Le Cours Math

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1) Approche historique de la notion de nombreIl semble que depuis toujours , les nombres entiers naturels ont exist. Cependant ils nont pas toujours t comme nous les concevons aujourdhui. Une notion intuitive des petits nombres est assez naturelle, ainsi, les bergers de lAntiquit utilisaient des cailloux ( calculus en latin) pour faire rentrer le soir autant de moutons quils en avaient fait sortir le matin. Avant daboutir la conception actuelle des nombres entiers il a fallu dabord donner un nom aux nombres (aujourdhui encore il y a des peuples qui nont pas de nom de nombre : les Aborignes australiens, les Andamans) puis leur attribuer des notations. Enfin la notion de nombre entier prend un sens dans la pratique des oprations lmentaires. Toutefois, une vritable arithmtique thorique (arithmos veut dire nombre en grec ancien), o les nombres sont conus comme des objets mathmatiques abstraits, indpendants de leur reprsentation crite et des objets compts, ne sest constitue que progressivement : chez les Babyloniens (17me sicle av-JC), puis dans la mathmatique grecque : nombres figurs, moyennes, suites chez les pythagoriciens, thorie du PGCD, nombres premiers et leur infinitude ( partir de 500 ans av-JC). Les mathmaticiens arabes du moyen ge ont repris et dvelopp presque tous les problmes arithmtiques des grecs . Cest de lInde, que nous viennent les notations actuelles des nombres, transmises par les arabes, et, semble-t-il, le zro (le mot franais chiffre est une dformation du mot arabe sifrdsignant zro) : On attribue Brahmagupta au 7 sicle, l'invention du zro, en fait dj l'tat latent dans les mathmatiques indiennes de l'poque, li l'usage d'un systme dcimal positionnel que l'Occident adoptera, transmis par les arabes (Maures) lors de leurs invasions en Andalousie (sud de l'Espagne : royaume arabe de Grenade, califat de Cordoue). Brahmagupta nonce multiplication. mme la rgle des signes relative la

Et ce nest que depuis le 15me sicle que la notation dite en chiffres arabes que nous utilisons aujourdhui sest impose. Ainsi le nombre ne sest pas construit en un jour et, si larithmtique a encore considrablement progress depuis le 15me sicle, son histoire continue.Exercices corrigs sur les systmes de numration Sommaire du chapitre Exercices corrigs d'arithmtique Systmes de numration additionnels

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2) Systmes de numrationDeux sortes de systmes de numration sont les plus couramment employs dans lhistoire. Le systme additionnel et le systme positionnel. Pour chaque systme, des symboles sont utiliss pour crire les nombres.2-1) Exemples de systmes additionnels :

La numration gyptienne : Les nombres sont reprsents par des pictogrammes dont les plus simples sont : (unit), (dix), (cent) (cent mille)

Le rsultat est la somme des nombres reprsents par les pictogrammes.Numration gyptienne Numration usuelle 542 200 502

Exemple daddition : +

=

(Transcription : 325+200502=200827) Ce mode de numrotation est assez lourd employer, car lcriture du nombre 99 rclamerait ainsi 9+9=18 symboles ! ( ) La numration grecque : Cest un systme dcimal additionnel. Les grecs se servaient de lettres, de signes complmentaires et de codage.

Lecture des lettres : alpha, bta, gamma, delta, epsilon, episemon ,zta, ta, thta, iota, kappa, lambda, mu, h,phi, sampiEpisemon et sampi ne sont pas des lettres de lalphabet grec. La prsence dune sorte de virgule comme on le voit devant le dernier alpha indique une multiplication par 1000

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2) Systmes de numrationDeux sortes de systmes de numration sont les plus couramment employs dans lhistoire. Le systme additionnel et le systme positionnel. Pour chaque systme, des symboles sont utiliss pour crire les nombres.2-1) Exemples de systmes additionnels :

La numration gyptienne : Les nombres sont reprsents par des pictogrammes dont les plus simples sont : (unit), (dix), (cent) (cent mille)

Le rsultat est la somme des nombres reprsents par les pictogrammes.Numration gyptienne Numration usuelle 542 200 502

Exemple daddition : +

=

(Transcription : 325+200502=200827) Ce mode de numrotation est assez lourd employer, car lcriture du nombre 99 rclamerait ainsi 9+9=18 symboles ! ( ) La numration grecque : Cest un systme dcimal additionnel. Les grecs se servaient de lettres, de signes complmentaires et de codage.

Lecture des lettres : alpha, bta, gamma, delta, epsilon, episemon ,zta, ta, thta, iota, kappa, lambda, mu, h,phi, sampiEpisemon et sampi ne sont pas des lettres de lalphabet grec. La prsence dune sorte de virgule comme on le voit devant le dernier alpha indique une multiplication par 1000

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2-2-3) Changement de base dans lcriture dun entier : Exemple : Donner l'criture dans la base 2 de l'entier 143 (crit en base 10) : On effectue les divisions euclidiennes successives de lentier 143 par 2

donc On notera donc Une reprsentation graphique de ces calculs successifs est :

Version anime iciProgramme permettant de convertir l'criture d'un entier de la base 10 vers une autre base et rciproquement

3) Divisibilit dans Z et dans INest lensemble des naturels : ={0 ;1 ;2 ;3..}. entiers relatifs : ={-3 ;-2 ;-1 ;0 ;1 ;2 ;3 ;..} est lensemble des

Dfinitions : Si a et b sont deux entiers relatifs, les phrases suivantes ont toutes le mme sens : - a divise b (ou a est un diviseur de b) - b est un multiple de a - on peut trouver un entier relatif m tel que b=axm

Cas particuliers 1 divise tous les entiers car pour tout entier b, b=bx1. 0 est multiple de tous les entiers car pour tout entier a, ax0=0 Remarques : 1 na que deux diviseurs entiers : 1 et -1 En dehors de 1, les entiers ont toujours au moins 4 diviseurs : les diviseurs entiers de b sont 1,-1,b et -b; etil peut y en avoir dautres. Thorme : (transitivit de la proprit de divisibilit)

Si a divise b et si b divise c alors a divise c Preuve : Si a divise b et si b divise c, alors il existe deux entiers relatifs m et n tels que b=axm et c=bxn On a alors c=bxn=(axm)xn=ax(mxn) . Si on note p=mxn, on a alors c=axp, o p est un entier relatif, ce qui implique que a divise cThorme : (division dune combinaison linaire)

Si a divise b et c, alors, pour tous les entiers k et l, a divise kb+lc Preuve :

Si a divise b et c alors que b=axm et c=axn

il

existe

deux

entiers

relatifs m et n tels

Pour tous les entiers k et l, En notant p=kxm+lxn, on a kb+lc=pxa o p est un entier relatif, ce qui implique que a divise kb+lc

ARITHMETIQUE4) Division euclidienneThorme (admis) Pour tout couple d'entiers a et b appartenant un avec q est appel quotient et r reste de la division euclidienne de a par b. unique couple de nombres q

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(avec b non nul), on peut trouver et r tels que

Exemples :1789=11x162+ 7 1789=23x77+1 1789=29x61+2 8 0 1789=7x255+4 1789=13x137+ 8 1789=31x57+2 2 1789=17x105+ 1789=19x94+3 4 1789=37x48+1 1789=41x43+2 3 6

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5) Nombres premiers Dfinition : Un nombre entier naturel n est dit premier sil nadmet seulement que deux diviseurs positifs distincts : 1 et n Exemples : 17 est un nombre premier, mais 21 n'est pas un nombre premier car 21=3x7 REMARQUE : Par convention, le nombre 1 n'est pas considr comme premier (explication ci-dessous)Thorme fondamental de l'arithmtique : Tout entier naturel peut se dcomposer de manire unique en produit de puissances de nombres premiers

Exemples : 144 = 24x32 Programme de dcomposition d'un entier en produit de facteurs premiers Exercices corrigs de dcomposition d'entiers en produits de facteurs premiers Remarque : C'est pour conserver l'unicit de la dcomposition que le nombre 1 n'est pas considr comme premier. En effet, on pourrait tout aussi bien avoir 144 = 24x32x1 que 144 = 24x32x12 que 144 = 24x32x15 Pour dterminer la liste des nombres premiers, on a recours un procd appel Crible d'ErathostneThorme : Lensemble des nombres premiers est infini.

Dmonstration : Dmontrons par labsurde que lensemble des nombres premiers est infini

Supposons que cet ensemble soit fini, et notons 2,3,5,.p lensemble des nombres premiers avec p>5 Notons N = 2x3x5x....xp + 1 Le reste de la division de N par 2 est 1 car N = 2x(3x5x....xp) + 1 Le reste de la division de N par 3 est 1 car N = 3x(2x5x....xp) + 1 Le reste de la division de N par p est 1 car N = px(2x3x....) + 1 N nest donc divisible par aucun nombre premier infrieur ou gal p Ou bien N est un nombre premier, auquel cas on a donc trouv un nombre premier strictement suprieur p. Ou bien N nest pas un nombre premier. Il admet donc au moins un diviseur premier (autre que 1 et lui mme) En notant q lun des diviseurs premiers de N, puisque N nest pas divisible par les diviseurs premiers infrieurs ou gaux p, on a ncessairement q>p Dans les deux situations, on a exhib un nombre premier strictement suprieur p. On en dduit quil ny a pas de plus grand nombre premier , et ainsi que lensemble des nombres premiers est infiniProprit Soit n un entier naturel tel que n premier p tel que p . 2. Si n nest pas premier, il existe un diviseur

Preuve : Dmontrons par labsurde que pour tout entier naturel n non premier, il existe un diviseur premier p tel que p . Remarquons dabord que puisque n nest pas premier, il admet au moins deux diviseurs premiers distincts p1 et p2 Si on avait p1> et p2> elles, on aurait p1p2> x , alors en multipliant les deux ingalits entre p1p2>n.

Or p1p2 = n, donc on aboutit une contradiction (on ne peut avoir n>n),

donc ncessairement, un des deux entiers premiers p1 ou p2 estComment reconnatre quun nombre est premier ? Pour reconnatre si un nombre entier naturel n est premier, on effectue les divisions euclidiennes successives par les nombres premiers infrieurs pris dans lordre croissant. ; si lune de ces divisions donne pour reste 0, alors ce nombre nest pas premier

- si aucune division ne donne pour reste 0, on peut alors conclure que ce nombre est premier.

Exemple : Le nombre 1789 est-il premier ? , les nombres premiers qui lui sont infrieurs sont ceux du crible dErathostne jusqu 41. - il nest pas divisible par 2 ni par 3, ni par 5 (daprs les critres de divisibilit)1789=11x162+ 7 1789=23x77+1 1789=29x61+2 8 0 1789=7x255+4 1789=13x137+ 8 1789=31x57+2 2 1789=17x105+ 1789=19x94+3 4 1789=37x48+1 1789=41x43+2 3 6

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Mthode 3 : (Algorithme dEuclide).Pour obtenir le PGCD de a et b, on divise a par b, puis b par le reste de cette premire division, puis ce dernier par le reste de la seconde division...etc. Au bout dun certain nombre de divisions, on arrive un reste nul. Le reste prcdent le dernier reste non nul est le PGCD. Lalgorithme dEuclide est bas sur le thorme nonc prcdemment.

Consquence : Les diviseurs communs deux naturels sont tous les diviseurs du PGCD. Exemple : Recherche du PGCD de 6711 et 3723 On effectue les divisions euclidiennes successives 6711=3723x1+2988 puis 3723=2988x1+735 puis 2988=735x4+48 puis puis 12=3x4+0.

735=48x15+15 puis 42=15x2+12 puis

Le dernier reste non nul tant 3, le PGCD de 6711 et 3723 est 3. Exercices corrigs de calculs de PGCD par l'algorithme d'Euclide Lalgorithme dEuclide : Une disposition pratique. On veut trouver le PGCD de 37 236 et 11 862. On peut alors adopter la disposition pratique suivante :37 236 r1=1650 q1=3 11 862 r2=312 q2=7 1650 r3=90 q3=5 312 r4=42 q4=3 90 r5=6 q5=2 42 r7=0 q6=7 6

On conclut que PGCD(37236 ;11862)=6 Programme de calcul du PGCD de deux entiers, en utilisant l'Algorithme d'Euclide Dfinition : Soient m et n appartenant .

