Les figures suivantes (Fig. 3.2) et (Fig. 3.3) mettent en évidence la zone logarithmique pour les profilsde vitesse et de température. Les expériences de Spalart [78] et de Smith et Smits [75] se réfèrent au champdynamique, celles de Subramanian et Antonia [81] se rapportent au champ thermique. Les expériencessont comparées aux profils théoriques vus plus haut.

FIG. 3.2 – Profil de vitesse. Expérience de Smith etSmits [75]

FIG. 3.3 – Profil de température. Expérience de Su-bramanian et Antonia [81]

3.2.1.1.2 Couche limite soumise à un gradient de pression modéré

On s’intéresse maintenant à une couche limite soumise à un gradient de pression adverse (APG pourAdverse Pressure Gradient) modéré. Ce gradient modifie logiquement la loi de frottement et ainsi, leséquations (3.17) deviennent :

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

−u′v′ + ν∂u

∂y=

τp

ρ+

y

ρ

dP

dx= cste

−v′θ + α∂T

∂y=

−qp

ρCp= cste

(3.31)

On peut récrire ces équations en variables de paroi (en négligeant la partie visqueuse) :

3.2 Écoulements de couche limite 69

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

−u′v′+

=−u′v′

uτ2

= 1 + p+y+

v′θ+

=−v′θ

uτTτ= 1

(3.32)

où p+ = νρuτ

3dPdx .

A priori, la démonstration faite pour le cas où on n’appliquait aucun gradient de pression reste valable,à l’exception du fait que, cette fois-ci, f et fθ dépendent désormais de p+, ainsi que les coefficients κ,κt, C et Cθ. Galbraith [32] montre qu’en réalité le profil de vitesse dans la zone logarithmique n’est pasaffecté par la présence d’un gradient de pression, même si la zone en sillage a tendance à s’agrandir etdonc à empiéter sur la zone logarithmique. Ces résultats sont confirmés par les expériences de Skåre et al.

[73] (Fig. 3.4). On observe qu’il existe une zone pour laquelle κ = 0, 41 est toujours valable.

FIG. 3.4 – Expérience de Skåre et Krogstad [73] (p+= 0, 018)

En revanche, pour le profil de température, Perry et al. [65] ont montré, à partir de résultats expérimen-taux, que la pente de la loi logarithmique thermique est modifiée par la présence d’un gradient de pression.Cette constatation est confirmée par Huang et Bradshaw [39] qui remarquent que la pente diminue (doncque κt augmente) quand le gradient de pression augmente. La figure (Fig. 3.5) représente l’évolutionde T + en fonction de y+ en présence d’un gradient de pression, d’après les expériences d’Orlando et al.

[62]. On constate que la loi logarithmique avec κt = 0, 48 ne correspond plus aux résultats expérimentaux.

Les données expérimentales portant sur une couche limite soumise à un gradient de pression sontrelativement rares. De fait, il est impossible de définir expérimentalement la valeur de κt de la nouvelleloi logarithmique thermique. Néanmoins, Huang et Bradshaw [39] montrent que le nombre de Prandtlturbulent Prt = νt/αt demeure quasiment constant dans la zone logarithmique et ce malgré le gradientde pression. La figure (Fig. 3.6) retrace la valeur de ce paramètre pour différentes intensités du gradientde pression. On introduit β, paramètre de gradient de pression de l’écoulement considéré, tel que :

β = − δ

uτ

due

dx(3.33)

70 Chapitre 3 : Contraintes sur le modèle

FIG. 3.5 – Expérience d’Orlando et al. [62] (p+= 0, 0197)

10 100 1000

y+

0.0

0.5

1.0

1.5

Pr t

Fulachier (p+=0)

Blackwell (p+=0.0081)

Orlando (p+=0.0197)

Prt=0.85

FIG. 3.6 – Évolution du nombre de Prandtl turbulent avec le gradient de pression

Cette figure réunit les expériences de Subramanian et Antonia [81] pour β = 0, de Blackwell et al.

[10] pour β = 0, 0081 et enfin celles d’Orlando [62] pour β = 0, 0197. On constate que dans la zonelogarithmique (y+ compris entre 50 et 250) le nombre de Prandtl turbulent est relativement constant etoscille entre 0,8 et 1.

Les travaux de Daris [28] ont conduit, grâce à ce constat, à définir une nouvelle abscisse adimensionnéeζ, autre que y+, pour laquelle la loi logarithmique conserve sa pente, quel que soit le gradient de pressionimposé. La démarche, que nous aurons l’occasion d’introduire dans le paragraphe suivant, consiste àdévelopper chaque grandeur en p+y+, en supposant que ce paramètre reste petit. Ainsi, on a entre autres,en développant à l’ordre 1 en p+y+ :

κ = κ0 + κ1p

+y+

κt = κt0 + κt1p+y+

(3.34)

De plus, à partir des évolutions de u+ et de T + définies en (3.29), on peut déduire les dérivéessuivantes :

3.2 Écoulements de couche limite 71

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

∂u+

∂y+=

1

κy+

∂T +

∂y+=

1

κty+

(3.35)

À partir de là et de l’observation du comportement de Prt dans la zone logarithmique, il s’ensuit :

Prt = cste =−u′v′

+

−v′θ+

∂T+

∂y+

∂u+

∂y+

=1 + p+y+

1

κ0 + κ1p+y+

κt0 + κt1p+y+

=κ0

κt0

[1 +

(1 +

κ1

κ0− κt1

κt0

)p+y+ + 0

(p+y+

)2]

(3.36)

Pour que le nombre de Prandtl turbulent soit effectivement indépendant du gradient de pression, ilfaut que le terme 1 + κ1

κ0− κt1

κt0soit nul. Or, on a vu que la pente de la loi logarithmique dynamique était

inchangée avec le gradient de pression, donc κ1 est nul. La relation en résultant est :

κt1

κt0

= 1 (3.37)

On considère à nouveau l’expression du gradient de température en variables adimensionnées :

∂T +

∂y+=

1

κty+=

1

(κt0 + κt1p+y+) y+

=1

κt0

(1

y+−

κt1

κt0p+

1 +κt1

κt0p+y+

)(3.38)

soit :

T + =1

κt0

ln

(y+

1 +κt1

κt0

p+y+

)+ cste =

1

κt0

ln

(y+

1 + p+y+

)

︸ ︷︷ ︸ζ

+cste (3.39)

Ainsi, à p+ fixé, la température adimensionnée possède à nouveau la même pente logarithmique engradient de pression en fonction de l’ordonnée adimensionnée ζ qu’en l’absence de gradient de pression,mais en fonction de l’ordonnée adimensionnée y+. C’est ce qu’on peut confirmer sur la figure (Fig. 3.7),avec la représentation de résultats expérimentaux de Houra [38], pour différentes valeurs de gradient depression.

FIG. 3.7 – Vérification de l’hypothèseκt1

κt0= 1. Expériences de Houra [38], p+

= 0, p+= 0, 0087, p+

= 0, 018 et

p+= 0, 024

72 Chapitre 3 : Contraintes sur le modèle

3.2.1.2 Contraintes

On vient de voir que dans la zone interne d’une couche limite soumise à un gradient de pression, letenseur des contraintes et le flux de chaleur adimensionné s’expriment comme :

−u′v′+

= 1 + p+y+ (3.40)

−v′θ+

= 1 (3.41)

On décide alors de développer toutes les grandeurs physiques au premier ordre en p+y+ (petit para-mètre). Ainsi : ⎧

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

k+ = k0+ + k1

+p+y+

ε+ = ε0+ + ε1

+p+y+

φ+ = kaεb = φ0+ + φ1

+p+y+

κ = κ0 + κ1p+y+

et

kθ+ = kθ0

+ + kθ1+p+y+

ε+θ = εθ0

+ + εθ1+p+y+

φ+θ = kcεdkθ

pεθq = φθ0

+ + φθ1+p+y+

κt = κt0 + κt1p+y+

(3.42)

Les quantités ν+t et α+

t s’expriment de la manière suivante :⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

ν+t = −u′v′

+

∂u+

∂y+

=(1 + p+y+

)κy+

α+t =

v′θ+

∂T +

∂y+

= κty+

(3.43)

Le développement des équations thermiques nécessitant la connaissance des grandeurs dynamiques,il paraît indispensable de décrire en premier lieu le développement des équations du modèle EARSM deWallin et Johansson [86], introduit au premier chapitre.

3.2.1.2.1 Contraintes sur le modèle EARSM de Wallin et Johansson

La définition de la vitesse dans la zone logarithmique nous permet d’écrire :

∂u+

∂y+=

1

κy+(3.44)

Il est possible d’exprimer la composante b12 du tenseur d’anisotropie de deux manières :

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

b12 =u′v′

+

2k+

b12 =1

2

k+

ε+

∂u+

∂y+β1

(3.45)

où β1 est le premier coefficient de la formulation EARSM (1.71).

3.2 Écoulements de couche limite 73

Ainsi, on développe les expressions à l’ordre 0 et à l’ordre 1 en p+y+.On peut appliquer, à l’ordre 0, la relation de Bradshaw :

−u′v′ = k√

Cµ (3.46)

Dès lors, b120 doit être égal à√

Cµ/2. Ainsi, on doit imposer la contrainte que la forme de b120 nedoit pas dépendre de y+ dans cette région :

b120 = −3

2

k+0 A2

(A1κ0y

+ε+0 + A′

1

)

3A21κ0

2y+2ε+0

2+ 6A1κ0y+ε+

0 A′1 + 3A′

12 − k+

0

2A3

2 + 3k+0

2 (3.47)

nous indique que la composante ε+0 doit être égale à :

ε+0 =

1

κ0y+(3.48)

Ainsi :

b120 = −3

2

k+0 A2 (A1 + A′

1)

3A21 + 6A1A′

1 + 3A′12 − k+

0

2A3

2 + 3k+0

2 (3.49)

Il est alors possible, à partir du système (3.45), d’accéder aux grandeurs k+0 et k+

1 . On montre alorsque k+

1 dépend linéairement de y+ et peut donc s’écrire de manière symbolique :

k+1 = Ay+ (3.50)

k+0 s’écrit :

k+0 =

√9A2A′

1 + 9A2A1 + 3A32 − 9 (A1 + A′

1)

3A2A′1 + 3A2A1 + A2

3 − 3(3.51)

L’expression de b120 s’écrit alors simplement :

b120 = −1

6

√9A2A′

1 + 9A2A1 + 3A32 − 9

A1 + A′1

(3.52)

On peut remarquer que, dans le cas particulier d’une relation constitutive de type Boussinesq, on ales relations suivantes :

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

k+0 =

1√Cµ

b120 =−√

Cµ

2

(3.53)

En introduisant les expressions de ε+0 et de k+

0 dans N (rappelons que dans la formulation EARSMétudiée N = A1 + A′

1Pk

ε ), alors on obtient à l’ordre 0 N0 = A1 + A′1, ce qui était prévisible puisque

dans la zone logarithmique, on a un équilibre entre la production et la dissipation d’énergie cinétique deturbulence, soit Pk = ε. En développant cette fois N à l’ordre 1, on s’aperçoit logiquement que N1 dépendde ε+

1 , qui est a priori fonction de y+ :

N1

(y+)

=

(ε+1 (y+)κ0

2 − κ+0 + κ1

)y+A′

1

κ0(3.54)

Afin de déterminer la dépendance de ε+1 vis-à-vis de y+, on écrit l’équation de transport de k+ qu’on

développe à l’ordre 1. Il en résulte que le coefficient ε+1 est constant et que par conséquent N1 varie

linéairement avec y+.

74 Chapitre 3 : Contraintes sur le modèle

Finalement, l’étude de l’équation de transport de φ+ respectivement à l’ordre 0 et à l’ordre 1 nousmène à l’obtention des coefficients κ0 et κ1. L’expression de κ0 est la suivante :

κ0 =

⎛⎜⎜⎝

1

3

√3√

3A2A′1 + 3A2A1 + A2

3 − 3 (Cφ2− Cφ1

)

b2 (A1 + A′1)

(Cφφ+ 1

σφ

)

⎞⎟⎟⎠

12

(3.55)

Celle de κ1 étant trop complexe, nous ne la détaillerons pas ici. Il faut cependant noter que, toutcomme κ0, elle dépend logiquement de l’échelle transportée, c’est-à-dire des coefficients a et b définissantcette échelle φ = kaεb, des constantes intervenant dans le modèle à deux équations sous-jacent k − φ etévidemment, des coefficients du modèle EARSM.

Imposer κ0 = 0, 41 et κ1 = 0 a permis d’établir des premières relations sur les constantes du modèleEARSM.

Le tableau (TAB. 3.1) regroupe les valeurs de κ0 et κ1 obtenues à partir des modèles k − ε de Bézard[13] et k − kL de Daris [28], en association avec la formulation EARSM.

Théorie k − ε + EARSM k − kL + EARSMκ0 0,41 0,409 0,411κ1 0 0,75 0,003

TAB. 3.1 – Performances dans la zone logarithmique des modèles k − ε [13] + EARSM et k − kL [28] + EARSM

On note de meilleures performances, pour la zone logarithmique en gradient de pression, pour lemodèle k− kL avec EARSM que pour le modèle k− ε avec EARSM. Toutefois, ceci est cohérent, puisquele modèle k−kL a été calibré en association avec la formulation EARSM de façon à satisfaire la contrainteκ1 = 0.

Pour le modèle k − ε, on retrouve le résultat connu que les modèles k − ε donnent une très mauvaiseprévision du comportement en gradient de pression positif, même en présence de la formulation EARSM.

À présent, nous allons suivre cette méthodologie pour l’analyse du modèle algébrique thermique,toujours dans la zone logarithmique d’une couche limite soumise à un gradient de pression modéré.

3.2.1.2.2 Contraintes sur le modèle EAHFM

On rappelle l’expression du gradient de température :

∂T +

∂y+=

1

κty+(3.56)

Le flux de chaleur adimensionné ξ2 peut être obtenu de deux manières : soit à partir de sa définition,

c’est-à-dire de l’adimensionnement du flux v′θ+

par√

k+k+θ , soit à partir de la formulation algébrique

EAHFM. Ainsi :⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

ξ2 =v′θ

+

√k+k+

θ

ξ2 = −c′θ4A−12j

(2bj2 +

2

3δj2

)k+

ε+

√k+

k+θ

∂T +

∂y+

(3.57)

avec :⎧⎨⎩

A21 = (cS − cΩ)S12

A22 = Nθδ22 + cSS22

(3.58)

3.2 Écoulements de couche limite 75

L’analyse de l’équation de transport de k+θ à l’ordre 0 nous indique que kθ0

+ ne dépend pas de y+.

Or, le flux adimensionné ξ2 est égal à −v′θ+√

k+k+

θ

et on a vu que k+0 est indépendant de y+. Par conséquent,

le flux ξ20 doit être constant dans la zone logarithmique sans gradient de pression. Si maintenant ondéveloppe la deuxième expression du système (3.57) à l’ordre 0, on s’aperçoit, comme pour b120, que poursupprimer la dépendance de ξ20 en y+, il faut vérifier la relation :

εθ0+ =

1

κt0y+(3.59)

Ainsi :

ξ20 = 4cθ4′k+

0 κ0

√k+0 κt0

3k+0 b120kθ

+0 κt0 (cΩ − cS) + 2

((cθ1

′ − cθ5)κ0k+0 + cθ1

′κt0kθ+0

)(1 + 3b220)

3[4((cθ1

′ − cθ5)κ0k+0 + cθ1

′κt0kθ+0

)2+ (cΩ

2 − cS2) k+

0

2kθ

+0

2κt0

2]

(3.60)En résolvant le système (3.57), on obtient la solution pour k+

θ . À l’ordre 0 on a :

kθ+0 = 2k+

0 κ0 (cθ5 − cθ1′)(2cθ4

′κ0k+0

2(1 + 3b220) − 6cθ1

′κt0

).

k+0

√4κ0cθ4

′k+0

(κ0cθ4

′k+0 (1 + 3b220)

2 + 9b120κt0 (cΩ − cS))

+ 9 (cS2 − cΩ

2) κt02

κt0

((3κt0 (cS

2 − cΩ2) k+

0

2 − 12cθ1′2)

+ 4cθ4′κ0k

+0

2 (3k+

0 b120 (cΩ − cS) + 2cθ1′ + 6cθ1

′b220

))

(3.61)

Signalons, que pour un modèle de type Boussinesq, on a, à l’ordre 0 :

kθ+0 =

r√Cµ

avec r = cste =1

2(3.62)

Si on développe à l’ordre 1, on peut simplement montrer que kθ+1 varie linéairement avec y+ :

kθ+1 = Ay+ (3.63)

À ce stade, on introduit les valeurs de εθ+0 , de kθ

+0 et la dépendance en y+ de kθ

+1 dans les équations.

Si on développe à l’ordre 0 l’expression pour Nθ = 12

(2cθ1 − 1 − 1

r + Pk

ε

)+ 1

rPθ

εθ

(12 − cθ5

), alors :

Nθ0 = cθ1′ + (cθ1

′ − cθ5)k+0 κ0

kθ0+κt0

(3.64)

et on retrouve logiquement, à l’ordre 0, c’est-à-dire sans gradient de pression, que :

Pk

ε= 1 (3.65)

et

Pθ

εθ= 1 (3.66)

Ceci constitue une première vérification puisque dans une couche limite sans gradient de pression,on observe dans la zone logarithmique un équilibre d’une part entre la production et la dissipationd’énergie cinétique turbulente k et d’autre part entre la production et la dissipation de la demi-variancedes fluctuations de température kθ.

76 Chapitre 3 : Contraintes sur le modèle

On développe cette fois Nθ à l’ordre 1, et par analogie avec N pour la dynamique, on note que Nθ1

dépend de εθ+1 . L’étude de l’équation de transport de k+

θ à l’ordre 1 nous renseigne sur l’indépendancede εθ

+1 vis-à-vis de y+. Ainsi, Nθ1 évolue linéairement avec y+.

Finalement, en remplaçant chacune des grandeurs dans l’équation de transport de φθ+ et en dévelop-

pant respectivement à l’ordre 0 et à l’ordre 1, on obtient les expressions de κt0 et de κt1. De par leurcomplexité, nous ne les détaillerons pas ici. Il faut néanmoins noter que ces deux quantités dépendentévidemment du champ dynamique, au travers de la constante de von Kármán κ et des constantes dumodèle dynamique (deux équations + EARSM). De plus, la deuxième échelle thermique transportée in-tervient naturellement dans la solution, via les coefficients c, d, p et q tels que φθ = kcεdkp

θεqθ. Enfin, les

constantes du modèle sous-jacent sont également présentes.

En conclusion, imposer κt0 = 0, 48 et κt1 = κt0 = 0, 48 conduit à deux relations que les constantes dumodèle EAHFM doivent satisfaire. À ce stade, on remarque que la détermination de ces constantes esten partie conditionnée par le modèle à quatre équations utilisé.

3.2.2 Zone en racine

3.2.2.1 Généralités

L’étude de l’effet d’un gradient de pression adverse intense sur une couche limite a été premièrementmenée par Townsend [84]. Pour un écoulement de couche limite à grand nombre de Reynolds, auquel unfort gradient de pression adverse (p+ grand) est appliqué, il se crée alors, à la frontière de la zone interne,une région dite région en racine, située au-dessus de la région logarithmique, où le terme p+y+ est granddevant 1. Les équations (3.17) deviennent :

⎧⎨⎩

−u′v′+

= 1 + p+y+ ∼ p+y+

v′θ+

= 1(3.67)

Pour modéliser le tenseur de Reynolds, on utilise l’hypothèse de Boussinesq qui le relie au tenseur desdéformations par l’hypothèse de viscosité turbulente νt. Cette dernière, de la dimension d’un produit devitesse

√k par une longueur l, s’écrit :

νt = Cµl√

k (3.68)

avec Cµ la constante de proportionnalité (Cµ = 0, 09).

On suppose de plus que la longueur l est proportionnelle à la distance à la paroi y, ce qui est vérifiéexpérimentalement :

l = κy (3.69)

où κ est la constante de von Kármán (κ = 0, 41).

Les courbes (Fig. 3.8) et (Fig. 3.9) représentent les profils de vitesse adimensionnée et le rapport−u′v′/k pour l’expérience de Skåre et Krogstad [73] de couche limite soumise à un gradient de pressionintense. On observe qu’il existe une région où le rapport −u′v′/k est constant, région qui se situe au-dessusde la zone logarithmique. On écrira donc :

−u′v′

k= 2a1 (3.70)

avec a1 =√

Cµ

2 ≈ 0, 15.Cette zone possède donc les propriétés de la zone interne (où la convection est négligeable) et de plus

présente la caractéristique d’un rapport −u′v′/k constant. Elle se limite donc à une région qui correspondà la zone au-dessus de la zone logarithmique et sous la zone de sillage.

3.2 Écoulements de couche limite 77

FIG. 3.8 – Profil de vitesse en variables adimension-nées

FIG. 3.9 – Rapport −u′v′

k

Au final, on peut écrire :

−u′v′ = νt∂u

∂y= Cµl

√k

∂u

∂y=

√−u′v′

2a1Cµκy

∂u

∂y(3.71)

soit :

∂u

∂y=

√−u′v′

κy(3.72)

avec Cµ = (2a1)2

= 0, 09. En variables de paroi, on obtient :

∂u+

∂y+=

1

κ

√p+

y+(3.73)

Soit, en intégrant :

u+ =2

κ

√p+y+ + cste (3.74)

où la constante d’intégration dépend entre autres du gradient de pression imposé.

Ainsi, il existe une zone où, pour p+y+ suffisamment grand et à nombre de Reynolds élevé, la vitesseévolue en racine carrée de y+. L’existence de cette loi dite en racine est mise en valeur par les expériencesde Skåre et Krogstad [73] pour lesquelles p+ = 0, 018, dont les résultats sont reportés sur la (Fig. 3.10).La vitesse u+ est tracée en fonction de

√p+y+.

Intéressons-nous à présent à l’aspect thermique. On invoque toujours l’hypothèse que le nombre dePrandtl turbulent est insensible au gradient de pression, ce qui semble être vérifié expérimentalement(Fig. 3.6). Cette supposition, ainsi que la relation −u′v′

+= p+y+, ne sont valables encore une fois que

dans un domaine restreint situé au-dessus de la zone logarithmique. On peut écrire :

v′θ+

= 1 = α+t

∂T +

∂y+=

ν+t

Prt

∂T +

∂y+(3.75)

or :

ν+t = κy+

√p+y+ (3.76)

d’où :

78 Chapitre 3 : Contraintes sur le modèle

FIG. 3.10 – Mise en évidence de la loi en racine pour la vitesse. Expérience de Skåre et Krogstad [73]

v′θ+

= 1 = y+√

p+y+κ

Prt

∂T +

∂y+

⇒ ∂T +

∂y+=

Prt

κ

1

y+√

p+y+

⇒ T + = −2Prt

κ

1√p+y+

+ cste

(3.77)

Ici encore, la constante dépend du gradient de pression appliqué. Notons que Prt/κ = Prt/κ0 (puisqueκ est insensible au gradient de pression) n’est pas égal à la constante de von Kármán thermique κt, carcette dernière varie avec le gradient de pression, comme vu au paragraphe précédent.Cette zone en racine thermique a notamment été mise en évidence, expérimentalement, par Perry et al..Les seules données expérimentales permettant de confirmer la présence de cette zone sont les travauxd’Orlando et al. [62] pour p+ = 0, 0197 et ceux de Perry et al. [65] pour p+ = 0, 0137. Leurs résultatssont tracés sur les figures (Fig. 3.11) et (Fig. 3.12) où les profils de T+ évoluent linéairement en fonctionde −1/

√p+y+, avec la pente 2Prt

κ = 2κt0

≃ 20,48 ≃ 4, 28.

3.2.2.2 Contraintes

De même que les modèles dynamique et thermique doivent vérifier certaines contraintes pour bien re-présenter la physique d’un écoulement de couche limite soumise à un gradient de pression nul ou modéré,ils doivent assurer aussi une bonne représentation de la loi en racine.

On a vu, que dans la zone en racine, les relations suivantes pouvaient être établies :

3.2 Écoulements de couche limite 79

FIG. 3.11 – Expérience d’Orlando et al. [62] FIG. 3.12 – Expérience de Perry et al. [65]

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

−u′v′+

= p+y+

u+ = 2κ

√p+y+ + cste

v′θ+

= 1

T + = −2Prt

κ

1√p+y+

+ cste

(3.78)

Afin de simplifier l’écriture du problème, on introduit les vitesse et température de pression définiespar :

up =

(ν

ρ

dP

dx

) 13

(3.79)

Tβ =qp

ρCpup(3.80)

L’idée consiste alors à adimensionner par ces quantités toutes les grandeurs régissant l’écoulement etainsi :

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

y =yup

ν; u =

u

up; k =

k

u2p

; ε =εν

u4p

T =Tp − T

Tβ; kθ =

kθ

Tβ2 ; εθ =

εθν

Tβ2u2

p

(3.81)

de sorte qu’on a maintenant :⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

−u′v′ =−u′v′

u2p

= y ; u =2

κ

√y + cste ; k =

y√Cµ

; ε =

√y

κ

−v′θ =−v′θ

upTβ= −1 ; T = −2Prt

κ

1√y

+ cste ; kθ =

√Cµ

Cλy

(3.82)

εθ est ici trop complexe à exprimer, puisque il dépend des coefficients m et n définissant la diffusivitéturbulente.

On exprime alors les différentes grandeurs physiques en puissance de y :

80 Chapitre 3 : Contraintes sur le modèle

⎧⎨⎩

u = Auyru ; k = Ak yrk ; φ = Aφyrφ ; ε = Aεyrε

T = AT yrT ; kθ = Akθyrkθ ; φθ = Aφθ

yrφθ ; εθ = Aεθyrεθ

(3.83)

Les taux de dissipation de k et kθ sont donnés par :⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

ε =φ

1b

kab

εθ =φθ

1q

kcq ε

dq kθ

pq

(3.84)

On peut donc en tirer les relations suivantes :

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

rε =1

brφ − a

brk ; Aε = Aφ

1b Ak

− ab

rεθ=

1

qrφθ

− c

qrk − d

qrε −

p

qrkθ

; Aεθ= Aφθ

1q Ak

− cq Aε

− dq Akθ

− pq

(3.85)

Comme pour l’étude de la zone logarithmique, on va dans un premier temps s’intéresser au compor-tement du modèle dynamique EARSM pour ensuite aborder la partie thermique du problème.

3.2.2.2.1 Contraintes sur le modèle EARSM de Wallin et Johansson

En premier lieu, on récrit tous les termes intervenant dans la formulation algébrique en variablesadimensionnées.On s’intéresse ensuite à l’équation de transport de k, où le terme de convection est toujours négligé :

0 = Pk − ε +d

dy

(νt

σk

dk

dy

)(3.86)

où νt =−u′v′

du/dy.

On écrit tout d’abord le fait que la production, la dissipation et la diffusion doivent avoir la mêmeimportance, c’est-à-dire que leurs évolutions avec y doivent être identiques. Ceci entraîne deux relationsentre les puissances ru, rk et rφ :

⎧⎪⎨⎪⎩

ru =rφ − ark

b

ru = rk

(a

b+ 1)− rφ

b

(3.87)

On fait de même avec l’équation de transport de φ pour laquelle, encore une fois, la convection estnégligée :

0 = Cφ1Pk

φ

k− Cφ2

εφ

k+

d

dy

(νt

σφ

dφ

dy

)

+Cφφνt1

φ

dφ

dy

dφ

dy+ Cφk νt

1

k

dk

dy

dφ

dy+ Ckk νt

φ

k2

dk

dy

dk

dy

(3.88)

On égalise toutes les puissances de y des différents termes et ainsi on obtient une dernière relation :

rφ = a +b

2(3.89)

3.2 Écoulements de couche limite 81

Finalement, on parvient à :

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

ru =1

2

rk = 1

rφ = a +b

2

(3.90)

On retrouve donc le fait que la vitesse évolue en racine carrée de la distance à la paroi. Par conséquent,la viscosité turbulente a le comportement suivant :

νt = Aνty

32 (3.91)

avec :

Aνt=

1

Auru(3.92)

De plus, on remarque que l’énergie cinétique dépend linéairement de y, ce qui est corroboré par l’hy-pothèse de Bradshaw (−u′v′ =

√Cµk).

La puissance rφ, quant à elle, dépend logiquement des coefficients a et b relatifs à l’échelle transportée.Il convient de remarquer que la détermination des puissances de y intervenant dans la définition des dif-férentes grandeurs dynamiques est indépendante de la relation constitutive adoptée. En effet, à ce stade,la relation algébrique n’a pas encore été utilisée. Nous allons voir que les choses sont différentes pour lecalcul de Au, Ak et Aφ.

Les équations de transport de k (3.86) et de φ (3.88) nous fournissent deux premières relations. Deplus, si on écrit que la composante b12 du tenseur d’anisotropie peut être obtenue d’une part par sa

définition à partir de u′v′ et k et d’autre part par la formulation EARSM, alors s’ensuit l’équation :

b12 =u′v′

2k=

1

2

k

εβ1

du

dy(3.93)

qui constitue la dernière relation nécessaire à la détermination des trois coefficients Au, Ak et Aφ.

Ces trois relations conduisent au système suivant :

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

0 = A2uσk − 2Aφ

1b Ak

− ab Auσk + 6Ak

0 = −A2uσφCφ1

+ 2AuσφCφ2Aφ

1b Ak

− ab − 2Aka − 4Aka2 − 4Akba − Akb − Akb2 − 4CφφAkσφa2

−4CφφAkσφab − CφφAkσφb2 − 4CφkAkσφa − 2CφkAkσφb − 4CkkAkσφ

0 = 12A−2a

b

k Aφ2b A2

1 + 12Ak− a

b Aφ1b A1A

′1Au + 3A′

12Au

2 + 3Ak2Au

2

−Ak2Au

2A32 − 6Ak

− a−2bb Aφ

1b AuA2A1 − 3Ak

2Au2A2A

′1

(3.94)Ces relations représentent des contraintes sur les constantes du modèle algébrique, de manière à ce

qu’il respecte au mieux les valeurs théoriques de Au = 2/κ0 ≃ 4, 87 et de Ak = 1/√

Cµ ≃ 3, 33. Il fautnoter que la majorité des modèles existants conduisent à une valeur de A2

u négative et donc ne satisfontpas cette loi en racine pour le profil des vitesses.

Les valeurs de Au et Ak obtenues avec les modèles k − ε de Bézard [13] et k − kL de Daris [28],associés à la formulation EARSM sont rassemblées dans le tableau (TAB. 3.2). On retrouve le fait quele modèle k − kL en association avec la formulation EARSM est plus performant que le modèle k − εutilisé avec cette même formulation. On peut signaler que le modèle k − ε Boussinesq ne permet pas une

82 Chapitre 3 : Contraintes sur le modèle

représentation physique de la loi en racine, puisqu’il fournit une valeur de A2u négative. La formulation

EARSM supprime cette anomalie.

Théorie k − ε + EARSM k − kL + EARSMAu 4,88 11,44 3,45Ak 3,33 3,35 3,72

TAB. 3.2 – Performances dans la zone en racine des modèles k − ε [13] + EARSM et k − kL [28] + EARSM

La démarche suivie ici pour la constitution de relations analytiques permettant la calibration desconstantes sera également adoptée pour l’étude de la zone en racine thermique.

3.2.2.2.2 Contraintes sur le modèle EAHFM

On s’intéresse ici à l’équation de transport de kθ dans laquelle la convection est négligée. En variablesadimensionnées par les grandeurs de pression, elle s’écrit :

0 = Pθ − εθ +d

dy

(αt

σkθ

dkθ

dy

)(3.95)

où αt =−v′θ

dT /dy.

La production, la dissipation et la diffusion de kθ doivent avoir le même poids dans cette équationet par conséquent la même évolution avec y. On égalise donc les puissances de y et obtient alors deuxrelations :

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

rT = 1 +rφθ

q− p

qrkθ

− c

q− 1

2

d

q

rT =rkθ

2

(3.96)

On procède de la même manière avec l’équation pour φθ :

0 =φθ

2kθ

(Cp1

Pθ − Cd1εθ

)+

φθ

k

(Cp2

Pk − Cd2ε)

+d

dy

(αt

σφθ

dφθ

dy

)

+Cφθφθαt

1

φθ

dφθ

dy

dφθ

dy+ Cφθkθ

αt1

kθ

dkθ

dy

dφθ

dy+ Ckθkθ

αtφθ

k2θ

dkθ

dy

dkθ

dy

(3.97)

On égalise ensuite toutes les puissances de y des différents termes de cette équation et ainsi, on obtientune troisième relation :

rt = −1

2(3.98)

Finalement :

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

rT = −1

2

rkθ= −1

rφθ= c +

d

2− p − 3

2q

(3.99)

On vérifie donc que la température suit une évolution en −1/√

y comme le prévoit la théorie. Il s’ensuitque la diffusivité turbulente évolue de la manière suivante :

3.3 Frontière entre un écoulement turbulent et un écoulement non turbulent 83

αt = Aαty

32 (3.100)

avec :

Aαt=

1

AT rT(3.101)

On remarque qu’elle se comporte comme la viscosité turbulente, ce qui confirme que le nombre dePrandtl turbulent reste constant dans cette région. Les expériences l’évaluant à 0,8-0,9, nous prendronsPrt = 0, 85 comme valeur à imposer au modèle. Au vu de la forme de Aνt

(3.92), le nombre de Prandtlturbulent peut alors être défini par :

Prt =νt

αt=

AT rT

Auru(3.102)

Tout comme en dynamique, on remarque qu’à ce stade la relation constitutive n’influe pas sur lamanière dont les grandeurs thermiques évoluent en fonction de la distance à la paroi y. En revanche, ellesdépendent fortement des quantités dynamiques déterminées précédemment.

Il reste désormais à déduire les coefficients AT , Akθet Aφθ

des relations dont on dispose. Les deuxpremières sont les équations pour kθ (3.95) et φθ (3.97). Elles conduisent au système suivant :

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

0 = A2T σkθ

+ 2

(Aφθ

A−pkθ

A(− d

b )φ A

( ad−bcb )

k

)( 1q )

AT σkθ+ 2Akθ

0 = 2AφθAkθ

Ak (−3q − 2p + 2c + d) ((1 + Cφθφθσφθ

) (−3q − 2p + 2c + d) + 1 − 2Cφθkθσφθ

)

−AφθAT σφθ

(−Cp1AkAT + 2Cp2

AuAkθ)

+8CkθkθAφθ

AkθAkσφθ

+ 4Cd2A

( 1b )

φ A(− a

b )k Aφθ

AkθAT σφθ

+2Cd2

(A

(1+q)φθ

A−pkθ

A(q−c+ a

b )k A

(− db )

φ

)( 1q )

AT σφθ

(3.103)La troisième relation est issue du fait qu’on peut définir le flux de chaleur ξ2 de deux manières : soit

à partir de sa définition ξ2 = v′θ/√

kkθ, soit par son expression déduite de la formulation algébrique :

ξ2 = c′θ4

dudy

kε (cΩ − cS) b12 + Nθ

(2b22 + 2

3

)

N2θ + 1

4 (cΩ2 − cS

2)(

dudy

)2 (kε

)2

k

ε

√k

kθ

dT

dy(3.104)

La relation résultante est trop complexe pour pouvoir être donnée ici.À partir de ce système de trois équations, on peut en déduire les expressions de AT , Akθ

et Aφθ,

fonctions des constantes du modèle EAHFM, mais aussi du modèle à équations de transport sous-jacent.

Dès lors, imposer Prt = 0, 85 dans cette région conduit à une nouvelle relation entre les constantesdu modèle. Ainsi, avec les valeurs trouvées précédemment, AT devra être tel que :

AT = −AuPrt = −2Prt

κ≃ −4, 28 (3.105)

3.3 Frontière entre un écoulement turbulent et un écoulementnon turbulent

3.3.1 Généralités

On s’intéresse dans cette partie à une nouvelle contrainte qui impose une bonne continuité entrel’écoulement turbulent et l’écoulement non turbulent. Elle s’applique donc à tout écoulement possédant

84 Chapitre 3 : Contraintes sur le modèle

une frontière, comme la zone externe d’une couche limite, les écoulements de jet, de sillage ou encore decouche de mélange.

On considère ici un écoulement de couche limite, bidimensionnel et stationnaire, où x se réfère à ladimension longitudinale et y à la dimension transversale. Les équations régissant le problème sont lessuivantes :

∂u

∂x+

∂v

∂y= 0 (3.106)

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y= ue

due

dx+

∂

∂y

(νt

∂u

∂y

)(3.107)

où ue = ue(x) est la vitesse extérieure.

∂P

∂y= 0 (3.108)

u∂k

∂x+ v

∂k

∂y= Pk − ε +

∂

∂y

(νt

σk

∂k

∂y

)(3.109)

u∂φ

∂x+ v

∂φ

∂y= Cφ1

Pkφ

k− Cφ2

εφ

k+

∂

∂y

(νt

σφ

∂φ

∂y+

νt

σφk

φ

k

∂k

∂y

)

+Cφφνt1

φ

(∂φ

∂y

)2

+ Cφkνt1

k

∂k

∂y

∂φ

∂y+ Ckkνt

φ

k2

(∂k

∂y

)2(3.110)

u∂T

∂x+ v

∂T

∂y=

∂

∂y

(αt

∂T

∂y

)(3.111)

u∂kθ

∂x+ v

∂kθ

∂y= Pθ − εθ +

∂

∂y

(αt

σkθ

∂kθ

∂y

)(3.112)

u∂φθ

∂x+ v

∂φθ

∂y=

φθ

2kθ(Cp1

Pθ − Cd1εθ) +

φθ

k(Cp2

Pk − Cd2ε)

+∂

∂y

(αt

σφθ

∂φθ

∂y+

αt

σφθkθ

φθ

kθ

∂kθ

∂y

)

+Cφθφθαt

1

φθ

(∂φθ

∂y

)2

+ Cφθkθαt

1

kθ

∂kθ

∂y

∂φθ

∂y+ Ckθkθ

αtφθ

k2θ

(∂kθ

∂y

)2

(3.113)

On s’intéresse ici à la forme dite de similitude pour laquelle toutes les grandeurs adimensionnées duproblème ne dépendent plus que de η = y/δ et de ηθ = y/δt, ordonnées adimensionnées. δ représentel’épaisseur de la couche limite dynamique ou le demi-taux d’ouverture pour les autres types d’écoulements(couche de mélange, sillage, jet...) et δt son analogue thermique. Il convient alors de se poser la questionde l’importance relative de δt, épaisseur thermique, par rapport à δ, épaisseur dynamique.

La température est considérée comme un scalaire passif. C’est pourquoi la turbulence thermique estrégie par la turbulence dynamique et disparaît donc en l’absence de cette dernière. Il semble par consé-quent acceptable que les grandeurs turbulentes dynamiques et thermiques s’annulent au même endroit,pour des écoulements dynamiques et thermiques ayant même origine. Il n’en est évidemment pas de mêmesi par exemple on chauffe une couche limite en aval de son origine dynamique. Dans ce cas, δt < δ sur unecertaine distance. En revanche, au bout d’une distance de l’origine suffisamment importante, on supposequ’on retrouve δt = δ, autrement dit, que u et T atteignent leur valeur externe au même endroit. Cettehypothèse est vérifiée par les expériences de Subramanian et Antonia [81] pour une couche limite sansgradient de pression et par Orlando et al. [62] pour une couche limite soumise à un gradient de pressionadverse. Les valeurs de δ et de δt pour ces deux expériences sont rassemblées dans les tableaux (TAB. 3.3)

3.3 Frontière entre un écoulement turbulent et un écoulement non turbulent 85

et (TAB. 3.4) pour différents régimes. On constate alors que, aux erreurs de mesure près, les deux fron-tières dynamique et thermique coïncident. Quant aux écoulements libres, on peut aussi bien supposerque les deux frontières sont confondues. La courbe (Fig. 3.13) représente les profils de température et devitesse adimensionnées, en fonction de l’ordonnée adimensionnée y/L, où L est l’ordonnée à laquelle lavitesse adimensionnée est égale à 1/2, pour un écoulement de jet axisymétrique, d’après les expériences deChevray et Tutu [19]. Les résultats de Wygnanski et Fiedler [90], pour le profil de vitesse, ont été tracéspar comparaison. On constate alors qu’effectivement, les profils de vitesse et de température s’annulentau même point et ceci bien que les structures turbulentes diffusent mieux la température que la vitesse(profil de température plus ouvert que celui de la vitesse).

FIG. 3.13 – Comparaison des profils de température et de vitesse adimensionnées sur un écoulement de jet axisy-métrique chauffé

Rδ2δ (cm) δt (cm)

990 5,4 5,41500 4,5 4,64750 4,5 4,76500 4,7 4,87100 4,8 4,8

TAB. 3.3 – Valeurs des épaisseurs dynamique et thermique pour un écoulement de couche limite. Expériences deSubramanian et Antonia [81]

Au vu de ces résultats, on adoptera par la suite l’hypothèse que les frontières turbulentes dynamiqueet thermique sont confondues pour des écoulements turbulents pleinement développés. Dès lors, on rem-placera ηθ par η et δt par δ.

La particularité des écoulements de similitude, comme celui de la région externe d’une couche limite,réside dans le fait que le problème qui était à la base bidimensionnel en x et y devient mono-dimensionnelen η.

86 Chapitre 3 : Contraintes sur le modèle

Rδ2δ (cm) δt (cm)

1991 1,07 1,0683061 1,978 1,7933844 2,411 2,4015517 3,717 3,586

TAB. 3.4 – Valeurs des épaisseurs dynamique et thermique pour un écoulement de couche limite. Expériencesd’Orlando et al. [62]

On introduit une vitesse de référence uref qui, dans le cas d’une couche limite est égale à la vitessede frottement uτ et représente l’effet global de la paroi sur l’écoulement. Cette vitesse de référence peutaussi désigner la vitesse au centre d’un jet, le déficit de vitesse au centre d’un sillage plan ou encore ladifférence de vitesse entre les deux fluides dans le cas d’une couche de mélange.

On adimensionne alors les grandeurs dynamiques à l’aide de la vitesse de référence et de l’épaisseurcaractéristique δ. Ainsi :

ue − u

uref=

dF (η)

dη;

k

u2ref

= K (η) ;εδ

u3ref

= E (η) avec η =y

δ(3.114)

où y est la distance à la paroi pour une couche limite ou la distance au centre des autres écoulements(jets, sillages, couche de mélange...).

F désigne l’intégrale de la vitesse adimensionnée et se définit par conséquent à une constante près. Onsupposera par la suite que F (0) = 0. Il faut noter que ue, uref et δ ne sont fonction que de x (ue = ue(x),δ = δ(x) et uref = uref (x)).

L’étude va être menée dans une région où y → δ, soit η → 1. Afin de faciliter les calculs, on effectuele changement de variable λ = 1 − η = 1 − y

δ de sorte que λ → 0 à la frontière. On a alors :

ue − u

uref= −dF (λ)

dλ;

k

u2ref

= K (λ) ;εδ

u3ref

= E (λ) (3.115)

De même, les grandeurs thermiques peuvent s’exprimer comme des fonctions de x (au travers de ue,Te, uref et Tref ) et de η. Tref = Tref(x) est une température de référence et Te = Te(x) est la températureextérieure. Par exemple, Tref = Tτ pour une couche limite ou Tref est la température au centre d’un jetou d’une couche de mélange, etc.

À nouveau, on effectuera le changement de variable λ = 1 − η :

T − Te

Tref= Tθ (λ) ;

kθ

T 2ref

= Kθ (λ) ;εθδt

urefT 2ref

= Eθ (λ) (3.116)

L’idée consiste ici à reprendre les travaux de Cazalbou [17] et de Catris [16] en s’assurant que les gran-deurs telles que la vitesse, l’énergie cinétique de turbulence k, la deuxième échelle dynamique transportéeφ, la température et les échelles thermiques se comportent correctement à la frontière de l’écoulement,c’est-à-dire, en supposant que la turbulence extérieure soit nulle, que toutes ce grandeurs s’annulent àl’extérieur, ainsi que leurs dérivées. Ainsi, on garantit un raccord progressif entre l’écoulement turbulentet l’écoulement extérieur supposé laminaire et l’indépendance des grandeurs calculées vis-à-vis des gran-deurs turbulentes résiduelles qu’on impose comme condition aux limites à l’extérieur dans un calcul.

3.3.2 Contraintes

3.3.2.1 Contraintes sur le modèle EARSM de Wallin et Johansson

La méthode consiste à développer en puissances de λ toutes les grandeurs physiques qui s’annulent àla frontière :

3.3 Frontière entre un écoulement turbulent et un écoulement non turbulent 87

F (λ) = Fe − F0λef ; K (λ) = K0λ

ek ; E (λ) = E0λeε ; Φ (λ) = Φ0λ

eφ (3.117)

avec :

Φ0 = Ka0 Eb

0 et eφ = aek + beε (3.118)

Pour que les grandeurs et leurs dérivées s’annulent à l’extérieur, il faut que les exposants en λ vérifient :

ef > 2 ; ek > 1 ; eφ > 1 (3.119)

On remarque ici que les contraintes portent sur la grandeur transportée. Ainsi, l’équivalence au niveaudes équations de transport entre deux échelles de longueur différentes s’arrête pour le comportement àl’extérieur où c’est la grandeur elle-même qui compte. Ainsi, toutes les échelles turbulentes ne sont paséquivalentes à ce point de vue.

