Le pivot de Gauss

I Principe general

Le pivot de Gauss est une methode qui peut s’appliquer sur des matrices ou sur des systemes d’equation.Le but de cette methode est de transformer notre matrice ou systeme de depart en une matrice ou unsysteme qui soit triangulaire. Les operations autorisee seront detaillees dans le paragraphe suivant.

Le systeme ou la matrice obtenus sont dit ≪ equivalents ≫ au systeme ou a la matrice de depart.

II Operations sur les lignes

Voici la liste des operations autorisees sur les lignes d’un systeme ou d’une matrice :

– Li ↔ Lj : on echange la ligne d’indice i avec la ligne d’indice j.

– Li ← aLi avec a 6= 0 : on multiplie la ligne d’indice i par a. Attention a ne doit pas etre nul ! ! ! ! !

– Li ← aLi + bLj avec a 6= 0 : on remplace la ligne d’indice i par la somme de la ligne d’indice i

multipliee par a et de la ligne d’indice j multipliee par b.

Attention il faut toujours s’assurer que a n’est pas nul. Par exemple dans un systeme avec un

parametre λ, on ne peut pas faire l’operation L1 ← (1− λ)L1 + 2L2 car on ne connait pas la valeur

de λ et ici si λ = 1 alors on fait en fait l’operation L1 ← 0× L1 + 2L2 et on fait donc disparaitre la

ligne 1 ! ! ! ! ! ! !

Par contre b peut etre quelconque : on peut effectuer L1 ← 2L1 + (1− λ)L2

Il existe aussi des operations possibles sur les colonnes mais elles sont beaucoup plus delicates a utiliseret ne sont pas necessaires pour le programme d’ECE.

III Application aux matrices

1 Determiner si une matrice est inversible

Principe : La matrice equivalente obtenue apres les operations du pivot de Gauss possede les memespropriete d’inversibilite que la matrice de depart.

Methode : Pour repondre a la question ≪ la matrice A est-elle inversible ? ≫ on commence par appli-quer les operations du pivot de Gauss a la matrice A pour la transformer en une matrice triangulaire B.On regarde alors les termes diagonaux de la matrice B. S’il n’y a pas de 0 alors B est inversible et doncA est inversible. S’il y a un ou plusieurs 0 alors B n’est pas inversible et donc A n’est pas inversible.

Exemple 1:

Cherchons si la matrice A =

2 7 33 9 41 5 3

est inversible.

2 7 33 9 41 5 3

→

2 7 30 3 10 3 3

L2 ← 3L1 − 2L2

L3 ← 2L3 − L1

→

2 7 30 3 10 0 2

L3 ← L3 − L2

La matrice A est equivalente a une matrice triangulaire sans 0 sur la diagonale donc A est inversible.

Algebre Page 1 Pivot de Gauss

Remarque :

Il existe aussi quelques methodes astucieuses permettant de repondre en une ligne a la question ≪ lamatrice A est-elle inversible ? ≫ :

– si on est capable de donner une matrice B qui verifie A × B = I alors on peut immediatementrepondre que A est inversible et A−1 = B.

– si on remarque un lien entre les lignes de A, ou si une ligne ne contient que des zeros, on peut alorsdire que A n’est pas inversible. (possible avec les colonnes aussi)

Exemple 2:

Soit la matrice B =

−2 −2 1−2 1 −21 −2 −2

, determiner les valeurs de λ pour lesquelles la matrice B − λI

n’est pas inversible.

B − λI =

−2 − λ −2 1−2 1− λ −21 −2 −2− λ

↓

1 −2 −2− λ−2 1− λ −2−2 − λ −2 1

L1 ↔ L3

↓

1 −2 −2− λ0 −λ− 3 −2λ− 60 −2(λ + 3) −λ2 − 4λ− 3

L2 ← 2L1 + L2

L3 ← L3 + (2 + λ)L1

↓

1 −2 −2 − λ0 −λ− 3 −2λ− 60 0 −λ2 + 9

L3 ← L3 − 2L2

Les valeurs de λ pour lesquelles B − λI n’est pas inversibles sont les valeurs de λ pour lesquelles l’undes termes de la diagonale de la derniere matrice du pivot de Gauss s’annule. Plusieurs cas se presententa nous :

- Si −λ− 3 = 0 ⇔ λ = −3 alors B − λI est equivalente a une matrice triangulaire possedant un zerosur sa diagonale donc B − λI n’est pas inversible.

- Si −λ2+9 = 0⇔ λ = 3 ou λ = −3 alors B−λI est equivalente a une matrice triangulaire possedantun zero sur sa diagonale donc B − λI n’est pas inversible.

- Sinon B − λI est equivalente a une matrice triangulaire sans zero sur sa diagonale donc B − λI estinversible.

Conclusion : Les valeurs de λ pour lesquelles la matrice B − λI n’est pas inversible sont 3 et −3.

2 Calculer l’inverse d’une matrice

Principe : Lorsqu’une matrice est inversible, grace aux operations du pivot de Gauss on peut latransformer en la matrice identite. Si on applique alors exactement les meme operations a la matriceidentite, on obtient la matrice A−1.

