LE LIVRE COMPLET EN ALGEBRE D’ABU KAMIL · 2016. 5. 6. · Fath, et Abu Kamil donc, surnommé le cal-culateur égyptien, sans qu’aucune infor-mation biographique le concernant

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LE LIVRE COMPLET EN ALGEBRE D’ABU KAMIL

Odile KOUTEYNIKOFFGroupe M.:A.T.H. Irem de Paris VII

REPERES - IREM. N° 61 - octobre 2005

successeurs immédiats d’al-Khwarizmi, quiétudient et commentent son traité. Parmieux, Abd al Hamid Ibn Wasi Ibn Turk al Jili,contemporain, Thabit Ibn Qurra, très grandmathématicien mort en 901, Sinan Ibn al-Fath, et Abu Kamil donc, surnommé le cal-culateur égyptien, sans qu’aucune infor-mation biographique le concernant ne puisseaujourd’hui être attestée.

Dans son livre intitulé Le catalogue [4] lebibliographe de Bagdad, Muhammad Ibn an-Nadim, mort en 990, attribue à Abu Kamil ungrand nombre d’ouvrages, mais peu d’entre euxont été retrouvés à l’heure actuelle :

Le livre sur l’arpentage et la géométrie[15] traite de nombreuses questions pratiques,de calcul ou de géométrie.

Il n’est pas possible de parler du mathé-maticien arabe Abu Kamil Shuja Ibn AslamIbn Muhammad (~850 ~930) sans évoquerson prédécesseur illustre, Muhammad IbnMusa al-Khwarizmi (~780 ~850), en qui AbuKamil lui-même reconnaît le fondateur del’algèbre.

Originaire d’Asie centrale, al-Khwa-rizmi a été mathématicien et astronome àla Maison de la Sagesse de Bagdad, sous lerègne du Khalife al-Ma’mun (813–833).L’ouvrage pour lequel il est célèbre, L’abré-gé du calcul par les procédés du jabr (res-tauration) et de la muqabala (réduction)[3], peut être considéré comme l’acte denaissance de l’algèbre. Deux raisons à cela :l’intérêt propre de son contenu et aussil’intérêt qu’y portent les contemporains et

Résumé : Abu Kamil, à la jonction des 9ème et 10ème siècles, est un maillon important de lachaîne de développement et de diffusion de sa discipline, à la fois fidèle à son prédécesseur al-Khwarizmi, le fondateur de l’algèbre, et influent sur ses propres successeurs. Sa rigueur et lesavancées théoriques qu’on lui doit ont été déterminantes pour l’élaboration de l’algèbre, au momentoù elle émerge des disciplines antérieurement établies que sont l’arithmétique et la géométrie.


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Le Livre sur les choses curieuses en cal-cul [2] est consacré aux systèmes d’équations.Six problèmes y sont traités, mais dans uneperspective qui dépasse le simple exposé desalgorithmes de résolution puisqu’il s’agit,pour l’auteur, de montrer l’existence des sys-tèmes impossibles, de ceux ayant une et uneseule solution et, enfin, de ceux qui peuventavoir plusieurs solutions [6, p. 271].

Le livre complet en algèbre [1] est d’unegrande importance historique et théoriquepuisque c’est un commentaire et aussi unprolongement du traité d’al-Khwarizmi. Ilcomporte trois parties distinctes ou livres,inégalement diffusées.

Le livre III présente un ensemble de tren-te-huit équations ou systèmes d’équations du pre-mier ou du second degré, dont le second membreest toujours un carré [16]. La forme de ces pro-blèmes fait penser au contenu des Arithmé-tiques de Diophante dont la traduction en arabepar Qusta Ibn Luqa, mort en 910, est contem-poraine des travaux d’Abu Kamil. On ignore siAbu Kamil a eu connaissance des Arithmétiques.Il aborde ses problèmes « d’analyse indétermi-née » comme des problèmes d’algèbre. Les vingt-cinq premiers problèmes, dont la formulation moder-ne se ramène à l’écriture d’une équation à deuxinconnues, relèvent d’un même groupe, et AbuKamil énonce une condition nécessaire et suffi-sante pour qu’ils admettent des solutions ration-nelles positives. Les treize problèmes suivantssont également susceptibles d’une formulationmoderne unique par un système de deux équa-tions à trois inconnues et Abu Kamil en donneméthodiquement des solutions particulières. Ontrouve aussi un système de quatre équations àquatre inconnues, trente-neuvième problèmequi semble indépendant des précédents. 1

Les livres I et II ont fait l’objet de traductionset d’études plus nombreuses que le livre III.On dispose, comme pour Le Livre sur leschoses curieuses en calcul, à la fois d’un texteen latin, qui daterait du treizième siècle auplus tard, et d’un texte en hébreu, écrit en 1454par Angelo Mordekhai Finzi, astronome, tra-ducteur et commentateur de Mantoue, dontles travaux sont représentatifs de la littéra-ture mathématique hébraïque dans l’Italiedu XVème siècle. L’existence de ces traduc-tions a été déterminante pour la diffusion dela discipline.

Le livre II, Sur le pentagone et le décagone[9], [13], est consacré au traitement numériquede problèmes géométriques relatifs aux pen-tagones et aux décagones réguliers. Cetteentrée en « géométrie analytique » sembleattachée à des démarches précises que l’on trou-ve au livre I.

Le livre I [8], [14], qui va retenir plusparticulièrement notre attention, se présentecomme un traité sur la résolution des équa-tions du second degré et d’équations s’yramenant. Abu Kamil décrit des algorithmesgénéraux de résolution des équations en lesappliquant à des exemples numériquescanoniques et il donne, de toutes les règlesqu’il explique, des démonstrations géomé-triques qui s’appuient sur les Elémentsd’Euclide. Il résout aussi soixante-neufproblèmes dont certains sont repris desquarante problèmes d’al-Khwarizmi, maisdont beaucoup requièrent une habiletétechnique et une maîtrise théorique plusavancées. Un aspect important du travailprésenté ici consistera donc à tenter dedistinguer, des compétences devenues clas-siques qu’Abu Kamil tiendrait de ses pré-décesseurs, celles dont il serait l’auteur oule promoteur efficace.1 D’après un exposé de Roshdi Rashed pour le séminaire

sur l’Histoire de l’algèbre du CHSPAM, 2002-2003.


