BenjaminMoubêche

1

Le succès paradoxal du Modus Ponensde Mamdani

Benjamin MOUBÊCHE

benjamin.moubeche@ens-cachan.fr

ENS Cachan

Directeur de Stage : Marcin DETYNIECKI

BenjaminMoubêche

2

Jussieu→ LIP6→ DAPA→ MALIRE→ LOFTI

Logique Floue→ Modus Ponens→ Modus Ponens Généralisé (MPG) deMamdani

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2

Jussieu→ LIP6→ DAPA→ MALIRE→ LOFTI

Logique Floue→ Modus Ponens→ Modus Ponens Généralisé (MPG) deMamdani

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2

Jussieu→ LIP6→ DAPA→ MALIRE→ LOFTI

Logique Floue→ Modus Ponens→ Modus Ponens Généralisé (MPG) deMamdani

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2

Jussieu→ LIP6→ DAPA→ MALIRE→ LOFTI

Logique Floue→ Modus Ponens→ Modus Ponens Généralisé (MPG) deMamdani

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3

BenjaminMoubêche

4

Sommaire

BenjaminMoubêche

5

Définition

Est-on vieux à 50 ans ?Un peu...

Logique classique : {0, 1}Logique floue : [0, 1]

Zadeh 1960

Lien avec les probabilités ?

BenjaminMoubêche

5

Définition

Est-on vieux à 50 ans ?Un peu...

Logique classique : {0, 1}Logique floue : [0, 1]

Zadeh 1960

Lien avec les probabilités ?

BenjaminMoubêche

5

Définition

Est-on vieux à 50 ans ?Un peu...

Logique classique : {0, 1}Logique floue : [0, 1]

Zadeh 1960

Lien avec les probabilités ?

BenjaminMoubêche

5

Définition

Est-on vieux à 50 ans ?Un peu...

Logique classique : {0, 1}Logique floue : [0, 1]

Zadeh 1960

Lien avec les probabilités ?

BenjaminMoubêche

5

Définition

Est-on vieux à 50 ans ?Un peu...

Logique classique : {0, 1}Logique floue : [0, 1]

Zadeh 1960

Lien avec les probabilités ?

BenjaminMoubêche

5

Définition

Est-on vieux à 50 ans ?Un peu...

Logique classique : {0, 1}Logique floue : [0, 1]

Zadeh 1960

Lien avec les probabilités ?

BenjaminMoubêche

6

Différence avec les probabilités

Cette eau est potable à 0,9Probabilité : 1/10 est intoxiquéLogique floue : 10% d’impureté→ 10/10 enbonne santé

BenjaminMoubêche

6

Différence avec les probabilités

Cette eau est potable à 0,9Probabilité : 1/10 est intoxiquéLogique floue : 10% d’impureté→ 10/10 enbonne santé

BenjaminMoubêche

6

Différence avec les probabilités

Cette eau est potable à 0,9Probabilité : 1/10 est intoxiquéLogique floue : 10% d’impureté→ 10/10 enbonne santé

BenjaminMoubêche

6

Différence avec les probabilités

Cette eau est potable à 0,9Probabilité : 1/10 est intoxiquéLogique floue : 10% d’impureté→ 10/10 enbonne santé

BenjaminMoubêche

7

Ensembles flous

Définition :

A = {{x , f (x)}|x ∈ X}

Support : {x ∈ X |f (x) > 0}Noyau : {x ∈ X |f (x) = 1}

Forme de TrapèzeOn parlera toujours d’ensemble

BenjaminMoubêche

7

Ensembles flous

Définition :

A = {{x , f (x)}|x ∈ X}

Support : {x ∈ X |f (x) > 0}Noyau : {x ∈ X |f (x) = 1}

Forme de TrapèzeOn parlera toujours d’ensemble

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7

Ensembles flous

Définition :

A = {{x , f (x)}|x ∈ X}

Support : {x ∈ X |f (x) > 0}Noyau : {x ∈ X |f (x) = 1}

Forme de TrapèzeOn parlera toujours d’ensemble

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7

Ensembles flous

Définition :

A = {{x , f (x)}|x ∈ X}

Support : {x ∈ X |f (x) > 0}Noyau : {x ∈ X |f (x) = 1}

Forme de TrapèzeOn parlera toujours d’ensemble

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7

Ensembles flous

Définition :

