[Lecture Notes in Mathematics] Processus de Markov Volume 26 ||

CHAPITRE X I V

PROCESSUS DE HUNT, PROCESSUS STANDARD

N o u s a v o n s ~ t u d i ~ , d a n s l e c h a p i t r e p r @ c ~ d e n t , l e s p r o p r i S t S s

f o n d a m e n t a l e s d e s p r o c e s s u s qu i a d m e t t e n t un s e m i - g r o u p e de t r a n s i t i o n f e l -

l@r ien . L e p r S s e n t c h a p i t r e c o n t i e n t u n e @rude a x i o m a t i q u e de c e s p r o p r i @ t @ s :

n o u s e x a m i n e r o n s , i n d ~ p e n d a m m e n t de t o u t c a r a c t ~ r e f e l l @ r i e n , q u e l l e s s o n t

l e s r e l a t i o n s de c e s p r o p r i S t S s e n t r e e l l e s , e t q u e l l e s c o n s @ q u e n c e s on en p e u t

t i r e r .

w 1 . S e m i - g r o u p e s e t p r o c e s s u s de H u n t

Nous d ~ s i g n e r o n s par E' un espace topologique, h o m S o m o r p h e

un s o u s - e s p a c e u n i v e r s e l l e m e n t m e s u r a b l e d ' u n e s p a c e c o m p a c t m @ t r i s a b l e .

L a t r i b u b o r ~ l i e n n e B_(E') c o i n c i d e a l o r s a v e c l a t r i b u de B a i r e B ( E ' ) (I. I 0 ) ; -- ----O

n o u s d @ s i g n e r o n s p a r B ( E ' ) l a t r i b u c o m p l ~ t @ e u n i v e r s e l l e (II . 28, c)) de - - U

_B(E' ) . N o u s s u p p o s e r o n s q u e l ' o n d i s t i n g u e d a n s E ' un p o i n t , not@ ~ , e t n o u s

p o s e r o n s E = E ' \ [ ~ ]

S o i t (P t ) un s e m i - g r o u p e d e n o y a u x m a r k o v i e n s s u r ( E ' , __Bu(E')),

t e l q u e l ' o n a i t P = I e t : O

(1. 1) P t ( ~ , [~} ) = 1 p o u r t o u t t

N o u s d i r o n s q u e ( P t ) e s t b o r @ l i e n s ' i l t r a n s f o r m e l e s f o n c t i o n s

bor~liennes en ~o~c~o~e ~or~L~e~ru~$

- 7 9 -

T o u t e s l e s m e s u r e s b o r n ~ e s s u r (E ' ,__Bu(E' ) ) s o n t r @ g u l i & r e s .

L e t h g o r & m e s u r l a c o n s t r u c t i o n d e s p r o c e s s u s s t o c h a s t i q u e s s ' a p p l i q u e d o n c

E ' , e t t o u t e l a t h ~ o r i e du c h a p i t r e X I I s ' @ t e n d A l a s i t u a t i o n p r ~ s e n t e .

C o m m e d a n s l e c h a p i t r e p r e c e d e n t , t o u s l e s p r o c e s s u s m a r k o v i e n s e n v i s a g e s

a d m e t t r o n t ( P t ) c o m m e s e m i - ~ r o u p e d e t r a n s i t i o n e t vRR+ c o m m e e n s e m b l e d e s

t e m p s ; c e l a s e r a s o u s - e n t e n d u .

L ' a x i o m e s u i v a n t s e r a s u p p o s ~ v ~ r i f i ~ d a n s t o u t l e c h a p i t r e .

A X I O M E A I . - P o u r t o u t e l o i ~ s u r E ' , i l e x i s t e un e s p a c e p r o b a b i l i s ~

( W , ~ , P ) e t un p r o c e s s u s m a r k o v i e n (Yt}tER+ d ~ f i n i s u r c e t e s p a c e , ~ v a l e u r s

d a n s E ' , a d m e t t a n t ~ c o m m e l o i i n i t i a l e , e t c o n t i n u ~ d r o i t e .

I1 e s t f a c i l e de d 4 d u i r e d e (1. 1) q u e p r e s q u e t o u t e s l e s t r a j e c t o i r e s

du p r o c e s s u s (Yt) g a r d e n t l a v a l e u r 8 ~ p a r t i r du p r e m i e r i n s t a n t o~ e l l e s

l ' a t t e i g n e n t , m a i s n o u s n ' a v o n s p a s l ' i n t e n t i o n d ' i n s i s t e r s u r c e t t e p r o p r i 4 t 4 :

i l e s t p l u s a v a n t a g e u x de t r a i t e r 8 c o m m e n ' i m p o r t e q u e l a u t r e p o i n t .

D @ s i g n o n s p a r (E R+ ~ § ' , (B=(E')) , ( X t ) , p P ) l e p r o c e s s u s c o n s t r u i t a u

n ~ XI I . 13 , e t p a r ~ l ' a p p l i c a t i o n qu i g t o u t w E W a s s o c i e s a t r a j e c t o i r e

t l - - - > Y t ( w ) ; ~0 e s t 4 v i d e m m e n t m e s u r a b l e , e t l ' i m a g e de l a l o i ,.P p a r r e s t

4 g a l e g ~ . So i t a l o r s ~ d l ' e n s e m b l e d e s a p p l i c a t i o n s c o n t i n u e s g d r o i t e

de R+ d a n s E ' : t o u t e n s e m b l e m e s u r a b l e qu i c o n t i e n t ~ d c o n t i e n t a u s s i

q~(W) et s a p r o b a b i l i t 4 e s t d o n c 4 g a l e g 1 .

C e l a n o u s p e r m e t d ' g t e n d r e A ~ d t o u t e s l e s c o n s i d e r a t i o n s d e s

os r ~ f t , n X I I I - 4 , 5 . N o u s u t i l i s e r o n s l e s n o t a t i o n s =F , = ,= ,- X t ; ~ , ,"

p~ pX E~ EX @t " " , , , ; , comme nous l'avons fait au chapitre precedent, mais le

lecteur est p r i ~ de s e s o u v e n i r q u e f? e s t i c i r e m p l a c ~ p a r ~ d (~)

(~) R a p p e l o n s q u e l a d i f f @ r e n c e t i e n t ~ 1 ' e x i s t e n c e d e l i m i t e s ~ g a u c h e p o u r l e s t r a j e c t o i r e s .

L e s n ~ X I I I - 5 ~ 9 e t X I I I . I I s ' @ t e n d e n t s a n s m o d i f i c a t i o n a u x p r o c e s s u s c o n s i d ~ r ~ s ~ .

- 8 0 -

L e s y s t ~ m e (f~d,F,(__Ft) , ( x t ) , p ~ ) c o n s t i t u e u n e r 4 a l i s a t i o n c o n t i n u e

d r o i t e (XII. 19) du s e m i - g r o u p e ( P t ) , m a i s s o n e m p l o i n ' e s t p a s u n i v e r s e l :

n o u s v e r r o n s q u ' i l e x i s t e d ' a u t r e s r e p r 4 s e n t a t i o n s d i s t i n g u @ e s i n t 4 r e s s a n t e s .

C o m m e n o u s n e v o u l o n s p a s a b u s e r du t e r m e c a n o n i q u e , n o u s a p p e l l e r o n s c e t t e

r 4 a l i s a t i o n l a r 4 a l i s a t i o n c o n t i n u e ~ d r o i t e t y p i q u e de (P t ) . L ' u n d e n o s o b j e t s

d a n s c e c h a p i t r e con s i s t e r a ~ c h e r c h e r d a n s q u e l l e m e s u r e " c e qu i e s t v r a i

p o u r u n e r @ a l i s a t i o n c o n t i n u e s d r o i t e d e (P t ) e s t v r a i p o u r t o u t p r o c e s s u s

m a r k o v i e n "

4 La comparaison entre les diff4rentes r4alisations se fait le plus

souvent de la mani~re suivante : soit (Yt) un processus markovien de mesure

initiale ~ , d4fini sur un espace (W,Q,P), et soit ~ l'application du n ~ 3 ,

qui ~ w associe sa trajectoire q0(w)61] d ; supposons que la loi 1 m soit compl~te,

et soit A un 414ment de _F D . L'ensemble %0-1(A) appartient alors ~ G_ , et

l'on a �9

(4. I) P(~-I(A)) = P~(A)

Cette relation est utilis4e de deux mani~res : pour calculer P~(A), connaissant

la probabilit4 de %0-1(A) pour un processus (Yt) quelconque, et pour calculer

la probabilit@ d'un @v~nement pour un processus quelconque, en connaissant sa

probabilit@ dans la r4alisation typique .

Notons une cons@quence simple de l'axiome A 1 : soit f une fonc-

tion continue born4e sur E' ; la fonction t; ~Pt(x,f) est alors continue

droite en t pour tout x ; cela r4sulte imm4diatement de la relation

Ptf x = EX[f oXt] , et de la continuit4 ~ droite des trajectoires .

-81 -

LA PROPRIETE DE MARKOV FORTE .

N o u s n o u s p r o p o s o n s m a i n t e n a n t d e m o n t r e r q u e l e t h 6 o r ~ m e X I I I . 15

( p r o p r i 6 t 6 f o r t e d e M a r k o v ) e s t e s s e n t i e l l e m e n t 6 q u i v a l e n t a u t h 6 o r ~ m e X I I I . Z3

( c o n t i n u i t 6 ~ d r o i t e d e s f o n c t i o n s e x c e s s i v e s s u r l e s t r a j e c t o i r e s ) , e t q u ' i l

s u f f i t d e v ~ r i f i e r c e s t h 6 o r ~ m e s p o u r u n e r 6 a l i s a t i o n : i l s s o n t a l o r s v 6 r i f i 6 s

pour tout processus markovien .

D 6 D E F I N I T I O N . - S o i t - (Y t ) u n p r o c e s s u s c o n t i n u ~ d r o i t % d 6 f i n i s u r u n e s p a c e

( W , G _ , P } , m a r k o v i e n p a r r a p p o r t ~ u n e f a m i l l e c r o i s s a n t e (=G t) d e s o u s - t r i b u s

d e G_ ; p o s o n s G=' t = __Gt+ . O n d i t q u e l e p r o c e s s u s ( V t ) e s t f o r t e m e n t m a r k o -

v i e n s i 1 ' o n a , p o u r t o u t s > 0 , t o u t t e m p s d ' a r r ~ t T d e l a f a m i l l e (G_'t) , m a -

j o r d p a r s , e t t o u t e f o n c t i o n b o r 6 1 i e n n e b o r n 6 e f su___r E ' :

(6. I) Elf ~ =G T]' : Ps-T(YT' f) p.s.

On d~finit de m~me,de mani~re 6vidente, la notion de r~alisation fortement

m a r k o v i e n n e .

N o u s i n t r o d u i r o n s l ' a x i o m e s u i v a n t :

A X I O M E A 2 . - T o u t p r o c e s s u s m a r k o v i e n c o n t i n u A d r o i t e ( Y t ) e s t f o r t e m e n t

m a r k o v i e n .

L ' a x i o m e A 2 e n t r a T n e d ' a b o r d l a v a l i d i t 6 d e t o u t e s l e s c o n s 6 q u e n c e s

d u t h 4 o r ~ m e X I I I . 1Z , p o u r l a r 6 a l i s a t i o n c o n t i n u e ~ d r o i t e t y p i q u e : c o n t i n u i t 6

d r o i t e d e s f a m i l i e s (Ft~) e t (__F t) , l o i d e t o u t o u r i e n d e B l u m e n t h a l .

(Y (3O

D ' a u t r e p a r t , s i l ' o n f a i t l e s c o n v e n t i o n s d u d 4 b u t d u n ~ X I I I . 15

= b , P o o ( X , A ) = I A ( b ) , o n n ' a p a s s e u l e m e n t l a f o r m u l e (6. 1) , m a i s a u s s i

(v. 1) [foXslqu = PS_T(YT, f)

- 8 2 -

p o u r t o u t e v a r i a b l e a l 4 a t o i r e S>_ T , G ~ - m e s u r a b l e _ _ . L e r a i s o n n e m e n t qu i L

c o n d u i t de (6. i ) ~ (7. 1) ( p a r t i e s b) e t c) de l a d 6 m o n s t r a t i o n de X I I I . T 15)

r e s t e v a l a b i e , en e f f e t , d a n s l a s i t u a t i o n qui n o u s i n t 6 r e s s e i c i .

L e l e c t e u r e s t p r i 6 d e v 6 r i f i e r que t o u s l e s r 6 s u l t a t s d e s n ~ 16

X I I I . 21 s o n t i n d 4 p e n d a n t s du c a r a c t 6 r e f e l l 6 r i e n du s e m i - g r o u p e , e t r e s t e n t

v r a i s p o u r t o u t s e m i - g r o u p e qu i s a t i s f a i t ~ A 2 .

L a d 4 f i n i t i on d e s f o n c t i o n s p r e s q u e - b o r 6 1 i e n n e s (XI I I . D 22) c o n s e r v e

un s e n s p o u r l e s p r o c e s s u s q u e n o u s c o n s i d 6 r o n s . P o u r v 4 r i f i e r q u ' u n e f o n c -

t i o n f e s t p r e s q u e - b o r 4 1 i e n n e , i l s u f f i t d e c h o i s i r u n e r 4 a l i s a t i o n (W, G , (_G~,

(Xt) , ' ~ ( ~ ) ) e t de v 4 r i f i e r 1 ' e x i s t e n c e , p o u r c h a q u e l o i i n i t i a l e ~ , de d e u x

f o n c t i o n s f ' e t f " , b o r 4 1 i e n n e s , t e l l e s q u e 1 ' on a i t f ' < f K f " e t q u e l ' e n s e m b l e

(S. l) {wEW : -~ t , f' o-~t(w) < f"o~t(w)}

s o i t c o n t e n u d a n s un e n s e m b l e n 6 g l i g e a b l e p o u r

l ' e n s e m b l e A c f } d :

p ~ G o n s i d 6 r o n s en e f f e t

(9. I) {cuEf} d : ;] t , f ' o X t ( w ) < f " o Xt(w) }

e t d 6 s i g n o n s p a r B l ' e n s e m b l e [ x E E ' : f ' ( x ) < f " ( x ) } ; B 6 t a n t b o r 6 1 i e n , e t l e

p r o c e s s u s (X t) ~ t a n t c o n t i n u ~ d r o i t e ( d o n c m e s u r a b l e ) , l e t e m p s d ' e n t r ~ e D B

e s t _F ~- m e s u r a b l e (IV. 53) , de s o r t e q u e A = [ D B < O O } a p p a r t i e n t ~ __F ~ ; A

e s t d o n c n 6 g l i g e a b l e d ' a p r ~ s (4. l ) . O n p a s s e de i~ a u c a s d ' u n p r o c e s s u s q u e l -

c o n q u e , en u t i l i s a n t ~ n o u v e a u (4. I ) .

N o u s d i r o n s q u ' u n e f o n c t i o n f d 4 f i n i e s u r E ' e s t c o n t i n u e ~ d r o i t e

s u r l e s t r a ) e c t o i r e s s i , p o u r t o u t p r o c e s s u s m a r k o v i e n c o n t i n u ~ d r o i t e

(W, G_,P, (Yt)) , l ' e n s e m b l e d e s wE W t e l s q u e l ' a p p l i c a t i o n t : > f o Yt (w) n e

s o i t p a s c o n t i n u e ~ d r o i t e e s t c o n t e n u d a n s un e n s e m b l e P - n 4 g l i g e a b l e .

