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INSA de Rouen - MECA3 - Année 2012-2013

LC1 - Loi de Comportement 11 Mécanique des Milieux Continus

1.1 Notions d’échelle et de milieu continuOn s’intéresse à l’élément de volume macroscopique dont la taille doit répondre à deux critères :

• prise en compte de l’hétérogénéité du matériau

• validité des équations différentielles de la MMC qui supposent l’infiniment petit

1.2 Problèmes réguliers en mécanique des solidesDifférentes quantités mécaniques imposées :

• −→Td contraintes sur la frontière ∂D du milieu

• −→f forces volumiques appliquées à distance

• −→ud déplacement imposé

9 inconnues : 6 composantes σi j + 3 composantes ui

9 équations :

• 3 équations d’équilibre interne : fi +σi j, j = 0

• Les lois de comportement en élasticité linéaire isotrope :

εi j =1+ν

Eσi j−

ν

Eσkk

Les constantes d’intégration seront déterminées à l’aide des conditions aux limites. Ces conditions peuvent être imposées enforce ou en déplacements. Un problème est dit régulier si l’on connaît lesdites conditions aux limites en tout point de la frontière ∂D

Relations déplacements-déformations : dans l’hypothèse des petites perturbations (HPP), on a εi j =12

(∂ui

∂x j+

∂u j

∂xi

)Allongement dans la direction −→m : ε(−→m ) = εi jmim j

Glissement dans les directions −→n et −→m : γ(−→m ,−→n ) = εi jmin j

1.3 Classification et schématisation des comportements1.3.1 Classification

Une telle classification peut être faite sur la base des réponses à trois essais de base :

• Traction monotone : traction à vitesse constante (pilotage en déplacement)

• fluage : force imposée instantanément puis maintenue constante ( =⇒ σ11 ≈ cte)

• relaxation : déplacement imposé instantanément puis maintenu constant ( =⇒ ε11 ≈ cte)

Comportements :• Parfaitement élastique

• Viscoélastique

• Rigide parfaitement plastique

• Elastique parfaitement plastique

• Elastoplastique écrouissable

• Parfaitement viscoplastique

• Elastique parfaitement viscoplastique

• Elastoviscoplastique écrouissable

1.3.2 Schématisation

Cette schématisation se fait sur la base de trois comportements élémentaires :

• L’élasticité, schématisée par un ressort : σ

ε

Eε =

σ

E

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• La plasticité, schématisée par un patin : σ

ε

σy Si σ < σy ε = 0Si σ = σy ε indéterminée

• La viscosité, schématisée par un amortisseur : σ

ε

η •ε =

σ

η

On représente les différents comportements par association de ces éléments de base. Par exemple, l’élastoplasticité est l’associationd’un ressort et d’un patin

Règles d’association :

• Association en série : la contrainte est la même dans les différents éléments mais les déformations se rajoutent.

σ

ε1 ε2

σ = σ1 = σ2ε = ε1 + ε2

• Association en parallèle : les contraintes se rajoutent et les déformations sont les mêmes dans chaque élément.

σ

ε

σ = σ1 +σ2ε = ε1 = ε2

2 Elasticité linéaire anisotrope

2.1 Formulation et représentation de la loi de comportementExpression générale de la loi d’élasticité :

σi j = Ai jklεkl ⇐⇒ σ = Aε avec A le tenseur d’élasticité (ou de rigidité)εi j = Si jklσkl ⇐⇒ ε = Sσ avec S le tenseur de souplesse : S = A−1

Représentation de la loi de comportement : σ et ε sont représentés par des vecteursσ11σ22σ33σ23σ13σ12

=

A1111 A1122 A1133 A1123 A1113 A1112A2211 A2222 A2233 A2223 A2213 A2212A3311 A3322 A3333 A3323 A3313 A3312A2311 A2322 A2333 A2323 A2313 A2312A1311 A1322 A1333 A1323 A1313 A1312A1211 A1222 A1233 A1223 A1213 A1212

×

ε11ε22ε332ε232ε132ε12

2.2 Cas général d’un matériau anisotrope2.2.1 Anisotropie

Du point de vue physique, on note l’existence de directions privilégiées pour les sollicitations du matériau.

Du point de vue mécanique, le nombre de coefficients indépendants Ai jkl dépendra du caractère d’isotropie du matériau. Dans lecas isotrope, on a deux coefficients (λ et µ , ou E et ν). dans le cas le plus général, on a 21 coefficients indépendants.

Changement de repère :−→e′i = Qi j

−→e j =⇒ A′i jkl = QimQ jnQkpQlqAmnpqPour un matériau isotrope, on doit avoir Ai jkl = QimQ jnQkpQlqAmnpq

2.2.2 Cas d’un matériau orthotrope

Groupe d’isotropie : ensemble des matrices de passage Q pour lesquels Ai jkl restent inchangés.

