Le theoribme de Dirichlet et l'imagerie coherente

P. Michel Duffieux

In the introduction to Chapter II of his work L'Int6grale de Fourier et ses Applications l'Optique,Duffieux reduces Dirichlet's Theorem to a "specific summary." Developed by a convolution where thefunctions of influence apply [Rev. Opt. 34, 351 (1960)], Dirichlet's Theorem immediately gives data onthe form of two functions that the Fourier transform introduces in Fraunhoffer diffraction at infinity.The distribution plane, where one normally cuts off Huygens' pupils, F(x,y), is composed not of points,but of diffraction figures or correlation functions. The function f(u,v) of a spread of frequencies is also adirective function, but it shows no correlation and has discontinuities. F(x,y) is linked with the undula-tory theory of light, andf(u,v) represents a corpuscular flux. Two conclusions can be drawn therefrom:(1) the limited pupils must, correctly, be defined by the directive functionf(u,v); (2) Fourier's equationestablishes a relation between two aspects of the propagation of the light crossing a plane, one of whichconforms to the undulatory theory of light, the other to his corpuscular theory. We are visibly lacking acorpusculatory theory of light and its coherent images.

SommaireDans l'introcluction du chapitre II de son ouvrage:

"L'Int6grale de Fourier et ses Applications l'Op-tique", l'auteur rduit le theoreme de Dirichlet Aun "nonc6 sommaire" cause "du peu d'usage" qu'ilen a fait alors.

Developpe par une convolution o interviennent desfonctions d'influence, 1 le theoreme de Dirichlet fournitimmediatement des renseignements sur les types desdeux fonctions que la transformation de Fourier intro-duit dans la diffraction de Fraunhoffer dite " l'infini".La distribution plane o l'on dcoupe habituellementdes pupilles de Huyghens, F(x, y), est composee non depoints, mais de figures de diffraction ou fonctions decorrelation. La fonction f(u,v), d'un espace de fr6-quences, est aussi une fonction directive mais elle nepresente aucune correlation et supporte des discon-tinuites. F(x,y) est lie la theorie ondulatoire de lalumiere etf(u,v) represente un flux corpusculaire.

On en tire deux cons6quences: (1) les pupilles limiteesdoivent, correctement, tre dfinies par la fonctiondirective f(u,v): (2) l'equation de Fourier tablit unerelation entre les deux aspects de la propagation de lalumiere travers un plan, l'une conforme la th6orieondulatoire de la lumiere, l'autre a sa theorie corpuscu-laire. I nous manque visiblement une th6orie cor-pusculaire de la lumiere et des images coh6rentes.

The author is with the Universit6 de Besangon, Faculte desSciences, La Bouloie-Besangon, France.

Received 29 June 1966.

Fonctions d'une variableLe th6oreme de Dirichlet s'exprime habituellement,

pour la fonction F(x), par l'equation:

F(xo) = lim2[F(xo - e) + F(xo + e)] pour e - 0. (1)

La valeur en x de F(x) est la moyenne des aleurs imm&diatement anterieure et posterieure a F (xo).

Naturellement le th6oreme ne s'applique qu'a cer-taines classes de fonctions. Placons-nous au point de vuedes fonctions qui interessent l'analyse de Fourier:il suffit que dans un intervalle xo - X, xo + X, on puisseisoler un el6ment de F(x) qui soit representable par unes6rie de Fourier.

Le th6oreme donne une valeur aux discontinuitdsde premiere espece que l'on rencontre frequemment dansles dveloppements en sries ou integrales de Fourier.Dans la fonction rectangle (Fig. 1): la ligne F(x) =a pour x < x < x2, nulle ailleurs, la ligne F(xi) =F(x2) = 0,5a; la ligne les c6t6s verticaux du "rect-angle" sont rduits aux deux points Ao, A1. Dans lecas d'une discontinuite de seconde espace, qui est depremiere espece pour la driv6e, le theoreme de Dir-ichlet donne la derivee au point anguleux:

[dF(x)/dx] = lim{f[dF(x - )/dx] +

[dF(xo + e)/dx] } pour e - 0. (2)

Dans la fonction "Triangle isocele" (Fig. 2) la tangenteau sommet est horizontale.