On dit que q est un multiple commun de m et n si qest divisible par m et n On appelle PPCM de m et n le Plus Petit Commun Multiple m et n Exemple : 2700 est un multiple commun 45 et 60, mais cest 180 qui est le plus petit multiple commun de 45 et 60 ATTENTION : Le PPCM de deux entiers m et n nest pas toujours le produit mxn Mthode de calcul : Pour calculer le PPCM de deux entiers m et n, il suffit de prendre, dans les dcompositions de m et de n en produits de puissances de facteurs premiers, les diffrents facteurs communs ces dcompositions, (quitte les faire apparatre l'aide de la puissance zro), affects de la puissance maximale figurant dans ces dcompositions. Exemple : Cherchons PPCM(45 ;60). On crit Ainsi Proprit : Soient m et n appartenant . Alors PGCD(m;n)xPPCM(m;n)=mxn et

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7) CongruencesDfinition et notation Soit a et b deux entiers et n un entier naturel (n 0) On dit que a est congru b modulo n si et seulement si a-b est divisible par n On crit alors a b[n] ou encore a b[mod n] ou encore a b modulo n Exemples :200 13[17] car 20013=11x17 169 -1[17] car 169-(1)=170=10x17

Exercices corrigs sur les congruences Proprit Tous les nombres impairs sont congrus 1 modulo 2 Justification : Un nombre impair n tant de la forme n=2k+1, on aura n1=2k, donc n-1 sera divisible par 2Thorme : Pour tout couple d'entiers a et b appartenant et r les entiers tels que a=bq+r avec (avec b non nul), si on note q , alors a r modulo b

En effet, il suffit dcrire a-r = bxq Inversement si a r modulo b , r nest le reste de la division

euclidienne de a par b que si Consquences

1) a 0 modulo n si et seulement si a est divisible par n 2) Pour tout , a + kxn a modulo n

3) Les nombres a2n, an, a, a+n, a+2n, a+3n, sont tous congrus a modulo nThorme Si a c modulo n et si b d modulo n. d modulo n alors a + b c + d modulo n et a b c

Preuve On traduit les hypothses : ac est un multiple de n donc a-c = kxn , bd est un multiple de n donc b-d = lxn Ajoutons membre membre : rcrit (a+b) (c+d) est un multiple de n donc a + b Retranchons membre membre : rcrit (a-b) (c-d) est un multiple de n donc a - bThorme Si a c modulo n et si b d modulo n alors axb cxd modulo n .

, galit que lon

c + d modulo n , galit que lon

c - d modulo n

Preuve : On traduit les hypothses : ac est un multiple de n donc a-c = kxn , bd est un multiple de n donc b-d = lxn a-c = kxn implique dire b-d = lxn implique dire (on a multipli par b), cest-(1) (on (2) a multipli par c), cest--

On ajoute membre membre (1) et (2)

On dire

obtient

:

,

cest--

ab-cd est un multiple de n donc axb cxd modulo n .

EXERCICES CORRIGESExercices de niveau Premire Exercice n1. (correction) 1) Donner lcriture dea) b) c)

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2) Ecrire la suite des 10 premiers nombres entiers en base deux. En base quatre 3) En base douze, on dsigne par A le chiffre correspondant 10, par B celui correspondant 11. Ecrire la suite des cinq successeurs de BA9. Exercice n2. (correction) 1) Ecrire le nombre 53 en base deux. 2) Soit A = 2183. Ecrire A dans le systme octal. Exercice n3. (correction) Soit A = 5012 en base 7. Ecrire A en base deux. Exercice n4. (correction) A scrit 23 dans le systme dcimal et 27 dans un systme de base a. Que vaut a ? Exercice n5. (correction) 1) Donnez tous les multiples de 7 (ou une expression ) 2) Donnez tous les multiples de 1 3) Donnez tous les multiples de 0 4) Comment scrivent les nombres pairs ? les nombres impairs ?

5) Trouver tous les diviseurs de 72. 6) Les nombres 12 et 18 sont-ils des diviseurs de 2772 ? 7) Trouver un entier naturel qui soit diviseur de 48 sans tre diviseur de 12. Exercice n6. (correction) Combien ya-t-il de multiples de 17 entre 1 000 et 2 500 ? Exercice n7. (correction) 1) Dterminer le chiffre x pour que 2) Dterminer le chiffre y pour que soit divisible par 9 . soit divisible par 3 et 4 .

Exercice n8. autres critres de divisibilit (correction) Partie A Montrer que 86 68 est un multiple de 9 tandis que 86 + 68 est un multiple de 11. Montrer que 32 23 est un multiple de 9 tandis que 32 + 23 est un multiple de 11. Daprs vous une certaine proprit est elle vraie pour tout nombre de deux chiffres ? Un nombre entier deux chiffres est gal cx10 + d.

Soit a un entier deux chiffres, et b lentier obtenu en intervertissant les chiffres de a. Montrer que a b est un multiple de 9, et que a + b est un multiple de 11. Partie B Soit n un entier trois chiffres et m lentier trois chiffres obtenus en permutant le chiffre des centaines et des units. Montrer que n m est un multiple de 99. Exercice n9. (correction) 1) Donnez les 20 premiers nombres premiers .

2) 217 est il premier ? 289 estil premier ? 439 estil premier ? Exercice n10. (correction) Donner la dcomposition en facteurs premiers de60 96 640 2673

EXERCICES CORRIGESExercices de niveau Premire Exercice n1. (correction) 1) Donner lcriture dea) b) c)

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2) Ecrire la suite des 10 premiers nombres entiers en base deux. En base quatre 3) En base douze, on dsigne par A le chiffre correspondant 10, par B celui correspondant 11. Ecrire la suite des cinq successeurs de BA9. Exercice n2. (correction) 1) Ecrire le nombre 53 en base deux. 2) Soit A = 2183. Ecrire A dans le systme octal. Exercice n3. (correction) Soit A = 5012 en base 7. Ecrire A en base deux. Exercice n4. (correction) A scrit 23 dans le systme dcimal et 27 dans un systme de base a. Que vaut a ? Exercice n5. (correction) 1) Donnez tous les multiples de 7 (ou une expression ) 2) Donnez tous les multiples de 1 3) Donnez tous les multiples de 0 4) Comment scrivent les nombres pairs ? les nombres impairs ?

5) Trouver tous les diviseurs de 72. 6) Les nombres 12 et 18 sont-ils des diviseurs de 2772 ? 7) Trouver un entier naturel qui soit diviseur de 48 sans tre diviseur de 12. Exercice n6. (correction) Combien ya-t-il de multiples de 17 entre 1 000 et 2 500 ? Exercice n7. (correction) 1) Dterminer le chiffre x pour que 2) Dterminer le chiffre y pour que soit divisible par 9 . soit divisible par 3 et 4 .

Exercice n8. autres critres de divisibilit (correction) Partie A Montrer que 86 68 est un multiple de 9 tandis que 86 + 68 est un multiple de 11. Montrer que 32 23 est un multiple de 9 tandis que 32 + 23 est un multiple de 11. Daprs vous une certaine proprit est elle vraie pour tout nombre de deux chiffres ? Un nombre entier deux chiffres est gal cx10 + d.

Soit a un entier deux chiffres, et b lentier obtenu en intervertissant les chiffres de a. Montrer que a b est un multiple de 9, et que a + b est un multiple de 11. Partie B Soit n un entier trois chiffres et m lentier trois chiffres obtenus en permutant le chiffre des centaines et des units. Montrer que n m est un multiple de 99. Exercice n9. (correction) 1) Donnez les 20 premiers nombres premiers .

2) 217 est il premier ? 289 estil premier ? 439 estil premier ? Exercice n10. (correction) Donner la dcomposition en facteurs premiers de60 96 640 2673

CORRECTIONExercice n1 1) a) b) c)

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2) En base deux : 0,1,10,11,100,101,110,111,1000,1001,1010 En base quatre : 0,1,2,3,10,11,12,13,20,21 3) Aprs BA9, on trouve BAA, BAB, BB0, BB1 et BB2 Exercice n21) On divise 53 successivement par deux, 2) On divise 2183 successivement par jusqu lobtention dun quotient nul. huit, jusqu lobtention dun quotient nul.

En recopiant la suite des restes, on obtient : En recopiant la suite des restes, on obtient : (2183)10=(4207)8 (53)10=(110101)2

Exercice n3 On commence par convertir A = 5012 de la base 7 la base 10, ainsi , et on le convertit en base 2 comme dans lexemple prcdent

Exercice n4 Si A scrit 27 dans un systme de base a, alors en le convertissant en base 10 : Si par ailleur A scrit 23 en base 10, on aura donc 2a+7=23 a=8

Sommaire du chapitre

SYSTEMES DE NUMERATION CORRECTION

Exercice n1 1) a) b) c) 2) En base deux : 0,1,10,11,100,101,110,111,1000,1001,1010 En base quatre : 0,1,2,3,10,11,12,13,20,21 3) Aprs BA9, on trouve BAA, BAB, BB0, BB1 et BB2 Exercice n21) On divise 53 successivement par deux, 2) On divise 2183 successivement par jusqu lobtention dun quotient nul. huit, jusqu lobtention dun quotient nul.

En recopiant la suite des restes, on obtient : En recopiant la suite des restes, on obtient : (2183)10=(4207)8 (53)10=(110101)2

Exercice n3 On commence par convertir A = 5012 de la base 7 la base 10, ainsi , et on le convertit en base 2 comme dans lexemple prcdent

Exercice n4 Si A scrit 27 dans un systme de base a, alors en le convertissant en base 10 : Si par ailleur A scrit 23 en base 10, on aura donc 2a+7=23 a=8

CORRECTIONExercice n1 1) a) b) c) 2) En base deux : 0,1,10,11,100,101,110,111,1000,1001,1010 En base quatre : 0,1,2,3,10,11,12,13,20,21 3) Aprs BA9, on trouve BAA, BAB, BB0, BB1 et BB2 Exercice n2

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1) On divise 53 successivement par deux, 2) On divise 2183 successivement par jusqu lobtention dun quotient nul. huit, jusqu lobtention dun quotient nul.

En recopiant la suite des restes, on obtient : En recopiant la suite des restes, on obtient : (2183)10=(4207)8 (53)10=(110101)2

Exercice n3 On commence par convertir A = 5012 de la base 7 la base 10, ainsi , et on le convertit en base 2 comme dans lexemple prcdent

Exercice n4 Si A scrit 27 dans un systme de base a, alors en le convertissant en base 10 : Si par ailleur A scrit 23 en base 10, on aura donc 2a+7=23 a=8

CORRECTIONExercice n1 1) a) b) c) 2) En base deux : 0,1,10,11,100,101,110,111,1000,1001,1010 En base quatre : 0,1,2,3,10,11,12,13,20,21 3) Aprs BA9, on trouve BAA, BAB, BB0, BB1 et BB2 Exercice n2

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1) On divise 53 successivement par deux, 2) On divise 2183 successivement par jusqu lobtention dun quotient nul. huit, jusqu lobtention dun quotient nul.

En recopiant la suite des restes, on obtient : En recopiant la suite des restes, on obtient : (2183)10=(4207)8 (53)10=(110101)2

Exercice n3 On commence par convertir A = 5012 de la base 7 la base 10, ainsi , et on le convertit en base 2 comme dans lexemple prcdent

Exercice n4 Si A scrit 27 dans un systme de base a, alors en le convertissant en base 10 : Si par ailleur A scrit 23 en base 10, on aura donc 2a+7=23 a=8

SYSTEMES DE NUMERATION CORRECTIONExercice n1 1) a) b) c) 2) En base deux : 0,1,10,11,100,101,110,111,1000,1001,1010 En base quatre : 0,1,2,3,10,11,12,13,20,21 3) Aprs BA9, on trouve BAA, BAB, BB0, BB1 et BB2 Exercice n21) On divise 53 successivement par deux, 2) On divise 2183 successivement par jusqu lobtention dun quotient nul. huit, jusqu lobtention dun quotient nul.