A = {{x , f (x)}|x ∈ X}

Support : {x ∈ X |f (x) > 0}Noyau : {x ∈ X |f (x) = 1}

Forme de TrapèzeOn parlera toujours d’ensemble

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7

Ensembles flous

Définition :

A = {{x , f (x)}|x ∈ X}

Support : {x ∈ X |f (x) > 0}Noyau : {x ∈ X |f (x) = 1}

Forme de TrapèzeOn parlera toujours d’ensemble

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7

Ensembles flous

Définition :

A = {{x , f (x)}|x ∈ X}

Support : {x ∈ X |f (x) > 0}Noyau : {x ∈ X |f (x) = 1}

Forme de TrapèzeOn parlera toujours d’ensemble

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8

Opérateurs flous

Association opérateurs logiques←→ opérateursensemblistes

et←→ intersectiont-norme 1

ou←→ uniont-conorme 1

non←→ complémentationfA(x) = 1 − fA(x)

Principaux opérateurst-norme t-conorme

Zadeh T (a, b) = min(a, b) ⊥(a, b) = max(a, b)Lukasiewicz T (a, b) = max(a + b − a, 0) ⊥(a, b) = min(1, a + b)

1. Reflexivité - Associativité - Monotonie - Élément neutre 0 ou 1.

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8

Opérateurs flous

Association opérateurs logiques←→ opérateursensemblistes

et←→ intersectiont-norme 1

ou←→ uniont-conorme 1

non←→ complémentationfA(x) = 1 − fA(x)

Principaux opérateurst-norme t-conorme

Zadeh T (a, b) = min(a, b) ⊥(a, b) = max(a, b)Lukasiewicz T (a, b) = max(a + b − a, 0) ⊥(a, b) = min(1, a + b)

1. Reflexivité - Associativité - Monotonie - Élément neutre 0 ou 1.

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8

Opérateurs flous

Association opérateurs logiques←→ opérateursensemblistes

et←→ intersectiont-norme 1

ou←→ uniont-conorme 1

non←→ complémentationfA(x) = 1 − fA(x)

Principaux opérateurst-norme t-conorme

Zadeh T (a, b) = min(a, b) ⊥(a, b) = max(a, b)Lukasiewicz T (a, b) = max(a + b − a, 0) ⊥(a, b) = min(1, a + b)

1. Reflexivité - Associativité - Monotonie - Élément neutre 0 ou 1.

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8

Opérateurs flous

Association opérateurs logiques←→ opérateursensemblistes

et←→ intersectiont-norme 1

ou←→ uniont-conorme 1

non←→ complémentationfA(x) = 1 − fA(x)

Principaux opérateurst-norme t-conorme

Zadeh T (a, b) = min(a, b) ⊥(a, b) = max(a, b)Lukasiewicz T (a, b) = max(a + b − a, 0) ⊥(a, b) = min(1, a + b)

1. Reflexivité - Associativité - Monotonie - Élément neutre 0 ou 1.

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8

Opérateurs flous

Association opérateurs logiques←→ opérateursensemblistes

et←→ intersectiont-norme 1

ou←→ uniont-conorme 1

non←→ complémentationfA(x) = 1 − fA(x)

Principaux opérateurst-norme t-conorme

Zadeh T (a, b) = min(a, b) ⊥(a, b) = max(a, b)Lukasiewicz T (a, b) = max(a + b − a, 0) ⊥(a, b) = min(1, a + b)

1. Reflexivité - Associativité - Monotonie - Élément neutre 0 ou 1.

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8

Opérateurs flous

Association opérateurs logiques←→ opérateursensemblistes

et←→ intersectiont-norme 1

ou←→ uniont-conorme 1

non←→ complémentationfA(x) = 1 − fA(x)

Principaux opérateurst-norme t-conorme

Zadeh T (a, b) = min(a, b) ⊥(a, b) = max(a, b)Lukasiewicz T (a, b) = max(a + b − a, 0) ⊥(a, b) = min(1, a + b)

1. Reflexivité - Associativité - Monotonie - Élément neutre 0 ou 1.

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9

Implications

En logique classique : A⇒ B ←→ ¬A ∨ B

En logique floue : choix de l’implication

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10

Implications

L(x, y) = min(1− x + y, 1) KD(x, y) = max(1− x, y) M(x, y) = min(x, y)

W (x, y) = max(1− x, min(x, y)) BG(x, y) = 1 si x ≤ y, y sinon

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11

Sommaire

BenjaminMoubêche

12

Modus Ponens

Si il fait beau alors je bronze A⇒ BOr il fait beau A

Donc je bronze B

Modus Ponens : A ∧ (A⇒ B)→ B

Modus Ponens Généralisé (MPG) :

A′ ∧( A⇒ B )→ B′

On cherche une conclusion sur A′ proche de A àl’aide de l’implication.

