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EMMA CASTELNUOVO, DANIELA ET CLAUDIO GORI-GIORGI LE LANCEMENT DES PROJECTILES Le sujet "le lancement des projectiles" a 6t6 developp6 cette ann6e pendant un mois et demi dans deux classes d'enfants de 13-14 ans. Ce sont des 616ves d'une "Scuola Media" de Rome et c'est Emma qui est leur professeur de math6matique. 1. LA GEOMETRIE "DE BASE" Avant de parler du d6veloppement de ce sujet, il est bon de dire quelque chose sur les connaissances et la sensibilit6 math6matique de ces enfants. Emma les avait requs en 1~ classe (11 ans): ils venaient de l'6cole 616mentaire et ils avaient une vision assez statique de la g6om6trie. Pour cette raison ils ont 6t6 fort 6tonn6s en se trouvant en face de figures qu'ils pouvaient articuler, d6former, transformer (telles qu'un carr6 articul6 ou un rectangle dont les diagonales, r6alis6es au moyen de barres, pivotent autour de leur point d'intersection) et qui, h cause de leur mobilt6, les conduisaient h de gros probl6mes de cas limites, de maximum ou de minimum, d'invariants. Probl6mes qui, repris plusieurs lois au cours des trois ans de l'6cole moyenne h propos de questions les plus vari6es, les avaient conduits h entrer toujours plus profonde- ment dans la notion de fonction (Castelnuovo, 1979; Castelnuovo et Barra, 1976). C'est toujours dans le m~me esprit d'une g6om6trie dynamique que,/t partir de la premi6re classe, on avait introduit les coniques: l'ellipse ~t partir des triangles de base et p6rim6tre constants; l'hyperbole ~ partir des rectangles 6quivalents; la parabole ~ partir du probl6me de la variation de l'aire du carr6 en fonction de la longueur du c6t6. En sus le sujet "coniques" a toujours accompagn6 les 616ves pendant les trois ans soit du point de rue g6om6trique soit sous l'aspect analytique. De la parabole (conique qu'il nous semblait int6ressant de d6velopper particuli6rement ~ cause de son application au lancement des corps), les enfants s'6taient rendu compte, ~ partir du cas y =x 2 (Figure 1), de la signification concrdte du cas y = ax 2, avec a positif ou n6gatif selon la concavit6 (Figure.2). La repr6sentation graphique, comprise d'une faqon dynamique, a 6clairci la signification de y = ax 2 + c, ofa chaque point a subi une translation de c en direction de l'axe (Figure 3). Une fois ce cas r6solu, les 616ves, eux-m~mes, se Educational Studies in Mathematics lO (1979) 147-159. 0013-1954/79/0102-0147/$01.30 Copyright 1979 by D. Reidel Publishing Co., Dordrecht, Holland, and Boston, U.S.A.

Le lancement des projectiles

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EMMA C A S T E L N U O V O , D A N I E L A ET C L A U D I O G O R I - G I O R G I

L E L A N C E M E N T D E S P R O J E C T I L E S

Le sujet "le lancement des projectiles" a 6t6 developp6 cette ann6e pendant

un mois et demi dans deux classes d'enfants de 13-14 ans. Ce sont des 616ves

d 'une "Scuola Media" de Rome et c'est Emma qui est leur professeur de

math6matique.

1. LA G E O M E T R I E "DE BASE"

Avant de parler du d6veloppement de ce sujet, il est bon de dire quelque

chose sur les connaissances et la sensibilit6 math6matique de ces enfants.

Emma les avait requs en 1 ~ classe (11 ans): ils venaient de l'6cole 616mentaire et ils avaient une vision assez statique de la g6om6trie. Pour cette raison ils ont 6t6 fort 6tonn6s en se trouvant en face de figures qu'ils pouvaient articuler,

d6former, transformer (telles qu 'un carr6 articul6 ou un rectangle dont les diagonales, r6alis6es au moyen de barres, pivotent autour de leur point d'intersection) et qui, h cause de leur mobilt6, les conduisaient h de gros

probl6mes de cas limites, de maximum ou de minimum, d'invariants. Probl6mes

qui, repris plusieurs lois au cours des trois ans de l'6cole moyenne h propos de questions les plus vari6es, les avaient conduits h entrer toujours plus profonde- ment dans la notion de fonction (Castelnuovo, 1979; Castelnuovo et Barra, 1976).

