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Le tenseur des contraintes de Cauchy

Le tenseur des contraintes de Cauchy - Guillaume Speurtguillaume.speurt.free.fr/telechargements/ENSMP/ENSMP - Le tenseur... · Il existe un champ de tenseurs du second ordre ... Le

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  • Le tenseur des contraintes de Cauchy

  • Plan

    1 Lois dEuler du mouvement

    2 Representation des efforts interieursLe postulat de CauchyLe lemme dimpariteLe theoreme de Cauchy

    3 Equations locales de la dynamiquePremiere loi de Cauchy du mouvementSeconde loi de Cauchy du mouvement

    4 Equations aux discontinuites

    5 Bilan : equations locales de la dynamique et de la statique desmilieux continus

    6 Etats de contraintes remarquables

  • Lois dEuler du mouvement

    d

    dt

    t

    v dv = R

    d

    dt

    t

    OP v dv = M 0

    Lois dEuler du mouvement 3/59

  • Lois dEuler du mouvement

    d

    dt

    t

    v dv =

    t

    (x , t)f (x , t) dv +

    t

    t (x , t , t) ds

    d

    dt

    t

    OP v dv =

    t

    OP (x , t)f (x , t) dv

    +

    t

    OP t (x , t , t) ds

    Elles sappliquent a tout sousdomaine D t . On a besoin des deux equations! Referentiel non galileen : mettre les forces dinertie dans f

    Lois dEuler du mouvement 4/59

  • Plan

    1 Lois dEuler du mouvement

    2 Representation des efforts interieursLe postulat de CauchyLe lemme dimpariteLe theoreme de Cauchy

    3 Equations locales de la dynamiquePremiere loi de Cauchy du mouvementSeconde loi de Cauchy du mouvement

    4 Equations aux discontinuites

    5 Bilan : equations locales de la dynamique et de la statique desmilieux continus

    6 Etats de contraintes remarquables

  • La controverse des elasticiens du XIXeme siecle

    Cote francais : Navier, Cauchy, SaintVenant lhypothese moleculaire

    Cote anglais : Young, Green lapproche phenomenologique

    Representation des efforts interieurs 6/59

  • Plan

    1 Lois dEuler du mouvement

    2 Representation des efforts interieursLe postulat de CauchyLe lemme dimpariteLe theoreme de Cauchy

    3 Equations locales de la dynamiquePremiere loi de Cauchy du mouvementSeconde loi de Cauchy du mouvement

    4 Equations aux discontinuites

    5 Bilan : equations locales de la dynamique et de la statique desmilieux continus

    6 Etats de contraintes remarquables

  • Description des efforts interieurs

    t

    D

    D

    le vecteurcontrainte

    R surf =

    D

    t (x , D, t) ds

    Representation des efforts interieurs 8/59

  • Description des efforts interieurs

    tD

    D

    n

    t

    le vecteurcontrainte

    R surf =

    D

    t (x , D, t) ds

    le postulat de Cauchy :

    t (x , D, t) := t (x ,n , t)

    normale sortante

    Representation des efforts interieurs 9/59

  • Description des efforts interieurs

    D1

    D1D2

    D2n

    t

    le vecteurcontrainte

    R surf =

    D

    t (x , D, t) ds

    le postulat de Cauchy :

    t (x , D, t) = t (x ,n , t)

    normale sortante

    une consequence

    t (x , D1, t) = t (x , D2, t)

    Representation des efforts interieurs 10/59

  • D1

    D1

    D2

    D2

    n 1

    n 2

    Representation des efforts interieurs 11/59

  • Plan

    1 Lois dEuler du mouvement

    2 Representation des efforts interieursLe postulat de CauchyLe lemme dimpariteLe theoreme de Cauchy

    3 Equations locales de la dynamiquePremiere loi de Cauchy du mouvementSeconde loi de Cauchy du mouvement

    4 Equations aux discontinuites

    5 Bilan : equations locales de la dynamique et de la statique desmilieux continus

    6 Etats de contraintes remarquables

  • Largument du cachet daspirine

    t

    S

    D

    n

    n

    x

    D

    D

    S = S D

    D = D+ D H

    f , a bornees

    t continu (pas deffortssurfaciques concentres)