Methode : On commence par ecrire cote a cote la matrice A et la matrice identite. A l’aide desoperations sur les lignes il faut transformer la matrice A en la matrice identite. A chaque etape de latransformation de A il faudra effectuer les operations sur les lignes aussi sur la matrice identite que vousavez ecrite a cote. A la fin, la matrice que vous aurez a cote de la matrice identite est la matrice A−1.

Algebre Page 2 Pivot de Gauss

Exemple 3:

Reprenons l’exemple 1 et calculons A−1 :

2 7 33 9 41 5 3

1 0 00 1 00 0 1

↓ ↓

1 5 33 9 42 7 3

L1 ↔ L3

0 0 10 1 01 0 0

↓ ↓

1 5 30 6 50 3 3

L2 ← 3L1 − L2

L3 ← 2L1 − L3

0 0 10 −1 3−1 0 2

↓ ↓

6 0 −70 6 50 0 1

L1 ← 6L1 − 5L2

L3 ← 2L3 − L2

0 5 −90 −1 3−2 1 1

↓ ↓

6 0 00 6 00 0 1

L1 ← L1 + 7L3

L2 ← L2 − 5L3

−14 12 −210 −6 −2−2 1 1

↓ ↓

1 0 00 1 00 0 1

L1 ←1

6L1

L2 ←1

6L2

−7

32 −

1

35

3−1 −

1

3−2 1 1

On a donc A−1 =

−7

32 −

1

35

3−1 −

1

3−2 1 1

.

Il est toujours prudent de verifier au brouillon que l’on a bien A×A−1 = I.

Algebre Page 3 Pivot de Gauss

IV Application aux systeme

1 Systemes sans parametre

Pour resoudre un systeme d’equations sans parametre il existe deux grandes methodes : la methodepar substitution et le pivot de Gauss. Voici un exemple de resolution par le pivot de Gauss :

Exemple 4:

Resolvons le systeme suivant :

(S)

4x + 2y − z = 52x + y + 2z = −5−x + 2y + 4z = 0

⇔

−x + 2y + 4z = 02x + y + 2z = −54x + 2y − z = 5

L1 ↔ L3

⇔

−x + 2y + 4z = 05y + 10z = −510y + 15z = 5

L2 ← 2L1 + L2

L3 ← L3 + 4L1

⇔

−x + 2y + 4z = 0y + 2z = −1

5z = −15L2 ←

1

5L2

L3 ← 2L2 − L3

⇔

x = −2y = 5z = −3

Le systeme (S) admet une unique solution, le triplet (−2, 5,−3).

2 Systemes a parametre

Pour etudier proprement un systeme a parametre il est tres fortement conseille d’utiliser le pivot deGauss qui pourra vous eviter de faire des operations du type division par 0....

Exemple 5:

Etudions le nombre de solutions du systeme suivant en fonction des valeurs du parametre λ :

(S)

(2 + λ)x + 2y − z = 02x + (λ− 1)y + 2z = 0−x + 2y + (2 + λ)z = 0

• Premiere etape : il faut mettre le systeme sous forme triangulaire en s’assurant bien de ne pasfaire d’operations interdites. Par exemple il est interdit dans la premiere etape d’effectuer l’operationL2 ← (2 + λ)L2 − 2L1 car on ne peut pas remplacer L2 par une combinaison lineaire ou nous ne sommespas sur que le coefficient devant L2 est non nul.

(S)

(2 + λ)x + 2y − z = 02x + (λ− 1)y + 2z = 0−x + 2y + (2 + λ)z = 0

⇔

−x + 2y + (2 + λ)z = 02x + (λ− 1)y + 2z = 0

(2 + λ)x + 2y − z = 0L1 ↔ L3

⇔

−x + 2y + (2 + λ)z = 0(λ+ 3)y + 2(λ+ 3)z = 02(λ+ 3)y + (λ2 + 4λ+ 3)z = 0

L2 ← 2L1 + L2

L3 ← L3 + (2 + λ)L1

⇔

−x + 2y + (2 + λ)z = 0(λ+ 3)y + 2(λ+ 3)z = 0

(λ2 − 9)z = 0 L3 ← L3 − 2L2

Algebre Page 4 Pivot de Gauss

• Deuxieme etape : On resout le systeme en faisant bien attention aux differents cas :– Si λ2 − 9 6= 0 (c’est-a-dire λ 6= 3 et λ 6= −3) alors on a :

(S)⇔

−x + 2y = 0(λ+ 3)y = 0

z = 0⇔ x = y = z = 0

Donc l’ensemble des solutions du systeme est S = {(0, 0, 0)}.– Si λ = 3, alors on a

(S)⇔

−x + 2y + 5z = 06y + 12z = 0

0 = 0⇔

{

x = zy = −2z

Donc l’ensemble des solutions du systeme est S = {(z,−2z, z)/z ∈ R}– Si λ = −3, alors on a

(S)⇔

−x + 2y − z = 00 = 00 = 0

⇔ z = −x+ 2y

Donc l’ensemble des solutions du systeme est S = {(x, y,−x+ 2y)/(x, y) ∈ R2}

Algebre Page 5 Pivot de Gauss