ConvolutionL'envie vient tout de suite d'6tendre la transformation

(1) toute la fonction, ce que l'on obtient facilementpar une convolution dont la fonction de dissipation est

February 1967 / Vol.6, No. 2 / APPLIED OPTICS 323

A

xi 0o

ou a = + (a2)i, rel;

G(x) dx = 1;

Fig. 1. Fonction rectangle. Points de Dirichlet.

immddiatement sugg6r6e par la Fig. 3:

G(x) = 0,5[5(x - ) + (x + e)]; (3)

les fonctions 6tant les fonctions de Dirac, points inte-grables de valeur 1:

r+J S(x) X dx = 1. (4)

La fonction (3) a pour transform6e:

g(u) = [exp(i2irue) + exp(-i2rue)]/2 = cos2lruE. (5)

On obtient facilement les deux equations de la con-volution et leurs limites:

F'(x) = F(x) ®D G(x)= F(x) ®D (x) = F(x) pour e -( 0, (6)

T*[F'(x)] = f'(u) = f(u) x cos27rue= f(u) X 1 _f(u) pour e - 0. (7)

La figure 3 est une demonstration du theoreme deDirichlet. Cette dmonstration exige: (1) que lafonction F(x) soit integrable; (2) que sa transform6ef(u) soit convergente.

Ces deux conditions excluent des deux fonctionsF(x) et f(u) les points int6grables et les fonctions .Ces types de discontinuit6s ne s'accordent pas avecl'6nonc6 simple de l'6quation (1). On le voit sanscalcul sur une figure telle que la fig. 4 qui est en sommele sch6ma d'un spectre de raies fines se d6tachant surun fond continu. Quand il sera question des fonctionsde deux variables ce sch6ma sera celui d'une 6toile surune n6buleuse gazeuse.

II est 6vident que l'dquation (1), seule, donnera Acomme limite en x0 des deux valeurs ant6rieures et pos-t6rieures infiniment voisines. La convolution desdquations (6) et (7) au contraire r6intdgrera la fonction8 au point x0. C'est donc le choix singulier d'une fonc-tion de dissipation telle que le G(x) de l'6quation (3)qui cree la contradiction. Nous sommes donc amen6sa conserver nos convolutions (6)-(7), en changeantseulement la nature de G(x).

Fonctions d'influenceGkndralisons la m6thode en prenant d'autres fonc-

tions de dissipation que les deux points integrables dela fonction (3).

(1) Prenons comme exemple la fonction de Gaussnormalisde:

(9)

donc la transform6e de Fourier:

g(u) = exp[-(r 2/a2)u2],

a pour valeur a l'origine:

g(0)= 1.

La convolution

F(x) ® G(x) = F'(x)

entraine sans restriction:

f(u) X g(u) = f'(u).

(10)

(11)

(12)

(13)

Si a croft ind6finiment, 1/a tend vers zro, g(u)tend vers une constante 6gale a l'unite et G(x) vers lafonction 8(x). On a donc finalement:

F(x) ® G(x) - F(x) ® (x) =-F(x),

f(u) X g(u) - f(u) X H(u>) =- f(uX).

(14)

(15)

(2) Prenons la moyenne de F(x) entre les deux valeursxo - e et xo + e. La convolution correspondante a, pourfonction de dissipation normalisde, une fonction rec-tangle:

G(x) = 1/(2e) (16)

pour -e < x < + e, nulle ailleurs, qui a pour transform6e:

g(u) = (sin2urue)/(27rue), (17)

avecg(O) = 1.Il est 6vident que pour e tendant vers z6ro, G(x)

tend vers (x) et que g(u) tend vers H(u), c'est-h-dire la constante 1. Nous pourrons encore r66crire les6quations (14)-(15).

(3) Prenons maintenant comme derniere et plus im-

dF,)

x.

Fig. 2. Fonction triangle isocele. TangenteDirichlet.

a-X- X+C

/i

I

os ~2 i u~

au sommet de

Fcu,

G(x) = a7r exp(-a2x2 ), (8) Fig. 3. Convolution par la fonction 0, 5 [(x - e) + (x + e)].

324 APPLIED. OPTICS / Vol. 6, No. 2 / February 1967

.k E s .! 4 - _l ^

.\_

al

1,~6tx-e, x

A

60x-x /. /(x)

xxO

Fig. 4. Disparition d'une fonction (x- x) par la mdthode deDirichlet.

portante fonction de dissipation, pr6cis6ment la trans-form6e normalis6e de la fonction rectangle. Nouspouvons poser immediatement:

g(u) = 1 (18)

pour - U < u < + U et nulle ailleurs, qui donne:

G(x) = 2U[(sin27rUx)/(27rUx)]. (19)

Quand U et le rectangle deviennent infiniment grand,g(u) tend naturellement vers la fonction H(u). Maisles franges liees au num6rateur de G(x) se resserrentd'autant plus sur 'origine des x que U devient plusgrand. A la limite, G(x) devient une fois de plus 6galea la fonction o(x) ... et nous sommes ramenes aux 6qua-tions (14)-(15).