    premiere loi dEulerD

    t (x ,n , t) ds =

    D

    (x , t)(a f ) dv

    Representation des efforts interieurs 13/59

  • Largument du cachet daspirine

    t

    S

    D

    n

    n

    x

    D

    D

    S = S D

    D = D+ D H

    f , a bornees

    t continu (pas deffortssurfaciques concentres)

    premiere loi dEulerD

    t (x ,n , t) ds =

    D

    (x , t)(a f ) dv

    Representation des efforts interieurs 14/59

  • Largument du cachet daspirine

    t

    S

    D

    n

    n

    x

    D

    D

    S = S D

    D = D+ D H

    f , a bornees

    t continu (pas deffortssurfaciques concentres)

    Lemme dimparitet (x ,n , t) = t (x ,n , t)

    actio = reactio

    Representation des efforts interieurs 15/59

  • Largument du cachet daspirine

    t

    S

    D

    n

    n

    x

    D

    D

    S = S D

    D = D+ D H

    f , a bornees

    t continu (pas deffortssurfaciques concentres)

    Lemme dimparitet (x ,n , t) = t (x ,n , t)

    actio = reactio

    Exemple de representation de t (n ) remplissant cettecondition?

    Representation des efforts interieurs 16/59

  • Insuffisance de la representation pressionrepresentation des efforts surfaciques par un champ de pression :

    t = p n

    Representation des efforts interieurs 17/59

  • Insuffisance de la representation pressionrepresentation des efforts surfaciques par un champ de pression :

    t = p n

    Representation des efforts interieurs 18/59

  • Une remarque...

    premiere loi dEulerD

    t (x ,n , t) ds =

    D

    (x , t)(a f ) dv

    Quelles sont les conditions sur t pour quune integrale devolume se reduise a une integrale de surface?

    Representation des efforts interieurs 19/59

  • Le theoreme de la divergence et autres formes

    div v dv =

    v .n ds

    Representation des efforts interieurs 20/59

  • Le theoreme de la divergence et autres formes

    div v dv =

    v .n ds

    plus generalement, ,i dV =

    ni ds

    f dv =

    f n ds

    div v dv =

    v .n ds

    div T dv =

    T .n ds

    Representation des efforts interieurs 21/59

  • Une remarque...

    premiere loi dEulerD

    t (x ,n , t) ds =

    D

    (x , t)(a f ) dv

    Quelles sont les conditions sur t pour que lon puisse passerainsi du volume a la surface?Si t est un flux t lineaire en n t = .n , alors lepassage surfacevolume est possible.

    La reciproque constitue le theoreme de Cauchy.

    Representation des efforts interieurs 22/59

  • Plan

    1 Lois dEuler du mouvement

    2 Representation des efforts interieursLe postulat de CauchyLe lemme dimpariteLe theoreme de Cauchy

    3 Equations locales de la dynamiquePremiere loi de Cauchy du mouvementSeconde loi de Cauchy du mouvement

    4 Equations aux discontinuites

    5 Bilan : equations locales de la dynamique et de la statique desmilieux continus

    6 Etats de contraintes remarquables

  • Largument du tetraedre de Cauchy

    n

    1

    2

    3

    P1

    P3

    P2M

    n = [n1 n2 n3]T

    tetraedre h = MP1P2P3passant par le pointP(hn1, hn2, hn3)

    surfaces S1,S2,S3,S

    h

    (x , t)(a f ) dv =

    h

    t (x ,n , t) ds

    Representation des efforts interieurs 24/59

  • Largument du tetraedre de Cauchy

    n

    1

    2

    3

    P1

    P3

    P2M

    n = [n1 n2 n3]T

    tetraedre h = MP1P2P3passant par le pointP(hn1, hn2, hn3)

    surfaces S1,S2,S3,S

    t1(M,n ) = t1(M,3

    i=1

    nie i ) =3

    i=1

    ni t1(M, e i )

