Le doublement du cube Alexandre Noury et Alise Franck16 juin 2008

L’autre jour, en relisant avec un groupe d’amis le dialogue socratique « le Théétète », je pensais à ce que Lyndon Larouche souligne dans l’introduction de son essai : « En défense du sens commun », où il fait état de l’effort délibéré de Waterford (spécialiste anglais de la Grèce antique) dans sa traduction du Théétète, de détruire le concept de Puissance. Cette idée géométrique est au cœur du dialogue ; sans elle, la compréhension de la méthode socratique devient impossible.

Mon intention est ici d’ouvrir un chemin vers cette découverte fondamentale, qui fait partie des fondements de la géométrie constructive. Soyez révolutionnaires ! Jacques Cheminade nous a appris lors d’une présentation, que Jean Moulin comprenait l’essence de la pensée des Grecs, lui qui a su défendre la civilisation contre la barbarie et qui a su résister avec courage.

Alors prêts à devenir plus puissants ?

A / Le Théétète

[Socrate essayant d’enrayer la maladie mentale nommée sophisme, se trouve dans l’Agora d’Athènes en compagnie de l’élève de Théodore, Théétète. Après avoir trébuché une première fois à la question, qu’est-ce que la science ? Théétète répond :]

« Théodore que voici nous avait tracé quelques figures à propos des puissances et nous avait montré que celles de trois pieds et de cinq pieds ne sont point pour la longueur commensurables avec celle d’un pied, et, les prenant ainsi, l’une après l’autre, il était allé jusqu’à celle de dix-sept pieds et il s’était, je ne sais pourquoi, arrêté là. Il nous vint alors à l’esprit, en considérant que les puissances sont en nombre infini, d’essayer de les rassembler sous un terme unique, qui nous servirait à nommer toutes ces racines, et que nous appellerons : les puissances. »

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Théétète élabore :

« Toutes les lignes qui font du nombre équilatéral et plan, un carré, nous les avons défini « longueurs », et toutes celles qui, du nombre, aux dimensions inégales font aussi un carré, nous les avons définies puissances, en ce sens qu’en longueurs elles ne sont pas commensurables au premier mais le sont par les superficies dont elles sont la « puissance ». Et si on est dans les volumes on aura une autre distinction du même type. »

D’après Théétète, le côté du carré de surface 1 n’est pas commensurable avec le côté du carré de surface 2. Qu’est-ce que cela signifie ? Dans le dialogue du Ménon, Socrate démontre que l’esclave réussit en utilisant la diagonale, à générer un carré de surface double. Peut-on donc comparer le coté et la diagonale ?

En premier lieu comparons deux longueurs générées par un nombre différent de mêmes segments, prenons celui-ci ( _ ) comme unité de base. Voici nos deux longueurs A : _ _ _ _ et

B : _ _ _ _ _. Ces deux lignes ont ce que les pythagoriciens appelaient une relation rationnelle entre elles, exprimée sous la forme 4/5. Mais peut-on toujours trouver une unité commune entre les longueurs si elle ne nous est pas donnée au départ ?

L’algorithme d’Euclide nous permettra de trouver le segment commun, si il existe ! Il nous faut comparer la plus grande des deux grandeurs avec la plus petite et utiliser le reste pour essayer de le comparer avec la plus petite des deux grandeurs : par exemple si nous prenons ces deux longueurs :

C : _ _ _ _ _ _ _

D : _ _ _ _

Nous pouvons comparer C avec D _ _ _ _ /_ _ _.

Il nous reste E : _ _ _, qui peut être utilisé pour comparer ce reste à D : _ _ _/ _, maintenant nous avons notre unité commune qui se retrouve 3 fois dans E :

_/ _/ _.

Nous pouvons à présent déterminer que C vaut : 7 unités et que D en mesure 4.

Ceci sera vrai pour toutes les lignes qui sont construites à partir de la plus petite unité de longueur qui leur sera commune. Cette technique marche-t-elle à chaque fois ? Qu’est-ce qui ce passera si deux grandeurs n’ont pas de commune mesure ?

a/ Le Cas de la diagonale du carré

Prenons le cas du côté du carré (PQ) et sa diagonale (PR). Comme il est indiqué dans le dialogue de Platon le Ménon, la diagonale est la solution au problème posé, qui est de doubler la surface du carré. Ce problème prend en compte des aires et non des longueurs comme dans le cas précèdent. La présente diagonale n’a pas été créée par une simple addition de segment. Nous y appliquerons la même technique d’exhaustion que celle utilisée dans l’exemple

précèdent, pour comparer ces deux grandeurs. Prends tes ciseaux et du papier sinon aucune garantie de compréhension n’est assurée.