Naturellement toutes les fonctions d'influence quitendent, avec leurs transform6es, vers des couplesH(u)-5(x), acceptent dans F(x) et f(u) des points inte-grables ou fonctions . Les premieres conditions d'in-t6grabilit6 de F(x) et de convergence de f(u) n'ont plusde sens.

Fonctions a spectres limit6s

Restons encore au point de vue math6matique, c'est-a-dire: ne, cherchons pas a donner un sens physique niaux fonctions F(x) et f(u), ni aux variables x et u aux-quelles nous laisserons le champ maximum de variation,de - + . Nous donnions a g(u), dans le dernierexemple, un domaine limit6 au dbut. Appelons 'ce domaine et appelons fonction de domaine de G(x)et g(u) la fonction:

'p(u) = 1

p(u) X V,(u) = &(u). (22)

D'oA quatre ca sprincipaux li6s aux positions relativesde 4 et 4': nous appellerons 't'(x) et '(x) les transform6esde k(u) et (u); ce sont des fonctions de la formek[(sins)/s], ayant sub iune torsion hlicoidale si lemilieu du domaine ne coincide pas avec l'origine des u.

Quelles que soient les positions relatives de etde 4' sur 'axe des u, finit toujours par dpasser departout le domaine 0 puisque les limites de ce derniersont distance finie et que, pour imiter l'equationfondamentale du th6oreme de Dirichlet, celles de 's'6loignent ind6finiment. Mais on voit, sur le 4edes cas du Tableau I. ce que la convolution ajouteaux consequences apparentes du th6oreme de Dirichlet:une fonction F(x) dont le spectre est limite n'est pas definiepoint par point: son el6ment de constitution n'est pas lepoint euclidien mais la transformee de sa fonction dedomaine spectral. Nous dirons qu'elle est une fonctiondiffractee et non unefonction euclidienne.

Nous pouvons d6ja faire des remarques qui nousentraineront vers l'optique.

(1) Le spectre f(u) est une fonction dfinie point parpoint et qui peut meme etre rduite a un nombre fini de"sampling points". C'est une fonction euclidienne.Mais dans ce cas, si elle est formee d'un nombre fini depoints, rien a priori ne nous certifie que c'est un spectrelimit6. Nous devons pr6voir une extension du theo-reme des fonctions de plusieurs variables pour les-quelles la limitation du spectre ne sera nette et dfinieque par une limite continue.

Ce sera donc F(x) dont la nature* exigera un spectrelimit6. F(x) fera partie d'une classe de fonction oi,lorsque le spectre est rduit un point integrable, lafonction est rduite a 'I'(x) transform6e de la fonctionde domaine lie a la classe des fonctions F(x).

(2) f(u) tant limit6e, F(x) est illimit6e. F(x)peut tre integrable mais cela n'est obligatoire. f(u)est en effet une fonction euclidienne qui peut contenirdes points int6grables, des fonctions de Dirach. Elle

(20)

pour uV/ et nulle partout ailleurs.F(x) ayant un spectre limit6 qui est sa transform~e

f(u), celle-ci occupe un domaine limit6 de l'axe de u(Fig. 5). Ce domaine peut 8tre lacunaire, comme dansla fig. 5, mais les limites qui nous int6ressent ici sontul et u2, la plus basse et la plus haute des valeurs de upour lesquelles f(u) est non nul. Soit ce domaineconnexe. Comme pour le domaine 4' nous dfinironsunefonction de domaine 0(u):

LiUII 'p

N'U

Fig. 5. Fonction de domaine o(u).

q!(u) = 1 (21)

pour u < u < u2, nulle ailleurs.

Si maintenant nous proc6dons la convolution des6quations (12)-(13), il est vident que le domained'integration de (12) correspond une fonction de do-maine '(u) directement issue du produit de l'equation(13).