C'est toujours dans le m~me esprit d'une g6om6trie dynamique que,/ t partir de la premi6re classe, on avait introduit les coniques: l'ellipse ~t partir des

triangles de base et p6rim6tre constants; l 'hyperbole ~ partir des rectangles 6quivalents; la parabole ~ partir du probl6me de la variation de l'aire du carr6

en fonction de la longueur du c6t6. En sus le sujet "coniques" a toujours

accompagn6 les 616ves pendant les trois ans soit du point de rue g6om6trique

soit sous l'aspect analytique.

De la parabole (conique qu'il nous semblait int6ressant de d6velopper

particuli6rement ~ cause de son application au lancement des corps), les enfants s'6taient rendu compte, ~ partir du cas y = x 2 (Figure 1), de la signification concrdte du cas y = ax 2, avec a positif ou n6gatif selon la concavit6 (Figure.2).

La repr6sentation graphique, comprise d'une faqon dynamique, a 6clairci la signification de y = ax 2 + c, ofa chaque point a subi une translation de c en direction de l'axe (Figure 3). Une fois ce cas r6solu, les 616ves, eux-m~mes, se

Educational Studies in Mathematics lO (1979) 147-159. 0013-1954/79/0102-0147/$01.30 Copyright �9 1979 by D. Reidel Publishing Co., Dordrecht, Holland, and Boston, U.S.A.

148 E. C A S T E L N U O V O , D. E T C . G O R I - G I O R G I

,Y

J DX

Fig. 1.

r

; l

\\ \

Fig. 2.

sont demand~ ce qui arrive ~ l'~quation y = x e si, en plus d'une translation de direction y , les points subissent une translation de direction x (Figure 4).

On voit que les points se d~placent alors par la r~gle du parall~logramme. Par consequent, si le point P ( x , y ) de la parabole y = x ~ va en P'(x ' , y ' ) , son ordonn~e reste la m~me tandis que son abscisse est l'ancienne abscisse

augment~e de b. Cette observation nous conduit ~ ~crire

y = ( x - b ) ~,

c'est-~-dire

y = x 2 - - 2 b x + b 2

LE LANCEMENT DES P R O J E C T I L E S

J

149

Fig. 3.

c b i ,

Fig. 4.

Pourtant, l'6quation d'une parabole passant par l'origine et avec axe parall61e/t l'axe desy sera

y = a x 2 + b x .

Ce d6veloppement a 6t6 fait assez rapidement bien que les 61~ves connussent tr6s peu du calcul litt6ral. Mais ils ~taient fort motiv6s: ils voulaient arriver/t se rendre compte du lancement des projectiles.

C'est justement/t cause de la difficult6 du calcul litt6ral qu'on est rite pass6 /t la pattie physique, sot que la motivation concrete aiderait/t surmonter les obstacles alg~briques.

150 E. C A S T E L N U O V O , D. ET C. G O R I - G I O R G I

2. LE L A N C E M E N T D ' U N C O R P S . LA T R A J E C T O I R E

On a commenc~ en montrant aux 616yes une gravure duMoyen Age repr6sentant

le lancement de projectiles fait par un canon (Figure 5). La trajectoire est

clairement indiqu6e: la balle monte en ligne droite et, arriv6e h une certaine hauteur, retombe verticalement.

-. / / '7 , ;

- '

Fig. 5.

Les 616ves ont 6t6 vraiment frapp6s du fait que les ph6nom6nes les plus naturels que nous avons tousles jours sous nos yeux - la chute des graves et le

lancement des co rps - ont dti attendre jusqu'au 176me si6cle pour ~tre 6claircis. Encore un si6cle avant Galil6e (Galilei, 1958), le math6maticien Nicolb Tartaglia, bien connu pour la r6solution des 6quations alg6briques mais aussi pour ses travaux de balistique, soutenait que la trajectoire d'une balle lanc6e d 'un canon 6tait form6e d 'un trait de ligne droite qui montait, et, en descendant, d 'un petit arc de cercle et finalement d'une trait vertical. C'est seulement ~t l '6poque de la R6naissance que les hommes ont commenc6 ~ mieux voir, c'est-~t-dire exp6rimenter et math6matiser.

