Électrostatique Notes de cours - Alain Le Rillealain.lerille.free.fr/2015/Poly17.pdf · physique année scolaire 2015/2016 Électrostatique Notes de cours mardi 19 janvier 2016 I-

physique année scolaire 2015/2016

Électrostatique

Notes de coursmardi 19 janvier 2016

I- Propriétés du champ électrostatique

1. Sources du champ électrostatique

Charge électrique s'y retrouver

les charges observées sont toujours des multiples entiers de la charge élémentaire e (e = 1, 6× 10−19 C).La charge électrique q en coulomb (C) est quantiée.

Densité volumique de charge dénitionLa charge totale Q portée par un volume V est

Q =

∫∫∫M∈V

ρ(M).d3τ

où ρ en C ·m−3 est la densité volumique de charge.Si on dispose d'une assemblée de particules numérotées i, de charge qi et de densité volumique ni,

ρ =∑i

ni..qi

La densité volumique de charge ne dépend pas du référentiel.

Densité surfacique de charge s'y retrouverLa charge totale Q portée par une surface S est

Q =

∫∫M∈S

σ(M).d2S

où σ en C ·m−2. est la densité surfacique de charge

Densité linéique de charge s'y retrouverLa charge totale Q portée par une courbe C est

Q =

∫M∈C

λ(M).d`

où λ en C ·m−1 est la densité linéique de charge.

Invariances s'y retrouverOn discerne en particulier les symétries

• plane : ρ (x, y, z) = ρ (x, y) ou ~j (x, y, z) = ~j (x, y) ;

• cylindrique : ρ (r, θ, z) = ρ (r, z) ou ~j (r, θ, z) = ~j (r, z) ;

• circulaire : ρ (r, θ, z) = ρ (r) ;

• sphérique : ρ (r, θ, ϕ) = ρ (r) ou ~j (r, θ, ϕ) = ~j (r).

spé PC page n 1 Janson de Sailly


Plan de symétrie et d'antisymétrie pour les charges s'y retrouverPour la distribution de charge,

(xOy) est plan de symétrie ⇔ ρ (x, y,−z) = ρ (x, y, z)

(xOy) est plan d'antisymétrie ⇔ ρ (x, y,−z) = −ρ (x, y, z)

Exemple de plans de symétrie et d'antisymétrie pour une distribution decharges schémaLa gure 1 représente un exemple de plans de symétrie (à gauche) et d'un plan d'antisymétrie (à droite).

Figure 1 Exemple de plans de symétrie et d'antisymétrie pour une distribution de charges

1 Symétries d'une distribution cylindrique exercice

. Rechercher les symétries (invariances, plans de symétrie et d'antisymétrie) d'une distribution cylin-drique innie d'axe (Oz), de rayon R de charge (le cylindre est uniformément chargé) ;

2. Flux du champ électrostatique

Équation de Maxwell Gauss dénition

div ~E =ρ

ε0

avec la permittivité du vide : ε0 = 8, 85× 10−12 F ·m−1.

Interprétation de l'équation de Maxwell Gauss en électrostatique schéma

La gure 2 représente le champ ~E diverge des charges positives et converge vers les charges négatives.



Figure 2 Interprétation de l'équation de Maxwell Gauss en électrostatique

2 Théorème de Gauss théorème

Si Qint =∫∫∫

M∈V ρ(M).d3τ est la charge électrique intérieure au volume V délimité par la surfacefermée Σ,

φ(−→E)

=

∫∫©−→E .

−−→d2Σ =

Qintε0

3 Zones de fort champ électrostatique dans une région vide de charge théorème

Les zones de fort champ électrostatique (en norme) sont les zone où les lignes de champ électrostatiquesont les plus resserrées.



3. Circulation du champ électrostatique et potentiel électrostatique

Équation de Maxwell Faraday dénition

−→rot(~E)

= −∂~B

∂t

4 Potentiel et champ électrostatiques théorème

−→E = −−−→grad(V )

où V est le potentiel scalaire (que l'on appelle potentiel électrostatique).

5 Ligne de champ électrostatique et surfaces isopotentielles théorème−→E est orthogonal aux surfaces isopotentielles et va vers les potentiels décroissants.

Interprétation de l'expression de Maxwell-Faraday en statique schéma

La gure 3 représente les lignes de champ de ~E sont orthogonales aux surfaces isopotentielles et orientéesvers les potentiels décroissants.

Figure 3 Interprétation de l'expression de Maxwell-Faraday en statique

6 Equation de Poisson théorèmeLe potentiel électrostatique vérie l'équation de Poisson :

∆V +ρ

ε0= 0



4. Détermination d'un champ électrostatique

Visualisation des champs électrostatiques vidéo

On peut visualiser les lignes de champ électrostatique grâce à des grains de semoule dans de l'huile devaseline.Vous pouvez retrouver la vidéo de cette expérience sur le site alain.lerille.free.fr.

Utilisation des symétries s'y retrouverle principe de Curie énonce que les symétries des causes se retrouvent parmi les symétries des consé-quences.On déduit du principe de Curie que le champ conséquence a (au moins) les symétries de la distributioncause.Le potentiel scalaire V sera symétrique par rapport aux plans de symétrie Π, et antisymétrique parrapport aux plans d'antisymétrie Π∗ de sa cause.Les vrais vecteurs (comme ~E) appartiennent aux plans de symétrie Π, et sont orthogonaux aux plansd'antisymétrie Π∗ des causes.

7 Détermination d'un champ électrostatique en symétrie cylindrique exercice

On s'intéresse à une distribution cylindrique innie d'axe (Oz), de charge (le cylindre de rayon R estuniformément chargé). En déduire les symétries (en statique) de V et ~E.