En recopiant la suite des restes, on obtient : En recopiant la suite des restes, on obtient : (2183)10=(4207)8

(53)10=(110101)2

Exercice n3 On commence par convertir A = 5012 de la base 7 la base 10, ainsi , et on le convertit en base 2 comme dans lexemple prcdent Exercice n4 Si A scrit 27 dans un systme de base a, alors en le convertissant en base 10 : Si par ailleur A scrit 23 en base 10, on aura donc 2a+7=23 a=8

Sommaire du chapitre

DIVISIBILITE EXERCICES CORRIGESTlcharger les exercices

Exercice n1. (correction) Quel est le nombre divisible par 3 ?103 206 111 94

Quel est le nombre divisible par 9 ?205 628 525 324

Quel est le nombre divisible par 2 et par 3 ?205 315 261 528

Quel est le nombre divisible par 2 et par 9 ?228 432 357 422

Exercice n2. (correction) 1) Dterminer le chiffre x pour que 2) Dterminer le chiffre y pour que Exercice n3. (correction) autres critres de divisibilit Partie A Montrer que 86 68 est un multiple de 9 tandis que 86 + 68 est un multiple de 11. Montrer que 32 23 est un multiple de 9 tandis que 32 + 23 est un multiple de 11. Daprs vous une certaine proprit est elle vraie pour tout nombre de deux chiffres ? soit divisible par 9 . soit divisible par 3 et 4 .

Un nombre entier deux chiffres

est gal cx10 + d.

Soit a un entier deux chiffres, et b lentier obtenu en intervertissant les chiffres de a. Montrer que a b est un multiple de 9, et que a + b est un multiple de 11. Partie B Soit n un entier trois chiffres et m lentier trois chiffres obtenus en permutant le chiffre des centaines et des units. Montrer que n m est un multiple de 99. Exercice n4. (correction) Critre de divisibilit (Terminale L, juin 2004) Le but de l'exercice est de prouver pour les nombres quatre chiffres, le critre de divisibilit : "Un nombre est divisible par 3 si et seulement si la somme de ses chiffres est elle-mme divisible par 3" 1. Un exemple a) Pour un entier naturel n, que signifie la phrase "n est congru 1 modulo 3" ? Traduire l'aide d'une congruence "n est divisible par 3". b) Pour chacun des nombres suivants, donner l'entier positif le plus petit auquel il est congru modulo 3 : 10, 100, 1 000, 10p o p est un entier positif. c) Dterminer le plus petit entier positif auquel est congru le nombre 4 520 modulo 3. On remarquera que 4 520 = 4x1000 + 5x100 + 2x10. d) En utilisant la question b) trouver le reste de la division de 4520 par 3. 2. Quelques gnralisations On considre un entier N quatre chiffres, quatre entiers a, b, c et d entre 0 et 9 tels que a 0 et N=1000a + 100b + 10c+d Le chiffre des units est d, celui des dizaines c, des centaines b et des milliers a.

a) Montrer que N

a + b + c + d modulo 3.

b) Justifier, pour les nombres quatre chiffres, le critre de divisibilit par 3 nonc au dbut de l'exercice. c) Enoncer un critre analogue de divisibilit par 9 et le dmontrer pour les nombres quatre chiffres. Exercice n5. (correction) Un autre critre de divisibilit (Terminale L, Liban 2004) On note =1000a+100b+10c+d l'criture d'un nombre en base dix dont les chiffres sont a, b, c et d. 1) a) Dterminer le reste de la division euclidienne de 100 par 11, puis de 1000 par 11. b) Montrer que si un nombre entier n vrifie n 10 (mod 11) alors on peut aussi crire n -1 (mod 11) c) En dduire que si divisible par 11. 2) a) Les nombres du type est divisible par 11 alors a+bc+d est aussi

sont-ils divisibles par 11 ? est- il divisible par 11 ? est- il divisible par 11 ? sont-ils divisibles par 11 ?

b) Pour quelle valeur de a, le nombre c) Pour quelle valeur de a, le nombre

3) quelles conditions les nombres du type Exercice n6. (correction) (Terminale L, Antilles juin 2003) 1) a) Montrer que 1999 est congru 4 modulo 7.

b) Dterminer le plus petit nombre entier naturel congru 2007 modulo 7. 2) Soit n un nombre entier naturel congru 5 modulo 7. a) Dterminer un nombre entier naturel congru n3 modulo 7. b) En dduire que n3+1 est divisible par 7.

3) Montrer que si n est un nombre entier naturel congru 4 modulo 7 alors n31 est divisible par 7 4) On considre le nombre A = 19993+20073. Sans calculer A, montrer que A est divisible par 7 Exercice n7. (correction) (Terminale L Centres trangers juin 2002) Le but de cet exercice est de montrer que, pour tout entier naturel n non nul, le nombre A = n(n2-1) est un multiple de 6 1) Dans chacun des cas suivants, calculer A et dterminer le reste dans la division euclidienne de A par 6.a) n=5 b) n=16 c) n=32

2) On suppose maintenant que le reste de la division euclidienne de n par 6est 5 ; on peut donc crire n 5 [6] . a) Que peut-on en conclure pour (n-1)et (n+1) ? b) Quel est le reste de la division euclidienne de (n2-1) par 6 ? c) Justifier alors que n(n2-1) est un multiple de 6. 3) Complter le tableau suivant :Reste de la division de n par 6 0 1 2 3 4 5 2 4 2 0 Reste de la division de (n-1) par 6 Reste de la division de (n+1) par 6 Reste de la division de (n21) par 6 Reste de la division de n(n21) par 6

Sommaire du chapitre

DIVISIBILITE CORRECTIONTlcharger les exercices

Exercice n1 D'aprs les critres de divisibilit 111 est le seul nombre divisible par 3 par la somme de ses chiffres (1+1+1=3) lest 324 est le seul nombre divisible par 9 par la somme de ses chiffres (3+2+4=9) lest Le seul nombre divisible par 2 et par 3 est 528, car cest le seul nombre pair, et de surcrot la somme de ses chiffres (5+2+8=15) est divisible par 3 Le seul nombre divisible par 2 et par 9 est 432, car cest le seul nombre pair (donc divisible par 2) dont la somme des chiffres est divisible par 9 (en effet 4+3+2=9) Exercice n2 1) sera divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres lest, cest--dire si et seulement 5 + 3 + x + 2 = 10 + x est divisible par 9. Mais puisque x est un chiffre compris entre 0 et 9, la seule 10+x divisible par 9 est obtenue pour x=8 2) sera divisible par 3 et 4 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 3 et si et seulement le nombre form par ses deux derniers chiffres est divisible par 4. La somme des chiffres vaut 5 + 3 + y + 4 = 12 + y, divisible par 3 si y vaut 0,3,6 ou 9. Mais si on veut que le nombre form par ses deux derniers chiffres, savoir soit divisible par 4, seul y = 0 ou 6 conviennent.

Exercice n3 autres critres de divisibilit Partie A

8668 = 18 est divisible par 9 et 86+68=154 est un multiple de 11 (car 154=14x11) 32-23 = 9 est divisible par 9 et 32+23=55 est un multiple de 11 (car 55=5x11) Il semblerait que pour tout nombre , alors le nombre cd-dc soit divisible par 9, et que cd+dc soit divisible par 11 Si on note =cx10+d un nombre deux chiffres, alors

=(cx10+d)-(dx10+c)=10c+d-10d-c=9(c-d), ce qui prouve que le nombre est divisible par 9 De plus, =(cx10+d)+(dx10+c)=10c+d+10d-c=11(c+d), ce qui prouve que le nombre est divisible par 11 Partie B Notons n= =ax100+bx10+c=100a+10b+c un nombre eniter trois chiffres, et lentier trois chiffres obtenus en permutant le chiffre des centaines et des units. Alors 99. est divisible par

Exercice n4 Critre de divisibilit (Terminale L, juin 2004) 1) Un exemple a) Pour un entier naturel n, la phrase "n est congru 1 modulo 3" signifie que le reste de la division par 3 de n vaut 1 "n est divisible par 3" se traduira par n 0[3] b) Chacun des entiers 10, 100, 1 000, 10p o p est un entier positif, est congru 1 modulo 3 c) Puisque 4 520 = 4x1000 + 5x100 + 2x10, alors 4520 4x1+5x1+2x1+0x1 4+5+2+0[3] 12[3] 2[3]. d) Ainsi, le reste de la division de 4520 par 3 vaut 2. 2) Quelques gnralisations

a) Puisque N=1000a + 100b + 10c+d, et puisque 10, 100 et 1 000 sont congrus 1 modulo 3, alors N ax1+bx1+cx1+dx1 a+b+c+d[3]. b) Un nombre de quatre chiffres tant congru , modulo trois, la somme de ses chiffres, il sera divisible par trois si et seulement si il est congru 0 modulo 3, donc si et seulement si la somme de ses chiffres est congrue 0 modulo 3, donc si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 3. c) De manire analogue, un nombre de quatre chiffres est divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres lest, car de la mme manire que dans la question 1) b), chacun des entiers 10, 100, 1 000, 10 p o p est un entier positif, est congru 1 modulo 9, donc un nombre N=1000a + 100b + 10c+d vrifiera N ax1+bx1+cx1+dx1 a+b+c+d[9]. Exercice n5 Un autre critre de divisibilit (Terminale L, Liban 2004) 1) a) Le reste de la division euclidienne de 100 par 11 est 1 car 100=9x11+1. Le reste de la division euclidienne de 1000 par 11 est 10 car 1000=9x111+1. b) Si un entier n vrifie n 10 (mod 11) , alors puisque 0 11 (mod 11) , en soustrayant les deux congruences, on obtient n-0 10-11 (mod 11) cest-dire n -1 (mod 11) c) Le nombre =ax1000+bx100+cx10+dx1 est divisible par 11 si et seulement si il est congru zro modulo 11. Or 10 10 (mod 11) , donc 10 -1 (mod 11) . De plus 1000 10 (mod 11) , donc 1000 -1 (mod 11) . Finalement cest--dire , -a+b-c+d[11].

Le nombre sera divisible par 11 si et seulement si il est congru 0 modulo 11, donc si et seulement si alors a+bc+d est aussi congru 0 modulo 11, donc si et seulement si a+bc+d est divisible par 11. 2) a) On calcule a+bb+a=0. Comme a+bb+a 0[11], on conclut daprs la question 1) c) quun nombre de la forme est divisible par 11. b) Le nombre 0[11]. est divisible par 11 si et seulement si 1-a+1 0[11]2-a

Comme 0 a 9, cette congruence ne peut tre vrifie que si et seulement si a = 2 c) Le nombre est divisible par 11 si et seulement si 9-a+9 0[11]18-a 0[11]. Comme 0 a 9, cette congruence ne peut tre vrifie que si et seulement si a = 7 3) Un nombre du type 0[11]b 0[11]. est divisible par 11 si et seulement si a-a+b

Comme 0 b 9, cette congruence ne peut tre vrifie que si et seulement si b = 0 Exercice n6 (Terminale L Antilles juin 2003) 1) a) Puisque 1999=7x285+4, on en dduit que 1999 4[7] b) Le nombre entier 5 est congru 2007 modulo 7 car 2007=7x286+5 2) a) Si n 5[7], alors n2 52 25[7] donc n2 4[7] (car 25=3x7+4), et par suite n3=n2xn=4x5[7] 20[7] 6[7] car 21=2x7+6. Finalement n3 6[7] b) Si n3 6[7] alors n3+1 6+1[7] 7[7] 0[7] donc n3+1 est divisible par 7. 3) Si n 4[7], alors n2 42 16[7] 2[7] car suite n3=n2xn=4x2[7] 8[7] 1[7] car 8=1x7+1. 16=2x7+2, donc par