- 83 -

Nous introduisons alors l'axiome suivant :

AXIOME A 3 .- Les fonctions p-excessives (p_>0) sont presque bor41iennes

et continues ~ droite sur les trajectoires (~)

l 0 Ici encore, il suffit de v4rifier la continuit4 ~ droite des trajec-

t o i r e s du p r o c e s s u s f o X t) p o u r u n e r 4 a l i s a t i o n (W,_~,(__Gt) , ( ~ t ), ) . C o m m e

a u n ~ 8 , t o u t r e v i e n t ~ m o n t r e r q u e s i f e s t u n e f o n c t i o n p - e x c e s s i v e e t

p r e s q u e b o r 4 1 i e n n e , l ' e n s e m b l e A d e s w E D d t e l s q u e l a f o n c t i o n t l ~ f oXt(W)

n e s o i t p a s c o n t i n u e ~ d r o i t e e s t _ F i s - m e s u r a b l e p o u r t o u t e l o i i n i t i a i e Is

L a f o n c t i o n f 6 t a n t p r e s q u e - b o r 4 1 i e n n e , c h o i s i s s o n s u n e f o n c t i o n

b o r 4 1 i e n n e f ' t e l l e q u e l ' e n s e m b l e ~ w : @ t f ~ Xt(W) # f ' o Xt (w) } s o i t PIS-

n 4 g l i g e a b l e ; l e p r o c e s s u s ( e - P t f ' o X t ) e s t a l o r s u n e s u r ~ r t i n g a l e , d e s o r t e

q u e l a f i n i t e

ht(w) = lim f'o Xs(W) s - . t+

s r aticmne/

e x i s t e p o u r t o u t t , s a u f p o u r d e s w q u i f o r m e n t u n e n s e m b l e P i s - n 6 g l i g e a b l e

- e n s e m b l e s u r l e q u e l n o u s p o s e r o n s ht(w) = 0 p o u r t o u t t . L e s d e u x p r o c e s -

s u s ( f ' o X t) e t (h t) s o n t a l o r s m e s u r a b l e s , d e s o r t e q u e l ' e n s e m b l e :

B = { ( t , w ) : f ' o Xt (a) ) # h t ( w ) }

a d m e t u n d 4 b u t D B q u i e s t u n e v a r i a b l e a l ~ a t o i r e ( IV. 5 1 - 5 2 ) . L e s e n s e m b l e s

{DB<OO } e t A n e d i f f e r e n t q u e p a r u n e n s e m b l e n ~ g l i g e a b l e , o n v o i t q u e A e s t

_ ~ - m e s u r a b l e .

(~) O n p e u t en f a i t s e b o r n e r ~ e x i g e r c e s p r o p r i 4 t ~ s p o u r l e s p - p o t e n t i e l s ( p > 0 ) d e f o n c t i o n s

b o r 4 1 i e n n e s b o r n 4 e s . L ' 4 n o n c 4 r e l a t i f a u x f o n c t i o n s e x c e s s i v e s s ' e n d 4 d u i t s a n s d i f f i c u l t 4

( v o i r p l u s l o i n l e n ~ l l ) . C e s p r o p r i 4 t 4 s s ' 4 t e n d e n t d ' a u t r e p a r t a u x 4 1 4 m e n t s d e U_ (vo t e

XIII. D. 27).

- 8 4 -

T l l THEOREME .-L'axiome A 3 entra~'ne l'axiome A 2 .

Inversement, si le semi-~roupe (Pt) est bor41ien (ou m~me seu-

lement si les p-potentiels de fonctions bor41iennes sont presque-bor41iens),

l.'existence d'une r4alisation fortement markovienne du semi-sroupe (Pt)

entrafne l'axiome A 3 .

DEMONSTRATION . - Supposons A 3 v6r i f i~ ( l ' hypo th~se r e l a t i v e au c a r a c t ~ r e

presque-bor61ien d6t~t J%3 ,zszrt4ra ,t%;llem, pa$ ) . D4signons par (W, G,P, (Yt))

un processus continu ~ droite, markovien par rapport ~ une famille (G t ) de

sous-tribus de G, et posons G__' t = Gt+ ; soit T un temps d'arr~t de la famille

(G~) ,et soit A un 616ment de G~ . Nous allons 6tablir is formule suivante,

o~* fest suppos4e bor61ienne born6e :

f ~ Yt dP = SA P t - T ( Y T ' f) dP (11. 1) SAN{T< t} ~ N{T< t]

Nous pouvons nous l i m i t e r au cas off f es t con t inue . Les deux m e m b r e s sont

a l o r s des fonc t ions c o n t i n u e s ~ d r o i t e de t , d ' a p r ~ s la cont inu i t4 ~ d r o i t e des

t r a j e c t o i r e s et la r e m a r q u e d u n ~ 5 : il suff i t donc de v 4 r i f i e r l ' ~ga l i t 4 de l e u r s

t r a n s f o r m 4 e s de L a p l a c e , soi t :

(11 .2) $0~176 e -P t dtZAN[T_<t} f o Yt d P = C e -p t d t fAN[T< t} P t - T (YT'f)dp~-.

L e s p r o c e s s u s ( f o Y t ) et (P t_T(YT, f)) ~tant m e s u r a b l e s (con t inus ~ d r o i t e ) ,

on peut i n t e r v e r t i r l e s i n t 4 g r a t i o n s :

(11 .3) SA d ~ P S Z e ' P t f ~ = SA e - p T U p ( Y T ' f ) dp~"

= f o Yt + $~ f o Y e-PSds) e s t une v e r s i o n , con t inue Or le p r o c e s s u s (Z t) (e -PtUp s

- 8 5 .

d r o i t e d ' a p r ~ s A 3 , de l a m a r t i n g a l e ( E [ f n ~ 1 7 6 o Y s d S I 2 t ] ) (~) ; on p e u t % . /

r e m p l a c e r l e s t r i b u s G t p a r l e s t r i b u s (G')=t d ' a p r ~ s VI.T4 . L ' ~ g a l i t 6 ( 1 1 . 3 )

e x p r i m e a l o r s s i m p l e m e n t l e t h 6 o r ~ m e d ' a r r ~ t de D o o b : Z T = E [ Z o o I G ~ ]

I n v e r s e m e n t , s u p p o s o n s que n o u s c o n n a i s s i o n s u n e r 4 a l i s a t i o n

f o r t e m e n t m a r k o v i e n n e (W, G_, (_Gt) , (Xt) , (P~) . On p e u t s u p p o s e r i c i que l a f a -

m i l l e (G=t) e s t c o n t i n u e ~ d r o i t e ( c a r on p e u t au b e s o i n , d ' a p r ~ s A E , l a r e i n -

p l a c e r p a r l a f a m i l l e (G=t+)) . N o u s d ~ s i g n e r o n s p a r G=t~ la t r i b u o b t e n u e en

c o m p l 4 t a n t G p o u r 5 ~ , et en a d j o i g n a n t ~ G t l e s e n s e m b l e s n 4 g l i g e a b l e s . - - I , ~

On v 4 r i f i e a i s 4 m e n t que l a f a m i l l e (Gt~) e s t c o n t i n u e ~ d r o i t e .

Soi t f u n e f o n c t i o n c o n t i n u e e t b o r n ~ e , e t s o i t S un t e m p s d ' a r r ~ t

de la f a m i l l e (G__t). N o u s a v o n s p o u r t ou t 4 1 4 me n t A de G=S et t ou t t :

/%2 t ~ " 4 ~

( 11 .4 ) J~ f d~'l~ = fA f dP~ + ~A P t s ( X s ' f ) d ~ l l A ~ "* O[S_>t} ~ ~ a{S<t} -

M u l t i p l i o n s l e s d e u x m e m b r e s p a r e - p t ( p > 0 ) , i n t 4 g r o n s p a r r a p p o r t ~ t ,

a p p l i q u o n s le t h 4 o r ~ m e de F u b i n i . I1 v i e n t :

( 11 .5 ) dP~ ~~176 f oX t t = dE~ - p t f o X t d t + d f)I[s<oo} O

C e t t e f o r m u l e s ' 4 t e n d a l o r s a u x f o n c t i o n s b o r 4 l i e n n e s b o r n ~ e s , p u i s a u x f o n c t i o n s

u n i v e r s e l l e m e n t m e s u r a b l e s b o r n 4 e s . P a r d e s c o n s i d 4 r a t i o n s a n a l o g u e s ~t

c e l l e s d u n ~ XIII. Z0, on l ' 4 t e n d a u s s i au c a s o~ S e s t un t e m p s d ' a r r ~ t de l a

G~ famille (=t) et o~ A appartient ~ (G ~) 9 "--- S "

(~) Voir le n ~ XllI. ii ,

- 86 -

P o s o n s Upf = gs ; la f o r m u l e (11 .5) e x p r i m e que la m a r t i n g a l e

( e ' p S g oX + f S e - P t f o X dr) s a t i s f a i t au t h 4 o r g m e d ' a r r ~ t de Doob �9 il en r ~ - s t

o su i t e que la s u r m s ~ i n g a l e p o s i t i v e ( e - p S g o Xs ) s a t i s f a i t au t h 4 o r ~ m e d ' a r r ~ t

de D o o b . En p a r t i c u l i e r , soi t (T n) une su i t e d 4 c r o i s s a n t e de t e m p s d ' a r r ~ t

de la f a m i l l e (G_?), et so i t T = l i ra T �9 on a - n n '

"PTn+ 1 "~ ~ [ e -pTn ~ I{Tn< G ~ ] _< e g OXTn+lI{Tn+ �9 g ~ X T n co}l =Tn+l l<OO}

"PTn . I I1 en r ~ s u l t e (V. T21) que l e s v a r i a b l e s a l ~ a t o i r e s e g o X T , " fTn<OO} u n i f o r m ~ m e n t i n t ~ g r a b l e s , et c o n v e r g e n t p. s. l o r s q u e n - . c o . P o u r i d e n t i f i e r

I e u r l i m i t e , u t i l i s o n s ~ n o u v e a u ( l l . 5), qui nous donne , l o r s q u e A a p p a r t i e n t

A ~ T n i Tn<C~ ~ co e-PS f o X s e g o { } =A n

ds

sont

~ ~, ~ s "

Le t h ~ o r ~ m e de L e b e s g u e nous donne donc la r e l a t i o n �9

l i m f A e ' P T n g * X T n I{Tn<co} d~P~ . [ l i m e n g ~

= f e pT "" - dp~ g *XTI[T<CO} ~,~

L ' i n t e r s e c t i o n des t r i b u s G ~ es t 6gale ~ G~ (IV. T42) ; c e s ~ga l i t6s m o n t r e n t

que la l i m i t e sous la s e c o n d e i n t 6 g r a l e e s t poS. ~gale ~ e ' p T g o X T I ~ T < o o ] .

- 8 7 -

A u t r e m e n t d i t ,

( 1 1 . 6 ) g o X T > g o X T p . s . s u r [ T < o o } n

" = f e s t Supposons f bor41ienne bornee, et rappelons que g Up

alors presque-bor4lienne par hypoth~se. Nous allons montrer que l'on obtient

une contradiction en supposant que la trajectoire t; > g o,Xt(v@ n'est pas

continue ~ droite pour presque tout w . Pour simplifier le langage, nous iden-

tifierons deux processus qui ont p.s. les m~mes trajectoires .

L e p r o c e s s u s (X t) ~ t a n t c o n t i n u ~ d r o i t e , i l e s t p o s s i b l e d e l ' i -

d e n t i f i e r ~ u n p r o c e s s u s b i e n - m e s u r a b l e ( V I I I , r e m a r q u e c) a p r ~ s l e t h ~ o -

r g m e 16) ; g ~ t a n t p r e s q u e - b o r g l i e n n e , l e p r o c e s s u s (g o X t) s ' i d e n t i f i e ~ un

p r o c e s s u s ( g ' o ~ f t ) , o~a g ' e s t b o r ~ l i e n n e , d o n c a u s s i ~ un p r o c e s s u s b i e n -

m e s u r a b l e . P o u r p r e s q u e t o u t w E W , l a l i m i t e :

h t ( w ) = l i r a g O X s ( W ) s - ~ t +

s d y a d i q u e

e x i s t e p o u r t o u t t d ' a p r g s VI . T 4 . N o u s c o m p l 4 t e r o n s l a d 4 f i n i t i o n du p r o -

c e s s u s (ht ) , p o u r l e s w E W q u i n e v 4 r i f i e n t p a s c e t t e c o n d i t i o n , d e m a n i ~ r e

o b t e n i r un p r o c e s s u s b i e n - m e s u r a b l e .

S u p p o s o n s a l o r s q u e l e p r o c e s s u s (g o X t) n e s o i t p a s c o n t i n u

d r o i t e p. s ; l a p r o j e c t i o n s u r W d e 1 ' e n s e m b l e b i e n - m e s u r a b l e ( ~ u n e i d e n -

t i f i c a t i o n p r o s ) :

{ {t, w) : g o X t ( w ) i ~ h t ( w ) }

n'est pas n4gligeable. Ii existe donc, d'apr~s VIII. T21, un temps d'arr~t T

tel que l'on ait P~[T<oo]>0 , g o XT(W) # hT(W) pour tout w tel que T(w) <oo

D4signons alors par (Tn) une suite de temps d'arr~t ~ valeurs dyadiques

(pouvant prendre la valeur +oo), qui converge vers T en d4croissant ;

- 8 8 -

on a ~videmment g oX T = h T p.s. car on a g oX t = h t p. s. pour chaque t n n

d ' a p r g s ( 1 1 . 6 ) . D ' a p r ~ s l a m ~ m e f o r m u l e ( 1 1 . 6 ) on a a u s s i g ~ = l i r a g o ' X T n n

p . s . s u r { T < c o } , e t h T = l i m hTn p . s . s u r I T < c o l en v e r t u de l a c o n t i n u i t ~

5. d r o i t e du p r o c e s s u s (ht) . On o b t i e n t d o n c f i n a l e m e n t :

goX T = h T p.s. sur[T<oo]

c e qu i c o n t r e d i t l a d 6 f i n i t i o n de T .

L ' a x i o m e A 3 a d o n c 6t4 v 4 r i f i 4 p o u r l e s f o n c t i o n s de l a f o r m e

U f, o~ f e s t b o r 4 1 i e n n e b o r n 4 e , e t p e s t > 0 On l e v 4 r i f i e e n s u i t e p o u r p

l e s f o n c t i o n s p - e x c e s s i v e s q u e l c o n q u e s en r a i s o n n a n t c o m m e a u n ~ X I I I - 2 3 ( p a r a .

g r a p h e s 2 ~ 4 de l a d 4 m o n s t r a t i o n ) .

12

PROPRIETES DE REGULARITE A GAUCHE .

N o u s c o m m e n q o n s i c i A n o u s o c c u p e r d e s p r o p r i 4 t 4 s d e r 4 g u l a r i t 4

g a u c h e d e s t r a j e c t o i r e s d e s p r o c e s s u s , e t d e s f o n c t i o n s e x c e s s i v e s s u r c e s

t r a j e c t o i r e s . N o u s r e n c o n t r e r o n s d e u x t y p e s d ' a x i o m e s : c e u x qu i e x i g e n t q u e

l a p r o p r i 6 t 4 de r 4 g u l a r i t 4 e n v i s a g 4 e a i r l i e u p o u r t o u t i n s t a n t t f i n i , e t c e u x

qu i e x i g e n t s e u l e m e n t q u ' e l l e a i r l i e u p o u r t o u t t < ~ , o~ ~ e s t l a d u r 4 e de v i e

( t e m p s d ' e n t r @ e d a n s l ' e n s e m b l e [~}) . N o u s c o m m e n c e r o n s p a r l e s a x i o m e s

du p r e m i e r t y p e .