On récrit l’équation de conservation de la masse en introduisant les grandeurs adimensionnées et ainsi,on obtient l’expression de la vitesse v :

v = δ(x)u′e(x)λ + δ(x)F (λ) u′

ref(x) + uref (x)δ′(x)

((1 − λ)

dF (λ)

dλ+ F (λ)

)+ cste (3.120)

où la notation ′ désigne la dérivée par rapport à x.On suppose que F (η = 0) = F (λ = 1) = 0 et v (η = 0) = v (λ = 1) = 0. Dans ce cas, la constante

intervenant dans l’expression de v est égale à −δ(x)u′e(x) et ainsi :

v = δ(x)u′e(x)λ + δ(x)F (λ) u′

ref (x) + uref (x)δ′(x)

((1 − λ)

dF (λ)

dλ+ F (λ)

)− δ(x)u′

e(x) (3.121)

La formulation EARSM de Wallin et Johansson nous permet de calculer b12 et donc la tension −u′v′

intervenant dans les équations de quantité de mouvement, de k et de φ, au travers de νt.Les deux invariants η1 et η2 sont tels que :

η1 =1

2

k2

ε2

(∂u

∂y

)2

et η2 = −η1 (3.122)

On écrit alors l’équation pour N et au vu des contraintes imposées sur les coefficients ef , ek et eφ, laseule solution est :

N = A1 (3.123)

ce qui est équivalent à dire que le rapport Pk/ε = 0 à la frontière de l’écoulement turbulent. Cette pro-priété physique est confirmée par les DNS de Spalart [78].

Ainsi, compte tenu du fait qu’on a :

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

Q = N2 − 2η2 −2

3η1A

23

β1 = −A2N

Q

b12 =1

2

k

ε

∂u

∂yβ1

(3.124)

alors :

b12 (λ) = −F0λef ef (ef − 1)A2K0λ

ek

2λ2A1E0λeε(3.125)

88 Chapitre 3 : Contraintes sur le modèle

en ne gardant que les termes prépondérants, c’est-à-dire ceux qui sont affectés du plus petit exposant en λ.

On remplace νt intervenant dans les équations par :

νt = − 2kb12

∂u/∂y(3.126)

Son expression développée est la suivante :

νt =K2

0uref(x)A2δ(x)λ(2ek−eε)

A1E0(3.127)

On récrit alors chacun des termes intervenant dans les équations de quantité de mouvement, de k etde φ.

Concernant l’équation de quantité de mouvement, on s’aperçoit que le gradient de pression s’annuleavec un des termes constituant la convection et que, de plus, la convection évolue en λ(ef−2) et la diffusionen λ(2ek+ef−eε−3). Or, la convection et la diffusion ont la même importance à la frontière de l’écoulement.Par conséquent, elles évoluent de manière équivalente selon λ. Pour cela, il faut que les coefficientsvérifient :

ef − 2 = 2ek + ef − eε − 3 soit eε = 2ek − 1 (3.128)

Les puissances étant égalisées, la résolution de l’équation de quantité de mouvement (convection-gradient de pression-diffusion=0) permet d’exprimer Fe :

Fe = −K20uref(x)A2 (ef − 1) − ue(x)δ′(x)A1E0 − u′

e(x)δ(x)A1E0(δ(x)u′

ref (x) + uref (x)δ′(x))

A1E0

(3.129)

On s’intéresse maintenant à l’équation de transport de k et on procède de même, en analysant chacundes termes la composant. On s’aperçoit que la convection évolue en λ(ek−1), la production en λ(2ef−3), ladissipation en λ(2ek−1) et enfin, la diffusion en λ(ek−1). À ce stade, on remarque que la dissipation ayantune puissance en λ supérieure à celle de la convection et de la diffusion, elle est négligeable par rapport àeux. Ce constat est confirmé par les expériences de Skåre et Krogstad [73] qui ont fait le bilan de l’énergiecinétique pour une couche limite soumise à un fort gradient de pression. Ce bilan met également en avantle fait que les termes de production s’annulent aussi à la frontière externe. On obtient par conséquent unéquilibre entre la convection et la diffusion de k.

On résout alors cette équation, en remplaçant Fe par son expression (3.129) et on parvient à unerelation entre les coefficients ek et ef :

ek = σk (ef − 1) (3.130)

On suit la même démarche avec l’équation de transport de φ et on analyse l’évolution de chaqueterme. La convection évolue en λ((a+2b)ek−b−1), la production en λ(2ef +(a+2b−1)ek−b−3), la dissipation enλ((a+2b+1)ek−b−1), la diffusion en λ((a+2b)ek−b−1) et chacun des termes croisés en λ((a+2b)ek−b−1).

Encore une fois, on remarque que les termes de dissipation et de production sont négligeables devantla convection, la diffusion et les termes croisés.

À partir de ces considérations, la résolution de l’équation de transport de φ nous fournit une dernièrerelation et permet d’exprimer ek, par exemple, en fonction uniquement des constantes du modèle à deuxéquations k − φ et des coefficients a et b définissant la deuxième échelle transportée.

Or, cette dernière relation est d’ordre deux et par conséquent possède deux racines. Nous suivrons icil’analyse faite par Daris [28] pour le développement du modèle k−kL, à savoir que, ne sachant pas laquelledes deux solutions est physique, on choisit d’en rendre une non-physique, en réglant les coefficients dumodèle. C’est pourquoi, sur les mêmes critères, on choisit de conserver la solution suivante, en faisantl’hypothèse qu’elle se conduise bien numériquement :

3.3 Frontière entre un écoulement turbulent et un écoulement non turbulent 89

ek =σk

2

4σkb2 + σφb (σk (4Cφφb + Cφk + 2aCφφ) − 1)

σk (a + 2b)2+ σφ (aσk (aCφφ + Cφk) − a + σkCkk + 4σkCφφb (a + b) + 2b (σkCφk − 1))

+−√

σφb2 (σφCφkσk (Cφkσk − 2) − 4σ2kCkk (1 + Cφφσφ)) + 2σkab

σk (a + 2b)2

+ σφ (aσk (aCφφ + Cφk) − a + σkCkk + 4σkCφφb (a + b) + 2b (σkCφk − 1))

−σk

(3.131)Néanmoins, Ferrey [31] a montré que le problème était beaucoup plus complexe que cela et qu’il existe

des critères permettant d’évaluer si oui ou non un modèle est anormalement sensible aux conditions ex-térieures. Cependant, dans un souci de simplicité et de cohérence avec les études passées, notamment surl’élaboration du modèle k − kL, on décide de passer outre ces considérations, tout en ayant consciencedes limites de la méthode. On peut également préciser que l’application du modèle k − kL dans un codeNavier-Stokes ou dans un code de couche limite n’a pas présenté de sensibilité numérique aux conditionsaux limites turbulentes extérieures.

Il est donc possible d’accéder à chacun des coefficients ek, ef et eε (ou eφ).

Il convient de faire plusieurs remarques sur les relations trouvées. Tout d’abord, on s’aperçoit que a etb interviennent non seulement dans l’expression de eφ, mais également dans toutes les autres. En d’autrestermes, à la frontière entre l’écoulement turbulent et l’écoulement non turbulent, le choix de la deuxièmeéchelle transportée affecte le comportement de toutes les grandeurs dynamiques. C’est en cela que cechoix est fondamental, comme l’a montré Daris [28] qui a fait l’analyse de plusieurs modèles existants.La seconde remarque concerne la modélisation algébrique dont les coefficients n’interviennent absolumentpas dans les expressions de ek, ef et eε. Dès lors, le comportement à la frontière extérieure est totalementindépendant de la relation constitutive (reliant les tensions de Reynolds au gradient de vitesse moyenne)utilisée.

Le tableau (TAB. 3.5) se propose de regrouper les évolutions en λ des différents termes pour leséquations de transport de k et φ.

k φ

Convection λ(ek−1) λ(aek+beε−1)

Production λ(2ek−eε+2ef−4) λ((a+1)ek+(b−1)eε+2ef −4)

Dissipation λ(eε) λ((a−1)ek+(b+1)eε)

Diffusion λ(ek−1) λ(aek+beε−1)

Termes croisés λ(aek+beε−1)

TAB. 3.5 – Évolution en λ des différents termes pour les équations de transport de k et φ

En imposant ef > 2, ek > 1 et eφ > 1, on obtient de nouvelles relations sur les constantes du modèleutilisé. De plus, en EARSM, on a la condition Pk/ε → 0 à la frontière, ce qui impose une valeur de σk

inférieure à 1. Ainsi, le modèle à deux équations sous-jacent nécessite une recalibration, puisque dans laformulation Boussinesq, la condition équivalente était σk < 2. On adoptera ici σk = 0, 9.

Le tableau (TAB. 3.6) rassemble les résultats relatifs aux modèles k − ε de Bézard [13] et k − kL deDaris [28] et permet de vérifier que les contraintes sont respectées. On note que, les puissances en λ étantrelativement élevées, le raccord se fait de manière très progressive.

3.3.2.2 Contraintes sur le modèle EAHFM

On va à présent faire la même analyse qu’en dynamique, afin de s’assurer que les grandeurs ther-miques se comportent également correctement dans la zone de raccord entre l’écoulement turbulent etl’écoulement extérieur, toujours supposé laminaire.

90 Chapitre 3 : Contraintes sur le modèle

k − ε k − kLef 51 15ek 29 25eε 57 49eφ 57 13.5

TAB. 3.6 – Performances à la frontière extérieure d’un écoulement turbulent des modèles k− ε [13] et k− kL [28]

On exprime les grandeurs thermiques qui s’annulent à la paroi en puissances de λ :

Tθ (λ) = Tθ0λet ; Kθ (λ) = Kθ0

λekθ ; Eθ (λ) = Eθ0λeεθ ; Φθ (λ) = Φθ0

λeφθ (3.132)

avec :

Φθ0= Kc

0Ed0Kp

θ0Eq

θ0et eφθ

= cek + deε + pekθ+ qeεθ

(3.133)

Les grandeurs thermiques doivent s’annuler à l’extérieur. Ainsi, il faut que les puissances en λ vérifient :

et > 1 ; ekθ> 1 ; eφθ

> 1 (3.134)

Les différentes équations de la chaleur (3.111), de transport de kθ (3.112) et de transport de φθ (3.113)font intervenir la diffusivité turbulente. Ainsi, on applique le modèle algébrique EAHFM de manière àdéterminer le flux de chaleur et donc αt.

On écrit en premier lieu l’équation pour Nθ, introduite en (2.39) et récrite en bidimensionnel :

2N3θ − 2GN2

θ − (Q1 + R1)Nθ + GQ1 + R2 = 0 (3.135)

En développant cette équation, on remarque que les termes en 2N3θ et 2GN2

θ sont prédominants devant(Q1 + R1) Nθ et GQ1 + R2, car ils sont affectés du plus petit exposant en λ.

L’équation précédente se réduit donc à :

2N3θ − 2GN2

θ = 0 (3.136)

soit Nθ = G, avec G = 12

(2cθ1 − 1 − 1

r

), puisque Pk/ε = 0. La solution Nθ = 0 n’est pas retenue car elle

conduit à une singularité du système algébrique (voir paragraphe 2.3.2).Or, la définition de Nθ est la suivante :

Nθ = G +1

r

Pθ

εθ

(1

2− cθ5

)(3.137)

N’ayant fait pour l’instant aucune hypothèse sur les constantes du modèle EAHFM et notammentsur cθ5, la seule possibilité pour que Nθ = G est que Pθ/εθ = 0. On peut donc faire l’analogie avec ladynamique pour laquelle on a vu aussi que Pk/ε = 0. À nouveau, la condition Pθ/εθ → 0 implique unerelation sur le coefficient σkθ

du modèle à équations de transport thermique sous-jacent, soit σkθ< 2−σk.

Il est alors possible d’expliciter l’expression du flux adimensionné ξ2, en ne gardant à nouveau que lestermes prépondérants et ainsi :

ξ2 (λ) =4

3

√K0

Kθ0

c′θ4K0T0etKθ0λ

(et−

ekθ2

− ek2

)

(2c′θ1 − 1) (Kθ0E0 + K0Eθ0

)(3.138)

On remplace alors αt intervenant dans les équations par :

αt = −√

kkθξ2

∂T/∂y(3.139)

soit :

3.3 Frontière entre un écoulement turbulent et un écoulement non turbulent 91

αt =4

3

δ(x)K20Kθ0

c′θ4Tref (x)uref (x)λ

(2c′θ1 − 1) (Tref (x)Kθ0E0 + K0Eθ0

)(3.140)

On récrit alors les équations (3.111), (3.112) et (3.113) en remplaçant chaque grandeur par son ex-pression en fonction de λ.

L’équation de la chaleur se résume à un équilibre convection-diffusion. On développe l’expression de laconvection et on ne conserve que les termes prépondérants, en λ(et−1). On fait de même avec la diffusion,

en gardant les termes dominants, à savoir en λ(et+eεθ−ek−ekθ ). La convection et la diffusion formant un

équilibre, elles doivent avoir la même importance et par là même doivent évoluer de manière identiquepar rapport à λ. On peut donc écrire une première relation :

eεθ− ekθ

− ek + 1 = 0 (3.141)

Les puissances en λ étant égalisées dans cette équation, on peut alors procéder à sa résolution et ainsien déduire l’expression de Kθ0

:

Kθ0=

3K0Eθ0A2 (1 − ef + 2c′θ1 (ef − 1))

E0 (6c′θ1A2 (1 − ef) − 3A2 (1 − ef ) + 4c′θ4A1et)(3.142)

On s’intéresse maintenant à l’équation de transport de kθ. L’analyse de chacun des termes nous ren-

seigne sur leur évolution en λ. La convection est en λ(ekθ−1), le terme de production en λ(2et−1), la

dissipation en λ(eεθ ) et la diffusion en λ(ekθ−1). Or, de même qu’en dynamique, les résultats expérimen-

taux [3] témoignent du fait que la production est négligeable à la frontière de l’écoulement turbulent.De plus, on sait que eεθ

= ekθ+ ek − 1, donc eεθ

> ekθ− 1, ce qui implique que la dissipation est aussi

négligeable par rapport aux autres termes. On assiste à nouveau à un équilibre convection-diffusion.

Si maintenant on résout cette équation de transport pour kθ en ne conservant que les termes prépon-dérants et en remplaçant Kθ0

par son expression, on obtient une nouvelle relation entre les coefficientsei :

ekθ= σkθ

et (3.143)

Enfin, on procède de la même manière avec l’équation pour φθ, en analysant un par un chacun de cestermes (convection, production, dissipation, diffusion et termes croisés) :

• La convection évolue en λ(ek(2d+c)+qeεθ+pekθ

−d−1).• La production évolue en λ(ek(2d+c)+2et+ekθ

(p−1)+qeεθ−d−1).

• La dissipation évolue en λ(ek(2d+c)+ekθ(p−1)+eεθ

(q+1)−d).

• La diffusion évolue en λ(ek(2d+c)+qeεθ+pekθ

−d−1).• Les termes croisés évoluent en λ(ek(2d+c)+qeεθ

+pekθ−d−1).

Ainsi, encore une fois, la production et la dissipation de φθ sont négligeables devant la convection, ladiffusion et les termes croisés.

L’équation pour φθ fournit une dernière relation et permet d’exprimer et par exemple, en fonctionuniquement des constantes du modèle kθ − φθ. À nouveau, l’équation étant du second degré, il existedeux racines. De même qu’en dynamique, on choisit de suivre l’analyse de Daris [28] et de n’en conserverqu’une, bien que ce choix soit discutable. La solution retenue est la suivante :

92 Chapitre 3 : Contraintes sur le modèle

et =(−2σkθ

(p + q) − σφθ(Cφθkθ

σkθ− 1 + 2Cφθφθ

(p + q)σkθ)) (ek (c + 2d + q) − q − d)

2(σφθ

σ2kθ

(p + q) (Cφθkθ+ Cφθφθ

(p + q)) − σkθ

(σφθ

(p + q − Ckθkθσkθ

) − σkθ(p + q)

2))

−

(√−4σφθ

Ckθkθσ2

kθ(1 + σφθ

Cφθφθ) + σ2

φθ(Cφθkθ

− 1)2)

(ek (c + 2d + q) − q − d)

2(σφθ

σ2kθ

(p + q) (Cφθkθ+ Cφθφθ

(p + q)) − σkθ

(σφθ

(p + q − Ckθkθσkθ

) − σkθ(p + q)

2))

(3.144)

Les constatations sont les mêmes que pour la dynamique : le choix de la deuxième échelle transportée(autrement dit le choix des coefficients c, d, p et q) n’affecte pas seulement le comportement de cetteéchelle, mais également celui de kθ et de la température moyenne. Il est donc primordial de s’assurer quel’échelle de longueur φθ choisie permet de garantir un bon comportement du modèle à la frontière. De plus,l’utilisation du modèle algébrique thermique n’a aucune conséquence sur la détermination des coefficientset, ekθ

et eφθ; la détermination de la diffusivité turbulente au moyen de la relation de Boussinesq :

αt = Cλk

(k

ε

)m(2kθ

εθ

)n

conduit exactement au même résultat.

Le tableau (TAB. 3.7) rassemble les évolutions en λ des différents termes des équations pour kθ et φθ.

kθ φθ

Convection λ(ekθ−1) λ(ek(2d+c)+qeεθ

+pekθ−d−1)

Production λ(1+2(et−1)) λ(ek(2d+c)+2et+ekθ(p−1)+qeεθ

−d−1)

Dissipation λ(eεθ ) λ(ek(2d+c)+ekθ(p−1)+eεθ

(q+1)−d)

Diffusion λ(ekθ−1) λ(ek(2d+c)+qeεθ

+pekθ−d−1)

Termes croisés λ(ek(2d+c)+qeεθ+pekθ

−d−1)

TAB. 3.7 – Évolution en λ des différents termes pour les équations de transport de kθ et φθ

Le modèle utilisé doit satisfaire les relations et > 1, ekθ> 1 et eφθ

> 1. On a vu que la valeur deces coefficients est indépendante de la relation constitutive adoptée. Le tableau (TAB. 3.8) réunit lesvaleurs de ces coefficients pour les modèles k − ε/kθ − εθ et k − kL/kθ − kθLθ et permet d’en conclureque les échelles εθ et kθLθ satisfont les contraintes à respecter à la frontière de l’écoulement turbulent etde l’écoulement non turbulent.

k − ε/kθ − εθ k − kL/kθ − kθLθ

et 50 13,9ekθ

40 13,9eεθ

68 38eφθ

68 2,5

TAB. 3.8 – Performances à la frontière extérieure d’un écoulement turbulent des modèles k − ε/kθ − εθ et k −

kL/kθ − kθLθ

Pour conclure, on peut souligner que l’hypothèse de coïncidence des frontières dynamique et thermiqueimplique que les comportements des grandeurs turbulentes thermiques et des grandeurs turbulentes dyna-miques soient similaires dans la zone de raccord entre l’écoulement turbulent et l’écoulement non turbu-lent. On a montré que les exposants eνt

et eαtsont égaux à 1. Comme on a supposé δt = δ, les frontières

sont atteintes en même temps, donc à l’extérieur Prt = νt

αt= cste et on choisit cette constante comme

étant égale à 1. En effet, on manque d’expérience fine dans cette zone d’écoulement pour déterminer Prt

et les DNS ne sont pas assez précises. Ainsi, à l’extérieur de l’écoulement turbulent, on impose :

3.4 Détermination des constantes 93

Prt =νt

αt= 1 (3.145)

Or, d’après les relations (3.127) et (3.140) et en introduisant l’expression de Kθ0(3.142), le nombre

de Prandtl turbulent est égal à :

Prt =et

ef − 1λ(2ek−eε−1) (3.146)

Or, eε = 2ek − 1, donc on doit vérifier, en plus des contraintes déjà citées :

et

ef − 1= 1 (3.147)

Que ce soit pour le modèle k − ε/kθ − εθ, où et = 50 et ef = 51, ou le modèle k − kL/kθ − kθLθ,pour lequel et = 13, 9 et ef = 15, cette contrainte est parfaitement vérifiée et permettra d’assurer un boncomportement du nombre de Prandtl turbulent à la frontière entre l’écoulement turbulent et l’écoulementnon turbulent.

3.4 Détermination des constantes

Une fois les contraintes établies pour les différents écoulements ou zones d’écoulement nous intéressant,il est possible, à partir des relations obtenues, d’en déduire un jeu de constantes pour le modèle algébriquethermique EAHFM. Cependant, on a vu que deux approches sont possibles pour la résolution du modèle :soit on fixe le rapport des temps caractéristiques r, ce qui simplifie considérablement les équations, soiton ne fait aucune hypothèse sur ce rapport.

On distinguera par la suite ces deux approches et pour chacun de ces deux cas, nous allons procéderà une optimisation des paramètres.

3.4.1 Cas où r = cste

Cette première méthode de résolution consiste à supposer que le rapport des temps caractéristiquesde la turbulence r = kθ/εθ

k/ε est une constante que l’on posera égale à 1/2 d’après l’expérience, pour desécoulements cisaillés standards. Cette hypothèse a pour but de s’affranchir de la résolution des équationsde transport des échelles thermiques, dont on ne pourra alors connaître que le rapport directement déduitde r.

Dans ce cas, il faut donc que l’expression algébrique du flux de chaleur ne dépende plus ni de kθ, nide εθ. Or, si on écrit le flux de chaleur de manière dimensionnée cette fois (puisqu’on n’a plus accès à kθ),il prend la forme suivante :

−u′iθ = c′θ4Aij

−1

(2bjk +

2

3δjk

)k2

ε

∂T

∂xk(3.148)

La matrice A est le seul terme susceptible d’être dépendant des échelles thermiques. Si on rappelle sadéfinition :

Aij = Nθδij + cSSij + cΩΩij (3.149)

où :

Nθ = G −(

1

2− cθ5

)k

εkθu′

lθ∂T

∂xl(3.150)

alors, on s’aperçoit que l’indépendance de la solution vis-à-vis des échelles thermiques (et par conséquentla possibilité de résolution) n’est possible que si cθ5 = 1/2, pour éliminer la présence de kθ dans sonexpression.

94 Chapitre 3 : Contraintes sur le modèle

Dès lors, on supprime la non-linéarité du système algébrique qui existait jusqu’alors de par le termeen cθ5 (voir chapitre 2).

Ainsi, les relations analytiques établies précédemment pour que le modèle satisfasse le maximum decontraintes en sont considérablement simplifiées. Les coefficients κt0 et κt1 pour la zone logarithmiqued’une couche limite avec ou sans gradient de pression et AT pour la zone en racine, sont directementissus de la relation algébrique. La puissance en λ, et, pour le raccord de la température entre l’écoulementturbulent et l’écoulement non turbulent est quant à elle obtenue à partir du système formé de l’équationde la chaleur et de la relation algébrique thermique et dépend, dans ce cas précis, des constantes desmodèles EARSM et EAHFM :

et =3A2

4c′θ4rA1(ef − 1) (2c′θ1 − 1) (r + 1) (3.151)

Une optimisation numérique est alors effectuée sur les quatre constantes du modèle algébrique ther-mique (puisque cθ5 = 1/2) de manière à ce que le modèle, en association avec le modèle k − ε de Bézardou le modèle k − kL de Daris, respecte le maximum des contraintes énumérées plus haut. De manièreà rester cohérent, on adopte le même niveau de modélisation pour la dynamique et pour la thermique.Ainsi, on associera la formulation dynamique EARSM aux modèles à deux équations dynamiques. Le jeude constantes issu de cette optimisation est donné dans le tableau (TAB. 3.9).

c′θ1 cθ2 cθ3 cθ4 cθ5

0,66 0,79 0 0,76 1/2

TAB. 3.9 – Valeurs des constantes du modèle EAHFM à r = cste

Les résultats obtenus avec le modèle sont regroupés dans le tableau (TAB. 3.10). Les résultats issusde l’utilisation des constantes proposées par Wikström et al. sont également représentés et notés WWJ.

Zone logarithmique Zone en racine ExtérieurModèle κt0

κt1

κt0

Prt AT Prt et Prt

k − ε + EARSM + EAHFM 0,47 1,72 0,85 -11,06 0,95 58,2 1,18k − kL + EARSM + EAHFM 0,48 0,96 0,85 -3,24 0,9 13,9 1

k − ε + EARSM + WWJ 0,49 5,20 0,85 -11,19 0,98 132 2,64k − kL + EARSM + WWJ 0,52 0,69 0,79 -5,22 1,60 37 2,57

Exp. / Théorie 0,48 1 0,85 -4,28 0,85 >1 1

TAB. 3.10 – Performances du modèle EAHFM à r = cste

On peut noter que le modèle EAHFM est nettement plus performant quand il est utilisé avec le modèlek−kL qu’avec le modèle k−ε. Néanmoins, on a vu qu’à nombre de Prandtl turbulent constant, le modèlek − ε offrait déjà de moins bons résultats que le modèle k − kL.

En revanche, l’association du modèle k − kL + EARSM avec la formulation EAHFM respecte parfai-tement toutes les contraintes.

Concernant les constantes proposées par Wikström et al., on peut dire qu’elles permettent de repré-senter correctement la zone logarithmique sans gradient de pression, mais qu’elles sont inadaptées enprésence d’un gradient de pression adverse et ce, quel que soit le modèle sous-jacent utilisé. Dans la zoneen racine, le nombre de Prandtl turbulent est surestimé avec ces constantes et ceci est d’autant plusvrai que le modèle à quatre équations utilisé est le modèle k − kL. Le constat est le même à la frontièreentre l’écoulement turbulent et l’écoulement non turbulent, pour laquelle la contrainte Prt = 1 n’est pasrespectée. Ainsi, les constantes du modèle EAHFM telles qu’elles ont été introduites par Wikström et al.

ne permettent pas de satisfaire les comportements décrits précédemment.

3.4 Détermination des constantes 95

3.4.2 Cas où r = cste

On a vu que l’ensemble des contraintes se traduit par des relations analytiques sur les constantesdes formulations algébriques explicites dynamique et thermique et sur les constantes du modèle à quatreéquations sous-jacent. Ces relations sont fortement non-linéaires et il est impossible analytiquement dedéterminer les constantes satisfaisant toutes les relations sans faire des choix a priori sur les échellestransportées. De plus on constate que le nombre de degrés de liberté (constantes du modèle) est supérieurau nombre de relations issues des contraintes. On peut donc limiter le nombre de degrés de liberté en fixantla valeur de certaines constantes. Par exemple il est possible de conserver un modèle à quatre équationsexistant et de jouer uniquement sur les cinq constantes c′θ1, cθ2, cθ3, cθ4 et cθ5 du modèle algébriquethermique. On choisit de ne s’intéresser encore une fois qu’aux modèles k− ε/kθ − εθ et k−kL/kθ −kθLθ

associés à la formulation EARSM. Ainsi, on a pu déterminer un jeu de constantes permettant de satisfaireau mieux les contraintes (TAB. 3.11).

c′θ1 cθ2 cθ3 cθ4 cθ5

0,70 0,64 0 0,74 0,53

TAB. 3.11 – Valeurs des constantes du modèle EAHFM à r = cste

Les performances du modèle EAHFM avec ce jeu de constantes, associé d’une part au modèle k −ε/kθ − εθ et d’autre part au modèle k − kL/kθ − kθLθ (avec formulation EARSM) sont rassembléesdans le tableau (TAB. 3.12). On trouve également dans ce tableau les résultats du modèle algébriquethermique avec les constantes de Wikström et al. (WWJ), associé au modèle k − ε/kθ − εθ et au modèlek − kL/kθ − kθLθ.

Zone logarithmique Zone en racine ExtérieurModèle κt0

κt1

κt0Prt AT Prt et Prt

k − ε/kθ − εθ + EARSM + EAHFM 0,47 1,80 0,85 -5,94 0,52 50 1k − kL/kθ − kθLθ + EARSM + EAHFM 0,47 1,02 0,85 -2,48 0,72 14,1 1

k − ε/kθ − εθ + EARSM + WWJ 0,48 2,28 0,85 -4,28 0,37 50 1k − kL/kθ − kθLθ + EARSM + WWJ 0,08 2,18 5,32 -1,63 0,50 14,1 1

Exp. / Théorie 0,48 1 0,85 -4,28 0,85 >1 1

TAB. 3.12 – Performances du modèle EAHFM à r = cste

On remarque que les performances du modèle k − kL/kθ − kθLθ sont bien meilleures que celles dumodèle k − ε/kθ − εθ, notamment pour la zone logarithmique en gradient de pression et la zone enracine. Ceci provient du fait, que déjà en dynamique, ce dernier ne satisfaisait pas entièrement toutes lescontraintes. On observe qu’à l’exception de la zone en racine pour laquelle le nombre de Prandtl turbulentest légèrement sous-estimé, le modèle EAHFM en association au k − kL/kθ − kθLθ respecte tout à faitbien les contraintes imposées.

Les constantes proposées par Wikström et al. ne permettent pas de satisfaire les contraintes imposées.La loi logarithmique sans gradient de pression est correctement représentée avec le modèle k − ε/kθ − εθ,mais pas avec le modèle k− kL/kθ − kθLθ. Même si le modèle se comporte correctement à la frontière del’écoulement, la représentation de la loi en racine est très contestable.

96 Chapitre 3 : Contraintes sur le modèle

97

Chapitre 4

Mise au point d’un modèle de paroi

Les modèles algébriques dynamiques et thermiques tels que formulés précédemment ne prennent pasen compte l’éventuelle présence de paroi et par conséquent n’amortissent pas les composantes du tenseurde Reynolds et du flux de chaleur turbulent. Ainsi, le nombre de Prandtl turbulent peut atteindre desvaleurs tout à fait aberrantes au voisinage d’une paroi. Il est donc primordial d’amortir le modèle de façonà ce qu’il donne des résultats physiques à la paroi.

Dans un premier temps, on va s’intéresser aux comportements théoriques à la paroi des différentesgrandeurs régissant l’écoulement et les confronter aux résultats expérimentaux. Une étude bibliographiqueva être menée sur les différents modèles de paroi existant en thermique. Finalement, on va procéder àl’amortissement des modèles EARSM et EAHFM, en étudiant d’abord leur comportement sans amortis-sement.

4.1 Comportements asymptotiques à la paroi

4.1.1 Comportement théorique

On a introduit dans les équations (3.18) et (3.19) les expressions du frottement total et du flux dechaleur total dans la zone interne d’une couche limite :

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

τ = −ρu′v′ + μ∂u

∂y= τp

−q = −ρCpv′θ + λ∂T

∂y= −qp

(4.1)

qu’on peut assimiler respectivement au frottement pariétal et au flux de chaleur pariétal si on admet quela région de paroi est d’épaisseur suffisamment faible.

Très près de la paroi, les effets turbulents sont négligeables devant les effets visqueux. Dès lors, onpeut écrire :

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

μ∂u

∂y= τp

α∂T

∂y=

−qp

ρCp

(4.2)

soit :

98 Chapitre 4 : Mise au point d’un modèle de paroi

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

u = τpy

μ+ u (y = 0)

T =−qp

ρCp

y

α+ Tp

(4.3)

avec :

u (y = 0) = 0 (4.4)

Ainsi, en variables de paroi, on obtient les relations suivantes :

u+ = y+

T + = Pr y+(4.5)

La vitesse et la température évoluent donc linéairement avec la distance à la paroi dans la sous-couchevisqueuse.

On peut écrire la vitesse et la température moyennes grâce à un développement de Taylor :

⎧⎪⎨⎪⎩

u+ = f1y+ + f2y

+2+ O(y+3)

T + = g1y+ + g2y

+2+ O(y+3) (4.6)

L’analyse suivante concerne une paroi isotherme, pour laquelle les fluctuations de température θ sontnulles à la paroi, ce qui n’est pas vrai pour une paroi iso-flux. D’après les conditions d’adhérence à laparoi, on peut aussi écrire u+ = v+ = 0 et u′+ = v′+ = w′+ = 0 en y+ = 0. La vitesse et la températurefluctuantes peuvent également s’écrire à l’aide d’un développement de Taylor en y+, sous la forme :

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

u′+ = a1y+ + a2y

+2+ O(y+3)

v′+ = b1y+ + b2y

+2+ O(y+3)

w′+ = c1y+ + c2y

+2+ O(y+3)

θ+ = d1y+ + d2y

+2+ O(y+3)

(4.7)

Or, l’équation de continuité nous indique que∂v′+

∂y+= 0. b1 est donc nul.

On peut donc en déduire les comportements des tensions de Reynolds :

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

u′2+

= a12y+2

+ O(y+3)

u′v′+

= a1b2y+3

+ O(y+4)

u′w′+ = a1c1y+2

+ O(y+3)

v′2+

= b22y+4

+ O(y+5)

v′w′+ = c1b2y+3

+ O(y+4)

w′2+

= c12y+2

+ O(y+3)

(4.8)

et des composantes du flux de chaleur turbulent :

4.1 Comportements asymptotiques à la paroi 99

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

u′θ+

= a1d1y+2

+ O(y+3)

v′θ+

= b2d1y+3

+ O(y+4)

w′θ+

= c1d1y+2

+ O(y+3)

(4.9)

On en déduit le comportement à la paroi de l’énergie cinétique de turbulence k+ = u′iu

′i

+/2, ainsi que

son taux de dissipation ε+ = ν+(

∂u′

i

∂xj

)2+

:

⎧⎪⎨⎪⎩

k+ =1

2

(a1

2 + c12)

y+2+ O(y+3)

ε+ = ν(a1

2 + c12)

+ 4ν (a1a2 + c1c2) y+ + O(y+2) (4.10)

De même, on peut écrire l’expression à la paroi de la demi-variance de température k+θ = θ2

+/2, ainsi

que son taux de dissipation ε+θ = α+

(∂θ∂xj

)2+

:

⎧⎪⎨⎪⎩

k+θ =

1

2d1

2y+2+ O(y+3)

ε+θ = αd1

2 + 4αd1d2y+ + O

(y+2) (4.11)

À partir de là, en écrivant ν+t =

−u′v′+

∂u+/∂y+et α+

t =−v′θ

+

∂T +/∂y+, on obtient :

⎧⎪⎨⎪⎩

ν+t = − b1c2

f1y+3

+ O(y+4)

α+t = − b2d1

g1y+3

+ O(y+4) (4.12)

d’où :

Prt =g1

f1

b1c2

b2d1

+ O(y+)

(4.13)

Ainsi, pour une paroi isotherme, le nombre de Prandtl turbulent évolue linéairement dans la région de

proche paroi, pour atteindre la valeur de g1

f1

b1c2

b2d1

à la paroi. En revanche, si on avait fait les développementspour une paroi iso-flux, on aurait pu montrer que, puisque les fluctuations de température s’écrivent :

θ+ = d0 + d1y+ + d2y

+2+ O(y+3)

(4.14)

le nombre de Prandtl turbulent, pour une paroi iso-flux, varie donc linéairement avec y+, mais décroîtjusqu’à une valeur nulle à la paroi :

Prt =g1

f1

b1c2

b2d0

y+ + O(y+2)

(4.15)

Par conséquent, un modèle de turbulence doit être capable de prévoir correctement ces comportementsphysiques à la paroi des différentes grandeurs, dynamiques et thermiques.

100 Chapitre 4 : Mise au point d’un modèle de paroi

4.1.2 Observations expérimentales

La mise en place d’un modèle de paroi repose la plupart du temps sur des observations expérimentales,lesquelles servent alors d’étalon pour la construction de ce modèle. C’est pourquoi, il est nécessaire des’assurer préalablement que ces expériences reproduisent correctement les comportements décrits plushaut. Afin d’approfondir ce point, on s’est intéressés à plusieurs résultats d’expériences et de simulationsnumériques directes (DNS).

4.1.2.1 Expériences de couche limite faiblement chauffée

Ces expériences de couche limite faiblement chauffée ont été menées par Subramanian et Antonia[81]. Elles ont été réalisées dans des conditions de pression constante à ±2% et de température de paroiuniforme (14 K au dessus de la température ambiante). Les mesures de vitesses ont été effectuées avecdes fils chauds, celles de température au fil froid. Les origines des couches limites dynamique et thermiquecoïncident et leurs expansions sont identiques à ±3%.

Les mesures ont été pratiquées pour différents nombres de Reynolds Re = U1δ2

ν , où U1 représentela vitesse extérieure et δ2 l’épaisseur de quantité de mouvement. Les nombres de Reynolds étudiés sontRe = 990, Re = 1500, Re = 3100, Re = 4750, Re = 6500 et Re = 7100.

Les figures (Fig. 4.1) et (Fig. 4.2) représentent les évolutions de la vitesse u+ et de la température T +

en fonction de l’ordonnée y+ pour les différents nombres de Reynolds. Les lois logarithmiques dynamiqueet thermique sont correctement vérifiées, avec κ = 0, 41 et κt = 0, 48. En revanche, on peut noter que, misà part pour le nombre de Reynolds le plus faible Re = 990, les données sont inexistantes dans la régionde très proche paroi, c’est-à-dire dans la sous-couche visqueuse.

FIG. 4.1 – Profil de vitesse adimensionnée - : Re =

990, × : Re = 1500, : Re = 3100, ⋄ : Re = 4750,∗ : Re = 6500, + : Re = 7100

FIG. 4.2 – Profil de température adimensionnée -Mêmes symboles qu’en Fig. 4.1

Sur les courbes (Fig. 4.3) et (Fig. 4.4) sont représentés respectivement la tension u′v′ et le flux dechaleur turbulent v′θ adimensionnés par les variables de frottement. On observe encore une fois que lespoints sont rares proche de la paroi et de plus très dispersés, avec une erreur relativement élevée pour leflux de chaleur. On peut remarquer que, dans la région interne, le flux de chaleur turbulent diminue plusvite que la tension croisée quand on s’éloigne de la paroi.

Le nombre de Prandtl turbulent est quant à lui déduit des courbes des tensions, des flux de chaleur,de la vitesse et de la température moyennes adimensionnés. Ainsi, il est représenté sur la figure (Fig. 4.5)

4.1 Comportements asymptotiques à la paroi 101

FIG. 4.3 – Distribution de la tension de Reynolds−u′v′

+- Mêmes symboles qu’en Fig. 4.1

FIG. 4.4 – Distribution du flux de chaleur turbulentv′θ

+- Mêmes symboles qu’en Fig. 4.1

avec une erreur de ±20%. De plus, on observe une forte dispersion en fonction du nombre de Reynoldsétudié.

FIG. 4.5 – Évolution du nombre de Prandtl turbulent - Mêmes symboles qu’en Fig. 4.1

4.1.2.2 Expérience de couche limite faiblement chauffée avec gradient de pression adverse

L’expérience abordée ici est celle d’Orlando et al. [62] qui concerne le développement d’une couchelimite sur une paroi faiblement et uniformément chauffée (Tp = cste = Te + 16 K). L’écoulement est sou-

mis à un gradient de pression modéré (β∗ = 6, où β∗ = δ1

τp

dPdx est le paramètre de pression adimensionné

en variables de Clauser, avec δ1 l’épaisseur de déplacement de la couche limite). La vitesse extérieure ue

est de 16,5 ms−1, le nombre de Reynolds basé sur l’épaisseur de déplacement est de 10901. Les mesuressont prises à l’abscisse x = 1, 8 m, où le coefficient de frottement vaut Cf = 0, 00162. Les incertitudes demesure sur le nombre de Prandtl turbulent sont de l’ordre de 17%.

102 Chapitre 4 : Mise au point d’un modèle de paroi

On peut alors tracer la vitesse, la température, le flux de chaleur adimensionnés et le nombre de Prandtlturbulent, en fonction de l’ordonnée adimensionnée y+. Ces grandeurs sont reportées respectivement surles figures (Fig. 4.6), (Fig. 4.7), (Fig. 4.8) et (Fig. 4.9).

y+

u+

0 50 100 150 2000

5

10

15

20

FIG. 4.6 – Profil de vitesse moyenne adimension-née

y+

T+

0 50 100 150 2000

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

FIG. 4.7 – Profil de température moyenne adimen-sionnée

y+

v’θ

+

0 50 100 150 200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

FIG. 4.8 – Évolution du flux de chaleur transversal

y+

Pr t

0 50 100 150 2000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

FIG. 4.9 – Évolution du nombre de Prandtl turbulent

On observe que les différentes grandeurs semblent se comporter correctement à la paroi et avoir labonne évolution en y+. Néanmoins, on remarque que le nombre de Prandtl turbulent est assez élevé àla paroi (aux alentours de 3). Il semble difficile de faire la part des choses entre l’effet du gradient depression adverse qui tend à augmenter Prt à la paroi (puisqu’il diminue le gradient de vitesse et par làmême tend à augmenter la viscosité turbulente) et les incertitudes de mesures qui sont non négligeables.

4.1.2.3 Simulations numériques directes de couches limites thermiques

Ces DNS de couches limites thermiques ont été menées par Kong et al. [48] dans des conditions deparoi isotherme, sans gradient de pression. Le profil de vitesse est calculé pour deux nombres de ReynoldsReδ2

= 300 et Reδ2= 400, nombres de Reynolds basés sur la vitesse extérieure et l’épaisseur de quantité

de mouvement. Les résultats dynamiques sont comparés avec les DNS de Spalart [78] à Reδ2= 300

et les expériences de Ching et al. [21] à Reδ2= 400. Quant aux grandeurs thermiques, moyennes ou

fluctuantes, elles sont calculées pour trois nombres de Reynolds différents, basés sur l’épaisseur d’enthalpie∆2, Re∆2

= 348, Re∆2= 431 et Re∆2

= 493. Les résultats thermiques sont quant à eux comparés àceux des DNS d’un canal pleinement développé de Kim et al. [47] à Re∆2

= 341. Les figures (Fig. 4.10)et (Fig. 4.11) représentent l’évolution de la vitesse et de la température adimensionnées, fonctions de ladistance à la paroi y+. Sur la figure (Fig. 4.11) est aussi tracée la loi d’évolution de la température donnéepar Kader [44] pour Re∆2

= 348 :

4.1 Comportements asymptotiques à la paroi 103

T + = Pry+exp (−Γ) +

[2.12 ln

((1 + y+

) 2, 5 (2 − y+/δ)

1 + 4 (1 − y+/δ)2

)+ β

]exp

(− 1

Γ

)(4.16)

où :⎧⎪⎨⎪⎩

Γ =10−2(Pry+)4

1+5Pr3y+

β =(3.85Pr1/3 − 1, 3

)2+ 2, 12 lnPr

(4.17)

FIG. 4.10 – Profil de vitesse adimensionnée - :

Reδ2 = 300, − · − · − : Reδ2 = 400, : Reδ2 = 300,Spalart, : Reδ2 = 400, Ching et al.

FIG. 4.11 – Profil de température adimensionnée -: Re∆2 = 348, −− : Re∆2 = 431, − · − · − :

Re∆2 = 493, : Re∆2 = 348, Kader, : Re∆2 =

341, Kim et al.

Le profil de vitesse semble insensible aux variations de Reynolds, contrairement à celui de la tempéra-ture qui présente une dispersion au-delà de y+ = 50, la région de proche paroi n’étant pas affectée par cesvariations. Les pentes des lois logarithmiques dynamique et thermique sont dans tous les cas supérieuresà celles données par la théorie, respectivement 1/0, 41 et 1/0, 48. En revanche, la loi T+ = Pr y+ est toutà fait bien reproduite dans la sous-couche visqueuse.

Sur les figures (Fig. 4.12) et (Fig. 4.13) sont représentés le flux de chaleur turbulent transversaladimensionné, ainsi que le nombre de Prandtl turbulent. On observe que quel que soit le nombre deReynolds, les flux transversaux coïncident jusqu’à environ y+ = 20, mais diffèrent au-delà. La sous-couchevisqueuse, région qui nous intéresse ici, semble donc très peu affectée par les conditions extérieures. Lenombre de Prandtl turbulent, quant à lui, est très peu sensible au nombre de Reynolds et ce, dans toutela région interne de la couche limite. L’information intéressante ici est que ces DNS fournissent une valeurde Prt à la paroi de l’ordre de 1,1 et que ce nombre de Prandtl turbulent varie linéairement avec y+ dansla sous-couche visqueuse.