* En optique cette nature est ce que l'on appelle la nature ondu-latoire de la lumiere, c'est-a-dire le fait que le modele du calcul an-alogique est la propagation par ondes. Les distributions sont alorsle rsultat de superpositions d'ondes stationnaires dont la fre-quence la plus lev6e est celle de la longueur d'onde pour l'image-rie coherente et de la demi-longueur d'onde pour l'imagerie inco-h6rente. Si les ondes ne sont pas un fait certain, cette limite en estun.

February 1967 / Vol. 6, No. 2 / APPLIED OPTICS 325

-

.P(U)=l

Tableau I. Ondes et Faisceaux de Photons

Pno= 0.'(u) = (u) X (u) = 0

f'(u) = 0F'(x) = 0

0'(U)= (u) X /(u) • 0f'(u) = f(u) X '(u)F'(x) = F(x) ((x)

0'(u) = (u) X Vt(u) = (u)f'( ) = f(u) X gi(u) # f(u)F'(x) = F(x) T(x) # F(x)

0'(U) = q(u) X p(u) = q5(u)f'(u) = f(u) X k(0) = f(u)F'(x) = F(x) ® 'I'(x) = F(x)

I

I

0 MU

° M Uu

Soit donc F(x,y) une distribution d'amplitude com-plexe superficielle, plane, non limitee, telle qu'elle estd6finie par la propagation permanente d'ondes co-h6rentes illimit6es, a travers le plan des x,y. Pratique-ment F(x,y) est toujours integrable, mais nous verronsque cette int6grabilit6 n'est pas mathematiquementn6cessaire, ce qui est bien commode dans certains sch6-mas.

La transformee f(u,v) a, en optique, un sens sp6cial.Prenons la longueur d'onde de la lumiere utilisee commeunite de longueur des coordonnees x,y: u et v sont alorsles cosinus directeurs, par rapport Ox et Oy, d'unvecteur unitaire marquant une direction de propagationde l'amplitude complexe. Supposons d'abord quetoute la lumiere traverse le plan des xy dans le memesens qui sera celui des z positifs dans le triedre Oxyz.

Le domaine de f(u,v) est alors, dans l'espace planuv, le cercle de centre O', origine des u,v et de rayonunitaire (fig. 6):

U2

+ V2

< 1. (23)

peut pr6senter des discontinuit6s tandis que F(x),ayant un spectre limite, est une fonction bien continue.Le theoreme de Dirichlet est done toujours applicablea F (x) mais non toujours af(u).

(3) Quel est donc le sens g6neral du theoreme deDirichlet sous sa premiere forme, celle de l'equation(1)? Il implique que F(x) n'ait qu'une seule valeur pourchaque valeur de la variable; les valeurs anterieures etpost6rieures x tendent asymptotiquement vers F(xo)mais n'atteignent jamais le point x: leurs abeisseselles-memes, x - e et x0 + e tendent vers x0 sans jamaisarriver coincider avec lui. La convolution changedonc bien des choses pour les fonctions spectreslimites, comme toute les distributions de lumiere.

La transformation de Fourier et ladiffraction a l'infini

En 1946 dans son ouvrage "L'Int6grale deF ourier etses Applications a l'Optique" l'auteur ecrivait au chap-itre V et sous le titre ci-dessus: J'ai identifi6 brutale-ment la transformation de Fourier et les ph6nomenes dediffraction a l'infini dits de Fraunhofer. L'erreur estcependant 6vidente. Nous ne pouvons pas encore ladiscuter utilement.

C'etait le th6oreme de Plancherel qui r6velait l'erreurqui 6tait simultan6ment li6e a la conception des pupilleset de la diffraction. Celle-ci apparaissait dans la majeurepartie des trait6s d'optique instrumentale comme lideat la limitation des faisceaux, c'est-a-dire a l'existencede diaphragmes: les pupilles 6taient d6crites d'apres leprincipe de Huygens et la th6orie ondulatoire.

Aujourd'hui la transformation de Fourier apparaita tous les opticiens le cas le plus simple et le plus sir ducalcul d'un phenombne de diffraction. Il suffit doncde chercher dans quelles conditions la d6finition despupilles et des figures de diffraction satisfait le th6oremede Plancherel c'est-a-dire, dans la thdorie des ondes, leprincipe de conservation de l'6nergie.

Par analogie avec la sphere d'extension de Laue dela diffraction des rayons X, appelons ce cercle lecercle d'extension. Il est represente fig. 6(a) et la fig.6(b) repr6sente la fonction de domaine correspondante((u,v) qui a la valeur 1 a l'interieur du cercle et consti-tue ce que nous avons appele ailleurs un plateau.