Ainsi n3-1 1-1[7] 0[7] donc n3-1 est divisible par 7 4) On crit A=(19993-1)+(20073+1). Puisque 1999 4[7], alors 19993-1 est divisible par 7 (question 3). De plus 2007 5[7], donc 20073+1 est divisible par 7 (question 2b) Ainsi la somme 19993-1+20073+1, cest--dire le nombre A, est divisible par 7 Exercice n7 (Terminale L Centres trangers juin 2002) 1) a) Si n=5 alors A=5(52-1)=120 0[6] car 120=6x20

b) Si n=16 alors A=16(162-1)=4080 0[6] car 4080=6x680 c) Si n=32 alors A=32(322-1)=32736 0[6] car 32736=6x5456 2) a) Si n 5[mod6], alors n-1 4[mod6] et n+1 6[mod6] 0[mod6] b) Puisque n2-1=(n-1)(n+1), n2-1 4x0 0[6], donc n2-1 est divisible par 6. c) Si n2-1 0[6], alors n(n2-1) nx0[6] donc n(n2-1) est divisible par 6. 3)Reste de la division de n par 6 0 1 2 3 4 5 Reste de la division de (n-1) par 6 5 0 1 2 3 4 Reste de la division de (n+1) par 6 1 2 3 4 5 0 Reste de la division de (n21) par 6 5 0 3 2 3 0 12 6 Reste de la division de n(n21) par 6 0 0 0[6] 0 0[6] 0

CORRECTIONExercice n1 D'aprs les critres de divisibilit 111 est le seul nombre divisible par 3 par la somme de ses chiffres (1+1+1=3) lest 324 est le seul nombre divisible par 9 par la somme de ses chiffres (3+2+4=9) lest Le seul nombre divisible par 2 et par 3 est 528, car cest le seul nombre pair, et de surcrot la somme de ses chiffres (5+2+8=15) est divisible par 3 Le seul nombre divisible par 2 et par 9 est 432, car cest le seul nombre pair (donc divisible par 2) dont la somme des chiffres est divisible par 9 (en effet 4+3+2=9) Exercice n2 1) sera divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres lest, cest--dire si et seulement 5 + 3 + x + 2 = 10 + x est divisible par 9. Mais puisque x est un chiffre compris entre 0 et 9, la seule 10+x divisible par 9 est obtenue pour x=8 2) sera divisible par 3 et 4 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 3 et si et seulement le nombre form par ses deux derniers chiffres est divisible par 4. La somme des chiffres vaut 5 + 3 + y + 4 = 12 + y, divisible par 3 si y vaut 0,3,6 ou 9. Mais si on veut que le nombre form par ses deux derniers chiffres, savoir soit divisible par 4, seul y = 0 ou 6 conviennent.

Exercice n3 autres critres de divisibilit Partie A 8668 = 18 est divisible par 9 et 86+68=154 est un multiple de 11 (car 154=14x11)

32-23 = 9 est divisible par 9 et 32+23=55 est un multiple de 11 (car 55=5x11) Il semblerait que pour tout nombre , alors le nombre cd-dc soit divisible par 9, et que cd+dc soit divisible par 11 Si on note =cx10+d un nombre deux chiffres, alors

=(cx10+d)-(dx10+c)=10c+d-10d-c=9(c-d), ce qui prouve que le nombre est divisible par 9 De plus, =(cx10+d)+(dx10+c)=10c+d+10d-c=11(c+d), ce qui prouve que le nombre est divisible par 11 Partie B Notons n= =ax100+bx10+c=100a+10b+c un nombre eniter trois chiffres, et lentier trois chiffres obtenus en permutant le chiffre des centaines et des units. Alors 99. est divisible par

Exercice n4 Critre de divisibilit (Terminale L, juin 2004) 1) Un exemple a) Pour un entier naturel n, la phrase "n est congru 1 modulo 3" signifie que le reste de la division par 3 de n vaut 1 "n est divisible par 3" se traduira par n 0[3] b) Chacun des entiers 10, 100, 1 000, 10p o p est un entier positif, est congru 1 modulo 3 c) Puisque 4 520 = 4x1000 + 5x100 + 2x10, alors 4520 4x1+5x1+2x1+0x1 4+5+2+0[3] 12[3] 2[3]. d) Ainsi, le reste de la division de 4520 par 3 vaut 2. 2) Quelques gnralisations a) Puisque N=1000a + 100b + 10c+d, et puisque 10, 100 et 1 000 sont congrus 1 modulo 3, alors N ax1+bx1+cx1+dx1 a+b+c+d[3].

b) Un nombre de quatre chiffres tant congru , modulo trois, la somme de ses chiffres, il sera divisible par trois si et seulement si il est congru 0 modulo 3, donc si et seulement si la somme de ses chiffres est congrue 0 modulo 3, donc si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 3. c) De manire analogue, un nombre de quatre chiffres est divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres lest, car de la mme manire que dans la question 1) b), chacun des entiers 10, 100, 1 000, 10 p o p est un entier positif, est congru 1 modulo 9, donc un nombre N=1000a + 100b + 10c+d vrifiera N ax1+bx1+cx1+dx1 a+b+c+d[9]. Exercice n5 Un autre critre de divisibilit (Terminale L, Liban 2004) 1) a) Le reste de la division euclidienne de 100 par 11 est 1 car 100=9x11+1. Le reste de la division euclidienne de 1000 par 11 est 10 car 1000=9x111+1. b) Si un entier n vrifie n 10 (mod 11) , alors puisque 0 11 (mod 11) , en soustrayant les deux congruences, on obtient n-0 10-11 (mod 11) cest-dire n -1 (mod 11) c) Le nombre =ax1000+bx100+cx10+dx1 est divisible par 11 si et seulement si il est congru zro modulo 11. Or 10 10 (mod 11) , donc 10 -1 (mod 11) . De plus 1000 10 (mod 11) , donc 1000 -1 (mod 11) . Finalement cest--dire , -a+b-c+d[11].

Le nombre sera divisible par 11 si et seulement si il est congru 0 modulo 11, donc si et seulement si alors a+bc+d est aussi congru 0 modulo 11, donc si et seulement si a+bc+d est divisible par 11. 2) a) On calcule a+bb+a=0. Comme a+bb+a 0[11], on conclut daprs la question 1) c) quun nombre de la forme est divisible par 11. b) Le nombre 0[11]. est divisible par 11 si et seulement si 1-a+1 0[11]2-a

Comme 0 a 9, cette congruence ne peut tre vrifie que si et seulement si a = 2

c) Le nombre est divisible par 11 si et seulement si 9-a+9 0[11]18-a 0[11]. Comme 0 a 9, cette congruence ne peut tre vrifie que si et seulement si a = 7 3) Un nombre du type 0[11]b 0[11]. est divisible par 11 si et seulement si a-a+b

Comme 0 b 9, cette congruence ne peut tre vrifie que si et seulement si b = 0 Exercice n6 (Terminale L Antilles juin 2003) 1) a) Puisque 1999=7x285+4, on en dduit que 1999 4[7] b) Le nombre entier 5 est congru 2007 modulo 7 car 2007=7x286+5 2) a) Si n 5[7], alors n2 52 25[7] donc n2 4[7] (car 25=3x7+4), et par suite n3=n2xn=4x5[7] 20[7] 6[7] car 21=2x7+6. Finalement n3 6[7] b) Si n3 6[7] alors n3+1 6+1[7] 7[7] 0[7] donc n3+1 est divisible par 7. 3) Si n 4[7], alors n2 42 16[7] 2[7] car suite n3=n2xn=4x2[7] 8[7] 1[7] car 8=1x7+1. 16=2x7+2, donc par

Ainsi n3-1 1-1[7] 0[7] donc n3-1 est divisible par 7 4) On crit A=(19993-1)+(20073+1). Puisque 1999 4[7], alors 19993-1 est divisible par 7 (question 3). De plus 2007 5[7], donc 20073+1 est divisible par 7 (question 2b) Ainsi la somme 19993-1+20073+1, cest--dire le nombre A, est divisible par 7 Exercice n7 (Terminale L Centres trangers juin 2002) 1) a) Si n=5 alors A=5(52-1)=120 0[6] car 120=6x20 b) Si n=16 alors A=16(162-1)=4080 0[6] car 4080=6x680 c) Si n=32 alors A=32(322-1)=32736 0[6] car 32736=6x5456

2) a) Si n 5[mod6], alors n-1 4[mod6] et n+1 6[mod6] 0[mod6] b) Puisque n2-1=(n-1)(n+1), n2-1 4x0 0[6], donc n2-1 est divisible par 6. c) Si n2-1 0[6], alors n(n2-1) nx0[6] donc n(n2-1) est divisible par 6. 3)Reste de la division de n par 6 0 1 2 3 4 5 Reste de la division de (n-1) par 6 5 0 1 2 3 4 Reste de la division de (n+1) par 6 1 2 3 4 5 0 Reste de la division de (n21) par 6 5 0 3 2 3 0 12 6 Reste de la division de n(n21) par 6 0 0 0[6] 0 0[6] 0

4) Ayant examin tous les restes possibles de la division de n par 6, on a ainsi dmontr que quel que soit lentier n, n(n21) est divisible par 6.

CORRECTIONExercice n1 D'aprs les critres de divisibilit

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111 est le seul nombre divisible par 3 par la somme de ses chiffres (1+1+1=3) lest 324 est le seul nombre divisible par 9 par la somme de ses chiffres (3+2+4=9) lest Le seul nombre divisible par 2 et par 3 est 528, car cest le seul nombre pair, et de surcrot la somme de ses chiffres (5+2+8=15) est divisible par 3 Le seul nombre divisible par 2 et par 9 est 432, car cest le seul nombre pair (donc divisible par 2) dont la somme des chiffres est divisible par 9 (en effet 4+3+2=9) Exercice n2 1) sera divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres lest, cest--dire si et seulement 5 + 3 + x + 2 = 10 + x est divisible par 9. Mais puisque x est un chiffre compris entre 0 et 9, la seule 10+x divisible par 9 est obtenue pour x=8 2) sera divisible par 3 et 4 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 3 et si et seulement le nombre form par ses deux derniers chiffres est divisible par 4. La somme des chiffres vaut 5 + 3 + y + 4 = 12 + y, divisible par 3 si y vaut 0,3,6 ou 9. Mais si on veut que le nombre form par ses deux derniers chiffres, savoir soit divisible par 4, seul y = 0 ou 6 conviennent.

Exercice n3 autres critres de divisibilit Partie A

8668 = 18 est divisible par 9 et 86+68=154 est un multiple de 11 (car 154=14x11) 32-23 = 9 est divisible par 9 et 32+23=55 est un multiple de 11 (car 55=5x11) Il semblerait que pour tout nombre , alors le nombre cd-dc soit divisible par 9, et que cd+dc soit divisible par 11 Si on note =cx10+d un nombre deux chiffres, alors

=(cx10+d)-(dx10+c)=10c+d-10d-c=9(c-d), ce qui prouve que le nombre est divisible par 9 De plus, =(cx10+d)+(dx10+c)=10c+d+10d-c=11(c+d), ce qui prouve que le nombre est divisible par 11 Partie B Notons n= =ax100+bx10+c=100a+10b+c un nombre eniter trois chiffres, et lentier trois chiffres obtenus en permutant le chiffre des centaines et des units. Alors 99. est divisible par

Exercice n4 Critre de divisibilit (Terminale L, juin 2004) 1) Un exemple a) Pour un entier naturel n, la phrase "n est congru 1 modulo 3" signifie que le reste de la division par 3 de n vaut 1 "n est divisible par 3" se traduira par n 0[3] b) Chacun des entiers 10, 100, 1 000, 10p o p est un entier positif, est congru 1 modulo 3 c) Puisque 4 520 = 4x1000 + 5x100 + 2x10, alors 4520 4x1+5x1+2x1+0x1 4+5+2+0[3] 12[3] 2[3]. d) Ainsi, le reste de la division de 4520 par 3 vaut 2. 2) Quelques gnralisations

a) Puisque N=1000a + 100b + 10c+d, et puisque 10, 100 et 1 000 sont congrus 1 modulo 3, alors N ax1+bx1+cx1+dx1 a+b+c+d[3]. b) Un nombre de quatre chiffres tant congru , modulo trois, la somme de ses chiffres, il sera divisible par trois si et seulement si il est congru 0 modulo 3, donc si et seulement si la somme de ses chiffres est congrue 0 modulo 3, donc si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 3. c) De manire analogue, un nombre de quatre chiffres est divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres lest, car de la mme manire que dans la question 1) b), chacun des entiers 10, 100, 1 000, 10 p o p est un entier positif, est congru 1 modulo 9, donc un nombre N=1000a + 100b + 10c+d vrifiera N ax1+bx1+cx1+dx1 a+b+c+d[9]. Exercice n5 Un autre critre de divisibilit (Terminale L, Liban 2004) 1) a) Le reste de la division euclidienne de 100 par 11 est 1 car 100=9x11+1. Le reste de la division euclidienne de 1000 par 11 est 10 car 1000=9x111+1. b) Si un entier n vrifie n 10 (mod 11) , alors puisque 0 11 (mod 11) , en soustrayant les deux congruences, on obtient n-0 10-11 (mod 11) cest-dire n -1 (mod 11) c) Le nombre =ax1000+bx100+cx10+dx1 est divisible par 11 si et seulement si il est congru zro modulo 11. Or 10 10 (mod 11) , donc 10 -1 (mod 11) . De plus 1000 10 (mod 11) , donc 1000 -1 (mod 11) . Finalement cest--dire , -a+b-c+d[11].