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Nous allons consacrer la première partiede notre étude à l’exposé des règles décritespar Abu Kamil pour la résolution des équa-tions du second degré ou équations quadra-tiques. Rappelons qu’il s’agit toujours derésoudre des équations à coefficients touspositifs, dont on ne peut imaginer dans lecontexte de l’époque qu’elles aient des racinesautres que positives. La chose la plus impor-tante à noter dès maintenant est sans doutequ’Abu Kamil donne pour les équations qua-dratiques complètes, outre les algorithmesde calcul des racines que l’on trouve déjà chezal-Khwarizmi, des règles d’obtention directedes carrés des racines.

Dans une deuxième partie volontaire-ment rapide, nous signalerons le soin avec lequelAbu Kamil explicite et valide les règles de mul-tiplication des monômes et des binômes,sommes ou différences, comportant des indé-terminées. Nous noterons également la pré-cision avec laquelle il énonce et justifie les règlesopératoires sur les nombres irrationnels. Cesouci théorique de recenser et de fonder lesrègles de l’algèbre fournit aussi un outil puis-sant pour ramener la résolution d’équationsde degrés élevés ou de systèmes comportantplusieurs inconnues à la résolution d’équationsquadratiques ; et ceci même si les calculsconduisent à des extractions de racines car-rées, ou de racines de racines, d’expressionscomportant ou non des indéterminées.

Il restera dans une troisième partie àexaminer quelques problèmes, choisis parmiles soixante-neuf du traité d’Abu Kamil, pourl’intérêt des justifications géométriques quiaccompagnent leur résolution numérique, oupour la beauté technique de cette résolution,ou pour la diversité des méthodes auxquellesils donnent lieu, aucun critère n’excluantaucun des autres.

Rappelons que l’écriture d’Abu Kamil estentièrement rhétorique et que l’écriture sym-bolique à laquelle nous allons recourir, parcequ’elle nous est devenue nécessaire, est toutà fait anachronique.

Les algorithmes de résolution et leurs validations

Aucune des traductions dont nous dis-posons aujourd’hui ne comportant la préfacede l’auteur, nous entrons directement dans levif du sujet, en suivant de près le texte de Levey[8]. Pour ne pas abuser de citations en anglaisencombrantes et pour éviter de traduire en fran-çais un texte anglais qui n’est sans doute pasirréprochable, nous userons fréquemment dela paraphrase.

Quelques extraits du texte de Levey sontdonnés en annexe.

Abu Kamil rappelle que, conformément àce que dit al-Khwarizmi, les objets de l’algèbrese classent en trois catégories : les racines(pour nous bx ou x), les carrés (pour nous ax 2

ou x 2), et les nombres (pour nous c). Il préci-se que la racine, qui peut être unité, nombreplus grand que 1, fraction de l’unité ou tout autrenombre, se multiplie par elle-même, que le carré,qui peut être nombre entier ou nombre frac-tionnaire, est le produit de la racine par elle-même et que le nombre, qui n’est ni racine nicarré, est rapporté à une unité liée au problème.En égalant deux catégories entre elles ou enégalant une catégorie aux deux autres, onobtient six formes d’équations (de degré infé-rieur ou égal à deux) à coefficients tous posi-tifs, qui donnent lieu chacune à l’énoncé d’unerègle de résolution propre.

Ce sont, en écriture symbolique actuelle,les trois équations incomplètes et les trois


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équations quadratiques à trois termes, ainsiclassées par Abu Kamil :

La première équation résolue par Abu Kamil,

comme par al-Khwarizmi, est : .

Contrairement à son maître qui ne sou-lève pas cette question théorique au début deson traité, Abu Kamil manifeste d’entrée lesouci de rigueur qui le caractérise en tentantd’expliquer « pourquoi » la racine est 5. Ilavance d’abord des arguments de type algé-brique :

For the square which is equal to the roots,it is as if one says that the square equals 5roots because the square is equal to 5 of itsroots. This is since the root of the square isalways according to the sum of the roots ofits square. Here it is 5. The square is 25; itis equal to 5 of its roots. [8, p. 28]

Ce que l’on peut peut-être expliciter ainsi,en anticipant un peu sur l’éclairage géométriquequi suit :

Abu Kamil complète en effet ces pre-mières explications par une « démonstrationgéométrique ». Ne disposant que de la géométrie

x x x= + + + +( ) × =1 1 1 1 1 5 donc

x x x x x= + + + + =1 1 1 1 1

x x x x x x x× = + + + + =

x x2 5=

2 2[ ] + = [ ] + =5 6 ax c bx bx c ax

4 2[ ] + = ax bx c[ ] =3 bx c

2[ ] = 2 ax c1 2[ ] = ax bx

pour convaincre à cette époque où, on va le voir,les règles de l’algèbre s’extraient de celles del’arithmétique, et souhaitant justifier tousles gestes reproductibles, il procèdera ainsi toutau long de son ouvrage.

B A

H T

W S

Z M

H E

G D

Further I shall explain what the root of thesquare is according to the total of theroots. I shall base the explanation on thisquestion. For example, I construct thequadrate as a square surface ABGD. Itssides are AB, BG, GD, DA. Each one of itssides multiplied by a unit of the totallength of this surface is a root of this unitsurface. The result of the product of AB bya unit, namely line BH [i.e. the unit leng-th], is the surface AH. It is a root of AGwhich is [divided] into five equal parts—the surfaces of AH, TW, SZ, MH, EG. Theline BG is 5 and is the root of the square;the square is 25. This is what one wishedto explain. [8, p. 29-30]

Abu Kamil attire ensuite l’attentionsur la nécessité de se ramener toujours, parmultiplication ou par division, à une équa-tion dont le carré ait le coefficient 1. Il lerappellera systématiquement pour cha-cun des six cas.

Il présente rapidement les cas [2] et [3]avant de passer à la résolution des équations


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trinômes. Sa méthode de travail est peu dif-férente de celle d’al-Khwarizmi dont il reprendles exemples numériques :

Il s’agit d’expliquer les règles de calculcorrespondantes en les appliquant pas à pasaux exemples traités et d’en donner ensui-te des démonstrations géométriques. Laméthode numérique tire sa légitimité de ceque les algorithmes sont attachés à la formedes équations et non aux valeurs des coeffi-cients. Ainsi les exemples numériques trai-tés deviennent canoniques à force d’êtrerepris, et les justifications géométriqueselles-mêmes sont générales du fait qu’ellessont « exemplaires ».