Les 616ves connaissaient d6j~ la loi de la chute des corps

s -- �89 2

L E L A N C E M E N T D E S P R O J E C T I L E S 151

ot~ s repr6sente l'espace pareouru dans un temps t et g est l'acc616ration de gravit6.*

Pour 6tudier le laneement d'un corps on a divis6 l'6tude en deux parties: (1) lancement en vertical; (2) laneement en oblique. On a suivi la voie elassique (Levi-Civita, Amaldi, 1923; Marion, 1971; Resniek, Halliday, 1966). Pour le premier cas il a 6t6 facile d'6crire la loi du mouvement: ~ cause de la vitesse initiale, s'il n 'y avait pas l'aec616ration g, le corps se d6plaeerait d'apr6s la loi

du mouvement uniforme; mais il y a g, et on a vu route/ t l'heure son effet. On a done:

s = v t - - � 8 9 2.

Pour le lancement en oblique, on a d6eompos~ la vitesse initiale v e n deux eomposantes, horizontale vx et vertieale vy (Figure 6).

My

0 Vx

Fig. 6.

On a done, sur le plan cart6sien les deux 6quations

(a) x = v x . t

(b) y = vy . t - - � 8 9 2.

Or,/t ehaque instant, les (a) et (b) se v~rifient sirnultan6ment; les 616yes se sent rendu eompte de la signification conerdte de la phrase "diminer la variable t". On a

x t ~ - -

Vx

* Si cette loi n 'es t pas connue par les 616ves, on peut la faire d6couvrir de faqons diff6rentes: - suivant la voie exp6rimentale; - par des consid6rations sur la vitesse moyenne ; - au moyen de l 'analyse dimensionnelle, m6thode de grand int6r6t didactique et scientifique

(Bridgman, 1922; Hunt ley, 1952).

152 E. C A S T E L N U O V O , D. E T C . G O R I - G I O R G I

et done

1 g x 2 + V y x . Y = - - ' 2 v-~ Vx

On a bien r6fl~chi sur cette 6quation: g est constant, et v x et vy sont des

nombres. La r6action des ~l~ves a ~t6 immediate: il s'agit de l'~quation d'une

parabole! Encore une fois ils sont frappes de la force de la math6matique: e'est

en effet l '6quation qui nous assure que la trajectoire est une parabole. On se

rappelle alors les gravures du Moyen Age et l 'hypoth~se dr61e du math6maticien

Tartaglia.

3. UN EXE MPL E N U M E R I Q U E ET . . . UNE DI~COUVERTE

SUR LA PORTI~E

Voici un exemple: un canon imprime ~t la halle une vitesse de 5 0 0 m s -t .

L'inclinaison du canon par rapport ~t l 'horizontale peut changer, ce qui veut dire qu 'on change les composantes v x et Vy. On prend par exemple

v x = 300 et vy = 400,

et on est stir par le th6or6me de Pythagore que ces composantes correspondent

~t une r~sultante 6gale ~ 500. On a 6crit 3 et 4 ~t la place de 300 et 400, et 10 ~ la place de 9, 8, valeur

de g. Voici l '~quation:

4 1 10 2 + _ x Y - 2 3 q x 3

c'est-~t-dire

4 y = - - x 2 + - ~ x .

11 faut maintenant dessiner cette parabole. On se demande: ~t queue distance

du canon, plac6 en O, retombe la bane? On regarde bien la figure (Figure 7):

la balle retombe au sol en A, lorsque son hauteur y est 6gale ~ zero. Pour avoir la distance OA, qu'on appelle la port6e, il faut done imposer ~ y d'6tre nul,

c'est-h-dire on doit avoir

5 2 4 = o .

On voit bien, toujours a partir du dessin, qu'il y a deux solutions: l'origine et le point A pour lequel

LE LANCEMENT DES PROJECTILES 153

i

0

,y

| A !

d'o5

Fig. 7.

5 4 = o ,

12 x - 5 - 2,4.

Il est 6vident que l'axe de la parabole sera

6 x - 5 - 1 , 2 .

