-
1
1.
-
, -
.
.
. -
,
- ,
.
, , -
, ,
.
, , -
.
. -
.
1.1.
, -
, . .
1.1.1.
-
2
: -
.
,
.
,
. ,
.
. , , -
-
.
. , -
. -
.
-
3
1.1.2.
, ,
,
.
-
: ( ) ( ).
. -
, (1)
(2) (), (1)
(2).
,
-
. . 1.4.
1.2.
( ), - ( ) - ( ).
1.2.1.
-
4
.
(1) (2).
, -
u(x) xi:
! ! . (3) h ( h
-
1
,
. 1 ,
.
, h (3) (4). h
1.2.2.
5
. 1.
,
- u2.
,
, i = 0,1,2,... .
u(x). (x0,u0)
x0 x1. ,
h u
,
(5)
-
-
du(x0)/dx, ,
u1
h2, - - .
.
-
6
,
u(x) . u(x) , h2 d2u(xi)/dx2 (3). , :
! !"#! , (6) x = h, u ' (x i + h) = du(x i + h) /dx u ' (x i ) =
du(x i )/dx.
(3) , , h3,
2 % & (1) ,
.1.2.1, , , -
" , ", ". (7) (7) ui+1 , ui+1
. ,
, , ,
, .
(7) , ui+1*, -
(5). ui+1* , (7) - . (5) (7) - - ( ).
-
7
. 2.
. 2 , , u(x) h.
.
h3.
.
. 2.
u(x), . -.
1.2.3. -
-
d2u(xi)/dx2 - (6), u'(xi) u'(xi+h) . ,
,
(3)
-
8
. u'(x) xi xi + h.
-
, -
. -
.
-
. ,
-, -
, )*+*,*- , (8) An - , kn - + , , + ., /+, + ., /+ /+,
(9) ., +, .,, /,,+. . . /,,,#+,#,
n , , 0 < m < n p . An , n
10 130 1330 . . . 140 0, (10)
1(h) = u(xi + h ) (xi,h ) (xi,h ) u(xi + h ) . p (8)
-
9
, ,
.
, p = 1 . , (8) (10), 10 130 0 A1 = 1 1330 5 0,
6 )*+* + , ,,*-
(5). ,
-.
-,
p = 4. , -
h5. - :
" + 2+ 3+ +86 , + , , + , :; , + , : , +8 , +.
- .
, -
. -
h , , .
-
10
1.2.4.
,
~h+1. . ( ).
. ,
uT ui+1,h,
h , +1:
< = ", >,", C - , h . -, h/2, :
< = ", ? > @ 2? A,". ,
", ? = ", >," = > @ 2? A," > @ 2? A," 2," = 1. C -
,
< = ", ? C;,D ? #C;,DEC;# . (11) h .
, h ( ) . h - . h ( ) .
-
11
, ,
, .
.
-
.
h ,
.
, h0, ,
(. 3).
. -
h h/2.
:F", ? = ",F G H, - , .
.
,
.
1.3.
1.3.1.
,
. 3. h
-
12
. -
.
,
-
, . ,
,
, . -
, , .
1.3.2.
(xi, ui) (xi, ui). xi-1 xi xi xi+1. -
, .
-
(1) xi xi+1.
I " = " = C; . (12) (1) f (x , u ) = f (x , u(x)) -
F(x) . xi-1 xi ,
(xi-1, u i - 1 ) (xi, u i ) :
J #K; , = # #, #.
I J 3 , = #, #C; . (13)
-
13
(12) (13) f i f (x i , u i ) , fi+1 f ( x i +1, ui+1),
" 2 3 = #. ,
-:
" 12 23 = 16# 5#;
" 24 55 = 59# 37# = 9#.
, - .
1.3.3. (-)
,
xi+1 .
-:
" 2 " #;
" 12 5" 8 = #;
" 12 9" 19 = 5# #.
,
ui+1, . ,
, -
.
. -
ui+1, , -.
ui+1 . , -
, ui+1 ,
-
14
.
.
.
1.3.4.
-
( - -). ,
. -
, .
, -
, .
-
.
1.4.
1.4.1.
-
, -
.
,
, , , (14) x = a x = b:
u(a) = A, u(b) = B. (15)
-
15
a < x < b , , -
. , ,
.