Plie le côté PQ sur la diagonale PR. Q atteindra le point T et PV sera la ligne de pliage. Regarde le segment PTR et tu obtiens la même situation que lorsque nous devions comparer C et D avec le reste E. Nous avons extrait la ligne PT (ou PQ) de l’hypoténuse PR, ce qui nous laisse le reste TR. Mais TV (et TR) sont similaires par construction à QV, et les cotés du carré étant égaux, QR-QV est similaire à PQ-TR, où TR est le reste de PR-PQ. Mais regarde, le petit triangle composé par le reste VTR a exactement les mêmes rapports que le triangle original PQR. Le résultat reproduisant les conditions initiales ce processus ne s’arrêtera jamais et nous trouverons toujours un reste plus petit. D’où l’idée que ces deux longueurs sont incommensurables, d’une nature différente l’une de l’autre car il est impossible de leur trouver commune mesure. L’action de rotation permet d’engendrer un segment doublé et seule une action de qualité supérieure (la combinaison d’une rotation et d’une extension) permettra de générer la diagonale, la racine du carré doublé.

Cette idée d’incommensurabilité est vraie pour d’autres domaines, Pasteur en son temps, effectua une distinction similaire entre les processus vivants et les processus non vivants, il prouva expérimentalement que le vivant ne peut pas être créé par le nonvivant.

b/ « Et si on est dans les volumes on aura une autre distinction du même type »

Théétète (-415 ; -395 av JC) prouve par cette réplique qu’il connaissait la construction d’Archytas (-435 ; -347 av JC), solution au problème de Délos, de doublement du cube.

Le problème a son origine dans une légende rapportée par Ératosthène dans Le Platonicien. Les Déliens, victimes d’une épidémie de peste, demandèrent à l’oracle de Delphes comment faire cesser cette épidémie. La réponse de l’oracle fut qu’il fallait doubler le volume de l’autel consacré à Apollon, autel dont la forme était un cube parfait. Les architectes allèrent trouver Platon pour savoir comment faire. Ce dernier leur répondit que le dieu n’avait certainement pas besoin d’un autel double, mais qu’il leur faisait reproche, par l’intermédiaire de l’oracle, de négliger la géométrie.

B/ Archytas et le doublement du cube

a/ Penchons nous à présent sur la nature du problème qui est posé

Nous pouvons voir dans la figure ci-contre que : dans le plan la ligne est doublée grâce a une action de rotation simple tandis que l’aire (du carré) est doublée par une action de rotation extension -action spirale. Il faudra une action de qualité supérieure, comme une spirale dans l’espace, pour engendrer la croissance (doublement) d’un cube.

b/ Proportions harmoniques et action circulaire, comprendre une moyenne géométrique

La rotation circulaire fournit le cas le plus simple et le plus caractéristique pour générer, en

tant que « projections » résultant d’actions d’ordre supérieur, des proportions harmoniques entre ce qui semble être des grandeurs scalaires (des segments de droites, par exemple).

Construisons un cercle avec un diamètre donné OA. Un point P se déplaçant le long du cercle entre O et A fera apparaître tout un ensemble de proportions harmoniques invariantes de la manière suivante.

En reliant le point P aux extrémités du diamètre, O et A, on produit un triangle OPA dont la forme change avec la position de P mais dont l’angle en P est toujours droit. Ensuite, projetons perpendiculairement P sur la ligne OA, et nommons le point de projection Q. A l’évidence, le triangle OPQ est aussi rectangle (angle droit en Q), et il partage un angle en O avec le triangle rectangle d’origine OPA. Les deux triangles restent donc constamment similaires lors du mouvement de P, et les rapports correspondants de leurs côtés restent égaux, en particulier OQ : OP = OP : OA. Cela revient à dire que la longueur OP est la moyenne géométrique entre OQ et OA. En inversant le procédé, nous pouvons construire la moyenne géométrique de n’importe quelles longueurs données OA et OQ en utilisant le cercle. Vous

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n’avez qu’à projeter le point Q sur la circonférence du cercle pour obtenir le point P. La moyenne géométrique était aussi connue dans la Grèce antique sous le nom de « moyenne unique entre deux extrêmes ».