Mathématiquement : fB′(y) = supx∈XT(fA′(x), fR(x,y))

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12

Modus Ponens

Si il fait beau alors je bronze A⇒ BOr il fait beau A

Donc je bronze B

Modus Ponens : A ∧ (A⇒ B)→ B

Modus Ponens Généralisé (MPG) :

A′ ∧( A⇒ B )→ B′

On cherche une conclusion sur A′ proche de A àl’aide de l’implication.

Mathématiquement : fB′(y) = supx∈XT(fA′(x), fR(x,y))

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12

Modus Ponens

Si il fait beau alors je bronze A⇒ BOr il fait beau A

Donc je bronze B

Modus Ponens : A ∧ (A⇒ B)→ B

Modus Ponens Généralisé (MPG) :

A′ ∧( A⇒ B )→ B′

On cherche une conclusion sur A′ proche de A àl’aide de l’implication.

Mathématiquement : fB′(y) = supx∈XT(fA′(x), fR(x,y))

BenjaminMoubêche

12

Modus Ponens

Si il fait beau alors je bronze A⇒ BOr il fait beau A

Donc je bronze B

Modus Ponens : A ∧ (A⇒ B)→ B

Modus Ponens Généralisé (MPG) :

A′ ∧( A⇒ B )→ B′

On cherche une conclusion sur A′ proche de A àl’aide de l’implication.

Mathématiquement : fB′(y) = supx∈XT(fA′(x), fR(x,y))

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13

Illustration en fonction du choix effectué

⇒

trainLukasiewicz train Kleene-Dienes

trainBouwer-Gödel train Mamdani

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13

Illustration en fonction du choix effectué

⇒

trainLukasiewicz train Kleene-Dienes

trainBouwer-Gödel train Mamdani

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13

Illustration en fonction du choix effectué

⇒

trainLukasiewicz train Kleene-Dienes

trainBouwer-Gödel train Mamdani

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14

Le Modus Ponens Généralisé de Mamdani

fB′(y) = supx∈X min (fA′(x), min (fA(x), fB(y)))

T : t-norme de Zadeh→minfR : «implication» de Mamdani→min

Mais

Ce n’est pas une implicationPourtant, c’est le plus utilisé dans le domaine ducontrôle...

BenjaminMoubêche

14

Le Modus Ponens Généralisé de Mamdani

fB′(y) = supx∈X min (fA′(x), min (fA(x), fB(y)))

T : t-norme de Zadeh→minfR : «implication» de Mamdani→min

Mais

Ce n’est pas une implicationPourtant, c’est le plus utilisé dans le domaine ducontrôle...

BenjaminMoubêche

14

Le Modus Ponens Généralisé de Mamdani

fB′(y) = supx∈X min (fA′(x), min (fA(x), fB(y)))

T : t-norme de Zadeh→minfR : «implication» de Mamdani→min

Mais

Ce n’est pas une implicationPourtant, c’est le plus utilisé dans le domaine ducontrôle...

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Sommaire

BenjaminMoubêche

16

Notre formule

Modus Ponens Généralisé avec applicabilité de larègle par conjonction entre la prémisse etl’observation

fB′(y) = supx∈X

T (min(fA(x),fA′(x)), fR(x , y))

(A∧A′) ∧ (A⇒ B)→ B′

Exactement les mêmes résultats que Mamdani pourcertaines (vraies) implications

BenjaminMoubêche

16

Notre formule

Modus Ponens Généralisé avec applicabilité de larègle par conjonction entre la prémisse etl’observation

fB′(y) = supx∈X

T (min(fA(x),fA′(x)), fR(x , y))

(A∧A′) ∧ (A⇒ B)→ B′

Exactement les mêmes résultats que Mamdani pourcertaines (vraies) implications

BenjaminMoubêche

16

Notre formule

Modus Ponens Généralisé avec applicabilité de larègle par conjonction entre la prémisse etl’observation

fB′(y) = supx∈X

T (min(fA(x),fA′(x)), fR(x , y))

(A∧A′) ∧ (A⇒ B)→ B′

Exactement les mêmes résultats que Mamdani pourcertaines (vraies) implications