II- Exemples de champs électrostatiques

1. Charges ponctuelles

8 Loi de Coulomb théorèmeLes champ et potentiel électrostatiques créés par une charge ponctuelle q en O sont

V (M) =q

4.π.ε0OMet−→E (M) =

q

4.π.ε0

−−→OM

OM3

Champ et potentiel électrostatiques créés par une charge ponctuelle schéma

La gure 4 représente les champ (en rouge) et potentiel (en bleu) électrostatiques créés par une chargeponctuelle (positive à gauche et négative à droite).

Figure 4 Champ et potentiel électrostatiques créés par une charge ponctuelle



9 Interaction entre deux charges ponctuelles exercice

On s'intéresse à une charge ponctuelle q en O. Une autre charge ponctuelle q′ se trouve en M .B Déterminer la force qu'exerce O sur M .B Déterminer l'énergie potentielle d'interaction entre les deux charges.

Principe de superposition s'y retrouverComme les équations de Maxwell sont linéaires, pour déterminer le champ ou le potentiel électrostatiquesen M créés par plusieurs charges ponctuelles qi positionnées en Pi, il sut de superposer les sources :

V (M) =∑i

qi4.π.ε0 PiM

et−→E (M) =

∑i

qi4.π.ε0

−−→PiM

PiM3

Illustration du principe de superposition dans le cas de deux charges ponc-tuelles schémaLa gure 5 représente les lignes de champ (en rouge) créées par deux charges ponctuelles de même signe.Le champ total ~Etot est la superposition des champs ~E1 et ~E2 créés par chacune des deux charges :

~Etot = ~E1 + ~E2

Figure 5 Illustration du principe de superposition dans le cas de deux charges ponctuelles

2. Atome

10 Modélisation de l'atome d'hydrogène exercice

B Déterminer l'ordre de grandeur du champ créé par le noyau sur l'électron dans un atome d'hydrogène.

Modèle de Thomson de l'atome s'y retrouverEn 1904, JJ Thomson propose le modèle suivant de l'atome :

• la charge positive Q = Z e de l'atome est répartie de façon uniforme dans une sphère de rayon R ;

• les électrons, ponctuels, de charge −e se déplacent à l'intérieur de cette sphère.



11 Champ électrostatique dans le cadre du modèle de l'atome de ThomsonexerciceOn se place dans le cadre du modèle de l'atome de Thomson.B Déterminer la densité volumique de la charge positive à l'intérieur de l'atome.B En déduire le champ créé par la charge positive à l'intérieur de l'atome.

12 Energie de constitution d'un noyau atomique exerciceOn modélise un noyau atomique par une boule uniformément chargée de charge Q et de rayon R.B Déterminer la densité volumique de charge ρ du noyau.B On cherche à exprimer l'énergie de constitution du noyau à un préfacteur numérique près (K sansunité) par analyse dimensionnelle, sous la forme :

Enoyau = K

(1

4.π.ε0

)γQαRβ

Déterminer γ, α et β.B Obtenir le préfacteur numérique K en construisant le noyau par adjonction progressive de chargesapportées de l'inni.B Justier la nécessité de l'interaction forte.

3. Analogie avec la gravitation

Analogie entre champ gravitationnel et champ électrostatique s'y retrouverOn peut faire l'analogie suivante :

~Fe = − q.q′

4.π.ε0.r2~ur ↔ ~Fg = G.m.m

′

r2 ~urq ↔ m~E ↔ ~A−1

4.π.ε0↔ G

L'analogue de div−→E = ρ

ε0est :

div−→A = −4.π.G.µ

L'analogue de∫∫©−→E .

−−→d2Σ = Qint

ε0est : ∫∫

©−→A.−−→d2Σ = −4.π.G.Mint

qui serait une sorte de "théorème de Gauss pour la gravitation".

13 Utilisation de l'analogie entre le champ électrostatique et le champ gravi-tationnel exerciceB Montrer qu'en dehors d'un astre à symétrie sphérique, tout se passe comme si l'astre était ponctuel.

4. Condensateur plan

14 Plan inni uniformément chargé en surface exerciceOn s'intéresse au plan yOz chargé uniformément en surface, de charge surfacique σ.B Déterminer le champ électrostatique régnant dans l'espace.



Condensateur plan schéma

La gure 6 représente un condensateur plan constitué de deux plans parallèles (les armatures) portantdes densités supercielles de charges opposées et uniformes.

Figure 6 Condensateur plan

15 Champ électrique régnant dans un condensateur plan et capacité exercice

B En partant du champ électrostatique créé par un plan inni uniformément chargé en surface ~E = σ2 ε0

~n(où ~n est un vecteur unitaire qui s'écarte du plan), déduire le champ régnant entre les armatures d'uncondensateur plan.B En déduire la capacité C du condensateur plan.

16 Capacité du condensateur plan et densité volumique d'énergie électrosta-tique exerciceB En partant de la capacité du condensateur plan C = ε0 S

d et du champ électrostatique E = σε0

quirègne entre les armatures, déterminer la densité volumique d'énergie électrostatique dans l'espace entreles armatures en fonction de E.

Champ disruptif dans l'air à retenirL'air est un isolant mais sous de fortes tensions, les électrons qui composent les atomes des moléculesde l'air sont littéralement arrachés à leur orbite de valence pour participer à la conduction électrique.c'est le cas quand la foudre traverse l'atmosphère. La valeur du champ disruptif de l'air est :

3, 6× 106 V ·m−1



III- Dipôle électrostatique

1. Dénitions

Dipôle électrostatique : dénitionUn dipôle est une distribution de chargesD, de charge totale nulle où l'on a fait apparaître la distributiondes charges positives dont le barycentre est en P et la distribution des charges négatives dont lebarycentre est en N , N et P étant distincts.On modélisera le dipôle par un doublet constitué de deux charges opposées : +q en P , et −q en N .Le moment dipolaire électrostatique en Coulomb mètre (C ·m) est

−→p = +q.−−→NP =

∫∫∫M∈D

ρ (M) .−−→OM.d3τ

où O est un point quelconque.

remarque

en chimie, l'unité est le debye (1 D = 13 × 10−29 C ·m).