Dans le cas du doublement du carré la moyenne géométrique est assez simple à trouver.

c/ Les moyennes proportionnelles et le doublement du cube

Archytas s’attaqua au problème du doublement du cube en résolvant le problème plus général de la construction de deux « moyennes proportionnelles » entre deux longueurs données a et b. Pour résumer, par « deux moyennes proportionnelles », nous entendons deux grandeurs x et y telles que, a et b étant donnés (a est supposé plus grand que b), b : x = x : y = y : a. Le doublement du cube correspond au cas spécial ou a = 2 et b = 1. La première des moyennes proportionnelles (x) correspond à l’arête du cube dont le volume est double de celui du cube unité. Pour voir d’où vient la double moyenne, imaginons un cube unité se transformant en cube double par le processus suivant : d’abord, « étirons » le cube dans sa largeur (c’est-à-dire horizontalement), sans changer sa hauteur et sa profondeur, de sorte qu’elle devienne égale à x ( longueur du côté du cube de volume double). Cette opération augmente le volume par le facteur x proportionnellement au

volume unité de départ. Ensuite, étirons en hauteur ce solide par le même facteur x, en gardant la largeur égale à x et la profondeur égale à 1. Enfin, étirons en profondeur ce solide par le facteur x, tout en gardant la largeur et la longueur égale à x. Le résultat final est un cube de côté x, le cube de volume double. Puisque chacune de ces trois transformations a accru le volume par le même facteur, la proportion de chaque volume par rapport au précédent sera la même (en l’occurrence x). Puisque le volume initial est 1 et le volume final 2, les volumes intermédiaires N et M constituent une série de moyennes proportionnelles 1 : N = N : M = M : 2. Etant donné que chaque opération « d’étirement » décrite ci-dessus augmente le volume par le facteur x, on a : N = x × 1 = x et M = x × N = x².

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Si nous regardons à présent un nombre doublé entre le cube de 1 et le cube de 8 il y a deux étapes 2 et 4 qui sont nos moyennes géométriques.

Nous connaissons notre cube de départ de volume 1 et son côté 1, ainsi que le cube de volume 8 ayant un côté de 2. Le processus de croissance continue n’est pas perceptible par nos sens ( nous ne voyons pas un cube double ni quadruple), nous pouvons cependant imaginer un cube de volume 1 croître jusqu’à 8 ( son côté passant de 1 à 2), tout en figeant ce processus au moment ou le cube est égal à 2 et 4.

Nous cherchons à engendrer la première moyenne géométrique d’une série de deux moyennes entre deux extrêmes. Nous avons donc ici nos 2 extrêmes OM et OA, ou 1 et 2, et nos deux moyennes OQ et OP, tels que OM/OQ=OQ/OP=OP/OA. Comment générer un espace géométrique où nous aurons nos deux demi-cercles se succédant dans le même plan, créant notre machine à moyenne ?

d/ Essayons cette construction dans le plan

La construction du cercle telle que nous l’avons faite, appliquée à un cercle de rayon OA = 2, génère déjà la « moitié » de la proportion requise, à savoir OQ : OP = OP : 2.

En réfléchissant à cela, la stratégie suivante s’impose d’elle-même : introduisons un second degré de rotation générant « l’autre moitié » de la double proportion, c’est-à-dire 1 : OQ = OQ : OP. Il nous faudra alors combiner d’une manière ou d’une autre les deux actions circulaires afin qu’elles produisent un événement lors duquel deux conditions se réalisent simultanément ; cela nous donnera la double moyenne recherchée : 1 : OQ = OQ : OP et en même temps OQ : OP = OP : 2.

Pour obtenir la proportion 1 : OQ = OQ : OP de la manière suggérée, nous aurions besoin d’un second cercle de diamètre OP, remplissant les conditions suivantes :

1) Le point Q (projection de P sur le diamètre du premier cercle) doit aussi être un point du second cercle.

2) Q doit se projeter en M sur le second diamètre OP de telle sorte que la distance OM ait la longueur requise 1.

