Le Planimètre

Evolution du planimètre

Planimètre de Cône

Une des premières conceptions était le roulement d’une roue sur un cône de rotation. Mathématiquement c'est une application directe de la définition de l'intégrale définie y . Plus la valeur de y est grande plus la roue est haute sur le cône, ainsi la roue tourne plus rapidement.

Evolution du planimètre

Planimètre polaire et linéaire

Le planimètre polaire original a été inventé en 1854 par Jacob Amsler, un mathématicien suisse inventeur de beaucoup d'instruments de mesure. Il était simple,facile d‘utilisation, et plus précis que les planimètres précédemment inventés Il est vite devenu le meilleur. D'autres modifications de sa conception de base ont été faites pour améliorer seulement son exactitude. Le planimètre linéaire travaille au même principe de base que le planimètre polaire.

Dans le planimètre linéaire, l’extrémité est limitée pour se déplacer suivant une ligne droite.   

Dans le planimètre polaire, l'extrémité est limitée pour se déplacer le long d'un cercle. 

Planimètre polaire

Planimètre linéaire

Evolution du planimètre

Utilisation des planimètres polaires et linéaires

Ces planimètres s’utilisent en déplaçant le point du traceur autour de la frontière de la région étant mesurée. Comme le point du traceur fait tourner la roue partiellement, il glisse donc partiellement sur le papier, il enregistre la perpendiculaire de mouvement au bras du traceur. Il s'avère que quand le point du traceur revient au point de départ, le rouleau net de la roue est proportionnel au secteur de la région. Si une balance fixée à la roue est calibrée convenablement, le secteur peut être lu sur la balance.

Evolution du planimètre

Planimètre de Maxwell

Ce planimètre se compose d'un hémisphère fixe et d'une sphère du même rayon. Le mouvement du point du traceur fait rouler la sphère sur l'hémisphère. Le planimètre de Maxwell a beaucoup appris du planimètre d'Amsler. Sans voir le même modèle fonctionnant, le planimètre de Maxwell a immédiatement réalisé la signification de l'invention d'Amsler.

Evolution du planimètre

Planimètre de Keuffel et d’Esser

L'image du côté gauche montre le planimètre prêt à mesurer le secteur d'une région.  Du côté droit c’est une vue démontée. Le point du traceur est équipé d'une loupe pour faciliter la lecture de la courbe. La boîte à l'extrémité gauche du bras de traceur est un chariot contenant la roue et le compteur avec sa balance. 

L'axe de la roue est facilement visible depuis le dessous du chariot. La roue elle-même (indiqué par l'indicateur) est un disque en acier fixé directement au cylindre avec la balance. La roue en plastique sur le même axe est employée pour placer la balance à zéro.

Evolution du planimètre

Planimètre électronique (x-plan)Les performances du modèle restes inchangées; planimétrage d'une surface par digitalisation des sommets d'un contour polygonal, détermination de rayons et de surface par des arcs de cercles et possibilité de filer une courbe gauche, La flexibilité relative au croix du système de coordonnées, de la numérotation, des distances partielles et cumulées, de ladécimalisation et de la fonction de suppression d'un point est également maintenue.

Evolution du planimètre

Planimètre électronique (x-plan)

Cet instrument n'est plus à considérer comme un simple planimètre numérique, mais comme une table à digitaliser portable qui, au-delà de la détermination de coordonnées, est parfaitement approprié pour la mesure de surfaces, distances et rayons. II est possible, sans l'usage d'un PC, d'intégrer le système de coordonnées du plan moyennant deux ou trois points de contrôle.

Composition du planimètre

Tout planimètre possède:

- un bras avec, à son extrémité une loupe et le point du traceur

- un clavier avec un écran lcd comprenant la programmation de l’appareil , et une imprimante

Théorème

Lorsqu'on fait parcourir à la pointe du planimètre une courbe fermée sans points doubles, le nombre de tours que fait la roue est proportionnel à l'aire du domaine délimité.

Théorème

Les planimètres fonctionnent par calculs, le fait est que quand on lève les points d’une forme quelconque son aire est proportionnelle aux nombres de rotations des roues. Grâce à des fonctions nous avons la possibilité de pouvoir relevé des arcs, des cercles, … Se qui nous permet de calculer des surfaces tels que les suivantes :

Récapitulation

Quand un planimètre est utilisé pour mesurer la surface d’une région:

- Le secteur de la région est proportionnel au nombre de rotations des roues. - Le point final doit correspondre au premier point.

Créateur du planimètre

Le père de de Jacob Amsler était un fermier. Il a grandi dans Stalden, une ville dans la vallée de Vispa à six kilomètres de sud de la vallée principale du Rhône. Après sa scolarité obligatoire accomplie, il a reçu un diplôme avec l'intention d'étudier la théologie. Amsler a étudié la théologie d'abord à l'université d'Iéna et puis à l'université de Königsberg. C'était chez Königsberg qu'Amsler a changé son cours de la théologie en mathématiques et physique. En 1848 après avoir réussi son doctorat à l'université de Königsberg, il est alors revenu en Suisse pour continuer son éducation.

Jacob Amsler, le créateur du planimètre.

Créateur du planimètre

En arrivant en Suisse, Amsler a travaillé pendant une année à l'observatoire de Genève. Il a achevé ses études à Zurich où il a été attribué son habilitation, de ce fait gagnant le droit d'enseigner à l’université. En 1850 il a enseigné à l'université à Zurich. En 1851, souhaitant avoir plus de temps pour consacrer à sa recherche, Amsler a enseigner au gymnase à Schaffhouse. En effet le gymnase lui a permis de trouver plus d'heures pour entreprendre la recherche et par conséquent il a édité un certain nombre d'articles sur la physique mathématique au cours des années à venir, en particulier sur le magnétisme, la conduction de la chaleur et sur l'attraction des ellipsoïdes. En 1854 il se marie avec la fille d'un scientifique suisse bien connu. Peu de temps après son mariage Amsler a changé ses intérêts de recherches et sa carrière. Il a commencé à étudier la construction des instruments mathématiques de précision et tout à fait rapidement il a eu une idée pour la conception d'un nouveau type de planimètre. Il a inventé le planimètre polaire, un dispositif pour mesurer des secteurs inclus par les courbes plates. Il s’est basé sur des coordonnées polaires tandis que des instruments plus anciens se sont basés sur des coordonnées cartésiennes. Afin de faire l'argent à partir de son invention, Amsler a installé un atelier à Schaffhouse en 1854, particulièrement conçu pour produire son planimètre. Son magasin a produit 50’000 instruments pendant sa vie.

Jacob Amsler, le créateur du planimètre.