Orthotropie : les directions privilégiées sont perpendiculaires entre elles, à l’exemple d’une plaque laminée dont le fibrage im-plique des réponses différentes selon les directions (du laminage, transverse et de l’épaisseur)

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Matrice de souplesse :

1E1

−ν12

E1−

ν13

E10 0 0

−ν21

E2

1E2

−ν23

E20 0 0

−ν31

E3−

ν32

E3

1E3

0 0 0

0 0 01

G230 0

0 0 0 01

G130

0 0 0 0 01

G12

Ainsi, on a 9 coefficients indépendants :

• 3 modules d’élasticité/rigidité Ei

• 3 modules de cisaillement Gi j

• 3 coefficients de Poisson νi j aveci pour la direction de la tractionj pour la direction transverse

On retrouve bien 3 coefficients de Poisson d’après la symétrie :νi j

Ei=

ν ji

E jL’identification des coefficients se réalise par des essais en traction et en ci-saillement (torsion).

2.2.3 Cas d’un matériau à symétrie cubique

C’est un matériau orthotrope où les trois directions sont équivalentes, à l’exemple d’un composite renforcé par un même système defibres dans les trois directions.

Sa matrice de souplesse estA −B −B−B A −B 0−B −B A

C0 C

C

On retrouve 3 coefficients indépendants : A, B et C

2.2.4 Cas d’un matériau à symétrie transverse

C’est un matériau orthotrope où les réponses sont différentes selon une seule des trois directions principales, à l’exemple d’un com-posite renforcé par un système de fibres dans une seule direction.

Sa matrice de souplesse estA B EB A E 0E E D

C0 C

A−B

On retrouve 5 coefficients indépendants : A, B, C, D et E

3 Introduction à la thermoélasticité classique

3.1 IntroductionLe milieu continu considéré peut être soumis à différents éléments mécaniques et thermiques :

• −→Td densité surfacique des forces appliquées par contact

• −→f densité volumique des forces appliquées à distance

• −→ud déplacements imposés

• −→qd densité surfacique de la puissance de chaleur échangée par contact

• r densité volumique de la puissance de chaleur échangée à distance

Pour un matériau thermoélastique, on pose les hypothèses suivantes :

• perturbations petites autour d’un état de référence (Référence : σi j = 0, εi j = 0, η = 0, T −T0 = 0)

• lois de comportement linéaires

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• Thermoélasticité classique :

– Matériau isotrope (mécaniquement et thermiquement)– Découplage thermomécanique (les déformations mécaniques n’influent pas sur la quantité de chaleur)– Etats thermique quasi-stationnaires et mécanique quasi-statiques (indépendance du temps)

3.2 Lois de comportement mécaniqueσi j = λεe

kkδi j +2µεei j−3KαT δi j

εi j =1+ν

Eσi j−

ν

Eσkkδi j +αT δi j

avec α coefficient de dilatation thermique

3.3 Equation de la chaleur

r+ k∆T = 0 aveck coefficient de conductivité thermique∆T le laplacien de T

4 Introduction à la viscoélasticité linéaireLa viscoélasticité est un comportement "élastique" différé dans le temps, il dépend des vitesses.

4.1 Schématisation de la viscosité à travers les modèles rhéologiques4.1.1 Evaluation de ces deux modèles vis-à-vis du fluage et de la relaxation

XXXXXXXXXXModèleEssai Essai de fluage :

•σ = 0 Essai de relaxation :

•ε = 0

Expression Comportement Expression Comportement

Maxwell : σ +η

E•σ = η

•ε

σ

εr εa

•ε =

σ

η

t

ε f

σ = σ0e−Eη

t t

σr

σ0

Kelvin-Voigt : ε +η

E•ε =

σ

E

σ

ε

ε =σ

E

(1− e−

t)

t

ε f

σ

E

ε =σ

EPas de relaxation

4.2 Généralisation des deux modèles4.2.1 Comportement de type Kelvin-Voigt

Formulation : σi j = λ

(εkk +θλ

•εkk

)δi j +2µ

(εi j +θµ

•εi j

)avec θλ et θµ coefficients d’amortissement

Identification expérimentale :

• Essai de fluage en torsion : détermination de µ et θµ

• Essai de fluage en traction : détermination de λ et θλ

4.2.2 Comportement de type Maxwell

Formulation :•ε i j =

1+ν

E

(•σ i j +

σi j

η1

)−

ν

E

(•σ kk +

σkk

ν2

)δi j avec η1 et η2 coefficients de viscosité

Identification expérimentale :

• Essai de fluage en torsion : détermination de η1

• Essai de fluage en traction : détermination de η2

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