FIG. 4.12 – Évolution du flux de chaleur transversal- Mêmes symboles qu’en Fig. 4.11

FIG. 4.13 – Évolution du nombre de Prandtl turbu-lent - Mêmes symboles qu’en Fig. 4.11

104 Chapitre 4 : Mise au point d’un modèle de paroi

4.1.2.4 Simulations numériques directes d’un canal chauffé à parois isothermes

Iida et Kasagi [41] ont effectué des simulations numériques directes sur un écoulement de canal à paroisisothermes. L’écoulement est pleinement développé, bidimensionnel et les plans du canal sont parallèles,à températures différentes mais constantes. L’écoulement est homogène dans les deux directions et lesgrandeurs statistiques ne dépendent que de la distance à la paroi. Les conditions d’écoulement sont régiesd’une part par la vitesse de frottement et d’autre part par la différence de température entre les deuxplans définissant les parois. Les conditions de l’écoulement sont les suivantes :

Reτ =uτδ

ν= 150 ; Reb =

2Ubδ

ν= 4560 ; Pr = 0, 71 ; Cf = 8, 66 10−3

où Ub est la vitesse moyenne au centre du canal.

Les figures (Fig. 4.14) et (Fig. 4.15) donnent les évolutions de la vitesse et de la température adi-mensionnées par les variables de paroi. On observe l’existence de la loi logarithmique dynamique, mais lathermique, elle, n’est pas bien mise en évidence. Cependant on vérifie l’évolution linéaire de u+ et T + enfonction de la distance à la paroi, comme le prévoit la théorie.

y+

u+

100 101 1020

2

4

6

8

10

12

14

16

18Exp.u+=1/0,41 ln(y +)+5,2u+=y+

FIG. 4.14 – Évolution de la vitesse moyenne adimen-sionnée

y+

T+

100 101 1020

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20Exp.T+=1/0,48 ln(y +)+3,6T+=Pr y+

FIG. 4.15 – Évolution de la température moyenneadimensionnée

Sur les figures (Fig. 4.16) et (Fig. 4.17) sont représentées les évolutions de la tension croisée −u′v′+

et du flux de chaleur turbulent transversal −v′θ+. À la paroi, le comportement de ces corrélations est

sensiblement identique. La figure (Fig. 4.18) confirme, malgré quelques fluctuations, que le nombre dePrandtl turbulent varie linéairement dans la sous-couche visqueuse.

La valeur du nombre de Prandtl turbulent à la paroi se situe aux alentours de 1,03. Il existe donc unléger désaccord entre cette valeur et celle fournie par les DNS de Kong et al.. Néanmoins, comme pourles DNS de couche limite, on observe une bosse aux alentours de y+ = 50. Il est difficile de savoir si cephénomène est physique ou intrinsèque aux simulations DNS, car l’allure générale du nombre de Prandtlturbulent est fortement accidentée.

4.1.2.5 Conclusion

Les expériences et simulations numériques directes sont rares en turbulence thermique, qui plus estdans la région de paroi. On a vu que cette zone est souvent mal exploitée, la plupart du temps parmanque de moyens techniques. Elle est étudiée au travers de seulement quelques points qui ne permettentpas une analyse fine du comportement des grandeurs turbulentes dans cette région. De plus, on observeune forte dispersion entre les résultats et notamment au niveau du nombre de Prandtl turbulent à laparoi, qui varie dans les expériences de Subramanian et Antonia entre 0,8 et 1,2, qui atteint la valeurde 3 pour Orlando et al. et se situe aux alentours de 1 à 1,1 pour Kong et al. et Iida et Kasagi, toutceci avec de fortes incertitudes de mesure. On constate néanmoins que la linéarité de Prt en y+ à laparoi est bien représentée par ces différentes expériences et DNS. Toutefois, dans le cas des simulationsnumériques directes, on a pu observer à différentes reprises la présence d’une bosse aux alentours de

4.2 Étude bibliographique sur les modèles de paroi en thermique 105

y+

u’v’

+

0 50 100 150

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

FIG. 4.16 – Évolution de la tension de Reynolds croi-sée adimensionnée

y+

v’θ

+

0 50 100 150-1

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

FIG. 4.17 – Évolution du flux de chaleur transversaladimensionné

y+

Pr t

0 50 100 1500.85

0.9

0.95

1

1.05

1.1

FIG. 4.18 – Évolution du nombre de Prandtl turbulent

y+ = 50. Ce phénomène n’est toujours pas expliqué. Toujours est-il que cette bosse rend le profil difficileà modéliser. Rappelons que le but de l’étude est de construire un modèle théorique sur lequel on basera laconstruction de la fonction d’amortissement. Ainsi, afin de faciliter l’élaboration de cette fonction et de nepas s’éloigner trop du profil théorique, on prend le parti de poser Prt = cste dans la région de proche paroi(sous-couche visqueuse et région tampon), pour la construction du modèle théorique. Cette alternativepermettra toutefois de reproduire la bonne valeur de Prt à la paroi et n’altérera en rien les composantesdu flux de chaleur turbulents et la diffusivité turbulente, quantités les plus importantes puisque ce sontelles qui interviennent dans les équations de transport. De plus, cette approximation, valable uniquementen très proche paroi, n’aura aucune incidence sur le comportement en zone logarithmique.

4.2 Étude bibliographique sur les modèles de paroi en thermique

Cette partie a pour objectif de recenser quelques modèles de parois trouvés dans la littérature, sanspour autant être exhaustive. Nous allons voir sur quels modèles ils s’appliquent, quelles en sont lescaractéristiques et comment elles sont ensuite calibrées.

106 Chapitre 4 : Mise au point d’un modèle de paroi

4.2.1 Modèle de Park, Sung et Suzuki [63]

Le modèle de Park et al. [63] est un modèle de type algébrique explicite, pour lequel l’expression duflux de chaleur est la suivante :

u′iθ = −αt

(2

3δij + 2fwbij

)∂T

∂xj(4.18)

où bij est le tenseur d’anisotropie et fw la fonction de paroi telle que :

∂2fw

∂xj∂xj=

Rt3/2

A2L2(fw − 1) (4.19)

Rt est le nombre de Reynolds turbulent Rt = k2/ (νε), A est une constante (A = 8, 4) et L est l’échellede longueur turbulente définie par :

L =k3/2

ε(4.20)

fw apparaît également dans l’équation de transport de ε et dans l’expression de la fonction d’amor-tissement fµ de la viscosité turbulente.

L’expression de la diffusivité turbulente αt proposée par les auteurs est la suivante :

αt = Cλfλνt (4.21)

où Cλ est une fonction du nombre de Reynolds turbulent Rt et du nombre de Prandtl moléculaire Pr :

Cλ =2

3

(1 +

12, 5

R0,5t

)2 (1 +

130

RtPr

)−0,25

(4.22)

fλ représente donc la fonction d’amortissement de la diffusivité turbulente et est modélisée par :

fλ = [1 − exp (−8fw)]3 (4.23)

Avec cette fonction, le flux de chaleur turbulent possède le comportement théorique en proche paroi,à savoir −v′θ

+ ∼ y3. Néanmoins, il est difficile de savoir comment la fonction fλ a été calibrée et même sile profil de température moyenne semble être cohérent avec celui des DNS de Kasagi et al. [45] en canalchauffé (Fig. 4.19), on ne possède aucune information supplémentaire sur les flux de chaleur turbulents.

FIG. 4.19 – Comparaison de la température moyenne adimensionnée avec les DNS de Kasagi et al. [45]

4.2 Étude bibliographique sur les modèles de paroi en thermique 107

4.2.2 Modèle de Deng, Wu et Xi [29]

Le modèle de Deng et al. [29] est un modèle à quatre équations de transport, k − ε/θ2 − εθ, dont leséquations dynamiques et thermiques sont les suivantes :

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

Dk

Dt=

∂

∂xj

((ν +

νt

σk

)∂k

∂xj

)− u′

iu′j

∂ui

∂xj− ε

Dε

Dt=

∂

∂xj

((ν +

νt

σε

)∂ε

∂xj

)− Cε1

ε

ku′

iu′j

∂ui

∂xj− Cε2

fεε2

k

(4.24)

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

Dθ2

Dt=

∂

∂xj

((α +

αt

σh

)∂θ2

∂xj

)− 2u′

iθ∂T

∂xi− 2εθ

Dεθ

Dt=

∂

∂xj

((α +

αt

σe

)∂εθ

∂xj

)− Cp1

√εεθ

kθ2u′

iθ∂T

∂xi− Cd1

fd1

ε2θ

θ2− Cd2

fd2

εεθ

k

(4.25)

avec νt = Cµfµk2

ε.

Dans ces équations apparaît le flux de chaleur turbulent. Son expression est donnée sous forme aniso-trope :

−u′iθ = αt

∂T

∂xi+ αtij

∂T

∂xj(4.26)

où le premier terme est la partie isotrope et le second terme la contribution anisotrope du flux de chaleur.La diffusivité turbulente isotrope αt est donnée par Nagano et Kim [58] :

αt = Cλfλkτth (4.27)

alors que la diffusivité anisotrope αtijest proposée par Yoshizawa [91] :

αtij= −Cλfλkτth

2 (α1Sij + α2Ωij) (4.28)

avec Sij et Ωij les tenseurs des taux de déformation et de rotation respectivement. τth est l’échelle detemps totale τth = τ1/22τθ

1/2.

La fonction d’amortissement fλ est exprimée en fonction de deux nombres de Reynolds turbulentsdéfinis par :

Rε =y (νε)

1/4

ν(4.29)

Rt =k2

νε(4.30)

et s’écrit :

fλ =

(1 − exp

(−Rε

16

))2(1 +

3

Rt3/4

)(4.31)

Les fonctions fd1et fd2

intervenant dans l’équation de transport de εθ s’écrivent :

fd1=

(1 − exp

(− Rε

1, 7

))2

(4.32)

et

108 Chapitre 4 : Mise au point d’un modèle de paroi

fd2=

(1

Cd2

)(Cε2

fε0− 1)

(1 − exp

(− Rε

5, 8

))2

(4.33)

de manière à ce que le taux de dissipation de θ2 se comporte correctement à la paroi.

fε0=

(1 − 0, 3exp

(− Rt

6, 5

))2

(4.34)

Les auteurs ne précisent pas, ici non plus, la manière dont ils ont calibré leurs fonctions d’amortisse-ment. Ce modèle, en comparaison avec les DNS de Kim et al. [47] prévoit, comme celui de Park et al., toutà fait correctement le profil de la température adimensionnée, mais sous-estime assez le flux de chaleurturbulent transversal dans la sous-couche visqueuse et son évolution avec la distance à la paroi est endésaccord avec la théorie (Fig. 4.20). Les résultats sont tracés aussi bien pour une paroi isotherme quepour une paroi iso-flux.

FIG. 4.20 – Comportement près de la paroi du flux de chaleur turbulent transversal

4.2.3 Modèle de Youssef, Nagano et Tagawa [93]

Le modèle de Youssef et al. [93] est un modèle à quatre équations de transport k− ε/θ2− εθ intégrantdes fonctions d’amortissement. Les équations dynamiques sont identiques à celles du modèle de Denget al. (4.24) et les équations de transport thermiques sont les suivantes :

Dθ2

Dt=

∂

∂xj

((α +

αt

σh

)∂θ2

∂xj

)− 2u′

jθ∂T

∂xj− 2εθ (4.35)

Dεθ

Dt=

∂

∂xj

((α +

αt

σφ

)∂εθ

∂xj

)− Cp1

εθ

θ2u′

jθ∂T

∂xj− Cp2

εθ

ku′

iu′j

∂ui

∂xj− CD1

fD1

ε2θ

θ2− CD2

fD2

εεθ

k(4.36)

avec :

−u′jθ = αt

∂T

∂xj(4.37)

et :

4.2 Étude bibliographique sur les modèles de paroi en thermique 109

αt = Cλfλk

(k

ε

)−1(

θ2

εθ

)2

(4.38)

La fonction d’amortissement fλ intervenant dans la définition de αt est écrite de la manière suivante :

fλ =[1 − exp

(−y+/Aλ

)]2 (1 + Bλ/Rh

3/4)

(4.39)

Bλ est une constante et Rh est le nombre de Reynolds turbulent basé sur l’échelle de temps totale :

Rh =k

ν

(k

ε

)−1(

θ2

εθ

)2

(4.40)

Or, si on considère un écoulement isotrope, les équations régissant le problème sont les suivantes :

udk

dx= −ε (4.41)

udε

dx= −Cε2

fεε2

k(4.42)

udθ2

dx= −2εθ (4.43)

udεθ

dx= −CD1

fD1

ε2θ

θ2− CD2

fD2

εεθ

k(4.44)

où x est la direction de l’écoulement.

De plus, on sait [59] [87] que dans un écoulement isotrope le rapport des temps caractéristiques

r = θ2/2εθ

k/ε est constant dans le sens de l’écoulement. Ainsi, on peut récrire la dernière équation en termede r et au final, les deux relations suivantes sont obtenues :

CD2fD2

= Cε2fε − 1 (4.45)

Les fonctions suivantes sont proposées pour que le modèle se comporte correctement à la paroi :

fD1=[1 − exp

(−y+/BD1

)]2(4.46)

fD2=

1

CD2

(Cε2fε − 1)

[1 − exp

(−y+/BD1

)]2(4.47)

avec :

fε = 1 − 0, 3[− (Rt/6, 5)

2]

(4.48)

où Rt = k2/νε est le nombre de Reynolds turbulent dynamique.

La constante Cλ introduite dans la définition de la diffusivité turbulente est déterminée à partir dela définition de αt, de νt et du comportement du modèle dans la zone logarithmique, où les auteursconsidèrent que le rapport des temps caractéristiques r est une constante égale à 1/2 et où le nombre dePrandtl turbulent est constant et proche de 0,9. En effet, :

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

νt = Cµk2

ε

αt = Cλk

(k

ε

)m((2kθ

εθ

)n

avec m + n = 1

r =kθ/εθ

k/ε

(4.49)

110 Chapitre 4 : Mise au point d’un modèle de paroi

d’où :

Prt =νt

αt=

Cµ

Cλ (2r)n =

Cµ

Cλavec r =

1

2(4.50)

Ainsi :

Cλ =Cµ

Prt (2r)2 = 0, 10 (4.51)

Les constantes CD1et CD2

de l’équation pour εθ sont évaluées à partir de l’analyse de la décroissancede la turbulence homogène et ainsi :

CD1fD1

= 2 (4.52)

CD2fD2

= Cε2fε − 1 (4.53)

Les constantes des termes de diffusion σh et σφ sont posées comme étant égales à 1.

Les constantes Cp1et Cp2

sont issues de l’analyse de la loi logarithmique thermique sans gradient depression.

Les coefficients Aλ et Bλ sont déterminées à partir de l’analyse à la paroi.

Les différentes constantes du modèle sont réunies dans le tableau (TAB. 4.1).

Cλ Cp1Cp2

CD1CD2

σh σφ Aλ Bλ

0,1 1,7 0,64 2 0,9 1 1 26/Pr1/2 3,4

TAB. 4.1 – Valeurs des constantes du modèle de Youssef et al. [93]

Le modèle, testé sur des écoulements de paroi isotherme et iso-flux, restitue le comportement théoriquedu flux de chaleur transversal et du flux de chaleur longitudinal à la paroi, à savoir v′θ

+ ∼ y3 et u′θ+ ∼ y2

respectivement.

4.2.4 Conclusion

Cette partie s’est consacrée à l’étude de quelques amortissements de modèles thermiques. On a pu voir,sur les modèles à quatre équations, qu’une fonction d’amortissement peut être appliquée dans l’équationpour εθ et une autre directement sur l’expression de la diffusivité turbulente. Cette dernière est, dans laplupart des cas, une simple exponentielle faisant intervenir le nombre de Reynolds turbulent Rt = k2

νε . Lesfonctions d’amortissement sont en général calibrées de sorte que la tension v′θ évolue en y3 à la paroi.

4.3 Amortissement du modèle EAHFM

Cette partie se consacre à l’amortissement du modèle EAHFM. Le modèle thermique dépendant ducomportement du modèle dynamique, il est par conséquent indispensable de s’intéresser également àl’amortissement du modèle k − kL en association avec la formulation EARSM. Dans un premier temps,nous allons faire l’analyse de ces deux modèles sans amortissement, de manière à en déduire la correctionà leur appliquer. On s’attachera ensuite à décrire l’amortissement dynamique utilisé et finalement onprocédera à l’élaboration d’une fonction d’amortissement thermique.

4.3 Amortissement du modèle EAHFM 111

4.3.1 Comportement du modèle sans amortissement

4.3.1.1 Modèle EARSM

L’analyse est faite ici pour un écoulement de canal pleinement développé, parfaitement parallèle, àl’exception du voisinage immédiat de la paroi. Pour ce type de configuration, on peut considérablementsimplifier l’expression du tenseur d’anisotropie qui peut alors se récrire en fonction uniquement des coef-ficients βi sous leur forme bidimensionnelle, ainsi que du taux de cisaillement adimensionné :

σ =1

2

k

ε

du

dy(4.54)

Les invariants du problème peuvent alors être aisément exprimés :

η1 = 2σ2 (4.55)

η2 = −2σ2 (4.56)

et ainsi, les composantes du tenseur d’anisotropie s’écrivent :

b12 = σβ1 ; b11 = σ2

(1

3β2 − 2β3

); b22 = σ2

(1

3β2 + 2β3

)(4.57)

Le tableau (TAB. 4.2) résume le comportement de à la paroi des différents termes de la formulationEARSM.

u k ε σ η1 η2 N Q β1 β2 β3 b12 b11 b22

y y2 y0 y2 y4 y4 y2 y4 1/y2 1/y4 1/y4 y0 y0 y0

TAB. 4.2 – Comportement à la paroi des différents termes de la formulation EARSM

On remplace les évolutions théoriques en y de chaque grandeur dans les équations régissant le problèmeet ainsi on aboutit au fait que N évolue en y2 et que par conséquent b12 est constant à la paroi, sansamortissement. Or, la théorie nous indique que son évolution devrait être proportionnelle à la distance àla paroi, puisque u′v′ évolue en y3 et k en y2. Le modèle EARSM de Wallin et Johansson dans sa versiongrand Reynolds ne permet pas de restituer le bon comportement de la tension croisée −u′v′

+. Pour cette

composante, l’amortissement peut se faire via le terme β1, de sorte que :

β1a= f1β1 (4.58)

où l’indice a désigne la version avec amortissement de paroi, avec f1 évoluant en y2 à la paroi.

Si on s’intéresse maintenant aux composantes b11 et b22, alors leur bon comportement sera assuré siles coefficients β2 et β3 se comportent eux-mêmes correctement.

Le modèle conduit à des valeurs de b11 et b22 constantes à la paroi, ce qui est homogène avec la théorie.Néanmoins, la théorie indique que :

b11 =u′2

+

2k+− 1

3=

a21

a21 + c2

1

− 1

3+ O(y+)

(4.59)

et :

b22 =v′2

+

2k+− 1

3=

b22

a21 + c2

1

y+2 − 1

3= −1

3+ O(y+2)

(4.60)

alors que les valeurs données par le modèle sans amortissement, dans le cas par exemple des DNS de Kim[46] en canal, sont différentes (TAB. 4.3).

112 Chapitre 4 : Mise au point d’un modèle de paroi

b11 b22

DNS 0,39 -0,33EARSM 0,20 -0,20

TAB. 4.3 – Composantes b11 et b22 du tenseur d’anisotropie. Comparaison entre DNS de Kim [46] et modèleEARSM sans amortissement

Les fonctions d’amortissement permettant de caler les valeurs de b11 et b22 sur les données des DNSseront alors naturellement appliquées sur les coefficients β2 et β3, comme on le verra par la suite.

4.3.1.2 Modèle EAHFM

On considère un écoulement bidimensionnel homogène, de canal par exemple, pour lequel il existe ununique gradient de vitesse transversal (selon y) et un unique gradient de température également dans ladirection transversale.On suppose que les grandeurs dynamiques se comportent correctement à la paroi, c’est-à-dire que :

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

u+ ∼ y+

k+ ∼ y+2

ε+ ∼ y+0

u′v′+ ∼ y+3

u′2+ ∼ y+2

v′2+ ∼ y+4

νt+ =

−u′v′+

du+/dy+∼ y+3

(4.61)

et que la température suit effectivement une évolution linéaire avec la distance à la paroi.

On récrit la formulation algébrique en intégrant ces évolutions en fonctions de y et ainsi, on peutdéterminer le comportement des grandeurs thermiques turbulentes données par la formulation EAHFM.Le tableau (TAB. 4.4) présente les évolutions de u′θ

+, v′θ

+, αt

+ et Prt en fonction de y+, d’une partthéoriques et d’autre part telles qu’elles sont induites par le modèle EAHFM sans amortissement. Rappe-lons que le comportement de Prt théorique est fixé à y+0 pour simplifier la mise en place de la fonctiond’amortissement. On rappelle que son vrai comportement est en y+ à la paroi.

Grandeur turbulente u′θ+

v′θ+

αt+ Prt

Théorie y+2y+3

y+3y+0

EAHFM sans amortissement y+5y+6

y+6 1y+3

TAB. 4.4 – Comportement à la paroi des grandeurs thermiques turbulentes

Les évolutions des flux u′θ+

et v′θ+

du modèle EAHFM sans amortissement en fonction de y+ sonttracées sur les figures (Fig. 4.21) et (Fig. 4.22).

On observe donc que sans correction le modèle n’amortit pas naturellement les composantes du fluxde chaleur et par là même le nombre de Prandtl turbulent. Il va donc falloir effectuer un traitementparticulier sur le modèle de manière à ce que la physique soit respectée dans la région de paroi.

4.3 Amortissement du modèle EAHFM 113

y+

u’θ

+

100 101

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

5

1

FIG. 4.21 – Évolution de u′θ+

en fonction de y+

pour le modèle EAHFM sans amortissement

y+

v’θ

+

10-1 100 101 102

10-10

10-8

10-6

10-4

10-2

100

6

1

FIG. 4.22 – Évolution de v′θ+

en fonction de y+ pourle modèle EAHFM sans amortissement

4.3.2 Amortissement dynamique

Comme on a pu le démontrer plus haut, la formulation dynamique EARSM de Wallin et Johansson[86] nécessite une correction de paroi permettant d’amortir correctement les composantes du tenseurd’anisotropie. Avant de procéder à cet ajustement, on va dans un premier lieu étudier la réponse dumodèle k − kL en présence de paroi et décrire le traitement qui lui a été appliqué.

4.3.2.1 Amortissement du modèle k − kL

Le comportement du modèle dans la région de paroi est étudié en résolvant les équations de quantitéde mouvement et de transport des échelles de turbulence en variables de paroi. On suppose que le profilde vitesse est connu et on néglige la convection qui n’intervient que dans la zone externe de la couche limite.

Les équations en variables de paroi se mettent sous la forme, avec φ = kL :

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

(1 + ν+

t

) du+

dy+= 1 + p+y+

Pk+ − k+5/2

φ++

d

dy+

[(1 +

ν+t

σk

)dk+

dy+

]= 0

Cφ1

φ+

k+Pk

+ − Cφ2k+3/2

+d

dy+

[(1 +

ν+t

σφ

)dφ+

dy+

]+ Cφφ

ν+t

φ+

dφ+

dy+

dφ+

dy++ Cφk

ν+t

k+

dφ+

dy+

dk+

dy+= 0

(4.62)

avec :

Pk+ = ν+

t

(du+

dy+

)2

(4.63)

Le gradient de vitesse est donné par le modèle de longueur de mélange de van Driest :

du+

dy+=

√1 + 4η2 − 1

2η2avec η = κy+

[1 − exp

(−y+

26

)](4.64)

Ce modèle est corrigé près de la paroi (y+ < 5, 23) de manière à ce que la tension turbulente ait lecomportement théorique en y+3 :

114 Chapitre 4 : Mise au point d’un modèle de paroi

−u′v′+

= auvy+3

;du+

dy+= 1 − auvy+3

; ν+t =

auvy+3

1 − auvy+3 avec auv = 8, 29 10−4 (4.65)

On peut alors intégrer le gradient de vitesse, pour obtenir le profil de vitesse, depuis la paroi où u+ = 0et jusqu’à des valeurs de y+ suffisamment grandes pour pouvoir supposer que la zone logarithmique estatteinte.

On observe que les équations de k+ et de φ+ ne sont pas équilibrées à la paroi et par conséquent nepeuvent pas être résolues. En effet, si on considère l’équation pour k+ et qu’on cherche une solution àla paroi de la forme k+ = aky+α, alors, en remplaçant cette expression dans son équation de transport,on constate qu’il ne reste que le terme de diffusion visqueuse, la production, la dissipation et la diffusionturbulente étant négligeables. Étant donnée la forme recherchée de la solution pour k+, la diffusionvisqueuse devient :

α (α − 1)aky+(α−2)

Il est donc nécessaire d’ajouter un terme de dissipation supplémentaire permettant d’équilibrer ladiffusion. Ce terme doit aussi permettre d’obtenir le profil théorique de k+ en y+2 à la paroi, soit α =2. Dans ce cas, la diffusion est constante et vaut 2ak. De plus, ce terme doit s’annuler dès la zonelogarithmique.

Le terme de dissipation retenu est le suivant :

2νk

y2

L’équation pour k+ devient alors :

Pk+ − k+5/2

φ+− 2k+

y++

d

dy+

[(1 +

ν+t

σk

)dk+

dy+

]= 0 (4.66)

On effectue la même analyse avec l’équation pour φ+ qu’on cherche sous la forme φ+ = aφy+β . Il ne

reste alors que le terme de diffusion visqueuse qui s’écrit alors β (β − 1) aφy+(β−2), à condition que β soitsupérieur ou égal à 2. Ce terme doit également s’annuler dans la zone logarithmique et au-delà. Un termede la forme β (β − 1) φ+

y+2 permet d’avoir le bon équilibre à la paroi.

Cependant, Bézard [14] a montré que ce terme conduisait à une évolution de φ = kL en y3 à la paroi,ce qui n’est pas très satisfaisant d’un point de vue numérique. Une autre approche a donc été entreprisede façon à avoir un comportement de φ linéaire en y à la paroi, grâce à un terme le plus simple possible(i.e. facteur des échelles k, φ, ν et y) et qui est stable numériquement.

Au final, le terme à introduire dans l’équation pour φ est :

−Cφp1

φ5/2

ν2√yexp(−Cφp2

Ry

)avec Cφp1

= 7, 5 10−4 ; Cφp2= 0, 065 ; Ry =

y√

k

ν

L’ajout de ce terme permet d’avoir une échelle φ qui évolue linéairement avec y à la paroi et sa formemême garantit qu’il ne peut pas se réactiver dans la zone externe de l’écoulement, puisque même si lenombre de Reynolds turbulent Ry tend vers 0 à l’extérieur et réactive la fonction exponentielle, l’échelleφ a été calibrée de manière à s’annuler à l’extérieur et la distance à la paroi intervient au dénominateurdu terme.

4.3.2.2 Amortissement de la formulation EARSM

On a vu dans l’analyse du comportement du modèle EARSM en présence de paroi, que dans le cas d’unécoulement parallèle bidimensionnel, la composante b12 fournie par le modèle est constante alors qu’elle

4.3 Amortissement du modèle EAHFM 115

doit évoluer de manière linéaire avec la distance à la paroi. Ainsi, Wallin et Johansson [86] affectent unefonction d’amortissement f1 au coefficient β1 :

β1a = f1β1 avec f1 = 1 − exp

(−y+

26

)(4.67)

La figure (Fig. 4.23) illustre l’évolution de a12 = 2b12, en fonction de y+, dans le cadre des DNS decanal de Kim [46].

FIG. 4.23 – Évolution de a12 = 2b12 dans l’écoulement de canal. Comparaison entre le modèle EARSM avec ( )et sans (−−) correction de proche paroi, le modèle à viscosité turbulente (· · ·) et les DNS (•) de Kim [46]

Quant aux composantes b11 et b22 du tenseur d’anisotropie, elles présentent une évolution correcteà la paroi en fonction de y+, mais leur valeur en y+ = 0 est inexacte. Ainsi, Wallin et Johansson [86]posent :

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

b11a = f2b11 + (1 − f2)

(B2 −

1

3

)

b22a = f2b22 + (1 − f2)

(−1

3

) (4.68)

où B2 =a21

c21

.

Les auteurs font le choix simplifié de poser f2 = f21 et ainsi, les coefficients β2 et β3 en version

bas-Reynolds s’écrivent :⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

β2a =3B2 − 4

2σ2

(1 − f2

1

)

β3a = f21β3 −

B2

4σ2

(1 − f2

1

) (4.69)

En adoptant la valeur de B2 = 0, 9, les résultats sont cohérents avec les données des DNS de Kim [46]en canal. Les figures (Fig. 4.24(a)) et (Fig. 4.24(b)) représentent respectivement les quantités a11 = 2b11

116 Chapitre 4 : Mise au point d’un modèle de paroi

et a22 = 2b22, en fonction de l’ordonnée adimensionnée y+, calculées à partir du modèle EARSM et desDNS de Kim [46].

Néanmoins, de par la simplification adoptée pour la fonction f2, la composante a11 n’a pas le boncomportement en y+ (A + By+2 au lieu de A′ + B′y+), mais cela concerne uniquement la région de trèsproche paroi et ne semble pas poser d’autres problèmes.

FIG. 4.24 – Évolution de a11 = 2b11(a) et a22 = 2b22(b) dans l’écoulement de canal. Comparaison entre le modèleEARSM avec ( ) et sans (−−) correction de proche paroi et les DNS (•) de Kim [46]

Le cas précédemment traité est un cas particulier qu’il n’est pas possible de généraliser directementà une configuration tridimensionnelle. Notamment, pour des écoulements décollés, le cisaillement σ peutdevenir très petit et dans ce cas conduire à une singularité dans les coefficients β2a et β3a. De manièreà pallier ce problème, le cisaillement σ intervenant au dénominateur est limité par le cisaillement àl’équilibre, c’est-à-dire quand il y a équilibre entre la production et la dissipation. On notera η1

eq cettevaleur d’équilibre, obtenue en posant Pk = ε, à savoir :

η1eq =

(A1 + A′1)

2

2[A2 (A1 + A′

1) +A2

3

3 − 1] ≈ 5, 74 (4.70)

De plus, la fonction f1 telle que décrite en (4.67), est exprimée en fonction de la distance à la paroiréduite y+, ce qui peut occasionner une singularité au point de décollement. Une alternative consiste à

utiliser à la place de y+ le nombre de Reynolds turbulent défini par Ry = y√

kν qui permet d’éviter toute

singularité. Ainsi, la nouvelle fonction d’amortissement f1 se définit par :

f1 = 1 − exp(−Cy1

√Ry − Cy2

Ry2)

avec Cy1= 0, 11 et Cy2

= 0, 00011 (4.71)

On récrit alors tous les nouveaux coefficients intervenant dans la formulation EARSM sous formetridimensionnelle. On notera βi ces nouveaux coefficients et βieq

ces mêmes coefficients à l’équilibre, dontles expressions sont données en (1.71) :

4.3 Amortissement du modèle EAHFM 117

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

β1 = f1β1eq

β2 =(1 − f2

1

) 3B2 − 4

max (η1, ηeq1 )

β3 = f21 β3eq

+(1 − f2

1

) B2/2

max (η1, ηeq1 )

β4 = f21 β4eq

β5 = 0

β6 = f1β6eq

β7 = 0

β8 = 0

β9 = f21 β1eq

(4.72)

avec B2 = 0, 9.

4.3.3 Amortissement thermique

On a vu plus haut que le modèle EAHFM ne permet pas d’amortir naturellement les composantesdu flux de chaleur en présence de paroi. Il est donc indispensable de forcer cet amortissement et ce, aumoyen de fonctions à appliquer sur le flux de chaleur et sur la diffusivité turbulente équivalente.

L’étude des résultats expérimentaux et des DNS nous a révélé d’une part une grande disparité dans lavaleur du nombre de Prandtl turbulent à la paroi et d’autre part une insuffisance de points expérimentauxpermettant d’en déduire un profil exploitable pour la construction du modèle de paroi. Nous nous sommesdonc orientés vers la mise au point d’un profil théorique de nombre de Prandtl turbulent, profil sur lequelsera calibrée la fonction d’amortissement du modèle EAHFM.

On traitera par conséquent en premier lieu cette élaboration du profil théorique et par la suite on s’in-téressera à la mise en place d’une fonction d’amortissement qui, une fois appliquée au modèle thermique,permettra de fournir des profils physiques de toutes les grandeurs thermiques à la paroi.

4.3.3.1 Création d’un modèle théorique

Pour la création du modèle théorique, on s’oriente vers une représentation basée sur le modèle delongueur de mélange de van Driest en zone interne d’une couche limite. Cette représentation permet dedéfinir une échelle de longueur dynamique, notée l et une échelle de longueur thermique notée lt :

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

l = κy+

[1 − exp

(−y+

A

)]

lt = κt∗y+

[1 − exp

(−y+

At

)] (4.73)

où κ est la constante de von Kármán dynamique et κt∗ un certain coefficient à déterminer.

Ainsi, la viscosité et la diffusivité turbulentes peuvent s’exprimer en fonction de ces échelles de lamanière suivante :

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

νt+ = l2

∂u+

∂y+

αt+ = lt

2 ∂T +

∂y+

(4.74)

118 Chapitre 4 : Mise au point d’un modèle de paroi

La tension croisée et le flux de chaleur turbulent transversal adimensionnés deviennent alors :

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

−u′v′+

= l2(

∂u+

∂y+

)2

−v′θ+

= lt2 ∂u+

∂y+

∂T +

∂y+

(4.75)

Or, dans la zone interne d’une couche limite, on rappelle que :

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

ν∂u

∂y− u′v′ =

τp

ρ= cste

α∂T

∂y− v′θ =

−qp

ρCp= cste

(4.76)

En écrivant ces dernières équations en variables de paroi et en les résolvant en ∂u+

∂y+ et ∂T+

∂y+ , alors :

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

∂u+

∂y+=

√1 + 4l2 − 1

2l2

∂T +

∂y+=

11

Pr + l2t∂u+

∂y+

(4.77)

d’où :⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

ν+t =

1 − ∂u+

∂y+

∂u+

∂y+

α+t =

1 − 1Pr

∂T+

∂y+

∂T+

∂y+

(4.78)

En premier lieu, on vérifie le comportement du modèle dans la loi logarithmique, c’est-à-dire poury+ ≫ 1. Dans ce cas, les échelles de longueur se comportent ainsi :

l = κy+

lt = κ∗t y

+(4.79)

et les gradients de vitesse et de température moyennes s’écrivent :⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

∂u+

∂y+=

1

κy+

∂T +

∂y+=

1κ∗

t2

κ y+

(4.80)

On retrouve donc l’évolution théorique du gradient de vitesse moyenne et pour que le gradient detempérature soit également en accord avec la théorie ∂T+

∂y+ = 1κty+ , alors il faut que κ∗

t vérifie la relation :

κ∗t =

√κκt (4.81)

On s’intéresse maintenant à la sous-couche visqueuse où y+ ≪ 1. En faisant tendre y+ vers 0, alorsles échelles de longueur se comportent comme :

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

l =κ

Ay+2

lt =κ∗

t

Aty+2

=

√κκt

Aty+2

(4.82)

4.3 Amortissement du modèle EAHFM 119

et ainsi, au premier ordre, on retrouve bien les profils de vitesse et de température théoriques :

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

∂u+

∂y+= 1

∂T +

∂y+= Pr

(4.83)

Cependant, si on développe les expressions des gradients de vitesse et de température à des ordressupérieurs, alors on a :

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

∂u+

∂y+= 1 − κ2

A2y+4

+ ...

∂T +

∂y+= Pr − Pr2κκt

A2t

y+4+ ...

(4.84)

où les deuxièmes termes de chaque équation (− κ2

A2 y+4+ et −Pr2κκt

A2t

y+4) sont censés représenter respec-

tivement le comportement de la tension croisée u′v′+

et du flux de chaleur turbulent v′θ+. Or, dans ces

développements, ils évoluent en y+4, alors qu’en théorie on a vu qu’ils devaient se comporter en y+3.Ainsi, il convient d’apporter une modification de proche paroi, consistant à écrire près de la paroi :

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

∂u+

∂y+= 1 − auvy+3

∂T +

∂y+= Pr − avty

+3

(4.85)

Par conséquent, le modèle théorique sera le suivant :

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

∂u+

∂y+=

√1 + 4l2 − 1

2l2si y+ ≥ y+

d

= 1 − auvy+3si y+ < y+

d

(4.86)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

∂T +

∂y+=

11

Pr + l2t∂u+

∂y+

si y+ ≥ y+th

= Pr − avty+3

si y+ < y+th

(4.87)

où y+d et y+

th désignent les intersections entre l’approche van Driest et la correction de proche paroi,respectivement pour la partie dynamique et la partie thermique.

Il reste désormais à définir les constantes intervenant dans le modèle. van Driest propose A = 26.L’expression du nombre de Prandtl turbulent à la paroi issue des relations de van Driest est la suivante :

Prtp=

A2t

A2

κ

κt(4.88)

Il s’agit ici de fixer la valeur du nombre de Prandtl turbulent à la paroi de manière à en déduire lavaleur de At. Au vu des expériences et DNS étudiées, il semblerait que la valeur de Prtp

= 1, 1 soit laplus réaliste. Dans ce cas, on obtient At = 29, 5.

Si maintenant on s’intéresse à la correction de proche paroi, il faut que le coefficient auv soit égalà 0,000829 pour que la tension turbulente atteigne sa valeur théorique de zéro à la paroi. Dans ce cas,l’intersection entre les deux zones définissant les deux modélisations se fait à y+

d = 5, 23. Il reste désormais

120 Chapitre 4 : Mise au point d’un modèle de paroi

à définir le coefficient avt permettant de calibrer la valeur du flux de chaleur turbulent à la paroi, ainsique le domaine d’application du modèle de proche paroi (en d’autres termes la valeur de y+

th).Toujours dans le même esprit, on exprime le nombre de Prandtl turbulent à la paroi, d’après les

relations (4.85) :

Prtp=

auv

avtPr2 (4.89)

Avec la valeur de Prtp= 1, 1, on obtient avt = 0, 00038 et l’intersection entre les deux modélisations

est située à y+th = 4, 28.

Le tracé du nombre de Prandtl turbulent avec ces valeurs est reporté sur la figure (Fig. 4.25).

y+

Pr t

10-1 100 101 102 1030.8

0.9

1

1.1

1.2

FIG. 4.25 – Représentation théorique du nombre de Prandtl turbulent avec modélisation de van Driest et correctionde proche paroi

On observe que d’une part le nombre de Prandtl turbulent à la paroi correspond bien à la valeur qu’ons’était fixée et que d’autre part, dans la zone logarithmique, soit pour y+ > 100, on obtient la valeur théo-rique de Prt = κ0

κt0= 0, 85. Néanmoins, le profil de Prt présente une discontinuité en y+ = y+

th = 4, 28.Ce point est dû au fait que la modélisation du nombre de Prandtl turbulent est constituée de trois zones :

• y+ ≥ 5, 23 : modélisations dynamique et thermique selon van Driest.• 4, 28 ≤ y+ < 5, 23 : modélisation dynamique en correction proche paroi et modélisation thermique

en van Driest.• y+ < 4, 28 : modélisations dynamique et thermique en correction proche paroi.

À partir de là, plusieurs essais ont été effectués de manière à rendre le profil de Prt plus physique :différentes valeurs de Prtp

ont été testées et on a étudié l’influence de la position relative de y+th par

rapport à y+d. Toutes ces tentatives étant infructueuses, on a pris le parti de "lisser" le profil de Prt au

moyen d’une fonction supplémentaire, permettant de relier de façon continue les différentes zones évo-quées précédemment.

Les gradients de vitesse et de température moyennes sont alors définis par :⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

∂u+

∂y+= fd

(∂u+

∂y+

)

pp

+ (1 − fd)

(∂u+

∂y+

)

V D

∂T +

∂y+= ft

(∂T +

∂y+

)

pp

+ (1 − ft)

(∂T +

∂y+

)

V D

(4.90)

4.3 Amortissement du modèle EAHFM 121

où les indices pp et V D se réfèrent respectivement à la correction proche paroi (4.85) et à la modélisationde van Driest (4.77).

Les fonctions fd et ft doivent être telles qu’elles tendent vers 1 quand y+ tend vers 0 et tendent vers0 à l’approche de la zone logarithmique. Ainsi, on peut construire deux fonctions, l’une intervenant dansla modélisation dynamique,fd et l’autre opérant dans la modélisation thermique, ft. Les fonctions fd etft peuvent être basées sur de simples exponentielles, fonction de y+ :

⎧⎨⎩

fd = Bdexp(−y+md

)

ft = Btexp(−y+mt

) (4.91)

Dès lors, Bd = Bt et md et mt doivent être supérieurs à 1.

Une calibration sur les valeurs de md, mt a été réalisée de sorte que les gradients de u+ et T + à laparoi coïncident avec la théorie. Il en résulte que md = mt = 5 et dans ce cas, une recalibration sur At aété nécessaire et a conduit à At = 29, 7.

Le profil du nombre de Prandtl turbulent issu de cette nouvelle modélisation est représenté sur lafigure (Fig. 4.26) et témoigne de l’intérêt de l’ajout des fonctions fd et ft.

y+

Pr t

10-1 100 101 102 1030.8

0.9

1

1.1

Profil theoriqueDNS Kasagi, Tomita et Kuroda

FIG. 4.26 – Représentation théorique du nombre de Prandtl turbulent avec modélisation de van Driest, correctionde proche paroi et fonctions de lissage

On vérifie que Prtp= 1, 1 à la paroi et que Prt = 0, 85 dans la zone logarithmique. Le profil modélisé

de Prt ne représente pas parfaitement les résultats des simulations numériques directes. Néanmoins,comme on l’a signalé auparavant, les écarts entre simulations sur le nombre de Prandtl turbulent sontimportants et les données expérimentales insuffisamment complètes et précises. Ce profil représente doncune bonne moyenne des résultats de simulations ou d’expériences. De plus, le profil est parfaitement lisseet pourra donc servir d’étalon pour l’élaboration de la fonction d’amortissement du modèle EAHFM.

Les figures (Fig. 4.27) et (Fig. 4.28) représentent quant à elles les profils des gradients de vitesse etde température moyennes. Ainsi, on peut vérifier que leurs évolutions sont tout à fait en accord avec lathéorie.

4.3.3.2 Mise au point d’une fonction d’amortissement

Connaissant le comportement du modèle EAHFM sans amortissement et les évolutions théoriques desdifférentes grandeurs thermiques à la paroi, il est possible de déterminer le comportement que doivent avoir

122 Chapitre 4 : Mise au point d’un modèle de paroi

y+

du+/d

y+

10-1 100 101 102 1030

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

FIG. 4.27 – Profil du gradient de vitesse adimension-née issu du modèle théorique

y+

dT+/d

y+

10-1 100 101 102 1030

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

FIG. 4.28 – Profil du gradient de température adi-mensionnée issu du modèle théorique

les fonctions d’amortissement à la paroi. Signalons que ces fonctions interviennent au dénominateur pourl’amortissement des flux de chaleur et de la diffusivité turbulente puisque le modèle sans amortissementles fait évoluer plus vite en y+ (puissances en y+ plus élevées) que ce que prévoit la théorie. Ces fonctions,notées ft1 et ft2 seront telles que :

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

u′θa =u′θ

ft1

v′θa =v′θ

ft2

⇒ αta=

αt

ft2

⇒ Prta= ft2Prt

(4.92)

où l’indice a désigne la version avec fonction d’amortissement.

Au vu des comportements donnés en (4.4), les deux fonctions ft1 et ft2 doivent évoluer en y+3 àla paroi. Par souci de simplicité et pour n’avoir à manipuler qu’une seule fonction, on choisit de poserft1 = ft2 . Ainsi, cette unique fonction qu’on appellera désormais fθ sera calibrée sur la composante v′θdu flux de chaleur et sur αt (donc Prt). Néanmoins, cette fonction n’agissant que dans la sous-couchevisqueuse, donc pour des valeurs de y+ relativement faibles, elle permettra à la composante u′θ d’avoirla bonne évolution en y+, sans modifier son comportement dans la zone logarithmique et au-delà.

On s’oriente, de par sa simplicité, vers une modélisation de fonction en exponentielle faisant intervenirle nombre de Reynolds turbulent Ry qui possède l’avantage de ne conduire à aucune singularité au pointde décollement, contrairement à l’utilisation directe de la distance à la paroi y+. Ainsi, pour que cettefonction évolue en y+3 à la paroi, elle sera de la forme :

fθ = 1 − exp(Cy1

R3/2y + Cy2

R2y + Cy3

R5/2y + ...

)(4.93)

où :

Ry =y√

k

ν=√

k+y+ (4.94)

En effet, la fonction fθ se comportera en R3/2y à la paroi et puisque Ry évolue en y2, fθ sera bien en y3.

Dès lors, il est possible d’ajuster les paramètres de sorte que le modèle EAHFM, agrémenté de cettefonction, restitue le profil de Prt le plus correctement possible. Il en résulte, pour le modèle EAHFMassocié aux deux équations de transport de k et de k − L, la modélisation suivante :

fθ = 1 − exp(Cy1

R3/2y

)avec Cy1

= 0, 11 (4.95)

4.3 Amortissement du modèle EAHFM 123

Les figures (Fig. 4.29) et (Fig. 4.30) comparent respectivement le flux de chaleur turbulent transver-

sal v′θ+

et la diffusivité turbulente αt+, calculés avec le modèle EAHFM, avec et sans amortissement.