Un exemple de dipôle : la molécule d'eau schéma

La gure 7 représente une molécule d'eau (à gauche) et le moment dipolaire associé. A droite, la solvatationd'un cation Na+ par les molécules d'eau.

Figure 7 Un exemple de dipôle : la molécule d'eau

Polarisabilité s'y retrouveren absence de champ électrique extérieur, −→p = −→p 0, on parle de dipôle statique (qui peut être nul).Un champ électrique extérieur

−→E ext induit un moment dipolaire électrique −→p induit = α.

−→E ext où α est

la polarisabilité.Dans le cas général,

−→p ≈ −→p 0 + α.−→E ext



17 Expression de la polarisabilité d'un atome en utilisant le modèle de Thom-son exerciceOn se place dans le cas du modèle de l'atome de Thomson. Le champ créé par la charge positive estalors :

−→E (M) =

Qr

4π.ε0R3~ur

B Où se trouve la position d'équilibre d'un électron dans ce champ ? En déduire le moment dipolaire ~p0

de l'atome.B Reprendre les questions précédentes dans le cas où l'atome est plongé dans un champ extérieur ~E0.En déduire la polarisabilité α de l'atome. Montrer que celle-ci et le volume de l'atome ont le même ordrede grandeur.

2. Dipôle électrostatique actif

Approximation dipolaire : dénition

on considère un dipôle électrostatique de moment −→p = +q.−−→NP , présent autour de O, origine d'un

repère sphérique (d'axe (Oz), suivant ~p).L'approximation dipolaire, c'est d'observer le champ créé par ce dipôle, en un pointM , loin du dipôle,c'est à dire :

OM = r NP

18 Potentiel électrostatique créé par un dipôle dans l'approximation dipolairethéorèmeDans le cadre de l'approximation dipolaire, le potentiel scalaire V (M) créé en M par le dipôle est

V (M) =p. cos θ

4.π.ε0.r2=

~p.~ur4.π.ε0.r2

Surfaces équipotentielles créées par un doublet électrostatique. schéma

La gure 8 représente les surfaces équipotentielles créées par un doublet électrostatique.

Figure 8 Surfaces équipotentielles créées par un doublet électrostatique.



Champ électrostatique créé par un dipôle dans l'approximation dipolaire à

retenirDans le cadre de l'approximation dipolaire, les composantes du champ électrique

−→E (M) créé en M par

le dipôle sont

−→E =

Er = 2.p. cos θ

4.π.ε0.r3

Eθ = p. sin θ4.π.ε0.r3

Eϕ = 0

Lignes de champ et isopotentielles créées dans l'approximation dipolaire parun dipôle électrostatique. schémaLa gure 9 représente quelques lignes de champ électrostatique (en continu) et traces (en pointillé) dessurfaces isopotentielles créées dans l'approximation dipolaire par un dipôle électrostatique vues dans unplan ϕ = cste.

Figure 9 Lignes de champ et isopotentielles créées dans l'approximation dipolaire par un dipôle électrosta-tique.



3. Dipôle électrostatique passif

19 Energie potentielle ressentie par un dipôle électrostatique : théorèmeL'énergie potentielle d'interaction d'un dipôle de moment dipolaire −→p avec un champ électrique exté-rieur

−→E ext est

Ep = −~p. ~Eext

20 Moment ressenti par un dipôle électrostatique : théorème

Le moment de l'action exercée par un champ électrique extérieur−→E ext sur un dipôle de moment dipolaire

−→p est~MO = ~p ∧ ~Eext

Eet d'un champ électrostatique sur un dipôle électrostatique : s'y retrouver

la résultante de l'action exercée par un champ électrique extérieur ~Eext sur un dipôle de moment dipolaire−→p est

~F =−−→grad(~p. ~Eext)

La résultante tend à déplacer le dipôle électrostatique vers les régions de champ électrostatique intense.Dans le cas d'un champ électrique homogène, le moment tend à aligner parallèlement le dipôle électro-statique au champ électrostatique.

Solvatation des ions dans un solvant polaire schéma

La gure 10 représente un ion qui crée un champ électrostatique dans lequel les molécules de solvantpolaire viennent s'aligner, et les attire. La présence des molécules de solvant tend à écranter (masquer) lacharge de l'ion. Ce phénomène s'appelle la solvatation des ions.

Figure 10 Solvatation des ions dans un solvant polaire



Forces de Van der Waals s'y retrouver

Les forces de Van der Waals entre deux molécules polaires varient comme r−7, où r est la distance quiles sépare. Elles sont de diérents types :

• les forces de Keesom entre dipôles permanents ;

• les forces de Debye entre dipôle permanent et dipôle induit ;

• les forces de London entre dipôles induits.

Eet d'un champ électrostatique sur un let d'eau vidéo

On peut mettre en évidence l'attraction exercée par un champ électrostatique sur des dipôles par exempleen déviant un let d'eau ou en attirant des morceaux de papier.Vous pouvez retrouver la vidéo de cette expérience sur le site alain.lerille.free.fr.