Une spécificité d’Abu Kamil que nousavons déjà mentionnée tient au fait qu’ildonne pour chacune des trois équations deuxalgorithmes de résolution numérique, celui quifournit les racines, qui était déjà connu desmathématiciens babyloniens, qui est exposépar al-Khwarizmi, et qui est de fait encore uti-lisé aujourd’hui, sous le couvert des formulesque l’algèbre symbolique a générées, et un secondqui donne directement les carrés des racines.Abu Kamil donne des validations géomé-triques pour chacune des deux procéduresnumériques et il fait explicitement référenceau livre II des Eléments d’Euclide, contrairementà al-Khwarizmi, dont il est difficile de savoirs’il connaît ou non le géomètre grec.

Nous rappelons ici la teneur des propo-sitions euclidiennes de référence. Leur expli-

3 4 1 2x x+ =

1 21 102x x+ =

1 10 392x x+ =

citation est facilitée par l’utilisation du gno-mon, qu’Euclide définit ainsi :

Que dans tout parallélogramme, l’un quel-conque des parallélogrammes décrits autourde la diagonale avec les deux complémentssoit appelé gnomon.

[10, p. 41 : définition II, 2]

gnomon G1 =

parallélog. AK + complt K∆ + complt KBou gnomon G2 =

parallélog. KΓ + complt K∆ + complt KB

Si une ligne droite est coupée en partieségales et en parties inégales, le rectanglesous les deux segments inégaux de la droi-te entière avec le quarré de la droite placéeentre les sections, est égal au quarré de lamoitié de la droite entière. [10, p. 45 : pro-position II, 5]

C est milieu de [AB], D1 est quelconque

Rectangle AE1 = gnomon E1donc Rect. AE1 + carré FE1 = carré FB

Si une ligne droite est coupée en deux par-ties égales, et si on lui ajoute directement une

∆

Γ

Κ

G1

Α

Β

A C D1 B

E1

F


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droite, le rectangle compris sous la droite entiè-re avec la droite ajoutée, et sous la droite ajou-tée, avec le quarré de la moitié de la droiteentière, est égal au quarré décrit avec ladroite composée de la moitié de la droiteentière et de la droite ajoutée, comme avecune seule droite.[10, p. 46 : proposition II, 6]

C est milieu de [AB], D2 est quelconqueRectangle AE2 = gnomon B

donc Rect. AE2 + carré FB = carré FE2

La résolution de l’équation : [8, pp. 31-32 : extraits donné en annexe I]

Nous proposons maintenant une trans-cription pas à pas des étapes des calculs dontAbu Kamil donne l’écriture rhétorique, pourles deux résolutions numériques de l’équation :

. Nous avons bien sûr recoursà l’écriture symbolique, mais nous repous-sons volontairement à la fin de la présenta-tion la condensation des algorithmes dansles formules connues.

Nous insistons sur le fait que ces calculsobéissent à des règles identifiées puisqu’ils sontreproductibles pour tout autre exemple numé-rique se présentant sous la même forme :

. Abu Kamil enchaîne en donnantx bx c2 + =

1 10 392x x+ =

1 10 392x x+ =

une démonstration géométrique de chacunedes procédures numériques. Dans l’éditionde Levey, ces démonstrations sont accompa-gnées de figures très dépouillées, qui ne com-portent pas d’autres indications que les seg-ments, les surfaces et les lettres qui lesnomment. Pour reproduire les figures, il suf-fit de suivre les étapes du discours, qui sontci-dessous les étapes des tableaux. Les gran-deurs géométriques, longueurs ou aires, ne sontpas dissociées de leurs mesures et il est impor-tant de noter que la démarche géométriqueest complètement accordée à la démarchenumérique : par exemple, construire le milieuL du segment BH ou calculer la moitié dunombre des racines, c’est la même chose. Laprésentation que nous adoptons tente derendre compte de ces correspondances (Cf.Encadré 2 ci-contre).

Bien que le résultat soit alors acquis,Abu Kamil complète la figure et poursuit soncommentaire, pour expliquer lui-même laproposition 6 du livre II des Eléments d’Eucli-de dont il a fait usage dans le corps de ladémonstration. Quelle est donc sa préoccu-pation ? de rigueur, cela ne fait aucun doute ;mais à l’égard de qui ? de lui-même qui ne peutdouter du bien-fondé de la proposition d’Eucli-de, ou de son lecteur à qui il voudrait fournirun corpus complet, se suffisant à lui-même,dans lequel rien ne serait dit qui ne serait prou-vé, dans lequel l’égalité : GB.GH + BL2 = GL 2

aussi serait construite ?

Dans le corps de la démonstration suivante,au moment de construire le segment AM,Abu Kamil écrit : « We construct the line AMequal to 100 and accordingly AG is 39 ». Bienque cette précaution de cohérence n’ait pas lavaleur qu’aurait le choix préalable d’une gran-deur unité, elle est toutefois signe de l’atten-tion portée à la correspondance entre les gran-

A C D2

B

E2

F


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Recherche de la racine du carré Recherche directe du carré

x b cb

b c2 22 2

21

2 2= + −

+

1 10 39

100

100 39

3900

50

2500

2500 3900

6400

80

50 39

89 80

9

2x x+ =

×

+

+−

��

xb

cb=

+ −2 2

2

1 10 39

5

25

25 39

64

8

5 8

3

9

2x x+ =

+

− +

� ��

Encadré 1

Justification de la règle de la racine. [8, p. 34]

ABGD 1x 2

ABHW 10x

BH 10ABGD + ABHW 1x 2 + 10x

WHGD 39GD.GH 39GB.GH 39

BL = LH 5GB.GH + BL 2 39 + 25

(Euclide II, 6) GL 2 64GL 8

GL – BL 8 – 5GB 3

ABGD 9

Encadré 2

H

LK

EA

G

10

39 25

1x 2

B

D N

M

W


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deurs numériques et les grandeurs géomé-triques.

Nous utilisons la notation [DN] pour dési-gner la surface du rectangle de diagonale DN(Cf. encadré ci-dessus).