Un peu de géométrie nous montre que la condition (1) est remplie pour toutes les positions de P sur le premier cercle mais que la condition (2) n’est remplie que pour une seule position de P (plus son image symétrique). Comment pourrions-nous générer ce lieu en tant qu’événement constructible ? Simple, en principe ! Imaginons que l’on construise, pour chaque position de P (celui-ci se déplaçant sur le premier cercle), un cercle correspondant autour du diamètre OP. En procédant de la sorte, nous obtenons une famille continue de cercles dont le diamètre OP change d’angle et de longueur selon le mouvement de P. Pour chaque cercle de ce type, générons les points correspondants Q et M, comme indiqué en (1) et (2) ci-dessus. Quand P traverse la circonférence du premier cercle, le mouvement de la courbe M traverse une certaine courbe à l’intérieur du cercle. Traçons maintenant un troisième cercle de rayon 1 autour du point O. Il est facile de voir que la courbe tracée par M’ coupera le troisième cercle en un certain endroit. En ce point, OM = 1, les conditions (1) et (2) sont remplies, et pour les positions correspondantes de P et Q les proportions désirées 1 : OQ = OQ : OP sont établies. Une fois relié avec la proportion OQ : OP = OP : 2, cela détermine OQ et OP à être les deux moyennes proportionnelles entre 1 et 2. Le problème est résolu ! Toutefois, on pourrait objecter, non sans raison, qu’aucune véritable méthode n’est présentée permettant de tracer réellement la courbe définissant les points M’. Il va de soi qu’il n’est pas suffisant de simplement demander : « Marquez sur chaque cercle appartenant à la famille infinie de cercles, le point correspondant M’. » En effet, si nous commencions à marquer les cercles et les points un par un, nous n’aurions jamais plus qu’un ensemble discret* et nous n’arriverions jamais à une courbe continue. D’un autre côté, il est possible avec un peu d’ingéniosité de construire un mécanisme physique relativement simple permettant de tracer la courbe requise, laquelle sera obtenue par le mouvement de P sur la circonférence du cercle

d’origine. La méthode ainsi développée est similaire à la tactique utilisée par Nicomède quand il dessina mécaniquement une courbe – la conchoïde – pour doubler le cube.

* ensemble de points distincts

C/ Construire physiquement la racine cubique de 2

Tapez « Doublement du cube » sur « Google » ou « Wikipédia » et la magie de l’information s’ouvrira à vous. En se référant aux travaux de Laurent Wantzel (1814-1848), on vous expliquera qu’il est impossible de doubler le cube, étant donné que la racine cubique de deux ne peut être tracée à la règle et au compas dans le plan.

Je vous propose donc de sortir du plan pour visualiser comment Archytas a trouvé une construction géométrique engendrant notre série de moyennes géométrique dans l’espace. Achytas combine plusieurs actions de rotation permettant de créer dans l’espace ce que nous recherchons.

Archytas commence en partant d’une sphère de rayon 1 avec OA notre diamètre horizontal, et notre cercle équatorial de rayon 1.

Un cylindre s’élève perpendiculairement au cercle équatorial. (Voir Figure 12)

Rapportons à présent le rayon O1 de longueur 1 sur notre demi cercle, générant le point B.

Prologeant le segment OB jusqu’à B’ ( l’intersection de la perpendiculaire à OA). La rotation de notre triangle OB’A autour du diamètre OA va créer un cône générant un cercle Z ( la coupe du cône au point B perpendiculairement à OA). Ce cercle Z nous offre la posibilité de placer notre point M sur ce même cercle avec une distance égale à 1. De plus l’intersection entre le cône et le

cylindre nous donne une courbe représentant tout les segments PQ en fonction des points M choisis.

Voici ici 3 exemples avec P1, P2 et P3 présents sur le cylindre. (Voir Figure 13)

Nos conditions OM/OQ=OQ/OP avec OM=1 sont acquises, il nous faut à présent fixer notre figure pour obtenir la deuxième partie de notre relation avec OA’ =2.

Nous devons faire tourner autour de l’axe passant par O et perpendiculaire à OA notre grand cercle OPA’, cette action engendre un tore intersectant notre cône. (Voir Figure 14)

L’intersection entre le cylindre et le tore crée une courbe réalisée ici en moulure. (Voir Figure 15)

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L’intersection entre nos 2 actions, le cylindre et le tore, crée la position recherchée car le cône trace lui sur le cylindre une courbe de point P telle que OM=1 dans le triangle OPA’. L’intersection du tore et du cône avec le cylindre nous permettra donc d’obtenir le triangle OPA avec OA=2 et OM=1, nous obtenons notre relation OM/OQ=OQ/OP=OP/OA. (Voir Figure 16 et Figure 17)

Sachant que notre premier extrême est 1 et notre deuxième est 2, nous avons donc engendré deux moyennes

géométriques entre le cube de côté 1 et le cube de côté 2. Notre première moyenne géométrique n’est autre que ³√2, soit OQ, qui est également le côté constructible de notre cube de volume recherché.