.
.
, .
1.4.2.
, , , -
,
(14)
. ), RF-S + TUV. (16) u() - , u(x) -
, - -
.
R ? W-S TUV, , u(x) b (15) u(b)=B. ,
.
-
16
" "
, ""
u(x) . u(x), -
. ,
.
1 2.
, = 1
x=b "", u(b) > B, = 2 - "", u(b) < B. , (15) 3 = (1 + 2) /
2,
. -
, x=b B. 4
.
, -
u(b) B. .
1.4.3.
-
,
(15), - .
-
17
"" 1 2,
, u1(x) u2(x). u1(b) = B1 u2(b) = B2, B1 B2,
1X = X X = X X = X. x = a u1(a) = u1(a) = A
x=b u1(b) = B1, u2(b) = B2, , .
-
18
1.5.
1.5.1. MathCAD
-
.
Y ZTT [ ZTT 1> ZT 0, J - , L - , R -
, C - . R = 5 , L = 10-5 = 10-9 . z0 = I z1 = dz0/dt =
dI/dt,
:
\]^_ ` ];_ = b [` c ` .R (17) I = 1 dI/dt = 0,
MathCAD :
R:=5 L:=105 C:=109 t0:=0 tk:=5106 N1:=500
F(t,z):=d e;Kfg e;# ;gie^j F1:=rkfixedkK , t0, tk, N1, fp
rkfixed.
,
- .
:
F := rkfixed(Z0, t0, tk, N, f) ,
-
19
F - , , Z0 - -
, -
, t0 - , tk - -, N - t0 tk, f - -, .
, f(t,z) - MathCAD. z , f(t,z). -
(17) , z. ,
-
20
z, z0,
z1 . , MathCAD ORIGIN .
rkfixed (. . 4, ). - F1. t
F . t0 tk (tk t0) / N. t0 = 0, tk = 5106 c, N = N1 = 500, (tk
t0) / N1 = 5106 / 500 = 108 .
z0(t) z1(t) - F1 F1.
- . 4, .
N = N2 = 1000 (11):
N2:=rkfixedkK , T0, T+, q2, p i:=Frs;t#rs;tFE# max() =
7.7x1010
. 4. MathCAD
-
21
, h/2 109.
.
z0Y0 z1Y1, (17):
uv0T v1 v1T = [Y v1 = 1Y> v0 wR uv0" = v0T v1 v1" = v1T = [Y
v1 = 1Y> v0 w
R yv0" v0 Tv1 v1" v1 = T d[Y v1 1Y> v0j .R
dY/dt Y/ t. MathCAD :
R := 5 L := 105 C := 109 t: = 1 1010 t := 0 .. 50000 1
z tY0Y1| } z010#0 | z
t~"Y0~"Y1~"| } t~ tY0~ t Y1~Y1~ = t dRL Y1~ 1L C Y0~j
, (5), t , i .
t, Y0 Y1 . ("") i+1 i.
Y0(t) . 5.
-
a
,
. 5, t =
(. h = 1010 ,
rkfixed MathCAD .
Stiffr. rkadapt
1.5.2.
MATLAB
ode45
22
. 5.
. 5, = h = 7 109 .
. . 1.2.4). 50000 .
~ 1,5 103. MathCAD ,
. odesolve, rkadapt, Bulstoer
Bulstoer
,
. sbval .
1.5.2. MATLAB
- -
.
t = h = 1010 ,
-
,
Bulstoer, Stiffb
, Stiffb Stiffr
.
-
-
23
ode45 ( - 6.):
[T,Y] = ode45(ODEFUN,TSPAN,Y0) ode45:
ODEFUN - ( ), . -
3 = ODEFUN(T,Y), 3 - - ;
TSPAN = [T0 TFINAL] - , . T0 - , TFINAL - , ;
Y0 - .
ode45: T - , ;
Y - , 3 3 , - T.
-
MATLAB . -
OPTIONS (. help ODESET). , -
(, ), - --:
u" + (u2 - b) 3 + u = 0 , u, 3 u" - , t, b - . b , - u
2 - (, -
).
-
24
3 1 = = 3 ,R y1 = 3 y2 = u, b .
vdp1, - m- vdp1.m. , - --, :
function dydt = vdp1(t,y) dydt = [y(2); (1-y(1)^2)*y(2)-y(1)]
.