Cette démonstration est plus qu’unesimple curiosité. En effet pour validergéométriquement son nouvel algorithme,Abu Kamil s’affranchit des règles d’homo-généité considérées comme usuelles, etfonde sa démonstration sur la représentation

AB 1x 2

BGAB + BG 1x 2 + 10x

AG 39[BH] = DHGB = BG 2 100.AB

AM 100AM.AG 100 × 39

[AN] 3900AM = BE = GN 100

AM.AB 100.AB[AE] = [BH] 100.AB[AE] + [BN] 3900[BH] + [BN] 3900

[DN] 3900HD.HN = HG.HN 3900

GL = LN 50HG.HN + GL 2 3900 + 2500

(Euclide II, 6) LH 2 6400LH 80

LG + GH 80LG + GB 80LG + GA 50 + 39LG + GA 89GA – GB 89 – 80

AB 9

10 10x = AB

L

ENM

1x2G

D H

BA10x

100

3900

3900

50

80

39

100x2

Justification de la règle du carré.[8, p 36 : extrait donné en annexe II]

Encadré 3


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du carré inconnu par la longueur AB.Quelles peuvent être les motivations pré-sidant à ce choix ?

Quand, au 17ème siècle en Europe, RenéDescartes (1596–1650) se donne les moyensthéoriques de représenter le produit de deuxlignes par une ligne, en introduisant unegrandeur unité, nombreux commentateurs yvoient un facteur décisif pour le développementde la géométrie analytique [5]. Et il est vraiqu’Abu Kamil lui aussi, au livre II de sonouvrage, se montre capable, grâce à la miseen correspondance de lignes géométriques etde puissances de l’inconnue, de résoudre algé-briquement des questions géométriques déli-cates relatives aux pentagones et aux déca-gones réguliers. L’intérêt des résultats qu’ilobtient permet-il pour autant d’avancer quesa démarche aurait à voir avec la géométrieanalytique comme projet, quand il semble, enl’état actuel de la connaissance de ses textes,que ses calculs géométriques ne débordent guèrele champ des figures classiques nomméesplus haut ?

A quelle nécessité Abu Kamil obéirait-ildonc ? Serait-ce le besoin impérieux de démon-trer, donc de démontrer géométriquement,donc de mettre à plat sur le plan les étapesdes résolutions numériques, qui lui suggére-rait cette représentation d’un carré par uneligne ? La question se poserait alors de savoirsi ce choix a toute la portée qu’un lecteurmoderne est tenté de lui prêter. Le souci del’homogénéité est-il si présent chez les mathé-maticiens arabes du début du 10ème siècle quela liberté prise par Abu Kamil soit tellementinnovante ? Au 11ème siècle, le mathémati-cien Omar al-Khayyam (~1048 ~1131) consacreson traité d’algèbre à l’élaboration d’une théo-rie géométrique des équations de degré infé-rieur ou égal à trois et écrit que « l’art de

l’algèbre et de l’al-muqabala est destiné àdéterminer les inconnues numériques et géo-métriques ». S’il prend le plus grand soinpour expliquer le concept fondamental d’unitéde mesure, dont l’introduction a pour effet derendre un nombre homogène à une surface,c’est peut-être qu’il ne s’agit pas d’un acquisantérieur définitif :

Et toutes les fois que dans ce traité nous dirons :un nombre est égal à une surface, nousentendrons par le nombre un quadrilatèreà angles droits, dont l’un des deux côtés estun et l’autre une droite égale en mesure aunombre donné, et tel que chacune des par-ties de sa mesure soit égale au deuxièmecôté, je veux dire celui que nous avons sup-posé un. [12, p. 20]

Les questions que pose la démons-tration d’Abu Kamil étant ouvertes, ilreste au moins la possibilité d’y voir unenouvelle preuve de son souci d’établir cequ’il énonce avec les moyens dont il dis-pose, qui sont géométriques.

Pour la résolution de l ’équation :

, sans surprendre, Abu Kamildétaille d’abord le calcul des deux racinespositives. Il explique le cas impossible qui seprésente si le carré de la moitié du nombre desracines est inférieur au nombre et qui néces-site que l’on « change de procédure », ce quiveut peut-être dire que l’on revoie la mise enéquation du problème ; il explique bien sûr lecas de la solution unique. Il poursuit en décri-vant son algorithme de recherche directe desdeux carrés solutions, dans le cadre duquel ilsignale à nouveau les cas particuliers. Abu Kamilest plus complet qu’al-Khwarizmi [7, pp. 104-107] pour les démonstrations géométriques del’algorithme des racines, puisque lui est sys-tématique. Non seulement il construit de

1 21 102x x+ =


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bout en bout la racine plus petite que la moi-tié du nombre des racines et aussi la racineplus grande, sur deux figures séparées com-plètes sur lesquelles opère la proposition II,5 des Eléments d’Euclide, mais même il éla-bore ce qui ressemble à un raisonnement parl’absurde par constructions géométriquespour visualiser le cas particulier de la solu-tion unique !

Les règles arithmétiqueset les règles algébriques

Sans transition, Abu Kamil passe del’étude des six algorithmes de référence àcelle des règles incontournables qui fondentle calcul algébrique, qu’il a le souci d’isoler entant que règles et de démontrer, donc dedémontrer géométriquement.

Chaque règle est énoncée de façon géné-rale, puis appliquée à un ou plusieurs exemplesnumériques, et enfin démontrée sur une figu-re correspondant à l’un des exemples. Nouschoisissons de citer, dans le cadre de cette pré-sentation rapide, des exemples auxquels AbuKamil attache une démonstration géomé-trique. Ils sont représentatifs de l’ensembledes règles abordées. [8, pp. 52-76]

Les deux premiers exemples (Cf. encadréci-contre) donnant lieu à une figure démons-trative se distinguent l’un de l’autre moins parl’aspect des figures associées que par le com-mentaire d’accompagnement qui prend encompte les différences de « catégories » des fac-teurs engagés dans les produits.

Les cinq figures qui suivent dans letexte d’Abu Kamil ont pour objet de jus-tifier, par des comparaisons d’aires, les

règles énoncées pour le calcul des cinqexpressions suivantes :

Abu Kamil passe ensuite à des calculs surles racines de nombres « connus ou indéter-minés », ainsi qu’il le précise, et explique géo-métriquement, par les aires, les trois égalitésnumériques :

Il énonce alors les trois règles générales sui-vantes :

qu’il démontre, sans recourir à des valeursnumériques cette fois-ci, par des considérationssur les proportions étayées de figures consti-tuées de lignes posées sur la page, comparablesà celles que l’on trouve dans les versionsconnues des Eléments d’Euclide.