La transformee de ce plateau circulaire est la figurede diffraction classique d'Airy:

s6(x,y) = f(uv)]. (24)

Elle est de revolution et il nous suffira de connaltresa section par l'axe des x; elle est normalisee:

4'(x,O) = [Ji(27rx)]/7rx. (25)

Nous avons represent6 fig. 7, en 3 dessins, les cas 3 et 4du Tableau I. 4' est un cerele concentrique au cercle d'ex-tension 4. 4'(u,v) est done un plateau circulairecomme 0(u,v), de meme cote 1, mais de rayon variabler, I(x,y) est done aussi une figure d'Airy:

I(x,O) = r2[Ji(27rrx)]/7rrx.

Elle tend vers une fonction 3(x,y) pour r infini.3e cas [fig. 7(a)]: 4e4).La convolution a pour equations fondamentales:

f'(u,v) = f(u,v) X Vp(uv) 0 f(u,v)

F'(x,y) = F(x,y) ® (x,y) P' F(x,y).

V

U

a/ Domaine p

(26)

(27)

(27bis)

V

b/Plateau 'P(uv)

Fig. 6. Domaine bidimetionnel et fonction de domaine(plateau) yp(u,v).

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10.

20

30

40

4e cas [figs. 7(b) et 7(c)]: oe-4, (b) et = , (c).Des que 4' coincide avec [fig. 7(c)] et quand , dd-borde partout le contour de [fig. 7(b) ] les quationsfondamentales de la convolution sont:

f'(u,v) = f(u,v) X (u,v) _f(uv),

F'(x,y) = F(x,y) ® 4(x,y) _ F(x,y).

TransForm~es

(28)

(28bis)

Cette derniere quation a dans l'optique instru-mentale et dans le dualisme onde-corpuscule, des con-sequences considerables.

(a) (b) (c)

Fig. 7. Convulution d'une fonction 6 spectre limite: 3e et 4ecas. (Le doniaine rsultant est hachure.)

Quelques remarques et consequences(1) F(x,y) est une fonction bien continue, illimit6e.

Elle est definie par la th6orie ondulatoire de la lumiere,quoique le cos wot signalant la vibration ait disparu deson expression. I reste sous-entendu, puisque nouslaisons la "longueur d'onde" comme unite de longueurdans son plan.

D'un autre c6te, elle rsulte de l'interf6rence desnombreuses fonctions cb(x,y) dans le 4e cas, des nom-breuses fonctions (x,y) dans le 3e cas. Celui-ci estbien connu: c'est celui des pupilles limit6es classiques enoptique des images et qui fournissent des cones derayons a chaque point de l'image. Les T(x,y) sont donedes figures de diffraction et il est bien difficile de nepas donner le meme nom a 'J(x,y). Aussi peut-on direque F(x,y), qui est une rpartition d'amplitude com-plexe a laquelle aucun obstacle materiel n'a contribu6,est elle aussi une fonction diffractee, c'est-a-dire form~ede figures de diffraction.

(2) Ces figures de diffraction, aussi bien (x,y) que'I(x,y), sont illimit6es, les secondes, du type (27), formeesde franges concentriques de module assez lentementd6croissant. L'information, au lieu d' etre distribuepoint par point, comme dans la plupart des fonctionsest, pour chaque 6l6ment, rpartie dans tout le plan.On le constate bien avec les hologrammes. On pour-rait avoir envie de suivre les vieux usages des imageriesincoherentes et dire que ces figures peuvent tre r-duites au "faux disque" de leur frange circulaire cen-trale. Mais celle-ci regoit de l'amplitude complexec'est-a-dire de la lumiere et de l'information de tous lesautres points du plan.

II y a done des correlations entre tous les points duplan des xy. Aussi avons-nous ailleurs appele fonctionsde cor-elations ce que nous avons appele fonctions dedomaine et, maintenant, figures de diffraction.