I i n o u s f a u d r a p r @ c i s e r un p e u l e s h y p o t h e s e s f a i t e s s u r l ' e s p a c e

d ' ~ t a t s E ' : n o u s a v i o n s s e u l e m e n t s u p p o s ~ q u e E ' 6 t a i t u n e p a t t i e u n i v e r -

s e l l e m e n t m e s u r a b l e d ' u n e s p a c e c o m p a c t m ~ t r i s a b l e F ; n o u s s u p p o s e r o n s

d @ s o r m a i s q u e E ' e s t b o r 6 l i e n d a n s F ()~) (on p e u t m o n t r e r q u ' i l s ' a g i t l~

d ' u n e p r o p r i @ t ~ de l ' e s p a c e E ' l u i - m ~ m e , i n d @ p e n d a n t e de l ' e s p a c e F d a n s

l e q u e l on p l o n g e E ' ) .

(~) I i s u f f i r a i t de s u p p o s e r q u ' i l e x i s t e , p o u r c h a q u e l o i ~ , u n e p a r t i e b o r ~ l i e n n e E ' de F ,

c o n t e n u e d a n s E ' , e t t e l l e q u e P ~ - p r e s q u e t o u t e s l e s t r a j e c t o i r e s du p r o c e s s u s t y p i q u e (X t)

r e s t e n t d a n s E ' p o u r t o u t t .

- 89-

Les axiomes AI,A 3 (et donc A 2) sont suppos4s v4rifi4s . Nous

introduirons l'axiome suivant (axiome de Blumenthal, ou de quasi-continuit4

gauche) .

13 A X I O M E A 4 . - P o u r t o u t p r o c e s s u s (Yt) c o n t i n u s d r o i t % d 4 f i n i s u r un e s p a c e

( w , Q , P ) , m a r k o v i e n p a r r a p p o r t ~ u n e f a m i l l e (G t) de s o u s - t r i b u s de _G , e t

p o u r t o u t e s u i t e c r o i s s a n t e (T n) de t e m p s d ' a r r ~ t de l a f a r n i l l e (G t) , on a

R, s. en p o s a n t l i r a T = T : n n

(13. 1) l i m Y T = Y T n n

V o i c i d ' a u t r e p a r t , un a x i o m e de r 4 g u l a r i t 4 ~ g a u c h e d e s t r a j e c t o i r e s e t d e s

p o t e n t i e l s . L a p r e m i & r e p a r t i e de l ' a x i o m e 1 4 g i t i m e l ' e m p l o i d e s n o t a t i o n s

g oYt_ ' (g o Y t )_ d u n ~ XIII . 30 :

14 A X I O M E A 5 . - L e s t r a j e c t o i r e s d e t o u t p r o c e s s u s m a r k o v i e n c o n t i n u ~ d r o i t e

(Yt) , d 4 f i n i s u r un e s p a c e p r o b a b i l i s 4 c o m p l e t (W,G=,P} , s o n t p . s . d ~ p o u r v u e s

de d i s c o n t i n u i t ~ s o s c i l l a t o i r e s . P o u r t o u t e f o n c t i o n g = Upf , off p e s t > 0 e t

f e s t u n i v e r s e l l e m e n t m e s u r a b l e e t b o r n 4 e (5) , on a p . s .

(14. 1) g o Yt_(w) = (g ~ Yt )_(w) ~ o u r tout. t > 0 .

Nous allons 4tablir, en plusieurs 4tapes, le r6sultat suivant :

T 1 5 T H E O R E M E . - a) S u p p o s o n s q u ' i l e x i s t e u n e r 4 a l i s a t i o n c o n t i n u e ~ d r o i t e

(W, G,_ (_Gt), (Xt) , ~),~, d o n t la f a m i l l e de t r i b u s (G_ t)_ s o i t c o n t i n u e ~ d r o i t e , e t

qu i s a t i s f a s s e ~ l a c o n d i t i o n de q u a s i - c . o n t i n u i t 4 ~ g a u c h e A 4 . L ' a x i o m e A 5

e s t a l o r s v ~ r i f i 4 .

(~) Cette propri4t6 s'4tend aux 414ments de l.j_ (XIII, D 27) .

- 9 0 -

b) S u p p o s o n s q u ' i l e x i s t e u n e r 4 a l i s a t i o n c o n t i n u e ~ d r o i t e qui p o s s ~ d e

la p r o p r i 6 t 6 6 n o n c 4 e e n A 5 . L ' a x i o m e A 4 e s t a l o r s v 4 r i f i 4 ,

L a d 4 m o n s t r a t i o n s e r a d 6 c o m p o s 6 e en u n e s u c c e s s i o n de l e m m e s .

L e p r e m i e r d ' e n t r e eux entra~'ne, p a r un r a i s o n n e m e n t a n a l o g u e ~t c e l u i d u n ~ 8 ,

q u ' i l s u f f i t de v 6 r i f i e r l ' a x i o m e A 5 p o u r une r 4 a l i s a t i o n .

T 1 6 L E M M E . - a) L ' e n s e m b l e A d e s wEf2 d t e l s clu.e X t ( w )

t > 0 a p p a r t i e n t 5 ~ p o u r to.ute lo i ~ s u r E ' .

e x i s t e p o u r t o u t

b) S u p p o s o n s que l ' o n a i t P ~ ( A ) = 1 p o u r t o u t e lo i ~ s u r E ' , s o i t

f u n e f o n c t i o n u n i v e r s e l l e m e n t m e s u r a b l e , et p o s o n s g = Upf ( p > O ) . L ' e n s e m b l e B

d e s w E ~ d t e t s q u e l ' o n a i t (g oXt )_(w) ; g oXt_(w) p o u r t o u t t > O . a p p a r t i e n t

D E M O N S T R A T I O N . - N o u s d 6 s i g n e r o n s p a r F un e s p a c e c o m p a c t , m u n i d ' u n e

d i s t a n c e d , c o n t e n a n t E ' e t d a n s l e q u e l E ' e s t b o r 4 1 i e n ; on p e u t 6 v i d e m m e n t

s u p p o s e r que F \ E ' c o n t i e n t au m o i n s un p o i n t x . C o n v e n o n s a u s s i de p o s e r o

X t = X 0 p o u r t o u t t < 0 . P o s o n s a l o r s , p o u r t o u t c o u p l e ( t , w ) 6 R + x f~d :

H( t ,w) = l i r a Xt_e(w) si c e t t e l i m i t e e x i s t e d a n s F ~--,0+

= x d a n s l e c a s c o n t r a i r e . 0

C e t t e f o n c t i o n e s t 4 v i d e m m e n t m e s u r a b l e p a r r a p p o r t ~ l a t r i b u ~ ( ~ + ) x Y ; il en

e s t d o n c de m ~ m e de l ' e n s e m b l e IK = H - l ( F \ E ' ) ~ e t i l s u f f i t de r e m a r q u e r que

l e d 4 b u t D K de K e s t une v a r i a b l e a l 6 a t o i r e ( a p p l i q u e r IV. 5Z en m u n i s s a n t

fld de la f a m i l l e de t r i b u s c o n s t a n t e , 4 g a l e ~ _F ~) et que l ' o n a A = {D K = +oo ] .

- 9 1 -

Pour 4 t a b l i r b) , n o u s s i m p l i f i e r o n s n o t r e l a n g a g e en n 4 g l i g e a n t

l ' e n s e r n b l e d e s t r a j e c t o i r e s d 4 p o u r v u e s d e l i m i t e s ~ g a u c h e . N o u s a l l o n s c o m -

m e n c e r p a r ~ t a b l i r l ' e x i s t e n c e d e d e u x f o n c t i o n s b o r 4 1 i e n n e s h ' e t h " e n c a d r a n t

g , t e l l e s que l ' o n a i t P~ [w : ~ t , h ' oXt(W) i t h " o X t ( W ) } = 0 =

p~ [w : t t , h ' o Xt_(w) it h " o X t . ( w ) }

A c e t e f f e t , c h o i s i s s o n s d ' a b o r d d e u x f o n c t i o n s b o r ~ l i e n n e s g ' e t g " , e n c a d r a n t

g , t e l l e s q u e p ~ { w : ~ t , g ' o X t it g " o Xt} = 0 . D ~ f i n i s s o n s p a r r ~ c u r r e n c e

l e s t e m p s d ' a r r ~ t s u i v a n t s , o~ m e s t un e n t i e r > 1 :

1 Tlm(W) = i n f [ t > O : d (Xt (w ) ,X t (w ) )> m ]

T n + 1 , m (w) = i n f { t > T n , m {w) : d l X t - ( w ) ' X t (w))>lm }

L'ensemble des couples

des temps d'arr~t T nm

' " encadrant g n m ' g n m '

p a r t o u t ; l e s f o n c t i o n s h ' = g ' A ( & g ' n m )

l e s p r o p r i g t ~ s d e m a n d ~ e s .

( t ,w) t e l s q u e Xt(w) it Xt_(w) e s t la r 6 u n i o n d e s g r a p h e s

�9 C h o i s i s s o n s a l o r s d e s f o n c t i o n s b o r ~ l i e n n e s b o r n ~ e s

! I ! g , t e l l e s q u e l ' o n a i t g n m (x) = g n m (x) ~ P T - p r e s q u e n m

nVm ,! , h" = g"V( gnm ) poss~dent alors

L e p r o c e s s u s (g o X. ) ) e s t p . s . c o n t i n u ~ g a u c h e , d o n c m e s u - (~) ~ -

rable (~ une identification pros ); il en est de m~me du processus (Xt) , et

donc du processus (h'oXt) . L'ensemble :

L = [(t ,w ) : (g o Xt)_(w) ~t h ' o X t . ( w ) }

e s t d o n c m e s u r a b l e . I1 n e r e s t e p l u s q u ' ~ r e m a r q u e r q u e l ' e n s e m b l e

l ' 4 n o n c 4 e s t 4 g a l , ~ un e n s e m b l e P ~ - n 4 g l i g e a b l e p r o s , ~ l ' e n s e m b l e

[DL=OO}, o~ D L e s t l e d 4 b u t d e L .

B de

(~) R a p p e l o n s que n o u s a b r 4 g e o n s n o t r e l a n g a g e en n e d i s t i n g u a n t p a s d e u x p r o c e s s u s qu i on t p . s . l e s m ~ r n e s t r a j e c t o i r e s .

- 92 -

T 1 7 L E M M E . - S u p p o s o n s q u ' i l e x i s t e u n e r 4 a l i s a t i o n (W,G.(__Gt) , (Xt) , (P D)), t e l l e

que le p r o c e s s u s (~ t ) et l a f a m i l l e (G=t) s o i e n t c o n t i n u s ~ d r o i t e , e t qu i v 4 -

r i f l e l a c o n d i t i o n de q u a s i - c o n t i n u i t 4 ~ g a u c h e A 4 p o u r r o u t e lo i i n i t i a l e D .

L e s t r a j e c t o i r e s de t o u t p r o c e s s u s m a r k o v i e n c o n t i n u ~ d r o i t e (Yt) d~f in i s u r

un e s p a c e c o m p l e t s o n t a l o r s p. s. p o u r v u e s de l i m i t e s ~ g a u c h e .

D E M O N S T R A T I O N . - So i t ~ u n e lo i i n i t i a l e ; n o u s a l l o n s m o n t r e r que l e s

t r a j e c t o i r e s du p r o c e s s u s (Xt) l u i - m ~ m e s o n t P ~ - p . s. d 4 p o u r v u e s de d i s -

c o n t i n u i t 4 s de s e c o n d e e s p ~ c e , et c e l a e n t r a ~ n e r a l ' 4 n o n c ~ d ' a p r ~ s l e l e m m e

p r 4 c 4 d e n t et l e n ~ 4 .

C o m p l 4 t o n s l a m e s u r e ~ P ~ , e t a d j o i g n o n s a u x t r i b u s G t t o u s

l e s e n s e m b l e s n ~ g l i g e a b l e s : n o u s o b t e n o n s u n e n o u v e l l e f a m i l l e c o n t i n u e

d r o i t e {G~ t) et d e s c o n s i d 4 r a t i o n s t o u t a n a l o g u e s ~ c e l l e s d u n ~ XI I I . 20 m o n t r e n t

que l a q u a s i - c o n t i n u i t ~ ~ g a u c h e e s t ~ g a l e m e n t v 4 r i f i 4 e p o u r l e s t e m p s d ' a r r ~ t

de c e t t e f a m i l l e .

N o u s a l l o n s m o n t r e r d ' a b o r d que p r e s q u e t o u t e s l e s t r a j e c t o i r e s

a d m e t t e n t d e s l i m i t e s ~ ~ a u c h e d a n s F . A c e t e f f e t , n o u s c o n s t r u i r o n s l e s

t e m p s d ' a r r ~ t s u i v a n t s , p a r r 4 c u r r e n c e , p o u r t o u t e > 0 :

r = 0 T O

Ten+l(W) = in f { t > T : ( w ) : d ( X T r 1 6 2 } n

et p o s o n s T r = sup T e D ' a p r ~ s l a q u a s i - c o n t i n u i t 4 ~ g a u c h e , et l a r e l a t i o n n "

n

d(~Te(W),XTe (w)) >r sur l'ensemble [T ~n+l< co} , on a p. s. Tr = oo , et

n n+ l

c e c i a l i e u p o u r t o u t r > 0

- 9 3 -

O r s u p p o s o n s que l a t r a j e c t o i r e de w n ' a d m e t t e p a s de l i m i t e ~ g a u c h e d a n s F

en un p o i n t t > 0 ; i l e x i s t e a l o r s u n e s u i t e c r o i s s a n t e (s n) qui c o n v e r g e

v e r s t , e t un h o m b r e r , t e l s que l ' o n a i t p o u r t o u t k E N

( w ) , X ( w ) ) > Zr d ( X s z k SZk+l

I1 en r 4 s u l t e que l e s i n s t a n t s S2k , s 2 k + l n e p e u v e n t a p p a r t e n i r ~ un m ~ m e

i n t e r v a l l e de l a f o r r n e [ T : ( w ) , T ~ n + l ( W ) [ ; on a d o n c T S ( w ) < t & c o . L ' e n s e m b l e

d e s w d o n t l a t r a j e c t o i r e a d m e t d e s d i s c o n t i n u i t 4 s o s c i l l a t o i r e s d a n s F e s t

donc contenu dans l'ensemble n~gligeable U ITS< co ] r nEN

Nous pouvons donc construire un processus continu ~ gauche (Xt) ~ valeurs

dans F,~convenant de poser X0_ = X 0 , et Xt_(w) = ~ pour tout w6W dont

la trajectoire pr4sente une discontinuit4 oscillatoire(dans F), et tout t>0 .'

D'apr~s VIII. T 19 , l'application (t,w): > Xt_(w) est mesurable par rapport

la tribu T__~') (VIII. 13) sur R+• ; l'ensemble

C = [(t,w) : Xt_(w) 6 F\E'}

a p p a r t i e n t d o n c ~ ~(I__'). L e t h 4 o r ~ m e s e r a 6 t a b l i s i n o u s m o n t r o n s que l a p r o -

j e c t i o n de C s u r W e s t P ~ - n 4 g l i g e a b l e . O r s u p p o s o n s q u q l n ' e n s o i t p a s

a i n s i : i l e x i s t e a l o r s , d ' a p r ~ s VI I I . T 2 1 , un t e m p s d ' a r r ~ t a c c e s s i b l e T de

l a f a m i l l e (Gt~) t e l q u e l'on a i t :

( T ( w ) , w ) E C pour t o u t

[T<co > 0 .

w te l que T(w) < c o

T 4 t a n t a c c e s s i b l e , i l e x i s t e u n e s u i t e c r o i s s a n t e de t e m p s d ' a r r ~ t

p a r T , t e l l e que l ' o n a i t :

~ [ l i r a T = W<co I n k T p o u r t o u t n} > 0 % ~ n '

n

T m a j o r d s n

- 9 4 -

On a s u r c e t e n s e m b l e l i rn X T = X T _ , l i m T = X T p ' s " d ' a p r ~ s l a q u a s i - n n n n

continuit~ ~ gauche, donc X T = XT_ p. s. , en contradiction avec la relation

~ T - E F \ E ' p . s . L e t h ~ o r & r n e e s t d o n c ~ t a b l i .