    Representation des efforts interieurs 25/59

  • Largument du tetraedre de Cauchy

    n

    1

    2

    3

    P1

    P3

    P2M

    n = [n1 n2 n3]T

    tetraedre h = MP1P2P3passant par le pointP(hn1, hn2, hn3)

    surfaces S1,S2,S3,S

    t1(M,n ) = t1(M,3

    i=1

    nie i ) =3

    i=1

    ni t1(M, e i )

    t2(M,n ) = t2(M,3

    i=1

    nie i ) =3

    i=1

    ni t2(M, e i )

    t3(M,n ) = t3(M,3

    i=1

    nie i ) =3

    i=1

    ni t3(M, e i )Representation des efforts interieurs 26/59

  • Largument du tetraedre de Cauchy

    n

    1

    2

    3

    P1

    P3

    P2M

    n = [n1 n2 n3]T

    tetraedre h = MP1P2P3passant par le pointP(hn1, hn2, hn3)

    surfaces S1,S2,S3,S

    ti (M,n ) =3

    j=1

    nj ti (M, e j)

    ti = ijnj , ij(M) := ti (M, e j)

    Representation des efforts interieurs 27/59

  • Le theoreme de Cauchy

    Il existe un champ de tenseurs du second ordre (x , t) tel que, entout point regulier de t (t continu, f , a finis),

    t = .n t1t2t3

    = 11 12 1321 22 23

    31 32 33

    n1n2n3

    Representation des efforts interieurs 28/59

  • Le tenseur des contraintes

    Le tenseur des contraintes est la machine a produire les effortssexercant sur les elements de surface en M :

    t ds = .n ds = .ds

    n

    t

    n

    x3

    x1

    x2

    33

    2313

    32

    22

    12

    31

    1121

    Representation des efforts interieurs 29/59

  • Plan

    1 Lois dEuler du mouvement

    2 Representation des efforts interieursLe postulat de CauchyLe lemme dimpariteLe theoreme de Cauchy

    3 Equations locales de la dynamiquePremiere loi de Cauchy du mouvementSeconde loi de Cauchy du mouvement

    4 Equations aux discontinuites

    5 Bilan : equations locales de la dynamique et de la statique desmilieux continus

    6 Etats de contraintes remarquables

  • Plan

    1 Lois dEuler du mouvement

    2 Representation des efforts interieursLe postulat de CauchyLe lemme dimpariteLe theoreme de Cauchy

    3 Equations locales de la dynamiquePremiere loi de Cauchy du mouvementSeconde loi de Cauchy du mouvement

    4 Equations aux discontinuites

    5 Bilan : equations locales de la dynamique et de la statique desmilieux continus

    6 Etats de contraintes remarquables

  • Premiere loi de Cauchy

    Efforts surfaciquesD

    t (x ,n , t) ds =

    D

    (x , t).n dsD

    ti (x ,n , t) ds =

    D

    ij(x , t)nj ds

    Equations locales de la dynamique 32/59

  • Premiere loi de Cauchy

    Efforts surfaciquesD

    t (x ,n , t) ds =

    D

    (x , t).n dsD

    ti (x ,n , t) ds =

    D

    ij(x , t)nj ds =

    D

    ijxj

    dv

    (theoreme de la divergence)

    Equations locales de la dynamique 33/59

  • Premiere loi de Cauchy

    Efforts surfaciquesD

    t (x ,n , t) ds =

    D

    (x , t).n dsD

    ti (x ,n , t) ds =

    D

    ij(x , t)nj ds =

    D

    ijxj

    dv

    (theoreme de la divergence)

    Application a la premiere loi dEulerD

    ((ai fi )

    ijxj

    )dv = 0

    En tout point regulierijxj

    + fi = ai

    div + (f a ) = 0

    Equations locales de la dynamique 34/59

  • Plan

    1 Lois dEuler du mouvement

    2 Representation des efforts interieursLe postulat de CauchyLe lemme dimpariteLe theoreme de Cauchy

    3 Equations locales de la dynamiquePremiere loi de Cauchy du mouvementSeconde loi de Cauchy du mouvement

    4 Equations aux discontinuites

    5 Bilan : equations locales de la dynamique et de la statique desmilieux continus

    6 Etats de contraintes remarquables

  • Seconde loi de Cauchy

    Seconde loi dEulerD

    (x x 0) (a f ) dv =

    D(x x 0) ( .n ) ds

    Dans une base cartesienne orthonormee directe dorigine x 0,la premiere composante vautD