Le nombre sera divisible par 11 si et seulement si il est congru 0 modulo 11, donc si et seulement si alors a+bc+d est aussi congru 0 modulo 11, donc si et seulement si a+bc+d est divisible par 11. 2) a) On calcule a+bb+a=0. Comme a+bb+a 0[11], on conclut daprs la question 1) c) quun nombre de la forme est divisible par 11. b) Le nombre 0[11]. est divisible par 11 si et seulement si 1-a+1 0[11]2-a

Comme 0 a 9, cette congruence ne peut tre vrifie que si et seulement si a = 2 c) Le nombre est divisible par 11 si et seulement si 9-a+9 0[11]18-a 0[11]. Comme 0 a 9, cette congruence ne peut tre vrifie que si et seulement si a = 7 3) Un nombre du type 0[11]b 0[11]. est divisible par 11 si et seulement si a-a+b

Comme 0 b 9, cette congruence ne peut tre vrifie que si et seulement si b = 0 Exercice n6 (Terminale L Antilles juin 2003) 1) a) Puisque 1999=7x285+4, on en dduit que 1999 4[7] b) Le nombre entier 5 est congru 2007 modulo 7 car 2007=7x286+5 2) a) Si n 5[7], alors n2 52 25[7] donc n2 4[7] (car 25=3x7+4), et par suite n3=n2xn=4x5[7] 20[7] 6[7] car 21=2x7+6. Finalement n3 6[7] b) Si n3 6[7] alors n3+1 6+1[7] 7[7] 0[7] donc n3+1 est divisible par 7. 3) Si n 4[7], alors n2 42 16[7] 2[7] car suite n3=n2xn=4x2[7] 8[7] 1[7] car 8=1x7+1. 16=2x7+2, donc par

Ainsi n3-1 1-1[7] 0[7] donc n3-1 est divisible par 7 4) On crit A=(19993-1)+(20073+1). Puisque 1999 4[7], alors 19993-1 est divisible par 7 (question 3). De plus 2007 5[7], donc 20073+1 est divisible par 7 (question 2b) Ainsi la somme 19993-1+20073+1, cest--dire le nombre A, est divisible par 7 Exercice n7 (Terminale L Centres trangers juin 2002) 1) a) Si n=5 alors A=5(52-1)=120 0[6] car 120=6x20

b) Si n=16 alors A=16(162-1)=4080 0[6] car 4080=6x680 c) Si n=32 alors A=32(322-1)=32736 0[6] car 32736=6x5456 2) a) Si n 5[mod6], alors n-1 4[mod6] et n+1 6[mod6] 0[mod6] b) Puisque n2-1=(n-1)(n+1), n2-1 4x0 0[6], donc n2-1 est divisible par 6. c) Si n2-1 0[6], alors n(n2-1) nx0[6] donc n(n2-1) est divisible par 6. 3)Reste de la division de n par 6 0 1 2 3 4 5 Reste de la division de (n-1) par 6 5 0 1 2 3 4 Reste de la division de (n+1) par 6 1 2 3 4 5 0 Reste de la division de (n21) par 6 5 0 3 2 3 0 12 6 Reste de la division de n(n21) par 6 0 0 0[6] 0 0[6] 0

4) Ayant examin tous les restes possibles de la division de n par 6, on a ainsi dmontr que quel que soit lentier n, n(n21) est divisible par 6.

CORRECTIONExercice n1 D'aprs les critres de divisibilit

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111 est le seul nombre divisible par 3 par la somme de ses chiffres (1+1+1=3) lest 324 est le seul nombre divisible par 9 par la somme de ses chiffres (3+2+4=9) lest Le seul nombre divisible par 2 et par 3 est 528, car cest le seul nombre pair, et de surcrot la somme de ses chiffres (5+2+8=15) est divisible par 3 Le seul nombre divisible par 2 et par 9 est 432, car cest le seul nombre pair (donc divisible par 2) dont la somme des chiffres est divisible par 9 (en effet 4+3+2=9) Exercice n2 1) sera divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres lest, cest--dire si et seulement 5 + 3 + x + 2 = 10 + x est divisible par 9. Mais puisque x est un chiffre compris entre 0 et 9, la seule 10+x divisible par 9 est obtenue pour x=8 2) sera divisible par 3 et 4 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 3 et si et seulement le nombre form par ses deux derniers chiffres est divisible par 4. La somme des chiffres vaut 5 + 3 + y + 4 = 12 + y, divisible par 3 si y vaut 0,3,6 ou 9. Mais si on veut que le nombre form par ses deux derniers chiffres, savoir soit divisible par 4, seul y = 0 ou 6 conviennent.

Exercice n3 autres critres de divisibilit Partie A

8668 = 18 est divisible par 9 et 86+68=154 est un multiple de 11 (car 154=14x11) 32-23 = 9 est divisible par 9 et 32+23=55 est un multiple de 11 (car 55=5x11) Il semblerait que pour tout nombre , alors le nombre cd-dc soit divisible par 9, et que cd+dc soit divisible par 11 Si on note =cx10+d un nombre deux chiffres, alors

=(cx10+d)-(dx10+c)=10c+d-10d-c=9(c-d), ce qui prouve que le nombre est divisible par 9 De plus, =(cx10+d)+(dx10+c)=10c+d+10d-c=11(c+d), ce qui prouve que le nombre est divisible par 11 Partie B Notons n= =ax100+bx10+c=100a+10b+c un nombre eniter trois chiffres, et lentier trois chiffres obtenus en permutant le chiffre des centaines et des units. Alors 99. est divisible par

Exercice n4 Critre de divisibilit (Terminale L, juin 2004) 1) Un exemple a) Pour un entier naturel n, la phrase "n est congru 1 modulo 3" signifie que le reste de la division par 3 de n vaut 1 "n est divisible par 3" se traduira par n 0[3] b) Chacun des entiers 10, 100, 1 000, 10p o p est un entier positif, est congru 1 modulo 3 c) Puisque 4 520 = 4x1000 + 5x100 + 2x10, alors 4520 4x1+5x1+2x1+0x1 4+5+2+0[3] 12[3] 2[3]. d) Ainsi, le reste de la division de 4520 par 3 vaut 2. 2) Quelques gnralisations

a) Puisque N=1000a + 100b + 10c+d, et puisque 10, 100 et 1 000 sont congrus 1 modulo 3, alors N ax1+bx1+cx1+dx1 a+b+c+d[3]. b) Un nombre de quatre chiffres tant congru , modulo trois, la somme de ses chiffres, il sera divisible par trois si et seulement si il est congru 0 modulo 3, donc si et seulement si la somme de ses chiffres est congrue 0 modulo 3, donc si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 3. c) De manire analogue, un nombre de quatre chiffres est divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres lest, car de la mme manire que dans la question 1) b), chacun des entiers 10, 100, 1 000, 10 p o p est un entier positif, est congru 1 modulo 9, donc un nombre N=1000a + 100b + 10c+d vrifiera N ax1+bx1+cx1+dx1 a+b+c+d[9]. Exercice n5 Un autre critre de divisibilit (Terminale L, Liban 2004) 1) a) Le reste de la division euclidienne de 100 par 11 est 1 car 100=9x11+1. Le reste de la division euclidienne de 1000 par 11 est 10 car 1000=9x111+1. b) Si un entier n vrifie n 10 (mod 11) , alors puisque 0 11 (mod 11) , en soustrayant les deux congruences, on obtient n-0 10-11 (mod 11) cest-dire n -1 (mod 11) c) Le nombre =ax1000+bx100+cx10+dx1 est divisible par 11 si et seulement si il est congru zro modulo 11. Or 10 10 (mod 11) , donc 10 -1 (mod 11) . De plus 1000 10 (mod 11) , donc 1000 -1 (mod 11) . Finalement cest--dire , -a+b-c+d[11].

Le nombre sera divisible par 11 si et seulement si il est congru 0 modulo 11, donc si et seulement si alors a+bc+d est aussi congru 0 modulo 11, donc si et seulement si a+bc+d est divisible par 11. 2) a) On calcule a+bb+a=0. Comme a+bb+a 0[11], on conclut daprs la question 1) c) quun nombre de la forme est divisible par 11. b) Le nombre 0[11]. est divisible par 11 si et seulement si 1-a+1 0[11]2-a

Comme 0 a 9, cette congruence ne peut tre vrifie que si et seulement si a = 2 c) Le nombre est divisible par 11 si et seulement si 9-a+9 0[11]18-a 0[11]. Comme 0 a 9, cette congruence ne peut tre vrifie que si et seulement si a = 7 3) Un nombre du type 0[11]b 0[11]. est divisible par 11 si et seulement si a-a+b

Comme 0 b 9, cette congruence ne peut tre vrifie que si et seulement si b = 0 Exercice n6 (Terminale L Antilles juin 2003) 1) a) Puisque 1999=7x285+4, on en dduit que 1999 4[7] b) Le nombre entier 5 est congru 2007 modulo 7 car 2007=7x286+5 2) a) Si n 5[7], alors n2 52 25[7] donc n2 4[7] (car 25=3x7+4), et par suite n3=n2xn=4x5[7] 20[7] 6[7] car 21=2x7+6. Finalement n3 6[7] b) Si n3 6[7] alors n3+1 6+1[7] 7[7] 0[7] donc n3+1 est divisible par 7. 3) Si n 4[7], alors n2 42 16[7] 2[7] car suite n3=n2xn=4x2[7] 8[7] 1[7] car 8=1x7+1. 16=2x7+2, donc par

Ainsi n3-1 1-1[7] 0[7] donc n3-1 est divisible par 7 4) On crit A=(19993-1)+(20073+1). Puisque 1999 4[7], alors 19993-1 est divisible par 7 (question 3). De plus 2007 5[7], donc 20073+1 est divisible par 7 (question 2b) Ainsi la somme 19993-1+20073+1, cest--dire le nombre A, est divisible par 7 Exercice n7 (Terminale L Centres trangers juin 2002) 1) a) Si n=5 alors A=5(52-1)=120 0[6] car 120=6x20

b) Si n=16 alors A=16(162-1)=4080 0[6] car 4080=6x680 c) Si n=32 alors A=32(322-1)=32736 0[6] car 32736=6x5456 2) a) Si n 5[mod6], alors n-1 4[mod6] et n+1 6[mod6] 0[mod6] b) Puisque n2-1=(n-1)(n+1), n2-1 4x0 0[6], donc n2-1 est divisible par 6. c) Si n2-1 0[6], alors n(n2-1) nx0[6] donc n(n2-1) est divisible par 6. 3)Reste de la division de n par 6 0 1 2 3 4 5 Reste de la division de (n-1) par 6 5 0 1 2 3 4 Reste de la division de (n+1) par 6 1 2 3 4 5 0 Reste de la division de (n21) par 6 5 0 3 2 3 0 12 6 Reste de la division de n(n21) par 6 0 0 0[6] 0 0[6] 0

4) Ayant examin tous les restes possibles de la division de n par 6, on a ainsi dmontr que quel que soit lentier n, n(n21) est divisible par 6.