Technique à maîtriserjeudi 21 janvier 2016

I- Les capacités exigibles

1. Propriétés du champ électrostatique

ce qu'il faut savoir faire capacités

Associer la circulation de ~E au travail de la force q ~E.Utiliser le théorème de Stokes. Associer les propriétés locales −→rot ~E = ~0 dans tout l'espace et ~E =−−−→gradV .Associer la relation ~E = −−−→gradV au fait que les lignes de champ sont orthogonales aux surfaces équi-potentielles et orientées dans le sens des potentiels décroissants.Justier qu'une carte de lignes de champs puisse ou non être celle d'un champ électrostatique ; repérerd'éventuelles sources du champ et leur signe. Associer l'évolution de la norme de ~E à l'évasement destubes de champ loin des sources.Déduire les lignes équipotentielles d'une carte de champ électrostatique, et réciproquement.Évaluer le champ électrique à partir d'un réseau de lignes équipotentielles.

2. Calculs de champs électrostatiques


Exploiter les propriétés de symétrie des sources (translation, rotation, symétrie plane, conjugaison decharges) pour prévoir des propriétés du champ créé. Choisir une surface adaptée et utiliser le théorèmede Gauss.Établir l'expression du champ créé par un plan inni uniformément chargé en surface et par un conden-sateur plan. Déterminer la capacité du condensateur plan.Citer l'ordre de grandeur du champ créé par le noyau sur l'électron dans un atome d'hydrogène. Citerl'ordre de grandeur du champ disruptif dans l'air.Associer l'énergie d'un condensateur apparue en électrocinétique à une densité volumique d'énergie.Exprimer l'énergie de constitution du noyau à un préfacteur numérique près par analyse dimensionnelle.Obtenir le préfacteur numérique en construisant le noyau par adjonction progressive de charges appor-tées de l'inni. Relier les ordres de grandeur mis en jeu : rayons et énergies. Justier la nécessité del'interaction forte.Mettre en évidence les analogies formelles entre les forces électrostatique et gravitationnelle pour endéduire l'analogie des propriétés des champs.



3. Dipôles électrostatiques


Décrire les conditions de l'approximation dipolaire.Établir l'expression du potentiel V . Comparer la décroissance avec la distance du champ et du potentieldans le cas d'une charge ponctuelle et dans le cas d'un dipôle. Tracer l'allure des lignes de champ.Utiliser les expressions fournies pour le dipôle de l'énergie potentielle Ep, de la résultante ~F et dumoment ~M .Prévoir qualitativement l'évolution d'un dipôle dans un champ d'origine extérieure ~E.Expliquer qualitativement la solvatation des ions dans un solvant polaire. Expliquer qualitativementpourquoi l'énergie d'interaction entre deux molécules polaires n'est pas en 1/r3.Exprimer la polarisabilité d'un atome en utilisant le modèle de Thomson. Associer la polarisabilité et levolume de l'atome en ordre de grandeur.

II- Méthodes


A) Quelles sont les propriétés des lignes de champ électrostatique ? méthodeLes lignes de champ électrostatique sont ouvertes.Elles sont orthogonales aux surfaces isopotentielles et vont des charges positives vers les charges négatives(et vers les potentiels décroissants).

B) Quelles sont les propriétés de symétrie du champ électrostatique ? méthode

Les plans de symétrie pour ρ sont des plans de symétrie pour ~E.Les plans d'antisymétrie pour ρ sont des plans d'antisymétrie pour ~EE.Le champ ~E est orthogonal aux plans d'antisymétrie et appartient aux plans de symétrie de ρj.


C) Comment calculer un champ électrostatique créé par une distributiondiscrète de charges ? méthodeIl faut superposer le champ de Coulomb de chacune des charges

−→E (M) =

∑i

qi4.π.ε0

−−→PiM

PiM3

D) Comment calculer un champ électrostatique créé par une distributioncontinue de charges ? méthodeIl faut utiliser les symétries (s'il y en a assez) puis le théorème de Gauss en choisissant une surfacefermée qui vérie les symétries.




E) Utiliser les dipôles électrostatiques méthode

Le moment dipolaire électrique est ~p = q.−−→NP où N est le barycentre des charges négatives et P celui

des charges positives.Un tel dipôle ressent le moment ~MO = ~p ∧ ~Eext et a l'énergie potentielle Ep = −~p. ~Eext.La résultante tend à déplacer le dipôle électrostatique vers les régions de champ électrostatique intenseet le moment tend à aligner parallèlement le dipôle électrostatique au champ électrostatique.

III- Exercices


1.1) Propriétés des lignes de champ électrostatique

Les lignes de champ électrostatique sont-elles ouvertes ou fermées ?

Les lignes de champ électrostatique sont ouvertes.

1.2) Plan de symétrie d'une distribution de charge

Le plan Π est un plan de symétrie d'une distribution de charge. Le pointM ′ est le symétrique du point M par rapport à Π.1) Compléter le schéma en dessinant le champ électrostatique au pointM ′.

Les plans de symétrie pour ρ sont des plans de symétrie pour ~E.

1.3) Plan d'antisymétrie d'une distribution de charge

Le plan Π est un plan d'antisymétrie d'une distribution de charge. Lepoint M ′ est le symétrique du point M par rapport à Π.1) Compléter le schéma en dessinant le champ électrostatique au pointM ′.

Les plans d'antisymétrie pour ρ sont des plans d'antisymétrie pour ~E.

1.4) Symétries d'un cerceau chargé linéiquement



On considère un cercle d'axe Oz chargé linéiquement λ. Ondonne le champ électrostatique en M et en P .1) Représenter le champ électrostatique

• en M ′ symétrique de M par rapport au plan du cercle,

• en P ′ symétrique de P par rapport à l'axe,

• en Q symétrique de P par rapport au plan du cercle,

• et en Q′ symétrique de Q par rapport à l'axe.