C o r n p t e t e n u de T 16 , l e l e r n r n e s u i v a n t a c h ~ v e de d ~ r n o n t r e r l a p a r t i e a) de

T 1 5 .

T 1 8 L E M M E . - C o n s e r v o n s l e s h y p o t h e s e s e t l e s n o t a t i o n s de l ' ~ n o n c ~ p r e c e d e n t .

S o i e n t f u n e f o n c t i o n u n i v e r s e l l e r n e n t r n e s u r a b l e b o r n ~ e e t g = U f ( p > 0 ) ; P

on a a l o r s p . s .

(18. 1) (g # Yt )_ = g o Y t _ p o u r t o u t t > 0

DEMONSTRATION .- D'apr~s T16 , et le n ~ 4 , il nous suffira d'~tablir T18

p o u r l e p r o c e s s u s (X t) l u i - r n ~ r n e . L e p r o c e s s u s (g o X t ) - e s t c o n t i n u ~.

g a u c h e , de s o r t e que l a f o n c t i o n (t , w) l > (g o X t ) _ ( w ) e s t m e s u r a b l e p a r r a p -

p o r t ~ l a t r i b u T_(I__') . L e p r o c e s s u s (Xt ) e s t c o n t i n u ~ g a u c h e , d o n c r n e s u r a b l e

p a r r a p p o r t ~ "T_{_I') . I1 r ~ s u l t e de l ' e n c a d r e r n e n t de g e n t r e d e u x f o n c t i o n s

b o r ~ l i e n n e s h ' e t h " , j o u i s s a n t d e s p r o p r i ~ t ~ s e n v i s a g ~ e s a u n ~ 16 , q u e l e

p r o c e s s u s (g o X t ) s ' i d e n t i f i e ~ un p r o c e s s u s r n e s u r a b l e p a r r a p p o r t ~ __T(_I').

L ' e n s e r n b l e

D = { ( t , w ) : (g e X t ) ( w ) ~t g e X t ( w ) ]

s ' i d e n t i f i e & un 414 rnen t de T_(I_'). M o n t r o n s a l o r s q u e l ' o n o b t i e n t u n e c o n t r a -

d i c t i o n en s u p p o s a n t q u e l a p r o j e c t i o n de D s u r W n ' e s t p a s n 4 g l i g e a b l e ;

c e l a 4 t a b l i r a l e t h 4 o r ~ r n e . C e t t e s u p p o s i t i o n e n t r a T n e en e f f e t l ' e x i s t e n c e ,

d ' a p r & s V I I I . T 2 1 , d ' u n t e r n p s d ' a r r ~ t a c c e s s i b l e T t e l q u e l ' o n a i t

(18.2) ( g o X T )_ # g o X T - p" s . s u r l ' e n s e m b l e [T ,~oo}

~ [ T < o o ] > 0

- 9 5 -

T 4 t a n t a c c e s s i b l e , c o n s i d 4 r o n s u n e s u i t e c r o i s s a n t e (T n) de t e m p s d ' a r r ~ t

m a j o r 4 s p a r T , t e l l e q u e l ' e n s e m b l e

H = [ l i r a T = T<eD , T -~T p o u r t o u t n} n n

n

a i t u n e p r o b a b i l i t 6 s t r i c t e m e n t p o s i t i v e . D ' a p r ~ s l a q u a s i - c o n t i n u i t 6 ~ g a u c h e ,

on a X T = l i r a X T = X T _ p . s . s u r H , e t on a ~ v i d e m m e n t (g o X T ) _ = l i m g o X . r n n n n

p.s. sur H . La d4finition de T nous donne donc la relation lira g �9 X T @g o X T n n

p . s . s u r H , s o i t :

(18.3) ,~P~{lim g.X T # geXT, T(co} >0 n n

Posons lirn T = S ; nous avons d'apr&s XIII. T 28 (~) : n

n

l i r a g $ X T n . I [ s < o o ] = E [ g , X s . I [ S < o o } n n n

M a i s on a p. s. l i m X T = XS s u r [S<oo] n n

d ' a p r ~ s l a q u a s i - c o n t i n u i t 4 ~ g a u c h e ;

c e t t e f o r m u l e s e r 4 d u i t d o n c A :

--" .%J

l i m g o X T : g o X S p . s . s u r IS <co l n n

c e qui c o n t r e d i t ( 1 8 . 3 )

18 1Wous a l l o n s d 4 m o n t r e r m a i n t e n a n t l a p a r t i e b) d e l ' 4 n o n c 4 de

T 15 . D ~ s i g n o n s d o n c p a r (W, G_,P) un e s p a c e p r o b a b i l i s ~ c o m p l e t , p a r (Yt).

un p r o c e s s u s c o n t i n u ~ d r o i t e , m a r k o v i e n p a r r a p p o r t ~ u n e f a m i l l e (=G t) de

s o u s - t r i b u s de G=, p a r (T n) u n e s u i t e c r o i s s a n t e de t e m p s d ' a r r ~ t de (G=t) d o n t

(~) La d4monstration de ce th4or~me au chapitre Xlll n'utilise pas le caract~re fell4rien

du semi-groupe .

- 9 6 -

la l i m i t e T e s t f i n i e . L ' e x i s t e n c e d ' u n e r 6 a l i s a t i o n c o n t i n u e ~ d r o i t e qu i

v g r i f i e A 5 e n t r a T n e la v a l i d i t 4 de A 5 p o u r l e p r o c e s s u s (Yt} ~ d ' a p r ~ s T 16 .

P o s o n s l i r a YT = "7. , e t d 4 s i g n o n s p a r g une f o n c t i o n de l a ' n n

f o r m e p U p f , off f e s t b o r 6 1 i e n n e et b o r n 4 e ; on a d ' a p r ~ s (14. 1) :

g o Z = g o ( l i m YT ) = l i m g OYT ' n n n n

c o m m e on l e v o l t en c o n s i d 4 r a n t s 6 p a r 4 m e n t l ' e n s e m b l e [ T n < T p o u r t o u t n}

et s o n c o r n p l 4 m e n t a i r e . On a d o n e d ' a p r ~ s XI I I . T 28 :

g ~ : ~EE[go YT[ V G=T ] p.s. n n

Soi t h u n e f o n c t i o n c o n t i n u e b o r n g e ; Z

t r i b u V n =G T , on a : n

6 t a n t m e s u r a b l e p a r r a p p o r t fi l a

E [ h o Z , g o Z ] = E [ h o Z . g o Y T ] .

S u p p o s o n s f c o n t i n u e et b o r n 6 e , et r a i s o n s t e n d r e p v e r s +co ; g = p U p f t e n d

v e r s f , e t n o u s a v o n s d ' a p r ~ s l e t h ~ o r ~ m e de L e b e s g u e :

E [ h . Z . f o Z ] = E [ h o Z . f o Y T ]

I

On c o n c l u t a l o r s , d ' a p r ~ s II . 32 , ~ l ' 4 g a l i t 4 p . s . de Z et YT

D a n s son m 4 m o i r e [ 1] , H u n t a i n t r o d u i t u n e h y p o t h & s e f o n d a m e n -

t a l e , " l ' h y p o t h ~ s e A " , qu i c o m p r e n a i t : l e c a r a c t & r e b o r 4 1 i e n du s e m i -

g r o u p e ; l ' e x i s t e n c e de p r o c e s s u s t y p i q u e s c o n t i n u s ~ d r o i t e et p o u r v u s de l i m i t e s

g a u c h e ; l a p r o p r i ~ t 4 de M a r k o v f o r t e e t l e t h 6 o r ~ m e de B l u m e n t h a l ( q u a s i -

c o n t i n u i t 6 ~ g a u c h e ) . G o m p t e t e n u d e s r 4 s u l t a t s qui on t 4t4 4 t a b l i s , n o u s p o -

s e r o n s l a d 6 f i n i t i o n s u i v a n t e , qu i ne d i f f ~ r e de c e l l e de H u n t que p a r l a d i s p a -

r i t i o n du c a r a c t ~ r e b o r 4 1 i e n .

- 97 -

Dl9 DEFINITION ,- Nous appellerons hypoth~se A l'ensemble des axiomes

AI-A3-A 4 (qui entra:~nent A 2 et A5). Nous dirons qu'un semi-groupe sous-

markovien (Pt) qui satisfait g l'hypoth~se A est un semi-groupe de Hunt .

A i n s i , o n p e u t r 4 s u m e r p r e s q u e t o u t l e c h a p i t r e X I I I e n d i s a n t

q u e t o u t s e m i - g r o u p e d e F e l l e r s a t i s f a i t g l ' h y p o t h ~ s e A .

w 2 . Processus standard.

On va introduire maintenant, d'apr~s Dynkin, une hypoth~se un

peu plus faible que l'hypoth~se A . Nous supposons dans ce qui suit que (Pt)

satisfait g A Iet A 3 (donc 5 A 2) , et que E' est bor4lien dans F comme au

n ~ 12 . Rappelons que la dur4e de vie ~ d'un processus (X t) est d4finie comme

inf {t : X t = ~}

D 2 0 DEFINITION . - Soit (Yt) un processus continu ~ droite, d4fini sur un espace

probabilis6 (W,=G,P), ._m.arkovien par rapport g une famille croissante (G_t) de

sous-tribus de _G . Nous dirons clue (Yt) est un processus standard si la

dur4e de vie ~ du processus est une variable al4atoire ~ ' , sl la famille (_G t)

est continue g droite, et si l'on a pour route suite croissante (T n) de temps

d'arr~t ,

21

(20. i) lira YT = YT P" s. sur l'ensemble [T<~} n n

o,h l'on a pos6 T = lim T n

n

On d4finit de m~me les r4alisations standard . On dit que le semi-

groupe (Pt) est standard s'il v4rifie l'axiome suivarr

AXIOME A~ .- (Pt) admet au moins une r4alisation standard .

(~) Condition toujours r4alis4e si l'espace probabilis4 est complet .

- 9 8 -

L e s p r o c e s s u s ( r e s p . l e s s e m i - g r o u p e s ) d e H u n t s o n t s t a n d a r d .

On p e u t m o n t r e r q u e s i l ' a x i o m e A~ e s t s a t i s f a i t , t o u t p r o c e s s u s d e M a r k o v

c o n t i n u ~t d r o i t e , a d m e t t a n t ( P t ) c o m m e s e m i - g r o u p e de t r a n s i t i o n , e s t s t a n -

d a r d ; m a i s l a d 6 m o n s t r a t i o n n ' e s t p a s s i m p l e , e t n o u s n e l a d o n n e r o n s p a s

i c i (~); n o u s n ' 6 t u d i e r o n s d ' a i l l e u r s q u e t r ~ s s o m m a i r e m e n t l e s p r o c e s s u s

s t a n d a r d l e s p l u s g 4 n 4 r a u x .

22 L'axiome A~ prend une forme plus agr6ablesi l'on remarque que l'existence

d ' u n e r 4 a l i s a t i o n s t a n d a r d (W, O_, (O_t) , (Xt) , (P~) ) e n t r a T n e q u e l a r 4 a l i s a t i o n

t y p i q u e e s t s t a n d a r d . D g s i g n o n s en e f f e t p a r ~ l a d u r 4 e d e v i e de (Xt) , p a r

C c e l l e de (Xt) , p a r r l ' a p p l i c a t i o n d e W d a n s f~d qu i A c h a q u e w 6 W

a s s o c i e s a t r a j e c t o i r e , p a r (S n) u n e s u i t e c r o i s s a n t e de t e m p s d ' a r r ~ t de l a

f a m i l l e (=F ~ ) L e s v a r i a b l e s a l 4 a t o i r e s T = S o q~ s o n t d e s t e m p s d ' a r r ~ t t+ " n n

de la famille (G=t) ; on a donc, en posant T = lira Tn, S = lim S n : n n

lira XT = XT p" s . sur {T<~} . n

q u e l l e q u e s o i t l a l o i i n i t i a l e

q u e ~ = ~ o ~

. On a donc d'apr~s (4. 1) , en r e m a r q u a n t

l i r a X S = X S p . s . s u r { S < ~ } n

On p a s s e d e l~t, g r a c e a u x a r g u m e n t s de X I I I . T 20 , a u c a s d ' u n e s u i t e de t e m p s

F ~ - . . d ' a r r ~ t d e l a f a m i l l e ( = t ) ' e t i l en r 4 s u l t e q u e l a r e a h s a t l o n c o n t i n u e A d r o i t e

t y p i q u e e s t b i e n s t a n d a r d .

N o u s n o u s b o r n o n s ~ c o n s i d 6 r e r l a r 6 a l i s a t i o n c o n t i n u e ~ d r o i t e

t y p i q u e d a n s l ' 6 n o n c 6 s u i v a n t : n o u s l a i s s o n s a u l e c t e u r l e s o i n d ' 4 t e n d r e l e

r 4 s u l t a t a u x p r o c e s s u s c o n t i n u s ~ d r o i t e q u e l c o n q u e s .

(~) V o i r l e d e r n i e r p a r a g r a p h e d e M e y e r [ 1]

- 99 -

T Z3 THEOREME .- Supposons que (Pt) soit un semi-groupe standard. Pour

PP-presque tout w6~ d (quelle clue soit la loi initiale p) ~ la trajectoire de w

admet une lirnite ~ gauche dams E en tout point de l'intervalle ]0,~(w)[, une

limite ~ ~auche dams E' en tout point de l'intervalle ]0,~(w)[, o~i ~

(~) d6si~ne la pattie accessible du temps d'arr~t

D E M O N S T R A T I O N . - On m o n t r e c o m m e a u n ~ 17, en u t i l i s a n t l e s m ~ m e s

r q u e l e s t r a j e c t o i r e s a d m e t t e n t p . s . d e s l i m i t e s ~ g a u c h e t e m p s d ' a r r ~ t T n ,

sur l'intervalle ]0, ~[ , dams l'espace m4triclue compact F . On a en effet

sup Tr = ~,~ P~-p" s. d'apr~s (20. i), pour tout r , et on ne peut avoir n

sup T r = ~ sur l'ensemble [~=~<+oo}, car les T r sont distincts et ~I n n n '

est totalement inaccessible . Comme ~ est absorbant, on a donc sup T r = +ao n

n sur

L ' e x i s t e n c e d e s l i m i t e s ~ g a u c h e dams E ' e s t p l u s d 4 1 i c a t e .

L e p r o c e s s u s (Xt_ r & v a l e u r dams F ( ~ ) e s t b i e n - m e s u r a b l e p a r r a p p o r t

l a f a m i l l e (__Ft_ r , d ' a p r ~ s l a r e m a r q u e s u i v a n t V I I I . T 16 . O r s i S e s t un

t e m p s d ' a r r ~ t de l a f a m i l l e (=Ft. r S-1] e s t un t e m p s d ' a r r % t d e l a f a m i l l e

(=F t) p o u r 0 < 1 ] < r : S e s t d o n c un t e m p s d ' a r r ~ t a c c e s s i b l e de l a f a m i l l e (=F t) .

On en d 4 d u i t q u e l a f o n c t i o n ( t , w ) ! > X t _ r e s t m e s u r a b l e p a r r a p p o r t ~ l a

tribu __T%') (VIII. 13) . D4signons par A l'ensemble des (t,w) tels que Xt.4(w) w.

converge dams F : A appartient a T(I_') , et l'existence de limites ~ gauche

6tablie plus haut montre que A s'identifie ~ l'ensemble des (t,w) tels que

Xt_(w) existe dams F , et que ~A s'identifie ~ une pattie du graphe de ~ .