(3) f(u,v) est au contraire dfinie point par point;elle admet les discontinuites, les points integrables, leslacunes: elle est directive et d6finit un faisceau de direc-tions. Elle serait done sans doute mieux tracee, ici,sur une sphere qui aurait n6cessairement avec la lon-gueur d'onde comme unit6 des x,y, un rayon egal luiaussi a l'unit6. En fait il est facile de transformer cettefonction superficielle en fonction tridimensionnelle enremarquant que tout ph6nomene qui comporte unepropagation travers un plan est dans un espace tri-dimensionnel. Le calcul qui suit a l'avantage de relierla diffraction classique de l'optique physique celle

des rayons X pour laquelle les obstacles sont tridimen-sionnels. 2

Effectuons sur F(x,y) une convolution par une fonc-tion de Dirac b(z), le point integrable situe I l'originedes axes des x,y,z, n'6tant pas integrable sur les trajetspassant par 0 et contenus dans le plan des x,y. Nousecrirons:

F(x,y,O) = F(x,y) ® (z). (29)

La transformee de (z) est, dans 'espace rciproqueuvw, une valeur unitaire sur tout l'axe des w et que nousnoterons H(w - 0). On doit done ecrire:

f(u,v,w) = f(u,v) X H(w - 0). (30)

Cette fonction est une distribution cylindrique obtenuepar une translation def(u,v) tout le long de l'axe de w.

Mais u,v,w sont les cosinus directeur d'un vecteurunitaire; nous devons done ne conserver comme trans-formee de F(x,y,O) que l'intersection de ce cylindre pleinpar la sphere creuse (fig. 8):

U2

+ V2

+ W2

= 1. (31)

On demontre facilement que l'6quivalent de la den-sit6 plane egale a l'unite pour la fonction de domaine4(u,v) est sur la demisphere correspondante propor-tionnelle a w, ce qui signifie que tout element plan deF(x,y) suit la loi de Lambert.

(4) L'unite de longueur choisie X n'est pas obligatoire.Si nous prenons une unit6 de longueur quelconque pourle plan xOy, nous poserons pour cette unit6:

1 = X, (32)

/u etant le nombre d'ondes de la radiation. Dans l'espaceu,v, et eventuellement w, le cercle et la sphere d'exten-sion ont pour rayon:

1/x = p. (33)

Dans ce plan la circonference du cercle d'extension cor-respond toujours la priode ; les dessins des deuxfonctions F etf dans leurs espaces sont a la m~me echelle.

(5) Dans la th6orie classique des pupilles, on isole unmorceau du plan des x,y au moyen d'un diaphragmed6coup6 dans un corps opaque: c'est une pupille deHuygens, mais l'on voit par ce qui precede les difficul-t6s que l'on pose devant soi. Evidemment les r-sultats sont assez bons si l'on se limite au domaineparaxial; plus exactement si l'on ne regarde que lecontenu du plan des uv au voisinage imm6diat du centre

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Fig. 8. Splbre d'extention de Laue des images planes coh6rentes.

0, en n6gligeant les hautes frequences qui permettent de"distinguer" une diffraction 6loign6e aussi mal d6finieque connue.

Il semble beaucoup plus naturel de consid6rer letrou du diaphragme perc6 dans une matiere opaque,comme d6limitant en espaces uvw un faisceau de direc-tions de propagation.

C'est videmment une conception corpusculaire: lediaphragme limite un faisceau de photons. Des loiset des m6canismes encore inconnus attribuent cefaisceau non seulement des directions mais encore uner6partition de phase qui est li6e 'ensemble faisceau-diaphraqme. I ne faut pas oublier que les 6quations deLorentz nous interdisent 'acces au temnps du photon.

Cela modifie un certain nombre d'id6es tradition-nelles.

Prenons pour objet une surface monochromatiqueincoh6rente telle qu'un tube de gaz luminescent suivid'un filtre monochromatique. J'en forme une bonne im-age mettons, pour simplifier, avec le grandissement -1.Chaque point du tube envoie sur l'objectif utilis6 un c6nebien d6fini de rayons qui sont suivis par des photons.D'un autre c6t6 un point de 1'image, vu les correlationscr66es entre les points de cette image par la fonction+b(u,v), regoit des photonsvenus de touslespoints del'objetet par consequent de tous les points de 'objectif. Lestrajectoires de 1'6nergie entre l'objet et l'image ne sontpas les memes si Von considare les ondes statistiqueset les photons individuels.

Et cependant les cones de photons mis par chaque6l6ment ponctuel de l'objet et ceux 6mis ou, plut6t,s6lectionn6s dans un 6l6rnent ponctuel de 1'image, L sonttous deux coh6rents. C'est une des raisons secretesqui m'ont toujours attach6 a la conception de la co-h6rence de Young et Fresnel: un flux de quanta estcoherent quand son nergie passe par un point ou plusexactement par une aire correspondante la cibledes photons.