,
vdpl 0 < t
-
25
. 6, , . -
,
y2 (y1), . 6, . ode45 MATLAB
- . ode23, ode113, ode15s, ode23s, ode23t, ode23tb.
-
26
2.
2.1.
, -
. :
1.
;
2. ;
3. - ;
4. .
2.2.
1. .
,
.
2. ( - MATLAB, MathCAD ).
3. , , .
4. .
2.3.
1. .
2. .
3. - (, ). 4. , .
5. .
-
27
2.4.
1.
. ?
2. ,
.
3. .
4. .
5. -. 6.
? .
7.
? ?
8. .
9. .
10. . 11. .
12. -.
13. .
14.
.
15. . 16. ? 17. .
-
28
3.
.
, . -
, , .
1. -
().
-
T / T + 0 x - , t - , m - ,
d2x/dt2 - , - ( ), dx/dt - , kx - , (), k - . x: k = k0 (1 +
ax2).
: = 0,5 /; x = 1 , dx/dt = 0 t = 0. .
1-1 1-2 1-3 1-4 1-5 1-6
m , 12 5 7 9,5 15 4
k0, / 0,5 1 1,5 1 2 2
a, 1/2 1 0,5 2 2 +3 0,5
-
,
2.
). ,
k = 1 /;
3.
1)
x -
, -
2-1 m , 5 0, / 1,5 a, 1/2 0,5
,
29
,
x ( t )
1.
x: =
x = 1,5 dx/dt = 0 .
, t -
, k -
F(t)
2-2 2-3 2-4 210 8,5 7 31 0,5 0,5 0,31 1,5 0,2 0,3
,
,
) .
(- -
.
= 0 (1 + ax2). :
t = 0.
(. -
, -
.
-
2-5 2-6 3 12
0,3 1 0,3 0,3
-
x ( t ) .
-
30
JT J T G , 0 T G 1,R
4. (. - 1)
T / T + |Jcos T| , x - , t - , -
, - , k - , Fm - .
x ( t ) , . F(t) = |Fmcos(t)| x(t).
3-1 3-2 3-3 3-4 3-5 3-6 , 0,5 1 0,1 0,3 0,2 1,2 T, 1,5 2 1 1,5
2,5 1,7
Fm , 3000 2500 2000 3000 2500 2000
n = 0, 1 ,2 ,3 ,4 . . . . : = 1 ; -
= 0,5 /, k = 5 /. - x = 0 dx/dt = 0 t = 0. .
, . F(t) x(t).
4-1 4-2 4-3 4-4 4-5 4-6 m , 2 3 1,5 14 2,5 3 Fm, 150 1960 980
720 250 170 , / 0,1 2 2 0,2 12,5 0,3
-
31
5. -
33 = Y d1Y = Yj 1 3 ? , L , P ( ), EJ , x (0 < x < 1). = 0
' = 0 x = 0 , y (x ) .
6. , - - , x .
( -)
\_ = , _ = , R
t , ax , bxy - , cy -
, dxy . a, b , c, d x0, y0
t = 0, . ,
5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6 L, 1,5 1 0,9 2 2,5 1
PL2/EJ 0,001 0,005 0,002 0,01 0,015 0,002
-
32
. -
x ( t ) , y ( t ) y (x ) .
6-1 6-2 6-3 6-4 6-5 6-6
a 0,15 0,2 3,2 0,2 0,15 0,1
b 0,0001 0,001 2,1 0,001 0,02 0,01
c 1 2,1 1,8 3,1 5 2,7
d 0,005 0,01 1 0,01 0,001 0,002
x0 200 500 5 1000 10000 1000
y0 50 150 3 500 200 50
7. -
-:
\_ 1 = : = :# ,_ = , R x y ,
t , ax - , ax/k1 - , bxy/(k2+x) , cy - ,
cdy2/ x x. x0, y0
, x(t) y(t).
-
7-1
x0 20
y0 5
a 1,5
b 1,5
c 0,1
d 0,1
k1 8
k2 1
8.
i , L
C .
t = 0.