Pour les règles d’addition et de sous-traction des irrationnels, Abu Kamil donne une

a

b

a

b=

ba

ba× =

a b a b× = ×

9 4 36 6× = =

23

49

9 9 4 2= × = =

2 16 4 16 64 8= × = =

10 1 1 10+( ) × −( )x x

10 1 10 1+( ) × −( )x x

10 1 10 1−( ) × −( )x x

10 1 10 1+( ) × +( )x x

10 1 1+( ) ×x x


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If one asks how much is 1 thing multipliedby 1 thing, say a square. The explanation isthat one puts the thing in a figure as 1 andmultiplies it by 1. The answer is 1; it is a squa-re. If one asks how much is 2 things by 2 things,say 4 squares just as I showed. […] I shall setup the example of this in the multiplicationof 2 things by 2 things. Make line AG equalto 2 things and line HG equal to 2 things. Mul-tiply line AG by line GH; it is surface AH. Saythat surface AH is 4 squares. The proof of thisis that line AG is divided by the numberwhich represents the amount of the things; itsparts are AB, BG. Divide line GH by thenumber which represents the amount of thethings; its divisions are GD, DH. Draw aline parallel to line GH from point B to E; drawa line parallel to line AG from point D, or lineDH. Because of this, there arise 4 equal qua-drilaterals in the surface AH; these are qua-drilateral HB, quadrilateral BD, and DE, andHE. Every one of these quadrilaterals is a squa-re, and every one of the lines AB, BG, GD, andDH multiplied by one is a thing. This is therule of the square and the thing. Surface AHis 4 squares. This is what I desired to show.

If one asks how much is 3 things by 6 num-bers, place the 3 things in a figure as 3; mul-tiply the 3 by 6 to give 18, or 18 things. […][8, pp. 54-58]

AB et BD

AG GH HW WZ ZH HB

BT TK KD

AD surface AD AB BD

or HT BT BH

et HT KL ES KG

donc AD HT

= == = = = = =

= = =

[ ] = = × = ( )( )[ ] = × = ( )( ) =

[ ] = = [ ] = = [ ] = = [ ] = =

[ ] = × [ ] =

6 3

1

1

6 3

1 1 1

1

18 18

x

x

x

x x

x

x

... ... ... ...

6 3 18× =x x

AG et AB BG

GH et GD DH

AH surface AH AG GH

or BD BG GD

et HB BD DE HE

donc AH HB BD DE HE

= = == = =

[ ] = = × = ( )( )[ ] = × = ( )( ) =

[ ] = [ ] = [ ] = [ ] =

[ ] = [ ] + [ ] + [ ] + [ ] =

2 1

2 1

2 2

1 1 1

1

4

2

2

2

x x

x x

x x

x x x

x

x

2 2 4 2x x x× =

AG B

D

D

L

M

N

P

E

S

K TB

H

Z

W

H

G

AS K

H

H E

Encadré 4


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visualisation par les aires des égalités numé-riques : [8, pp. 76-82]

Il termine cette partie de son traitéen distinguant les trois cas qui peuventse présenter, selon que la somme et la dif-férence sont rationnelles, comme dansl’exemple ci-dessus, ou qu’elles sont irra-tionnelles quadratiques :

ou bien encore irrationnelles biquadratiques :

Ainsi Abu Kamil renouvelle l’énoncé desrègles arithmétiques classiques en en montrantla trame et leur confère une généralité qui enfait des règles algébriques, susceptibles d’opé-rer sur des objets nouveaux pouvant com-porter des quantités indéterminées. Ce sontdes calculs d’un type nouveau qui s’élabo-rent, et la résolution des problèmes qui sui-vent donne les meilleures preuves de leurefficacité.

La résolution de quelquesproblèmes remarquables

Les six premiers problèmes sont choisispar Abu Kamil pour conduire à l’utilisation,

10 2 12 2 20− = −

2 10 12 2 20+ = +

18 8 18 8 2 144 2− = + − =

8 18 8 18 2 144 50+ = + + =

9 4 9 4 2 36 1− = + − =

9 4 9 4 2 36 5+ = + + =

dans l’ordre, des règles données pour les sixéquations canoniques. Parmi les suivants,nous choisissons de présenter le problème42, qui s’apparente à un exercice de style,puisqu’Abu Kamil en donne trois démons-trations algébriques différentes, et les problèmes10 à 13, qui font l’objet de démonstrations géo-métriques dont l’intérêt justifie que nous lesétudiions.

Le problème 42

Il s’agit de partager 10 en deux parties defaçon que la somme des quotients de chaque

partie par l’autre soit égale à . [8, pp. 150-154]

Le premier choix d’inconnue qui vient àl’esprit consiste à poser que l’une des deux par-ties est une chose : 1x, et que l’autre est : (10 – 1x). Le problème s’écrit alors :

soit :

et cette seconde formulation est le point dedépart de la première démonstration d’AbuKamil. Première démonstration qui metbien en évidence tout l’intérêt des règles decalcul sur les monômes, les binômes et lesquantités irrationnelles qu’Abu Kamil ajustifiées.

En voici (Cf. Encadré 5 ci-contre) lesétapes successives en écriture symboliqueactuelle reproduisant le plus fidèlementpossible le développement rhétorique del’auteur.

Le résultat obtenu suggère une mise enéquation qui aurait été possible, qu’Abu Kamil

1 10 1 5 1 10 12 2x x x x+ −( ) = × −( )

1

10 1

1

15

10x

x

x

x−+ − =

5


49


ne donne pas pour le problème 42, mais donton le sait capable. Des commentateurs larelèvent en citant le problème 7, qui n’en estd’ailleurs pas le lieu unique. Il s’agit de la miseen équation qui consiste à poser que les deuxparties cherchées sont de la forme (5 + α) et(5 – α).

La deuxième démonstration (Encadré 6)procède par introduction d’une inconnue auxi-liaire, puisqu’il s’agit de partager d’abord

en deux parties de produit 1, qui devien-dront respectivement :

et .