(6) Dans ce qui pr6cede neus avons touch6es a la co-h6rence partielle dont les correlations sont les memes queles celles du 'auteur. Mais ramenons la discussion surla transformation de Fourier li6e a la diffraction telle quesimplifi6e th6oriquement ici:

F(x,y) = fJ fu,v) X cis[27r(ux + vy)]du X dv (33)f .

f(uv) = o +af-co J+0c

F(x,y) X cis[-27r(ux + vy)]-du X dv.

(34)

Comme les corps solides, liquides et gazeux, commela chaleur et la temperature, 'aimantation, 1'6lectricit6,et presque tous les ph6nonenes physiques que nous6tudions en France dans le cours c6lebre de Bouasse, lalumiere est un ph6nomene statistique. Les individusappartiennent aux mondes moleculaire, atomique, cor-pusculaire, aux mondes ou ragne la m6canique quantiqueou plus pr6cis6ment les quanta. Ces donn6es sta-tistiques sont sensorielles, mais, vu la complexitedes sensations, ce sont cependant des abstractions, lesimages mtaphysiques de ralit6s auxquelles nousacc6dons peu h peu.

Nous avons h peu pres puis6 les relations entre lachaleur et sa temperature d'un c6t6, leur figurationatomique et corpusculaire de 'autre. Le feu divin,Agni, le feu des 4 16ments, le phlogistique, ont men6a Dalton, Maxwell, Boltzmann et leurs successeurs

La transformation de Fourier me parait jouer dansla th6orie de la lumiere le r6le des formules thermocine-tiques de Maxwell ou de cette 6quation thermodynam-ique o 'entropie, primitivement li6e a l'int6grationde dQ/T, devient le logarithme d'une probabilit6dans une agitation thermique.

Comme presque toutes lestheories physiques duXIXesiecle, la th6orie ondulatoire de la lumiere est un calculanalogique dont le m6canisme analogue est ce queDuhem appelait, aprbs la dcouverte des quanta delumiere, un modele mnathematique. Ce modele fournitdes calculs n6cessaires, mais n'a pas la r6alit6 physique:cette ralit6 est aujourd'hui le photon. Mais les en-sembles de photons ont deux particularit6s qui lesdistinguent des ensembles d'autres particules ayantune masse newtonnienne: molecules, atomes ou cor-puscules.

(a) Les ensembles de photons sont les ensembles lesplus exactement lineaires de tous les ensembles cor-pusculaires, atomiques ou mol6culaires: il n'y a pasde correlations entre les photons et l'on a beau rduireleur densit6, les distributions probables restent lesm6mes. Les ph6nomenes des ensembles restent dessommes de ph6nomenes individuels ind6pendants;c'est en pr6sence de la rnatiere que les ph6nomaneslunineux cessent d'etre linaaires, a cause de leurs correla-tions avec la matiere.

(b) Un ensemble de photons regus sur une surfaceest irr6soluble ds que sa densit6 est sup6rieure 1photon par aire 7rX 2 /4. Dans la plupart des cas les densi-t6s rsolubles repr6sentent trop peu d'6nergie pourpouvoir etre encore 6tudi6es.

Les 6quations de la transformation de Fourier, tellesque nous les avons introduites, il y a 20 ans, dans les cal-culs de diffraction, rendent effectivement un compteaussi exact que possible du passage de la lumiere a tra-vers un plan ind6fini libre de toute matiere faisant ob-

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stacle. Elles tablissent dans ce plan une relationentre le passage de l'onde analogique et le flux des cor-puscules rels; seul ce flux peut tre diaphragmedans le plan ou dans l'espace directifs. Ce sont des6quations analogues celle qui, en thermodynamique,relient les deux formes de l'entropie. Il n'y a pasdouble nature de la lumiere, il y a seulement un aspectstatistique sensoriel, au niveau de l'homme et un aspectcorpusculaire, individuel, que la physique dcouvrelentement.

AppendiceIl existe d'autres 6quations reliant les deux theories

de la lumiere: l'ondulatoire et la corpusculaire. Laplus ancienne est l'equation du quantum de Planck:w = h = (hc/X). w est le "grain" d'energie, le cor-puscule, mesurable par effet photoelectrique mmequand il est seul. v est la fr6quence et X la prioded'une distribution spatiale continue: l'onde. Ce sontdes valeurs statistiques, abstraites d'un flux irresolublede photons.