Les plans de symétrie pour λ (comme le plan qui contient le cercle ou les plans qui contiennent l'axe ducercle) sont des plans de symétrie pour ~E.

1.5) Sont-ce des lignes de champ électrostatique ?

On considère les lignesde champ des diérentescongurations à gauche.On supposera la gureinvariante par translationperpendiculaire au plan dudessin.1) Préciser dans chaquecas s'il peut s'agir d'unchamp électrostatique, etsi oui, si des charges sontprésentes dans la région re-présentée.

Les lignes de champ correspondent à celles d'un champ électrostatique si la circulation du champ le longde toute courbe fermée est nulle. Donc si on peut mettre en évidence un contour le long duquel la circulationn'est pas nulle, le champ ne pourra pas être un champ électrostatique. C'est le cas des situations (b) et (e).

1.6) Lignes de champ électrostatique et lignes isopotentielles de deux charges ponctuelles



On considère une distribu-tion de deux charges ponc-tuelles (repérées par despoints rouges).Sur les gures ci-contresont représentées les lignesde champ et les équipo-tentielles correspondant àcette distribution.1) Repérer, en le justi-ant la carte des lignes dechamp et celle des équipo-tentielles.2) Les sources de champont-elles des signes opposésou égaux ?

Les charges sont de même signe.

1.7) Lignes de champ électrostatique et lignes isopotentielles de cinq charges ponctuelles

On considère une distribu-tion de cinq charges ponc-tuelles (repérées par despoints).Sur les gures a,b et cci-contre sont représentéesdes lignes de champ et surles gure z,y et x des équi-potentielles.1) Associer, en le jus-tiant, chaque représenta-tion de lignes de champ àune représentation d'équi-potentielles.2) Repérer sur chaque dis-tribution les signes oppo-sés ou égaux des charges.

c et z, b et x, a et y.


2.8) Symétries d'une sphère chargée surfaciquement

Soit une sphère de centre O, portant une répartition surfacique de charges σ.1) Déterminer les symétries de cette répartition de charges :

1.a) invariances ;1.b) plans de symétrie ;1.c) plans d'antisymétrie.

ρ(r) uniquement (symétrie sphérique) ; tous les plans contenant O sont plans de symétrie : plans(M,~ur, ~uθ) et plans (M,~ur, ~uϕ) ∀M .



2.9) Détermination d'un champ électrostatique en symétrie cylindrique

On s'intéresse à une distribution cylindrique innie d'axe (Oz), de charge (le cylindre de rayon R est uni-formément chargé).

1) En déduire les symétries (en statique) de V et ~E.

V (r) et ~E = Er(r).~ur.

2.10) Quatre charges ponctuelles

Soit quatre charges ponctuelles disposées au sommet d'un carré d'axes Ox et Oy, de centre O dont lalongueur de la diagonale est 2a .

1) Calculer le potentiel en O ainsi que le champ ~E dans les cas où les charges sont les suivantes :

1.a) q(− a√

2,+ a√

2

)= +e, q

(+ a√

2,+ a√

2

)= +e, q

(− a√

2,− a√

2

)= +e et q

(+ a√

2,− a√

2

)= +e.

1.b) q(− a√

2,+ a√

2

)= −e, q

(+ a√

2,+ a√

2

)= +e, q

(− a√

2,− a√

2

)= +e et q

(+ a√

2,− a√

2

)= −e.

1.c) q(− a√

2,+ a√

2

)= +e, q

(+ a√

2,+ a√

2

)= −e, q

(− a√

2,− a√

2

)= +e et q

(+ a√

2,− a√

2

)= −e.

1.d) q(− a√

2,+ a√

2

)= +e, q

(+ a√

2,+ a√

2

)= +e, q

(− a√

2,− a√

2

)= +e et q

(+ a√

2,− a√

2

)= −e.

1) On trouve grâce au théorème de superposition :1.a) V (0, 0) = e

π.ε0.aet ~E(0, 0) = ~0.

1.b) V (0, 0) = 0 et ~E(0, 0) = ~0.1.c) V (0, 0) = 0 et ~E(0, 0) = e√

2.π.ε0.a2~ux.

1.d) V (0, 0) = e2.π.ε0.a

et ~E(0, 0) = e2.√

2.π.ε0.a2(~ux − ~uy).

2.11) Utilisation des potentiels retardés en électrostatique

On donne le potentiel scalaire V (M) créé en M par D, une distribution de charges ρ d'extension nie,

V (M, t) =1

4.π.ε0.

∫ ∫ ∫P∈D

ρ(P, t− PMc )

PMd3τ

(la formule des potentiels retardés)1) Que devient cette formule dans le cas électrostatique ?2) En déduire l'expression du champ électrostatique.

−→E (M) = 1

4.π.ε0.∫∫∫

P∈Dρ(P ).−−→PM

PM3 d3τ .

2.12) Champ électrostatique créé par un cerceau linéiquement chargé

On considère une distribution linéique de charge, de densité λ, uniforme sur le cercle de centre O, d'axe Oz,de rayon R.

1) Déterminer les symétries de cette répartition de charge :1.a) invariances ;1.b) plans de symétrie ;1.c) plans d'antisymétrie.

2) En déduire les symétries de ~E :2.a) sur l'axe (Oz) ;2.b) sur l'axe (Oz), en z = 0.

3) Calculer le champ électrostatique créé en un point M de l'axe Oz, de coordonnée z.



~E = λ.R2.ε0

z

(z2+R2)32~uz.

2.13) Champ électrostatique créé par un l inni linéiquement chargé

On considère une distribution linéique de charge innie de densité λ sur l'axe Oz.1) Etudier les symétries :

1.a) invariances de cette répartition de charge ;1.b) plans de symétrie et d'antisymétrie de cette répartition de charge ;1.c) en déduire les symétries de ~E.