Pour tout (t,w)EA , posons Yt(w) = lira X 1 (w) ; la fonction (t,w)i >Yt(w) n t---

n est mesurable sur A si l'on munit A de la tribu trace de T(~')

(~) VII . D 42 e t T 44 . On n o t e r a que c e t e m p s d ' a r r % t d 4 p e n d de ~ en p r i n c i p e . N o u s d 4 s i -

g n e r o n s de m ~ m e p a r ~ l a p a r t i e t o t a l e m e n t i n a c c e s s i b l e de C �9

(~) Nous convenons de poser ici Xs=X0,__Fs=__F 0 pour tout s<0 . Nous identifierons aussi dams

la suite deux processus qui ont p. s. les m~mes trajectoires, ce qui revient ~ n4gliger les

ensembles dont la projection sur ~ a une probabilit4 nulle .

- 1 0 0 -

E t a b l i r l ' a s s e r t i o n I) r e v i e n t ~ m o n t r e r q u e l ' e n s e m b l e :

(23.2) [(t,w)EA : 0<t<~(w) , Yt(w) EF\E'}

s e p r o j e t t e s u r f~ s u i v a n t un e n s e m b l e n S g l i g e a b l e . N o u s a l l o n s m o n t r e r d a -

v a n t a g e : en f a i t l ' e n s e m b l e

{23.3) {(t,~)EA :O<t<~(~) , Yt(w)EF\E'}

que nous ddsignerons par

qu'il n'en soit pas ainsi,

s e m b l e [ ( t 4 } ) E A , Yt(w) EFX~E'] a p p a r t i e n t ~ T _ ( I _ ' ) a i n s i c l u e l ' e n s e m b l e

[ ( t , w ) : t<C~A(w) } d ' a p r ~ s VII I . T18 : i l en r 4 s u l t e que B a p p a r t i e n t ~ T ( I ' ) . L a

p r o j e c t i o n de B n ' d t a n t p a s n d g l i g e a b l e , i l e x i s t e d ' a p r ~ s VII I . T 21 un t e m p s

d ' a r r ~ t a c c e s s i b l e T , t e l que l ' o n a i r P ~ [ T < c o } > 0 , ~ , T ( w ) ) E B p o u r t o u t 6 ;

t e l que T ( w ) < c o . O r on a Yt(w) = 3 E E ' p o u r t o u t t > ~ , d o n c T < C ; T d t a n t

a c c e s s i b l e , on a ~ [ T = C i ~ < o o } : 0 , e t ~ [ T = C ~ < o o } : 0 p a r d d f i n i t i o n de B .

A u t r e m e n t d i t , on a p. s. T < c s u r l ' e n s e m b l e I T < c o } . I1 e x i s t e d ' a p r ~ s l a d d -

f i n i t i o n d e s t e m p s d ' a r r ~ t a c c e s s i b l e s u n e s u i t e c r o i s s a n t e de t e m p s d ' a r r ~ t

T < T , t e l s que l ' e n s e m b l e n

B , a u n e p r o j e c t i o n n d g l i g e a b l e . S u p p o s o n s en e f f e t

et m o n t r o n s que l ' o n a b o u t i t ~ u n e c o n t r a d i c t i o n . L ' e n -

, : T<oo} ( 2 3 . 4 ) H = [ T n < T p o u r t o u t n l i r a T n n

a i t u n e p r o b a b i l i t d n o n n u l l e . O r on a s u r H , d ' a p r ~ s (20. 1) e t l ' e x i s t e n c e de

l i m i t e s ~ g a u c h e d a n s F :

YT = lim XT_ 1 = XT_ = lim X T = X T 6E' n n n n

p.~

contrairement ~ la ddfinition de B .

- i01 -

N o u s l a i s s e r o n s de c8 t4 l e s p r o c e s s u s s t a n d a r d g 4 n ~ r a u x ~ p a r t i r

de m a i n t e n a n t ; on p o u r r a c o n s u l t e r ~ l e u r s u j e t l ' a r t i c l e de l ' a u t e u r [,1] . En

f a i t , l e s p r o c e s s u s s t a n d a r d l e s p l u s i n t 4 r e s s a n t s s o n t c e u x qui s a t i s f o n t ~ l a

p r o p r i 4 t 4 s u i v a n t e .

D 24 D E F I N I T I O N . - On di t clue l e s e m i - g r o u p e s t a n d a r d (P t ) es__t s p 4 c i a l s i , q u e l l e

clue s o i t l a l o i i n i t i a l e ~ , l a f a m i l l e (_Ft~) p o s s ~ d e l a p r o p r i 4 t 4 s u i v a n t e :

F~ (24. 1) p o u r t o u t e s u i t e c r o i s s a n t e (S n) de t e m p s d ' a r r ~ t de l a f a m i l l e (= t ) l a

v a r i a b l e a l ~ a t o i r e X l i m S e s t r n e s u r a b l e p a r r a p p o r t ~ l a t r i b u -V -~-F# a

n n n

P o s o n s S = l i m S , e t r a p p e l o n s que X S = 8 p a r c o n v e n t i o n s u r n n

[S=+oo} . On a X S = lirn X S p.s. sur [S<+oo} si (Pt) est un semi-groupe n n

de Hunt ; tout semi-groupe de Hunt est donc standard sp4cial . D'autre part, il

est vrai pour tout semi-groupe standard (Pt) , que l'on a

X S = l i m X S P ~ - p . s . sur IS<C} (d'apr~s (ZO. 1)) n n

x s =~ sur {s>r .

Pour que (24. 1) s o i t s a t i s f a i t e , il f a u t e t i l s u f f i t donc q u e [ S < ~ ] a p p a r t i e n n e

Z5 Ii est facile de construire un semi-groupe standard qui n'est pas

special : prenons cornme espace d'4tats la droite, et posons

(z5.1)

si x< I

s i x > l

I P t ( x , dy) = Ct+x(dY)

1 P t ( x , dy) = ~ r

P t ( x , dy) = r t+x(dY)

s i t + x < I

s i t + x > l

p o u r t o u t t

- I02 -

I n t u i t i v e m e n t , on p r e n d un p r o c e s s u s de t r a n s l a t i o n u n i f o r m e s u r l a d r o i t e , e t

on i n s t a l l e a u p o i n t 1 un p i ~ g e , qu i t u e l a p a r t i c u l e a v e c p r o b a b i l i t 6 1 / 2 a u

m o m e n t o~ e l l e p a s s e en c e p o i n t . I1 n ' e s t p a s d i f f i c i l e de v 6 r i f i e r q u e (P t )

e s t un p r o c e s s u s s t a n d a r d : c e l a r 6 s u l t e r a d ' a i l l e u r s de t h 6 o r & m e s g ~ n 6 r a u x s u r

l e s s e m i - g r o u p e s s u b o r d o n n 6 s a u x s e m i - g r o u p e s de F e l l e r , qu i s e r o n t d o n n 6 s

p l u s l o i n . P r e n o n s p a r e x e m p l e ~ = e 0 ; l e s t r i b u s F ? s o n t a l o r s d b g 6 n 6 r ~ e s

p o u r t < l m a i s X 1 n ' e s t p a s u n e v a r i a b l e a l ~ a t o i r e d ~ g 6 n ~ r 6 e ; i l s u f f i t de

1 p r e n d r e S n = 1 - n p o u r m e t t r e en d 6 f a u t (Z4. 1) .

Si l'on remplace le coefficient 1/2 par 0 dans la formule (25. i),

on obtient un semi-groupe standard special qui n'est pas un semi-groupe de Hunt.

Nous verrons plus tard d'autres exemples de tels semi-groupes .

D a n s l ' 4 n o n c 4 e t l a d @ m o n s t r a t i o n du l e m m e s u i v a n t , n o u s r e p r e -

n o n s l e s n o t a t i o n s de l '@nonc@ e t de l a d @ m o n s t r a t i o n de T 2 3 .

TZ6 T H E O R E M E . - S u p p o s o n s q u e l e s e m i - g r o u p e ( P t ) s o i t s t a n d a r d s p 4 c i a l .

S o i e n t r e s p e c t i v e m e n t ~ I e_~.t ~I ~ l a p a r t i e a c c e s s i b l e e t l a p a t t i e t o t . a l e m e n t

i n a c c e s s i b l e de l a d u r 4 e de v i e ~ ( p o u r l a l o i P ~ ) . On a a l o r s P ~ - p . s . l e s

p r o p r i 4 t 4 s s u i v a n t e s :

I ) So i t f u.ne f o n c t i o n u n i v e r s e l l e m e n t m e s u r a b l e b o r n 4 e , e t s o i t g = U p f

( p > 0 1 ; o n a p o u r t o u t

( 2 6 . 1 ) g oXt_(w) = (g oXt )_ (w)

2) So i t ~pp l a f o n c t i o n p U p ( I [ ~ } ) ( p > 0 ) , e t s o i t ~n l e t e m p s d ' e n t r 4 e d a n s

l ' e n s e m b l e D = [ x :~p(X) > l 1 n = - n } ; ~n t e n d a l o r s en c r o i s s a n t v e r s ~ , e t l ' o n

~ ~ n ( W ) < ~ ( w ) p o u r t o u t n s u r 1 ' e n s e m b l e [~ = ~ . ~ < + o o }

- 1 0 3 -

DEMONSTRATION .- D'apr&s T23 , nous pouvons d6finir Xt_(w)6E' pour

t<~(~) . On montre alors comme au n ~ 16 que l'on peut encadrer g entre deux

fonctions h' et h" , bor41iennes et born~es sur E' , telles que les ensembles

{ ( t , ~ ) : h ' o Xt(w) < h " o Xt(w) }

[ ( t , ~ ) : O < t < ~ ( w ) , h ' o X t _ ( w ) < h " o Xt_(o~)]

a i e n t d e s p r o j e c t i o n s n 4 g l i g e a b l e s , e t i l en r 6 s u l t e q u e l ' e n s e m b l e :

C = [(t,~) : 0<t<C~(w) , go Xt_Cw) @ (g oXt)_(w) }

s ' i d e n t i f i e ~ un 4 1 4 m e n t de T_(I_'). Si l a p r o j e c t i o n de C s u r f~ n ' 6 t a i t p a s n 4 -

g l i g e a b l e , on p o u r r a i t f a i r e p a s s e r d a n s C l e g r a p h e d ' u n t e m p s d ' a r r % t a c c e s -

s i b l e T , tel que ~[T<oo}>0 .

L a r e l a t i o n Xt(~o ) = ~ p . s . p o u r t ~ C ( w ) e n t r a X n e T ~ c . C o m m e

T e s t a c c e s s i b l e , on a p. s . , W @ C~ s u r {C~<oo}~ d o n c T < ~ s u r [ T < o o } .

C o n s i d 4 r o n s a l o r s u n e s u i t e c r o i s s a n t e d e t e m p s d ' a r r ~ t S n m a j o r 4 s p a r T ,

t e l l e q u e l ' o n a i t e n p o s a n t l i r a S = S : n

n

P•[ , < T p o u r t o u t n ] > 0 (26. 1) S = T < o o S n

D'apr~s {24. i), et XIII. T 29 , nous avons lira g o X S n n

Sur l'ensemble (26. i), on a

=goX S p.s. sur {s<oo}.

l i m g oX S = (g O X T ) . , g o X S = g o ( l i m X S ) = g o X s _ n n n n

On a d o n c a v e c u n e p r o b a b i l i t 6 p o s i t i v e g ~ X T _ = (g o X T ) - s u r

c o n t r e d i t l a d 6 f i n i t i o n de l ' e n s e m b l e C .

= g oXT. �9

[T<oo] , ce qui

- 104 -

Passons ~ la seconde propri4t4 . On a 4videmment @p(X) = Ex[ e -pC]

~0p(X) < I pour tout x avec 4galit4 si et seulement six = 8 . Nous commence-

tons par ~tablir, en utilisant un raisonnement de Hunt, la propri~t~ suivante :

( Z 6 . 2 ) S o i t (T n) u n e s u i t e c r o i s s a n t e d e t e m p s d ' a r r ~ t m a j o r 6 s p a r C , e t s o i t

T = l i m T n ; o n a a l o r s p . s . l im~ 0 p oX T = 1 s u r l ' e n s e m b l e H = [ T = C < o o , n n

T n < ~ p o u r t o u t n ] .

sur

On a en e f f e t , en t e n a n t c o m p t e de l a r e l a t i o n

[Tn<~ ] :

T n + ~ ~ T n : C

-pT <~ , ~p> = e "pC d P ~ , e "pC dR ~,~ +_Tn<_<oo.f e n e x p ( - p C 0 T ,~

(26.3) -PT n

= f e-P~dP~ + f e XTn dR ~ {%:c<oo} { <c<oo3 % " "

oh l a d e r n i ~ r e i n t ~ g r a l e a 4t~ t r a n s f o r m 4 e au m o y e n d e l a f o r m e X l l l . T 18 d e

l a p r o p r i ~ t ~ de M a r k o v f o r t e . F a i s o n s t e n d r e n v e r s l ' i n f i n i , p o s o n s

q(~) = l i r a r X T (W) s u r [ T < o o } e t K = U[Tn=C<oo } . 11 v i e n t : n n n

fK e'PCdP~ + ~ e ' p ~ q dP~ + f e " p T < ~ , ~p> = ~ �9 q d P 2 { T<C<oo}

E t u d i o n s l a d e r n i ~ r e i n t 4 g r a l e . S u r [T<C<oo}f](nU [ T n = T ] ) , o n a 4 v i d e m m e n t

q = ~p oX T ; sur [T<C<oo]n [Tn<T pour tout n], on a q = (~p .XT)_, qui est

4gal ~ ~p o XT_ d'apr~s l'assertion I) , et ~ ~0pO X T d'apr~s la relation

(20. I). On a donc finalement, en remplaQant q par sa valeur dans la derni~re

int4grale :

{T e-PC (IK+qlH) dp~ + f e'PT ~~ ~ dP~ (Z6.4) <~,~p> = =C <oo] -~ {T<C<oo

- 105 -

C o m p a r o n s ~ l a f o r m u l e a n a l o g u e ~ (26.3) :

e-P~dp ~ + f e-PT~Pp ~ X T dP ~ (26.5) <~'r =[fT=r ~ [ T<~<oo}

Ceci n'est compatible avec l'inggalit4 IK+ qlH< 1 que si l'on a IK+ ql H = 1 p. s.

sur [T=~<oo], autrement dit q = 1 p.s. sur H. La propri4t4 (26.2) �9

4tablie .

C o n s i d 4 r o n s m a i n t e n a n t l e s t e m p s d ' a r r ~ t ~n : il e s t c l a i r q u ' i l s

c r o i s s e n t a v e c n , e t r e s t e n t m a j o r ' s p a r C ; p o s o n s ~ ' = l i m ~n " On a n

1 ~pp�9 X~n> 1 - ~ sur {Cn<OO } : on ne peut donc avoir C'<C sur l'ensernble

1 U [ C m = ~ '} , c a r on a s u r c e t e n s e m b l e ~0pl XCt ~ 1 - ~- p o u r t o u t n a s s e z m

g r a n d , d o n c X ~ , = 5 . S u r l ' e n s e m b l e J = [ ~ n < ~ ' p o u r t o u t n , C ' < C < o o } on a

p.s. 1 = limn &0p �9 X~n = (eppO XC,) - = r X~,_ = r149 X~, (propri~t~s I) et (20. I)),

donc p. s. X~, = 5 , ce qui n'est compatible avec ~'<~ que si J est n~gligeable.