Rappelons que les évolutions des quantités dynamiques, ainsi que celle de la température, sont supposéesconnues et exactes.

On vérifie que la fonction d’amortissement agit uniquement près de la paroi (jusqu’à y+ = 8 environ)et ne modifie en rien le comportement du modèle dans la zone logarithmique. Les grandeurs thermiquessont amorties correctement à la paroi et se conduisent donc comme le suggère la théorie.

y+

v’θ

+

10-1 100 101 102 103

10-10

10-8

10-6

10-4

10-2

100

Modele theoriqueEAHFM sans amort.EAHFM avec amort.

1

6

1

3

FIG. 4.29 – Profils de v′θ+. Comparaison entre le

modèle théorique, le modèle EAHFM sans amortis-sement et le modèle EAHFM avec amortissement

y+

αt+

10-1 100 101 102 103

10-9

10-7

10-5

10-3

10-1

101

103

Modele theoriqueEAHFM sans amort.EAHFM avec amort.

1

6

1

3

FIG. 4.30 – Profils de αt. Comparaison entre le mo-dèle théorique, le modèle EAHFM sans amortisse-ment et le modèle EAHFM avec amortissement

Pour un problème tridimensionnel, il suffit de faire la même analyse pour le comportement de w′θ quepour les composantes u′θ et v′θ.

124 Chapitre 4 : Mise au point d’un modèle de paroi

125

Chapitre 5

Application sur des écoulements simples

Nous avons élaboré deux modèles algébriques thermiques EAHFM, selon qu’on considère le rapportdes temps caractéristiques r comme constant ou non. Ces deux modèles satisfont au mieux les contraintesqu’on s’est imposés et désormais amortissent correctement les différentes grandeurs en présence de paroi.

Nous allons à présent appliquer ces deux modèles EAHFM sur des cas d’écoulements simples, tels qu’unécoulement isotrope, un écoulement homogène cisaillé, un écoulement turbulent en canal et finalementun large panel d’écoulements de similitude, pour lesquels nous rappellerons diverses propriétés.

5.1 Écoulement isotrope

On étudie, en premier lieu, la réponse du modèle en écoulement isotrope, c’est-à-dire un écoulementpour lequel toute caractéristique moyenne relative à un ensemble de points est invariante sous l’effet d’unerotation arbitraire ou d’une symétrie par rapport à un plan quelconque. Il s’ensuit alors que u′

iu′j = 2

3δijk,d’où bij = 0.

Les DNS correspondant à ce type d’écoulement, qui ont été prises comme référence, sont celles effec-tuées en 1990 par Iida et Kasagi [40]. Elles mettent donc en jeu une turbulence isotrope (donc homogène)pour laquelle un gradient de température moyenne linéaire est appliqué dans la direction y transverse àl’écoulement. La simulation retenue ici est celle effectuée à un nombre de Prandtl moléculaire de 0,71.La viscosité cinématique adimensionnée est de 1/300 et le gradient de température adimensionné par lesvariables d’initialisation vaut -1. Le calcul est mené sans fluctuation initiale. Les gradients de vitesse étantnuls, la seule composante du flux de chaleur existante sera par conséquent la composante transversale, depar la propriété des scalaires passifs.

La résolution numérique des DNS a été effectuée à partir des équations de Navier-Stokes en tridimen-sionnel. Une grille 1,5 fois plus raffinée est affectée aux termes non-linéaires et ce, dans chacune des troisdirections. Un schéma d’intégration en temps de Adams-Bashforth du second ordre est utilisé pour larésolution des termes non-linéaires, alors que celui de Crank-Nicolson permet la résolution des termes dediffusion.

Les simulations ont été réalisées pour des temps différents. Cependant, le modèle algébrique reposantsur une hypothèse d’équilibre local de la turbulence, on ne s’intéressera qu’au temps le plus grand,de manière à se placer dans un état le plus proche possible de l’état d’équilibre. En effet, si on tracel’évolution du flux de chaleur adimensionné ξ2 = v′θ√

kkθen fonction du temps (Fig. 5.1), alors on observe

que l’écoulement se stabilise vers ξ2 = 0, 63 pour des temps relativement grands, de l’ordre de τ > 4, 5.Ce cas-test est particulièrement intéressant, de par les simplifications qu’il occasionne sur la formu-

lation du modèle, le tenseur d’anisotropie et les tenseurs des taux de déformation et de rotation étantnuls. Ainsi, la matrice A intervenant dans le modèle (Cf. 2) ne comporte que des termes non-nuls (Nθ)sur la diagonale. Par conséquent, l’expression de son déterminant et donc de son inverse est largement

126 Chapitre 5 : Application sur des écoulements simples

τ

ξ 2

1 2 3 4 50.6

0.62

0.64

0.66

0.68

0.7

0.72

0.74

0.76

FIG. 5.1 – Évolution du flux adimensionné en fonction du temps adimensionné - Écoulement isotrope

simplifiée. Dès lors, la condition d’inversibilité de la matrice se réduit à :

Nθ > 0 (5.1)

La notion d’homogénéité induit qu’il n’existe pas de gradient spatial des corrélations turbulentes. Deplus, du fait de l’isotropie de l’écoulement, la production d’énergie cinétique de turbulence est nulle.

Avec ces considérations, l’expression du flux de chaleur ξ2 se réduit à :

ξ2 = −2

3

c′θ4Θ2

Nθ(5.2)

où Nθ ne met en jeu que les constantes c′θ1et cθ5

:

Nθ =1

2

[r + 1

r

(2c′θ1

− 1)]

−(

1

2− cθ5

)ξ2Θ2 (5.3)

Les données fournies par les DNS sont répertoriées dans le tableau (TAB. 5.1), avec k∗, ε∗, k∗θ et ε∗θ

représentant les grandeurs adimensionnées par les données des DNS.

Θ2 ξ2 équilibre k∗ ε∗ k∗θ ε∗θ

-2,288 0,628 0,043 0,008 0,210 0,106

TAB. 5.1 – Données DNS. Écoulement homogène isotrope

Il est alors possible de calculer, avec ces données, le flux de chaleur adimensionné avec les deux va-riantes du modèle EAHFM. Nous adopterons les notations EAHFM pour désigner le modèle simplifié(à r = cste = 0, 5) et EAHFM(r) pour le modèle complet, où r est quelconque. On comparera, deplus, ces résultats avec ceux obtenus à partir du jeu de constantes fourni par Wikström et al., référencéspar la notation WWJ (2.1). Les réponses de ces différents modèles sont réunies dans le tableau (TAB. 5.2).

On constate que les trois modèles, dont celui de Wikström et al. sont relativement proches en ce quiconcerne les résultats sur le flux de chaleur turbulent transversal. On note une erreur relative sur ce flux

5.2 Écoulement homogène cisaillé 127

DNS EAHFM EAHFM(r) WWJξ2 0,628 0,642 0,598 0,608

TAB. 5.2 – Comparaison des valeurs de ξ2 entre résultats DNS, modèle EAHFM à r = cste, modèle EAHFM(r) à

r quelconque et modèle WWJ

de chaleur de l’ordre de 2% pour le modèle EAHFM, de 5% pour la version EAHFM(r), et de 3% pour lemodèle WWJ.

De par la bonne performance du modèle EAHFM, on peut d’ores et déjà spécifier que, sur ce typed’écoulement, fixer le rapport r et par là même supprimer la non-linéarité du modèle occasionnée par laprésence du terme en cθ5

ne dégrade pas les résultats et permet de s’affranchir d’une résolution complexe.

Les deux modèles EAHFM, tels qu’on les a élaborés, satisfont tout à fait correctement le comportementdu flux de chaleur transversal dans ce type d’écoulement isotrope. Ceci constitue une première validation,dans le sens où, s’agissant d’un écoulement simple, il est primordial d’en garantir une bonne représentation.

5.2 Écoulement homogène cisaillé

5.2.1 Présentation des DNS de Rogers et al. [70]

Les DNS utilisées ici comme référence pour la validation du modèle en écoulement homogène cisaillésont celles de Rogers et al. [70] effectuées en 1986. Plusieurs cas de calculs ont été étudiés. Cependant,on ne retiendra que le cas C128U qui est le mieux résolu (maillage 128x128x128). Un gradient de vitesseest imposé dans la deuxième direction, de sorte que du

dy = S = 28, 284 et trois cas sont abordés, selonqu’on applique un gradient de température moyenne dans la première (cas 1), la deuxième (cas 2) oula troisième (cas 3) direction. Le nombre de Prandtl moléculaire est de 0,7 et le nombre de Reynoldsturbulent défini par Rt = 4k2/ (νε) est de 847.

L’avancement en temps des calculs se fait par la méthode de Runge-Kutta au second ordre et l’initiali-sation du calcul génère aléatoirement un écoulement isotrope. Les statistiques de l’écoulement homogènecisaillé évoluant dans le temps, la difficulté de ces simulations numériques directes réside dans le fait qu’ilfaille contrôler, lors de la résolution numérique, la présence à la fois des grosses structures et des petitstourbillons. Par conséquent, il est primordial que le nombre de Reynolds soit suffisamment faible, comptetenu du maillage utilisé.

L’échelle de temps caractéristique de l’écoulement moyen 1/S sera utilisée pour adimensionner letemps. Nous nous placerons encore une fois à des temps suffisamment élevés (St > 12) de manière àce que l’écoulement soit stabilisé et la condition d’équilibre remplie (Cf. Fig. 5.2). Néanmoins, on peutconstater que si l’équilibre semble atteint sur ξ2 et ξ3, il n’en est pas de même pour ξ1. Les résultats DNSconcernant cette composante seront donc à considérer avec précaution.

128 Chapitre 5 : Application sur des écoulements simples

0 2 4 6 8 10 12 14 16

St

-1.25

-1.0

-0.75

-0.5

-0.25

0.0

0.25

0.5

0.75

1.0

1.25

1 Cas 1

2 Cas 1

1 Cas 2

2 Cas 2

3 Cas 3

FIG. 5.2 – Évolution au cours du temps des flux scalaires adimensionnés - Écoulement homogène cisaillé

5.2.2 Résultats du modèle EAHFM

Il s’agit ici de traiter trois cas distincts, différenciés par la direction dans laquelle est appliqué le gra-dient de température moyenne, le gradient de vitesse moyenne étant lui imposé dans la deuxième direction.Dès lors, la troisième direction est la direction homogène et par définition du scalaire passif, si ∂T/∂x3 = 0alors ξ3 est nul. Ainsi, pour les cas 1 et 2, seules les deux composantes du vecteur flux de chaleur sontnon nulles et pour le cas 3, la troisième composante est la seule présente, car ∂T/∂x1 = ∂T/∂x2 = 0,donc ξ1 = ξ2 = 0. On peut d’ores et déjà souligner le fait qu’un modèle basé sur la notion de diffusivitéturbulente prévoit que, en écoulement homogène, le flux de chaleur est aligné avec le gradient de tempé-rature moyenne, ce qui n’est pas physique comme on vient de le voir.

Dans ce cas précis de turbulence homogène cisaillée, l’expression du flux de chaleur turbulent se sim-

plifie et devient (avec, rappelons-le, Θi = kε

√kkθ

∂T∂xi

) :

• Cas 1 (Θ1 = 0, Θ2 = 0 et Θ3 = 0) :ξ1 = (cθ4

− 1)[A−1

11

(2b11 + 2

3

)+ A−1

12 2b12

]Θ1

ξ2 = (cθ4− 1)

[A−1

21

(2b11 + 2

3

)+ A−1

22 2b12

]Θ1

ξ3 = 0

• Cas 2 (Θ1 = 0, Θ2 = 0 et Θ3 = 0) :ξ1 = (cθ4

− 1)[A−1

12

(2b22 + 2

3

)+ A−1

11 2b12

]Θ2

ξ2 = (cθ4− 1)

[A−1

22

(2b22 + 2

3

)+ A−1

21 2b12

]Θ2

ξ3 = 0

• Cas 3 (Θ1 = 0, Θ2 = 0 et Θ3 = 0) :ξ1 = 0ξ2 = 0ξ3 = (cθ4

− 1)A−133

(2b33 + 2

3

)Θ3

avec :

A−1 =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

Nθ2

det(A)

−Nθ(cS + cΩ)S12

det(A)0

−Nθ(cS − cΩ)S12

det(A)

Nθ2

det(A)0

0 01

Nθ

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

5.2 Écoulement homogène cisaillé 129

et :

det (A) = N3θ + NθS12

2 (c2Ω − c2

S

)

À nouveau, nous allons comparer, dans chacun des trois cas, les différents modèles, EAHFM, EAHFM(r)

et WWJ, sur le critère des valeurs des composantes du flux de chaleur (TAB. 5.3). De plus, dans les deuxpremiers cas (gradient de température selon x d’une part et selon y d’autre part), on confrontera lesrésultats des DNS et ceux des modèles relatifs au rapport u′θ/v′θ (TAB. 5.4) et aux composantes duvecteur φiθ − εiθ (TAB. 5.5) introduit en (2.18).

Cas 1 u′θ Cas 1 v′θ Cas 2 u′θ Cas 2 v′θ Cas 3 w′θDNS -2,40 0,44 0,98 -0,37 -0,66

EAHFM -1,32 0,30 0,60 -0,31 -0,49EAHFM(r) -1,53 0,32 0,82 -0,33 -0,51

WWJ -1,98 0,41 1,13 -0,46 -0,68

TAB. 5.3 – Comparaison des composantes du flux de chaleur turbulent entre résultats DNS, modèle EAHFM àr = cste, modèle EAHFM à r quelconque et modèle WWJ

Cas 1 u′θ/v′θ Cas 2 u′θ/v′θDNS -5,45 -2,65

EAHFM -4,40 -1,93EAHFM(r) -4,78 -2,50

WWJ -4,82 -2,48

TAB. 5.4 – Comparaison du rapport u′θ/v′θ entre résultats DNS, modèle EAHFM à r = cste, modèle EAHFM àr quelconque et modèle WWJ

Cas 1 φ1θ − ε1θ Cas 1 φ2θ − ε2θ Cas 2 φ1θ − ε1θ Cas 2 φ2θ − ε2θ

DNS 33,1 -6,90 -15,9 7,14EAHFM 34,3 -7,82 -15,0 7,79

EAHFM(r) 34,5 -7,80 -15,1 7,69WWJ 34,6 -7,18 -15,8 6,43

TAB. 5.5 – Comparaison des composantes du vecteur φiθ − εiθ entre résultats DNS, modèle EAHFM à r = cste,modèle EAHFM à r quelconque et modèle WWJ

Ces différents résultats indiquent que la prévision des flux de chaleur est tout à fait satisfaisante pourchacun des modèles. On constate néanmoins que, même si les flux u′θ et v′θ sont mieux prédits avecle modèle WWJ dans les cas 1 et 3, ils sont mieux restitués par les modèles EAHFM et notammentEAHFM(r) dans le deuxième cas. Or, d’un point de vue applications (e.g. couche limite sur paroi chauf-fée), c’est ce deuxième cas qui est le plus intéressant. On note que dans tous les cas, les modèles EAHFMont tendance à sous-estimer les composantes du flux de chaleur turbulent. La première composante estassez mal représentée, mais on peut rappeler que les DNS concernant cette composante sont à prendreavec précaution. De même, le rapport des deux composantes est mieux restitué par le modèle EAHFM(r)

et WWJ. De plus, on peut noter que dans le cas 2, c’est-à-dire le cas où le gradient de température estaligné avec le gradient de vitesse, la première composante du flux de chaleur est supérieure à la seconde,en valeur absolue. On voit donc tout l’intérêt de l’utilisation d’un modèle algébrique par rapport à celled’un modèle à diffusivité turbulente qui prévoit cette première composante nulle.

Disposant, dans le cas 2, des valeurs des DNS pour la tension turbulente u′v′ = −3, 5, pour le gradientde vitesse ∂u/∂y = 28, 28 et pour le gradient de température ∂T/∂y = 2, 48, il est possible de calculerle nombre de Prandtl turbulent Prt = νt/αt pour chacun des modèles et de le comparer à celui issudes DNS. C’est ce qui est fait dans le tableau (TAB. 5.6). On peut observer que Prt est surestimé avecles deux modèles EAHFM, mais sous-estimé avec le modèle WWJ. Le modèle EAHFM(r) est celui qui

130 Chapitre 5 : Application sur des écoulements simples

permet de se rapprocher le plus de la valeur des DNS, ce qui est logique puisque c’est ce même modèlequi fournit la meilleure valeur de v′θ.

DNS EAHFM EAHFM(r) WWJPrt 0,83 0,98 0,93 0,66

TAB. 5.6 – Comparaison du nombre de Prandtl turbulent entre résultats DNS, modèle EAHFM à r = cste, modèleEAHFM à r quelconque et modèle WWJ

Le choix, consistant à tester les trois cas (gradient de température moyenne dans chacune des troisdirections), est justifié par le fait que, l’équation algébrique (2.25) gouvernant le scalaire passif étantlinéaire en gradient de température moyenne, il est alors aisé d’appliquer le principe de superposition envue de calculer le champ thermique pour un gradient de température quelconque.

Dans un écoulement homogène, les tensions de Reynolds et les flux de chaleur turbulents, bien quetous deux non nuls, ne possèdent pas de gradient et ainsi ne contribuent pas à l’écoulement moyen.Ainsi, l’homogénéité de ces corrélations turbulentes ne peut être maintenue que si les gradients de vitessemoyenne sont uniformes. Ceci implique que les tenseurs des taux de déformation et de rotation sonteux-mêmes uniformes dans tout l’écoulement [70].

Les modèles formulant l’hypothèse d’un nombre de Prandtl turbulent constant ne fournissent des ré-sultats raisonnables que sur la composante du flux de chaleur turbulent qui est alignée avec le gradientde température moyenne. L’utilisation de modèles de type algébrique témoigne donc d’une améliorationconsidérable sur la prévision des composantes du flux de chaleur turbulent.

5.3 Écoulement turbulent en canal

5.3.1 Présentation des DNS

L’étude d’un écoulement turbulent en canal est basée sur les DNS de Kasagi et al. [45] qui concernentun écoulement bidimensionnel en moyenne, pleinement turbulent, entre deux parois parallèles. Cet écou-lement est donc homogène dans les directions x et z, si y désigne la distance à la paroi, à la fois pour lechamp dynamique et pour le champ thermique. L’écoulement est conditionné par le gradient de pressionimposé (ou le frottement à la paroi), la distance entre les parois et une condition de flux constant appli-quée à chacune d’elles.

La méthode numérique est quant à elle gouvernée par un schéma du quatrième ordre pour la vitessetransversale, une équation du second ordre pour le calcul du rotationnel, l’équation de continuité et enfinl’équation de conservation d’énergie. Le raffinement de la grille au niveau des termes non-linéaires, ainsique l’intégration en temps, sont les mêmes que dans le cas de l’écoulement isotrope vu précédemment.

Le nombre de Prandtl moléculaire est de 0,71 et le nombre de Reynolds basé sur la vitesse de frottementest Reτ

= δuτ/ν = 150 où δ désigne la demi-largeur du canal.Toutes les données fournies par ces DNS sont adimensionnées classiquement par les variables de paroi,

uτ et Tτ et par la viscosité cinématique ν.

5.3.2 Recherche de la loi logarithmique

Comme pour tout écoulement confiné, l’écoulement de canal est la source du développement d’unerégion d’écoulement de paroi dans laquelle la condition d’équilibre n’est pas atteinte partout. Ainsi, on selimitera ici à l’étude de la région logarithmique, pour laquelle il existe un équilibre entre la production etla dissipation. Pour ce faire, on trace les profils de vitesse (Fig. 5.3) et de température (Fig. 5.4) adimen-sionnées par les variables de paroi et la zone logarithmique se distinguera alors par une portion droiterespectivement de pente 1

κ et 1κt

. Ici, ce n’est pas tout à fait le cas. En effet, le nombre de Reynolds del’écoulement étant faible, la zone logarithmique est très réduite.

5.3 Écoulement turbulent en canal 131

y+

u+

100 101 1020

2

4

6

8

10

12

14

16

18

u+ =1/0,41 ln (y

+ )+5,2

FIG. 5.3 – Profil de vitesse dans le canal plan

y+

T+

100 101 1020

2

4

6

8

10

12

14

16

T+ =1/0,48 ln (y

+ )+3,8

FIG. 5.4 – Profil de température dans le canal plan

L’évolution de la composante b12 du tenseur d’anisotropie est représentée sur la figure (Fig. 5.5). Lesflux de chaleur turbulents adimensionnés, longitudinal et transversal, sont quant à eux tracés sur la figure(Fig. 5.6).

y+

b 12

100 101 102-0.15

-0.14

-0.13

-0.12

-0.11

-0.1

-0.09

-0.08

-0.07

-0.06

-0.05

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

FIG. 5.5 – Profil de la composante b12 dans le canalplan

y+

ξ

100 101 1020

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2ξ1

-ξ2

FIG. 5.6 – Profil des flux de chaleur adimensionnésdans le canal plan

Les profils de vitesse et de température permettent de localiser approximativement les zones loga-rithmiques dynamique et thermique, même si celles-ci ne sont pas exactement confondues avec les loisthéoriques. Néanmoins, on sait que dans la zone logarithmique, la composante b12 du tenseur d’anisotro-pie doit présenter un plateau aux alentours de -0,15. Cette valeur étant quasiment atteinte à y+ = 70, oneffectuera les calculs avec le modèle EAHFM à cette abscisse.

En ce point, les données fournies par les DNS nous indiquent que ξ1 = 1, 154 et ξ2 = −0, 373. On peutcomparer ces valeurs à celles du cas 2 des données DNS de Rogers et al. présentées sur la (Fig. 5.2) autemps St = 12, qui sont ξ1 = 0, 92 et ξ2 = −0, 34. On remarque donc que ces valeurs sont très procheset même si les conditions à la paroi sont différentes, on peut dire que les DNS de Kasagi et al. dans la

132 Chapitre 5 : Application sur des écoulements simples

région d’équilibre logarithmique représentent un cas particulier de celles de Rogers et al..La composante normale à la paroi est, en valeur absolue, inférieure d’un facteur 3 environ à la compo-

sante longitudinale. Dès lors, il existe, dans cette zone, une forte corrélation entre la fluctuation de vitesselongitudinale et la fluctuation de température, d’où l’importance de prendre en compte cette composantelongitudinale.

Outre cette observation, si on trace maintenant les variations des valeurs de u′v′ et de v′θ, adimen-sionnées par les variables de paroi (Fig. 5.7), alors on constate que, dans toute la hauteur du canal, ellessont très proches. Il en est de même pour les coefficients de corrélation de ces deux quantités. Or, latempérature est ici un scalaire passif, donc les structures turbulentes thermiques sont les mêmes que lesstructures dynamiques. Il est donc normal que les variations de la tension u′v′

+et du flux v′θ

+soient

très proches.En revanche, on a vu au chapitre (3) que ces corrélations adimensionnées par les variables de paroi

devaient atteindre la valeur unitaire dans la zone logarithmique de la couche limite. Or, ici ce n’est pasle cas, puisque u′v′

+et v′θ

+avoisinent la valeur de 0,7 à leur maximum.

y+

Cor

réla

tions

100 101 1020

0.2

0.4

0.6

0.8

u’v’ +

v’θ+

FIG. 5.7 – Profil des corrélations u′v′+

et v′θ+

dans le canal plan

Les DNS fournissent également les évolutions respectives dans le canal des temps caractéristiquesdynamique τ = k/ε et thermique τθ = kθ/εθ (Fig. 5.8).

On note que dans tout le canal, au vu de la figure (Fig. 5.8), le temps caractéristique dynamique estsupérieur au temps caractéristique thermique, tout au moins dans la région interne de la couche limite.Il s’ensuit alors que pour des fluides à nombre de Prandtl moléculaire inférieur à 1 (ce qui est le cas del’air), la fluctuation de température dissipe plus vite que la fluctuation de vitesse.

On observe cependant que le rapport des temps caractéristiques r = τθ

τ n’est pas constant dans toutela hauteur du canal, comme on l’a supposé lors de la mise au point du modèle EAHFM simplifié (àr = cste). La valeur de r = 0, 5 est à peu près vérifiée à partir de la demi-hauteur du canal.

5.3.3 Résultats du modèle

On dispose dans le cas présent de toutes les données dynamiques et thermiques nécessaires au calculdu flux de chaleur, selon les modèles EAHFM, EAHFM(r) et WWJ. Le tableau (TAB. 5.7) synthétise lesvaleurs des flux de chaleur adimensionnés, longitudinal et transversal, fournies par les différents modèles,au point y+ = 70.

On observe que les trois modèles se comportent à peu près de la même manière, même si le modèleEAHFM simplifié est légèrement en difficulté par rapport aux deux autres. Les résultats montrent que

5.4 Écoulements de similitude 133

y+

Tem

psca

ract

éris

tique

s

100 101 1020

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

ττθ

FIG. 5.8 – Profil des temps caractéristiques dynamique et thermique dans le canal plan

DNS EAHFM EAHFM(r) WWJξ1 1,154 0,543 0,688 0,607ξ2 -0,373 -0,357 -0,357 -0,369

TAB. 5.7 – Comparaison des valeurs de ξ1 et ξ2 entre résultats DNS, modèle EAHFM à r = cste, modèle EAHFMà r quelconque et modèle WWJ

la première composante du flux de chaleur est très mal restituée, quel que soit le modèle. En revanche,ξ2 est assez bien prédit par les modèles et l’erreur commise par les modèles EAHFM et EAHFM(r) restetoutefois décente puisqu’elle est de l’ordre de 4%.

À nouveau, on constate que le fait de laisser r variable et donc la prise en compte du terme non-linéaire (donc quand cθ5

= 1/2) n’apportent pas d’amélioration notable sur les résultats, puisque le jeuEAHFM simplifié conduit à des valeurs de flux de chaleur turbulent très peu différentes de celles dumodèle EAHFM.

5.4 Écoulements de similitude

Les écoulements de similitude, relativement présents dans le contexte industriel, constituent des castests simples pour la validation des modèles. On traitera dans cette partie les écoulements de sillage, decouche de mélange, de jets plan et axisymétrique et finalement la région externe d’une couche limite.

Dans ces écoulements, la vitesse adimensionnée ue−uuref

et la température adimensionnée T−Te

Trefpeuvent

s’écrire comme des fonctions uniques de l’ordonnée adimensionnée yδ = η. Le problème qui était à deux

composantes x et y se ramène alors à un problème mono-dimensionnel en η. Expérimentalement, onretrouve ce genre de propriétés sur les écoulements de sillage faiblement chauffé, les couches de mélangeentre un jet chaud et un jet froid à deux vitesses différentes, les jets plans et axisymétriques faiblementchauffés et dans la région externe d’une couche limite chauffée à la paroi, avec ou sans gradient de pression.La similitude pour les écoulements libres est obtenue en général loin de l’origine de l’écoulement.

5.4.1 Rappels sur les écoulements de similitude

5.4.1.1 Généralités

Afin de mener cette étude sur les écoulements de similitude, on supposera par la suite l’écoulement :

134 Chapitre 5 : Application sur des écoulements simples

• incompressible• turbulent (Ret

grand)• permanent en moyenne ( ∂

∂t = 0)• bidimensionnel en moyenne ( ∂

∂z = 0)• de type couche mince (δ (x) < x)

On s’intéresse tout d’abord aux écoulements libres, sans gradient de pression longitudinal (∂P∂x = 0).

La zone externe de la couche limite sera elle traitée ultérieurement.On suppose que la vitesse extérieure est uniforme selon la direction longitudinale x. Les équations de

continuité, de quantité de mouvement et d’énergie s’écrivent alors :

∂u

∂x+

∂v

∂y= 0 (5.4)

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y= −∂u′v′

∂y(5.5)

u∂T

∂x+ v

∂T

∂y= −∂v′θ

∂y(5.6)

Ces équations étant valables également pour l’écoulement extérieur (supposé non turbulent et sansgradient de pression longitudinal), on peut aussi écrire :

uedue

dx= 0 (5.7)

uedTe

dx= 0 (5.8)

soit ue = cste et Te = cste.

5.4.1.1.1 Conservation de l’épaisseur de quantité de mouvement et de l’enthalpie

À partir de l’équation de continuité, on peut exprimer l’équation de quantité de mouvement et l’équa-tion de l’énergie sous la forme :

∂ [u (u − ue)]

∂x+

∂ [v (u − ue)]

∂y= −∂u′v′

∂y(5.9)

∂[u(T − Te

)]

∂x+

∂[v(T − Te

)]

∂y= −∂v′θ

∂y(5.10)

On intègre ces deux dernières expressions sur toute l’épaisseur de l’écoulement :

∫ +∞

−∞

∂ [u (u − ue)]

∂xdy + [v (u − ue)]

+∞−∞ =

[−u′v′

]+∞−∞ (5.11)

∫ +∞

−∞

∂[u(T − Te

)]

∂xdy +

[v(T − Te

)]+∞−∞ =

[−v′θ

]+∞−∞ (5.12)

À l’exception de la couche de mélange (où u−∞ = u2, u+∞ = u1, T−∞ = T2 et T+∞ = T1), on au−∞ = u+∞ = ue et T−∞ = T+∞ = Te. De plus, u′v′−∞ = u′v′+∞ = 0 et v′θ−∞ = v′θ+∞ = 0. Ainsi :

d

dx

∫ +∞

−∞u(u − ue)dy − [u(u − ue)]

+∞−∞ = 0 ⇒ d

dx

∫ +∞

−∞u(u − ue)dy = 0 (5.13)

d

dx

∫ +∞

−∞u(T − Te)dy −

[u(T − Te)

]+∞−∞ = 0 ⇒ d

dx

∫ +∞

−∞u(T − Te)dy = 0 (5.14)

5.4 Écoulements de similitude 135

Si on introduit, dans une section de l’écoulement, l’épaisseur de quantité de mouvement δ2 et l’enthalpieglobale h2 définies par :

δ2 =

∫ +∞

−∞

[u

ue

(1 − u

ue

)]dy (5.15)

h2 =

∫ +∞

−∞

[ρCpu

(T − Te

)]dy (5.16)

les équations (5.15) et (5.16) deviennent :

dδ2

dx= 0 (5.17)

dh2

dx= 0 (5.18)

soit h2 = cte et δ2 = cte.

Dans le cas de la couche de mélange, les équations (5.11) et (5.12) s’écrivent :

d

dx

∫ +∞

−∞u (u − u2) dy − u1∆u = 0 ⇒ δ2 = ax + b (5.19)

d

dx

∫ +∞

−∞u(T − T2

)dy − u1∆T = 0 ⇒ h2 = cx + d (5.20)

5.4.1.1.2 Conditions de similitude

Rappelons que les écoulements de similitude sont des écoulements pour lesquels toutes les grandeursadimensionnées ne sont fonction que de η = y/δ. Ceci implique des conditions sur les échelles de référencede longueur δ, de vitesse uref et de température Tref , qui représentent l’ordre de grandeur des fluctuationsde vitesse et de température. On introduit les notations suivantes :

u − ue = urefW (η) ; T − Te = TrefT (η) ; u′v′ = uref2UV (η) ; v′θ = urefTrefV T (η) (5.21)

et ainsi, v = urefV (η).

Les équations de quantité de mouvement et de chaleur s’écrivent alors :

(ue + urefW )

(u′

refW − urefηδ′

δ

dW

dη

)+

uref2

δV

dW

dη= −uref

2

δ

dUV

dη(5.22)

(ue + urefW )

(T ′

refT − Trefηδ′

δ

dT

dη

)+

urefTref

δV

dT

dη= −urefTref

δ

dV T

dη(5.23)

avec u′ref =

duref

dxet δ′ =

dδ

dx.

On en déduit V à partir de l’équation de continuité qui s’écrit :

u′refW − urefη

δ′

δ

dW

dη+

uref

δ

dV

dη= 0 (5.24)

soit :

V = −(

δ′ + δu′

ref

uref

)∫ η

0

Wdη + δ′ηW (5.25)

136 Chapitre 5 : Application sur des écoulements simples

Ainsi, pour que les conditions de similitude soient remplies, il faut que les équations (5.22), (5.23) et(5.24) ne dépendent que de η et non plus de x.

Si on suppose que : uref ∝ xαu , Tref ∝ xαt et δ ∝ xαd , alors l’invariance des équations par rapport àx implique des contraintes sur les coefficients αu, αt et αd.

Ces contraintes, en association avec les relations (5.17) et (5.18), permettent de fixer, selon l’écoule-ment, la valeur de ces trois coefficients. Ainsi, les évolutions selon x se feront différemment selon le typed’écoulement traité.

Notons que l’abscisse x = 0 n’est pas forcément l’origine de l’écoulement physique, mais une originefictive qui est définie comme l’origine de l’écoulement si celui-ci était en similitude dès le départ. Eneffet, on peut montrer que l’écoulement n’atteint son état de similitude que s’il est développé, c’est-à-dires’il est suffisamment loin du phénomène qui l’a engendré. Il faut signaler que dans le déroulement deséquations précédent, on a supposé que les origines fictives des similitudes dynamique et thermique étaientconfondues.

5.4.1.2 Sillage

5.4.1.2.1 Théorie

Dans un écoulement de sillage (Fig. 5.9), la vitesse et la température adimensionnées sont définiespar :

W (η) =ue − u

ud; T (η) =

T − Te

T0(5.26)

où ud = ud (x) et T0 = T0 (x). δ est le demi-taux d’ouverture du sillage.

FIG. 5.9 – Écoulement de similitude. Application au sillage

L’ordre de grandeur des variations de vitesse est donc ud avec ud ≪ ue et celui des fluctuations detempérature est T0, avec T0 ≪ Te.

L’indépendance des équations (5.22) et (5.23) vis-à-vis de x implique que les termesu′

ref δ

u2ref

,T ′

ref δ

uref Trefet

δ′

urefsoient constants, soit, αu = αt = αd − 1.

D’autre part, la conservation de δ2 et de h2 impose que αu + αd = αt + αd = 0, soit αd = 1/2,αu = αt = −1/2 :

δ ∝ x1/2 ; ud ∝ x−1/2 ; T0 ∝ x−1/2 (5.27)

Si on remplace u par ue, 1 − ud

uepar udW et T − Te par T0T , alors δ2 et h2 s’expriment comme :

δ2 =ud

ueδ

∫ +∞

−∞Wdη (5.28)

5.4 Écoulements de similitude 137

h2 = ρCpδueT0

∫ +∞

−∞Tdη (5.29)

Il faut donc satisfaire :

δ =√

δ2x ; ud = Que

√δ2

x; T0 =

h2Qθ

ρCpue

√δ2x

(5.30)

où :

Q =1∫ +∞

−∞ Wdηet Qθ =

1∫ +∞−∞ Tdη

(5.31)

sont des constantes.

Les conditions aux limites sont dans le cas du sillage :

W (η = 0) = 1 ; W (η = +∞) = 0 ; T (η = 0) = 1 ; T (η = +∞) = 0 (5.32)

5.4.1.2.2 Données expérimentales

Les expériences de sillage faiblement chauffé sont rares et qui plus est, ne fournissent souvent pasles données dynamiques nécessaires à la validation des modèles, à savoir u′v′, k et ε. C’est pourquoi,les résultats dynamiques seront eux comparés aux expériences de sillage purement dynamique. Utilisantdeux expériences différentes, il est indispensable de s’assurer au préalable que les profils dont on disposedans le cas d’expériences thermiques (i.e. W et u′v′

u2ref

) soient cohérents avec ceux des expériences purement

dynamiques.

Les données dynamiques exploitées ici sont celles des expériences de Marasli et al. [55], qui concernentun sillage plan issu d’une plaque plane. La vitesse extérieure est de ue = 7 ms−1 et le nombre de Reynoldsbasé sur l’épaisseur de quantité de mouvement δ2 vaut 1000.

Quant à la thermique, on utilisera par la suite les résultats des expériences d’Antonia et Browne [3]concernant un sillage plan se développant à partir d’un cylindre de diamètre d = 2, 67 mm, la vitesseextérieure étant de 6,7 ms−1 et le nombre de Reynolds Rδ2

de 1170. La différence de température entrele centre du sillage et l’extérieur est de 0,82 K à x

d = 420.

La courbe (Fig. 5.10) permet de comparer les profils de vitesse obtenus à partir de ces deux expérienceset d’observer que les évolutions sont très proches, ce qui justifie la décision de considérer que les expériencesde Marasli et al. [55] et d’Antonia et Browne [3] sont équivalentes du point de vue dynamique.

5.4.1.3 Couche de mélange

5.4.1.3.1 Théorie

Les couches de mélanges présentées ici et dont une illustration est donnée en (Fig. 5.11) sont issues del’interaction entre un écoulement rapide et chaud (de vitesse u1 et de température T1) et un écoulementlent et froid (de vitesse u2 et de température T2). Ce choix de configuration est motivé par les donnéesexpérimentales dont on dispose.

Dans ce cas, la vitesse et la température sont adimensionnées de la manière suivante :

W (η) =u − u2

u1 − u2; T (η) =

T − T2

T1 − T2(5.33)

où u1, u2, T1 et T2 sont constants.

138 Chapitre 5 : Application sur des écoulements simples

η

W

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Exp. Antonia et BrowneExp. Marasli et al.

FIG. 5.10 – Comparaison des profils de vitesse dans le sillage

FIG. 5.11 – Écoulement de similitude. Application à la couche de mélange

Ici, l’ordre de grandeur des fluctuations de vitesse est égal à uref = u1 − u2 = ∆u et celui des fluc-tuations de température vaut Tref = T1 − T2 = ∆T .

Les équations (5.22), (5.23) et (5.24) impliquent que δ ∝ x. Dans le cas de la couche de mélange, δ2

et h2 varient selon x.

Les conditions aux limites sont dans le cas présent :

W (η = −∞) = 0 ; W (η = +∞) = 1 ; T (η = −∞) = 0 ; T (η = +∞) = 1 (5.34)

5.4.1.3.2 Données expérimentales

Les données dont on dispose pour des couches de mélange thermiques proviennent de deux expériences,qui sont les suivantes :

• L’expérience de Chambers et al. [18] avec u2

∆u = 0 et u1 = 9 ms−1. La couche de mélange émanede la zone externe d’un jet, pas encore développé, issu d’une fente d’épaisseur d = 12, 7 mm. Lenombre de Reynolds basé sur cette épaisseur d est de 7600. La différence de température entre le

5.4 Écoulements de similitude 139

centre et l’extérieur est de ∆T = T1 − T2 = 25 K.

• L’expérience de Sunyach et Mathieu [82] pour laquelle on a toujours u2

∆u = 0 mais avec cette foisu1 = 18 ms−1. Cette couche de mélange est elle aussi obtenue à partir de la zone de mélange d’unjet plan issu d’une fente d’épaisseur d = 40 mm, soir Rd = 52500. Dans cette expérience, deuxdifférences de température ont été étudiées T1 − T2 = 16 K et T1 − T2 = 54 K (cas limite de l’in-compressibilité) et se retrouvent équivalentes, une fois les profils correctement adimensionnés.

η

W

-0.2 -0.1 0 0.10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Exp. Sunyach et MathieuExp. Chambers et al.

FIG. 5.12 – Comparaison des profils de vitesse dansla couche de mélange

η

T

-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Exp. Sunyach et MathieuExp. Chambers et al.

FIG. 5.13 – Comparaison des profils de températuredans la couche de mélange

Sur les figures (Fig. 5.12) et (Fig. 5.13), sont comparés les profils de vitesse et de température adimen-sionnées entre les deux expériences. En ce qui concerne les profils de vitesse, les évolutions sont quasimenten accord, si ce n’est que le profil issu des expériences de Chambers est plus ouvert que celui de Sunyach.En revanche, les profils de température présentent une forte dissemblance. En effet, le taux d’ouverturedu profil de température relatif aux expériences de Chambers et al. est beaucoup plus grand que celuides expériences de Sunyach et Mathieu. Il semble donc y avoir une incohérence dans les résultats deChambers et al., incohérence qui se manifeste par une température adimensionnée non nulle du côté dufluide froid. Cette curiosité provient très certainement d’une erreur de mesure de la température T2.

5.4.1.4 Jet plan et jet axisymétrique

5.4.1.4.1 Théorie

Pour ce type d’écoulement (Fig. 5.14), on considère que la vitesse extérieure est nulle ou tout aumoins négligeable, ce qui est le cas dans les données expérimentales auxquelles on confrontera plus tardles résultats numériques. On considérera donc ue = 0.

Les vitesse et température adimensionnées se mettent sous la forme :

W (η) =u

uc; T (η) =

T − Te

T0(5.35)

où Te, T0, l’écart de température au centre du jet et uc, la vitesse au centre du jet, ne dépendent que dex.

L’ordre de grandeur des fluctuations de vitesse est uref = uc, celui des fluctuations de températureest égal à T0.

140 Chapitre 5 : Application sur des écoulements simples

FIG. 5.14 – Écoulement de similitude. Application au jet

Dans le cas du jet plan, l’indépendance des équations (5.22), (5.23) et (5.24) par rapport à x implique

que les termesu′

ref δ

urefet δ′ soient constants, d’où αd = 1. La conservation de δ2 et h2 impose 2αu + αd =

2αt + αd = 0, soit αu = αt = − 12 . On écrit alors :

δ = x ; uc =A√x

; T0 =B√x

(5.36)

Les équations (5.13) et (5.14) se mettent donc sous la forme :

u2cδ

∫ +∞

−∞W 2dη = cste = u2

jh (5.37)

ucT0δ

∫ +∞

−∞WTdη = cste = ujTjh (5.38)

où h est la hauteur de l’injecteur plan et uj et Tj désignent la vitesse et la température du jet en sortied’injecteur, en supposant uniforme l’écoulement en sortie. On pose alors :

A = uj

√h∫ +∞

0 ηW 2dη; B =

hTjuj

A∫ +∞−∞ WTdη

(5.39)

Pour un jet axisymétrique, le problème, traité en coordonnées cylindriques, mène aux expressionssuivantes :

δ = x ; uc =A

x; T0 =

B

x(5.40)

avec :

A = uj

√πr2

2π∫ +∞0

ηW 2dη; B =

Tjujπr2

A2π∫ +∞−∞ WTdη

(5.41)

où r désigne le rayon de l’injecteur.Dans le cas du jet plan et du jet axisymétrique, les conditions aux limites sont les suivantes :

W (η = 0) = 1 ; W (η = +∞) = 0 ; T (η = 0) = 1 ; T (η = +∞) = 0 (5.42)

5.4 Écoulements de similitude 141

5.4.1.4.2 Données expérimentales

Pour les expériences de jet plan, les données dynamiques sont fournies par l’expérience de Gutmark etWygnanski [36], qui concerne un écoulement issu d’un orifice rectangulaire de section 1,3 cm x 50 cm.La vitesse du jet est de 35 ms−1 et le nombre de Reynolds basé sur l’épaisseur de la section d’entréeRh =

ujhν est de 30000. Pour les données thermiques, on utilise les résultats des expériences d’Antonia

et al. [4] qui consistent en un écoulement de jet plan issu d’une section rectangulaire de 1,27 cm x 25,4 cm,la vitesse du jet étant de 9 ms−1 et le nombre de Reynolds Rh de l’ordre de 7550. Ici, les résultats nesont pas complets, car les auteurs soupçonnent une contamination des sondes à fils froids par les boufféesturbulentes apparaissant à la frontière de l’écoulement turbulent et de l’écoulement non turbulent. Ainsi,ils estiment qu’au-delà de y

δ = 0, 12 les résultats ne sont plus fiables. La température en sortie de jet estsupérieure à la température ambiante de 25 K. La variation de température ne dépassant pas 10% de latempérature maximale, cette expérience rentre dans le domaine de validité de l’hypothèse d’incompres-sibilité. La figure (Fig. 5.15) permet de comparer les profils de vitesse de ces deux expériences et d’enconclure qu’il y a une bonne cohérence entre les deux.

η

W

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Exp. Gutmark et al.Exp. Antonia et al.

FIG. 5.15 – Expérience de jet plan. Comparaison des expériences de Gutmark et Wygnanski [36] et d’Antoniaet al. [4] sur le profil de vitesse

En ce qui concerne les expériences de jet axisymétrique, on dispose cette fois des données dynamiquesde Ninomiya et Kasagi [60] mettant en jeu un écoulement pour lequel le diamètre de sortie de jet est de5 mm, la vitesse à la sortie de l’injecteur de 0,5 ms−1 et le nombre de Reynolds basé sur le diamètre del’injecteur de 2500.

Quant aux données thermiques, pour le jet axisymétrique, on utilise l’expérience de Chua et Antonia[22] pour laquelle le jet est issu d’un injecteur de 25,4 mm de diamètre, avec une vitesse de sortie de 11ms−1, ce qui conduit à un nombre de Reynolds de 17700. La température en sortie de l’injecteur est de25 K supérieure à la température ambiante.