2) Calculer le champ électrostatique créé en un point M à la distance r de l'axe Oz.3) Potentiel électrostatique :

3.a) En déduire le potentiel électrostatique créé en un point M à la distance r de l'axe Oz.3.b) Peut-on prendre V = 0 à l'inni ?

V (r) = −λ2.π.ε0

ln(rr0

).

2.14) Champ électrostatique créé par une demi-sphère surfaciquement chargée

On considère une distribution surfacique de charge uniforme σ sur une demi-sphère (dans l'espace z > 0) decentre O, de rayon R.

1) Déterminer les symétries de cette répartition de charge :1.a) invariances ;1.b) plans de symétrie ;1.c) plans d'antisymétrie.

2) Champ électrostatique :2.a) En déduire les symétries de ~E en O.2.b) Calculer le champ électrostatique créé en O.

~E = − σ4.ε0

~uz.

2.15) Potentiel scalaire créé par une charge ponctuelle

Une charge ponctuelle q en O crée un potentiel scalaire V (M) = q4.π.ε0.r

exprimé dans le repère sphériquede centre O.

1) Ce potentiel vérie-t-il bien l'équation de Poisson ?2) En déduire le champ électrique ~E(M) créé en M .

1) Dans le vide (sauf en O), la densité volumique de charge étant nulle, on a bien ∆V = − ρε0

= 0.

2) ~E(M) = q4.π.ε0.r2

~ur.

2.16) Deux condensateurs en série

Un générateur parfait impose une diérence de potentiel U = 12V aux bornes de deux condensateurs ensérie, de capacités respectives C1 = 10µF et C2 = 80µF .

1) Calculer les tensions respectives aux bornes des deux condensateurs :1.a) u1 ;1.b) et u2.

2) Calculer les énergies stockées respectivement dans les deux condensateurs :2.a) E1 ;2.b) et E2.

1) u1 = 11V et u2 = 1, 3V .2) E1 = 0, 57mJ et E2 = 71µJ .



2.17) Champ et potentiels électrostatiques d'un noyau atomique

On assimile le noyau d'un atome à une sphère uniformément chargée, de centre O, de rayon R, de charge Q.1) Généralités :

1.a) Établir l'expression du champ électrostatique ~E produit par le noyau en un point quelconque M .1.b) En déduire le potentiel V en un point quelconque, en choisissant V = 0 à l'inni.

2) Application :On considère un noyau de baryum : Z = 56 et R = 6, 3fm. On donne la charge électronique e = 1, 6.10−19C

et la permittivité du vide ε0 = 8, 85.10−12F.m−1. Que vaut le champ2.a) au voisinage du noyau : r = 2R ?2.b) à la périphérie de l'atome : r = 1, 0.10−10m ?

Au voisinage du noyau :∣∣∣ ~E∣∣∣ = 5, 1.1020V.m−1 et V = 6, 4.106V ; et à la périphérie de l'atome :

∣∣∣ ~E∣∣∣ =

8, 1.1012V.m−1 et V = 0, 81kV .

2.18) Détermination de l'analogie entre le champ électrostatique et le champ gravitationnel

1) Faire une analogie formelle entre le champ électrique créé par une charge ponctuelle et l'attraction crééepar une masse ponctuelle.

2) Grâce à cette analogie, énoncer la loi locale que vérie le champ d'attraction gravitationnel ~A.3) Enoncer un théorème de Gauss pour le champ d'attraction gravitationnel ~A.

∫∫©−→A.

−−→d2Σ = −4.π.G.Mint.

2.19) Utilisation de l'analogie entre le champ électrostatique et le champ gravitationnel

On considère un astre (la Terre par exemple), qu'on assimile à une sphère de rayon R et de centre O. Samasse volumique est à symétrie sphérique : µ ne dépend que de r.

1) Grâce aux symétries de µ, déduire la forme qualitative du champ gravitationnel ~A créé par l'astre.2) Appliquer le théorème de Gauss pour connaître quantitativement ~A.3) Montrer que, hors de l'astre, tout se passe comme si l'astre était ponctuel .

∫∫©−→A.

−−→d2Σ = −4.π.G.Mint.


3.20) Invariance de la dénition du moment dipolaire

1) Montrer que la dénition du moment dipolaire∫∫∫

M∈D ρ (M) .−−→OM.d3τ ne dépend pas du choix du point

O.

∫∫∫M∈D ρ (M) .

−−−→O′M.d3τ =

∫∫∫M∈D ρ (M) .

−−→OM.d3τ .

3.21) Equation des surfaces équipotentielles créées par un dipôle électrostatique dans l'approxi-mation dipolaire

On rappelle que le potentiel électrostatique créé par un dipôle dans l'approximation dipolaire est

V (M) =p. cos θ

4.π.ε0.r2=

~p.~ur4.π.ε0.r2

1) Montrer que l'équation des surfaces équipotentielles est : r2 = k. cos θ.



Il faut chercher V (M) = cste.

3.22) Equation des lignes de champ créées par un dipôle électrostatique dans l'approximationdipolaire

Dans le cadre de l'approximation dipolaire, les composantes du champ électrique−→E (M) créé en M par le

dipôle sont

−→E =

3 (~p.~ur) .~ur − ~p4.π.ε0.r3

⇔

Er = 2.p. cos θ

4.π.ε0.r3


Eϕ = 0

1) Montrer que l'équation des lignes de champ est : r = k′. sin2 θ.

Il faut chercher ~E = k.−→d`.