CORRECTIONExercice n1 D'aprs les critres de divisibilit

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111 est le seul nombre divisible par 3 par la somme de ses chiffres (1+1+1=3) lest 324 est le seul nombre divisible par 9 par la somme de ses chiffres (3+2+4=9) lest Le seul nombre divisible par 2 et par 3 est 528, car cest le seul nombre pair, et de surcrot la somme de ses chiffres (5+2+8=15) est divisible par 3 Le seul nombre divisible par 2 et par 9 est 432, car cest le seul nombre pair (donc divisible par 2) dont la somme des chiffres est divisible par 9 (en effet 4+3+2=9) Exercice n2 1) sera divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres lest, cest--dire si et seulement 5 + 3 + x + 2 = 10 + x est divisible par 9. Mais puisque x est un chiffre compris entre 0 et 9, la seule 10+x divisible par 9 est obtenue pour x=8 2) sera divisible par 3 et 4 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 3 et si et seulement le nombre form par ses deux derniers chiffres est divisible par 4. La somme des chiffres vaut 5 + 3 + y + 4 = 12 + y, divisible par 3 si y vaut 0,3,6 ou 9. Mais si on veut que le nombre form par ses deux derniers chiffres, savoir soit divisible par 4, seul y = 0 ou 6 conviennent.

Exercice n3 autres critres de divisibilit Partie A

8668 = 18 est divisible par 9 et 86+68=154 est un multiple de 11 (car 154=14x11) 32-23 = 9 est divisible par 9 et 32+23=55 est un multiple de 11 (car 55=5x11) Il semblerait que pour tout nombre , alors le nombre cd-dc soit divisible par 9, et que cd+dc soit divisible par 11 Si on note =cx10+d un nombre deux chiffres, alors

=(cx10+d)-(dx10+c)=10c+d-10d-c=9(c-d), ce qui prouve que le nombre est divisible par 9 De plus, =(cx10+d)+(dx10+c)=10c+d+10d-c=11(c+d), ce qui prouve que le nombre est divisible par 11 Partie B Notons n= =ax100+bx10+c=100a+10b+c un nombre eniter trois chiffres, et lentier trois chiffres obtenus en permutant le chiffre des centaines et des units. Alors 99. est divisible par

Exercice n4 Critre de divisibilit (Terminale L, juin 2004) 1) Un exemple a) Pour un entier naturel n, la phrase "n est congru 1 modulo 3" signifie que le reste de la division par 3 de n vaut 1 "n est divisible par 3" se traduira par n 0[3] b) Chacun des entiers 10, 100, 1 000, 10p o p est un entier positif, est congru 1 modulo 3 c) Puisque 4 520 = 4x1000 + 5x100 + 2x10, alors 4520 4x1+5x1+2x1+0x1 4+5+2+0[3] 12[3] 2[3]. d) Ainsi, le reste de la division de 4520 par 3 vaut 2. 2) Quelques gnralisations

a) Puisque N=1000a + 100b + 10c+d, et puisque 10, 100 et 1 000 sont congrus 1 modulo 3, alors N ax1+bx1+cx1+dx1 a+b+c+d[3]. b) Un nombre de quatre chiffres tant congru , modulo trois, la somme de ses chiffres, il sera divisible par trois si et seulement si il est congru 0 modulo 3, donc si et seulement si la somme de ses chiffres est congrue 0 modulo 3, donc si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 3. c) De manire analogue, un nombre de quatre chiffres est divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres lest, car de la mme manire que dans la question 1) b), chacun des entiers 10, 100, 1 000, 10 p o p est un entier positif, est congru 1 modulo 9, donc un nombre N=1000a + 100b + 10c+d vrifiera N ax1+bx1+cx1+dx1 a+b+c+d[9]. Exercice n5 Un autre critre de divisibilit (Terminale L, Liban 2004) 1) a) Le reste de la division euclidienne de 100 par 11 est 1 car 100=9x11+1. Le reste de la division euclidienne de 1000 par 11 est 10 car 1000=9x111+1. b) Si un entier n vrifie n 10 (mod 11) , alors puisque 0 11 (mod 11) , en soustrayant les deux congruences, on obtient n-0 10-11 (mod 11) cest-dire n -1 (mod 11) c) Le nombre =ax1000+bx100+cx10+dx1 est divisible par 11 si et seulement si il est congru zro modulo 11. Or 10 10 (mod 11) , donc 10 -1 (mod 11) . De plus 1000 10 (mod 11) , donc 1000 -1 (mod 11) . Finalement cest--dire , -a+b-c+d[11].

Le nombre sera divisible par 11 si et seulement si il est congru 0 modulo 11, donc si et seulement si alors a+bc+d est aussi congru 0 modulo 11, donc si et seulement si a+bc+d est divisible par 11. 2) a) On calcule a+bb+a=0. Comme a+bb+a 0[11], on conclut daprs la question 1) c) quun nombre de la forme est divisible par 11. b) Le nombre 0[11]. est divisible par 11 si et seulement si 1-a+1 0[11]2-a

Comme 0 a 9, cette congruence ne peut tre vrifie que si et seulement si a = 2 c) Le nombre est divisible par 11 si et seulement si 9-a+9 0[11]18-a 0[11]. Comme 0 a 9, cette congruence ne peut tre vrifie que si et seulement si a = 7 3) Un nombre du type 0[11]b 0[11]. est divisible par 11 si et seulement si a-a+b

Comme 0 b 9, cette congruence ne peut tre vrifie que si et seulement si b = 0 Exercice n6 (Terminale L Antilles juin 2003) 1) a) Puisque 1999=7x285+4, on en dduit que 1999 4[7] b) Le nombre entier 5 est congru 2007 modulo 7 car 2007=7x286+5 2) a) Si n 5[7], alors n2 52 25[7] donc n2 4[7] (car 25=3x7+4), et par suite n3=n2xn=4x5[7] 20[7] 6[7] car 21=2x7+6. Finalement n3 6[7] b) Si n3 6[7] alors n3+1 6+1[7] 7[7] 0[7] donc n3+1 est divisible par 7. 3) Si n 4[7], alors n2 42 16[7] 2[7] car suite n3=n2xn=4x2[7] 8[7] 1[7] car 8=1x7+1. 16=2x7+2, donc par

Ainsi n3-1 1-1[7] 0[7] donc n3-1 est divisible par 7 4) On crit A=(19993-1)+(20073+1). Puisque 1999 4[7], alors 19993-1 est divisible par 7 (question 3). De plus 2007 5[7], donc 20073+1 est divisible par 7 (question 2b) Ainsi la somme 19993-1+20073+1, cest--dire le nombre A, est divisible par 7 Exercice n7 (Terminale L Centres trangers juin 2002) 1) a) Si n=5 alors A=5(52-1)=120 0[6] car 120=6x20

b) Si n=16 alors A=16(162-1)=4080 0[6] car 4080=6x680 c) Si n=32 alors A=32(322-1)=32736 0[6] car 32736=6x5456 2) a) Si n 5[mod6], alors n-1 4[mod6] et n+1 6[mod6] 0[mod6] b) Puisque n2-1=(n-1)(n+1), n2-1 4x0 0[6], donc n2-1 est divisible par 6. c) Si n2-1 0[6], alors n(n2-1) nx0[6] donc n(n2-1) est divisible par 6. 3)Reste de la division de n par 6 0 1 2 3 4 5 Reste de la division de (n-1) par 6 5 0 1 2 3 4 Reste de la division de (n+1) par 6 1 2 3 4 5 0 Reste de la division de (n21) par 6 5 0 3 2 3 0 12 6 Reste de la division de n(n21) par 6 0 0 0[6] 0 0[6] 0

4) Ayant examin tous les restes possibles de la division de n par 6, on a ainsi dmontr que quel que soit lentier n, n(n21) est divisible par 6.

CORRECTIONExercice n1 D'aprs les critres de divisibilit

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111 est le seul nombre divisible par 3 par la somme de ses chiffres (1+1+1=3) lest 324 est le seul nombre divisible par 9 par la somme de ses chiffres (3+2+4=9) lest Le seul nombre divisible par 2 et par 3 est 528, car cest le seul nombre pair, et de surcrot la somme de ses chiffres (5+2+8=15) est divisible par 3 Le seul nombre divisible par 2 et par 9 est 432, car cest le seul nombre pair (donc divisible par 2) dont la somme des chiffres est divisible par 9 (en effet 4+3+2=9) Exercice n2 1) sera divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres lest, cest--dire si et seulement 5 + 3 + x + 2 = 10 + x est divisible par 9. Mais puisque x est un chiffre compris entre 0 et 9, la seule 10+x divisible par 9 est obtenue pour x=8 2) sera divisible par 3 et 4 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 3 et si et seulement le nombre form par ses deux derniers chiffres est divisible par 4. La somme des chiffres vaut 5 + 3 + y + 4 = 12 + y, divisible par 3 si y vaut 0,3,6 ou 9. Mais si on veut que le nombre form par ses deux derniers chiffres, savoir soit divisible par 4, seul y = 0 ou 6 conviennent.

Exercice n3 autres critres de divisibilit Partie A

8668 = 18 est divisible par 9 et 86+68=154 est un multiple de 11 (car 154=14x11) 32-23 = 9 est divisible par 9 et 32+23=55 est un multiple de 11 (car 55=5x11) Il semblerait que pour tout nombre , alors le nombre cd-dc soit divisible par 9, et que cd+dc soit divisible par 11 Si on note =cx10+d un nombre deux chiffres, alors

=(cx10+d)-(dx10+c)=10c+d-10d-c=9(c-d), ce qui prouve que le nombre est divisible par 9 De plus, =(cx10+d)+(dx10+c)=10c+d+10d-c=11(c+d), ce qui prouve que le nombre est divisible par 11 Partie B Notons n= =ax100+bx10+c=100a+10b+c un nombre eniter trois chiffres, et lentier trois chiffres obtenus en permutant le chiffre des centaines et des units. Alors 99. est divisible par

Exercice n4 Critre de divisibilit (Terminale L, juin 2004) 1) Un exemple a) Pour un entier naturel n, la phrase "n est congru 1 modulo 3" signifie que le reste de la division par 3 de n vaut 1 "n est divisible par 3" se traduira par n 0[3] b) Chacun des entiers 10, 100, 1 000, 10p o p est un entier positif, est congru 1 modulo 3 c) Puisque 4 520 = 4x1000 + 5x100 + 2x10, alors 4520 4x1+5x1+2x1+0x1 4+5+2+0[3] 12[3] 2[3]. d) Ainsi, le reste de la division de 4520 par 3 vaut 2. 2) Quelques gnralisations

a) Puisque N=1000a + 100b + 10c+d, et puisque 10, 100 et 1 000 sont congrus 1 modulo 3, alors N ax1+bx1+cx1+dx1 a+b+c+d[3]. b) Un nombre de quatre chiffres tant congru , modulo trois, la somme de ses chiffres, il sera divisible par trois si et seulement si il est congru 0 modulo 3, donc si et seulement si la somme de ses chiffres est congrue 0 modulo 3, donc si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 3. c) De manire analogue, un nombre de quatre chiffres est divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres lest, car de la mme manire que dans la question 1) b), chacun des entiers 10, 100, 1 000, 10 p o p est un entier positif, est congru 1 modulo 9, donc un nombre N=1000a + 100b + 10c+d vrifiera N ax1+bx1+cx1+dx1 a+b+c+d[9]. Exercice n5 Un autre critre de divisibilit (Terminale L, Liban 2004) 1) a) Le reste de la division euclidienne de 100 par 11 est 1 car 100=9x11+1. Le reste de la division euclidienne de 1000 par 11 est 10 car 1000=9x111+1. b) Si un entier n vrifie n 10 (mod 11) , alors puisque 0 11 (mod 11) , en soustrayant les deux congruences, on obtient n-0 10-11 (mod 11) cest-dire n -1 (mod 11) c) Le nombre =ax1000+bx100+cx10+dx1 est divisible par 11 si et seulement si il est congru zro modulo 11. Or 10 10 (mod 11) , donc 10 -1 (mod 11) . De plus 1000 10 (mod 11) , donc 1000 -1 (mod 11) . Finalement cest--dire , -a+b-c+d[11].