    (x2(a3 f3) x3(a2 f2)) dv =

    D(x23j x32j)nj ds

    Equations locales de la dynamique 36/59

  • Seconde loi de Cauchy

    Seconde loi dEulerD

    (x x 0) (a f ) dv =

    D(x x 0) ( .n ) ds

    Dans une base cartesienne orthonormee directe dorigine x 0,la premiere composante vautD

    (x2(a3 f3) x3(a2 f2)) dv =

    D(x23j x32j)nj ds

    =

    D

    (x23jxj

    x32jxj

    + 2j3j 3j2j) dv

    Equations locales de la dynamique 37/59

  • Seconde loi de Cauchy

    Seconde loi dEulerD

    (x x 0) (a f ) dv =

    D(x x 0) ( .n ) ds

    Dans une base cartesienne orthonormee directe dorigine x 0,la premiere composante vautD

    (x2(a3 f3) x3(a2 f2)) dv =

    D(x23j x32j)nj ds

    =

    D

    (x23jxj

    x32jxj

    + 2j3j 3j2j) dv

    Seconde loi de Cauchy (milieux non polaires)D

    (32 23) dv = 0

    23 32 = 031 13 = 012 21 = 0

    Equations locales de la dynamique 38/59

  • Seconde loi de CauchyLe tenseur des contraintes est un tenseur euclidien dordre 2symetrique : cest une forme bilineaire symetrique...

    n 1. .n 2 = n 2. .n 1

    ... ou un endomorphisme autoadjoint

    T = , ij = ji

    n . = .n

    Consequence?

    Equations locales de la dynamique 39/59

  • Seconde loi de CauchyLe tenseur des contraintes est un tenseur euclidien dordre 2symetrique : cest une forme bilineaire symetrique...

    n 1. .n 2 = n 2. .n 1

    ... ou un endomorphisme autoadjoint

    T = , ij = ji

    n . = .n

    Consequence : le tenseur des contraintes est diagonalisable dansune base orthonormee et ses valeurs propres sont reelles

    =3

    i=1

    i n i n i , avec .n i = i n i (no sum)

    i : contraintes principalesn i : directions principales des contraintes

    Equations locales de la dynamique 40/59

  • Plan

    1 Lois dEuler du mouvement

    2 Representation des efforts interieursLe postulat de CauchyLe lemme dimpariteLe theoreme de Cauchy

    3 Equations locales de la dynamiquePremiere loi de Cauchy du mouvementSeconde loi de Cauchy du mouvement

    4 Equations aux discontinuites

    5 Bilan : equations locales de la dynamique et de la statique desmilieux continus

    6 Etats de contraintes remarquables

  • Surface de discontinuite mobile

    cas de champs continus par morceaux

    S

    D

    D

    D

    D

    D

    wnn

    vitesse de propagation

    w = limt0

    MtMt+t

    t= wn n

    vitesse relative de lamatiere / S

    U = v .n wn

    saut de f a travers S

    [[f ]] := f + f

    conservation de la masse

    [[U]] = 0

    cas S materielleEquations aux discontinuites 42/59

  • Premiere loi dEuler avec discontinuites

    S

    D

    D

    D

    D

    D

    wnn

    d

    dt

    D

    v dv =

    D

    (x , t)f (x , t) dv +

    D

    t (x ,n , t) ds

    Equations aux discontinuites 43/59

  • Premiere loi dEuler avec discontinuites

    S

    D

    D

    D

    D

    D

    wnn

    un theoreme de transport

    d

    dt

    D

    v dv =

    D

    a dv +

    S[[v ]]U ds

    Equations aux discontinuites 44/59

  • Equations aux discontinuitesn

    x

    S

    D

    D

    s

    domaine S D,S SD

    a dv +

    S[[v ]]U ds =

    D

    (x , t)f (x , t) dv +

    D

    t (x ,n , t) ds

    Equations aux discontinuites 45/59

  • Equations aux discontinuitesn

    x

    S

    D

    D

    s

    domaine S D,S SD

    a dv +

    S[[v ]]U ds =

    D

    (x , t)f (x , t) dv +

    D

    t (x ,n , t) ds

    a la limite D S , S[[v ]]U ds =

    S[[ ]].n ds

    Equations aux discontinuites 46/59

  • Equations aux discontinuites

    cas general[[ ]].n U[[v ]] = 0

    ondes de choc

    cas dune surface de discontinuite S materielle (ou casstatique)

    [[ ]].n = 0

    le vecteurcontrainte est continu au travers de toute surfacematerielle

    le tenseur des contraintes nest pas necessairement continu!