Plus élaborée que la première démonstra-tion, elle conduit à des calculs plus simplespuisque chacune des deux équations quadratiquesqui se succèdent est moins lourde. On pose quel’une des deux parties est une chose que nous

notons : 1y, et que l’autre est alors : .5 1− y

10 1

1

−

x

x

1

10 1

x

x−

5

1 10 1 100 2 20

1 10 1 10 1

10 1 500 5

500 5 100 2 20

500 5 500 5 100 2 20

2 2 2

2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

x x x x

x x x x

x x x x x

x x x x x

x x x x x x x x

( ) + −( ) = + −

−( ) = −

× −( ) = −

− = + −

= + + −

et

soit 5

l©équation du problème s' écrit donc

par restauration de par ,

par restauration à nouveau,par restauration à nouveau,

par multiplication par 5 , qui est le résultat de la division de 1 par 2 + 5

on calcule

une partie est

et l' autre est

20 500 100 2 5

2

1 50000 200 10

10

250000 200 225 50000

5 225 50000

5 225 50000

2 2 2 2

2

2

x x x x x

x x

+ = + +

−( ) ( )+ − =

− −( ) = −

− −

+ −

,

Encadré 5


50


Abu Kamil ne fait pas de commentaire surla forme différente des nombres obtenus parcette deuxième méthode.

La troisième démonstration (Enca-dré 7) se présente comme la résolution d’unsystème de deux équations dont les deuxinconnues sont l’une celle de la premiè-

re démonstration et l’autre l’inconnueauxiliaire de la deuxième démonstra-tion. Cette troisième démonstration, plusdifficile, montre comment peut s’organi-ser une résolution à deux inconnues et setermine par la mise en relation des valeursnumériques obtenues à l’issue des troisdémonstrations.

Encadré 6

1 5 1 5 1 1

5 1 1 5

5 11

41

1

41

1

4

1

4

1

21

1

4

1

2

11

4

1

2

110 1

11

1

4

1

2

11

2 2

2 2 2

2

2

y y y y

y y y

xx

x

x

par restauration de ,

on calcule 1

2, puis , et on obtient la racine .

(l©autre racine n©est pas prise en compte)

on cherche alors tel que

soit

−( ) = − =

+ =

=

− = = −

+

− = −

+44

1

210 1

101

21

1

4

101

2100

1

410 1

1

4

1001

41

1

410

1 10 100

1 125 5 10 1 15 125

2

2 2

22 2 2

2 2 2

2

x x x

x x x

x x x x x

x x x x

x x

x x

− = −

− = +

−

= + − = +

+ = + +

+ =

= − − = −

ou encore

par restauration

et par simplification,

dont la racine est ; l©autre partie de 10 est :


51


le choix des inconnues conduit à

et donc

soit d' après 2

2 1 1 10 1

1

10 15 1 5 1 10 1 1

10 1 500 5 10 1

1 10 10 1 500 5

10 2 500 5 10

1 1 51

5

1

2

1

10

2

2

2

[ ] × = −

−= − −( ) −( ) =

[ ] − + − − =

+ = − + −

− + − =

= + − −

y x x

x

xy y x x

x x y x

x y x x

x x y

y x x 22

2

2 2 2 2

2 2 2 2

2

10 1

11 5

1

5

1

2

1

10

10 1

11 10 1 1 5

1

5

1

2

1

1010 1

2 5 101

5

1

2

1

10

500 20 10 1

et d' après 1

et

par deux restaurations,

par multiplication par il vient

[ ] − = + − −

−

= − + − − = −

+ = + +

− = +

x

xx x

x

xx x x x x x x x

x x x x x

x x, 5000050000 200

10

250000 200 225 50000

5 225 50000

225 50000 125 10

5 125 10 15 125

10 15 125 125 5

2

−

− −( ) = −

− −

− = −

− −( ) = −

− −( ) = −

on calcule

une partie est

or

donc cette partie est

et l' autre est

Encadré 7


52


On pose que l’une des deux parties est unechose : 1x, que l’autre est : (10 – 1x) et que :

,

« un dinar », dans le texte.

Ces trois démonstrations sont largementreprésentatives de l’ensemble des méthodesalgébriques qu’Abu Kamil maîtrise 2.

Les derniers problèmes traités dans le cadredu livre I du Livre complet en algèbre exi-gent une grande habileté pour les calculs, etleur écriture rhétorique ne nous en facilite évi-demment pas l’accès. Parmi eux et souvent cité,le problème 60, qui serait plus spectaculaireque ses voisins non moins difficiles, pour laraison qu’il engage une équation de degréhuit. Ce n’est, de fait, qu’une équation qua-dratique en x 4, mais elle reste significative dela bonne appréhension des puissances suc-cessives de l’inconnue qu’Abu Kamil a déjà.

Les problèmes 10 à 13

Pour chaque problème, Abu Kamil donnesuccessivement :

— une méthode arithmétique qui indique lesgrandes étapes du calcul, en collant à l’énon-cé du problème, sans introduction d’incon-nue,

— une méthode géométrique qui dessine soi-gneusement les étapes du calcul précédent,

— une méthode algébrique qui ne diffère dela méthode arithmétique que par l’introduc-tion de la « chose » inconnue et par la mise enéquation du problème, qui se développe à tra-vers les mêmes calculs que la méthode arith-

110 1

11[ ] − =

x

xy

métique, pour se terminer par la résolutiondétaillée de l’équation canonique à laquelle onest parvenu.

Nous expliquons le problème 11 (Encadré8) , dans une formulation que nous prenonsla liberté de paramétrer pour dégager plus net-tement la portée générale de la méthode, touten respectant scrupuleusement les étapesdes calculs d’Abu Kamil. [8, p. 108 : extrait donnéen annexe III]

Nous présentons la démonstration géo-métrique dans l’encadré 9, en veillant à res-tituer fidèlement les étapes explicitées par AbuKamil. Les flèches „ repèrent les étapes numé-riques du tableau ci-dessus. Les valeurs numé-riques correspondant au problème 11 sontindiquées dans le tableau.

Reste à analyser ce qui ressort de laconfrontation de ces deux solutions, numériqueet géométrique, outre leur remarquableaccord. S’il est vrai que notre manière deconduire les calculs est aujourd’hui un peu dif-férente de celle d’Abu Kamil, il semble enrevanche que le déroulement de la démons-tration géométrique puisse nous paraîtretrès naturel, une fois passée la réticence fré-quente à l’égard de la démarche géométriquedu lecteur moderne rompu aux méthodesalgébriques. C’est que chaque pièce du puzz-le géométrique se met en place selon unelogique qui s’impose. Or la cohérence desdeux démarches numérique et géométriqueest voulue par Abu Kamil. N’avons-nous pasici un bel exemple d’algèbre géométrique, ausens propre, et sans anachronisme puisquenous nous situons après le traité d’al-Khwa-rizmi qui date la naissance de l’algèbre ? Lesobjets et les concepts nouveaux ont été défi-nis, les résolutions algorithmiques sont au point,les problèmes font l’objet de mises en équa-

2 On trouve une traduction en français complète du texte duproblème 42 dans : Djebbar A., Matériaux pour l’étude de latradition algébrique arabe (IXe-Xe S.), version inédite :novembre 1996, pp. 13-16.