8-1
R, 1
C, 0,001
L0, 1
k, 1/A2 5103
33
7-2 7-3 7-4 7
35 7 32 15
7 3 17
1,7 2,7 1,1 2,4
4,2 3,1 2,9 4,1
0,6 0,2 0,09 0,08
0,13 0,05 0,15 0,08
9,3 7,6 12 5,9
2,1 2,5 1,5 2,1
-
, R
. ,
: L =L0(1 k i2), k - i(t),
, di/dt .
8-2 8-3 8-4 8
0,5 1 2 1,5
0,01 0,1 0,047 0,0068
5 10 50 50
9103 103 5103 410
7-5 7-6
15 50
2 5
2,4 1,6
4,1 5,6
0,08 0,2
0,08 0,1
5,9 13,5
2,1 1,8
-
, ---
,
.
dt = 0 i = 10
8-5 8-6
1,5 2
0,0068 0,068
50 10
102 103
-
34
9 . - (. )
Y _ [ _ c T, i , L , R -
, ,
Um , = 2 f .
: R = R0 (1 + k i2), k . u ( t ) = Umsin(t) i ( t ) ,
, Um = 1 -
di/dt = 0 i = 0 t = 0 . .
9-1 9-2 9-3 9-4 9-5 9-6
R0, 2 3 5 3 7,5 1
L, 1 5 10 50 2 10
C, 0,001 0,01 0,1 0,047 0,0047 0,068
f, 106 5106 105 2105 2106 6104
k , 1/A2 81010 21014 1014 51010 41015 71012
10.
.
u
t -
-
35
T 1> @ cosT = [ [ = [A , C , R , R0
(), R , Um , = 2 f .
u0(t) = Umcos(t) u(t) Um = 12 , f = 50 . u(t=0) = 0.
[ [ 10, cosT ,5, cosT. R
10-1 10-2 10-3 10-4 10-5 10-6
R, 200 310 170 100 75 180
C, 2000 500 200 470 5000 680
-
36
11. -
LC-, - . u i
t
\ _ c = , _ b | T| = [ = ,R L C
,
R ,
R0 = RB + RL, RB , RL
, Um
, = 2 f . uB(t) = |Umcos(t)|, u(t)
i(t). : Um = 12 f = 50 . u ( t = 0) = 0, i ( t = 0) = 0 . R0,
RH, L C .
11-1 11-2 11-3 11-4 11-5 11-6
R0, 20 75 35 120 90 20
R, 500 1000 750 1000 2000 1000
L, 0,5 0,7 0,1 1 1,2 0,05
C, 100 40 200 50 100 1000
12. --, -
(, ), :
y" + (y2 b) y' + y = 0
-
37
y, y' y" - , t.
b . , , -
y2.
b, y(t) y'(t), - .
12-1 12-2 12-3 12-4 12-5 12-6
y(0) 1 0 1 2 2 -3 y'(0) 1 1 -2 1 3 20
b 7 3 y y y' 1,5 y' 0
13. , ,
LC- E.
u(t ) i ( t )
uT 1> = , T 1Y = [ = ,R
t , L C ,
R0 = RE + RL, RE , RL
.
-
38
N- - i(u)
i(u) = (0,6u 14u3 + 20u4)exp(10u) + 0,02[exp(u)1] .
u(t) i(t). u ( t = 0) = 0, i ( t = 0) = 0. E, R0, L C .
13-1 13-2 13-3 13-4 13-5 13-6
E, 0,27 0,3 0,22 0,18 0,36 0,19
R0, 7 4,2 3,5 4,8 11,3 5,2
L, 20 7103 1,5104 10 17 200
C, 12 2200 130 12 27 120
14.
, .
Umcos(t) , .
, : L ,
RS , C(u) R(u)
-
39
, .
u i
t
T 1> % = [& , T 1Y cosT = = [ [ .
R
: R = 50 , L = 1,2 , Rs = 6 . : u ( t ) = 0 , i( t ) = 0 t = 0 .
Um f .
14-1 14-2 14-3 14-4 14-5 14-6
L, 1,2 1,5 1,7 1,4 2,2 1,1
RS, 6 5,5 4,7 5,8 4,8 7
Um, 0,65 0,55 0,7 0,8 0,9 0,97
f, 9 14 11 8,2 12 16 R(u) C(u) . - -
[ exp = 1 , i0 = 51013 , b = 28 1/. C(u)
> >1 = , C0 = 0,14 , = 0,85 .