D'autre part l'auteur a publie, il y a d6ja longtemps,sous le titre de "forme optique du photon"2 , un essai deliaison entre les deux aspects, ondulatoire et corpuscu-laire. L'auteur peut en donner maintenant un expos6plus net et plus explicite.

On a obtenu des cliches de traces de photons. Desphotons distincts et meme un photon isol6 font partiede ces distributions de lumiere, F(x,y), que nous avons6tudies. Pour simplifier l'ecriture et mieux marquer leparadoxe, prenons un photon unique dont la trajectoireest normale au plan des x,y. Il se peut que nousdevions attribuer ce photon une certaine section ef-ficace normale sa trajectoire. La limite du pouvoirseparateur la fixe aux environs d'un cercle de rayon X/2et les d6tails relevent donc de frequences exterieures aucercle d'extention, c'est-a-dire inaccessibles a la th6orieondulatoire. L'auteur a montr6 ailleurs3 que le principed'incertitude d'Heisenberg s'opposait a la connaissancede l'int6rieur de ce cercle par le moyen de la lumierepropagee.

En tout cas les valeurs de u et v sont indubitablementnulles et uniques. En espace u, v, w, la direction de cephoton est indubitablement repr6sentee par l'axedes w, c'est dire par un point integrable de formeA6(u,v), A tant l'amplitude complexe attach6e auphoton.

Ce point integrable a pour transformee une fonctionF(x,y) qui est gale A dans tout le plan des x,y.C'est l'onde plane indefinie et non le photon uniqueinitial. I s'est substitue a lui une infinit6 de photonsidentiques dispers6s rgulierement la limite de leurpouvoir sparateur. C'est que nous avons oublie

deux conditions essentielles en posant un problemetrop simple.

(1) La fonction F(x,y) rsulte d'une statistique por-tant sur un ensemble assez nombreux pour paraitreinfini. I suffit ici qu'il soit irresoluble. Ce sont lessources habituelles qui nous ont fait considerer unique-ment des ensembles plans de photons juxtaposes.Les premier lasers rubis au seuil de l'6missions induitenous montraient au contraire d'admirables files dephotons sesuivant sur la meme trajectoire en nombresqui atteignaient et meme d6passaient facilement lemillion. L'6mission etait lineaire et non conique, cequi est bien conforme au m6canisme de l'emissioninduite.

Pour une telle file de N photons la transformee enespace uvw serait donc NA 8 (u,v), correspondant sur leplan des x,y une couche de N photons en pavageirr6soluble. C'est ici un des points o le calcul ana-logique et les realites corpusculaires ne coincident plus.

(2) Nous avons oubli6 que l'equation w = hv imposeau photon, m~me isol6, une longueur d'onde dduited'interf6rences mesurables sur un plan. Or cettelongueur d'onde, base de la th6orie ondulatoire, est lemieux definie par le cercle d'extention. Nous ne pou-vons sortir de ce dilemme qu'en attribuant a l'6l6mentcorpusculaire de l'espace u, v, qui est un point, unetransform6e qui est l'6lment de formation des distribu-tions ondulatoires: la fonction cJb (x,y), c'est-a-direla fonction d'Airy.

En fait, si l'on photographie la face de sortie du rubis-laser, l'image du point de sortie de la file est entour~edes franges circulaires, normales pour l'ouverture nu-m6rique de l'objectif. Si cette ouverture embrassait lademi-sphere, nous retrouverions la figure d'Airy pre-cedente qui represente le maximum d'information quepermette, sur le point mettant une statistique suf-fisante de photon, la longueur d'onde X, c'est-a-dire lalumiere emise.

Un calcul analogique n'est pas, si l'on ose dire, un calculidentique et l'usage de la transformation de Fourier,quelle que soit sa g6n6ralit6, est forcement limit6epuisqu'elle lui est attachee. Elle s'applique aux ima-ges, toutes les distributions que donne sur un plan unflux de lumiere qui se propage au travers. Malgr lejaillissement des flux, les sources ne peuvent 8tre aveu-gl6ment assimilees des pupilles. Gabor l'avait faitremarquer il y a un peu plus de 10 ans au congres CIOde Florence et l'auteur loi-meme appel6 "visage" l'imageque nous en faisons et dont il est sage de faire debuter leflux.

Bibliographie1. P. Michel Duffieux, Rev. Opt. 39, 460 (1960).2. P. Michel Duffieux, Cahiers Phys. No. 41, 55 (1953).3. P. Michel Duffieux, Rev. Opt. 41, 417 (1962).

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