On a don c :

( 2 6 . 6 ) l i m ~n = ~ p . s . n

So i t (Tn) u n e s u i t e c r o i s s a n t e de t e m p s d ' a r r ~ t m a j o r ' s p a r ~ , e t s o i t T = l i m Tn; n

~0p X T = < T p o u r t o u t n} , d o n c on a p. s. l i m o 1 s u r l ' e n s e m b l e [ T = ~ < o o , T n n n

~n < ~ p . s . p o u r t o u t n s u r c e t e n s e m b l e . A u t r e m e n t d i t (VII , r e m a r q u e a u

n ~ 44) , on a ~n<~ p . s . p o u r t o u t n , s u r l ' e n s e m b l e [C = ~ <co} . I n v e r s e m e n t ,

on a 4 v i d e m m e n t C = C~ s u r { C n < C p o u r t o u t n } , et l a p r o p r i ~ t ~ 2) e s t

4 t a b l i e .

- 1 0 6 -

27 R E M A R Q U E . - I1 r ~ s u l t e a u s s i t S t de l a c a r a c t ~ r i s a t i o n qu i v i e n t d ' e t r e d o n n ~ e

q u e l ' o n a p. s.

C~(oo) = C(oo) s i Cn(O0) < C(oo) p o u r t o u t n ,

= +co d a n s l e c a s c o n t r a i r e .

L e s t e m p s d ' a r r ~ t C~ e t

l e s n o t e r s i m p l e m e n t CA

~ n e d 6 p e n d e n t d o n c p a s de ~ . N o u s p o u r r o n s a i n s i I

e t C i

28 N o u s a l l o n s d ~ m o n t r e r m a i n t e n a n t q u e t o u s l e s p r o c e s s u s m a r k o -

v i e n s c o n t i n u s ~ d r o i t e , d o n t l e s e m i - g r o u p e d e t r a n s i t i o n e s t s t a n d a r d s p g c i a l ,

s o n t s t a n d a r d . C e t t e p r o p r i g t ~ e s t v r a i e a u s s i p o u r un s e m i - g r o u p e s t a n d a r d ,

m a i s n o u s n ' e n c o n n a i s s o n s q u ' u n e d ~ m o n s t r a t i o n f o r t p ~ n i b l e , e t n o u s n e l a

d o n n e r o n s p a s i c i .

N o u s a l l o n s ~ n o n c e r s o u s f o r m e d ' a x i o m e u n e p r o p r i ~ t ~ du s e m i -

g r o u p e ( P t } - c e t a x i o m e e s t d ' a i l l e u r s f o r t c o m p l i q u ~ , e t n e p r ~ s e n t e a u c u n

i n t ~ r ~ t p a r l u i - m ~ m e . V o i c i d ' a b o r d d e s n o t a t i o n s . S o i t (Yt) un p r o c e s s u s

m a r k o v i e n , a d m e t t a n t ( P t ) c o m m e s e m i - g r o u p e d e t r a n s i t i o n , d ~ f i n i s u r un

e s p a c e p r o b a b i l i s ~ c o m p l e t ( W , Q , ~ ) ; d ~ s i g n o n s p a r Cn l e t e m p s d ' e n t r ~ e d a n s

{r 1 - 1 3 , p a r C l a d u r ~ e de v i e , p a r CA (~t) l a v a r i a b l e a l ~ a t o i r e d g f i n i e p a r :

CA(W) = l i r a Cn(W) s i l ' o n a Cm(W) < l i r a On(W) p o u r t o u t m . n n

CA(W) = +co d a n s l e c a s c o n t r a i r e .

(~) C e s n o t a t i o n s r e p r e n n e n t c e l l e s du. t h ~ o r ~ m e p r e c e d e n t , m a i s r i e n n e n o u s p e r m e t d ' a f -

f i r m e r p o u r 1 ' i n s t a n t q u e CA e s t l a p a t t i e a c c e s s i b l e d e C - e x p r e s s i o n qu i e s t r n ~ m e d ~ -

p o u r v u e de s e n s , p u i s q u ' a u c u n e f a m i l l e de t r i b u s n ' e s t s p ~ c i f i ~ e .

- 107 -

! A X I O M E A 5 . - Q u e l que s o i t l e p r o c e s s u s

d e s s u s , on a p. s. l e s p r o p r i ~ t ~ s s u i v a n t e s :

pour tout

a l o r s

p o u r t o u t

(Yt) v ~ r i f i a n t l e s h y p o t h e s e s c i -

1) L a t r a j e c t o i r e de w E W a d m e t u n e l i m i t e ~ g a u c h e Y t _ ( v ~ ) E E '

tE ]0, ~A(W)[ .

2) Soit g = U f (f universellement mesurable born~e, p>0) ; on a P

(g o Yt )_ (w) = g o Yt_(w)

t e l 0 , ~A(W)[ �9

3) On a ~(w) = lira Cn(W) n

Un r a i s o n n e m e n t a n a l o g u e en t o u t p o i n t ~ c e l u i du n ~ 16 p e r m e t

de m o n t r e r que s i l a r d a l i s a t i o n c o n t i n u e ~ d r o i t e t y p i q u e v ~ r i f i e l e s p r o p r i ~ t ~ s

1 ) , 2 ) , 3 ) , a l o r s t o u t p r o c e s s u s {Yt ) du t y p e c i - d e s s u s l e s v ~ r i f i e . A u t r e m e n t

d i t , l a d ~ m o n s t r a t i o n de T. 26 p e r m e t de c o n c l u r e q u e :

L ' a x i o m e A~ e s t v ~ r i f i ~ s i l e s e m . i - g r o u p e (P t ) e s t s t a n d a r d

s p e c i a l .

En f a i t , l a r ~ c i p r o q u e e s t v r a i e : n o u s v e r r o n s q u e t o u t s e m i - g r o u p e qu i s a t i s -

f a i t ~ A~ e s t s t a n d a r d s p e c i a l {n ~ 29 e t 36) .

rz9 THEOREME .- Suppos0ns l'axiome A~ v~rifi@. Soit (Yt) un processus continu

droite ~ valeurs dans E' , d~fini sur un espace probabilis~ complet (W,~_,P)

markovien par rapport ~ une famille continue ~ droite (G__ t) de sous-tribus de G__ .

Le processus (Yt) est alors standard .

DEMONSTRATION .- Nous pouvons 4videmment supposer que les ensembles

n ~ g l i g e a b l e s on t ~t~ a d j o i n t s a u x t r i b u s G__ t . S o i t (T n) u n e s u i t e c r o i s s a n t e d e

temps d'arr~t major's par ~ et soit T = lira T On a d'apr~s XIII. T29, ' n

n p o u r t o u t e f o n c t i o n g de l a f o r m e p U p f ( p > O , f c o n t i n u e b o r n ~ e s u r E ' )

(29.1) (limg~ Y T )l[T<oo} = E[g ~ ] ~ , , p.s. n n

- 108 -

Remarquons ensuite que l'ensemble IT=CA } = [T>CA ] =

[T=oo} U([T<oo}n (Vp~n : Tn>Cp }) appartient A Vo__ T . Nous avons donc dlapr~s (29. i), en posant lira YT = Z

n n n s u r I T < C A } ( l i m i t e qui e x i s t e d ' a p r ~ s A~) et en d d s i g n a n t p a r h une f o n c t i o n

c o n t i n u e b o r n d e s u r E ' :

(29.2) 7 h oZ. lim g ~ dP : 7 h ~ ~ "

{ T<CA] n {T<CA}

Mais on a aussi linmg o YT = g ~ Z sur IT<CA ] : c'est dvident s'il existe n

un n tel que Tn(W) = T(w), car alors g ~ (w) = g oYT(W) pour re>n, In

donc g ~ YT (w) = g o Z(w) pour m assez grand . Sur l'ensemble o5 Tn<T<CA rn

pour tout n , on a d'apr~s A~ :

l i m g o Y T (w) = (g ~ = g o Y T _ ( W ) = g ~ p . s n n

D'oh f i n a l e m e n t :

( 2 9 . 3 ) 7 h o Z . g oZ d P = 7 h ~ ~

[ T<~ A} { T<C A}

On en dddu i t c o m m e au n ~ 18 l ' d g a l i t d de Z e t YT p~ s.

e n t r a ~ n e d v i d e m m e n t l e c a r a c t ~ r e s t a n d a r d du p r o c e s s u s

sur {T<CA } , ce qui

(Yt) �9

I1 r ~ s u l t e de T 29 que d i v e r s r ~ s u l t a t s ~ t ab l i s p lus hau t p o u r l e s

p r o c e s s u s t y p i q u e s s ' ~ t e n d e n t aux p r o c e s s u s c o n t i n u s ~ d r o i t e l e s p lus g ~ n ~ r a u x .

Nous g r o u p e r o n s c e s r d s u l t a t s en un s e u l ~nonc~ :

- i09-

T 3 0 T H E O R E M E . - L e s e m i - g r o u p e ( P t ) s a t i s f a i s a n t 5 A~ , s o i t (Yt) un p r o -

c e s s u s c o n t i n u 5 d r o i t e 5 v a l e u r s d a n s E ' , d 4 f i n i s u r un e s p a c e p r o b a b i l i s ~

c o m p l e t ( W , G , P ) , m a r k o v i e n p a r r a p p o r t 5 u n e f a m i l l e c o n t i n u e ~ d r o i t e (G=t)

d e s o u s - t r i b u s de G ; on s u p p o s e en o u t r e q u e G O c o n t i e n t l e s e n s e m b l e s n 4 g l i -

g e a b l e s .

1) So i t (T n) u n e s u i t e c r o i s s a n t e de t e m p s d ' a r r ~ t de l a f a m i l l e (Gt) , e t

s o i t T = l i m T n . On a p o u r t o u t e f o n c t i o n g = U p f ( p > O , f u n i v e r s e l l e m e n t n

m e s u r a b l e b o r n 4 e ) :

(30. 1) lira go YT = g ~ p . s . sur [T<oo] n n

z)

v i e ~ .

L e t e m p s d ' a r r ~ t CA d u n ~ 28 e s t l a p a r t i e a c c e s s i b l e de. l a d u r 4 e de

On a p . s. a v e c l e s n o t a t i o n s c i - d e s s u s

(30.2) lira YT = YT sur l'ensemble [T<oo , T @ CA } n n

DEMONSTRATION . - Nous savons d'apr~s Xlll. T 29 que l'on a

p.s.(linm g o YTn)I[T<oo} =E[g oYT. I[T<oo}[ Vn__G Tn ]; l'assertion I) sera

donc 4tablie si nous montrons que g ~ YT" I {T<oo} est mesurable par rapport

V G_T . Or on a : n

g ~ [T<oo} = g(~)I[CA_< T<oo} + g o~imn YTn )'I[T<cA]

d'apr~s (29.3) et la fin de la d4monstration de T29 . Ii suffit alors de remar-

quer que IT<CA } appartient 5 V G__ T , comme on l'a vu aussi dans la d4mons- n

tration de T29 .

En appliquant ce r4sultat ~ la fonction g = {pp, on obtient une nou-

velle d4monstration de la propri4t4 (26. 2), valable sans restriction sur les pro-

cessus. Le fair que CA est la partie accessible de C s'4tablit comme au n~

sans changement .

La relation (30.2) a ~t4 ~tablie ~ la fin de la d4monstration de T29.

- l l 0 -

w 3 . E t u d e d e s t r i b u s c a n o n i q u e s .

31

REALISATIONS CANONIQUES .

N o u s a v o n s u t i l i s ~ j u s q u ' ~ m a i n t e n a n t d a n s ce c h a p i t r e l a r ~ a l i s a -

t i o n c o n t i n u e 5 d r o i t e t y p i ~ u e , d o n t l ' e n s e m b l e de b a s e f)d e s t c o n s t i t u f i p a r

t o u t e s l e s a p p l i c a t i o n s c o n t i n u e s 5 d r o i t e de R+ d a n s E ' . L e s r ~ s u l t a t s que

n o u s a l l o n s p r o u v e r d a n s ce p a r a g r a p h e v a l e n t a u s s i p o u r d ' a u t r e s r ~ a l i s a t i o n s ,

que n o u s a l l o n s d ~ c r i r e m a i n t e n a n t .

N o u s a v o n s vu que l o r s q u e (P t ) e s t un s e m i - g r o u p e de H u n t

( r e s p . s t a n d a r d ) , t o u t e s l e s l o i s P~ s u r f/d s o n t p o r t ~ e s p a r l ' e n s e m b l e

( r e s p . f?s ) d e s t r a j e c t o i r e s • c o n t i n u e s ~ d r o i t e , qui g a r d e n t la v a l e u r ~

p a r t i r du p r e m i e r i n s t a n t ~(w) off e l l e s l ' a t t e i g n e n t , et qui a d m e t t e n t u n e l i -

m i t e s g a u c h e darts E ' p o u r t o u t t E ] 0 , o o [ ( r e s p . t o u t t E ] 0 , ~ ( w ) [ ) . N o u s

p o u v o n s doric r e s t r e i n d r e l ' e s p a c e de b a s e ,~ l ' e n s e m b l e fl darts l e c a s d e s

s e m i - g r o u p e s de H u n t , s f? darts c e l u i d e s s e m i - g r o u p e s s t a n d a r d . I1 n ' y s

a u r a a u c u n i n c o n v e n i e n t ~ c o n s e r v e r p o u r l e s v a r i a b l e s a l ~ a t o i r e s , l e s t r i b u s

, o et l e s l o i s l e s n o t a t i o n s h a b i t u e l l e s X t F t , , Ft, ~ P~ a v e c l e u r s s i g n i f i -

c a t i o n s h a b i t u e l l e s . On v ~ r i f i e r a i m m ~ d i a t e m e n t , d ' a i l l e u r s , q u ' u n e p a r t i e

de fl (ou de a s ) a p p a r t i e n t ~ F~ ( r e s p . __Ft~,F t )s i et s e u l e m e n t si e l l e e s t l a

t r a c e s u r f? (ou f?s ) d ' u n e p a r t i e de f?d qui a p p a r t i e n t ~ __F~ d a n s f~d ( r e s p .

s i e l l e a p p a r t i e n t ~ =Ft~ , __F t clans a d ) .

S u p p o s o n s que (P t ) s o i t un s e m i - g r o u p e de H u n t ; il n ' y a a u c u n

= , _ , ( ~ ) ) e s t t r ~ s c o m m o d e , d o u t e d a n s ce c a s q u e l a r ~ a l i s a t i o n ( f ~ , F (_F t) (Xt), P~

e t u n i v e r s e i l e m e n t e m p l o y e e . N o u s l ' a p p e l l e r o n s l a r 6 a l i s a t i o n de H u n t c a n o -

n i q u e du s e m i - g r o u p e de H u n t (P t ) . E n p a r t i c u i i e r , un s e m i - g r o u p e de F e l l e r

e s t a u s s i un s e m i - g r o u p e de H u n t , et l a r 6 a l i s a t i o n de H u n t c a n o n i q u e c o i n c i d e

b i e n a v e c l a r ~ a l i s a t i o n c a n o n i q u e d u n ~ XII I . 4 . En r e v a n c h e , p o u r ne p a s d~-

v a l o r i s e r le m o t c a n o n i q u e , n o u s ne d o n n e r o n s p a s de n o r a s p e c i a l 5 l a r ~ a l i -

s a t i o n (Ds . . . . ) d ' u n s e m i - g r o u p e s t a n d a r d , q u i n ' e s t p a s u n i v e r s e l l e m e n t

u t i l i s ~ e , et n ' a p a s de r a i s o n de l ' ~ t r e .

- 1 1 1 -

REGULARITE DE CERTAINES MARTINGALES .

L e s c a l c u l s qui s u i v e n t s o n t dus ~ B l u m e n t h a l et G e t o o r . I l s

s ' a p p l i q u e n t ~ n ' i m p o r t e q u e l l e r 4 a l i s a t i o n c o n t i n u e ~ d r o i t e d ' u n s e m i - g r o u p e

(P t ) , m a i s n o u s s u p p o s e r o n s i c i que (P t ) e s t s t a n d a r d , et n o u s r a i s o n n e r o n s

p o u r f i x e r l e s i d 4 e s s u r la r 4 a l i s a t i o n c o n t i n u e ~ d r o i t e t y p i q u e .