53


Encadré 8

Problème : Si l’on partage la somme a entredes hommes, chacun reçoit une certainepart. Si l’on partage la somme A entre lesmêmes hommes et b autres, chacun reçoitune part inférieure de c à la part du pre-mier partage. L’inconnue du problèmeest le nombre d’hommes.

Ci-contre, les quatre étapes de calculqui, à partir de l’équation de départ, per-mettent de se ramener à une question quel’on sait résoudre.

La cinquième étape ne figure quedans la résolution algébrique.

a

x

A

x bc

aAx

x bcx

AAx

x bcx A a

A

x b bcx A a

Ab

cx A a x b

c

bx

bA a c x a

−+

=

−+

=

−+

= + −( )

+= + −( )[ ]

= + −( )[ ] × +( )

+ −( ) +

× =

1

1

12

BDGA a = 10GD = ZM x

GA

DH b = 4GH x + b

GHLZ = GZ.GH A = 30

GZ=HL

GA – GZ

• ZA c = 4• ZM.ZA = [ZB] cx

GHLZ = [GM] + [DL] ABDGA = [GM] + [ZB] a

[DL] – [ZB] A – a[ZB] + [DL] – [ZB] cx + (A – a)

• [DL] = DH.DM cx + (A – a)

• GZ = DM

• GZ.GH

[GL] A

1

bcx A a x b+ −( )[ ] × +( )

1

bcx A a+ −( )[ ]

a

x

A

x b−

+

A

x b+

a

x

Encadré 9


54


tion, les règles de calcul sur les quantitéscomposées ont été reconnues, grâce à quoi leséquations sont réductibles à une forme cano-nique. Mais ce sont aussi les méthodes del’algèbre qui s’élaborent autant que ses algo-rithmes de calcul, et la démonstration algé-brique d’Abu Kamil est fondue dans le mouleéprouvé de la géométrie.

Nous avons vu des règles arithmétiquesdonner leur forme à des règles algébriques ;nous voyons ici une démonstration géomé-trique donner sa forme à une démonstrationalgébrique. Est-ce à dire que l’algèbre désigneraitun type de calculs, sans spécificité nécessai-re de ses objets, nombres quelconques ougrandeurs géométriques ?

Ce n’est peut-être pas si simple. On conduitles calculs en faisant des opérations, additionset soustractions, multiplications et divisionsou extractions de racines. Les résultats des opé-rations sur des nombres sont des nombres, alorsque les mêmes opérations sur des grandeursgéométriques conduisent à des résultats quine sont connus, en tant qu’objets géomé-triques, que si l’on effectue les constructionscorrespondant aux opérations. Or les démons-trations géométriques que nous avons trou-vées dans le texte d’Abu Kamil ne construi-sent pas les grandeurs. Il devient alorsnécessaire de se demander ce qui rapprocheou distingue essentiellement les algorithmesde calcul et les raisonnements géométriquesqui les accompagnent.

On sait que la démarche algébrique estanalytique : en travaillant sur l’inconnuecomme si elle était connue, on enchaîne descalculs qui produisent des conditions néces-saires, et l’on conclut que la racine ne peutêtre que celle qui est trouvée à l’issue decette phase de calculs. Il faut alors procéder

à une synthèse qui consiste à démontrer,souvent rapidement, à vérifier, que la solu-tion pressentie est bien solution du problè-me. Deux manières de faire : la vérificationnumérique, souvent triviale, qu’Abu Kamil nepratique pas de façon explicitée, ou la véri-fication géométrique qu’il pratique de façonpresque systématique, qui démontre que l’ontrouve bien ce que l’on cherche en faisantles calculs que l’on fait. La même figured’ailleurs montre à la fois l’analyse et la syn-thèse de la démarche algébrique, puisque lecommentaire qui l’accompagne commence,à peu de chose près, par : « Nous prenons pourle carré une surface carrée de côtés inconnuset c’est la surface ABGD … », et qu’il se ter-mine par « …il reste la ligne GB qui est égaleà 3 et c’est la racine du carré ». Ce sont donc,à proprement parler, des démonstrationsd’algorithmes de calcul qu’Abu Kamil produitsystématiquement dans ses démonstrationsgéométriques, opérant de la même façon surles désignations des grandeurs géométriqueset sur les nombres.

Il serait malgré tout restrictif de considérerqu’une figure géométrique ne produit que del’information algébrique. Al-Khayyam, dontnous avons déjà indiqué qu’il a le projet d’unealgèbre qui détermine les inconnues numériqueset les inconnues géométriques, et qui, dans lapremière partie de son traité consacrée auxéquations quadratiques, donne pour les algo-rithmes numériques les mêmes démonstrationsgéométriques que ses prédécesseurs, va, lui,plus loin dans la lecture des mêmes figures.Car, s’il reste vrai que l’analyse de la figuresupposée construite ne détermine pas l’incon-nue géométrique, il est tout aussi vrai qu’ellepeut mettre en évidence le procédé pour laconstruire. Et la synthèse en géométrie, c’estla construction effective de la grandeur géo-métrique inconnue.