3.23) Dipôle de la molécule d'eau

Dans la molécule d'eau H2O, la distance O−H est a = 97pm et l'angle que font entre elles les deux liaisonsO − H vaut θ = 104, 30. D'autre part, l'oxygène étant plus électronégatif que l'hydrogène, on suppose quechaque H porte une charge + e

3 , où e = 1, 6.10−19C est la charge électronique fondamentale.1) Exprimer le moment dipolaire p0 de la molécule d'eau

1.a) dans les unités du système international ;1.b) en debye.

1) p0 = 0, 63.10−29C.m = 1, 9D.

3.24) Orientation d'un dipôle dans un champ électrostatique extérieur

1) Montrer en traçant Ep(θ), où θ =(~Eext, ~p

)que le moment tend à aligner parallèlement le dipôle

électrostatique au champ électrostatique.2) Montrer que la position d'équilibre stable correspond à ~p dans le même sens que ~Eext.

Minimum de l'énergie potentielle pour θ = 0.

3.25) Interaction dipôle-dipôle

On étudie deux dipôles électrostatiques de moments dipolaires respectifs ~p1 et ~p2. Le premier est xe en O,centre d'un repère sphérique d'axe polaire (O,~uz), parallèle à son moment dipolaire : ~p1 = p1.~uz.

Le second dipole est placé en r = cste, θ xé, et ϕ = 0. On repère son moment dipolaire par l'angleα = (~uz, ~p2), qui peut varier.

1) Exprimer l'énergie potentielle Ep(α) d'intéraction du second dipole avec le champ électrostatique créépar le premier dipole.

2) Que doit vérier tan(θ − α) à l'équilibre stable ?3) Application : que vaut α si

3.a) θ = 0 ;3.b) θ = π

4 ;3.c) θ = π

2 ;3.d) θ = π.

tan(θ − α) = 12 tan(θ) à l'équilibre stable.

3.26) Dipôle de l'atome d'hydrogène

On modélise l'atome d'hydrogène comme un doublet formé d'un proton (chargé +e = 1, 6.10−19C) et d'unélectron (chargé −e, placé à la distance a = 0, 10nm du noyau). On donne ε0 = 8, 85.10−12F.m−1.



1) Calculer Wpropre, l'énergie électrostatique propre de ce doublet :1.a) dans les unités du système international ;1.b) en eV .1.c) Cela vous rappelle-t-il quelque chose ?

On place l'atome dans un champ électrique extérieur de valeur le champ de claquage de l'air : Eext =3.106V.cm−1. On suppose que la distance entre le noyau et l'électron est quasi invariante.

2) Calculer Wext, l'énergie électrostatique d'intéraction de ce doublet avec le champ extérieur :2.a) dans les unités du système international ;2.b) en eV .

3) Comparer Wext et Wpropre.

Wpropre = 2, 3.10−18J = 14eV et Wext = 4, 8.10−18J = 30meV .

3.27) Potentiel électrostatique créé par un dipôle dans l'approximation dipolaire

1) Démontrer que le potentiel électrostatique dans le cadre de l'approximation dipolaire est :

V (M) =p. cos θ

4.π.ε0.r2=

~p.~ur4.π.ε0.r2

1.a) pour un doublet ;1.b) pour un dipôle quelconque.

Pour un doublet : le potentiel est la superposition des deux potentiels de Coulomb. Pour un dipôlequelconque :

V (M) =1

4.π.ε0.

∫ ∫ ∫Ω∈D

ρ(Ω)

ΩMd3τ

3.28) Champ électrostatique créé par un dipôle dans l'approximation dipolaire

1) Démontrer que le champ électrostatique dans le cadre de l'approximation dipolaire est :

−→E =

3 (~p.~ur) .~ur − ~p4.π.ε0.r3

On placera le dipôle en O, origine d'un repère sphérique (d'axe (Oz), suivant ~p).2) En déduire que

Er = 2.p. cos θ4.π.ε0.r3


Eϕ = 0

Il faut partir de la formule du potentiel et appliquer−→E (M) =

−−→gradM .

Résolution de problèmevendredi 22 janvier 2016

Cet exercice sera fait en demi-groupe lors de la séance de travaux dirigés.

Le champ de claquage de l'air



Dénition de "disruptif"disponible à l'adresse http: // fr. wiktionary. org/ wiki/ disruptif

Quand ça fait des étincelles

L'air est un isolant mais sous de fortes tensions, les électrons qui composent les atomes des molécules del'air sont littéralement arrachés à leur orbite de valence pour participer à la conduction électrique : la foudretraverse alors l'atmosphère.

Enoncé

1) A l'aide de ces données, saurez-vous estimer l'ordre de grandeur du champ disruptif de l'air ?

Travaux pratiquesvendredi 22 janvier 2016

La moitié de la classe fait un TP d'électricité sur le michelson.


http://fr.wiktionary.org/wiki/disruptif


Approche documentairevendredi 22 janvier 2016

Le document est à lire, l'exercice est à rendre. pas d'exposé mais devoir à la maison. feront un exposé.

L'atome de Rutherford

E. Rutherford, traduit par V. EmsellemE. Rutherford, Phil. Mag., S.6, 21 (1911), p. 669, cité par P. Radvanyi dans "Histoire de l'atome - de l'intuitionà la réalité", Belin - Paris 2007.

L'étude de la diusion des particules α sur des feuilles d'or permet à Rutherfordde déterminer la structure de l'atome en 1911.

Il est bien connu que les particules α subissent des déexions de leur trajectoire rectiligne par les rencontresavec les atomes de matière. Il ne semble y avoir aucun doute sur le fait que des particules si rapides traversentles atomes sur leur chemin, et que les déexions observées sont dues à la traversée du champ électrique intensequi règne dans le système atomique.[...]