V o i c i d ' a b o r d un l e m m e f a c i l e .

T32 THEOREME . - Soit g une fonction universellement mesurable born4e . Sup-

posons que le rapport ~(g-e-ptPtg) soi___t uniform4ment borne, et tende vers

, f u n e f o n c t i o n f l o r s q u e t - , 0 �9 on a a l o r s g = Up .

�9 - I i e s t c l a i r t o u t d ' a b o r d que e - P t P t g t e n d v e r s g l o r s q u e DEMONSTRATION

t -~ 0 ; le th4or~me de Lebesgue donne ensuite

U p ( g - e - p t I f t P s g ds = g U p f = l i r a P t g ) = l i r a ~- e - p s t -~O t -~O o

33 a) S o i e n t a l o r s P I ' " "" ' P n d e s n o m b r e s s t r i c t e m e n t p o s i t i f s , f l ' " " " ' f n d e s

f o n c t i o n s c o n t i n u e s b o r n 4 e s s u r E ' ( l e s c a l c u l s c i - d e s s o u s s ' 4 t e n d r a i e n t d ' a i l -

l e u r s ~ d e s f o n c t i o n s u n i v e r s e l l e m e n t m e s u r a b l e s b o r n 4 e s ) . P o s o n s :

- p l t - P n t (33. 1) M(w) = (foo e f l ~ . . . . ( f ~ 1 7 6 fn ~ Xt(w)dt)

o o

et montrons que les variables al4atoires de ce type forment un ensemble total

dans LI(p~), quelle que soit la loi initiale ~ . D4signons en effet par H__ l'es-

pace vectoriel constitu~ par les 414ments born4s du sous-espace ferm~ de L 1

engendr4 par les variables al4atoires M ; si nous pouvons rnontrer que _H

contient fi~ Xtl...fn o Xtn , quels que soient les instants t l...t n et les

fonctions continues born4es fl''" fn ' le th4or~me I. Z0 entra1~nera que H

- 1 1 2 -

c o n t i e n t t o u t e s l e s v a r i a b l e s a l 6 a t o i r e s _ F ~ b o r n 6 e s , e t d o n c q u e

H__ e s t d e n s e d a n s L 1 . O r f l ~ Xt l ' ' ' f ~ Xt e s t l i m i t e (au s e n s d e l a c o n v e r -

g e n c e s i m p l e b o r n 6 e , e t d o n c a u s s i d a n s L 1 ) n d e v a r i a b l e s a l 6 a t o i r e s de l a

f o r m e

Co Co ( 3 3 . 2 ) ( f s Xt(~ ePl(t)dt) ( f fn ~ . . . . Xt(w ) ~Pn(t)dt)

o o

o2 ~01 . . . ~0 n s o n t d e s f o n c t i o n s c o n t i n u e s ~ s u p p o r t c o m p a c t d a n s ~ ; i l n o u s

s u f f i t d o n c de m o n t r e r q u e H_ c o n t i e n t l e s v a r i a b l e s a l 6 a t o i r e s ( 3 3 . 2 ) . S o i t r

un n o m b r e > 0 ; c h o i s i s s o n s d e s f o n c t i o n s a l ( t ) . . , an ( t ) , c o m b i n a i s o n s l i n 6 -

a i r e s d ' e x p o n e n t l e l l e s s t r i c t e m e n t d 6 c r o i s s a n t e s , t e l l e s q u e l ' o n a i t p o u r t o u t

t E R + :

[ ~ l ( t ) - a l ( t ) ] ~ ee - t . . . . [ ~ O n ( t ) - a n ( t ) ] < ee - t

( de t e l l e s f o n c t i o n s e x i s t e n t en v e r t u du t h 6 o r ~ m e de S t o n e - W e i e r s t r a s s ) .

L a v a r i a b l e a l ~ a t o i r e :

co 13o ( 3 3 . 3 ) ( f f l ~ ( f f n ~ Xt(~ (t) dt)

o o

a p p a r t i e n t ~ H , e t la n o r m e d a n s

e s t au p l u s ~ g a l e ~ :

L 1 de l a d i f f 6 r e n c e e n t r e ( 3 3 . 2 ) e t ( 3 3 . 3 )

(30 (30 E~[(f Ill ~ f

o o

[ fn ~ X t ( w ) l s e ' t d t ) ] < r

o2 K d 6 s i g n e u n e c o n s t a n t e qu i m a j o r e f l ' ' " f

a c h ~ v e de m o n t r e r que l e s v a r i a b l e s a l 6 a t o i r e s

t o t a l .

en v a l e u r a b s o l u e . C e l a

(33. 1) f o r m e n t un e n s e m b l e

b) N o u s a l l o n s m a i n t e n a n t c a l c u l e r u n e v e r s i o n c o n t i n u e ~ d r o i t e de l a m a r t i n -

gale (E[ M l__;t~]l, que n o u s d ~ s i g n e r o n s p a r ( m t) . N o u s p o s e r o n s , p o u r tout

- 1 1 3 -

s y s t ~ m e de f o n c t i o n s b o r 4 1 i e n n e s b o r n ~ e s h i . . .

p o s i t i f s P l ' ' ' P n :

h e t de n o m b r e s s t r i c t e m e n t n

I n ( h l ' P l" " " h n ' Pn - P l t

," s ,w) = ( f s e h t~ Xt(w)dt) " ' " ( f s e - p n t h n ~ Xt(w)dt ) 0 0

j n ( h l ' P l ' '" h n ' Pn ;x ) = EX [ (foo e ' P l t h l 0

o X t ( W ) d t ) . . . ( f ~ 1 7 6 1 7 6 Xt(w)dt) ] 0

(3O

Pour 4valuer M t = E[MI__Ft~ ] , nous partagerons chaque int4grale f de (33. I) t oo o

en f + ;t ' et nous d4velopperons le produit . Ii vient la formule suivante, o~1 0

la pr4sence d'un ^ sur f'1 et Pi indique que ces quantit4s doivent ~tre omises :

(33.4) Mt(w) = I n ( f l ' P l" " " fn ' Pn ;t 'w ) +

+ ~ I n ' l ( f l ' P l" " " f i ' P i" " " f n ' Pn ; t 'w) j l ( I i ' P i ; X t (w) ) i

i<j

. + j n ( f l ' P l" " " f n ' Pn; Xt(W) ) "

c) S u p p o s o n s m a i n t e n a n t q u e (P t ) s a t i s f a s s e ~t l ' a x i o m e A~ (ce qu i a l i e u en

p a r t i c u l i e r s i (P t ) e s t s t a n d a r d s p 4 c i a l ) . N o u s a l l o n s m o n t r e r q u e l a m a r t i n -

g a l e (M t) p o s s ~ d e a l o r s l e s p r o p r i 4 t ~ s s u i v a n t e s :

p o s a n t

( 3 3 . 5 )

1) P o u r t o u t e s u i t e c r o i s s a n t e (T n)

T = l i m T , M = M : n 13o n

MT(W) = l i r a M T (w) p . s . n n

de t e m p s d ' a r r ~ t r on a en

- i i . 4 -

2) P o u r p r e s q u e t o u t a) , on a (~)

( 3 3 . 6 ) Mt(Co) = Mt_(w) p o u r t o u t t 6 ]0 ,CA(W) [ t e l que Xt(w) -- Xt (0~)

L a m ~ m e p r o p r i d t d a l i e u p o u r t o u t t 6 ] O , oo[ s i (Pt) e s t un serr~. i -~roupe de

H u n t .

Les fonctions de la forme Ik(hl,Pl ...hk,pk ; t,~)

produits d'intdgrales ft et donc sont continues en t o

Les propridt4s ci-dessus seront des cons4quences des n ~ 30 , 26, 18

montrons que toute fonction de la forme jk(hl,Pl...hk, Pk ; x ) est un

(pl+... +pk)-potentiel de fonction bornde .

notation 4videntes

(_jk_ e-(Pl+" " +Pk)PtJk)X = ! t

1 x co -Pl s oo -Pk s = r EcJ" o e h ~ e h k

sont des

si nous

Or on a, avec des simplifications de

oo -Pl s ~ " (ft e hl~XsdS) ..

oo -Pk s ..(s e ~

qui tend en restant born4, lorsque t -~0 , vers la fonction k

A ^

fi(xljk-l(hl,Pl,., hi, Pi.. hn, Pn ; x )

i=O

Ii suffit alors d'appliquer le lemme 32 .

(~) Le temps d'arr~t CA a 6t~ d6fini au n* 28 . D'apr&s T30 ,CA est la partie accessible

de la dur~e de vie

- 115 -

34 R E M A R Q U E . - S o u s l e s h y p o t h e s e s du c h a p i t r e X l I I , on a t o u t a v a n t a g e

r e m p l a c e r l e s v a r i a b l e s a l 4 a t o i r e s M d e (33. l ) p a r d e s v a r i a b l e s a l ~ a t o i r e s

de l a f o r m e :

(34. i ) M = f l ~ I " ' " fn ~ X t n

o~ f l ' ' ' f n s o n t c o n t i n u e s s u r E ' (qu i e s t c o m p a c t ) , e t o~ l ' o n a 0 < t l < t Z . . . < t n .

C e s v a r i a b l e s a l 4 a t o i r e s c o n s t i t u e n t un e n s e m b l e t o t a l d a n s t o u t e s p a c e L I ( p ~ ) ,

e t i ' on c o n s t r u i t i m m 4 d i a t e m e n t u n e v e r s i o n c o n t i n u e ~ d r o i t e de l a m a r t i n g a l e

(M t) = E ( M [ F t ~ ) qu i p o s s ~ d e l a p r o p r i 4 t ~ i ) d u n ~ p r 4 c 4 d e n t , e t l a p r o p r i 4 t g

2) s u r l ' i n t e r v a l l e ] 0 , oo[ : p o s o n s

T o u t e s c e s f o n c t i o n s a p p a r t i e n n e n t

s e m i - g r o u p e , e t on a

gn = fn ' g n - 1 = f n - l ' P t - t l gn ' n n -

g n - 2 = f n - 2 " P t l _ t n _ z g n _ 2 , e t c n -

C_(E') d ' a p r ~ s l e c a r a c t ~ r e f e l l 4 r i e n du

Mt = f l ~ X t l . . . . . . . . . . . f n - 1 ~ X t " fn ~ X t n - I n

s i t > t n =

fl . . . . . fn- 1 Pt - t ( X t ' gn ) ~ X t l ~ Xtn-1" n s i t > t > t n = n-i

f l ' "" f - 2 1 - t ( X t ' g n ' l ) = o X t l ~ X tn_ 2 - P t n . si t n . i> t>= t n . z

e t c .

ACCESSIBILITE DES TEMPS D'ARRET DE LA FAMILLE ).

35 Nous commencerons par rappeler un point de th4orie des martin-

g a l e s : s o i t I-2I_ un s o u s - e s p a c e v e c t o r i e l d e n s e de L I ( p ~) , e t s o i t M u n e v a -

r i a b l e a l 4 a t o i r e F _ ~ - m e s u r a b l e e t i n t 4 g r a b l e ; n o u s p o u v o n s t r o u v e r u n e s u i t e

(Mnl d'~l~ments de g tene que la s~rie r E~[ tM-Mnl ] c o n v e r g e . D~signons n

- 1 1 6 -

a l o r s p a r (M t) , ( M t ) d e s v e r s i o n s c o n t i n u e s ~ d r o i t e d e s m a r t i n g a l e s

( E D [ M I F t ~ ] ) , ~ , ~ ( E ~ [ M t I _ F ? ] ) ; n o u s a v o n s p o u r t o u t n o m b r e h > 0 , d ' a p r ~ s VI . T 1

Z n 1 Z E ~ M _ M n ] ] oo P~ { sup I Mt-Mtl>h ] <~. ~ [I < t

n 17.

On d 4 d u i t a l o r s du t h 4 o r ~ m e d e B o r e l - C a n t e l l i q u e l ' a p p l i c a t i o n t l > M ~ w )

c o n v e r g e u n i f o r m 4 m e n t v e r s t: > Mt(~0) p o u r p r e s q u e t o u t 0~ .

N o u s 4 n o n q o n s l e t h 4 o r ~ m e s u i v a n t p o u r l e s s e m i - g r o u p e s qu i

s a t i s f o n t ~ l ' a x i o m e A~ . I1 e s t d o n c v r a i en p a r t i c u l i e r p o u r l e s s e m i - g r o u p e s

d e H u n t , e t p o u r l e s s e m i - g r o u p e s s t a n d a r d s p 4 c i a u x . E n f a i t , i l p r o u v e

d ' a i l l e u r s q u e t o u t s e m i - g r o u p e qu i s a t i s f a i t ~ A~ e s t s t a n d a r d s p 4 c i a l : l a

p r o p r i 4 t 4 (24. i ) e s t en e f f e t 4 v i d e n t e s i l a f a m i l l e (=Ft~) n e p o s s ~ d e p a s de

t e m p s de d i s c o n t i n u i t 4 .

,~T36 T H E O R E M E . - So i t (P t ) un s e m i - ~ r o u p e s t a n d a r d qu i s a t i s f a i t ~ l ' a x i o m e A ~ ,

e t s o i t ~ u n e l o i i n i t i a l e q u e l c o n q u e ; l a f a m i l l e de t r i b u s (=F?) e s t a l o r s d 4 -

p o u r v u e de t e m p s de d i s c o n t i n u i t 4 .

D E M O N S T R A T I O N . - N o u s v o u l o n s m o n t r e r q u e l ' o n a , p o u r t o u t e s u i t e (T n)

de t e m p s d ' a r r ~ t de l a f a m i l l e (=Ft~)qui c o n v e r g e en c r o i s s a n t v e r s un t e m p s

d ' a r r ~ t T :

= t = n

C e l a r e v i e n t , d ' a p r ~ s V. T 18 , ~ m o n t r e r q u e l ' o n a :

M T = lira M T P~-p. s. n n

pour toute martingale continue ~ droite de la forme (M t) : E~[MIF?] , o~ M

est F~-mesurable et int4grable . Ii suffit de v4rifier cette relation lorsque M

parcourt un ensemble total dans L 1 (n~ . On choisit alors les variables

- i17-

a l 4 a t o i r e s de l a f o r m e (33. 1) (ou de l a f o r m e (34. 1) s i (P t ) e s t un s e m i -

g r o u p e de F e l l e r ) , e t on a p p l i q u e l a p r o p r i 4 t ~ 1) du n* 33 , c ) .

~T37 T H E O R E M E . - So i t (P t ) u_n s e m i - g r o u p e . . d e H u n t r e t s o i t ~ u n e l o i i n i t i a l e ;

s o i t T u n t e m p s d ' a r r ~ t de l a f a m i l l e (F~) . P o u r clue T s o i t a c c e s s i b l e ,

i l f a u t e t i l s u f f i t clue l ' o n a i t :

(37 i) XT(W) = XT_(W) P~-p.s. sur l'ensemble [T<co]

P o u r clue T

P~ [ T<oo} > 0

s o i t t o t a l e m e n t i n a c c e s s i b l e , i l f a u t e t i l s u f f i t q u e l ' o n a i t

e t :

{37. 2) XT(W) # XT_(~u) P~-p. s. sur l'ensemble {T<a~]

D E M O N S T R A T I O N .- (37.2) r4sulte imm4diatement de (37. I) et de la possi-

bilit4 de d~composer un temps d'arr~t en une partie accessible et une partie

totalement inaccessible . Nous nous bornerons ~ ~tablir (37. I) .

a) Soit Tun temps d'arr~t accessible : la famille (=t) 4tant depourvue

de temps de discontinuit4, il existe (VII. T45) une suite croissante (T n) de

temps d'arr~t telle que l'on ait p. s.

