Le spin

Un article de Quantic.

Sommaire

1 Calcul relativiste

1.1 Spin du photon

1.2 Spin de l'électron

2 Moment magnétique

3 Conclusion

Calcul relativiste

Spin du photon

D'après l'équivalence de l'énergie et de la masse, selon les relations dePlanck et d'Einstein , le photon peut être considérécomme une petite masse (en mouvement à la vitesse c de la lumière)

tournant aussi à la vitesse c de la lumière à l'extrémité de sonrayon théorique :

On en déduit le moment cinétique angulaire du photon

Le photon, selon Rocard, peut donc être modélisé comme un anneau en rotation de masse en accordavec son spin un. "Il faut bien dire que ces images géométriques trop précises ne sont pas appréciées desphysiciens modernes" (Rocard, Y, Thermodynamique, Masson, 1957, p. 250).

Spin de l'électron

Le calcul est plus compliqué que pour le photon car l'électron possèdeune masse au repos non nulle. MacGregor, dans son livre, The EnigmaticElectron (MacGregor M.H., The Enigmatic Electron, Kluwer, Dordrecht,1992), montre qu'il faut tenir compte de la variation relativiste de lamasse avec la vitesse de rotation. Il fait l'hypothèse que la vitesseéquatoriale de l’électron au repos est égale à la vitesse c de la lumière.Calculons la masse m observée d'une sphère pleine (une boule) de rayonR en rotation relativiste à la vitesse . La vitesse de rotationangulaire est supposée constante, c'est-à-dire que l'électron est un

solide rigide, de résistance mécanique infinie et non un fluide. Soit lamasse spécifique à la distance r de l'axe de rotation et sur l'axe derotation où la matière est au repos. Le volume étant inchangé, la massespécifique relativiste est :

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La hauteur du cylindre élémentaire est h. La vitesse linéaire de rotation, , est égale à c sur l'équateur,

ce qui donne la vitesse angulaire . On a donc, en tenant compte de la variation relativiste de lamasse :

On calcule de même le moment d’inertie relativiste de la sphère pleine (boule), assez peu di!érent du

moment classique :

La simplification est cruciale dans ce calcul, pratiquement inextricable dans le cas général. La relationd'Einstein-Planck donne la fréquence propre de l'électron. En l'identifiant à sa vitesse de rotationangulaire , on a :

On obtient pour l'électron un rayon di!érent du rayon "classique"

est le rayon de Compton, celui-là même qui apparaît dans l'équation de Klein-Gordon et, bien sûr,dans l'e!et Compton. MacGregor obtient ainsi le moment cinétique intrinsèque de l’électron :

en accord avec l'observation. Cela donne un spin de 1/2 en unités de .

Moment magnétique

Le spin est relié au moment magnétique d'une particule chargée comme l'électron, le proton et même leneutron qui contient des charges électriques de somme nulle. La rotation des charges électriques génèrentun courant circulaire produisant un moment magnétique. Une hypothèse simple consiste à supposer que lecourant électrique est circulaire mais il peut aussi être réparti dans tout le volume de la particule. Lemoment magnétique correspondant est donné par la formule:

de période

Finalement:

Le moment cinétique étant

le moment magnétique est

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D'après le postulat de Bohr le moment cinétique est quantifié et égal à pour une trajectoire circulaire, cequi est le cas pour l'électron dans l'orbitale fondamentale de l'atome d'hydrogène. Cependant, l'électron aun moment cinétique intrinsèque moitié du moment orbital. Les moments magnétiques orbital etintrinsèques de l'électron sont égaux à 1/1000 ème près. On sait mesurer un moment magnétique maisapparemment pas un moment angulaire et, a fortiori un spin. Le moment magnétique orbital de l'électronest appelé magnéton de Bohr:

Le moment magnétique intrinsèque de l'électron est

où g=2.00232 est le facteur de Landé ou rapport gyromagnétique. Celui du moment orbital, le magnéton deBohr, est de un. Cela ne veut pas dire que le moment magnétique intrinsèque est le double du momentmagnétique orbital, c'est le spin intrinsèque qui est moitié du spin orbital. Lorsque g " 1, on dit que g estanormal. L'anomalie est a = (g - 2)/2. L'anomalie intrinsèque de l'électron est de 0,00116. Le proton et leneutron ont des anomalies importantes respectivement de 2,8 et -1,9 unités atomiques basées sur lemagnéton nucléaire qui remplace celui de Bohr en physique nucléaire mais n'a pas d'existence réelle. Cesfortes anomalies peuvent s'interpréter par la répartition des charges et/ou des masses à l'intérieur desnucléons.

Conclusion

Ce calcul a été fait pour un électron en rotation mais avec son axe au repos (vitesse linéaire nulle). Il serait àrevoir pour un électron en mouvement quelconque relativiste. Le modèle de la toupie pour le spin del'électron semble en accord à la fois avec les théories relativiste et quantique. La di#culté signalée auparagraphe précédent est résolue en tenant compte de la variation relativiste de la masse en rotation et enassimilant la vibration de l'électron à une rotation.

Il reste toutefois à mesurer directement le rayon encore inconnu de cette particule élémentaire pourtantconnue depuis un siècle. La vision moderne du spin a#rme qu'une particule élémentaire n’a pas de taille,que le spin est un objet purement quantique, que l'usage du mot spin est historique et que le modèle de latoupie est dépassé, remplacé par celui de Dirac, incompréhensible.

Lorsque la représentation du spin par la toupie est utilisée, la personne qui le fait, souvent avec un geste dela main, s'empresse ensuite de préciser que ce n'est pas conforme à la mécanique quantique. En fait il s'agitd'un aveu d'ignorance, comme au Moyen-âge où les scholastiques expliquaient qu'une pierre tombe parcequ'elle est lourde. Les théoriciens nous assènent que le spin est un objet purement quantique parce qu'ilsont voulu une rupture avec la mécanique classique mais ne peuvent s'en passer.

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