25
Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique Lycée Clemenceau PCSI 1 (O.Granier) Étude du dipôle électrostatique

Le dipôle électrostatique

  • Upload
    ngomien

  • View
    245

  • Download
    8

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Le dipôle électrostatique

Olivier GRANIER

Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique

LycéeClemenceau

PCSI 1 (O.Granier)

Étude du dipôle électrostatique

Page 2: Le dipôle électrostatique

Olivier GRANIER

Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique

I – Définition et approximation dipolaire

On appelle « dipôle électrostatique » un ensemble rigide de deux charges ponctuelles + q et – q (donc globalement neutre), distantes de 2a.

a2

)( qN − )( qP +Oz

zur

Un tel modèle permet d’étudier :

* Les molécules polaires (par exemple : HCl, H2O)

)( δ+H )( δ−Cl

)2( δ−O

)( δ+H )( δ+H

Page 3: Le dipôle électrostatique

Olivier GRANIER

Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique

* La polarisation des atomes dans un champ électrique extérieur (phénomène de solvatation des ions)

a2

)( qN − )( qP +Oz

zur

M

r

θ

On calcule le potentiel puis le champ électrique ( ) créé par le dipôle en un point M de l’espace.

Symétrie de révolution autour de l’axe (Oz) : on choisit M(r,θθθθ) dans le plan des deux charges.

Approximation dipolaire : r >> a (on se place « loin » des charges, c’est-à-dire à des distances bien supérieures à quelques nm).

)(VgradE −=r

Page 4: Le dipôle électrostatique

Olivier GRANIER

Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique

II – Calcul du potentiel dans le cadre de l’approximation dipolaire

Le potentiel au point M est (principe de superposition) :

a2

)( qN − )( qP +Oz

zur

M

r θ

Nr PrNP r

q

r

qMV

00 4

1

4

1)(

πεπε−=

−=

NP rrqMV

11

4

1)(

0πε

):( aNMretPMravec NP >>==

Page 5: Le dipôle électrostatique

Olivier GRANIER

Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique

Calcul des distances rP et rN :

D’après la relation de Chasles :

En élevant au carré :

a2

)( qN − )( qP +Oz

zur

M

r θ

Nr Pr

zuarOPOMPMrr

−=−=

θcos2

.2

222

222

ararr

uararPM

P

z

−+=

−+=rr

On calcule ensuite 1 / rP :

θcos2

11

22ararrP −+

=

( ) 2/122cos2

1 −−+= θarar

rP

Page 6: Le dipôle électrostatique

Olivier GRANIER

Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique

On rappelle le développement limité (à l’ordre 1) de :

a2

)( qN − )( qP +Oz

zur

M

r θ

Nr Pr

On pose x = a / r (x << 1), alors :

2/1

2

2

cos2111

−+= θ

r

a

r

a

rrP

( ) )1(2

111

2/1<<−≈+

−xxx

Un DL au 1er ordre en x donne :

+= θcos1

11

r

a

rrP

Page 7: Le dipôle électrostatique

Olivier GRANIER

Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique

De la même manière (il suffit de remplacer θθθθ par π π π π −−−− θθθθ et donc cosθθθθ par - cosθθθθ) :

)( qN − )( qP +Oz

zur

M

r θ

Nr Pr

−= θcos1

11

r

a

rrN

Par conséquent :

θcos211

2r

a

rr NP

=−

θπε

cos)2(

4

1)(

20 r

aqMV =

D’où le potentiel :

Page 8: Le dipôle électrostatique

Olivier GRANIER

Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique

On définit le vecteur moment dipolaire du dipôle électrostatique (vecteur dirigé de la charge négative vers la charge positive) :

)( qN − )( qP +Oz

zur

M

r θ

θπε

cos4

1)(

20 r

pMV =

Alors (décroissance du potentiel en 1 / r2) :

NPquaqp z ==rr

)2(

pr

En notant : rrur /rr

=

)cos.(.

4

1)(

20

θπε

== rzr uu

r

upMV

rrrr

Page 9: Le dipôle électrostatique

Olivier GRANIER

Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique

Retour sur la définition du moment dipolaire :

Le vecteur moment dipolaire est une caractéristique du dipôle électrostatique.

p s’exprime en C.m dans le SI.