Connaissant l'abscisse c'est facile de trouver l'ordonn~e du sommet:

5 3 6 4 6 4 8 4 + - I- - - 0 , 8 .

Y = 9 2 5 3 5 5 5 5

Il faut bien souligner que c'est l'int&~t pour le probl6me physique qui a pennis

aux ~ldves de surmonter les dffficult6s alg~btiques.

80

240 ~ x

Fig. 8.

Maintenant on est a m~me de dessiner (Figure 8) la parabole avec precision. On revient a la r~alit~:

154 E. C A S T E L N U O V O , D. E T C . G O R I - G I O R G I

on pense "en m~tres":

port6e = 240 m; hauteur maximale = 80 m.

A c e point on a propos~ d'~changer v x avec vy, c'est-~t-dire de prendre

Vx = 4 et vy = 3.

La r6action a 6t~ imm6diate: "cette f o i s - c'est ~vident- la port6e sera plus

grande". On a fait les calculs. R6sultat: mCme port6e. "Evidemment - ils ont dit - on

s'est tromp6 dans les calculs". Mais, ils ont constat~, il n 'y avait pas d'erreur. Alors on a voulu traiter d'autres cas num6riques, et chaque fois l'~change

de Vx avec vy donnait le m~me port~e. Pourquoi? L'intuition physique n'aurait

jamais pr6vu ce r~sultat. Un des ~l~ves a demand~ si on pouvait trouver une r~gle g6n~rale pour la port6e. On a pens6 qu 'on pouvait proc~der de la m6me

faqon sans mettre des hombres ~ la place de vx et de vy. On a travaill6

ensemble: une exp6rience formidable! Tout le monde voulait suivre, voulait comprendre: on a pos6 y = 0 et on a eu l'origine et le point A pour lequel

1 g x + ~ _ = 0 2v~ vx

d'ofi 2v x vy

X ~ " - -

g

Maintenant on se rend compte pourquoi la port6e ne change pas lorsqu'on

6change vx avec v~. Et - r6action de tous les ~l~ves: "mais, vxv~ est l'aire du rectangle dont la diagonale est v " (Figure 9).

Ils regardent le dessin, ils refl6chissent, et "il s'agit du quart de 'notre '

rectangle construit avec des barres de m~cano!" (Figures 10 et 11).

My

Fig. 9.

J

LE LANCEMENT DES P R O J E C T I L E S 155

/

/

My

\

Fig. 10.

Fig. 11.

Cons6quence imm6diate: "l 'aire est maximale darts le cas d 'un carr6,

c'est&-dire si les diagonales sont perpendiculaires, et doric si le canon forme avec l 'horizontale un angle de 45 ~ L 'un a impliqu~ l 'autre: ils 6taient fort excites, ils avaient l ' impression d'une d6couverte faite sans l 'aide de personne. L 'exci tat ion 6tait une consequence du fait que, au moyen de la #om~t r i e , ils avaient d~couvert des propri6t6s 6 t r an#res / t l ' intuition physique.

On a pouss6 l '~tude encore plus loin, toujours aid~ par "no t re" rectangle avec les diagonales r~alis~es en m~cano: si v x = v y , c'est&-dire darts le cas du carr6, l'aire est donn6e par

156

On a alors:

E. C A S T E L N U O V O , D. E T C . G O R I - G I O R G I

vv 7) 2

2 2

2(v2/2) v = X m a x - - g g

Dans le cas num6rique de tout ~t l 'heure on avait v = 5 et done la port6e maximale sera

25 25 Xma~ = - - 2, 5.

g 1O

Done, si la vitesse imprim6e par le canon est de 5OGres - l , la plus grande

port6e qu 'on peut atteindre est de 250 m6tres (sans tenir eompte de la

r~sistance de Fair). La r6gle de la port6e permet de calculer l 'ordonn6e du sommet de la parabole.

Dam le cas de la port6e maximale on d6couvre clue l 'ordonn6e du sommet est le quart de la port6e.

4. DE LA P H Y S I Q U E A LA M A T H s

LA C O N S T R U C T I O N DE LA P A R A B O L E

Revenons ~t la physique et proposons-neus de saivre la balle ~t tout instant.

On lance le projectile de O (Figure 12) avec la vitesse initiale 7; o (dam le dessin on a prit vx = 4 et vy = 6). Apr~s la premi&e seconde le projectile

arrive en A o.