55


La première construction à laquelle pro-cède al-Khayyam est celle du segment solu-tion de l’équation : x 2 = a . Il construit un rec-tangle de longueur le nombre a et de largeurl’unité, donc d’aire a ; il rappelle que, grâce àla proposition 14 du Livre II des Elémentsd’Euclide, on sait construire un carré de mêmeaire que ce rectangle, et il indique que le côtédu carré ainsi construit est la grandeur cher-chée. [12, p. 20]

Pour l’étude des équations : x 2 = ax + c ,que supporte l ’exemple numérique : 1x 2 = 5x + 6, al-Khayyam rappelle l’algorith-me de résolution numérique, procède à lavalidation géométrique habituelle du dit algo-rithme, puis explique comment construire lesegment solution, par un algorithme géomé-trique constructif dont les étapes suivent,pas à pas, celles de l’algorithme numérique.Lui déploie donc ici toutes les facettes possiblesde la résolution achevée d’une équation, quel’inconnue en soit un nombre ou un segment.[12, p. 29], [7, pp. 108-111]

Le fait que l’inconnue géométrique nesoit effectivement connue que si elle estconstruite, ou reconnue constructible par unprocédé connu, nous conduit à nuancer l’hypo-thèse faite plus haut, selon laquelle l’algèbre,qui s’élabore comme science de l’inconnue,se constituerait comme un ensemble de règlesde calcul propres à opérer sur des objets de

nature non spécifique. L’examen que nousvenons de faire nous suggèrerait plutôt quele calcul algébrique n’aurait pas d’autresobjets que les désignations des grandeurselles-mêmes, lesquelles deviendront pro-gressivement puis définitivement symbo-liques à la fin du 16ème siècle, en ce quiconcerne l’Europe. Ce serait alors la naturede l’inconnue, nombre ou grandeur géométrique,qui ferait que, dans un contexte donné, laconnaissance de sa désignation permettraitou non de la déterminer complètement.

Abu Kamil est un maillon important dela chaîne de diffusion de sa discipline, à la foisfidèle à son prédécesseur al-Khwarizmi etinfluent sur ses propres successeurs. Parmieux, al-Karaji (~953 ~1029) puis al-Samawal(~1130 ~1180) sont des mathématiciensimportants qui eux-mêmes font connaître etprogresser les connaissances qui leur sontléguées. Il semble que Leonardo Fibonacci(~1170 ~1240) aussi ait eu un accès direct àl’œuvre d’Abu Kamil et y ait trouvé le pointde départ d’une partie importante de ses tra-vaux personnels.

La rigueur d’Abu Kamil et les avancéesthéoriques qu’on lui doit ont été détermi-nantes pour l’élaboration de l’algèbre, aumoment où elle émerge des disciplines anté-rieurement établies que sont l’arithmétiqueet la géométrie.


56


[I] The square plus roots which equal numbers is as when one says the square plus 10roots equal 39. This is to say that when we add to the square 10 of its roots, then it equals39. There are two solutions to this problem; one indicates the root of the square and theother indicates the square. Moreover, I shall explain their rule using geometric figuresclarified by wise men of geometry and which is explained in the Book of Euclid. The solu-tion which the root of the square shows was already related by Muhammad al-Khwarizmi

in his book. This is that you always take the roots; in this problem, it is 5. You mul-

tiply it by itself; it is 25. One adds this to 39; it is 64. Take its root; it is 8. Subtract from

it the roots or 5; 3 remains. It is the root of the square. The square is 9. For the solu-

tion which reveals the square, one multiplies the 10 by itself; it is 100. Multiply by the

39; it is 3900. Take the 100 and it is 50. Multiply it by itself; it is 2500. You add it to

3900. It is 6400. Take its root and it is 80. Subtract it from [the sum of] 50 which is of 100 and 39, the equal of the square. 3 It comes to 89. There remains 9, the square.[8, pp. 31-32]

[II] The rule of the solution which yields the square is that one construct the square asthe line AB :Add 10 of its roots or line BG ; or, line AG is 39. If one wishes to know how much AB is,construct a plane square quadrilateral on line BG. It is surface DHBG. It is 100 timesline AB multiplied by one of its units because line BG is 10 roots of line AB. Ten roots ofthe thing (square) multiplied by itself is equal to the thing itself 100 times. We constructthe line AM equal to 100 and accordingly AG is 39. Construct surface AN; it is 3900 sinceline AG is 39 and line [AM] has a length of 100. Draw line BE parallel to the 100 line togive surface AE equal to the square BH for it is also 100 times as large as line AB mul-tiplied by its unit. This is since the length of the line AM is 100. Because of this the sur-face DN also is 3900; it is the product of line GH by line HN for HG is equal to HD. LineGN is 100 for it is equal to AM. Divide it in half by point L. Already one has added to lineNH. In view of this, the surface is the product of NH by line HG plus the square qua-drilateral on the line GL equal to the square quadrilateral on line LH just as Euclid saidin the second chapter of his book. But the surface NE by HG is 3900 and the square qua-drilateral on line GL is 2500. We add them to obtain 6400. It is the product of line LH,or 80, by itself; line GH is equal to BG or equal to lines LG, BG, or 80. And when you sub-tract BG and BL whose sum is 80 from lines AG and GL which are 89, there remains lineAB which equals the square, 9. This is what it was desired to know. [8, p. 36]

12

12

12

12

ANNEXES

3 It might rather be “the equal of square and roots”


57


[III] One says that 10 be divided among men so that every one receives something. Add4 men and divide 30 among them. For every one of them, the share is 4 less than whatcame to the former. The procedure here is that the former men be multiplied by the dif-ference between the first and the last quotients. Add the difference between the first andsecond number to be divided to the result of the multiplication. Divide the sum by thedifference between the former and latter men and multiply the result by the latter men.It equals the larger number which was divided, or 30. I shall make a figure for this method.Make the smaller number divided, or 10, as surface ABGD :

The former men are line GD. AG is what each of the former men receives. Add to the for-mer men, line GD, four men as line DH to give line GH, the latter men. Make surfaceGHZL, 30. Divide it by line GH to get line GZ. This is what each of the latter receives.Line AZ remains as 4 since it is the difference between what each of the former and lat-ter receives. Multiply the former, line ZM, equal to line GD, by line ZA to get surface ZB.Add to surface ZB the difference between 30 and 10, or 20, to get surface DL which is 20more than ZB. It is more than the two divided numbers since surface AD is 10 and sur-face GL is 30. Surface GL is greater than surface [DA] by 20. Subtract the common sur-face, GM; DL remains as 20 more than surface ZB. Divide surface DL by line DH whichis 4 to get line DM which is equal to line [GZ] and equal to the share of one of the latter.Multiply line GZ by line GH to get surface GL or 30. This is what it was desired to show.[8, p. 108]

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58


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Documents

LE LIVRE COMPLET EN ALGEBRE D’ABU KAMIL · 2016. 5. 6. · Fath, et Abu Kamil donc, surnommé le cal-culateur égyptien, sans qu’aucune infor-mation biographique le concernant