On définit plutôt le Debye, mieux adapté :

Exemple : la molécule d’eau a un moment dipolaire . En déduire les charges + δδδδ et – 2δδδδ portées respectivement par les atomes d’hydrogène et par l’atome d’oxygène.

Données :

mCD .10.33,3130−=

Dp OH 85,12

=

nmOHOHOH 096,0;104),( ==°== lα

Page 10: Le dipôle électrostatique

Olivier GRANIER

Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique

Le moment dipolaire total de la molécule est :

OHp2

r

)2( δ−O

)( δ+H )( δ+H2

α

OHpr

OHp'r

OHOHOH ppp '2

rrr+=

Avec : δl== OHOH pp '

Par conséquent :

2cos2

2

αδl=OHp

On en déduit :

)10.6,1(3

2cos2

192 Ceep OH −=≈=

αδ

l

Page 11: Le dipôle électrostatique

Olivier GRANIER

Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique

III – Calcul du champ dans le cadre de l’approximation dipolaire

La relation intrinsèque permet de calculer le champ (en coordonnées polaires) :

a2

)( qN − )( qP +Oz

zur

M

r θ

r

VrEr

∂−=),( θ

VgradE −=r

θθθ

∂−=

V

rrE

1),(

Page 12: Le dipôle électrostatique

Olivier GRANIER

Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique

Par conséquent :

30

cos2

4

1

r

pEr

θ

πε=

30

sin

4

1

r

pE

θ

πεθ =

( )θθθπε

uur

pE r

rrrsincos2

4

13

0

+=a2

)( qN − )( qP +Oz

zur

M

r θ

rEr

θEr E

r

Page 13: Le dipôle électrostatique

Olivier GRANIER

Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique

IV – Topographie du champ d’un dipôle

Surfaces équipotentielles :

L’équation de la surface équipotentielle (ΣΣΣΣ0) au potentiel V0 est :

Soit l’équation en coordonnées polaires :

L’allure des lignes équipotentielles est indiquée sur la figure suivante ; l’axe perpendiculaire à (Oz) et passant par O est l’équipotentielle zéro.

Par rotation autour de (Oz), ces lignes engendrent les surfaces équipotentielles.

020

0 cos4

1)(:)( V

r

pMVMPour ==Σ∈ θ

πε

)(cos2

csteAAr == θ

Page 14: Le dipôle électrostatique

Olivier GRANIER

Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique

IV – Topographie du champ d’un dipôle

Surfaces équipotentielles :

L’équation de la surface équipotentielle (ΣΣΣΣ0) au potentiel V0 est :

Soit l’équation en coordonnées polaires :

L’allure des lignes équipotentielles est indiquée sur la figure suivante ; l’axe perpendiculaire à (Oz) et passant par O est l’équipotentielle zéro.

Par rotation autour de (Oz), ces lignes engendrent les surfaces équipotentielles.

020

0 cos4

1)(:)( V

r

pMVMPour ==Σ∈ θ

πε

)(cos2

csteAAr == θ

Page 15: Le dipôle électrostatique

Olivier GRANIER

Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique

Deux charges ponctuelles

(+ q et – q)

(Dipôle électrostatique)

+ q- q

Page 16: Le dipôle électrostatique

Olivier GRANIER

Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique

Lignes de champs :

a2

)( qN − )( qP +Oz

zur

M

r θ

rEr

θEr E

r

Ligne de champs

Sur la ligne de champ passant par M :

0rrr

=∧ Erd

θθ

θθ

uEuEE

udrudrrd

rr

r

rrr

rrr

+=

+=

0=− rEdrEdr θθ

Soit :

θ

θ

E

dr

E

dr

r

=

Page 17: Le dipôle électrostatique

Olivier GRANIER

Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique

En remplaçant les coordonnées du champ par leurs expressions :

On sépare les variables :

Soit :