Vv

Vx Fig. 12.

LE L A N C E M E N T DES P R O J E C T I L E S

Y

. v ,

-- ~ S I I v / ;

! . . . . k x

157

Fig. 13.

Or, s'il n 'y avait pas d'acc616ration de gravit6, le projectile continuerait dans la m6me direction pendant la deuxi6me seconde, et il se d6placerait d'antant.

Mais il y a l'acc~16ration g, repr6sentant une vitesse darts l'unit6 de temps,

qui agit en direction verticale: dans le dessin (Figure 13) on a indiqu6 ce vecteur par 2 unit6s. Les deux vecteurs, Vo et g, se composent selon la r6gle du paraU61ogramme, et on obtient vl : le projectile arrive en Z/~ la fin de la

deuxi6me seconde.

~Y

/•V I " V5" ~

D X

Fig. 14.

158 E. C A S T E L N U O V O , D. E T C . G O R I - G I O R G I

Et le discours continue: s'il n 'y avait pas g, dans la troisi6me seconde le

projectile se d6placerait en direction vl , mais on doit composer vl avec g e t

on obtient vz. Et ainsi de suite. Dans la Figure 14 "on volt" naitre la courbe-

enveloppe: c'est la parabole d6couverte par le moyen analytique. Et maintenant observons la Figure 15: on a prolong6 les droites v l , v2,

v3 . . . . . qui rencontrent vo en Ao, A1, A2 . . . . et v6 en B o , B 1 , B 2 , . . . .

I Y v6,,~, ' Vo

I ! t

Fig. 15.

I1 est facile de comprendre que les segments AoA2, A 2 A 4 , �9 �9 �9 sont ~gaux comme diagonales de rectangles 6gaux (de dimensions 4 et 6).

Mais de m~me A o A I = A I A 2 , A 2 A 3 = A a A 4 , . . . , car A 1 , A 3 , . . . sont les centres de rectangles ~gaux (il suffit d'observer l'inclinaison des droites

v2, v4 . . . . - chose facile si le dessin est fair sur une feuille quadrill6e). On conclut que la droite Vo est divis~e en parties 6gales; m~me chose pour

la droite v6. Remarquons qu 'on a joint le premier point de division d'une de

ces droites avec le dernier de l 'autre, le deuxi~me point de l 'une avec l'avant- demier de l ' a u t r e , . . , et que cette construction nous a conduit h l'enveloppe d'une courbe; courbe qui est une parabole, ce qu 'on salt par l'~quation. On d~couvre ainsi - et c'est la physique qui nous a conduit h cette d~couverte - la

construction projective de la parabole (Figure 16). I1 n 'y a pas besoin de souligner la richesse de notions de math6matique et

de physique que ce sujet comporte. Mais il y a, ~ notre avis, une chose qui est

LE L A N C E M E N T DES P R O J E C T I L E S 159

Fig. 16.

encore plus formative: on se rend compte que s'il est difficile de "bien voir en

math~matique", il est parfois encore plus dffficile de "bien pr6voir en physique".

L'enthousiasane avec lequel t o u s l e s 61~ves de deux classes ont suivi ce sujet

nous a p o u s ~ a y faire part iciper nos coH~gues.

B I B L I O G R A P H I E

Btidgrnan, P. W., Dimensional Analysis, New Haven, 1922. Castelnuovo, E., La matematica, I numeri, La Nuova Italia Editrice, Firenze, 1979a. Castelnuovo, E., La matematica, La geometria, La Nuova Italia Editrice, Firenze, 1979b. Castelnuovo, E. and Barra, M., Matematica nefla realtd, Boringhieri, Torino, 1976;

traduction franqaise OCDE. Galilei, G., Discorsi e dimostrazioni intorno a due nuove scienze, Boringhieri, Torino,

1958. Huntley, H. E., Dimensional Analysis, London, 1952. Levi-Civita, T. and Amaldi, U., Lezioni di meccanica razionale, Zanichelli, Bologna, 1923. Marion, J. B., Physics and Physieal Universe, Wiley, London, 1971. Resnick, R. and Halliday, D., Physics, Wiley, London, 1966.