    Equations aux discontinuites 47/59

  • Plan

    1 Lois dEuler du mouvement

    2 Representation des efforts interieursLe postulat de CauchyLe lemme dimpariteLe theoreme de Cauchy

    3 Equations locales de la dynamiquePremiere loi de Cauchy du mouvementSeconde loi de Cauchy du mouvement

    4 Equations aux discontinuites

    5 Bilan : equations locales de la dynamique et de la statique desmilieux continus

    6 Etats de contraintes remarquables

  • Bilan : cas general

    t = .n vecteurcontrainte

    Equations de champ :

    div + f = a quantite de mouvement (Cauchy 1)

    T = moment cinetique (Cauchy 2)

    Equations aux discontinuites :

    [[U]] = 0

    [[ ]].n U[[v ]] = 0

    Bilan : equations locales de la dynamique et de la statique des milieux continus49/59

  • Bilan : cas statique

    t = .n vecteurcontrainte

    div + f = 0 quantite de mouvement

    T = moment cinetique

    [[ ]].n = 0 continuite du vecteurcontrainte

    Bilan : equations locales de la dynamique et de la statique des milieux continus50/59

  • Plan

    1 Lois dEuler du mouvement

    2 Representation des efforts interieursLe postulat de CauchyLe lemme dimpariteLe theoreme de Cauchy

    3 Equations locales de la dynamiquePremiere loi de Cauchy du mouvementSeconde loi de Cauchy du mouvement

    4 Equations aux discontinuites

    5 Bilan : equations locales de la dynamique et de la statique desmilieux continus

    6 Etats de contraintes remarquables

  • Traction simple

    = d d

    [ ] =

    0 00 0 00 0 0

    (e 1=d ,e 2,e 3)

    2

    1

    machine de traction hydraulique(capacite 10t)

    Etats de contraintes remarquables 52/59

  • Etat de contraintes biaxial = 1 d 1 d 1 + 2 d 2 d 2

    avec d 1.d 2 = 0

    [ ] =

    1 0 00 2 00 0 0

    (e 1=d 1,e 2=d 2,e 3)

    contraintes planes

    2

    1

    11

    2

    2

    machine de traction biaxialepour eprouvettes cruciformes(laboratoire 3S-INPG)

    Etats de contraintes remarquables 53/59

  • Etat de contraintes triaxial

    [ ] =

    1 0 00 2 00 0 3

    mecanique des roches et des

    sols

    machine de compression plane souspression de confinement (baindhuile, 2MPa, laboratoire 3S-INPG)

    Etats de contraintes remarquables 54/59

  • Etat de contraintes triaxial

    [ ] =

    1 0 00 2 00 0 3

    mecanique des roches et des sols

    machine triaxiale, echantillon

    cubique (150x150x150mm3)

    (bain dhuile, 2-60MPa, verins

    10t, laboratoire 3S-INPG)

    Etats de contraintes remarquables 55/59

  • Etat de contraintes triaxial

    [ ] =

    1 0 00 2 00 0 3

    machine triaxiale, LMT-Cachan

    Etats de contraintes remarquables 56/59

  • Essai de cisaillement

    Etats de contraintes remarquables 57/59

  • Etat de cisaillement simple

    = (d 1 d 2 + d 2 d 1)

    [ ] =

    0 0 0 00 0 0

    (e 1=d 1,e 2=d 2,e 3)

    2

    1

    avec d 1.d 2 = 0

    Etats de contraintes remarquables 58/59

  • Champ de contraintes non homogene

    Essais sur structures : flexion 4 et 3 points

    Etats de contraintes remarquables 59/59

    PlanLois d'Euler du mouvementReprsentation des efforts intrieurshypothesislemmetheocauchy

    Equations locales de la dynamiquePremire loi de Cauchy du mouvementSeconde loi de Cauchy du mouvement

    Equations aux discontinuitsBilan : quations locales de la dynamique et de la statique des milieux continusEtats de contraintes remarquables