-
u(t) = Umcos(t), u(t) i(t).
-
40
15. -
. ,
z ( ), - :
` 1 d = qj ,
1 () , j 0z, v 0z, q = 1,61019 , N0 .
v
E . v(E) :
_ 81 _ 8 , 0 = 0,6 2/, v s = 105 /, Et = 3,5105 /.
: -
1 = 12,50 = 12,5 8,851012 /, S = 2,5 300 . i = j S , , E(z) z =
0 .
-
41
E(z) 50 n(z) = j/qv [E (z)].
15-1 15-2 15-3 15-4 15-5 15-6
N0, 3 51020 4,51020 5,31020 41020 5,71020 4,11020
i, 5,5 8,3 6,7 7,45 10,6 7,62
E(0), / 0,1105 3,7105 2,5105 3105 3,5105 3,6105
16. - .
T = . = c , m c , T -
, t , P ,
S (T TC) , , S , .
,
,
> Tmax, , < Tmin. -
a :
. .0, * G S /T 0,.1, S * /T G 0,R
0
, 1 .
-
42
T(t), Tmin < T ( t ) < Tmax. :
c = 950 /, m = 0,05 , S = 0,04 2. T(t=0) = Tc = 293 K. .
17. -
T = . = , c m , -
, t , Q , - , S , T
.
Tmin < < Tmax P :
, G /T 0,0, /T G 0, R Tmin Tmax -
.
T ( t ) , T(t=0) = Tc Tmin = 290 , Tmax = 295 . P .
16-1 16-2 16-3 16-4 16-5 16-6 P, 42 55 27 65 43 22
0, /2 17 15 12 25 21 9 1, /2 80 95 35 82 160 75
Tmin, 313 308 313 313 308 303 Tmax, 353 343 343 353 343 343
-
43
17-1 17-2 17-3 17-4 17-5 17-6
P, 2000 250 350 1000 750 500
cm, / 240 140 100 270 700 470
S, / 15 5 8 10 5 7
Tc, 288 263 275 233 278 293
Tmin, 290 290 300 290 313 303
Tmax, 295 305 315 325 328 333
18. -
.
T . = [1 / = , c1 m1 , c2 m2
, , T
, t , , S
, TC , i ,
, R0
T0 = 293 K, . , -
.
T ( t ) T(t=0) = TC =293 K. c2m2 . ,
,
1373 K.
-
18-1
c1m1, /K 1,7104
S, /K 3105
R0, 0,04
i, 1
, 1/K 0,05
19. (. ),
vx = v cos vy = v cos
.
vx = dx/dt :
18-2 18-3 18-4 18
5104 3,3104 4,4105 8
3,5105 4105 1,2105 6
0,014 0,017 0,14 0,006
2 1,5 0,5
0,06 0,05 0,04 0,07
,
cos
, t , k
, m , g 9,8
vy = dy/dt
18-5 18-6
104 1,4103
105 7105
0,006 0,004
3 5
0,07 0,08
, -
,
x :
, -
/2
-
x ( t ) y(t). y(x) x(t=0)=0 y(t=0)=0 k , m, v(t=0).
19-1 19-2 19-3 19-4 19-5 19-6
k, / 1,4 0,05 2,9 1 2 1,8
m, 15 0,3 110 42 85 52
v(t=0), / 300 10 350 140 300 330 , 15 45 25 33 20 45
20. ,
T = + = , T + = = + , T >+ = = > = + ,
R
T , V
, D , O , k1 - , S ( , - ), C (C > 1), k2 , k3 . T, O, V, D S
C -
.
T(t), V(t) D(t) D(t=0) = 0. .
-
20-1 20-2 20-3 20-4 20-5 20-6
T(t=0) 3 10 15 4 12 7 V(t=0) 3 20 5 11 12 5
O 11,7 7 21 15 18 32,6
S 15,5 3 18 15 21 18
C 1,2 1,3 1,5 1,1 1,2 1,2
k1 0,02 0,03 0,2 0,5 0,05 0,02
k2 3 2 1,1 2 1,3 2,6
k3 0,01 0,001 0,1 0,05 0,12 0,04