θ

θ

θ sincos2

drdr=

θ

θθ

θ

θ

sin

)(sin2

sin

cos2

dd

r

dr==

))(ln(sin)(ln2θdrd =

On note r = r0 pour θθθθ = ππππ / 2, alors, en intégrant, on obtient l’équation en coordonnées polaires des lignes de champs (r0 est un paramètre) :

20

2

0

sin)ln(sinln θθ rrsoitr

r==

Page 18: Le dipôle électrostatique

Olivier GRANIER

Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique

Deux charges ponctuelles

(+ q et – q)

(Dipôle électrostatique)

+ q- q

Animations Rousseau

Page 19: Le dipôle électrostatique

Olivier GRANIER

Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique

V – Action d’un champ électrique extérieur sur un dipôle

On considère un dipôle électrostatique plongé dans un champ électrique E0qui peut être supposé uniforme à l’échelle du dipôle.

Quel est l’effet de ce champ sur le dipôle ?

Système étudié : le dipôle (rigide)

Référentiel d’étude : celui du laboratoire (supposé galiléen)

)( qN −

)( qP +

O

0Er

0Eqr

0Eqr

Le dipôle est soumis aux deux forces

et de résultante nulle.

Le dipôle est globalement soumis àun « couple de forces », dont le moment par rapport à O vaut :

0Eqr

0Eqr

Page 20: Le dipôle électrostatique

Olivier GRANIER

Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique

)( qN −

)( qP +

O

0Er

0Eqr

0Eqr

Soit :

)( 00 EqONEqOPM O

rrr−∧+∧=

00)( ENPqEqONOPM O

rrr∧=∧−=

0EpM O

rrr∧=

Sous l’effet d’un champ électrique, le dipôle se met à tourner afin de s’aligner selon le sens du champ (p et E0 dans le même sens, position

d’équilibre stable).

Page 21: Le dipôle électrostatique

Olivier GRANIER

Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique

)( qN −

)( qP +

O

0Er

0Eqr

0Eqr

Soit

Étude énergétique :

Soit V le potentiel dont dérive le champ E0 ; l’énergie potentielle du dipôle (rigide) dans ce champ est :

0.EpE p

rr−=

)()()( NVqPqVE p −+=

[ ])()( NVPVqE p −=

On rappelle que (E0 est un champ de gradient) :

Par conséquent, avec dV = V(P) – V(N) :

Et donc :

dVrdE −=rr

.0

NPONOPrd =−=r

).( 0 NPEqE p

r−=

Ep est minimale (position d’équilibre stable) quand p et E0 ont même sens.

Page 22: Le dipôle électrostatique

Olivier GRANIER

Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique

Application (solvatation des ions) :

+δδδδ−−−−δδδδ

+

+

−−−−δδδδ

−−−−δδδδ

−−−−δδδδ−−−−δδδδ

−−−−δδδδ

+δδδδ

+δδδδ

+δδδδ+δδδδ

+δδδδ

Lignes de champs

Ion positif (Na+ par exemple)

Molécule polaire H2O

Page 23: Le dipôle électrostatique

Olivier GRANIER

Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique

VI – Quadripôle électrostatiqueExercice n°5 (modèle de la molécule de CO2) :

Soit un ensemble de trois charges alignées : 2 q en O, - q en A(+ a,0) et - q en B(- a,0).

Calculer le potentiel V puis le champ E en un point M de l'espace situé àla distance r de O, en supposant r >> a.

)( qB − )( qA −)2( qOz

zur

M

r θ

On rappelle le développement limité(à l’ordre 2, pour x << 1) de :

( ) 22/1

8

3

2

111 xxx +−≈+

Page 24: Le dipôle électrostatique

Olivier GRANIER

Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique

)( qB − )( qA −)2( qOz

zur

M

r θ

)cos31(4

)(2

3

2

0

θπε

−=r

aqMV

r

VrEr

∂−=),( θ

θθθ

∂−=

V

rrE

1),(

Topographie : voir diapositive suivante

Page 25: Le dipôle électrostatique

Olivier GRANIER

Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique

Trois charges ponctuelles

(+ 2q, – q et - q)

(Quadripôle électrostatique)

+ 2q - q- q