Afin de comparer ces deux expériences, on trace à nouveau les profils de vitesse adimensionnée(Fig. 5.16) et on constate encore une fois que les courbes sont tout à fait en accord. Ainsi, on pourrautiliser la première expérience pour valider la partie dynamique du modèle et la seconde pour la partiethermique.

5.4.1.5 Région externe d’une couche limite

5.4.1.5.1 Théorie

Cette partie s’intéresse au cas particulier de la couche limite (Fig. 5.17), sans ou avec gradient depression, pour laquelle la vitesse extérieure n’est plus uniforme.

142 Chapitre 5 : Application sur des écoulements simples

η

W

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Exp. Ninomiya et al.Exp. Chua et al.

FIG. 5.16 – Expérience de jet axisymétrique. Comparaison des expériences de Ninomiya et Kasagi [60] et de Chuaet Antonia [22] sur le profil de vitesse

FIG. 5.17 – Écoulement de similitude. Application à la couche limite

Dans ce cas, la vitesse et la température adimensionnées s’écrivent :

W =dF

dη=

ue − u

uτ; T =

dFθ

dη=

T − Te

Tτ(5.43)

avec ici ue = ue (x), Te = Te (x), uτ = uτ (x) et Tτ = Tτ (x).L’équation de continuité nous permet de définir la vitesse v (η) :

v (η) = −ηδu′e + u′

τδF − uτδ′(

ηdF

dη− F

)(5.44)

On introduit la variable γ, telle que γ =Cf

2. Or,

Cf

2=

τp

ρu2e

=ρu2

τ

ρu2e

, donc γ =uτ

ue. Ainsi, l’expression

de v (η) devient :

v (η) = −γueδ′(

ηdF

dη− F

)− δu′

e (η − γF ) + δueγ′F (5.45)

et l’équation de quantité de mouvement s’écrit alors :

5.4 Écoulements de similitude 143

ddη

(ττp

)= 2β

dF

dη− βγ

(dF

dη

)2

+ βueγ

′

u′eγ

(dF

dη− γ

(dF

dη

)2

+ γFd2F

dη2

)

−β

(1 +

ueδ′

u′eδ

)(ηd2F

dη2− γF

d2F

dη2

) (5.46)

avec β = − β

uτ

due

dx, le paramètre de gradient de pression.

La condition de similitude est remplie si β = cste, γ = cste, ueγ′

u′

eγ = cste et ueδ′

u′

eδ = cste.Nous allons donc voir ce qu’impliquent ces conditions sur les équations.

On a vu qu’à grand nombre de Reynolds il est possible de séparer la couche limite en une zone interneet une zone externe, zones qui se rejoignent dans la zone logarithmique où on a simultanément :

u+ =u

uτ=

1

κln(uτy

ν

)+ cste (5.47)

et

ue − u

uτ= − 1

κln(y

δ

)+ cste (5.48)

d’où :

ue

uτ=

1

κln

(uτδ

ν

)+ cste (5.49)

Pour pouvoir procéder ainsi, il faut que Rδ = ueδν soit grand, ce qui implique que uτ

ue= γ → 0.

De même, en dérivant l’équation (5.49), on obtient :

− γ′

γ2=

1

κ

(u′

e

ue+

γ′

γ+

δ′

δ

)⇒ −γ′ue

γu′e

=γ

κ

(1 +

γ′ue

γu′e

+δ′ue

δu′e

)⇒ ueγ

′

u′eγ

= −γκ

1 + γκ

(1 +

ueδ′

u′eδ

)(5.50)

et par conséquent :

limRδ→+∞

ueγ′

u′eγ

= 0 (5.51)

L’équation de quantité de mouvement devient alors :

d

dη

(τ

τp

)= 2β

dF

dη− β

(1 +

ueδ′

u′eδ

)ηd2F

dη2(5.52)

On intègre cette dernière équation entre η quelconque et η = 1. En η = 1, on se situe à la frontièrede l’écoulement turbulent et de l’écoulement non turbulent et par conséquent uτ = 0, u = ue et dF

dη (1) =d2Fdη2 (1) = 0. Ainsi :

τ

τp= −β

(1 +

ueδ′

u′eδ

)ηdF

dη+

(3β + β

ueδ′

u′eδ

)(F − F1) (5.53)

où F1 = F (1).Si on prolonge cette équation jusqu’à η = 0, alors on est en zone interne où τ ∼ τp. On suppose de

plus que F (0) = 0. On a alors :

1 = −βF1

(3 +

ueδ′

u′eδ

)(5.54)

soit

144 Chapitre 5 : Application sur des écoulements simples

ueδ′

u′eδ

= −(

3 +1

F1β

)(5.55)

Au final, l’équation de similitude dynamique pour une couche limite s’écrit :

τ

τp= 1 − F

F1+

(1

F1+ 2β

)η∂F

∂η(5.56)

F1 étant une fonction de β, elle doit être déterminée de manière itérative. Pour s’affranchir de cettedémarche, on introduit ∆ la variable de Clauser définie par ∆ = ueδ1

uτ. En effet, on a :

δ1 =

∫ δ

0

u − ue

uτdy = δ

uτ

ue

∫ 1

0

u − ue

uτdη = δγF1 (5.57)

On note η∆ = y∆ , F (η∆) = F∆ avec F∆ (1) = 1 et β∗ = δ1

τp

dPdx . L’équation (5.56) devient :

τ

τp= 1 − F∆ + (1 + 2β∗) η∆

∂F∆

∂η∆(5.58)

On s’intéresse à présent à l’aspect thermique du problème. On peut écrire l’équation de la chaleursous forme adimensionnée :

− ∂

∂η

(q

qp

)=

(1 − γ

dF

dη

)(δT ′

e

γTe+

δT ′τ

γTτ

dFθ

dη

)+

d2Fθ

dη2

((Fγ − η)

(δ′

γ+

δu′e

γue

)+

γ′ue

γu′e

δu′e

γueγF

)(5.59)

avec γ et γ′ue

γu′

equi tendent vers 0 quand Rδ est grand. Avec la relation (5.55), on obtient les deux conditions

de similitude :

δT ′e

γTτ= cste ;

δT ′τ

γTτ= cste (5.60)

L’équation de l’énergie devient donc :

− d

dη

(q

qp

)=

δT ′e

γTτ+

δT ′τ

γTτ

dFθ

dη− η

d2Fθ

dη2

(1

F1+ 2β

)(5.61)

Si on applique l’équation de la chaleur à l’écoulement extérieur supposé non turbulent, alors on obtientque ue

dTe

dx = 0. Le premier terme du membre de droite de l’équation (5.61) va donc s’annuler.

À nouveau, on étudie la zone de raccord entre la zone externe et la zone interne de la couche limitethermique. Comme on l’a vu au chapitre 3, κt n’est pas constant et dépend du gradient de pressionimposé. Ainsi, on écrit les profils de température en développant κt sous la forme κt = κt0 + κt1p

+y+ =

κt0

(1 + βη

γ

):

Tp − T

Tτ=

1

κt0

ln

(y+

1 + p+y+

)+ cste (5.62)

et

T − Te

Tτ= − 1

κt0

ln

(η

1 + βηγ

)+ cste (5.63)

d’où :

Tp − Te

Tτ=

1

κt0

ln

(uτδ

ν

)+

1

κt0

ln

(1 + βη

γ

1 + p+y+

)+ cste =

1

κt0

ln

(uτδ

ν

)+ cste (5.64)

5.4 Écoulements de similitude 145

Cette dernière relation, associée à l’équation (5.49), permet d’écrire :

2St

Cf=

qp

ρCp (Tp − Te)ueγ2=

qp

ρCp (Tp − Te)uτγ=

Tτ

Tp − Te

1

γ

=1κ ln(

uτ δν

)+ cste

1κt0

ln(

uτ δν

)+ cste

(5.65)

où St =qp

ρCp(Tp−Te)uedésigne le nombre de Stanton ou coefficient d’échange de chaleur à la paroi (noté

aussi Ch). Quand Rδ → +∞, on a 2St

Cf=

κt0

κ = 1Prt

= 1, 17. Ainsi, ce rapport est indépendant de β, dansla mesure où β est suffisamment faible.

Expérimentalement, on a vu qu’on rencontrait souvent deux types de conditions aux limites à la paroi :soit la paroi est isotherme, soit elle est à flux constant. Dans ce dernier cas, d’après la définition de Tτ ,considérer le flux à la paroi constant revient à imposer Tτ ∝ 1

uτ. De plus, l’indépendance de 2St

Cfvis-à-vis

de Rδ, quand ce dernier est suffisamment grand, implique que Tτ

Tp−Te∝ γ, soit Tp−Te ∝ u2

e

γ2 . ue étant finie,Tp − Te tend vers l’infini avec Rδ, ce qui n’est pas envisageable avec nos hypothèses d’incompressibilité.Même si expérimentalement Rδ reste fini et γ n’est jamais nul, les expériences [5] révèlent que les profilsdes tensions croisées et des flux de chaleur peinent à se mettre en similitude. C’est pourquoi, au cours del’étude des écoulements de similitude en couche limite, nous ne nous intéresserons uniquement au cas dela paroi isotherme.

Dans le cas de la paroi isotherme, Tτ varie comme γ et d’après la définition de la température defrottement, le flux de chaleur pariétal qp évolue donc en γ2

ue.

On dérive l’expression (5.64) par rapport à x et on obtient :

− δT ′τ

γTτ=

1

κt

(2St

Cf

)γ

(1

F1+ 2β − β

γ′ue

γue

)(5.66)

soit :

limRδ→+∞

δT ′τ

γTτ= 0 (5.67)

L’équation de l’énergie (5.61) devient donc :

− d

dη

(q

qp

)= −η

d2Fθ

dη2

(1

F1+ 2β

)(5.68)

On intègre entre η quelconque et 1 et puisque Fθ (1) = Fθ1=∫ +∞0

T−Te

Tτdη et dFθ

dη (1) = 0, alors :

q

qp=

(1

F1+ 2β

)(ηdFθ

dη+ (Fθ1

− Fθ)

)(5.69)

On prolonge maintenant jusqu’à la paroi où q = qp et où on choisit Fθ (0) = 0 :

1 =

(1

F1+ 2β

)Fθ1

⇒ Fθ1=

11

F1+ 2β

(5.70)

Ainsi, on peut écrire :

q

qp= 1 − Fθ

Fθ1

+

(1

F1+ 2β

)ηdFθ

dη(5.71)

avec Fθ1= 1

1F1

+2β. On introduit la variable de Clauser η∆ et ainsi :

q

qp= 1 − Fθ∆

Fθ∆1

+ (1 + 2β∗) η∆dFθ∆

dη∆(5.72)

146 Chapitre 5 : Application sur des écoulements simples

où :

Fθ∆1=

1

1 + 2β∗ (5.73)

Cependant, Daris [28] a confronté les valeurs de Fθ∆1entre l’expérience et la formule (5.73) pour une

couche limite sans gradient de pression (β∗ = 0) [81] et pour une couche limite soumise à un gradient depression tel que β∗ = 6 [62]. Il a montré que, dans les deux cas, les valeurs théoriques et expérimentalesétaient très différentes et que l’erreur relative augmentait avec le gradient de pression. Les deux expériencesconcernées étant réalisées à deux nombres de Reynolds relativement différents (respectivement Rδ1

= 6745et Rδ1

= 10901), on peut supposer que l’erreur commise est due à un effet de nombre de Reynolds.De manière à corriger cette incohérence, le terme Fθ∆1

sera pris comme sa valeur expérimentale et nesera plus calculé de manière théorique avec l’expression 1

1+2β∗.

Les conditions aux limites sont dans le cas de la couche limite :

F∆ (η∆ = ηmin) = 0 ; F∆ (η∆ = +∞) = 1 ; Fθ∆(η∆ = ηmin) = 0 ; Fθ∆

(η∆ = ηmin) = Fθ∆1

(5.74)où ηmin est proche de 0 (≃ 10−5) et Fθ∆1

est fixé par l’expérience.

5.4.1.5.2 Données expérimentales

À nouveau, peu d’expériences ont été réalisées en thermique. Néanmoins, il existe les expériences deSubramanian et Antonia [81] pour une couche limite sans gradient de pression et celles d’Orlando et al.

[62] pour une couche limite à β∗ = 6. La première est telle que β∗ = 0, ue = 12, 64 ms−1, Rδ2= 4750 et

Cf ∼ 0, 03. La température de paroi (constante) est de 13 K plus élevée que la température extérieure.La seconde expérience à β∗ = 6 est telle qu’à la station de mesure choisie (x = 1, 8m) ue = 16, 5 ms−1,

Rδ2= 5520 et Cf ∼ 0, 00162. La différence de température entre la paroi et l’extérieur est de l’ordre de

16 K.

5.4.2 Équations de similitude

On va établir ici les différentes équations de similitude. On peut montrer [16] [13] que si les conditionsde similitude sur les grandeurs δ, uref et Tref sont remplies, alors les équations de transport de k, de εou d’une variable générique φ = kaεb et de kθ, εθ ou de la variable générique φθ = kcεdkp

θεqθ, se réduisent

elles aussi à des équations de similitude en η.

Les différentes variables adimensionnées sont :

η =y

δ; W (η) = ±ue − u

uref; T (η) =

T − Te

Tref

F (η) =

∫ η

0

Wdη ; N (η) =νt

urefδ; K (η) =

k

u2ref

; E (η) =εδ

u3ref

; Φ (η) =φδ

u2a+3bref

Fθ (η) =

∫ +∞

0

Tdη ; Nθ (η) =αt

urefδ; Kθ (η) =

kθ

T 2ref

Eθ (η) =εθδ

urefT 2ref

; Φθ (η) =φθδ

dδqθ

u2c+3d+qref T

2(p+q)ref

On introduit ces relations dans les équations de quantité de mouvement et de chaleur et on adopteles conditions de similitude vues pour chacun des écoulements. On obtient alors des équations qu’on peutmettre sous la forme générique suivante (avec ψ une variable quelconque) :

5.4 Écoulements de similitude 147

−Aψ − Bdψ

dη=

1

ηj

d

dη

[ηjC

dψ

dη

]+ S (5.75)

avec j = 0 dans le cas plan et j = 1 dans le cas axisymétrique. Le terme A dépend à la fois de l’écoulementet à la fois de la variable ψ , B ne dépend que de l’écoulement et C et S varient selon la grandeur ψtransportée.

5.4.3 Présentation du code de calcul SIMIL

SIMIL est un code de résolution des écoulements de similitude conçu à l’ONERA/DMAE qui peutêtre utilisé seulement pour la dynamique ou pour les problèmes dynamiques/thermiques, en offrant lechoix d’employer divers types de modèles dynamiques et/ou thermiques. Rappelons que, en écoulementincompressible, la connaissance du champ cinématique étant indispensable à la détermination du champthermique (l’inverse étant faux), le code extrait préalablement les profils de vitesse avant de procéder aucalcul des profils de température. Les résultats sont comparés à des données expérimentales de référence,ce qui permet d’en apprécier la qualité.

Le code se propose donc de résoudre l’équation de similitude introduite en (5.75), au moyen de ladiscrétisation par différences finies, selon le schéma hybride de Patankar [64].

S est le terme source de l’équation et peut se décomposer en deux parties :

S = Sa − Sbψ (5.76)

où Sa > 0 et Sb > 0. Le deuxième terme peut être implicité dans le schéma numérique.La résolution adoptée est une résolution du système sous une forme pseudo-instationnaire, c’est-à-dire

dψdt + ... = ... + S. On discrétise l’équation (5.75) sous la forme de différences finies sur trois points :

−aiψi−1 + biψi − ciψi+1 = di (5.77)

Par la suite, on notera ψi la solution à l’itération précédente.

i-1 i-12

i i+12

i+1

∆ηi− ∆ηi

+

∆ηi

On utilise enfin le schéma hybride de Pantakar pour exprimer les différents coefficients ai, bi, ci et di,selon la valeur du nombre de Reynolds de maille défini par Re = B∆η

C :

Re = B∆ηC

Re < −2 −2 ≤ Re ≤ 2 2 < Re

ai −Bi ai = −Bi

2 + 1ηi

j

(ηjC)i− 1

2

∆ηi−

0

ci 0 ci = Bi

2 + 1ηi

j

(ηjC)i+ 1

2

∆ηi+ −Bi

TAB. 5.8 – Schéma hybride de Pantakar

bi = ai + ci +∆ηi

∆t+ Sbi

(5.78)

di = [Sai+ (Ai +

1

∆t)ψi]∆ηi (5.79)

148 Chapitre 5 : Application sur des écoulements simples

Ce schéma est un schéma hybride dans le sens où il est centré pour des nombre de Reynolds de maillecompris entre -2 et 2, alors qu’il est décentré amont sinon. La formulation (5.77) conduit alors à unsystème tri-diagonal résolu par l’algorithme de Thomas.

Pour chaque itération, le pas de temps ∆t est ajusté de manière à forcer la dominance diagonale dusystème et par là même à assurer une convergence plus rapide, en posant : ∆t = 1

αcmax|bi| où αc est unparamètre sur lequel on peut jouer.

La convergence est ici assurée lorsque les résidus moyens sur les grandeurs calculées sont inférieurs àun certain seuil (compris entre 10−6 et 10−12 et fixé par l’utilisateur).

5.4.4 Résultats

5.4.4.1 Résultats en dynamique

On s’intéresse dans un premier temps aux performances des modèles dynamiques utilisés en parallèledes calculs thermiques. Ainsi, pour chacun des six cas d’écoulements présentés dans ce chapitre, oncompare les profils de vitesse, d’énergie cinétique de turbulence, de dissipation et de tension turbulentecroisée pour les modèles k − ε, k − ε + EARSM, k − kL et k − kL + EARSM. Toutes les grandeurs sontadimensionnées et tracées en fonction de l’ordonnée adimensionnée η qui représente directement le tauxd’ouverture de l’écoulement considéré.

Le taux d’ouverture d’un écoulement est la dérivée par rapport à x de la grandeur caractéristique δ.Par exemple, pour les écoulements de jets, on a :

δ′10% = η(W=0,1) (5.80)

où η(W=0,1) est la coordonnée adimensionnée (transversale ou radiale selon que le jet est plan ou axisy-métrique) à laquelle la vitesse moyenne vaut 10% de la vitesse sur l’axe.

Pour l’écoulement de couche de mélange, le taux d’ouverture vaut :

δ′ω =dδω

dx(5.81)

où :

δω =u1 − u2(∂u∂y

)max

(5.82)

est l’épaisseur de vorticité.

Le taux d’ouverture de la couche de mélange est approché par la loi empirique de Brown et Roshko[12] :

δ′ω =dδω

dx≃ Cω

(1 − u2

u1

)(1 +√

ρ1

ρ2

)

2(1 + u2

u1

√ρ1

ρ2

) (5.83)

avec Cω = 0, 16.

Pour l’écoulement de sillage, le taux d’ouverture est :

δ′50% = η(W=0,5) (5.84)

où η(W=0,5) est la coordonnée adimensionnée pour laquelle la vitesse moyenne vaut la moitié de la vitesseau centre du sillage.

Les calculs ont été effectués à l’aide du code de similitude SIMIL décrit plus haut, pour des maillagesà 300 points. On a pu vérifier l’indépendance des résultats vis-à-vis du maillage.

5.4 Écoulements de similitude 149

Les résultats pour les écoulements de sillage, de couche de mélange ( u2

∆u = 0), de jet plan, de jetaxisymétrique, de couche limite de plaque plane (β∗ = 0) et de couche limite soumise à un gradient depression positif (β∗ = 6) sont reportés sur les figures de (Fig. 5.18) à (Fig. 5.23).

L’utilisation du modèle k − kL avec hypothèse de Boussinesq ou formulation EARSM de Wallin etJohansson a entraîné de nombreux problèmes numériques, de par la présence des termes croisés qui sesont avérés très sensibles numériquement, notamment au voisinage de la frontière entre l’écoulementturbulent et l’écoulement non turbulent. Ce fait peut être expliqué par divers phénomènes. Les termescroisés font intervenir des rapports de quantités qui peuvent tendre vers 0 en même temps et de fait, lesvariables k et kL sont susceptibles de s’annuler avant leurs dérivées. La deuxième raison provient du faitque le calcul des dérivées se fait sur trois points de maillage uniquement. Finalement, on peut mettre encause l’absence de viscosité artificielle dans le code SIMIL, viscosité permettant de stabiliser les calculs.En pratique, on observe dans le cas du modèle k − kL des oscillations qui naissent relativement loin àl’extérieur de l’écoulement (η grand), mais qui remontent l’écoulement turbulent jusqu’à faire diverger lecalcul, du fait de la nature elliptique des équations résolues. Les simulations avec ce modèle ont nécessitél’utilisation de pas d’intégration en temps très faibles. Les résultats présentés ici en k−kL présentent desniveaux de convergence moins bons que ceux en k − ε. Néanmoins, ces résultats vont être commentés etcomparés à ceux du modèle k − ε (Boussinesq et EARSM) et aux expériences.

Dans le cas de l’écoulement de sillage (Fig. 5.18), on observe que le profil de vitesse est bien représentéet ce quel que soit le modèle utilisé. Cependant, le modèle k − kL semble reproduire au mieux le tauxd’ouverture. Bien que le pic de k soit légèrement surestimé avec le modèle k − kL dans ses deux versions(Boussinesq et EARSM), le raccord à l’écoulement extérieur est nettement meilleur qu’avec le modèlek − ε. En effet, le modèle k − kL, que ce soit dans sa version Boussinesq ou EARSM, a été calibré pourque ce raccord soit très progressif (Cf. chapitre 3). L’adjonction de la formulation EARSM permet unemeilleure restitution du niveau d’énergie cinétique turbulente au centre du sillage (η = 0). L’utilisationde la formulation EARSM occasionne une surestimation du pic de dissipation aux alentours de η = 0, 2.Toutefois, la région située en η < 0, 2 est en fort déséquilibre et ne rentre par conséquent plus dans lecadre de l’hypothèse d’équilibre local formulée pour la mise en place du modèle algébrique dynamique.Il est donc tout à fait logique d’observer un tel comportement et de retrouver un profil de dissipationd’énergie cinétique proche des expériences pour η = 0, 2. Les mêmes remarques peuvent être formuléespour le profil de la tension croisée −u′v′. Le modèle k − kL semble toutefois offrir de meilleurs résultatsque le modèle k − ε qui ouvre trop, que ce soit en formulation Boussinesq ou EARSM.

Concernant l’écoulement de couche de mélange (Fig. 5.19), tous les modèles restituent correctement leprofil de vitesse adimensionnée. L’énergie cinétique turbulente est quant à elle légèrement sous-estimée,dans la plupart des cas et même si l’utilisation du modèle EARSM semble dégrader le niveau de k, ellepermet un raccord plus doux entre l’écoulement turbulent et l’écoulement extérieur. L’évolution du tauxde dissipation est relativement bien représentée. Le pic de −u′v′ est assez sous-estimé, même si sa positionη = 0 est correctement évaluée. Pour cet écoulement, c’est le modèle k−kL Boussinesq qui semble donnerles meilleurs résultats.

Si on s’intéresse maintenant à l’écoulement de jet plan (Fig. 5.20) et à l’écoulement de jet axisymé-trique (Fig. 5.21), on note une surestimation du taux d’évasement et par conséquent un mauvais raccordà l’écoulement extérieur pour les modèles de type Boussinesq qui apparaissent donc trop diffusifs. Cetteanomalie est toutefois palliée par la formulation EARSM qui permet de réduire ce taux d’évasement.En règle générale, on constate que, pour le jet plan, le modèle k − ε a tendance à sous-estimer les pics,aussi bien de k que de u′v′. En revanche, il surestime le taux d’ouverture. Les modèles k − kL quantà eux sous-estiment également les pics mais permettent de retrouver un taux d’évasement correct. Surcet écoulement de jet plan, le modèle k − kL Boussinesq est celui qui permet de se rapprocher au mieuxdes résultats expérimentaux. Les résultats de jet axisymétrique présentent une forte disparité entre lesmodèles, quelle que soit la quantité étudiée. Dans tous les cas, le modèle k − kL a tendance à surestimerces grandeurs alors que le modèle k−ε les sous-estime. Sur ces écoulements particuliers de jets, on observel’anomalie jet plan-jet rond. Cette anomalie se définit par la tendance qu’ont les modèles à prévoir le tauxd’évasement du jet rond supérieur à celui du jet plan, alors qu’expérimentalement l’inverse est observé.

150 Chapitre 5 : Application sur des écoulements simples

η

W

0 0.2 0.4 0.60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Exp.k-εk-ε EARSMk-kLk-kL EARSM

Vitesse

η

K

0 0.2 0.4 0.60

0.04

0.08

0.12

Energie cinétique de turbulence

η

E

0 0.2 0.4 0.60

0.04

0.08

0.12

Dissipation

η

-u’v

’

0 0.2 0.4 0.60

0.01

0.02

0.03

0.04

Tension croisée

FIG. 5.18 – Résultats des modèles dynamiques en écoulement de sillage

On compare à présent les résultats des modèles pour les couches limites sans gradient de pression(Fig. 5.22) et avec gradient de pression (Fig. 5.23).

On observe en premier lieu que dans le cas de la couche limite sans gradient de pression, il y a très peude disparités entre les modèles contrairement au cas où β∗ = 6. Toutefois, on note une légère supérioritédu modèle k − kL EARSM sur les trois autres, notamment en ce qui concerne la prévision de l’énergiecinétique de turbulence et le raccord avec l’écoulement extérieur. La zone logarithmique correspondantaux faibles valeurs de η, le profil de vitesse adimensionnée indique une bonne restitution de la pente de laloi logarithmique, donc de la constante de von Kármán κ, ce qui peut être confirmé sur la figure (Fig. 5.24)qui décrit les évolutions de la vitesse dans la zone interne, avec ou sans gradient de pression. Les résultatssont plus mitigés sur le cas de la couche limite avec gradient de pression positif, en particulier pour leprofil du taux de dissipation qui est largement surestimé dans toute la zone de paroi et pour le profil devitesse moyenne. Les autres quantités sont toutefois relativement bien reproduites.

En conclusion, on peut souligner le fait que les résultats issus des simulations avec les modèles dy-

5.4 Écoulements de similitude 151

η

W

-0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Exp.k-εk-ε EARSMk-kLk-kL EARSM

Vitesse

η

K

-0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.10

0.01

0.02

0.03

Energie cinétique de turbulence

η

E

-0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.10

0.02

0.04

0.06

Dissipation

η

-u’v

’

-0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.10

0.005

0.01

Tension croisée

FIG. 5.19 – Résultats des modèles dynamiques en écoulement de couche de mélange

namiques sont tout à fait encourageants et constituent une base solide pour la poursuite de l’étude enthermique, en dépit des problèmes numériques survenus avec l’utilisation du modèle k− kL. Les modèlesrestituent des profils satisfaisants, notamment en écoulements de couche limite. On a pu observer unebonne compatibilité entre les modèles k− ε et k− kL et pour chacun des écoulements, y compris ceux dejets pour lesquels on a noté diverses anomalies, le raccord avec l’écoulement extérieur se fait de manièretrès progressive, conformément aux attentes.

5.4.4.2 Résultats en thermique

À présent, on va s’intéresser aux résultats des modèles thermiques. On s’attachera à dégager les pointsforts et les points faibles liés à chaque degré de modélisation. Compte tenu des problèmes de stabilité nu-mériques qu’occasionne le code de similitude avec le modèle k−kL/kθ−kθLθ, on se restreint ici à étudier lemodèle k−ε sous ses différentes versions. Pour ce faire, on comparera simultanément les modèles suivants :

• k − ε EARSM / Prt constant.

152 Chapitre 5 : Application sur des écoulements simples

η

W

0 0.1 0.2 0.30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Exp.k-εk-ε EARSMk-kLk-kL EARSM

Vitesse

η

K

0 0.1 0.2 0.30

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

Energie cinétique de turbulence

η

E

0 0.1 0.2 0.30

0.04

0.08

0.12

0.16

Dissipation

η

-u’v

’

0 0.1 0.2 0.30

0.01

0.02

0.03

Tension croisée

FIG. 5.20 – Résultats des modèles dynamiques en écoulement de jet plan

• k − ε EARSM / EAHFM (r = cste).• k − ε / kθ − εθ.• k − ε EARSM / kθ − εθ EAHFM(r).

Notons que, lors de l’utilisation du modèle algébrique thermique, la formulation EARSM sera systé-matiquement associée au modèle dynamique de manière à conserver une cohérence entre les modélisationsdynamique et thermique.

À nouveau, on confronte ces différentes versions du modèle aux résultats expérimentaux dans le casdu sillage, de la couche de mélange, du jet plan, du jet axisymétrique, de la couche limite sans gradientde pression et de la couche limite avec gradient de pression positif.

La figure (Fig. 5.25) met en valeur les résultats des modèles en écoulement de sillage. Le profil detempérature est nettement mieux représenté lorsque la formulation EAHFM(r) est utilisée en associationaux équations thermiques. En revanche, on n’observe que peu de différence entre les trois autres modèles,

5.4 Écoulements de similitude 153

η

W

0 0.1 0.2 0.30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Exp.k-εk-ε EARSMk-kLk-kL EARSM

Vitesse

η

K

0 0.1 0.2 0.30

0.05

0.1

0.15

Energie cinétique de turbulence

η

-u’v

’

0 0.1 0.2 0.30

0.01

0.02

0.03

0.04

Tension croisée

η

E

0 0.1 0.2 0.30

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

Dissipation

FIG. 5.21 – Résultats des modèles dynamiques en écoulement de jet axisymétrique

si ce n’est que le k − ε/kθ − εθ a tendance à fournir des niveaux de température plus faibles au centre dusillage.

En ce qui concerne la variance de la température, le modèle EAHFM a tendance à en faire diminuerle niveau et dans ce cas à reproduire mieux la valeur au centre de l’écoulement. Le modèle EAHFM(r)

quant à lui rehausse le niveau et permet donc de mieux prévoir le pic de θ2. En revanche, on observe iciles limitations liées à l’utilisation de l’hypothèse de nombre de Prandtl turbulent constant qui surestimetrès fortement le niveau de Kθ au centre du sillage.

L’évolution du flux de chaleur turbulent transversal témoigne d’une amélioration notable apportéepar le modèle algébrique thermique dans sa formulation générale.

Bien que le nombre de Prandtl turbulent soit surestimé au centre de l’écoulement, par rapport auxexpériences et aux deux autres modèles k − ε EARSM à Prt constant et k − ε/kθ − εθ, la formulationEAHFM permet de reproduire le creux de Prt vers η = 0, 2 comme dans l’expérience. De plus, le modèleà quatre équations utilisé avec les formulations algébriques dynamique et thermique tend à mieux repro-duire le niveau de Prt à l’extérieur de l’écoulement de sillage.

154 Chapitre 5 : Application sur des écoulements simples

η

W

0 0.1 0.2 0.3 0.40

5

10

15

Exp.k-εk-ε EARSMk-kLk-kL EARSM

Vitesse

η

K

0 0.1 0.2 0.3 0.40

1

2

3

4

5

Energie cinétique de turbulence

η

E

0 0.1 0.2 0.3 0.40

10

20

30

40

50

60

70

Dissipation

η

-u’v

’

0 0.1 0.2 0.3 0.40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tension croisée

FIG. 5.22 – Résultats des modèles dynamiques en écoulement de couche limite à β∗= 0

L’écoulement de couche de mélange (Fig. 5.26) pose toujours le problème de la fiabilité des résultatsexpérimentaux, de par le profil de la température adimensionnée. Néanmoins, quelques remarques sontpossibles.

Le raccord à l’écoulement extérieur se fait toujours de manière très progressive et en cela permet devérifier l’indépendance de la solution vis-à-vis des conditions extérieures.

Les profils de température adimensionnée sont assez homogènes entre les différents modèles, même sile modèle à quatre équations associées aux formulations EARSM et EAHFM(r) a tendance à donner desvaleurs de T plus élevées du côté du fluide "froid".

En ce qui concerne la variance des fluctuations de température, on remarque que tous les modèlesprévoient le maximum en η = 0. En revanche, on note une forte différence entre ces niveaux, selon quel’hypothèse de nombre de Prandtl turbulent constant est employée ou pas. De plus, de même que pour leprofil de température, kθ est légèrement plus élevé du côté des η négatifs avec le modèle k − ε EARSM

5.4 Écoulements de similitude 155

η

W

0 0.04 0.08 0.120

10

20

30

Exp.k-εk-ε EARSMk-kLk-kL EARSM

Vitesse

η

K

0 0.04 0.08 0.120

5

10

15

20

25

Energie cinétique de turbulence

η

-u’v

’

0 0.04 0.08 0.120

2

4

6

8

Tension croisée

η

E

0 0.04 0.08 0.120

500

1000

1500

2000

Dissipation

FIG. 5.23 – Résultats des modèles dynamiques en écoulement de limite à β∗= 6

/ kθ − εθ EAHFM(r). Le modèle à Prt constant prévoit quant à lui un niveau de kθ plus faible que lesautres modèles, dans cette même région.

Le nombre de Prandtl turbulent est beaucoup mieux modélisé dans le cas de l’utilisation d’une for-mulation algébrique thermique. Le modèle k − ε avec les deux formulations algébriques permet de serapprocher du niveau de Prt. Cependant, il prévoit une chute de Prt aux alentours de η = 0, 01, chutequi n’est pas reproduite par l’expérience. Le modèle à quatre équations associées aux formulations EARSMet EAHFM(r) surestime totalement le nombre de Prandtl turbulent tout au long de l’écoulement. Néan-moins, bien qu’à un niveau trop élevé, Prt suit l’évolution expérimentale avec une augmentation notablede pente aux alentours de η = 0, 04.

Si on s’intéresse maintenant aux écoulements de jet plan (Fig. 5.27) et de jet axisymétrique (Fig. 5.28),alors on s’aperçoit que la modification majeure apportée par la modélisation EAHFM se situe au niveaudu nombre de Prandtl turbulent. La formulation à r constant permet de retrouver une évolution de Prt

tout à fait acceptable dans le cas du jet plan et du jet rond, même si pour ce dernier, la seconde "bosse"

156 Chapitre 5 : Application sur des écoulements simples

η

W

10-3 10-2 10-1

0

5

10

15

Exp.k-εk-ε EARSMk-kLk-kL EARSM-1/0,41 log( η)+C

β*=0

η

W

10-3 10-2 10-1

0

10

20

30

Exp.k-εk-ε EARSMk-kLk-kL EARSM-1/0,41 log( η)+C

β*=6

FIG. 5.24 – Vérification de la bonne représentation de la loi logarithmique dynamique en couche limite

visible dans les expériences n’est pas représentée. Cependant, pour le jet plan, cette modélisation sur-estime le nombre de Prandtl turbulent par rapport aux autres modèles, ce majoritairement au delà deη = 0, 1.

Le modèle EAHFM(r) semble quant à lui prévoir une évolution inverse du Prt, par rapport au modèleEAHFM. Néanmoins, on peut signaler que dans un écoulement, le nombre de Prandtl turbulent est lagrandeur la plus délicate à mesurer et par là même est fréquemment associé à des erreurs de mesures. Ilest donc difficile de connaître l’évolution de Prt vers l’extérieur du jet plan, pour ce cas d’expérience précis.

Dans le cas du jet axisymétrique, le profil de température moyenne a bénéficié d’une amélioration nonnégligeable avec l’utilisation de la formulation EAHFM(r) sur les quatre équations de transport.

L’évolution de la variance des fluctuations de température, pour le jet axisymétrique, est elle aussimieux reproduite avec les deux versions du modèle EAHFM : le niveau de kθ en milieu de jet est beaucoupplus proche des expériences et le pic, bien que surestimé, est mieux localisé (aux environs de η = 0, 08).

Bien que les formulations EAHFM ne permettent pas de résoudre l’anomalie de jet plan-jet rond,cette dernière (en thermique) semble toutefois réduite par rapport aux modèles à Prt constant et àquatre équations de transport, avec formulations de type Boussinesq, à la fois pour la dynamique etpour la thermique. Notons que l’anomalie dynamique n’est pas affectée par l’utilisation des formulationsEAHFM.

L’écoulement de couche limite de plaque plane (Fig. 5.29) présente considérablement moins de dispa-rités dans les résultats, si ce n’est pour la prévision du flux de chaleur turbulent ou du nombre de Prandtlturbulent pour lesquels le modèle EAHFM apporte une amélioration sensible. Néanmoins, on peut seposer des questions sur la valeur de Prt expérimental qui atteint la valeur de 1,2 dans la région externe.Le modèle k − ε EARSM / EAHFM fournit des valeurs de nombre de Prandtl turbulent trop élevées,même en région interne où il a été calibré pour donner 0,85.

Finalement, les résultats en couche limite soumise à un gradient de pression positif (Fig. 5.30) té-moignent d’une amélioration non négligeable apportée par la formulation EAHFM dans l’évolution de lavariance de température. Le nombre de Prandtl turbulent est toutefois surestimé dans la zone de paroi età l’extérieur. Néanmoins, la chute de Prt à l’extérieur fournie par les expériences semble tout de mêmeincongrue. La figure (Fig. 5.31) permet de vérifier le bon comportement des modèles dans la zone loga-rithmique de la couche limite, sans ou avec gradient de pression. Néanmoins, pour le cas avec gradientde pression, les expériences et les calculs situent la zone logarithmique beaucoup trop loin, voire en zoneexterne, puisqu’en gradient de pression, elle devrait se situer dans la région η < 0, 01.

5.4 Écoulements de similitude 157

η

Pr t

0 0.2 0.4 0.60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Nombre de Prandtl turbulent

η

-v’θ

0 0.2 0.4 0.60

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

Flux turbulent transversal

η

T

0 0.2 0.4 0.60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Exp.k-ε EARSM / Pr t constk-ε EARSM / EAHFMk-ε / k

θ-ε

θ

k-ε EARSM /kθ-ε

θEAHFM(r)

Température

η

Kθ

0 0.2 0.4 0.60

0.04

0.08

0.12

Variance de la température

FIG. 5.25 – Résultats des modèles algébriques thermiques en écoulement de sillage

Pour conclure cette partie, on peut signaler que dans le cas général, la modélisation thermique EAHFMest bénéfique pour la prévision des écoulements de similitude.

L’apport se fait notamment au niveau du nombre de Prandtl turbulent qui prend alors des alluresplus réalistes, même si certaines critiques peuvent être émises au centre et à la frontière des écoulements.Néanmoins, on a vu que les modèles à quatre équations eux-mêmes avaient du mal à prévoir ces zonesd’écoulements. De plus, il s’agit de régions en fort déséquilibre (par exemple au centre des écoulementsde sillage ou de jets, la production de v′θ est nulle alors que la variance de la température ne l’est pas)où le modèle algébrique est mis en défaut.

Afin d’achever la validation des modèles sur les écoulements de similitude, on s’est intéressés à l’évo-lution du rapport des temps caractéristiques de la turbulence r = kθ/εθ

k/ε , pour le modèle à diffusivité

turbulente et pour le modèle EAHFM(r). Ces évolutions sont tracées sur les courbes de (Fig. 5.32) à(Fig. 5.36) pour chacun des écoulements. Malheureusement, on ne dispose pas des valeurs expérimentales

158 Chapitre 5 : Application sur des écoulements simples

η

T

-0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.10

0.2

0.4

0.6

0.8

1 Exp.k-ε EARSM / Pr t constk-ε EARSM / EAHFMk-ε / k

θ-ε

θ

k-ε EARSM / kθ-ε

θEAHFM(r)

Température

η

-v’θ

-0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.10

0.004

0.008

0.012

Flux turbulent transversal

η

Kθ

-0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.10

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

Variance de la température

η

Pr t

-0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.10

0.4

0.8

1.2

Nombre de Prandtl turbulent

FIG. 5.26 – Résultats des modèles algébriques thermiques en écoulement de couche de mélange

pour pouvoir vérifier la pertinence de ces résultats. Malgré cela, on remarque que tout au long des écou-lements ce rapport fluctue autour de la valeur de 0,5, valeur que l’on avait adoptée pour notre hypothèsede r constant. Ainsi, cette évolution justifie a posteriori ce choix. Pour les écoulements de sillage et decouche de mélange, l’emploi du modèle algébrique thermique a tendance néanmoins à faire chuter vers0 le rapport r à la frontière de l’écoulement. Le modèle prévoit donc que dans ce type d’écoulements letemps caractéristique de la turbulence thermique chute à la frontière de l’écoulement, plus vite que letemps dynamique.

L’écoulement de couche limite en gradient de pression positif a la particularité de présenter unebaisse subite de r très près de la paroi. Ce phénomène, bien que reproduit par les deux modèles, n’a pasd’explication physique a priori.

Ces tests sur les écoulements de similitude constituent une première validation. Le manque de résultatsdu modèle k − kL/kθ − kθLθ, ainsi que les défauts de comportements décelés ici motive la poursuite desessais de validation, essais réalisés à l’aide d’un code de calcul Navier-Stokes.

5.4 Écoulements de similitude 159

η

T

0 0.1 0.2 0.30

0.2

0.4

0.6

0.8

1 Exp.k-ε EARSM / Pr t constk-ε EARSM / EAHFMk-ε / k

θ-ε

θ

k-ε EARSM / kθ-ε

θEAHFM(r)

Température

η

Kθ

0 0.1 0.2 0.30

0.02

0.04

0.06

0.08

Variance de la température

η

-v’θ

0 0.1 0.2 0.30

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

Flux turbulent transversal

η

Pr t

0 0.1 0.2 0.30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

Nombre de Prandtl turbulent

FIG. 5.27 – Résultats des modèles algébriques thermiques en écoulement de jet plan

160 Chapitre 5 : Application sur des écoulements simples

η

T

0 0.1 0.2 0.30

0.2

0.4

0.6

0.8

1 Exp.k-ε EARSM / Pr t constk-ε EARSM / EAHFMk-ε / k

θ-ε

θ

k-ε EARSM / kθ-ε

θEAHFM (r)

Température

η

Kθ

0 0.1 0.2 0.30

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

Variance de la température

η

-v’θ

0 0.1 0.2 0.30

0.01

0.02

0.03

Flux turbulent transversal

η

Pr t

0 0.1 0.2 0.30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Nombre de Prandtl turbulent

FIG. 5.28 – Résultats des modèles algébriques thermiques en écoulement de jet axisymétrique

5.4 Écoulements de similitude 161

η

T

0 0.1 0.2 0.3 0.40

5

10

15

Exp.k-ε EARSM / Pr t constk-ε EARSM / EAHFMk-ε / k

θ-ε

θ

k-ε EARSM / kθ-εθ EAHFM(r)

Température

η

Kθ

0 0.1 0.2 0.3 0.40

1

2

3

4

Variance de la température

η

-v’θ

0 0.1 0.2 0.3 0.40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Flux turbulent transversal

η

Pr t

0 0.1 0.2 0.3 0.40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Nombre de Prandtl turbulent

FIG. 5.29 – Résultats des modèles algébriques thermiques en écoulement de couche limite à β∗= 0

162 Chapitre 5 : Application sur des écoulements simples

η

Kθ

0 0.04 0.08 0.120

0.5

1

1.5

2

Variance de la température

η

-v’θ

0 0.04 0.08 0.120

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Flux turbulent transversal

η

T

0 0.04 0.08 0.120

4

8

12

Exp.k-ε EARSM / Pr t constk-ε EARSM / EAHFMk-ε / kθ-εθ

k-ε EARSM / kθ-εθ EAHFM(r)

Température

η

Pr t

0 0.04 0.08 0.120

0.4

0.8

1.2

1.6

2

Nombre de Prandtl turbulent

FIG. 5.30 – Résultats des modèles algébriques thermiques en écoulement de limite à β∗= 6

5.4 Écoulements de similitude 163

η

T

0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

0

2

4

6

8

10

Exp.k-ε EARSM / Pr t constk-ε EARSM / EAHFMk-ε / kθ-εθ

k-ε EARSM / kθ-ε

θEAHFM(r)

-1/0,48 log( η)+Cθ

β*=0

η

T

0.02 0.04

0

1

2

3

4

5

6

7

Exp.k-ε EARSM / Pr t constk-ε EARSM / EAHFMk-ε / kθ-εθ

k-ε EARSM / kθ-εθ EAHFM(r)-1/0,48 log( η)+Cθ

β*=6

FIG. 5.31 – Vérification de la bonne représentation de la loi logarithmique thermique en couche limite

η

r

0 0.2 0.4 0.60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

k-ε/kθ-εθ EAHFM(r)k-ε/kθ-εθ

FIG. 5.32 – Évolution de r dans l’écoulement desillage

η

r

-0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

k-ε/kθ-εθ EAHFM(r)k-ε/kθ-εθ

FIG. 5.33 – Évolution de r dans l’écoulement decouche de mélange

η

r

0 0.1 0.2 0.30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

k-ε/kθ-ε

θEAHFM(r)

k-ε/kθ-ε

θ

FIG. 5.34 – Évolution de r dans l’écoulement de jetplan

η

r

0 0.1 0.2 0.30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

k-ε/kθ-ε

θEAHFM (r)

k-ε/kθ-εθ

FIG. 5.35 – Évolution de r dans l’écoulement de jetaxisymétrique

164 Chapitre 5 : Application sur des écoulements simples

η

r

0 0.1 0.2 0.3 0.40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

k-ε/kθ-ε

θEAHFM(r)

k-ε/kθ-εθ

FIG. 5.36 – Évolution de r dans l’écoulement decouche limite à β∗

= 0

η

r

0 0.04 0.08 0.120

0.2

0.4

0.6

0.8

1

k-ε/kθ-εθ EAHFM(r)k-ε/kθ-εθ

FIG. 5.37 – Évolution de r dans l’écoulement decouche limite à β∗

= 6

165

Chapitre 6

Applications avec le code Navier-Stokes

elsA

6.1 Présentation du code de calcul elsA

Le code de calcul elsA (Ensemble Logiciel de Simulation en Aérodynamique) est un logiciel de calculdéveloppé par l’ONERA pour la détermination des écoulements de fluides compressibles visqueux mono-espèce sur des maillages tridimensionnels structurés par domaines.