Le nombre sera divisible par 11 si et seulement si il est congru 0 modulo 11, donc si et seulement si alors a+bc+d est aussi congru 0 modulo 11, donc si et seulement si a+bc+d est divisible par 11. 2) a) On calcule a+bb+a=0. Comme a+bb+a 0[11], on conclut daprs la question 1) c) quun nombre de la forme est divisible par 11. b) Le nombre 0[11]. est divisible par 11 si et seulement si 1-a+1 0[11]2-a

Comme 0 a 9, cette congruence ne peut tre vrifie que si et seulement si a = 2 c) Le nombre est divisible par 11 si et seulement si 9-a+9 0[11]18-a 0[11]. Comme 0 a 9, cette congruence ne peut tre vrifie que si et seulement si a = 7 3) Un nombre du type 0[11]b 0[11]. est divisible par 11 si et seulement si a-a+b

Comme 0 b 9, cette congruence ne peut tre vrifie que si et seulement si b = 0 Exercice n6 (Terminale L Antilles juin 2003) 1) a) Puisque 1999=7x285+4, on en dduit que 1999 4[7] b) Le nombre entier 5 est congru 2007 modulo 7 car 2007=7x286+5 2) a) Si n 5[7], alors n2 52 25[7] donc n2 4[7] (car 25=3x7+4), et par suite n3=n2xn=4x5[7] 20[7] 6[7] car 21=2x7+6. Finalement n3 6[7] b) Si n3 6[7] alors n3+1 6+1[7] 7[7] 0[7] donc n3+1 est divisible par 7. 3) Si n 4[7], alors n2 42 16[7] 2[7] car suite n3=n2xn=4x2[7] 8[7] 1[7] car 8=1x7+1. 16=2x7+2, donc par

Ainsi n3-1 1-1[7] 0[7] donc n3-1 est divisible par 7 4) On crit A=(19993-1)+(20073+1). Puisque 1999 4[7], alors 19993-1 est divisible par 7 (question 3). De plus 2007 5[7], donc 20073+1 est divisible par 7 (question 2b) Ainsi la somme 19993-1+20073+1, cest--dire le nombre A, est divisible par 7 Exercice n7 (Terminale L Centres trangers juin 2002) 1) a) Si n=5 alors A=5(52-1)=120 0[6] car 120=6x20

b) Si n=16 alors A=16(162-1)=4080 0[6] car 4080=6x680 c) Si n=32 alors A=32(322-1)=32736 0[6] car 32736=6x5456 2) a) Si n 5[mod6], alors n-1 4[mod6] et n+1 6[mod6] 0[mod6] b) Puisque n2-1=(n-1)(n+1), n2-1 4x0 0[6], donc n2-1 est divisible par 6. c) Si n2-1 0[6], alors n(n2-1) nx0[6] donc n(n2-1) est divisible par 6. 3)Reste de la division de n par 6 0 1 2 3 4 5 Reste de la division de (n-1) par 6 5 0 1 2 3 4 Reste de la division de (n+1) par 6 1 2 3 4 5 0 Reste de la division de (n21) par 6 5 0 3 2 3 0 12 6 Reste de la division de n(n21) par 6 0 0 0[6] 0 0[6] 0

4) Ayant examin tous les restes possibles de la division de n par 6, on a ainsi dmontr que quel que soit lentier n, n(n21) est divisible par 6

DIVISIBILITE CORRECTIONExercice n1 D'aprs les critres de divisibilit 111 est le seul nombre divisible par 3 par la somme de ses chiffres (1+1+1=3) lest 324 est le seul nombre divisible par 9 par la somme de ses chiffres (3+2+4=9) lest Le seul nombre divisible par 2 et par 3 est 528, car cest le seul nombre pair, et de surcrot la somme de ses chiffres (5+2+8=15) est divisible par 3 Le seul nombre divisible par 2 et par 9 est 432, car cest le seul nombre pair (donc divisible par 2) dont la somme des chiffres est divisible par 9 (en effet 4+3+2=9) Exercice n2 1) sera divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres lest, cest--dire si et seulement 5 + 3 + x + 2 = 10 + x est divisible par 9. Mais puisque x est un chiffre compris entre 0 et 9, la seule 10+x divisible par 9 est obtenue pour x=8 2) sera divisible par 3 et 4 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 3 et si et seulement le nombre form par ses deux derniers chiffres est divisible par 4. La somme des chiffres vaut 5 + 3 + y + 4 = 12 + y, divisible par 3 si y vaut 0,3,6 ou 9. Mais si on veut que le nombre form par ses deux derniers chiffres, savoir soit divisible par 4, seul y = 0 ou 6 conviennent.

Exercice n3 autres critres de divisibilit Partie A

8668 = 18 est divisible par 9 et 86+68=154 est un multiple de 11 (car 154=14x11) 32-23 = 9 est divisible par 9 et 32+23=55 est un multiple de 11 (car 55=5x11) Il semblerait que pour tout nombre , alors le nombre cd-dc soit divisible par 9, et que cd+dc soit divisible par 11 Si on note =cx10+d un nombre deux chiffres, alors

=(cx10+d)-(dx10+c)=10c+d-10d-c=9(c-d), ce qui prouve que le nombre est divisible par 9 De plus, =(cx10+d)+(dx10+c)=10c+d+10d-c=11(c+d), ce qui prouve que le nombre est divisible par 11 Partie B Notons n= =ax100+bx10+c=100a+10b+c un nombre eniter trois chiffres, et lentier trois chiffres obtenus en permutant le chiffre des centaines et des units. Alors 99. est divisible par

Exercice n4 Critre de divisibilit (Terminale L, juin 2004) 1) Un exemple a) Pour un entier naturel n, la phrase "n est congru 1 modulo 3" signifie que le reste de la division par 3 de n vaut 1 "n est divisible par 3" se traduira par n 0[3] b) Chacun des entiers 10, 100, 1 000, 10p o p est un entier positif, est congru 1 modulo 3 c) Puisque 4 520 = 4x1000 + 5x100 + 2x10, alors 4520 4x1+5x1+2x1+0x1 4+5+2+0[3] 12[3] 2[3]. d) Ainsi, le reste de la division de 4520 par 3 vaut 2. 2) Quelques gnralisations

a) Puisque N=1000a + 100b + 10c+d, et puisque 10, 100 et 1 000 sont congrus 1 modulo 3, alors N ax1+bx1+cx1+dx1 a+b+c+d[3]. b) Un nombre de quatre chiffres tant congru , modulo trois, la somme de ses chiffres, il sera divisible par trois si et seulement si il est congru 0 modulo 3, donc si et seulement si la somme de ses chiffres est congrue 0 modulo 3, donc si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 3. c) De manire analogue, un nombre de quatre chiffres est divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres lest, car de la mme manire que dans la question 1) b), chacun des entiers 10, 100, 1 000, 10 p o p est un entier positif, est congru 1 modulo 9, donc un nombre N=1000a + 100b + 10c+d vrifiera N ax1+bx1+cx1+dx1 a+b+c+d[9]. Exercice n5 Un autre critre de divisibilit (Terminale L, Liban 2004) 1) a) Le reste de la division euclidienne de 100 par 11 est 1 car 100=9x11+1. Le reste de la division euclidienne de 1000 par 11 est 10 car 1000=9x111+1. b) Si un entier n vrifie n 10 (mod 11) , alors puisque 0 11 (mod 11) , en soustrayant les deux congruences, on obtient n-0 10-11 (mod 11) cest-dire n -1 (mod 11) c) Le nombre =ax1000+bx100+cx10+dx1 est divisible par 11 si et seulement si il est congru zro modulo 11. Or 10 10 (mod 11) , donc 10 -1 (mod 11) . De plus 1000 10 (mod 11) , donc 1000 -1 (mod 11) . Finalement cest--dire , -a+b-c+d[11].

Le nombre sera divisible par 11 si et seulement si il est congru 0 modulo 11, donc si et seulement si alors a+bc+d est aussi congru 0 modulo 11, donc si et seulement si a+bc+d est divisible par 11. 2) a) On calcule a+bb+a=0. Comme a+bb+a 0[11], on conclut daprs la question 1) c) quun nombre de la forme est divisible par 11. b) Le nombre 0[11]. est divisible par 11 si et seulement si 1-a+1 0[11]2-a

Comme 0 a 9, cette congruence ne peut tre vrifie que si et seulement si a = 2 c) Le nombre est divisible par 11 si et seulement si 9-a+9 0[11]18-a 0[11]. Comme 0 a 9, cette congruence ne peut tre vrifie que si et seulement si a = 7 3) Un nombre du type 0[11]b 0[11]. est divisible par 11 si et seulement si a-a+b

Comme 0 b 9, cette congruence ne peut tre vrifie que si et seulement si b = 0 Exercice n6 (Terminale L Antilles juin 2003) 1) a) Puisque 1999=7x285+4, on en dduit que 1999 4[7] b) Le nombre entier 5 est congru 2007 modulo 7 car 2007=7x286+5 2) a) Si n 5[7], alors n2 52 25[7] donc n2 4[7] (car 25=3x7+4), et par suite n3=n2xn=4x5[7] 20[7] 6[7] car 21=2x7+6. Finalement n3 6[7] b) Si n3 6[7] alors n3+1 6+1[7] 7[7] 0[7] donc n3+1 est divisible par 7. 3) Si n 4[7], alors n2 42 16[7] 2[7] car suite n3=n2xn=4x2[7] 8[7] 1[7] car 8=1x7+1. 16=2x7+2, donc par

Ainsi n3-1 1-1[7] 0[7] donc n3-1 est divisible par 7 4) On crit A=(19993-1)+(20073+1). Puisque 1999 4[7], alors 19993-1 est divisible par 7 (question 3). De plus 2007 5[7], donc 20073+1 est divisible par 7 (question 2b) Ainsi la somme 19993-1+20073+1, cest--dire le nombre A, est divisible par 7 Exercice n7 (Terminale L Centres trangers juin 2002) 1) a) Si n=5 alors A=5(52-1)=120 0[6] car 120=6x20

b) Si n=16 alors A=16(162-1)=4080 0[6] car 4080=6x680 c) Si n=32 alors A=32(322-1)=32736 0[6] car 32736=6x5456 2) a) Si n 5[mod6], alors n-1 4[mod6] et n+1 6[mod6] 0[mod6] b) Puisque n2-1=(n-1)(n+1), n2-1 4x0 0[6], donc n2-1 est divisible par 6. c) Si n2-1 0[6], alors n(n2-1) nx0[6] donc n(n2-1) est divisible par 6. 3)Reste de la division de n par 6 0 1 2 3 4 5 Reste de la division de (n-1) par 6 5 0 1 2 3 4 Reste de la division de (n+1) par 6 1 2 3 4 5 0 Reste de la division de (n21) par 6 5 0 3 2 3 0 12 6 Reste de la division de n(n21) par 6 0 0 0[6] 0 0[6] 0

4) Ayant examin tous les restes possibles de la division de n par 6, on a ainsi dmontr que quel que soit lentier n, n(n21) est divisible par 6

Chapitres par thmes

Terminale L spcialit mathmatiques

Chapitres par niveaux

En Terminale L, le programme de la spcialit mathmatiques est tlchargeable ici . Il occupe 3 heures hebdomadaires Un nouveau programme verra le jour en septembre 2012, dans la continuit de l'option obligatoire au choix mathmatiques en 1re L Afin de parcourir tout ce programme, on pourra consulter les chapitres ci-dessous : ANALYSE FONCTIONS Gnralits , Fonctions usuelles, Fonctions associes. Le second degr , Drives Limites et asymptotes , Plan d'tude d'une fonction Primitives Fonction logarithme , fonction exponentielle Raisonnement par rcurrence , SUITES NUMERIQUES ARITHMETIQUE ALGEBRE Calcul littral, calcul algbrique Equations, Inquations, Systmes PROBABILITES Dnombrement , Probabilits

GEOMETRIE Mmento de Gomtrie Plane Constructions la rgle et au compas Solides de l'espace , reprsentations en perspectives EXERCICES TYPES , SUJETS D'EXAMENS ET DE CONCOURS Sujets de baccalaurat Terminale L Spcialit Mathmatiques et de Baccalaurat Blanc

S1) Translations Thorme Soit f une fonction dfinie sur une partie D de reprsentative dans un repre orthonorm. Alors :

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, et C sa courbe

1) On obtient la courbe reprsentative de la fonction x-> f(x) + m o m partir de C par une translation de vecteur m

2) On obtient la courbe reprsentative de la fonction x-> f(x - n) o n partir de C par une translation de vecteur n

Ces deux transformations nont aucune influence sur le sens de variation de f

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2) Symtries 3) On obtient la courbe reprsentative de la fonction x->- f(x) partir de C par une symtrie d'axe (Ox).