Puisque les particules α traversent l'atome, il devrait être possible,à partir d'une étude détaillée de la nature de la déexion, de se faireune idée de la constitution de l'atome qui produirait les eets observés.En fait, la diusion de particules chargées rapides par les atomes dematière est l'une des méthodes les plus prometteuses pour attaquer ceproblème.[...]

Considérons un atome contenant une charge ±Ne en son centre,entourée d'une sphère électrisée contenant une charge ∓Ne suppo-sée répartie uniformément dans une sphère de rayon R. e est l'unitéfondamentale de charge, que nous prendrons dans cet article égale à4, 65×10−10 unité e.s. Nous supposerons que pour des distances infé-rieures à 10−12 cm, la charge centrale ainsi que la charge portée par laparticule α peuvent être considérées comme concentrées en un point.Nous montrerons que les déductions principales dé la théorie sont in-dépendantes du fait que la charge centrale soit supposée positive ounégative. Par commodité le signe sera supposé positif. La question dela stabilité de l'atome n'a pas besoin d'être considérée à ce stade, carelle va dépendre de façon évidente de. la structure de l'atome à petiteéchelle, et du mouvement de ses constituants chargés.

An de se faire une idée des forces nécessaires pour dééchir uneparticule α d'un grand angle, considérons un atome contenant unecharge positive Ne en son centre, entourée d'une distribution d'élec-tricité négative Ne distribuée uniformément dans une sphère de rayon R. La force électrique X et le potentielV à une distance r du centre d'un atome, pour un point intérieur à l'atome, sont donnés par

X = Ne(

1r2 −

rR3

)V = Ne

(1r −

32R + r2

2R3

)Supposons qu'une particule α de masse m, de vitesse u et de charge q soit envoyée directement vers le centrede l'atome. Elle se retrouvera au repos à une distance b du centre donnée par

1

2mu2 = Neq

(1

b− 3

2R+

b2

2R3

)Supposant que la charge centrale vaut 100e, on peut calculer que la valeur de b pour une particule α de vitesse2, 09×109 cm · s−1 est d'environ 3, 4×10−12 cm. Dans ce calcul, b est supposé très petit devant R. Puisque R estsupposé être de l'ordre du rayon de l'atome, c'est-à-dire 10−8 cm, il est évident que la particule α, avant d'être



déviée vers l'arrière, pénètre si près de la charge centrale que le champ dû à la distribution uniforme d'électriciténégative peut être négligé. En général, un calcul simple montre que pour toutes les déexions supérieures à undegré, nous pouvons supposer sans erreur notable que la déexion est due au champ de la charge centrale seule.De possibles déviations uniques dues à l'électricité négative, si elle est distribuée sous la forme de corpuscules,ne sont pas prises en compte à ce stade de la théorie. Nous montrerons plus tard que cet eet est en généralfaible devant celui dû au champ central.

Considérons le passage d'une particule électrisée près du centre d'un atome. En admettant que la vitesse dela particule n'est pas modiée sensiblement par son passage à travers l'atome, la trajectoire de la particule sousl'eet d'une force répulsive variant en raison inverse du carré de la distance sera une hyperbole dont le centreS de l'atome sera le foyer externe. [...]

Enoncé

1) Répartition des chargesOn considère, comme dans le modèle de Rutherford que l'atome est constitué d'un noyau au centre d'un

repère sphérique, contenant N charges élémentaires qe. Ce noyau est entouré d'une charge négative équivalente−Nqe uniformément répartie dans une sphère de rayon R = 0, 5× 10−10 m.

1.a) Déterminer la densité volumique de charge ρ.1.b) Quelles sont les invariances de cette distribution ?1.c) Admet-elle des plans de symétrie ou d'anti-symétrie ?

2) Champ électrostatique2.a) Déduire des symétries de la distribution de charge la forme du champ électrostatique ~E.2.b) Que vaut ce champ si r > R ? Et si r < R ?



2.c) Que faudrait-il poser pour retrouver la formule de X donnée dans l'article de Rutherford ?3) Potentiel électrostatique

3.a) Rappeler la relation qui lie le potentiel V au champ ~E. Pourquoi peut-on xer V = 0 à l'inni (ceque l'on fera par la suite) ?

3.b) Déterminer le potentiel si r > R et si r < R.3.c) Est-ce cohérent avec la formule donnée dans l'article de Rutherford ?

4) Etude mécaniqueOn s'intéresse à une particule α de charge q = 2qe et de masse m = 6, 64× 10−27 kg qui partant de l'inni

avec une vitesse de norme u se dirige vers un atome d'or de numéro atomique N ≈ 100 électrons. On suppose,comme Rutherford que la particule "pénètre si près de la charge centrale que le champ dû à la distributionuniforme d'électricité négative peut être négligé".

4.a) Justier le fait que la trajectoire est plane et que c'est une hyperbole, comme sur la gure del'article.

4.b) En utilisant un raisonnement énergétique, montrer que, si la particule α fait demi-tour à unedistance b du noyau, alors

1

2mu2 = Neq

(1

b− 3

2R+

b2

2R3

)4.c) Vérier que " la valeur de b pour une particule α de vitesse 2, 09 × 109 cm · s−1 est d'environ

3, 4× 10−12 cm".5) ConclusionOn a considéré que le noyau était ponctuel.

5.a) Au vu du texte donner une taille maximale du rayon du noyau.5.b) En quoi la nature de la matière est-elle lacunaire ?


Documents

Électrostatique Notes de cours - Alain Le Rillealain.lerille.free.fr/2015/Poly17.pdf · physique année scolaire 2015/2016 Électrostatique Notes de cours mardi 19 janvier 2016 I-