La discrétisation spatiale du problème se fait dans le cadre d’une formulation volumes finis, le calculdes grandeurs se faisant aux centres des cellules du maillage (cell-center). Le calcul des flux au travers desfacettes des cellules est réalisé avec le schéma centré de Jameson, stabilisé par l’ajout d’une viscosité arti-ficielle. Pour les équations de transport, il est possible d’utiliser le schéma décentré de Roe. Les maillagesutilisés sont structurés hexaédriques par sous-domaine. Une méthode multigrille peut être employée pouraccélérer les calculs. La discrétisation temporelle est quant à elle basée sur un schéma de Runge-Kuttaà quatre pas, avec un pas de temps local conditionné par un critère CFL et un lissage implicite des résidus.

Le code elsA, s’appuyant sur des méthodes orientées objet, se propose de résoudre les équations deNavier-Stokes moyennées, compressibles, en stationnaire ou en instationnaire. Ces équations, dans le casd’écoulement turbulent, sont associées à un modèle de turbulence pour la détermination de la viscositéturbulente. Le flux de chaleur turbulent est quant à lui issu de l’hypothèse de nombre de Prandtl turbulentconstant.

Les grandeurs traitées dans le code peuvent être adimensionnées en unités S.I. ou dans un systèmed’unités cohérent résultant d’une normalisation des grandeurs pour un état donné. Dans le cas d’un écou-lement de fluide parfait et dans l’hypothèse de gaz parfait à chaleurs spécifiques constantes, le nombre degrandeurs de référence à imposer se réduit à trois. Pour les calculs visqueux, la connaissance supplémen-taire d’un nombre de Reynolds de référence est indispensable.

Des descriptions plus complètes sur le code elsA et notamment sur les méthodes numériques utiliséessont accessibles dans le manuel théorique du code [61].

6.2 Écoulement de plaque plane

L’écoulement de plaque plane constitue un cas-test simple et incontournable, dans le sens où il as-sure une première validation des modèles. Cet écoulement sera simulé avec le modèle k − kL de Daris[28] à nombre de Prandtl turbulent constant, le modèle k − kL avec formulation EARSM de Wallin et

166 Chapitre 6 : Applications avec le code Navier-Stokes elsA

Johansson [86], toujours à nombre de Prandtl turbulent constant, le même modèle, mais en associationavec la formulation EAHFM simplifiée (pour laquelle r est supposée constant, hypothèse permettant des’affranchir de la résolution des équations de transport thermiques) et finalement, un essai avec le modèleà quatre équations k − kL/kθ − kθLθ va être effectué.

6.2.1 Maillage et conditions de calcul

Le maillage utilisé (Fig. 6.1) dans le cas d’écoulement de plaque plane est le maillage fin, mono-domaine, standard de l’ONERA, servant entre autres à la validation des modèles de turbulence. Il estconstitué de 45 nœuds (dans le sens de l’écoulement) x 81 nœuds (dans la direction transversale à l’écou-lement). Le bord d’attaque de la paroi est situé à la frontière d’entrée.

x

y

0 0.25 0.5 0.75 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

FIG. 6.1 – Maillage utilisé pour l’écoulement de plaque plane

Les conditions de calcul sont les suivantes :

• Nombre de Mach en entrée : Me = 0, 7.• Nombre de Reynolds basé sur la longueur de la plaque L : RL = 4, 3.106.• Température d’arrêt : Ti0 = 300 K.• Pression d’arrêt : Pi0 = 3, 46 bars.• Paroi chauffée isotherme : Tp/T0 = 1, 2.

Toutes les grandeurs sont adimensionnées par les conditions d’arrêt amont. Dans ces conditions, lenombre de Reynolds de référence ρi0ai0L/μi0 vaut 7, 56.106.

Les calculs sont effectués en tout turbulent, c’est-à-dire qu’on suppose l’écoulement turbulent dèsl’origine. Pour le nombre de Reynolds choisi, la valeur de y+ calculée avec la hauteur de première maillevarie de 0,09 à 0,25.

Les calculs ont été initialisés à partir d’un champ de vitesse uniforme.

La valeur du rapport μt/μ à l’extérieur est de 10−2 et le taux de turbulence vaut 5.10−4. Néanmoins,

Daris [28] a montré que, à(

µt

µ

)

efixé, le modèle k − kL est insensible au taux de turbulence extérieur,

dans la mesure où celui-ci reste inférieur à 1%. Au-delà, la turbulence extérieure a tout de même tendanceà redescendre dans la couche limite.

Les conditions aux limites sur les quatre frontières du domaine sont les suivantes :

6.2 Écoulement de plaque plane 167

• Frontière x = 0 : Condition d’injection.• Frontière supérieure : Condition de sortie subsonique. Pression statique imposée.• Frontière y = 0 : Condition de paroi isotherme.• Frontière x = 1 : Condition de non-réflexion. État infini.

6.2.2 Calculs k − kL à Prt constant

En premier lieu, on s’intéresse à la réponse du modèle k−kL à nombre de Prandtl turbulent constantégal à 0,9. On va tout d’abord décrire la manière dont le modèle a été implanté dans elsA et la formeque prennent les équations quand on les généralise au compressible. Dans un deuxième temps, on vamettre au point l’implicitation des seconds membres des équations de transport, pour le modèle k − kL,permettant l’accélération de la convergence des calculs. Enfin, nous discuterons sur les résultats du calculqui permettront de valider le modèle.

6.2.2.1 Implantation du modèle dans elsA

Le modèle k − kL tel qu’il a été implanté dans elsA est une extension au compressible du modèleprésenté dans les chapitres précédents, dans sa version bas-Reynolds, c’est-à-dire par introduction defonctions d’amortissement faisant intervenir la distance à la paroi, notée d.

Par souci de simplification, on notera φ l’échelle kL.

Les équations du modèle sont alors :

μt = fµρCµφ√

k(6.1)

∂ρk

∂t+ div

[

ρkV −(

μ +μt

σk

)

grad k

]

= Pk − ρk5/2

φ−

2μk

d2(6.2)

∂ρφ

∂t+ div

[

ρφV −(

μ +μt

σφ

)

grad φ

]

= Pφ − ρCφ2k3/2 − Cφw

f1ρ3 φ5/2

μ2√

d+ CD (6.3)

avec :

Puk = τR : grad V (6.4)

ε =k5/2

φ+

2μk

ρd2(6.5)

Pk = min (Puk , 20ρε) (6.6)

Pφ =Cφ1

φ

kPk (6.7)

CD = 2Cφkμt√k

grad(√

k)

grad (φ) + 4Cφφμtgrad(

√

φ)

grad(

√

φ)

(6.8)

où τR est le tenseur de Reynolds.

La limitation sur le terme Pk provient d’un problème rencontré au niveau du point d’arrêt d’un écou-lement. En effet, dans cette zone, le gradient de vitesse longitudinal ∂u

∂x devient grand, si bien que c’estle terme u′2 ∂u

∂x qui est à l’origine de la production. Ainsi, un limiteur de 20ρε est appliqué au terme deproduction.

Les fonctions d’amortissement intervenant dans les différentes équations sont définies par :

168 Chapitre 6 : Applications avec le code Navier-Stokes elsA

f1 = exp (−Cw1Rd) avec Rd =

d√

k

ν(6.9)

fµ = 1 − exp(

−Cw2R

3/2d

)

(6.10)

avec :

Cφw= 0, 00077 ; Cw1

= 0, 08 ; Cw2= 0, 00325 (6.11)

La condition limite à la paroi est telle que :

limd→0

φ = 0 (6.12)

La condition limite à l’infini est quant à elle déduite de la valeur du nombre de Reynolds turbulent àl’extérieur :

Rt,∞ =Cµφ∞

ν∞√

k∞=

(

μt

μ

)

∞

(6.13)

Ce nombre de Reynolds turbulent à l’infini doit être de l’ordre de 10−2 du fait de deux contraintes.

D’une part, le rapport(

µt

µ

)

∞

doit rester suffisamment faible pour que les limiteurs introduits dans le

code ne s’activent pas trop tôt, ce qui conduirait à des valeurs de μt non physiques. D’autre part, cemême rapport doit demeurer suffisamment grand pour que la transition puisse se déclencher.

6.2.2.2 Implicitation IRS des seconds membres des équations de transport

La résolution temporelle des équations du système passe par une phase dite explicite. Ce système estrésolu (de manière explicite en temps) par un schéma de Runge-Kutta à quatre pas et la solution fn+1

au temps tn+1 = tn + ∆t est calculée selon :

f (0) = fn (6.14)

f (k) = f (0) − ak∆t[

div(

F (k−1)c − F

(0)d

)

− S(0)]

pour k = 1 à 4 (6.15)

fn+1 = f (4) (6.16)

où a1 = 1/4, a2 = 1/3, a3 = 1/2 et a4 = 1. Fc et Fd représentent respectivement le flux convectif et leflux diffusif. S est le terme source.

Le lissage implicite des résidus (ou "Implicit Residual Smoothing") a d’abord été proposé par Leratet al. [54] pour le schéma de Lax-Wendroff et a été adapté dans elsA pour le schéma de Runge-Kutta.Cette phase implicite préserve les propriétés conservatives et la précision de la solution explicite, touten améliorant la convergence des calculs. Cette approche consiste à résoudre un système linéaire sur lesrésidus, provenant de la phase explicite. On peut distinguer deux types d’implicitation, IRS et LU, qui dif-fèrent de par la méthode employée pour inverser la matrice d’implicitation. En règle générale, la méthodeLU est plus efficace en convergence, dans le sens où elle permet l’utilisation de nombres de CFL plus élevés.

On peut appliquer, en plus de cette phase implicite "initiale", une phase de lissage implicite sur lesrésidus des équations de transport turbulentes. Cette implicitation, nécessaire à l’utilisation LU, permetde considérablement accélérer la converge des calculs en IRS. Cette implicitation a été codée dans le cadrede cette thèse, c’est pourquoi on s’attache ici à décrire sa mise en place.

La méthode de lissage des résidus utilisée est la méthode implicite de factorisation scalaire approchée(SAF) qui repose sur le calcul du rayon spectral de la matrice jacobienne des seconds membres deséquations de transport. Pour le système à deux équations k − φ, on a :

6.2 Écoulement de plaque plane 169

J =D (Sk, Sφ)

D (ρk, ρφ)=

⎛

⎜

⎜

⎜

⎝

∂Sk

∂ρk

∂Sk

∂ρφ

∂Sφ

∂ρk

∂Sφ

∂ρφ

⎞

⎟

⎟

⎟

⎠

(6.17)

Les valeurs propres de cette matrice jacobienne peuvent s’écrire :

λ± =1

2

⎛

⎝

∂Sk

∂ρk+

∂Sφ

∂ρφ±

√

(

∂Sk

∂ρk

)2

+

(

∂Sφ

∂ρφ

)2

− 2∂Sk

∂ρk

∂Sφ

∂ρφ+ 4

∂Sk

∂ρφ

∂Sφ

∂ρk

⎞

⎠ (6.18)

ou encore :

λ± =1

2

⎛

⎝

∂Sk

∂ρk+

∂Sφ

∂ρφ±

√

(

∂Sk

∂ρk−

∂Sφ

∂ρφ

)2

+ 4∂Sk

∂ρφ

∂Sφ

∂ρk

⎞

⎠ (6.19)

Ici, pour le modèle k − kL, les termes sources de l’équation pour k, Sk et de l’équation pour φ, Sφ

sont donnés respectivement par les membres de droite des équations (6.2) et (6.3).

Les composantes de la matrice jacobienne sont donc les suivantes :

∂Sk

∂ρk=

Pk

ρk−

5

2

k3/2

φ−

2μ

ρd2(6.20)

∂Sk

∂ρφ=

Pk

ρφ+

k5/2

φ2(6.21)

∂Sφ

∂ρk= −Cφ1

ρφ

(ρk)2Pk −

3

2Cφ2

√k − 2Cφkμt

√ρ

(ρk)3/2

grad(√

k)

grad (φ) (6.22)

∂Sφ

∂ρφ= Cφ1

Pk

ρk− 4Cφφμt

1

ρφgrad

(

√

φ)

grad(

√

φ)

(6.23)

Le rayon spectral est défini comme étant le maximum entre λ+ et λ−. Il sera alors désormais pris encompte dans l’implicitation IRS et rendra possible l’implicitation LU.

Afin de rendre compte des améliorations apportées par l’implicitation des termes sources des équationsde transport turbulentes, nous avons effectué un calcul en IRS à CFL=5 et un calcul en LU (LU-SSOR) àCFL=50. Dans les deux cas, la valeur du coefficient de viscosité artificielle linéaire du quatrième ordre χ4

est égale à 0,016. Les résidus relatifs à ces deux essais sont reportés sur les figures (Fig. 6.2) et (Fig. 6.3).On observe une nette différence dans le comportement des résidus selon l’approche employée. En effet,

non seulement l’implicitation LU permet d’accélérer la convergence (atteinte à 6000 itérations contre 9000en IRS), mais elle diminue également les niveaux des résidus, d’un facteur 10 environ.

Ainsi, il sera préférable par la suite, dans la mesure du possible, d’utiliser cette implicitation LU.

6.2.2.3 Résultats

Nous allons maintenant analyser les résultats du calcul effectué avec le modèle k−kL Boussinesq, pourune implicitation LU, à CFL 50. Comme on vient de le voir, 6000 itérations suffisent à la convergence ducalcul. La simulation a été effectuée à un nombre de Prandtl turbulent constant et égal à 0,9.

On peut tracer (Fig. 6.4) en premier lieu l’évolution du coefficient de frottement, Cf , comparée à laloi d’évolution théorique donnée par Kármán-Schoenherr, en fonction de Rδ2

, nombre de Reynolds basésur l’épaisseur de quantité de mouvement de la couche limite δ2 :

170 Chapitre 6 : Applications avec le code Navier-Stokes elsA

Itérations

Rés

idus

0 5000 10000 1500010-11

10-9

10-7

10-5

10-3

10-1

101

ρρuρvρkρkL

FIG. 6.2 – Évolution des résidus. Modèle k − kL.Implicitation IRS

Itérations

Rés

idus

0 5000 10000 1500010-11

10-9

10-7

10-5

10-3

10-1

101

ρρuρvρkρkL

FIG. 6.3 – Évolution des résidus. Modèle k − kL.Implicitation LU

Cf =1

(17, 08 log (Rδ2) + 25, 11) log (Rδ2

) + 6, 012(6.24)

avec :

δ2 =

∫ δ

0

u

ue

(

1 −u

ue

)

dy (6.25)

Rδ2

Cf

0 5000 10000 150000

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

k-kLTheorie

FIG. 6.4 – Coefficient de frottement de plaque plane. Comparaison entre k−kL et évolution théorique de Kármán-Schoenherr

On note que le coefficient de frottement issu du calcul est quasiment confondu avec celui de la théorie.Le modèle reproduit donc parfaitement bien le comportement dynamique à la paroi.

On introduit le facteur d’analogie s, tel que :

s =Ch

Cf/2(6.26)

où Ch est le coefficient d’échange défini par :

6.2 Écoulement de plaque plane 171

Ch =qp

ρeue (hp − hf)(6.27)

avec hp l’enthalpie à la paroi et hf l’enthalpie relative à la température de frottement.

Notons que la notion de facteur d’analogie n’est pertinente que dans le cas de l’écoulement de plaqueplane. L’analogie de Reynolds indique que cette quantité est proche de 1,24 pour une couche limite sansgradient de pression. La figure (Fig. 6.5) nous permet de constater que s est relativement surestimé(d’environ 8%) dans le cas du modèle k − kL.

x

s

0 0.25 0.5 0.75 11.2

1.24

1.28

1.32

1.36

1.4

FIG. 6.5 – Facteur d’analogie s. Modèle k − kL

y+

u+

100 101 102 103 1040

5

10

15

20

25

30

k-kLu+=1/0,41 ln(y +)+5,2

FIG. 6.6 – Loi logarithmique dynamique. Modèle k−

kL

y+

T+

100 101 102 103 1040

5

10

15

20

25

30

k-kLT+=1/0,48 ln(y +)+3

FIG. 6.7 – Loi logarithmique thermique. Modèle k −

kL

Il est maintenant intéressant de vérifier que la zone logarithmique est correctement reproduite parle modèle. Sur les figures (Fig. 6.6) et (Fig. 6.7) sont tracées respectivement les zones logarithmiquesdynamique et thermique issues du calcul et comparées aux lois théoriques.//

On vérifie que la loi logarithmique dynamique est parfaitement bien reproduite. En revanche, le profilde T + en fonction de y+ ne permet pas de retrouver la loi théorique de la zone logarithmique thermique.Notamment, la pente obtenue semble trop forte. En d’autres mots, κt0 est trop élevé. La première raison

172 Chapitre 6 : Applications avec le code Navier-Stokes elsA

à cela est que κt0 étant égal à κPrt

(avec Prt = 0, 9), il est logique qu’il soit ici plus petit que la valeurthéorique de 0,48, calculée avec Prt = 0, 85. Néanmoins, ce faible écart sur Prt dans la zone logarithmiquene suffit pas à justifier un tel désaccord entre calcul et théorie. L’analyse de la partie suivante, concernantle modèle k − kL associé à la formulation EARSM, permettra de fournir des éléments de réponse.

En conclusion à cette partie, les résultats obtenus avec le modèle k−kL sont très encourageants, mêmesi certaines améliorations sont à apporter sur la bonne représentation de la loi logarithmique thermique.La loi logarithmique dynamique, ainsi que le coefficient de frottement sont parfaitement bien modélisés,mais le facteur d’analogie mériterait des améliorations. Néanmoins, les calculs étant effectués à nombrede Prandtl turbulent constant, cette observation n’est pas surprenante. Finalement, on peut insister surle fait que, contrairement aux calculs effectués avec le code SIMIL, aucun problème de convergence n’estsurvenu ici. La présence des termes croisés ne constitue donc pas un handicap pour le code de calcul elsA.

6.2.3 Calculs k − kL EARSM à Prt constant

La validation du modèle k−kL avec hypothèse de Boussinesq étant réalisée, on s’attache maintenant àhausser d’un niveau le degré de modélisation, en associant la formulation EARSM aux deux équations detransport dynamiques. À nouveau, nous allons voir la manière dont le modèle a été implanté dans le codeet par la suite, nous ferons l’analyse des résultats. On verra entre autres quelles sont les modifications àapporter pour que le modèle ait effectivement les comportements pour lesquels il a été calibré et auxquelson s’attend.

6.2.3.1 Implantation du modèle dans elsA

Le modèle EARSM de Wallin et Johansson est implanté dans elsA sous la même forme que dans lechapitre 1. Associé au modèle k−kL, il permet de s’affranchir de l’hypothèse de Boussinesq et n’intervientdonc que pour le calcul de la viscosité turbulente et des tensions de Reynolds.

6.2.3.2 Résultats

Dans cette partie, nous allons faire l’analyse des résultats de la simulation du calcul de l’écoulementde plaque plane avec le modèle k − kL associé à la formulation EARSM. Dans un premier temps, lesconditions de calcul seront les mêmes que celles présentées pour le calcul avec le modèle k− kL. On verrapar la suite que certaines de ces conditions nécessitent d’être modifiées.

6.2.3.2.1 Analyse des résultats

Cette partie se consacre à l’analyse des résultats de l’écoulement de plaque plane avec le modèle k−kLEARSM. Le calcul, effectué avec un schéma LU, pour un nombre de CFL de 50, s’est avéré convergé après6500 itérations (l’initialisation du calcul s’est faite par reprise du champ convergé, issu du calcul k− kL).Les conditions de calcul sont, pour l’instant, les mêmes que celles de la simulation avec le modèle k − kLBoussinesq.

Avant de tracer les évolutions du coefficient de frottement et du facteur d’analogie, on s’intéresse auxgrandeurs propres à la formulation EARSM, à savoir le coefficient Cµ

∗ introduit en (1.76) et la composanteb12 du tenseur d’anisotropie. La figure (Fig. 6.8) représente l’évolution, en fonction de y du coefficientCµ

∗ tel qu’il est défini par le modèle de Wallin et Johansson. La composante b12 du tenseur d’anisotropieest reportée sur la figure (Fig. 6.9). Toutes ces évolutions sont tracées à l’abscisse x = 0, 78, relativementloin du bord d’attaque pour que la couche limite soit suffisamment développée.

Sur ces deux figures, on observe un comportement tout à fait satisfaisant dans la zone logarithmique.Cette dernière étant située à peu près entre y = 8.10−4 et y = 6.10−3, le coefficient Cµ

∗ est voisin de lavaleur 0, 09, valeur théorique dans la zone logarithmique. L’anisotropie b12 prend également sa valeur de-0,15, trouvée expérimentalement.

Cependant, on voit apparaître, autant sur la (Fig. 6.8) que sur la (Fig. 6.9), un pic aux alentours dey = 2.10−2. La composante b12 prend alors des valeurs positives, ce qui n’est pas physique. De plus, le

6.2 Écoulement de plaque plane 173

y

Cµ*

10-5 10-4 10-3 10-2 10-10

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

FIG. 6.8 – Évolution du coefficient Cµ∗. Modèle k −

kL EARSM

y

b 12

10-5 10-4 10-3 10-2 10-1-0.15

-0.12

-0.09

-0.06

-0.03

0

0.03

FIG. 6.9 – Évolution de la composante b12 du tenseurd’anisotropie. Modèle k − kL EARSM

coefficient Cµ∗, réglant la viscosité turbulente, atteint des valeurs trop élevées, correspondant à la valeur

de Cµ∗ donnée par la formulation EARSM dans le cas où Pk/ε = 0. Cette valeur est la suivante et dépend

uniquement des constantes A1 et A2 de la formulation EARSM :

Cµ∗ =

A2

A1= 0, 33 (6.28)

On vérifie que cette valeur est bien celle qu’on retrouve sur la figure (Fig. 6.8).

La région concernée est la frontière entre la couche limite et l’écoulement extérieur. La question quise pose alors est de savoir quelle hypothèse intrinsèque au modèle EARSM est susceptible de dégraderson comportement au niveau de la frontière extérieure. Le raisonnement s’est naturellement porté vers laquantité Pk/ε qui, dans cette région, devient très petite et rend par là même l’hypothèse d’une advectionet d’une diffusion négligeables hors de propos. L’hypothèse d’équilibre local est par conséquent mise endéfaut dans cette région.

La partie suivante se propose de décrire les corrections qu’il a fallu apporter au modèle EARSM pourqu’il ne pâtisse plus des effets néfastes d’un rapport Pk/ε trop faible.

6.2.3.2.2 Correction apportée au modèle EARSM

On vient de voir que la formulation EARSM est mise en défaut vers la frontière de la couche li-mite où le rapport Pk/ε devient petit. Il est donc nécessaire d’apporter une correction au modèle de sorteque cette zone d’écoulement soit mieux représentée.

Dans la formulation algébrique introduite en (1.60), les termes de convection et de diffusion sontnégligés :

(

2bij +2

3δij

)

(Pk − ε) = Pij − εij + φij + Coij (6.29)

Cependant, dans les régions d’écoulement où le rapport Pk/ε est petit, l’hypothèse d’une diffusionnégligée peut poser des problèmes, comme on vient de le voir dans l’écoulement de plaque plane.

On décide alors d’introduire le terme de diffusion manquant, modélisé de la manière suivante :

Dij −u′

iu′j

kDk = CDbijDk (6.30)

174 Chapitre 6 : Applications avec le code Navier-Stokes elsA

Or, cette modélisation fait intervenir des dérivées secondes en k, ce qui est susceptible de poser desproblèmes numériques. On choisit donc de remplacer la quantité Dk par le terme qui l’équilibre :

Dk ≃ Pk − ε (6.31)

Dès lors, l’expression (1.64) devient :

[

C1 − 1 + CD

(

1 −Pk

ε

)

+ (C′

1 + 1)Pk

ε

]

bij =k

ε

(

C2

2−

2

3

)

Sij

+k

ε

(

C3

2− 1

)

(bikSkj + Sikbkj −2

3bmnSmnδij)

+k

ε

(

1 −C4

2

)

(bikΩkj − Ωikbkj)

(6.32)Or, la correction apportée ne doit s’activer que dans le cas où Pk/ε → 0. Ainsi, le terme CD

(

1 − Pk

ε

)

est remplacé par CD max(

1 − Pk

ε , 0)

.

Néanmoins, l’expression étant implicite en Pk/ε, sa résolution devient impossible quand ce rapportest associé à la fonction "max". C’est pourquoi, on décide d’approximer Pk/ε par le terme −βeq

1 η1, oùβeq

1 est l’expression de β1 à l’équilibre :

βeq1 = −

6

5

94C1

(

94C1

)2 − 2η2

(6.33)

La constante A1, initialement égale à :

C1 − 1

1 − C4

2

devient alors :

A1 =C1 − 1 + CD max (1 + βeq

1 η1, 0)

1 − C4

2

(6.34)

Ainsi, la correction sera effectivement nulle dans la zone logarithmique, mais sera active quand Pk/εtend vers zéro.

La constante CD est fixée à 2,2 de sorte que Cµ = 0, 09 pour des taux de déformation nuls [86].

Cette correction implantée dans elsA, les résultats concernant l’évolution de C∗µ et de b12 sont reportés

respectivement sur les figures (Fig. 6.10) et (Fig. 6.11) et comparés aux résultats du calcul sans lacorrection.

On observe une nette amélioration sur ces deux profils : le coefficient C∗µ est désormais limité à 0,09,

même s’il subsiste encore quelques oscillations. La composante b12 du tenseur de Reynolds ne présente plusde pic positif à la frontière entre la couche limite et l’extérieur, bien qu’il oscille lui aussi encore légèrement.

Les figures (Fig. 6.12) et (Fig. 6.13) représentent les évolutions des composantes b11 et b22. On vérifiequ’elles s’annulent de manière très douce à l’extérieur et que leurs valeurs dans la zone logarithmique(respectivement 0,13 et -0,13) sont en accord avec les résultats d’expérience.

On peut à présent tracer le profil de vitesse adimensionnée (Fig. 6.14) et le profil de températureadimensionnée (Fig. 6.15) de manière à vérifier la bonne représentation de la zone logarithmique.

On observe, tout comme pour le modèle k − kL en Boussinesq, que les courbes de vitesse et de tem-pérature adimensionnées ne coïncident pas parfaitement avec les lois théoriques. En particulier, la zonelogarithmique thermique est relativement mal reproduite. Une solution potentielle au problème serait deprocéder à une recalibration des constantes. Néanmoins, il est légitime de se demander si des effets de

6.2 Écoulement de plaque plane 175

y

Cµ*

10-5 10-4 10-3 10-2 10-10

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

Avant correctionApres correction

FIG. 6.10 – Évolution du coefficient Cµ∗ avant et

après correction. Modèle k − kL EARSM

y

b 12

10-5 10-4 10-3 10-2 10-1-0.16

-0.12

-0.08

-0.04

0

0.04

Avant correctionApres correction

FIG. 6.11 – Évolution de b12 avant et après correc-tion. Modèle k − kL EARSM

y

b 11

10-5 10-4 10-3 10-2 10-10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

FIG. 6.12 – Évolution de la composante b11 du ten-seur d’anisotrope. Modèle k − kL EARSM

y

b 22

10-5 10-4 10-3 10-2 10-1-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

FIG. 6.13 – Évolution de la composante b22 du ten-seur d’anisotrope. Modèle k − kL EARSM

y+

u+

100 101 102 103 1040

5

10

15

20

25

30

k-kL + EARSMu+=1/0,41 ln(y +)+5,2

FIG. 6.14 – Évolution de u+ en fonction de y+. Mo-dèle k − kL EARSM

y+

T+

100 101 102 103 1040

5

10

15

20

25

30

k-kL + EARSMT+=1/0,48 ln(y +)+3,6

FIG. 6.15 – Évolution de T+ en fonction de y+. Mo-dèle k − kL EARSM

176 Chapitre 6 : Applications avec le code Navier-Stokes elsA

compressibilité ne sont pas en train d’apparaître. Afin d’élucider la question, la partie suivante se proposede quantifier l’influence du nombre de Mach sur les profils notamment de u+ et de T +.

6.2.3.2.3 Influence du nombre de Mach

Afin d’étudier l’influence du nombre de Mach, donc des effets de compressibilité, on choisit de tes-ter les valeurs suivantes : M = 0, 7, M = 0, 5 et M = 0, 2. Les profils de u+ et de T + relatifs à ces troisessais sont reportés sur les figures (Fig. 6.16) et (Fig. 6.17). De par la diminution du nombre de Mach, onchoisit d’augmenter le nombre de Reynolds de référence (on le multiplie par 3 dans le cas M = 0, 2) demanière à pouvoir obtenir des valeurs de Rδ2

suffisamment élevées permettant de capter d’autres effetsque les effets bas Reynolds.

y+

u+

100 101 102 103 1040

5

10

15

20

25

30

M=0,7M=0,5M=0,2u+=1/0,41 ln(y +)+5,2

FIG. 6.16 – Évolution de u+ en fonction de y+, pourM = 0, 7, M = 0, 5 et M = 0, 2. Modèle k − kLEARSM

y+

T+

100 101 102 103 1040

5

10

15

20

25

30

M=0,7M=0,5M=0,2T+=1/0,48 ln(y +)+3,6

FIG. 6.17 – Évolution de T+ en fonction de y+, pourM = 0, 7, M = 0, 5 et M = 0, 2. Modèle k − kLEARSM

Les deux figures indiquent une modification notable des profils en fonction du nombre de Mach etnous confortent dans l’idée que des effets de compressibilité apparaissent, même à M = 0, 7. Dès lors, tousles calculs à suivre concernant l’écoulement de plaque plane seront réalisés avec la condition de nombrede Mach en entrée de 0,2, dans l’optique de s’affranchir de tous les problèmes liés à la compressibilité etde demeurer dans le cadre des hypothèses fixées au départ pour l’élaboration du modèle.

Ainsi, dans ces conditions, le profil de coefficient de frottement (Fig. 6.18) témoigne d’un très bonaccord entre le calcul et la théorie. La chute de Cf en début de courbe (Rθ faible) est due à la transition.Même si l’évolution du facteur d’analogie s (Fig. 6.19) ne suit pas exactement la valeur théorique de1,24 donnée par l’analogie de Reynolds, elle demeure tout de même dans une plage acceptable (entre1,15 et 1,25), d’autant plus que les calculs ont été menés à Prt constant. Le modèle k − kL associé à laformulation EARSM répond donc de manière tout à fait correcte pour un écoulement de plaque plane,ce qui est conforme à nos attentes puisqu’il a été calibré pour que ce soit le cas.

Afin de vérifier que les effets de compressibilité sont bien à l’origine des problèmes rencontrés pour lazone logarithmique thermique dans le cas du modèle k − kL Boussinesq (Fig. 6.7), on refait le calcul àM = 0, 2. Le nouveau profil de T +, tracé sur la figure (Fig. 6.20), tend à prouver que le modèle k − kLest parfaitement bien calibré, dans la mesure où le nombre de Mach est suffisamment faible.

6.2.3.2.4 Influence du nombre de Prandtl turbulent

Un aspect intéressant à étudier est l’analyse de l’influence du nombre de Prandtl turbulent (constant)sur les résultats. Ayant choisi d’effectuer les calculs à M = 0, 2 afin d’éviter les effets de compressibilité,

6.2 Écoulement de plaque plane 177

Rδ2

Cf

0 1000 20000

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

k-kL + EARSMTheorie

FIG. 6.18 – Coefficient de frottement de plaqueplane. Modèle k − kL EARSM à M = 0, 2

x

s

0 0.25 0.5 0.75 11.12

1.16

1.2

1.24

1.28

FIG. 6.19 – Facteur d’analogie s. Modèle k − kLEARSM à M = 0, 2

y+

T+

100 101 102 103 1040

5

10

15

20

25

30

k-kL - M=0,2k-kL - M=0,7T+=1/0,48 ln(y +)+3,6

FIG. 6.20 – Loi logarithmique thermique. Modèle k − kL

la variation de Prt ne devrait pas, en théorie, engendrer de modification d’un point de vue dynamique,puisque dans ce cas, on se situe dans le domaine de validité de l’hypothèse de scalaire passif pour latempérature.

On décide donc de tester deux autres valeurs de nombres de Prandtl turbulents : 0,5 et 1,3. Lesrésultats relatifs en termes de profils de u+ et de T + sont reportés sur les figures (Fig. 6.21) et (Fig. 6.22).On vérifie alors de manière tout à fait nette que le profil de vitesse est inchangé quand on modifie lenombre de Prandtl turbulent, ce qui confirme à nouveau qu’aucun effet compressible n’est à déplorerdans ces conditions de nombre de Mach. Le profil de température est quant à lui naturellement altéré,puisque κt0 est directement relié à 1/Prt.

Ici se termine donc la validation du modèle k − kL avec formulation EARSM. Une modification a éténécessaire de sorte qu’aucune anomalie ne survienne quand le rapport Pk/ε devient petit, l’hypothèsed’équilibre local étant alors mise en défaut. On a pu également mettre en avant l’apparition des effetsde la compressibilité à M = 0, 2. C’est pourquoi, par la suite, les essais de plaque plane se feront àM = 0, 2 et tous les calculs mettant en jeu la formulation EARSM intégreront la modification introduiteau paragraphe (6.2.3.2.2).

178 Chapitre 6 : Applications avec le code Navier-Stokes elsA

y+

u+

100 101 102 103 1040

5

10

15

20

25

30

Prt=0,9Prt=0,5Prt=1,3u+=1/0,41 ln(y +)+5,2

FIG. 6.21 – Loi logarithmique dynamique. Prt = 0, 5,Prt = 0, 9 et Prt = 1.3. Modèle k − kL EARSM àM = 0, 2

y+

T+

100 101 102 103 1040

5

10

15

20

25Prt=0,9Prt=0,5Prt=1,3T+=1/0,48 ln(y +)+3,6

FIG. 6.22 – Loi logarithmique thermique. Prt = 0, 5,Prt = 0, 9 et Prt = 1.3. Modèle k − kL EARSM àM = 0, 2

6.2.4 Calculs k − kL EARSM EAHFM

Le modèle k − kL avec formulation EARSM de Wallin et Johansson étant validé sur l’écoulement deplaque plane, on s’intéresse maintenant au degré de modélisation supérieur, à savoir l’adjonction de laformulation EAHFM permettant de s’affranchir de l’hypothèse de nombre de Prandtl turbulent constant.

Dans un premier temps, nous allons décrire succinctement la manière dont cette formulation a étécodée dans elsA, puis nous procéderons à l’analyse des résultats afin de dégager les améliorations apportéessur la prévision de ce type d’écoulement.

6.2.4.1 Implantation dans elsA

La formulation EAHFM (simplifiée, à r = cste) a été codée dans elsA de sorte qu’elle soit uniquementutilisée dans le cas où le modèle à deux équations dynamiques est lui-même associé au modèle algébriqueEARSM. Par analogie au modèle EARSM, la formulation EAHFM intervient pour le calcul de la diffusivitéturbulente et du vecteur flux de chaleur turbulent.

6.2.4.2 Analyse des résultats

Les calculs ont été réalisés dans les conditions vues précédemment et à M = 0, 2, de manière às’affranchir des effets de la compressibilité. De fait, on peut vérifier (Fig. 6.23) que l’évolution de lavitesse adimensionnée u+ est quasiment inchangée par rapport au cas Prt = cste, si ce n’est en sortiede zone logarithmique où on observe une légère modification. La figure (Fig. 6.24) témoigne quant à elled’une légère modification de la pente dans la zone logarithmique thermique, ce à quoi on s’attendait,puisque maintenant le nombre de Prandtl turbulent dans cette zone est plus près de 0,85 que de 0,9.Toutes les figures concernant une coupe transversale dans la couche limite ont été tracées à l’abscissex = 0, 78.

On s’intéresse à présent aux grandeurs caractérisant les effets à la paroi. Les figures (Fig. 6.25) et(Fig. 6.26) rendent compte des échanges dynamiques d’une part et thermiques d’autre part au travers descourbes d’évolution du coefficient de frottement Cf et du facteur d’analogie s. À nouveau, ces résultatssont comparés à ceux du modèle k − kL EARSM à Prt constant.

Ces résultats confirment les conclusions déjà faites, à savoir que le champ dynamique, aussi biendans la couche limite qu’à la paroi, n’est pas altéré par l’emploi de la formulation EAHFM, donc par lamodification du champ thermique. Ceci corrobore l’idée que la température se conduit comme un scalairepassif, dans la mesure où l’écoulement est incompressible.

Le facteur d’analogie est sans conteste mieux reproduit dans le cas de l’utilisation de la formulationalgébrique thermique. s se stabilise très tôt (aux alentours de x = 0, 25) à une valeur de 1,23, très proche

6.2 Écoulement de plaque plane 179

y+

u+

100 101 102 103 1040

5

10

15

20

25

30

k-kL + EARSM + EAHFMk-kL + EARSMu+=1/0,41 ln(y +)+5,2

FIG. 6.23 – Loi logarithmique dynamique. Modèle k−kL EARSM EAHFM

y+

T+

100 101 102 103 1040

5

10

15

20

25

k-kL + EARSM +EAHFMk-kL + EARSMT+=1/0,48 ln(y +)+3,6

FIG. 6.24 – Loi logarithmique thermique. Modèle k−kL EARSM EAHFM

Rδ2

Cf

0 1000 20000

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

k-kL + EARSM + EAHFMk-kL + EARSMTheorie

FIG. 6.25 – Coefficient de frottement de plaqueplane. Modèle k − kL EARSM EAHFM

x

s

0 0.25 0.5 0.75 11.12

1.16

1.2

1.24

1.28

k-kL + EARSM + EAHFMk-kL + EARSM

FIG. 6.26 – Facteur d’analogie s. Modèle k − kLEARSM EAHFM

de la valeur théorique de 1,24.

Les figures (Fig. 6.27) et (Fig. 6.28) représentent les évolutions des composantes u′θ+

et v′θ+

duflux de chaleur turbulent, en fonction de y+, dans le cas où l’hypothèse de nombre de Prandtl turbulentconstant est utilisée et dans le cas où la formulation thermique EAHFM est associée à l’assemble k − kLEARSM.

On retrouve le fait que, dans une couche limite et en valeur absolue, le flux de chaleur turbulentlongitudinal et le flux de chaleur turbulent transversal ont le même ordre de grandeur. Cette observationmet donc en défaut l’hypothèse de Boussinesq, puisque dans ce cas, elle conduit à u′θ

+= 0.

De plus, les deux courbes nous indiquent que dans la zone logarithmique, les deux composantes duflux de chaleur turbulent adimensionnées avoisinent la valeur de 1.

Pour la courbe de v′θ+, on observe un bon accord entre la formulation Boussinesq et la formulation

EAHFM ce qui laisse penser que les profils sont tout à fait réalistes. Dans tous les cas, les deux compo-santes se raccordent de manière très convenable à l’écoulement extérieur.

On s’intéresse maintenant à l’évolution du nombre de Prandtl turbulent. Pour ce faire, on comparera

180 Chapitre 6 : Applications avec le code Navier-Stokes elsA

y+

-u’θ

+

100 101 102 103 104-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

k-kL + EARSM +EAHFMk-KL + EARSM

FIG. 6.27 – Composante u′θ+

du flux de chaleur tur-bulent. Modèle k − kL EARSM EAHFM

y+

v’θ

+

100 101 102 103 1040

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

k-kL + EARSM +EAHFMk-KL + EARSM

FIG. 6.28 – Composante v′θ+

du flux de chaleur tur-bulent. Modèle k − kL EARSM EAHFM

les résultats du modèle EAHFM avec et sans fonction d’amortissement (Fig. 6.29). Ainsi, on peut ob-server dans un premier temps la nécessité d’amortir le modèle à la paroi. En effet, sans cela, le nombrede Prandtl turbulent prend des valeurs tout à fait aberrantes, puisqu’il tend vers l’infini à la paroi. Lafonction d’amortissement est logiquement active depuis la paroi jusqu’à l’entrée de la zone logarithmique.

y+

Pr t

100 101 102 1030

1

2

3

4

Avec amortissementSans amortissement

FIG. 6.29 – Nombre de Prandtl turbulent. Modèle k − kL EARSM EAHFM

On peut vérifier que la valeur du nombre de Prandtl turbulent correspond bien à celle que l’on s’étaitfixée pour la mise en place de la fonction d’amortissement, à savoir Prtp

= 1, 1. Notons toutefois quecette valeur est directement fixée par le coefficient Cy1

intervenant dans l’expression de fθ (4.95).

Malgré quelques oscillations, d’origine certainement purement numérique, on constate que le nombrede Prandtl turbulent est quasiment constant dans la zone logarithmique et avoisine la valeur de 0,85,comme on a déjà pu le déduire sur le profil de T + (Fig. 6.24).

À la frontière entre la couche limite et l’écoulement extérieur, Prt a tendance à remonter vers la valeurde 1, valeur théorique en ayant fait l’hypothèse de frontières dynamique et thermique coïncidentes.

En conclusion à l’analyse des résultats portant sur la formulation EAHFM en écoulement de plaque

6.2 Écoulement de plaque plane 181

plane, on peut affirmer que des améliorations significatives ont été apportées par le modèle algébrique. Cesaméliorations concernent toutes les grandeurs thermiques et nous trouvant dans le domaine de validitéde l’hypothèse d’incompressibilité, l’adjonction de la formulation EAHFM n’affecte en rien le champdynamique. C’est pourquoi, il est primordial que le modèle dynamique soit lui aussi très performant.

D’un point de vue purement numérique, on peut signaler que le calcul, initialisé à partir d’un champuniforme, n’a posé aucun problème de convergence, puisque les résidus des grandeurs moyennes et tur-bulentes ont atteint leurs valeurs finales après 11000 itérations (avec un schéma d’implicitation LU etnombre de CFL de 20).

6.2.5 Calculs k − kL/kθ − kθLθ

Afin de pouvoir mettre en œuvre le modèle EAHFM(r) sous sa forme la plus générale, c’est-à-direen ne faisant aucune supposition a priori sur l’évolution du rapport des temps caractéristiques r, il estnécessaire au préalable de mettre en place et de valider le modèle à quatre équations k − kL/kθ − kθLθ.À nouveau, dans un premier temps on s’intéresse à l’implantation du modèle dans elsA, puis on verraquelques résultats sur l’écoulement de plaque plane.

6.2.5.1 Implantation dans elsA

Le modèle tel qu’il a été codé dans elsA, dans le cadre de cette thèse, est une extension en compressibledu modèle présenté au chapitre 1. Dans un premier temps, aucun modèle de paroi ne lui est attribué. Parsouci de simplification, on notera φθ l’échelle transportée kθLθ.

Les équations prennent la forme suivante :

αt = 23

2 Cλφθ

kθ

√k (6.35)

∂ρkθ

∂t+ div

[

ρkθV −

(

ρα +ραt

σkθ

)

grad kθ

]

= Pθ − ρεθ (6.36)

∂ρφθ

∂t+ div

[

ρφθV −

(

ρα +ραt

σφθ

)

grad φθ

]

= Pφθ− ρCd1

εθφθ

kθ− ρCd2

εφθ

k+ CD (6.37)

avec :

εθ =k

5/3θ

φ2/3θ

ε1/3 (6.38)

Pφθ= Cp1

Pθφθ

kθ(6.39)

CD = 2Cφθkθ

ραt√kθ

grad√

kθgrad φθ + 4Cφθφθραtgrad

√

φθgrad√

φθ (6.40)

Ainsi, la modification apportée par rapport au modèle à deux équations réside dans le fait que désor-mais la diffusivité turbulente est issue des quatre échelles k, kL, kθ et kθLθ et non plus de l’hypothèse denombre de Prandtl turbulent constant.

6.2.5.2 Résultats

Un calcul a été effectué sur l’écoulement de plaque plane, dans les conditions déjà vues plus haut, maiscette fois, sans traitement de paroi. En repartant d’un champ convergé du calcul k − kL à Prt constant,aucun problème de convergence n’a été déploré.