Cette transformation inverse le sens de variation de f

Remarque : On peut composer les transformations gomtriques (elles traduisent la composition des fonctions) Ainsi, la courbe reprsentative de la fonction x->-(x-1)2+2, s'obtient partir de celle de x->x2 en effectuant successivement , , et

4) On obtient la courbe reprsentative de la fonction x->f(-x) partir de C par une symtrie d'axe (Oy).

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1) La fonction carreeDfinition : La fonction carr est la fonction f dfinie sur par f(x)=x2

Proprit : La fonction carr est strictement dcroissante sur et strictement croissante sur . Elle admet un minimum gal 0 en 0

Preuve : Soient a et b deux rels tels que a0, c'est dire f(a)0 associe le rel ln(x) dont l'exponentielle est x. Ainsi, ln(1)=0 car e0=1 et et ln(e)=1 car e1 = e 3) Lien avec la fonction exponentielleOn a l'quivalence : Autrement dit, les courbes reprsentatives Cf et Cg des fonctions f : x->ln x et g : x> sont symtriques par rapport la droite d'quationy=x (premire bissectrice) En effet,

De plus, Pour tout rel x , ln( ) = x et pour tout rel x>0 , de

On dit que la fonction ln est la bijection rciproque dfinie sur la fonction exp.

EXERCICES CORRIGESTlcharger les exercices

Exercice n1. (correction)

Soient f et g les fonctions dfinies par :

et

1) Pour chacune des deux fonctions prciser le domaine de dfinition, la parit ventuelle et les limites aux bornes du domaine de dfinition.

2) Soit la fonction i dfinie par ; calculer la drive de i , en dduire la drive et le tableau de variation de f et de g

3) Soit h la fonction dfinie par

.

Comment peut-on dduire la courbe reprsentative de h partir de C la courbe reprsentative de f (on pourra calculer f(x)-1) ? Exercice n2. (correction)

Soit f la fonction dfinie par : [.

, pour tout x ]0;

On note (C) la courbe reprsentative de la fonction f dans un repre orthogonal . .

1) Etudier les limites de f en 0 et

2) Dmontrer que 2Ln(x).

, pour tout x ]0;

[ o g(x)=-3x2+3-

3) Etudier le sens de variation de g sur ]0; signe de g(x) sur ]0; [.

[ et calculer g(1). En dduire le

4) Etudier le sens de variation de f. Dterminer le tableau de variation de f.

5) Dmontrer que la courbe (C) admet une asymptote oblique (D) dquation y = - x+1. 6) Rsoudre lquation f(x) = - x+1 dans ]0;

[.

7) Dterminer les coordonnes du point dintersection A de (C) et de (D). 8) Dterminer la position relative de (C) et de (D). 9) Tracer la courbe (C) et la droite (D) dans un repre orthogonal (units graphiques 2 cm sur laxe des abscisses et 1 cm sur laxe des ordonnes). 10) Soit h la fonction dfinie sur ]0; - Calculer la drive [ par h(x)=(Ln(x))2.

de la fonction h. [.

- En dduire une primitive de f sur ]0; Exercice n3. (correction) 1) Soit la fonction f dfinie sur drive f ' de f.

par

. Dterminer la

2) Soit la fonction g dfinie par Dterminer D son domaine de dfinition, tudier sa parit ventuelle et les limites aux bornes du domaine de dfinition. Calculer pour tout x de D la drive g ' de g (si elle existe !) 3) Etudier, suivant les valeurs de x, le signe de g ' , dterminer les extrema de la fonction et en dduire le tableau de variation de g.

4) Soit e le rel tel que ln e = 1 et soit a=e2. Calculer 5) Donner en fonction de m le nombre de solutions positives de lquation g(x)=m

Exercice n4. (correction) Soit la fonction f dfinie par f(x)=xln( )

1) Donner le domaine de dfinition D de la fonction f ; dterminer une parit ventuelle ; et tudier leslimites aux bornes du domaine de dfinition. Calculer pour tout x de D la drive de f(si elle existe !) 2) On tudie, pour cette question, le cas x>0. Montrer quil existe un unique tel que f ' ( )=0 ; montrer que lon a ; 0,3 0,4 (on pourra utiliser le fait que le rel e tel que lne=1 vrifie 2,5 e 3 3) En dduire le tableau de variations de f (sur D) 4) Dterminer une primitive de g dfinie par g(x)=ln(x) (on prcisera le domaine sur lequel on travaille) Exercice n5. (correction)

Soit f la fonction dfinie sur lintervalle

par : et en

1) Etudier le sens de variations de f et dterminer les limites de f en 0. 2) Tracer la courbe reprsentative (C) de f dans un repre orthonorm 3) On pose . , pour >0. , pour

a) En utilisant une intgration par parties, calculer b) Calculer I( ), pour >0. tend vers 0.

>0.

c) Calculer la limite de I( ) quand Exercice n6. (correction)

Soit f la fonction dfinie sur lintervalle [0;

[ par :

si x>0 et f(0)=0

1) Dterminer la limite de 0?

lorsque x tend vers 0. f est-elle drivable en

2) Etudier le sens de variations de f et tudier la limite de fen 3) Dmontrer lexistence et lunicit de la solution de lquation f(x)=0 dans [e; [ 4) Soit T la tangente la courbe reprsentative (C) de f au point dabscisse 1. Dterminer lquation de T sous la forme y=ax+b 5) Tracer la courbe reprsentative (C) de f et la droite T dans un repre orthonormal (on prendra 2 cm comme unit)

6) Soit

]0;e]. On pose ]0;e] tend vers 0

a) Calculer I( ) pour

b) Calculer la limite de I( ) lorsque

c) En dduire laire de la partie du plan limit par la courbe (C), laxe des abscisses et les droites dquations respectives (x=0) et (x=e) Exercice n7. (correction) Partie I

La fonction f est dfinie sur ]0;

[ par f(x) = x-2+ lnx

1) Etudier le sens de variations de f . Calculer les limites de f aux bords de lensemble de dfinition et dresser le tableau de variations de f. 2) Montrer que lquation f(x)=0 admet une unique solution l dans lintervalle ]0; [. Dterminer lentier n tel que l ]n;n+1[ 3) Dterminer le signe de f(x)

Partie II

La fonction g est dfinie sur [0;

[ par :

1) Montrer que la fonction g est continue en 0. Dterminer la limite de g en

2) Montrer que pour tout x>0,

3) Montrer que

. Dresser le tableau de variation de g. reprsentative de g aux

4) Donner les quations des tangentes la courbe points dabscisses 1 et cette limite. . Calculer

et interprter graphiquement

5) Reprsenter succinctement orthonorm Partie III Soit

et ses tangentes dans un repre

un rel appartenant lintervalle ]0 ;1[

1) En intgrant par parties, calculer

2) Calculer 3) Calculer . Exprimer le rsultat sous forme dune fraction irrductible. Interprter le rsultat Exercice n8. (correction) Partie I On considre la fonction numrique g dfinie sur ]0; [ par g(x) = x2-2lnx

1) Etudier le sens de variation de g 2) En dduire le signe de g(x) sur ]0; Partie II On [ par On appelle (C) considre la . la courbe reprsentative de f dans un repre fonction numrique f dfinie sur ]0; [

orthonormal

(unit graphique : 2 cm)

1) Dterminer la limite de f en 0. Interprter graphiquement ce rsultat. 2) Dterminer la limite de f en . Montrer que la droite (

) dquation est asymptote la courbe (C). Dterminer la position de (C) par rapport ( ) sur ]0; [. Montrer que ( ) coupe (C) en un point A que lon prcisera 3) Etudier le sens de variation de f. Dresser le tableau de variation de f 4) Montrer quil existe un unique point B de la courbe (C) o la tangente (T) est parallle ( ). Prciser les coordonnes du point B 5) Montrer que lquation f(x)=0 a une unique solution . Exprimer ln( ) en fonction de . Montrer que le coefficient directeur de la tangente (C) au point dabscisse est suprieur 1. On admettra que 0,31< 0. , pour

a) En utilisant une intgration par parties, calculer b) Calculer I( ), pour >0. tend vers 0.

>0.

c) Calculer la limite de I( ) quand Exercice n6. (correction)

Soit f la fonction dfinie sur lintervalle [0;

[ par :

si x>0 et f(0)=0

1) Dterminer la limite de 0?

lorsque x tend vers 0. f est-elle drivable en

2) Etudier le sens de variations de f et tudier la limite de fen 3) Dmontrer lexistence et lunicit de la solution de lquation f(x)=0 dans [e; [ 4) Soit T la tangente la courbe reprsentative (C) de f au point dabscisse 1. Dterminer lquation de T sous la forme y=ax+b 5) Tracer la courbe reprsentative (C) de f et la droite T dans un repre orthonormal (on prendra 2 cm comme unit)

6) Soit

]0;e]. On pose ]0;e] tend vers 0

a) Calculer I( ) pour

b) Calculer la limite de I( ) lorsque

c) En dduire laire de la partie du plan limit par la courbe (C), laxe des abscisses et les droites dquations respectives (x=0) et (x=e) Exercice n7. (correction) Partie I

La fonction f est dfinie sur ]0;

[ par f(x) = x-2+ lnx

1) Etudier le sens de variations de f . Calculer les limites de f aux bords de lensemble de dfinition et dresser le tableau de variations de f. 2) Montrer que lquation f(x)=0 admet une unique solution l dans lintervalle ]0; [. Dterminer lentier n tel que l ]n;n+1[ 3) Dterminer le signe de f(x)

Partie II

La fonction g est dfinie sur [0;

[ par :

1) Montrer que la fonction g est continue en 0. Dterminer la limite de g en

2) Montrer que pour tout x>0,

3) Montrer que

. Dresser le tableau de variation de g. reprsentative de g aux

4) Donner les quations des tangentes la courbe points dabscisses 1 et cette limite. . Calculer

et interprter graphiquement

5) Reprsenter succinctement orthonorm Partie III Soit

et ses tangentes dans un repre

un rel appartenant lintervalle ]0 ;1[

1) En intgrant par parties, calculer

2) Calculer 3) Calculer . Exprimer le rsultat sous forme dune fraction irrductible. Interprter le rsultat Exercice n8. (correction) Partie I On considre la fonction numrique g dfinie sur ]0; [ par g(x) = x2-2lnx

1) Etudier le sens de variation de g 2) En dduire le signe de g(x) sur ]0; Partie II On [ par On appelle (C) considre la . la courbe reprsentative de f dans un repre fonction numrique f dfinie sur ]0; [

orthonormal

(unit graphique : 2 cm)

1) Dterminer la limite de f en 0. Interprter graphiquement ce rsultat. 2) Dterminer la limite de f en . Montrer que la droite (

) dquation est asymptote la courbe (C). Dterminer la position de (C) par rapport ( ) sur ]0; [. Montrer que ( ) coupe (C) en un point A que lon prcisera 3) Etudier le sens de variation de f. Dresser le tableau de variation de f 4) Montrer quil existe un unique point B de la courbe (C) o la tangente (T) est parallle ( ). Prciser les coordonnes du point B 5) Montrer que lquation f(x)=0 a une unique solution . Exprimer ln( ) en fonction de . Montrer que le coefficient directeur de la tangente (C) au point dabscisse est suprieur 1. On admettra que 0,31<