Construisez ce mécanisme et expérimentez en créant les deux cubes. Voyez si vous pouvez mettre deux cubes d’eau de volume 1 dans votre cube de volume 2.

Voici donc l’un des trois problèmes de la géométrie grecque résolu.

En cadeau, voilà trois animations qui permette de voir cela en mouvement :

ANIMATION 1, ANIMATION 2, ANIMATION 3

Annexe : rapport Eudemes sur la construction d’Archytas

Les Présocratiques, (Archytas), Collection La Pléiade Eutocios

Voici la solution d’Archytas, rapportée par Eudème, [au problème suivant :] Soit les deux droites données ΑΔ et Γ, il faut trouver entre ΑΔ et Γ deux moyennes proportionnelles.

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Traçons le cercle ΑΒΓΖ ayant pour diamètre ΑΔ qui est la plus grande [des deux droites] ; et inscrivons [la droite] ΑΒ, de grandeur égale à Γ, que l’on prolonge jusqu’à ce qu’elle rencontre en Π la tangente au cercle en Δ. Menons [en Β] la droite ΒΕΖ parallèle à ΠΔΟ, et concevons qu’un demi cylindre s’élève perpendiculairement sur le demi cercle ΑΒΔ, et que s’élève sur ΑΔ un demi-cercle perpendiculaire reposant sur le parallélogramme du demi cylindre.

Quand ce demi-cercle est mû de Δ en Β, l’extrémité Α du diamètre demeurant immobile, il coupera la surface cylindrique en [effectuant son] mouvement, et tracera sur elle une certaine courbe. Puis, si ΑΔ demeure immobile, et si le triangle ΑΠΔ pivote [autour de sa base ΑΔ ] selon un mouvement opposé à celui du demi cercle, il produira une surface conique au moyen de la droite ΑΠ qui, au cours de son mouvement, rencontrera la courbe [tracée] sur le cylindre en un certain point. Et en même temps, Β décrira un demi cercle sur la surface du cône. Faisons alors prendre, en correspondance avec le point de rencontre des courbes, au demi cercle mû [de Δ en Β] la position Δ′ΚΑ, et au triangle mû selon un mouvement opposé la position ΑΛΔ ; soit Κ le point de rencontre dont nous avons parlé, et soit ΒΜΖ le demi cercle décrit à partir de Β ; soit encore ΒΖ sa section commune, avec le cercle ΒΔΖΑ ; si l’on abaisse à partir de Κ une perpendiculaire au plan du demi cercle ΒΑ, elle tombera sur la circonférence du cercle étant donné que le cylindre est droit. Abaissons la et [appelons la] ΚΙ ; la droite partant de Ι pour rejoindre Α rencontrera ΒΖ en Θ, tandis que ΑΛ (coupe) en Μ le demi-cercle ΒΜΖ, et que ΚΔ, ΜΙ et ΜΘ se trouvent jointes.

Puisque donc chacun des demi cercles Δ′ΚΑ et ΒΜΖ est perpendiculaire au plan horizontal, leur section commune ΜΘ est perpendiculaire au plan

du cercle, de telle sorte que ΜΘ est aussi perpendiculaire à ΒΖ. Donc le [rectangle] formé par ΒΟΖ, c’est à dire le [rectangle] formé par ΑΘΙ, est égal au [carré] élevé sur ΜΘ. Le triangle ΑΜΙ est donc semblable à chacun des triangles ΜΙΘ et ΜΑΘ, et l’[angle] ΙΜΑ est droit. Quant à l’(angle) Δ′ΚΑ, il est droit lui aussi. Donc ΚΑ′ et ΜΙ sont parallèles et sont proportionnelles, de sorte que Δ′Α est à ΑΚ ou encore ΚΑ est à ΑΙ ce que ΙΑ est à ΑΜ, en vertu de la similitude des triangles. Donc les quatre droites ΔΑ, ΑΚ, ΑΙ et ΑΜ forment une proportion continue. Et ΑΜ est égale à Γ, puisqu’elle est égale à ΑΒ. Donc, les deux droites ΑΔ et Γ étant données, deux moyennes proportionnelles ont été trouvées, ΑΚ et ΑΙ.

(Commentaire sur De la sphère et du cylindre d’Archimède, dans Archimède, Heiberg)

La première construction fait partie du rapport d’Eudème tirée du livre cité ci-dessus.

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Ces représentations en 2 Dimensions sont une « aide », mais il se transforme en piège si l’on n’effectue pas la construction physique ; dans un Univers qui heureusement n’est pas plat.