Néanmoins, les résultats obtenus ne permettent pas de valider le modèle. En effet, le profil de nombrede Prandtl turbulent à l’abscisse x = 0, 78 (Fig. 6.30) laisse supposer un dysfonctionnement conséquentdu modèle dans le cas présent. Le pic à la frontière est irréaliste, mais cependant peut être corrigé pardes limiteurs. En revanche, on ne peut pas détecter la zone logarithmique, puisqu’aucune région zone oùPrt est constant n’apparaît et qui plus est, les valeurs de Prt sont aberrantes.

182 Chapitre 6 : Applications avec le code Navier-Stokes elsA

y

Pr t

10-5 10-4 10-3 10-2 10-10

2

4

6

8

10

12

14

16

FIG. 6.30 – Nombre de Prandtl turbulent. Modèle k − kL/kθ − kθLθ

L’origine de cette anomalie n’a pas pu être identifiée et la source peut être numérique, ou tout sim-plement un défaut dans le codage. Le modèle ayant fait ses preuves dans le code de similitude SIMIL,malgré quelques problèmes de convergence, il serait prématuré de penser que le modèle lui-même est encause. Cependant, ceci constitue un obstacle dans le sens où ce problème nous empêche de mettre enœuvre le modèle algébrique thermique EAHFM(r). Ainsi, par la suite et pour les écoulements à venir,seul le modèle simplifié EAHFM sera utilisé.

6.2.6 Conclusion

Cette partie sur l’écoulement de plaque plane nous a permis de valider un certain nombre de modèles,au-delà de ce qui avait déjà été conclu pour les écoulements de similitude. On a pu mettre en avant le faitque, pour un nombre de Mach d’entrée de 0,7, la température n’est plus un scalaire passif. Dès lors, afin derester dans le domaine de validité des hypothèses de départ, on a choisi d’effectuer les calculs à un nombrede Mach bien inférieur (Me = 0, 2). Dans ces conditions, on a pu constater les performances dynamiquesdu modèle k − kL, même en formulation Boussinesq et à nombre de Prandtl turbulent constant. Laformulation EARSM, moyennant quelques modifications à la frontière de l’écoulement, a elle aussi pu êtrevalidée. Cependant, les principales améliorations se sont portées sur l’ajout de la formulation algébriquethermique EAHFM qui s’est avérée très performante pour la prévision du profil de température et deséchanges thermiques à la paroi. En ce sens, ces simulations sur plaque plane constituent une premièrevalidation du modèle.

Malgré cela, il subsiste une zone d’ombre concernant le modèle à quatre équations k − kL/kθ −kθLθ qui n’a pas permis de fournir les résultats conformes à nos attentes. Ce point entre donc dans lecadre des perspectives, puisqu’il mérite une attention toute particulière afin de déterminer les causes dudysfonctionnement observé et de proposer des améliorations.

6.3 Écoulement de jet débouchant

Cette partie est consacrée à l’étude de l’écoulement issu d’un jet débouchant à l’air au repos quis’inscrit dans le cadre du PRF (Projet de Recherche Fédérateur) M2T2 (Métrologie et Modélisation dela Turbulence Thermique). Ce PRF s’appuie sur trois axes : la métrologie, la réalisation de bases dedonnées innovantes et la modélisation. L’expérience de jet permet donc de comparer et de valider lesdifférents moyens de mesures thermiques et les modèles de turbulence développés.

Dans un premier temps, nous allons détailler le dispositif expérimental mis en place pour la réalisationdes mesures. Ensuite, nous aborderons en détail la mise au point d’un maillage et les conditions de calculs

6.3 Écoulement de jet débouchant 183

relatives aux simulations numériques avec le code elsA. Finalement, on commentera les résultats observéssur ces calculs.

6.3.1 Description du cas expérimental

Le montage du jet chaud a été installé au Laboratoire de Mécanique des Fluides (LMF) du Dépar-tement pour l’Aérodynamique Fondamentale et Expérimentale (DAFE) de l’ONERA, dans le local duTube à Choc du centre de Meudon [56].

L’alimentation en air comprimé des jets primaire et secondaires est assurée par un circuit haute pres-sion. Un ensemble de détendeurs permet le réglage du débit du jet primaire et des débits des deux jetssecondaires simulant l’injection d’acétone et de particules de MgO. En amont du jet, la chambre de tran-quillisation est équipée de sulzers permettant d’homogénéiser l’écoulement, notamment à chaud, de filtreset de nids d’abeille servant à casser les grosses structures de l’écoulement et à redresser l’écoulement.La chambre de tranquillisation s’est avérée nécessaire pour rendre l’écoulement axisymétrique. À noterque pour bloquer l’entraînement du fluide extérieur le long de la buse d’injection, il a été décidé de fairedéboucher le jet par une plaque isolante.

La tuyère de référence est suffisamment longue (100 mm) pour que l’amplification des perturbationsturbulentes soit moindre. Afin d’éloigner les alimentations des débits secondaires et les sulzers de l’écou-lement en amont de la tuyère, une chambre de tranquillisation est mise en place à l’aval du coude situéentre le réchauffeur et le montage du jet. Cette chambre de tranquillisation est équipée d’un brise-jet quiassure l’homogénéité de l’écoulement en amont de la reprise.

Le schéma avec chambre de tranquillisation et une photo du montage sans cette chambre sont respec-tivement représentés sur les figures (Fig. 6.31) et (Fig. 6.32).

Sulzers Brise-jet

Chambre de tranquillisation

Filtres

FIG. 6.31 – Schéma du montage du jet débouchant

Les essais ont été réalisés pour une vitesse U0 de l’écoulement en sortie de jet de 32 ms−1. Cette vitessecorrespond à la somme des vitesses du jet primaire et des deux jets secondaires (U0 = UP + US1

+ US2).

La vitesse UP du jet primaire est de 23,7 ms−1. La vitesse US1du jet simulant l’injection d’acétone est de

6 ms−1 et la vitesse US2du jet secondaire simulant l’injection des particules de Mg0 est de 2,3 ms−1. Le

réglage des vitesses est assuré par des débitmètres et mesuré pour chacun des débits en sortie de tuyère àl’aide d’un fil chaud. Le jet débouche à l’atmosphère par l’intermédiaire d’une plaque de PVC de 500 mmde diamètre, adaptée à la buse de telle sorte que le plan de sortie soit affleurant à la plaque.

184 Chapitre 6 : Applications avec le code Navier-Stokes elsA

FIG. 6.32 – Photo du montage du jet débouchant sans chambre de tranquillisation

Les conditions ambiantes sont les suivantes :

• 99 992 ≤ Pa ≤ 101 325 Pa• 291 ≤ Ta ≤ 293 K

Les mesures ont été effectuées pour un jet froid, c’est-à-dire pour une température génératrice du jetTi ≈ Ta et pour un jet chaud à Ti ≈ 523 K.

À froid, les mesures ont été réalisées à l’aide d’une sonde fil chaud et d’une sonde de pression géné-ratrice. À chaud, elles ont été effectuées au moyen d’une sonde de pression génératrice et d’une sondethermocouple.

6.3.2 Maillage et conditions de calcul

Deux cas de calcul du jet débouchant du PRF ont été mis en place. Le premier concerne le jet dit froidet le second est relatif au jet chauffé. La configuration est celle du montage où le jet débouche à traversune plaque isolante. Afin de simplifier la configuration, on ne calcule pas la forme réelle de l’amont dujet comprenant le convergent. En revanche, le jet débouche par un tube de longueur réduite (égale à 3d,où d est le diamètre de l’orifice), à partir d’une condition d’injection uniforme, à un nombre de Mach de0,1. Ainsi, une couche limite de faible épaisseur se développe dans le tube avant de déboucher à l’extérieur.

Au vu de la configuration du montage, les calculs seront effectués avec une condition d’axisymétrie.Le maillage 2D axisymétrique utilisé pour les calculs elsA est présenté sur la (Fig. 6.33) en totalité. Lavue en détail près du plan de sortie du jet est présentée sur la (Fig. 6.34). Ce maillage est formé de deuxdomaines : un premier comprenant le tube et s’étendant jusqu’à la frontière aval comprenant 145 pointsen x (où x représente le sens de l’écoulement) et 41 points en y (direction transversale). Le deuxième

6.3 Écoulement de jet débouchant 185

domaine est le domaine extérieur et comprend 113 points dans la direction x et 65 points dans la direc-tion y. Le maillage total est donc constitué d’environ 13000 points. Dans le tube, le maillage est resserréprès de la paroi, avec une maille à la paroi d’une hauteur de y = 0, 001d.

x/d

y/d

0 25 50 75 1000

10

20

30

40

50

60

70

FIG. 6.33 – Vue d’ensemble du maillage pour le calcul du jet débouchant

x/d

y/d

-0.2 0 0.2 0.40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

FIG. 6.34 – Zoom sur le plan de sortie du jet débouchant

Le maillage s’étend dans la direction longitudinale jusqu’à 100d pour avoir la zone de similitude loin-taine et pour repousser l’influence sur l’écoulement des conditions aux limites de sortie du domaine decalcul. Il s’étend dans la direction transversale jusqu’à 10d en sortie de jet et jusqu’à 70d en fin de do-maine, afin de suivre l’évasement naturel du jet. Dans la zone de cisaillement issue de la lèvre, le maillage,très resserré en y à l’origine, se relâche en aval pour la même raison. De même, la taille des mailles en xaugmente entre la sortie du jet et l’aval.

Sur les parois, on impose une condition d’adhérence avec paroi adiabatique, les pertes thermiques parconduction à travers les matériaux étant supposées négligeables. Sur les frontières extérieures du domainede calcul, on applique une condition de pression imposée égale à la pression atmosphérique ambiante.L’écoulement est donc libre d’entrer ou de sortir par ces frontières. On impose un taux de turbulencedans le jet de 0, 1% de la vitesse du jet, ce qui permet de fixer la valeur de l’énergie cinétique turbulentek en entrée. En imposant le rapport νt/ν à 0,01, on en déduit la valeur de la deuxième échelle turbulentetransportée. Ces mêmes valeurs ont également été appliquées à l’extérieur.

186 Chapitre 6 : Applications avec le code Navier-Stokes elsA

Afin de générer un maillage 3D, nécessaire pour le calcul en axisymétrique, à partir de la géométrieplane, on se définit dans chacun des deux domaines deux plans (frontières latérales) k = 1 et k = 2,formant un angle de α = 10 , autour de l’axe de symétrie x (Fig. 6.35). Pour chacun des domaines, unecondition d’axisymétrie est imposée à ces deux plans.

αk =1

x

y

z

k =2

FIG. 6.35 – Génération du maillage axisymétrique

Les calculs, stationnaires, ont été réalisés dans les conditions suivantes, proches des conditions expé-rimentales :

• Température ambiante : Ti = 300 K.• Pression ambiante : Pi = 105 Pa.• Nombre de Reynolds basé sur le diamètre de l’orifice d : Rd = 104.• Température du jet : Tj = Ti = 300 K pour le jet froid et Tj = 550 K pour le jet chaud.

6.3.3 Résultats

La géométrie du problème, le maillage et les conditions de calcul étant définis, on s’intéresse maintenantaux résultats obtenus avec différents modèles sur les cas du jet débouchant froid et du jet débouchantchaud. Deux calculs préliminaires ont été effectués sur le jet froid ; d’une part avec le modèle k − L deSmith [74] et d’autre part avec le modèle k − kL Boussinesq de Daris [28]. Le modèle k − kL EARSMa quant à lui été testé sur les deux configurations de jets froid et chaud. Les résultats à venir étantpeu concluants, nous verrons que l’utilisation supplémentaire du modèle algébrique thermique sera dansl’incapacité de résoudre ces problèmes.

6.3.3.1 Calcul du jet froid avec le modèle k − L de Smith [74]

6.3.3.1.1 Présentation du modèle k − L de Smith

Le modèle de Smith est un modèle à deux équations de transport dynamique. La deuxième échelle

turbulente transportée est L = k3

2

ε . Les équations de transport s’écrivent :

Dk

Dt= Pk −

(2k)3/2

B1L− 2ν

(

∂√

k

∂xk

)2

+∂

∂xk

[(

ν +νt

σk

)

∂k

∂xk

]

(6.41)

6.3 Écoulement de jet débouchant 187

DL

Dt= (2 − E2)

√2k

B1

[

1 −(

L

κd

)2]

+ L∂uk

∂xk−

νt

σL

1

L

(

∂√

L

∂xk

)2(

L

κd

)2

+2νt

σL

1

k

∂k

∂xk

∂L

∂xk+

∂

∂xk

[(

ν +νt

σL

)

∂L

∂xk

]

(6.42)

Les constantes du modèles sont regroupées dans le tableau (TAB. 6.1). d désigne la distance à la paroi.La viscosité turbulente est donnée par :

νt = νχfµ avec χ =

√2kL

νB11/3

(6.43)

fµ =

(

c14f1 + c2

2χ2 + χ4

c41 + c2

2χ2 + χ4

)1/4

avec f1 = exp

[

−50

(

L

κd

)2]

(6.44)

κ σk σL B1 E2 c1 c2

0,41 1,43 1,43 18 1,2 25,5 2

TAB. 6.1 – Coefficients du modèle k − L de Smith [74]

6.3.3.1.2 Résultats

Le calcul de jet froid a été effectué en premier lieu avec ce modèle k − L. La (Fig. 6.36) représentele champ de nombre de Mach en sortie de jet. La (Fig. 6.37) quant à elle retrace le champ du produitde la masse volumique par l’énergie cinétique de turbulence, adimensionnée par le carré de la vitesse deréférence a2

i , avec ai =√

γRTi = 347, 2 ms−1.

FIG. 6.36 – Champ de nombre de Mach en sortie de jet froid. Modèle k − L de Smith

On constate une diminution locale du nombre de Mach juste en aval de la section de sortie. Le tracédes lignes de courant fait apparaître un anneau tourbillonnaire qui prend naissance sur la lèvre, puis quis’échappe à intervalles de temps de calcul réguliers et qu’on retrouve plus loin en aval pour ensuite dis-paraître par diffusion. Ces échappements cycliques se retrouvent sur les courbes de résidus sur lesquelleson observe de faibles oscillations de type sinusoïdal avec une période de 600 itérations à nombre de CFLde 4 et ce, malgré un niveau bas de résidus indiquant une bonne convergence moyenne. Ce phénomènepeut s’avérer très gênant dans la suite de l’étude où des modèles plus complexes seront utilisés, avec lerisque d’amplifier ces instabilités numériques et de provoquer la divergence du calcul.

Le champ d’énergie cinétique turbulente nous indique que le cône potentiel a une longueur de 7denviron, ce qui est un peu élevé par rapport aux valeurs habituelles d’environ 5d ou 6d en jet froid (lesexpériences décrites précédemment l’estiment à 4d environ). Notons que cette énergie est produite dans

188 Chapitre 6 : Applications avec le code Navier-Stokes elsA

FIG. 6.37 – Champ d’énergie cinétique de turbulence en sortie de jet froid. Modèle k − L de Smith

la couche de mélange issue de la lèvre.

Afin de mieux calibrer la longueur du cône potentiel, on trace les évolutions sur l’axe du jet du nombrede Mach et de l’énergie cinétique de turbulence adimensionnée (Fig. 6.38).

FIG. 6.38 – Évolution du nombre de Mach et de l’énergie cinétique turbulente adimensionnée sur l’axe du jet froid.Modèle k − L de Smith

On observe que sur l’axe le nombre de Mach, après quelques oscillations dues à l’influence des anneauxtourbillonnaires vus précédemment, diminue continûment à partir de x/d = 7, ce qui traduit la fin ducône potentiel. Cette même valeur se retrouve sur le profil de l’énergie cinétique turbulente adimensionnée(k/a2

i ) sur l’axe. En effet, après un seuil très faible, l’énergie cinétique de turbulence monte brusquementà partir de x/d = 7 jusqu’à un maximum situé aux alentours de x/d = 15 pour ensuite décroître en aval,marquant ainsi le début de la zone de similitude du jet.

Néanmoins, on sait que le modèle k−L de Smith est sensible à la condition aux limites extérieure surles grandeurs turbulentes [67], ce qui peut expliquer la sous-estimation du taux d’ouverture de la couchede mélange et justifier la valeur un peu élevée de la longueur du cône potentiel calculé. On verra par lasuite si cette explication est la seule ou si la clé du problème se situe ailleurs.

On s’intéresse à présent à l’épaisseur du jet. La similitude se caractérise théoriquement, pour un jetaxisymétrique, par une décroissance de la vitesse sur l’axe en 1/x, ce qui semble être retrouvé sur la(Fig. 6.38). Une autre façon de caractériser cette zone de similitude est de tracer l’évolution de l’épaisseurdu jet en fonction de x. Cette épaisseur δ peut être prise dans une expérience comme la valeur de ladistance à l’axe où la vitesse longitudinale vaut la moitié de sa valeur uc sur l’axe. Cette évolution estprésentée sur la (Fig. 6.39).

On note que, peu après la fin du cône potentiel, l’épaisseur du jet évolue rapidement de façon linéaireen x, comme prévu théoriquement pour un jet axisymétrique. L’origine fictive du jet est obtenue en pro-longeant la partie linéaire sur l’axe, ce qui donne une valeur d’environ x/d = 4.

6.3 Écoulement de jet débouchant 189

FIG. 6.39 – Évolution de l’épaisseur du jet froid. Modèle k − L de Smith

On se focalise maintenant sur la zone de similitude du jet. L’épaisseur δ et la vitesse au centre uc

peuvent être utilisées comme échelles pour adimensionner les profils des différentes grandeurs physiques.On forme ainsi l’ordonnée adimensionnée y/δ, la vitesse adimensionnée u/uc, l’énergie cinétique adimen-sionnée k/u2

c et la viscosité turbulente adimensionnée νt/ (δuc). Les profils de ces grandeurs sont tracés àdifférentes abscisses, tous les x/d = 10 (Fig. 6.40), (Fig. 6.41) et (Fig. 6.42).

FIG. 6.40 – Profil de vitesse en variable de similitude.Modèle k − L de Smith

FIG. 6.41 – Profil d’énergie cinétique turbulente envariable de similitude. Modèle k − L de Smith

FIG. 6.42 – Profil de viscosité turbulente en variable de similitude. Modèle k − L de Smith

190 Chapitre 6 : Applications avec le code Navier-Stokes elsA

On observe que dans la partie centrale du jet les profils de vitesse se mettent bien en similitude dèsx/d = 20. En revanche, à la frontière du jet, les profils ne se superposent plus et en aval de x/d = 20,ils présentent une inversion de courbure qui n’est pas physique. Pour les profils d’énergie cinétique et deviscosité turbulentes, les niveaux maximaux près de l’axe du jet sont en similitude à partir de x/d = 30,soit plus tardivement que dans le cas de la vitesse, ce qui est également constaté expérimentalement.Cependant, les différences dans la partie externe sont encore plus importantes que dans le cas de lavitesse, comme si l’épaisseur du jet du point de vue des grandeurs turbulentes était différente de celleobtenue par le profil de vitesse. Ces anomalies physiques pourraient a priori provenir du maillage utilisé,mais le jet contient environ 80 points en y, ce qui paraît déjà raisonnable. Par contre, on sait que lemodèle k − L, par le choix de la deuxième échelle transportée, donne de très mauvais résultats pour lesécoulements libres et pour le comportement à la frontière de l’écoulement extérieur, ce qu’on retrouve ici.C’est pourquoi, il apparaît primordial de tester cette configuration d’écoulement avec d’autres modèlesde turbulence, ayant de meilleurs comportements théoriques dans les jets.

6.3.3.2 Calcul du jet froid avec le modèle k − kL

Après le premier calcul avec le modèle k −L, on s’intéresse désormais au modèle k − kL de Daris [28]en formulation Boussinesq pour la configuration de jet froid.

À nouveau on trace les champs de nombre de Mach (Fig. 6.43) et d’énergie cinétique de turbulence(Fig. 6.44) en sortie du jet.

x/d

y/d

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120

1

2

3

M: 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 0.11 0.12

FIG. 6.43 – Champ de nombre de Mach en sortie de jet froid. Modèle k − kL

x/d

y/d

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120

1

2

3

rok: 0 5E-05 0.0001 0.00015 0.0002 0.00025 0.0003 0.00035 0.0004

FIG. 6.44 – Champ d’énergie cinétique de turbulence en sortie de jet froid. Modèle k − kL

On observe en premier lieu que, sur le champ de nombre de Mach, aucun anneau tourbillonnaire nese forme sur la lèvre. En revanche, on constate une forte recirculation au dessus du jet, avec du fluideprovenant de l’extérieur. Le champ d’énergie cinétique nous indique que d’une part la longueur du cônepotentiel est largement surestimée puisqu’elle atteint environ 11d et que d’autre part les niveaux d’énergiecinétique de turbulence sont très bas, ce qui laisse penser que l’écoulement est en train de relaminariser.

6.3 Écoulement de jet débouchant 191

Des essais à taux de turbulence plus élevés ont été entrepris, en vain. Aucune explication à ce phénomènede relaminarisation n’a pour l’instant été identifiée.

Le constat est identique sur les courbes d’évolution sur l’axe du nombre de Mach et de l’énergiecinétique turbulente (Fig. 6.45). On situe sur ces deux courbes la fin du cône potentiel aux alentours dex/d = 11. Contrairement au modèle k−L, le nombre de Mach ne souffre d’aucune oscillation en sortie dejet. En revanche, on observe nettement que l’énergie cinétique turbulente est faible (maximum à 0,00013contre 0,00025 pour le modèle k − L). Cette énergie décroît aux alentours de x/d = 22, ce qui indique ledébut de la zone de similitude du jet. Cette abscisse est nettement plus élevée que dans le cas du modèlek − L où elle était prévue à x/d = 15 environ.

x/d

Mac

h

-5 0 5 10 15 200.05

0.07

0.09

0.11

0.13

axe jet

x/d

k/a

i2

-5 0 5 10 15 20 25 300

0.0001

0.0002

0.0003

axe jet

FIG. 6.45 – Évolution du nombre de Mach et de l’énergie cinétique turbulente adimensionnée sur l’axe du jet froid.Modèle k − kL

L’évolution de l’épaisseur du jet (Fig. 6.46) nous indique que le jet n’est pas rentré en similitude,puisqu’il est impossible de superposer à cette courbe une droite de pente x caractéristique de la zone desimilitude des jets axisymétriques.

x/d

δ/d

0 20 40 60 80 1000

1

2

3

calcul

FIG. 6.46 – Évolution de l’épaisseur du jet froid. Modèle k − kL

Le calcul du jet froid avec le modèle k − kL est donc très peu concluant puisque, comme on vientde le voir, il conduit à une relaminarisation de l’écoulement, il prévoit une longueur de cône potentielleconsidérablement trop grande et il ne permet pas au jet d’entrer en zone de similitude. La question estde savoir si ces anomalies sont propres au modèle k − kL ou s’il faut plutôt mettre en cause le maillage,les conditions de calcul ou les paramètres numériques. C’est pourquoi la partie suivante se propose defournir les résultats relatifs au modèle k − kL en association avec la formulation algébrique dynamiquede Wallin et Johansson.

192 Chapitre 6 : Applications avec le code Navier-Stokes elsA

6.3.3.3 Calcul du jet froid avec le modèle k − kL EARSM

Les résultats à venir concernent le calcul du jet froid avec le modèle k− kL en association avec la for-mulation EARSM. Les champs de nombre de Mach et d’énergie cinétique de turbulence sont représentésen (Fig. 6.47) et (Fig. 6.48) respectivement.

x/d

y/d

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120

1

2

3

M: 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 0.11 0.12

FIG. 6.47 – Champ de nombre de Mach en sortie de jet froid. Modèle k − kL EARSM

x/d

y/d

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120

1

2

3

rok: 0 5E-05 0.0001 0.00015 0.0002 0.00025 0.0003 0.00035 0.0004

FIG. 6.48 – Champ d’énergie cinétique de turbulence en sortie de jet froid. Modèle k − kL EARSM

De même que pour le calcul avec le modèle k − L, on remarque la présence d’un anneau tourbillon-naire qui prend naissance à la sortie de la lèvre. On est donc amené à penser que le développement del’instabilité en sortie de jet est lié aux conditions de calcul (maillage, conditions aux limites...) plus qu’aumodèle lui-même. De plus, on retrouve le phénomène de recirculation observé dans le cas du modèlek − kL Boussinesq, avec un écoulement provenant de l’extérieur. Cette recirculation a sans doute deseffets néfastes sur la mise en place de la zone de similitude. Ici aussi, on remarque une baisse locale dela valeur du nombre de Mach, en sortie de jet, mais cette fois, cette diminution est située aux alentoursde x/d = 1, 5 alors que le modèle k − L l’estimait vers x/d = 0, 75. Le champ d’énergie cinétique deturbulence montre que la longueur du cône potentiel est une fois de plus surestimée (≈ 9d). Bien qu’onpuisse souligner les améliorations apportées par la formulation EARSM sur le modèle k − kL puisque,pour les mêmes conditions de calcul, l’écoulement reste turbulent et la longueur du cône potentiel est unpeu moins aberrante, celle-ci ne suffit pas à résoudre les problèmes rencontrés. Ce constat corrobore doncl’hypothèse que les conditions de calcul sont à revoir. En outre, le champ d’énergie cinétique turbulenteprésente des oscillations juste en aval de la lèvre, ce qui va sans doute de pair avec la formation de l’anneautourbillonnaire. On assiste donc à un phénomène instationnaire alors que le calcul est, lui, stationnaire.

Il paraît néanmoins intéressant de tracer les évolutions sur l’axe du jet des quantités précédentes, àsavoir le nombre de Mach et l’énergie cinétique turbulente (Fig. 6.49).

6.3 Écoulement de jet débouchant 193

x/d

Mac

h

-5 0 5 10 15 200.05

0.07

0.09

0.11

0.13

axe jet

x/d

k/a

i2

-5 0 5 10 15 20 250

0.0001

0.0002

0.0003

axe jet

FIG. 6.49 – Évolution du nombre de Mach et de l’énergie cinétique turbulente adimensionnée sur l’axe du jet froid.Modèle k − kL EARSM

Ces deux courbes confirment logiquement que la longueur du cône potentielle est estimée à 9d. Onretrouve sur l’évolution de M que des oscillations sont présentes juste en aval de la lèvre. De plus, on peutconfirmer le fait que les niveaux d’énergie cinétique turbulente sont corrects et proches de ceux issus ducalcul k − L. D’après cette même courbe, on peut également situer le début de la zone de similitude dujet (caractérisé par la chute de k) aux environs de x/d = 22. Cette abscisse semble encore une fois assezélevée puisque les expériences décrites au paragraphe (6.3.1) révèlent que l’écoulement entre en similitudeautour de x/d = 10.

Finalement, l’évolution de l’épaisseur du jet (Fig. 6.50) révèle, comme on pouvait s’y attendre, quel’écoulement de similitude n’est pas pleinement développé puisqu’on ne discerne aucune zone linéaire.

x/d

δ/d

0 20 40 60 80 1000

1

2

3

4

calcul

FIG. 6.50 – Évolution de l’épaisseur du jet froid. Modèle k − kL EARSM

Bien que le calcul en jet froid se soit avéré problématique et ce, quel que soit le modèle utilisé, ilapparaît tout de même pertinent de savoir comment ce même modèle (k − kL EARSM) réagit dans lecas du jet débouchant chaud.

6.3.3.4 Calcul du jet chaud avec le modèle k − kL EARSM

On s’intéresse à présent au calcul du jet chaud (Tj = 550 K et Ta = 300 K) avec le modèle k − kLassocié à la formulation EARSM. Dans un premier temps on considère le nombre de Prandtl turbulentcomme étant constant et égal à 0,9. Les champs de nombre de Mach (Fig. 6.51) et d’énergie cinétiqueturbulente (Fig. 6.52) ont été sortis à 20000 itérations, où la convergence du calcul a été atteinte d’aprèsl’allure des résidus.

Ces résultats témoignent à l’évidence d’une importante anomalie. Dans un premier temps, la valeur

194 Chapitre 6 : Applications avec le code Navier-Stokes elsA

x/d

y/d

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120

1

2

3

M: 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 0.11 0.12

FIG. 6.51 – Champ de nombre de Mach en sortie de jet chaud. Modèle k − kL EARSM

x/d

y/d

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120

1

2

3

rok: 0 5E-05 0.0001 0.00015 0.0002 0.00025 0.0003 0.00035 0.0004

FIG. 6.52 – Champ d’énergie cinétique de turbulence en sortie de jet chaud. Modèle k − kL EARSM

du nombre de Mach dans le tube est largement inférieure à celle qu’on s’était imposée. Ensuite, on peutencore déceler, de par le tracé des lignes de courant, la présence d’un anneau tourbillonnaire à la lèvreet qui semble de propager le long de l’écoulement. Enfin, on constate sur le champ d’énergie cinétiqueturbulente que l’écoulement redevient laminaire. L’analyse des résultats pour différentes itérations a mon-tré que cette relaminarisation se faisait au fur et à mesure des itérations pour conduire à un écoulemententièrement laminaire au bout de 40000 itérations environ. De plus, toutes ces anomalies ont pu être ob-servées avec tous les modèles testés : k−L, k−kL Boussinesq et k−kL EARSM avec formulation EAHFM.

La question s’est alors posée de savoir si le nombre de Mach n’était pas trop faible pour le calcul elsA.Dans un premier temps, on a réalisé différents essais avec le pré-conditionnement basse vitesse du code,qui permet d’augmenter les variations de la masse volumique pour des écoulements jugés trop lents. Cettemanipulation n’a apporté aucune modification sur le champ final.

La seconde tentative a consisté à augmenter la valeur du nombre de Mach à l’injection, tout enconservant le nombre de Reynolds identique à l’expérience. Encore une fois, cette procédure s’est avéréeinfructueuse.

6.3.4 Conclusion

Le cas test du jet débouchant à l’air libre n’a pas permis de valider le modèle algébrique thermiquepuisque le cas de calcul s’est avéré poser des problèmes même pour des modèles classiques. On a puobserver la présence d’un anneau tourbillonnaire juste en sortie de lèvre, créant ainsi des instabilités toutau long de l’écoulement. Dans chacun des cas étudiés, la prévision de la longueur du cône potentielle s’estrévélée inexacte avec une franche surestimation. La zone de similitude n’a pu être démontrée que dans lecas du modèle k − L. Enfin, on a pu observer un phénomène de relaminarisation au cours des itérations,en particulier dans le cas du jet chauffé. Diverses alternatives ont été entreprises de manière à pallierces anomalies, mais aucune n’a donné satisfaction. Il convient donc de s’interroger sur les conditions de

6.4 Écoulement de jet impactant 195

calcul, telles que le maillage, bien qu’a priori suffisamment raffiné dans les zones "critiques", ou encoreles conditions aux limites qu’on s’est imposées. La configuration axisymétrique du problème nécessiteraitégalement d’être étudiée de plus près.

6.4 Écoulement de jet impactant

Le cas test de l’écoulement de jet impactant s’inscrit dans le cadre du projet MAEVA (ModélisationAérothermique des Écoulements en Ventilation Avion), projet issu de la collaboration entre Airbus Franceet l’ONERA. L’objet de ce projet consiste à améliorer la compréhension et la prévision de l’environnementthermique des avions, de manière à apporter des réponses pratiques aux problèmes posés par l’utilisationde plus en plus fréquente des matériaux composites. Ces matériaux offrent une résistance très grandepour un poids embarqué faible. Malheureusement, leur résistance mécanique est directement reliée à leurtempérature. La gestion de l’environnement thermique conduit à mettre en œuvre des concepts de re-froidissement ou de chauffage local pour maintenir le milieu dans le domaine de température souhaité.L’optimisation des prélèvements d’air nécessaires à la régulation de cette température passe par uneconnaissance approfondie des transferts de chaleur. Le projet MAEVA s’articule autour de trois grandsthèmes :

• Interaction d’un jet débouchant avec une paroi.• Impact de jet avec une paroi chaude ou froide.• Convection mixte dans les cavités.

Le sujet de cette partie se rattache au deuxième point et concerne entre autres les systèmes de dégi-vrage, les équipements sensibles (refroidissement du système) et le refroidissement d’éléments structuraux.

Nous étudierons ici la réponse de différents modèles à un écoulement de jet impactant une plaqueplane chauffée, ce pour deux hauteurs d’impact. Dans un premier temps, on présentera le cas test, avec ladescription du cas expérimental. On verra ensuite quelles conditions de calcul ont été retenues (maillages,conditions aux limites, géométrie...). Finalement, divers modèles seront testés sur les deux configurationset une confrontation entre résultats numériques et données expérimentales sera établie.

6.4.1 Présentation du cas test

La configuration adoptée pour les calculs du jet impactant est issue des expériences de Baughn etShimizu [8] et de Cooper et al. [23]. Ces expériences consistent en l’impact d’un jet "froid" sur une plaqueplane "chaude" à flux constant (Fig. 6.53). Néanmoins, pour le calcul, nous avons choisi de prendre cetteparoi isotherme, puisqu’on se place dans le cadre de l’hypothèse de scalaire passif en imposant une dif-férence de température suffisamment faible (10%) entre le jet (300 K) et la paroi (330 K). L’écoulementextérieur est lui aussi à une température de 300 K.

Le jet axisymétrique, de diamètre D = 26, 5 mm, impacte perpendiculairement la paroi chauffée. Deuxconfigurations sont envisagées et distinguées par la hauteur de l’impact. La première configuration esttelle que cette hauteur d’impact H vaut deux fois le diamètre du jet (H/D = 2). La seconde est relativeà une hauteur d’impact de six fois le diamètre du jet (H/D = 6). Le nombre de Reynolds basé sur lavitesse au centre du jet et sur le diamètre du jet vaut :

RD =U jet

bulkD

ν= 23000

La conduite est suffisamment longue pour que l’écoulement en sortie soit pleinement turbulent et latempérature quasiment uniforme. Le nombre de Mach de l’écoulement issu du jet vaut 0,2. L’écoulementextérieur est au repos.

196 Chapitre 6 : Applications avec le code Navier-Stokes elsA

FIG. 6.53 – Vue schématique du jet impactant

6.4.2 Maillage et conditions de calcul

Deux maillages, relatifs aux deux hauteurs d’impact ont été mis en place pour les calculs elsA

(Fig. 6.54) et (Fig. 6.55). Le problème étant axisymétrique, on ne s’intéressera qu’à la partie correspon-dant à r positif (soit y positif sur les figures (Fig. 6.54) et (Fig. 6.55), le jet étant tourné à l’horizontaledans les calculs).

x/D

y/D

0 1 2 3 4 5 6 70

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

FIG. 6.54 – Maillage du jet impactant. H/D = 2

x/D

y/D

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

FIG. 6.55 – Maillage du jet impactant. H/D = 6

Toutes les grandeurs sont adimensionnées par le diamètre de la conduite D. Chacun des maillagesest divisé en trois domaines. Des premiers tests avec des maillages à 41646 points pour le cas H/D = 2et 75270 points pour le cas H/D = 6 ont révélé que ce nombre de points était trop important et quepar là même augmentait considérablement les temps de convergence, déjà élevé de par la configurationaxisymétrique du problème. Il a donc été décidé d’affecter aux deux maillages le même nombre de points,égal à 8610. Le maillage est raffiné de manière très importante en sortie du jet et ce jusqu’au pointd’impact. La paroi étant la source de développement d’une couche limite, elle bénéficie également d’unnombre de mailles élevé.

La longueur de la conduite est dans les deux cas égale à L/D = 5, de sorte que l’écoulement qui estinjecté en début de conduite soit pleinement établi en sortie.

La (Fig. 6.56) décrit la géométrie du problème, constituée de trois domaines et des frontières associées.Le domaine 1 est relatif à l’écoulement dans la conduite et à son prolongement jusqu’à la paroi

6.4 Écoulement de jet impactant 197

4

8 10 9

16 17

15

18

14

AXE DE SYMETRIE

PA

RO

I IS

OT

HE

RM

E

5

2

3

III

II

I

11

1

PAROI ADIABATIQUE

FIG. 6.56 – Géométrie du problème du jet impactant

impactée. Le deuxième domaine est constitué de la zone de fluide située entre la paroi de la conduite etla paroi impactée. Enfin, le troisième domaine concerne l’écoulement au repos.

Les frontières 1, 8 et 14 constituent la paroi impactée, isotherme, telle que Tp = 330 K, soit Tp/Te =Tp/Tj = 1, 1, où Te désigne la température ambiante et Tj la température du jet, égale à la températureextérieure.

Sur la frontière 2 est imposée une condition d’injection, injection des profils de la vitesse moyenne,de l’énergie cinétique turbulente, de la diffusivité turbulente, etc., issus d’un calcul de conduite 1D. Cesdifférents profils sont représentés sur les figures (Fig. 6.57), (Fig. 6.58) et (Fig. 6.59), h désignant lahauteur du canal.

y/h

U/U

m

0 0.25 0.5 0.75 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

FIG. 6.57 – Profil de vitesse dans la conduite

y/h

k/U

m2

0 0.25 0.5 0.75 10

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

FIG. 6.58 – Profil de l’énergie cinétique turbulentedans la conduite

On vérifie sur ces figures que l’écoulement est bien établi dans la conduite, puisque les profils sont enaccord avec la théorie.

198 Chapitre 6 : Applications avec le code Navier-Stokes elsA

y/h

νt/ν

0 0.25 0.5 0.75 10

10

20

30

40

50

60

FIG. 6.59 – Profil de la viscosité turbulente dans la conduite

L’axe de symétrie de la géométrie est représenté par la frontière 3.

Les frontières 5, 9 et 17 délimitent la partie "solide" de la conduite, elles sont supposées adiabatiques,car les pertes thermiques par conduction sont négligeables.

Les frontières 15 et 18 sont les frontières libres du domaine de calcul. On leur applique une conditionde pression imposée, égale à la pression atmosphérique. L’écoulement est continu entre les frontières 4 et10 et les frontières 11 et 16.

La génération du maillage axisymétrique, à partir du maillage plan, est réalisée de la même manièreque pour le cas du jet débouchant (Fig. 6.35), c’est-à-dire en construisant, dans chaque domaine, deuxplans formant un angle de 10 .

Dans chacun des deux cas qui nous intéressent, les calculs ont été effectués en stationnaire. À l’infini,on impose un rapport μt/μ de 10−2 et un taux de turbulence égal à 5.10−4. Dans la conduite, les profilssont imposés en entrée, ce qui se traduit par une condition d’injection dans le calcul elsA. Cette conditiond’injection consiste à imposer les valeurs de Pa, ha (enthalpie d’arrêt) et des deux échelles turbulentestransportées (par exemple k et kL pour le modèle k − kL). Ces valeurs dans le jet sont obtenues à partirdes profils de U/Um, k/U2

m et νt/ν issus du calcul de la conduite 1D. On calcule les coordonnées descentres des mailles du maillage utilisé pour les simulations avec elsA et on interpole les données du calculde la conduite en ces points. À partir des conditions aérodynamiques du calcul elsA (M , Ti, Pi...), onpeut en déduire les valeurs de Pa, ha, k et de la deuxième grandeur turbulente en tout point du jet.

Les grandeurs de référence servant à l’adimensionnement sont les suivantes :

• Tref = Ti = Tj = 300 K.• Pref = Pi = 105 Pa.• ρref = ρi = Pi

RTi.

• Vref = ai =√

γRTi.• Lref = D = 0, 026 m.

On rappelle que le nombre de Reynolds basé sur le diamètre de la conduite est de 23000 et que la paroiest chauffée à une température de Tp = 330 K, ce qui correspond à une évolution de 30 K par rapport àla température génératrice.

6.4 Écoulement de jet impactant 199

6.4.3 Résultats

Cette partie aborde les résultats obtenus avec le code de calcul elsA. Nous distinguerons les deuxcas correspondant aux deux hauteurs d’impact H/D = 2 et H/D = 6. Dans chacune de ces configura-tions, nous étudierons l’influence du modèle dynamique (donc à Prt constant) sur les champs dynamiquesobtenus et sur les échanges thermiques à la paroi. On s’intéressera ensuite à l’influence de la modélisa-tion algébrique thermique sur ces mêmes critères, ce qui permettra de dégager les avantages de cettemodélisation, mais également les améliorations à lui apporter pour parfaire ses performances.

Notons que le jet impactant constitue un cas à la fois complexe et intéressant, dans le sens où il meten jeu, comme on le verra par la suite, des effets d’entraînement, de stagnation et de grande courbure deslignes de courant.

6.4.3.1 H/D = 2

6.4.3.1.1 Influence du modèle dynamique

On étudie ici l’influence du modèle dynamique sur le cas de calcul de jet impactant pour une hau-teur d’impact de H/D = 2. Les modèles concernés par cette étude sont les modèles k − L de Smith [74],k − ε de Chien [20], k − kL de Daris [28] en formulation Boussinesq et k − kL associé à la formulationEARSM de Wallin et Johansson [86]. Ces quatre modèles sont utilisés avec l’hypothèse de nombre dePrandtl turbulent constant et égal à 0,9. Aucun problème de convergence n’est survenu durant ces cal-culs. On compare ici, d’une part les champs de nombre de Mach (Fig. 6.60) à (Fig. 6.63) et d’énergiecinétique de turbulence, normalisée par la vitesse de référence au carré (Fig. 6.64) à (Fig. 6.67) et d’autrepart la répartition du coefficient de frottement Cf (Fig. 6.68) et du nombre de Nusselt (Fig. 6.69) et(Fig. 6.70) défini par :

Nu =qpD

λ (Tp − Tj)(6.45)

où qp est le flux de chaleur à la paroi.Ce nombre sans dimension caractérise donc les échanges thermiques à la paroi.

Les champs de nombre de Mach, de par le tracé des lignes de courant, permettent en premier lieude confirmer que l’écoulement est effectivement établi en sortie de conduite. Ces lignes de courant sontparallèles dans la direction axiale puis présentent une courbure à l’approche de la paroi, où l’écoulementsubit logiquement un ralentissement. On remarque que le fluide extérieur est entraîné dans le cône dujet, avec une couche de cisaillement qui se développe entre le cône et la région extérieure, ce qui conduità une légère zone de recirculation au voisinage de la paroi de la conduite. On observe également, sur ceschamps de nombre de Mach, que en x = y = 0, c’est-à-dire sur la paroi et dans la continuité de l’axe desymétrie, on a localement un nombre de Mach très faible, de l’ordre de sa valeur à l’extérieur. Autour dece point d’impact, l’écoulement est forcé de modifier sa trajectoire et subit une forte accélération. Au-delàde y/D = 1, 5, un jet pariétal se forme pour ensuite développer une couche limite.

Le champ de nombre de Mach semble assez insensible au modèle de turbulence utilisé. Les niveauxsont équivalents d’un modèle à un autre et les lignes de courant ont le même comportement. En revanche,il semblerait que le modèle k − L prévoit une épaisseur de jet légèrement plus grande qu’avec le modèlek − ε, alors qu’en théorie le phénomène inverse doit se produire. Néanmoins, aucune différence notableentre les modèles n’est à signaler, en ce qui concerne le nombre de Mach.

Sur les contours d’énergie cinétique, adimensionnée par la vitesse de référence au carré, on observeque le maximum de ρk, pour les modèles k − L, k − ε et k − kL Boussinesq, se situe entre y/D = 0 ety/D = 1, soit dans la région proche de l’impact. En revanche, pour le modèle k − kL en formulationEARSM, on ne retrouve pas ce pic de ρk dans la région de l’impact. Néanmoins, pour tous les modèles,on note, dans ce cas H/D = 2, entre y/D = 1 et y/D = 2 environ, un deuxième pic d’énergie cinétiquede turbulence, qui se manifeste par un "bulbe" de maximum de k. À la différence de celui qu’on observeau point d’impact, celui-ci se situe légèrement au dessus de la paroi. On décèle bien sur ces figures la

200 Chapitre 6 : Applications avec le code Navier-Stokes elsA

x/D

y/D

0 1 2 3 4 50

1

2

3

4

5

M0.24

0.22

0.2

0.18

0.16

0.14

0.12

0.1

0.08

0.06

0.04

0.02

0

FIG. 6.60 – Champ de nombre de Mach. H/D = 2.Modèle k − L de Smith

x/D

y/D

0 1 2 3 4 50

1

2

3

4

5

M0.24

0.22

0.2

0.18

0.16

0.14

0.12

0.1

0.08

0.06

0.04

0.02

0

FIG. 6.61 – Champ de nombre de Mach. H/D = 2.Modèle k − ε de Chien

x/D

y/D

0 1 2 3 4 50

1

2

3

4

5

M0.24

0.22

0.2

0.18

0.16

0.14

0.12

0.1

0.08

0.06

0.04

0.02

0

FIG. 6.62 – Champ de nombre de Mach. H/D = 2.Modèle k − kL de Daris

x/D

y/D

0 1 2 3 4 50

1

2

3

4

5

M0.24

0.22

0.2

0.18

0.16

0.14

0.12

0.1

0.08

0.06

0.04

0.02

0

FIG. 6.63 – Champ de nombre de Mach. H/D = 2.Modèle k − kL EARSM

formation du jet de paroi qui se développe à partir de l’impact et qui forme par la suite une couchelimite. On note que l’impact a une influence sur le champ de l’énergie cinétique jusqu’aux alentours dey/D = 4 − 4, 5 et ce, pour une épaisseur d’environ x/D = 0, 5.

En dépit du fait que nous ne disposons pas des données expérimentales relatives au coefficient defrottement Cf , son évolution est tout de même tracée, le long de la paroi impactée, pour l’ensemble desmodèles utilisés (Fig. 6.68). On remarque que le coefficient de frottement est naturellement nul au pointd’impact. Au-delà de cette zone, l’écoulement subissant une forte accélération, le coefficient de frottementaugmente subitement, pour atteindre son maximum vers y/D = 0, 7. Ce maximum est prévu plus élevépar les modèles k − ε et k − kL EARSM que par les deux autres, avec une différence relative de 20%environ. Notons que dans le cas de ces deux modèles, la valeur de y+ de la première maille à l’abscissey = 0, 7 correspondant au maximum de Cf est plus grande (environ 1,22) que dans le cas des modèlesk−L et k−kL (environ 1,10). Ceci peut donc expliquer la différence observée sur les valeurs du coefficientde frottement. Cf diminue ensuite progressivement jusqu’à une valeur nulle qu’il atteint relativement tard(vers y/D = 10).

Les figures (Fig. 6.69) et (Fig. 6.70) représentent l’évolution du nombre de Nusselt prévue par cha-cun des modèles et en confrontation avec les expériences de Baughn et Shimizu [8]. La seconde figure

6.4 Écoulement de jet impactant 201

x/D

y/D

0 1 2 3 4 50

1

2

3

4

5

rok

0.0022

0.002

0.0018

0.0016

0.0014

0.0012

0.001

0.0008

0.0006

0.0004

0.0002

0

FIG. 6.64 – Champ d’énergie cinétique turbulente.H/D = 2. Modèle k − L de Smith

x/D

y/D

0 1 2 3 4 50

1

2

3

4

5

rok

0.0022

0.002

0.0018

0.0016

0.0014

0.0012

0.001

0.0008

0.0006

0.0004

0.0002

0

FIG. 6.65 – Champ d’énergie cinétique turbulente.H/D = 2. Modèle k − ε de Chien

x/D

y/D

0 1 2 3 4 50

1

2

3

4

5

rok0.0022

0.002

0.0018

0.0016

0.0014

0.0012

0.001

0.0008

0.0006

0.0004

0.0002

0

FIG. 6.66 – Champ d’énergie cinétique turbulente.H/D = 2. Modèle k − kL de Daris

x/D

y/D

0 1 2 3 4 50

1

2

3

4

5

rok0.0022

0.002

0.0018

0.0016

0.0014

0.0012

0.001

0.0008

0.0006

0.0004

0.0002

0

FIG. 6.67 – Champ d’énergie cinétique turbulente.H/D = 2. Modèle k − kL EARSM

y/D

Cf

0 2 4 6 8 100

0.0002

0.0004

0.0006

k-Lk-εk-kLk-kL EARSM

FIG. 6.68 – Répartition du coefficient de frottement. H/D = 2. Modèles k − L, k − ε, k − kL et k − kL EARSM

est une vue agrandie de la première s’affranchissant du comportement du modèle k − ε qui surestimetrop fortement le nombre de Nusselt au point d’impact. L’évolution expérimentale du nombre de Nusselt

202 Chapitre 6 : Applications avec le code Navier-Stokes elsA

dans le cas présent est caractéristique du cas H/D = 2, c’est-à-dire un cas où la hauteur d’impact estrelativement courte. Le maximum de Nu se situe effectivement à l’impact (tout comme Cf atteint sonminimum de zéro dans cette zone, par symétrie), ce qui peut être expliqué par l’éclatement en ce pointdes structures à grandes échelles s’étant préalablement formées au cours du développement du jet. Cemaximum est surestimé par chacun des modèles et en particulier par le k− ε de Chien. Ce phénomène desurestimation par les modèles à équations de transport de Nu à l’impact est connu et largement débattu.L’explication réside dans le fait que l’énergie cinétique de turbulence est elle-même surestimée au niveaude l’impact (alors que le cône potentiel du jet contient des faibles niveaux de turbulence qui doiventdemeurer relativement bas au voisinage de la paroi) et que par là même, les moments turbulents et lestaux de transfert de chaleur sont eux aussi surestimés.

y/D

Nu

0 2 4 60

100

200

300

400

500

600

700

Exp. Baughn et Shimizuk-Lk-εk-kLk-kL EARSM

FIG. 6.69 – Répartition du nombre de Nusselt.H/D = 2. Modèles k − L, k − ε, k − kL et k − kLEARSM

y/D

Nu

0 2 4 60

50

100

150

200

250

Exp. Baughn et Shimizuk-Lk-εk-kLk-kL EARSM

FIG. 6.70 – Zoom sur la répartition du nombre deNusselt. H/D = 2. Modèles k − L, k − ε, k − kL etk − kL EARSM

La particularité du cas H/D = 2 est que l’évolution du nombre de Nusselt présente un second maxi-mum, localisé autour de y/D = 2 d’après les expériences et dont l’origine est encore incertaine. Parexemple, Heyerichs et Pollard [37] se posent la question de savoir si ce second pic est dû à la relaminarisa-tion et à la transition de la couche limite qui s’est développée le long de la paroi ou s’il est dû à l’impactdes anneaux de vorticité, issus du jet, dans la couche limite. Toujours est-il que ce deuxième maximum esttrès difficilement reproduit par les modèles de turbulence, ce qu’on peut noter sur la (Fig. 6.70). Au-delàde y/D = 1, 5, les modèles se comportent quasiment à l’identique, mais on observe cependant, qu’à ladifférence des modèles k − L et k − kL, les modèles k − ε et k − kL EARSM reproduisent au mieuxl’évolution du nombre de Nusselt, à partir du second pic. La diminution du nombre de Nusselt après cesecond pic résulte de la décélération du fluide.

Behnia et al. [9] ont montré que le confinement et les conditions de sortie du jet ont une influence nonnégligeable sur les taux de transfert de chaleur, dans le cas où la hauteur d’impact est faible.

6.4.3.1.2 Influence du modèle EAHFM

Nous allons désormais étudier l’influence de la formulation thermique EAHFM sur la réponse du modèlek−kL EARSM dans le cas du jet impactant à H/D = 2. On s’affranchit par conséquent ici de l’hypothèsede nombre de Prandtl turbulent constant.

De même que précédemment, on s’attachera à étudier les champs de nombre de Mach et d’énergiecinétique de turbulence, ainsi que les évolutions du coefficient de frottement et du nombre de Nusselt.

Le calcul a été réalisé dans les mêmes conditions que les précédents et a bénéficié d’une convergencetout à fait convenable.

Les champs de nombre de Mach (Fig. 6.71) et d’énergie cinétique turbulente (Fig. 6.72) sont trèsanalogues à ceux obtenus avec la formulation à nombre de Prandtl turbulent constant. C’est ce qu’onpeut également constater sur l’évolution du coefficient de frottement le long de la paroi (Fig. 6.73), même

6.4 Écoulement de jet impactant 203

x/D

y/D

0 1 2 3 4 50

1

2

3

4

5

M0.24

0.22

0.2

0.18

0.16

0.14

0.12

0.1

0.08

0.06

0.04

0.02

0

FIG. 6.71 – Champ de nombre de Mach. H/D = 2.Modèle k − kL EARSM EAHFM

x/D

y/D

0 1 2 3 4 50

1

2

3

4

5

rok0.0022

0.002

0.0018

0.0016

0.0014

0.0012

0.001

0.0008

0.0006

0.0004

0.0002

0

FIG. 6.72 – Champ d’énergie cinétique turbulente.H/D = 2. Modèle k − kL EARSM EAHFM

y/D

Cf

0 2 4 6 8 100

0.0002

0.0004

0.0006

k-kL EARSMk-kL EARSM EAHFM

FIG. 6.73 – Répartition du coefficient de frottement.H/D = 2. Modèle k − kL EARSM EAHFM

y/D

Nu

0 2 4 60

100

200

300

400

500

Exp. Baughn et Shimizuk-kL EARSMk-kL EARSM EAHFM

FIG. 6.74 – Répartition du nombre de Nusselt.H/D = 2. Modèle k − kL EARSM EAHFM

si le maximum de Cf est légèrement plus petit avec la formulation EAHFM. Ainsi, ces considérationspermettent d’assurer que le calcul entre effectivement dans le cadre de l’hypothèse de scalaire passif pourla température et que modifier la modélisation du champ thermique n’affecte pas le champ dynamique,moyen et turbulent. L’écoulement ne souffre donc pas d’effets de compressibilité, ce qu’on peut justifierpar une valeur faible du nombre de Mach dans le jet et par des écarts de température modérés.

En revanche, on observe une modification de l’évolution du nombre de Nusselt (Fig. 6.74), en parti-culier dans la zone d’impact où il est fortement surestimé avec la modélisation algébrique thermique. Enrevanche, au-delà de y/D = 2, le modèle EAHFM permet de restituer de manière plus précise l’évolutionde Nu. De plus, la formulation EAHFM modélise mieux le deuxième pic de Nu à y/D = 2.

Le défaut dans la région de stagnation peut être pallié par un limiteur agissant sur k ou, de manièreéquivalente, sur la viscosité turbulente. En effet, la surestimation du nombre de Nusselt dans la régiond’impact est due à une surestimation de l’énergie cinétique turbulente elle-même.

Afin de mettre en place ce limiteur, on utilise l’inégalité de Schwartz (contrainte de réalisabilité)portant sur les tensions turbulentes. Cette contrainte s’écrit :

u′iu

′j

2< u′2

i u′2j (6.46)

L’analyse suivante est effectuée pour un modèle de type Boussinesq, pour lequel on peut écrire :

204 Chapitre 6 : Applications avec le code Navier-Stokes elsA

u′iu

′j = −2νtSij +

2

3kδij (6.47)

et :

νt = Cµk2

ε(6.48)

Pour i = j, on a :

u′iu

′j

2= 4ν2

t Sij2 (6.49)

et pour i = j :

u′2i = −2νtSii +

2

3k (6.50)

Dans le cas d’un écoulement cisaillé pur pour lequel Sii = 0, on a :

u′2i =

2

3k (6.51)

Ainsi, l’inégalité de Schwartz conduit, dans le cas de l’écoulement cisaillé pur, à :

4νt2Sij

2 <2

3k

2

3k (6.52)

d’où :

νt

√

SijSij <k

3(6.53)

soit :

Cµk2

ε

√

SijSij <k

3(6.54)

et finalement :

k

ε<

1

3Cµ

√

SijSij

(6.55)

Il est donc possible de construire un limiteur "physique" sur le rapport k/ε, en affectant un coefficientau second membre de la dernière équation. Cependant, le fait d’avoir

√

SijSij au dénominateur du limiteurpeut susciter des problèmes. En effet, le limiteur s’activera pour des valeurs élevées de cette quantité, cequi peut aussi se produire en dehors de la région de stagnation. Puisque l’influence du limiteur doit selimiter à la région d’impact, il est préférable d’utiliser

√

SijSij − ΩijΩij à la place de√

SijSij .Ainsi, on limite le rapport k/ε par la quantité A

3Cµ

√SijSij−ΩijΩij

où A est une constante à calibrer.

Différentes simulations ont permis de calibrer la constante A et il s’est avéré que la valeur la plusadaptée est A = 20.

Le profil de nombre de Nusselt correspondant à cette modification est représenté sur la (Fig. 6.75).

On observe sur cette figure que le limiteur sur l’énergie cinétique turbulente permet de diminuer leniveau du nombre de Nusselt à l’impact de plus de 100%. Néanmoins, le limiteur semble s’être activéégalement au-delà de ce point d’impact puisqu’à partir de y/D = 2, la courbe modélisée passe en dessousde la courbe expérimentale. Malgré cela, l’ajout de ce limiteur semble être indispensable pour permettreune bonne représentation des échanges thermiques pariétaux à l’impact, chose qui n’est pas assurée parune fonction d’amortissement classique, inadaptée à ce type d’écoulements [37].

Ce même limiteur (avec la même valeur de A = 20) peut être appliqué au modèle k − kL EARSMà nombre de Prandtl turbulent constant. Le profil de nombre de Nusselt en résultant est porté sur la

6.4 Écoulement de jet impactant 205

y/D

Nu

0 2 4 60

100

200

300

400

500

Exp. Baughn et Shimizuk-kL EARSM EAHFMk-kL EARSM EAHFM Lim

FIG. 6.75 – Répartition du nombre de Nusselt. H/D = 2. Modèle k − kL EARSM EAHFM avec et sans limiteur

y/D

Nu

0 2 4 60

50

100

150

200

250

Exp. Baughn et Shimizuk-kL EARSMk-kL EARSM Lim

FIG. 6.76 – Répartition du nombre de Nusselt. H/D = 2. Modèle k − kL EARSM à Prt constant avec et sanslimiteur

(Fig. 6.76) et comparé au cas sans limiteur.

De même que dans le cas où la formulation algébrique thermique est utilisée, on constate qu’enprésence du limiteur le niveau de nombre de Nusselt à l’impact est sensiblement diminué, mais que ceciest également vrai au-delà du point d’impact.

6.4.3.1.3 Influence de la condition de paroi

Dans le cadre du projet MAEVA, de nouvelles expériences de jet impactant ont été réalisées parl’IMFT (Institut de Mécanique des Fluides de Toulouse). Ces dernières reprennent quasiment la géomé-trie de Baughn et Shimizu [8], à la différence que le diamètre de la conduite est cette fois de 16 mm (aulieu de 26 mm) et qu’une répartition de température est imposée sur la paroi impactée, à flux constant(Fig. 6.77). Le nombre de Reynolds de l’expérience est inchangé (23000).

La répartition de température de paroi (Fig. 6.77) est telle qu’elle augmente avec y/D. Ici cette tempé-rature de paroi adimensionnée par la température du jet varie entre 1,01 en y/D = 0 et 1,08 en y/D = 8

(on a procédé à une interpolation linéaire pour les points au-delà de y/D = 8). Les écarts de températureentre le jet et la paroi sont donc très faibles, notamment dans la région d’impact. Rappelons que pour lescalculs à paroi isotherme, la température de paroi valait 1,1 fois la température du jet. La paroi diffèredonc non seulement par la condition à la limite qui lui est imposée, mais également par les niveaux detempérature qui en résultent.

206 Chapitre 6 : Applications avec le code Navier-Stokes elsA

Afin de valider en totalité le cas de calcul du jet impactant, une simulation a été entreprise sur cettedernière configuration. Pour tester cette nouvelle condition de paroi, on exploite en premier lieu le modèlek−L de Smith, plus simple d’utilisation, de par sa stabilité numérique et de par son aptitude à convergerrapidement.

y/D

Tp/

Tj

0 2 4 6 81

1.01

1.02

1.03

1.04

1.05

FIG. 6.77 – Répartition de température de paroi. H/D = 2. Données IMFT

La répartition du nombre de Nusselt le long de la paroi impactée est représentée en (Fig. 6.78) etcomparée au calcul en paroi isotherme.

y/D

Nu

0 2 4 6 8 100

50

100

150

200

k-L T p=1,1k-L Repartition T p

FIG. 6.78 – Évolution du nombre de Nusselt. H/D = 2. Paroi isotherme et paroi iso-flux

On observe que jusqu’à y/D = 4, le nombre de Nusselt issu du calcul avec la condition de répartitionde température de paroi a une évolution non physique. Ce nombre de Nusselt est estimé nul au pointd’impact alors que c’est précisément la zone où il devrait atteindre son maximum.

Le calcul étant convergé, la question se alors pose de savoir si cette anomalie provient de la conditioniso-flux ou des niveaux de température de paroi imposés. Pour tenter d’y répondre, on choisit d’effectuerdifférentes simulations, toujours avec le modèle k − L, sur le cas du jet à paroi isotherme, en faisant

6.4 Écoulement de jet impactant 207

varier cette température de paroi. Ainsi, en plus du cas Tp/Tj = 1, 1, on choisit d’imposer Tp/Tj = 1, 05

et Tp/Tj = 1, 02. Les courbes d’évolution du nombre de Nusselt résultant de ces différents calculs sontreportées sur la (Fig. 6.79).

y/D

Nu

0 2 4 6 8 100

50

100

150

200

k-L T p/Tj=1,1k-L T p/Tj=1,05k-L T p/Tj=1,02

FIG. 6.79 – Évolution du nombre de Nusselt. H/D = 2. Paroi isotherme à Tp/Tj = 1, 1, Tp/Tj = 1, 05 etTp/Tj = 1, 02

On observe une grande différence de comportement selon la température de paroi imposée. Ce phé-nomène n’est pas normal puisque le nombre de Nusselt est tel que la diminution de température de paroi(intervenant au dénominateur de l’expression) devrait être compensée par celle du flux de chaleur pa-riétal (au numérateur). La différence entre les profils de Nu pour les cas Tp/Tj = 1, 1 et Tp/Tj = 1, 05

est concentrée dans la région de l’impact et s’atténue peu à peu, alors que le profil de Nu dans le casTp/Tj = 1, 02 est affecté tout au long de la paroi.

À ce stade, on peut mettre en cause le raffinement du maillage dans la région d’impact (jusqu’ày/D = 5 environ) ou la précision du calcul. Afin d’éclaircir la question, on a mis en place un cas de calculavec un maillage raffiné (taille de maille divisée par 10) à la paroi et dans la région d’impact. Ce maillageest testé dans le cas Tp/Tj = 1, 02 (cas le plus critique) et avec le modèle k − L. L’évolution du nombrede Nusselt en résultant est reportée sur la (Fig. 6.80).

On constate aisément que le raffinement du maillage n’induit pas de modification notable.On peut alors s’interroger sur la précision du calcul, puisque les flux de chaleur pariétaux relatifs à

une faible température de paroi sont eux-mêmes très petits et donc sources d’imprécision.

Toutefois, il n’est pas exclu que le problème constaté provienne de la définition même du nombre deNusselt. Une alternative à l’utilisation de la température du jet dans cette définition serait d’employer latempérature d’arrêt isentropique du jet :

Tij= Tj +

U2j

2Cp(6.56)

Ainsi, on redéfinit le nombre de Nusselt par :

Nu =qpD

λ(

Tp − Tij

) (6.57)

La (Fig. 6.81) trace la nouvelle évolution du nombre de Nusselt pour les différentes conditions de paroiétudiées (toujours avec le modèle k − L).

208 Chapitre 6 : Applications avec le code Navier-Stokes elsA

y/D

Nu

0 2 4 6 8 100

20

40

60

80

100

120

Maillage initialMaillage raffine

FIG. 6.80 – Évolution du nombre de Nusselt. H/D = 2. Paroi isotherme à Tp/Tj = 1, 02. Comparaison entremaillages

y/D

Nu

0 2 4 6 8 100

40

80

120

160

200 k-L T p/Tj=1,1k-L T p/Tj=1,05k-L T p/Tj=1,02k-L Repartition T p

FIG. 6.81 – Évolution du nombre de Nusselt (nouvelle définition). H/D = 2. Comparaison entre les différentesconditions de paroi

On constate sur cette figure une nette amélioration générale des profils puisqu’ils ont maintenant ten-dance à s’homogénéiser dans la région d’impact. Le niveau de Nu pour Tp/Tj = 1, 02 est passé de 100 à160, s’approchant donc des courbes à Tp/Tj = 1, 05 et Tp/Tj = 1, 1. Il semblerait donc que cette nouvelledéfinition du nombre de Nusselt soit plus appropriée dans ce cas, puisqu’elle est maintenant moins sen-sible aux écarts de température. Toutefois, il convient d’émettre une certaine réserve sur ces conclusions,puisque malgré les modifications apportées, la courbe de Nu correspondant à la répartition de tempéra-ture de paroi présente encore une importante déficience et ne parvient pas à raccorder aux autres courbes.

La question de la précision des calculs subsiste donc. Par ailleurs, la validité de la condition d’axi-symétrie dans elsA peut être mise en cause, comme il a déjà été question dans le cas de calcul du jetdébouchant. Afin de confirmer cette hypothèse, une simulation en maillage plan a été entreprise. Mal-heureusement, il a été impossible de faire converger le calcul et par conséquent aucun résultat ne seraprésenté ici. Ce point critique entre dans les perspectives de ce travail et ce cas test de jet impactantmériterait d’être étudié en 3D, dans sa globalité, étude qui n’a pas pu être réalisée ici, par manque de

6.4 Écoulement de jet impactant 209

temps.

Par la suite, pour la deuxième configuration à H/D = 6, on se limitera donc à la condition de paroiinitiale Tp/Tj = cste = 1, 1 qui a permis ici de valider le modèle algébrique thermique EAHFM.

6.4.3.2 H/D = 6

Nous nous intéressons maintenant au cas H/D = 6, c’est-à-dire le cas où la hauteur de l’impact estplus grande. Nous verrons dans l’analyse des résultats que la physique est considérablement modifiée parrapport au cas H/D = 2 qui vient d’être traité. À nouveau, nous allons comparer différents modèlesdynamiques, puis nous verrons l’influence du modèle algébrique thermique EAHFM, sur l’évolution dunombre de Nusselt notamment.

6.4.3.2.1 Influence du modèle dynamique

De même qu’il a été fait pour le cas H/D = 2, on s’intéresse à l’influence du modèle de turbu-lence dynamique sur les champs de nombre de Mach et d’énergie cinétique turbulente, ainsi que surles évolutions du coefficient de frottement et du nombre de Nusselt le long de la paroi impactée. Lesmodèles dynamiques concernés sont toujours le k − L de Smith, le k − ε de Chien, le k − kL de Darisen formulation Boussinesq et le k−kL associé à la formulation algébrique explicite de Wallin et Johansson.

x/D

y/D

0 1 2 3 4 5 6 7 80

1

2

3

4

5

M0.24

0.22

0.2

0.18

0.16

0.14

0.12

0.1

0.08

0.06

0.04

0.02

0

FIG. 6.82 – Champ de nombre de Mach. H/D = 6.Modèle k − L de Smith

x/D

y/D

0 1 2 3 4 5 6 7 80

1

2

3

4

5

M0.24

0.22

0.2

0.18

0.16

0.14

0.12

0.1

0.08

0.06

0.04

0.02

0

FIG. 6.83 – Champ de nombre de Mach. H/D = 6.Modèle k − ε de Chien

Les champs de nombre de Mach (Fig. 6.82) à (Fig. 6.85) ainsi que le tracé des lignes de courant,confirment à nouveau que l’écoulement est établi en sortie de conduite. Les lignes de courant sont bienparallèles juste à la sortie de la conduite et présentent une courbure à l’approche de la paroi. La sortiedu jet étant plus loin de la paroi que dans le cas H/D = 2, on observe logiquement que le jet a plusle temps de s’évaser et que, par conséquent, sa largeur près de la paroi est plus grande. À nouveau, lemodèle k − L est celui qui donne une longueur de cône potentiel la plus élevée. L’écoulement extérieurest entraîné par le jet qui se développe et cet entraînement se produit relativement loin du jet, d’autantplus avec le modèle k − ε pour lequel on observe encore une grande courbure des lignes de courant eny/D = 4. Hormis ce constat, on peut dire que le champ de nombre de Mach est passablement insensibleau modèle dynamique utilisé.

Sur les champs d’énergie cinétique de turbulence adimensionnée par le carré de la vitesse de référence(Fig. 6.86) à (Fig. 6.89), on observe à nouveau que le maximum de k se situe au point d’impact. Selonle modèle dynamique utilisé, cette intensité est plus ou moins grande et s’étend plus ou moins loin. Parexemple, pour le modèle k − ε la zone correspondant aux valeurs de k les plus élevées (en rouge) ne

210 Chapitre 6 : Applications avec le code Navier-Stokes elsA

x/D

y/D

0 1 2 3 4 5 6 7 80

1

2

3

4

5

M0.24

0.22

0.2

0.18

0.16

0.14

0.12

0.1

0.08

0.06

0.04

0.02

0

FIG. 6.84 – Champ de nombre de Mach. H/D = 6.Modèle k − kL de Daris

x/D

y/D

0 1 2 3 4 5 6 7 80

1

2

3

4

5

M0.24

0.22

0.2

0.18

0.16

0.14

0.12

0.1

0.08

0.06

0.04

0.02

0

FIG. 6.85 – Champ de nombre de Mach. H/D = 6.Modèle k − kL EARSM

x/D

y/D

0 1 2 3 4 5 6 7 80

1

2

3

4

5

rok0.0022

0.002

0.0018

0.0016

0.0014

0.0012

0.001

0.0008

0.0006

0.0004

0.0002

0

FIG. 6.86 – Champ d’énergie cinétique turbulente.H/D = 6. Modèle k − L de Smith

x/D

y/D

0 1 2 3 4 5 6 7 80

1

2

3

4

5

rok0.0022

0.002

0.0018

0.0016

0.0014

0.0012

0.001

0.0008

0.0006

0.0004

0.0002

0

FIG. 6.87 – Champ d’énergie cinétique turbulente.H/D = 6. Modèle k − ε de Chien

x/D

y/D

0 1 2 3 4 5 6 7 80

1

2

3

4

5

rok0.0022

0.002

0.0018

0.0016

0.0014

0.0012

0.001

0.0008

0.0006

0.0004

0.0002

0

FIG. 6.88 – Champ d’énergie cinétique turbulente.H/D = 6. Modèle k − kL de Daris

x/D

y/D

0 1 2 3 4 5 6 7 80

1

2

3

4

5

rok0.0022

0.002

0.0018

0.0016

0.0014

0.0012

0.001

0.0008

0.0006

0.0004

0.0002

0

FIG. 6.89 – Champ d’énergie cinétique turbulente.H/D = 6. Modèle k − kL EARSM

6.4 Écoulement de jet impactant 211

s’étend qu’à y/D = 0, 8, alors que les modèles k − L et k − kL EARSM prévoient une influence jusqu’ày/D = 1, 5. En comparaison avec le jet positionné à H/D = 2, on remarque tout de même une diminutionde l’intensité de l’énergie cinétique turbulente au point d’impact. Celle-ci est due au fait que le jet a euplus le temps de diffuser avant d’atteindre la paroi.

On décèle, tout comme dans le cas H/D = 2, la formation du jet de paroi qui se développe à partirdu point d’impact pour former ensuite une couche limite le long de la paroi impactée.

Les évolutions du coefficient de frottement et du nombre de Nusselt sont tracées respectivement surles figures (Fig. 6.90) et (Fig. 6.91). La (Fig. 6.92) correspond au zoom de la (Fig. 6.91).

y/D

Cf

0 2 4 6 8 100

0.0001

0.0002

0.0003

0.0004

0.0005k-Lk-ε

k-kLk-kL EARSM

FIG. 6.90 – Répartition du coefficient de frottement. H/D = 6. Modèles k − L, k − ε, k − kL et k − kL EARSM

y/D

Nu

0 2 4 6 80

100

200

300

400

500

600Exp. Baughn et Shimizuk-Lk-ε

k-kLk-kL EARSM

FIG. 6.91 – Répartition du nombre de Nusselt.H/D = 6. Modèles k − L, k − ε, k − kL et k − kLEARSM

y/D

Nu

0 2 4 6 80

50

100

150

200

250Exp. Baughn et Shimizuk-Lk-ε

k-kLk-kL EARSM

FIG. 6.92 – Zoom sur la répartition du nombre deNusselt. H/D = 6. Modèles k − L, k − ε, k − kL etk − kL EARSM

En ce qui concerne la courbe de Cf , on ne dispose pas, ici non plus, des données expérimentales. Onpeut toutefois noter que la tendance est la même que dans le cas H/D = 2, à savoir que les modèles k− εet k − kL EARSM prévoit un maximum de Cf plus grand que les deux autres modèles (0,00048 contre0,00034 environ) et le placent plus près du point d’impact (y/D = 0, 62 contre y/D = 0, 7). Le pointd’impact correspond toujours à Cf = 0 et suite au ralentissement du fluide, le coefficient de frottement

212 Chapitre 6 : Applications avec le code Navier-Stokes elsA

diminue après son maximum, pour s’annuler aux alentours de y/D = 10.

La (Fig. 6.91) correspondant à l’évolution du nombre de Nusselt le long de la paroi compare les résultatsdes modèles et les données expérimentales. En premier lieu, on remarque que la physique de l’écoulementa changé, puisque la courbe expérimentale ne présente plus de deuxième pic de Nu, contrairement au casH/D = 2. Une explication possible à cela est que, le jet étant plus haut, le maximum d’énergie cinétiqueturbulente se rapproche de son axe. Le niveau de Nu sur l’axe est légèrement supérieur à celui observépour H/D = 2.

Concernant les modèles de turbulence, on retrouve la tendance observée pour H/D = 2, à savoirque le modèle k − ε surestime beaucoup plus Nu à l’impact que les autres modèles. Néanmoins, pourchaque modèle, cette surestimation s’atténue au fur et à mesure qu’on s’éloigne du point d’impact. Lesmodèles k −L et k − kL Boussinesq se comportent quasiment de la même façon. En revanche, l’ajout dela formulation EARSM sur le modèle k − kL permet de restituer le bon niveau de Nu dès y/D = 2, 5,même si son maximum est légèrement moins bon qu’en formulation Boussinesq.

Behnia et al. [9] ont montré que dans cette configuration (H/D = 6 et RD proche de 20000) leconfinement et les conditions de sortie du jet ont une influence marginale sur le taux de transfert dechaleur.

6.4.3.2.2 Influence du modèle EAHFM

Afin de confirmer les améliorations apportées par la modélisation EAHFM sur le modèle k−kL EARSM,cette dernière a été testée pour le calcul du jet à H/D = 6. Dans un premier temps, on considère le modèlesans le limiteur sur k introduit en (6.4.3.1.2) pour H/D = 2. Dans ce cas particulier, la convergence ducalcul a été nettement plus longue à atteindre que pour la configuration H/D = 2.

Ayant déjà vérifié pour H/D = 2 qu’on ne subissait aucun effet de compressibilité, les champs dyna-miques ne sont pas affectés par la modification apportée pour la modélisation thermique. Ainsi, seule lacomparaison sur l’évolution du nombre de Nusselt est ici pertinente.

y/D

Nu

0 2 4 6 80

100

200

300Exp. Baughn et Shimizuk-kL EARSMk-kL EARSM EAHFM

FIG. 6.93 – Répartition du nombre de Nusselt. H/D = 6. Modèle k − kL EARSM EAHFM

Cette évolution est tracée en (Fig. 6.93). À nouveau, la modélisation algébrique thermique a tendanceà surestimer encore plus la valeur de Nu au point d’impact. Cependant, cette tendance est très localiséeet rapidement le niveau de Nu rejoint la courbe expérimentale, beaucoup plus tôt qu’avec l’hypothèse denombre de Prandtl turbulent constant. Toutefois, le modèle prévoit une "bosse" de Nu, aux alentours dey/D = 1, phénomène qu’on ne retrouve pas expérimentalement. Malgré cela, l’amélioration semble êtrenon négligeable sur l’évolution globale du nombre de Nusselt.

6.4 Écoulement de jet impactant 213

La simulation avec le limiteur sur l’énergie cinétique n’a conduit à aucun résultat, puisqu’il n’a pasété possible de faire converger le calcul, le modèle EAHFM étant lui-même peu robuste, notamment dansle cas H/D = 6.

6.4.4 Conclusion

Dans cette section, nous avons étudié deux configurations de jet impactant une paroi chauffée. L’étudede différents modèles de turbulence dynamique a révélé leur tendance à surestimer le nombre de Nusseltà l’impact, particulièrement pour le modèle k − ε Chien. L’adjonction du modèle algébrique thermiqueEAHFM a conduit, dans les deux cas de calcul, à une amélioration générale du profil de Nusselt maiségalement à une aggravation de l’anomalie à l’impact. Une limiteur a été mis en place de manière à réduireles niveaux trop élevés d’énergie cinétique turbulente au point d’impact, responsables de cette singularité.Cette démarche a été relativement concluante dans le cas H/D = 2, mais a occasionné divers problèmesnumériques pour la configuration H/D = 6, empêchant ainsi d’en apprécier les bénéfices.

214

215

Conclusion et perspectives

Cette thèse avait pour objectif l’élaboration d’un modèle algébrique thermique EAHFM performant.

En premier lieu, on a rappelé les équations dynamiques et thermiques régissant l’écoulement turbulent.On a émis l’hypothèse d’un écoulement incompressible, à faible nombre de Mach et soumis à de faibleséchanges de chaleur, de manière à pouvoir considérer la température comme un scalaire passif et ainsidécoupler le système dynamique du système thermique. Une brève description des différents degrés demodélisation a été réalisée. Les définitions de la viscosité turbulente νt et de la diffusivité turbulente αt

ont été introduites pour relier les tensions de Reynolds aux gradients de vitesse moyenne et les flux dechaleur turbulents aux gradients de température moyenne. Selon le niveau de modélisation employée, lesexpressions de νt et αt sont plus ou moins simples et plus ou moins réalistes. On a entre autres étudiéplus précisément le modèle à quatre équations de transport k − kL/kθ − kθLθ développé par Daris [28]et la formulation algébrique dynamique de Wallin et Johansson [86] s’affranchissant de l’hypothèse deBoussinesq et permettant ainsi de prendre en compte l’anisotropie de la turbulence.

Partant de l’hypothèse d’équilibre local de la turbulence, on a alors pu négliger l’advection et la diffu-sion dans l’équation de transport du flux de chaleur turbulent adimensionné et ainsi mettre au point unmodèle algébrique thermique. Le système alors obtenu était implicite de par la présence du terme Pθ/εθ.On a alors considéré la solution pour un écoulement bidimensionnel, qu’on a étendue au cas tridimen-sionnel. On a vu quelles conditions devaient remplir certaines des constantes pour que le système puisseêtre inversé et donc résolu. À ce stade, la notion de rapport des temps caractéristiques de la turbulencea été introduite et à partir de là, on a pu envisager deux approches possibles, selon que ce rapport rest fixé a priori ou non. Dans le premier cas, l’hypothèse d’un rapport r constant permet de s’affranchirde la résolution des équations de transport thermiques et dans le second cas, la connaissance des quatreéchelles de la turbulence (k, ε, kθ et εθ) est indispensable à la résolution de l’équation algébrique. Unétat des lieux des modèles algébriques thermiques a été mené et la conclusion émanant de cette étude estqu’aucun de ces modèles existants n’a un caractère aussi général.

Afin de déterminer les cinq constantes intervenant dans le modèle algébrique thermique, on a procédéà l’analyse introduite par Catris [16] et reprise par Daris [28] pour la mise au point du modèle à quatreéquations k − kL/kθ − kθLθ. Cette démarche a pour objectif d’étudier les contraintes que doit respecterun modèle thermique pour assurer un comportement satisfaisant dans des écoulements de base. On adonc étudié les écoulements homogènes, mais n’ayant pu en extraire de contraintes à proprement parler,on s’est réservé le droit de vérifier a posteriori la bonne réponse du modèle à ce type d’écoulement. Ona ensuite approfondi plus en détails l’écoulement de couche limite. On a d’abord effectué l’analyse de lazone logarithmique thermique et repris les travaux de Daris [28] relatifs à l’évolution de celle-ci en pré-sence d’un gradient de pression adverse modéré. On a pu vérifier que si la zone logarithmique dynamiqueétait insensible à ce gradient de pression, la zone logarithmique thermique, elle, ne se conservait pas etvoyait sa pente diminuer. L’étude s’est ensuite portée sur la zone en racine d’une couche limite soumiseà un gradient de pression intense. On a pu démontrer les lois de vitesse et de température dans cetterégion se développant au-dessus de la zone logarithmique. On s’est ensuite penché sur le comportementdu modèle à la frontière de l’écoulement turbulent et de l’écoulement non turbulent, en reprenant lestravaux de Cazalbou [17], de Catris [16] et de Daris [28], pour assurer que les différentes variables aientun raccord progressif avec l’extérieur et soient indépendantes de la turbulence extérieure. Cette étude,

216 Conclusion et perspectives

réalisée en supposant que les frontières dynamique et thermique coïncident, a conduit à obtenir deuxsolutions possibles au problème. En considérant une de ces solutions comme étant non physique, on a pus’affranchir de cette dualité et de fait, faciliter la mise en place de la contrainte à respecter. Bien que cetteapproche est à juste titre controversée par l’analyse de Ferrey [31], qui a démontré l’existence de critèresassurant l’insensibilité d’un modèle aux conditions extérieures, elle a le mérite de demeurer relativementsimple et d’être cohérente avec celle de Daris [28] pour le développement du modèle k − kL/kθ − kθLθ.L’ensemble des contraintes ainsi établies a donné lieu à des relations analytiques entre les constantesdu modèle. La complexité des relations n’a pas permis de conserver le caractère général des échelles deturbulence transportées et il a par conséquent fallu choisir a priori ces échelles, avant la résolution dusystème. Ainsi, on a imposé au modèle algébrique thermique EAHFM de satisfaire les comportementsen couche limite, lorsqu’il est associé au modèle k − ε/kθ − εθ de Daris [28] avec formulation EARSMde Wallin et Johansson [86] et au modèle k − kL/kθ − kθLθ de Daris [28] avec cette même formulationEARSM. Deux jeux de constantes ont pu alors être calibrés, selon l’approche envisagée (r constant ounon).

On a ensuite procédé à l’analyse du comportement des modèles algébriques dynamique et thermiqueen présence de paroi. En confrontant les comportements théoriques censés être observés dans la régionde proche paroi et les comportements effectivement obtenus avec ces modèles, on a constaté la nécessitéde recourir à un modèle de paroi, capable d’amortir correctement les différentes grandeurs turbulentes etnotamment le nombre de Prandtl turbulent qui, sans cela, tend naturellement vers l’infini à la paroi. Pource faire, on a dans un premier temps effectué une étude bibliographique des modèles de paroi courammentemployés pour la modélisation de la turbulence thermique, puis une présentation de l’amortissement dumodèle dynamique a été entreprise. L’incapacité des résultats des expériences et des DNS à fournir desprofils cohérents et exploitables nous a conduits à créer un modèle théorique, basé sur la modélisationde van Driest, servant de base à l’élaboration de la fonction d’amortissement à appliquer sur le modèleEAHFM. Il a donc été possible de construire une seule fonction capable d’amortir correctement toutesles quantités thermiques à la paroi.

Les deux modèles algébriques thermiques (à r constant et à r quelconque) ont été appliqués sur lesécoulements simples. En premier lieu, nous nous sommes intéressés à divers écoulements homogènes, puisnous nous sommes consacrés à l’étude d’écoulements de similitude (sillage, couche de mélange, jets plan etaxisymétrique, couche limite soumise ou non à un gradient de pression adverse). Les applications sur lesécoulements homogènes ont permis de vérifier que chacun des deux modèles prévoit correctement les fluxde chaleur et d’apprécier les avantages inhérents à la formulation algébrique, à savoir le désalignement duflux de chaleur avec le gradient de température moyenne. Quant aux écoulements de similitude, quelquesproblèmes de convergence liés aux termes croisés des équations de transport du modèle k − kL/kθkθLθ

sont survenus, mais il a tout de même été possible de parvenir à plusieurs résultats avec le code SIMIL.On a pu notamment mettre en évidence les améliorations apportées par la modélisation EAHFM, enparticulier dans les zones pleinement cisaillées, pour lesquelles l’hypothèse d’équilibre local peut être ap-pliquée. En revanche, cette hypothèse est mise en défaut au centre des écoulements, région qui est enfort déséquilibre. Les résultats relatifs à ces écoulements de similitude sont assez encourageants, mêmes’il subsiste une zone d’ombre concernant la valeur du nombre de Prandtl turbulent, en particulier à lafrontière entre l’écoulement turbulent et l’écoulement non turbulent.

Enfin, le modèle algébrique thermique simplifié, à r constant, en association avec le modèle à deuxéquations k− kL, a été implanté dans le code Navier-Stokes de l’ONERA elsA et validé sur l’écoulementde plaque plane, à paroi isotherme chauffée. On a pu montrer que des effets de compressibilité pouvaientapparaître, même pour un nombre de Mach de 0,7 et qu’il était nécessaire de baisser ce dernier à 0,2pour pouvoir rester dans le domaine de validité de l’hypothèse d’incompressibilité qui nous a permis dedévelopper le modèle. Les échanges thermiques à la paroi obtenus avec ce modèle se sont avérés être toutà fait en accord avec la théorie et on a pu vérifier la bonne représentation de la loi logarithmique ther-mique. Afin de tester le modèle algébrique EAHFM dans sa formulation générale, il a fallu au préalableimplanter les deux équations de transport thermiques pour les échelles kθ et kθLθ. Malheureusement, cetteopération n’a conduit à aucun résultat satisfaisant et n’a permis ni de valider ce modèle ni de poursuivrel’implantation de la formulation algébrique complète dans elsA. On a donc été condamnés, par la suite,

Conclusion et perspectives 217

à ne considérer que le modèle algébrique thermique simplifié.

On s’est alors intéressés à l’écoulement de jet (froid ou chaud) débouchant dans un écoulement aurepos. Cette configuration s’inscrit dans le cadre du projet de recherche fédérateur (PRF) M2T2 (Mé-trologie et Modélisation de la Turbulence Thermique). Une étude préalable du jet froid avec le modèlek−L de Smith [74] a permis de mettre en évidence divers problèmes, d’ordre numérique d’une part, avecl’apparition de lâchers tourbillonnaires et d’oscillations sur les résidus et d’ordre physique d’autre partavec une mauvaise prévision de la longueur du cône potentiel. Ces anomalies n’ont pu être qu’amplifiéesavec l’utilisation de modèles plus complexes, tel que le k − kL en formulation EARSM, pour lequel on aobservé de surcroît un phénomène de relaminarisation de l’écoulement au cours des itérations. La causede tous ces problèmes n’a pas pu être clairement identifiée, même si la configuration axisymétrique ducalcul semble avoir sa part de responsabilités.

Finalement, on a étudié l’écoulement d’impact de jet perpendiculairement à une paroi chauffée etce pour deux hauteurs d’impact. Cette configuration entre dans le cadre du projet MAEVA, issu de lacollaboration entre l’ONERA et Airbus. On a pu constater les limitations des modèles à deux équations,en particulier du modèle k − ε, qui tendent à surestimer le nombre de Nusselt à l’impact. La formulationEAHFM a permis une meilleure représentation globale de l’évolution du nombre de Nusselt mais n’est pasparvenue à pallier cette anomalie à l’impact. L’ajout d’un limiteur sur l’énergie cinétique de turbulence asensiblement amélioré ce point dans le cas H/D = 2, mais s’est avéré inexploitable dans le cas H/D = 6,occasionnant des problèmes de convergence conséquents.

Les résultats concernant la formulation algébrique thermique EAHFM sont donc plutôt mitigés puisqueles calculs Navier-Stokes ont conduit à divers problèmes dont la cause n’a pu être identifiée. Néanmoins,les calculs en écoulement de plaque plane ont permis de vérifier que le modèle a été correctement calibréet se comporte comme le dicte la théorie.

Les perspectives à ce travail sont nombreuses.

En premier lieu, il faudra faire en sorte de rendre le modèle EAHFM simplifié plus robuste et plusstable, afin d’accélérer la convergence dans le code de calcul elsA.

Dans un deuxième temps, il serait primordial de poursuivre la validation de la partie thermique dumodèle à quatre équations k − kL/kθ − kθLθ et de comprendre pourquoi les résultats obtenus sont loind’être en accord avec la théorie.

De plus, il faudra développer un modèle de paroi pour les équations de transport de kθ et de kθLθ,afin d’assurer un bon comportement du modèle en présence de paroi.

Une fois le modèle à quatre équations complètement validé, il conviendra d’implanter dans elsA lemodèle EAHFM complet et de le valider. On pourra entre autre évaluer l’importance d’un rapport destemps caractéristiques de la turbulence non constant.

D’autre part, il serait pertinent de tester l’ensemble des modèles sur d’autres configurations, mais aussid’effectuer les calculs du jet débouchant et du jet impactant en tridimensionnel, de manière à s’affranchirdes problèmes liés à l’axisymétrie dans elsA.

Le modèle développé en incompressible peut être utilisé en compressible pour des nombres de Machinférieurs à 2 et pour des faibles variations de masse volumique (faibles échanges de chaleur). Au-delà, ilest nécessaire de revoir la modélisation, pour réintroduire certains termes qui ne pourront alors plus êtrenégligés. La température ne pourra plus dans ce cas être considérée comme un scalaire passif.

Finalement, il serait intéressant de prendre en considération les effets de flottabilité pour des confi-gurations en convection naturelle ou mixte. Ces effets entraînent un fort couplage entre la dynamique etla thermique puisque dans ce cas, les termes de fluctuations de température interviennent aussi dans leséquations dynamiques.

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