T (w) <T(~u) p o u r t o u t n

l'4galit4 (37. I)

n , lira Tn(W) = T(w) , n

r 4 s u l t e a l o r s de l a q u a s i - c o n t i n u i t 4 ~ g a u c h e .

b) I n v e r s e m e n t , s o i t T un t e m p s d ' a r r ~ t qu i v ~ r i f i e (37. 1), n o u s a l l o n s

m o n t r e r que l ' o n a , p o u r t o u t e m a r t i n g a l e (M t) de l a f a m i l l e (F~),=t c o n t i n u e

~t d r o i t e e t u n i f o r m 4 m e n t i n t 4 g r a b l e :

(37. 3) M T = M T _ P~ - p . s . s u r [ T < o o ]

et cela entra~nera l'accessibilit4 de T d'apr&s VII. T47

- 1 1 8 -

D'apr~s la remarque 35 ci-dessus, il suffit d'6tablir cette 6galit4 pour les

martingales envisag4es au n ~ 33 (ou celles de la forme~4, i) si le semi-groupe

(Pt) est fell4rien) , dont les variables al4atoires ~ l'infini forment un ensemble

total dans L 1 Pour celles-ci, l'6galit4 (37.3) est une cons4quence imm4-

d i a t e de l a p r o p r i 6 t 6 2) du n ~ 33 c) .

P a s s o n s a u x p r o c e s s u s s t a n d a r d s p 4 c i a u x : n o u s l a i s s e r o n s de

c 6 t 6 l ' 6 n o n c 6 r e l a t i f a u x t e m p s t o t a l e m e n t i n a c c e s s i b l e s . R a p p e l o n s l e s n o t a -

t i o n s d u n ~ 26 : ~Op(X) = p U p ( I [ ~ } } , C A e t CI s o n t l e s p a r t i e s a c c e s s i b l e e t

t o t a l e m e n t i n a c c e s s i b l e de l a d u r 4 e de v i e , ~n e s t l e t e m p s d ' e n t r 6 e d a n s l ' e n -

>1 1 semble ~0p - n }

, ,~ T 3 8 T H E O R E M E . - S o i t (P t ) un s e m i - g r o u p e s t a n d a r d s p 4 c i a l e t s o i t ~ u n e l o i

i n i t i a l e ; so__it T u n t e m p s d ' a r r ~ t de l a f a m i l l e (__Ft~) . P o u r q u e T s o i t a c -

c e s s i b l e , i l f a u t e t i l s u f f i t q u e l e s d e u x p r o p r i 6 t 6 s s u i v a n t e s s o i e n t v 6 r i f i 6 e s :

(38. 1) XT(W) = X T (w) (~) p . s . s u r l ' e n s e m b l e [ T < ~ }

( 3 8 . 2 ) (~p OXT) (w) = 1 p . s . s u r l ' e n s e m b l e I T = C<co]

D E M O N S T R A T I O N . - L a n 6 c e s s i t 4 de c e s d e u x c o n d i t i o n s r 4 s u l t e : p o u r (38. 1),

d e l a q u a s i - c o n t i n u i t 6 ~ g a u c h e a v a n t C ( a x i o m e A~ d e s p r o c e s s u s s t a n d a r d ) ,

c o m m e d a n s l a p r e m i e r e p a r t i e de l a d 6 m o n s t r a t i o n p r 6 c 6 d e n t e ; p o u r ( 3 8 . 2 ) ,

d e T. 2.6 . L e t e m p s d ' a r r ~ t T 6 t a n t a c c e s s i b l e , en e f f e t , l e s e n s e m b l e s

[T=C<CO } et [T= CA<CO } ne different que par un ensemble n4gligeable ; on a

donc p.s. lim Cn = ~ , ~n <C pour tout n , sur l'ensemble IT =C<co} , ce n

qui entraP'he {38.2)

(~) On c o n v i e n t de p o s e r X t = X 0 p o u r t o u t t < 0

- i 1 9 -

Inversement, supposons que T v4rifie (38. i) et (38.2), et

montrons que T est accessible . Tout revient ~ prouver, comrne dans la

d4monstration pr~c~dente, que l'on a ~T = MT- p' s. sur [T<oo} , pour route

martingale (M t) du type envisag4 au n ~ 33 ; ou encore, 4tant donn4e la forme

de ces martingales, que l'on a (g o XT) - = g a X T p.s. sur [T<oo] pour

route fonction g = Upf (p>0 , f universellement mesurable born~e) . Or cette

4galit~ a lieu p. s. sur [T<~] , car on a p. s. sur cet ensemble ~ oXT)_= g OXT_

d'apr~s TZ6 et g OXT_ = g oX T d'apr~s (38. i) ;cette 4galit4 a lieu aussi, de

mani~re ~vidente, sur {T>~} .

Ii nous reste donc seulement ~ v~rifier l'~galit4 MT=MT. p. s. sur l'ensemble

[T=~<oo] ; or (38. Z) entral~ne que l'on a p.s. ~n<~ pour tout n sur cet en-

semble, qui ne diff~re donc de {T:~A<OO } que par un ensemble n~gligeable .

Ii suffit alors de remarquer que l'on a M~A= M~A - p.s. , en vertu de l'ac-

cessibilit~ de ~A et de l'absence de temps de discontinuit4 .

CONSTRUCTION DE NOUVELLES REALISATIONS .

39 Pour l'instant, supposons simplement que (Pt) satisfasse

l'axiome A 1 (n~ et d4signons par (•d'--F' (F t) , (Xt), (PJ)) la r4alisation

continue ~ droite typique de (Pt) (n~ . D4signons par (f]',F',P') un second -- v~,

espace probabilis4, et posons :

W = f]'xf~ d

G_~ _F'X_F

Q~ = p ' | pP'

et enfin Yt(w',~) = Yt(m) pour tout couple (~',~)6W . Nous allons montrer que

- 1 2 0 -

l ' o n a c o n s t r u i t a i n s i u n e r 4 a l i s a t i o n c o n t i n u e ~ d r o i t e de (P t ) . On di t que

c e t t e r 4 a l i s a t i o n e s t o b t e n u e p a r a d j o n c t i o n ~ ~ d de l ' e s p a c e p r o b a b i l i s 4

(f~' F', P')

I i n ' y a p a s l i e u d ' i n s i s t e r s u r l a c o n t i n u i t 4 ~ d r o i t e d e s t r a j e c -

toires du processus (Yt) , ni sur la relation Q~[Y06A} = ~{A) (AEB(E')) :

ces propri~t4s sont 4videntes . Pour v4rifier que, si A est un 414ment de

la fonction x~--~ QX[A] est universellement mesurable , et que ~)~[A] =

]ox[A] d~(xl, il sumt de traiter le cas imm~diat o~ A est de la forme

B X C (B6_F' , C6_F), et d'appliquer I. T 19 , Reste ~ prouver la propri4t4 de

Markov : si s__<t , sif est une fonction universellement mesurable positive

sur E' et si A6G ~ on a : ' = S '

G ,

f o Yt dQ~ = SAPt-s(Ys ' f) dQ~ (39. 1) SA ~"

I I s u f f i t e n c o r e , d ' a p r ~ s I. T 19, de v 4 r i f i e r c e t t e r e l a t i o n l o r s q u e A

l a f o r m e B • C (B 6 _F' , C 6 F ) . C e t t e v 4 r i f i c a t i o n e s t i m m 4 d i a t e . - - ---- S

e s t de

A i n s i , n o u s a v o n s c o n s t r u i t u n e r d a l i s a t i o n c o n t i n u e ~ d r o i t e du

semi-groupe (Pt) . Pour la rendre plus commode, il convient de compl~ter .,G ~

pour la loi Q~, ce qui donne une nouvelle tribu G_ P, et d'adjoindre ~ Q_% les %~

ensembles Q~-n4gligeables de G_ ~, ce qui donne une nouvelle famille de tribus

G~ o ( = t ) . On p o s e a l o r s c o m m e a u n XI I I . 5

I1 e s t c o m m o d e de d 4 f i n i r d e s o p 4 r a t e u r s de t r a n s l a t i o n s u r W

en p o s a n t :

(39.3) et(| = (w ' , etw)

- 121 -

Supposons maintenant,que (Pt) satisfasse ~ l'axiome A 3 . La r6a-

lisation (W .... ) satisfait alors ~ la pripri4t4 de Markov forte (T ii), et m~me

la forme tr~s commode de la propri4t~ de Markov forte donn6e au n ~ XIII. 18 .

La d4monstration est la m~me que celle qui a 4t4 faite au chapitre XIII .

Nous passons maintenant ~ l'4tude de la famille (_C~t) . Nous ne t ra i -

terons pas l 'accessibi l i t4 des temps d 'arr~t , dans le cas des processus standard

sp6ciaux .

T 4 0 THEOREME .- a) Supposons que (Pt) satisfasse ~ l'axiome (A3). La famille

de tribus (G__t~) est alors continue ~ droite ,

b) Supposons que (Pt) soit un semi-groupe standard sp6cial .

La famille (G__t~) est alors d4pourvue de temps de discontinuit4 .

c) S u p p o s o n s que (P t ) s o i t un s e m i - g r o u p e de H u n t . P o u r q u ' u n

t e m p s d ' a r r ~ t T de l a f a m i l l e (Gt~) s o i t a c c e s s i b l e , i l f a u t e t iI s u f f i t q u ' o n a i t

Q ~ - p . S. YT = Y T - s u r 1 ' e n s e m b l e {T<+oo] .

D E M O N S T R A T I O N . - a) S o i e n t f e t g d e s f o n c t i o n s r 4 e l l e s d 4 f i n i e s r e s p e c t i -

v e m e n t s u r f~' e t ~ d " N o u s n o t e r o n s f | l a f o n c t i o n (uf, m ) : ~ - f ( w ~ g ~ ) s u r

~'•

S o i t

que

q u e

4 t e n d a u s s i t S t c e l a ~ l a t r i b u G ~ .

une f o n c t i o n G. ~ - m e s u r a b l e O

S u p p o s o n s que f et g s o i e n t b o r n 4 e s , e t r e s p e c t i v e m e n t m e s u r a b l e s

p a r r a p p o r t ~ __F' e t ~ =F. D 4 s i g n o n s p a r (gt) u n e v e r s i o n c o n t i n u e ~ d r o i t e de

la m a r t i n g a l e (E~[g [__F~) . I1 e s t c l a i r que l e p r o c e s s u s ( f | e s t u n e v e r s i o n

de l a m a r t i n g a l e (E~[ f | ] ) , , . _-_ . C o m m e c e p r o c e s s u s e s t c o n t i n u ~ d r o i t e , i l

r 4 s u l t e de V. T 2 1 q u e l ' o n a , p o u r t o u t i n s t a n t t > 0 , E~[f~gl=C~]=E~[f@g[G__t~+] p. s . .

}-I 1 ' e n s e m b l e d e s v a r i a b l e s a 1 4 a t o i r e s G ~ b o r n 4 e s h t e l l e s

E~[h[G~+~= E~[h [Qt~ ] p. s. I1 r 4 s u l t e a u s s i t ~ t de c e qu i p r 6 c h d e , e t de I. T 2 0 ,

H_ c o n t i e n t r o u t e s l e s v a r i a b l e s a l 6 a t o i r e s G ~ b o r n 6 e s , e t on

En particulier a) en d4coule en prenant pour h

- 122 -

b) T o u t r e v i e n t ~ d 6 r n o n t r e r l a p r o p r i 4 t 4 s u i v a n t e : s o i t (T n) u n e s u i t e

c r o i s s a n t e de t e m p s d ' a r r ~ t , s o i t T = l i rn T ; d 4 s i g n o n s p a r M u n e v a r i a b l e n n

a l 4 a t o i r e = C f i - r n e s u r a b l e b o r n 4 e , p a r (M t) u n e v e r s i o n c o n t i n u e ~ d r o i t e de

l a m a r t i n g a l e ( E ~ [ M I G t ~ ] ) . A l o r s on a M T = l i rn M T Q ~ - p . s. n n

I i s u f f i t de r a i s o n n e r d a n s l e c a s o~ l e s T n s o n t d e s t e m p s d ' a r r ~ t o de l a f a r n i l l e (Gt) (of. l e n ~ XI I I . 20 ; l a d 4 m o n s t r a t i o n e s t l a r n ~ m e ) , e t de f a i r e

p a r c o u r i r ~ M un e n s e m b l e t o t a l d a n s L 1 (cf. l e n ~ 35) . N o u s p o u r r o n s d o n c

n o u s b o r n e r ~ p r e n d r e M de l a f o r r n e f | f et g a y a n t l a r n ~ m e s i g n i f i c a t i o n

que d a n s l a d 4 r n o n s t r a t i o n de a) . I n t r o d u i s o n s a l o r s c o r n r n e p l u s h a u t l a m a r t i n -

g a l e c o n t i n u e ~ d r o i t e (gt) : t o u t r e v i e n t ~ r n o n t r e r q u e , p o u r Q ~ - p r e s q u e t o u t

(0~',0J)6~'X~ d , on a

gT(w',w) (w) = linrn gT (w',w) (w) n

ou encore, d'apr~s le th4or~me de Fubini, que pour tout 0~' , on a cette relation

pour ~.P~-presque tout 0J Mais pour tout w' , Tn(~',. ) est un temps d'arr~t de

la famille (F t) qui cro~t avec n , et converge vers T(w',. ) . Le r4sultat d4-

coule donc de l'absence de temps de discontinuit4 pour la farnille (=Ft~) , lorsque

(Pt) est standard sp4cial (T36) .

c) Soit T un temps d'arr~t accessible de la farnille (_~t) . La farnille

(Qt ~) ne poss4dant pas de temps de discontinuit4 d'apr~s b) , il existe une suite

croissante (Tn) de temps d'arr~t, telle que lim T n = T , Tn< T Q~-p. s. n

(VII. T45) . Comrne (Pt) est un semi-groupe de Hunt, le processus (Yt) est

quasi-continu ~ gauche ((Pt) satisfait ~ l'axiome A 4 dun ~ 13) . On a donc p. s.

YT = limn Y T n = Y T - s u r { T < + o o } .

I n v e r s e r n e n t , s o i t T un t e m p s d ' a r r ~ t t e l que YT = Y T - p" s . s u r

{ T < + o o ] . Cornnrne p l u s h a u t , n o u s p o u v o n s s u p p o s e r que T e s t un t e m p s d ' a r r ~ t

de l a f a r n i l l e (GZ)=~ . T o u t r e v i e n t ~ d ~ r n o n t r e r que M T = M T _ p. s. , p o u r r o u t e

- 123 -

m a r t i n g a l e c o n t i n u e ~ d r o i t e (M t) du t y p e e n v i s a g 4 d a n s l a d 6 m o n s t r a t i o n de b)

(VII . T 4 7 ) . On p e u t e n c o r e s e b o r n e r , c o m m e c i - d e s s u s , a u c a s os (M t) e s t

de l a f o r m e (f@gt) , e t on e s t a i n s i r a m e n 4 ~ m o n t r e r q u e , p o u r ~ - p r e s q u e

t o u t (W',W)

gT(u~' ,o0). (ua) = gT(oa' ,ua) (ua)

M a i s c e l a r 4 s u l t e du t h 6 o r h m e d e F u b i n i : e n e f f e t , p o u r ~ - p r e s q u e t o u t ~ ' , p ~ T ( ~ ' , . ) e s t un t e m p s d ' a r r ~ t de l a f a m i l l e (__Ft~)qui n e p o r t e ,-, - p . s . p a s de

d i s c o n t i n u i t 4 du p r o c e s s u s (X t) . C e t e m p s d ' a r r ~ t T , = T ( w ' , . ) e s t a l o r s a c -

c e s s i b l e , e t on a d o n c p o u r un t e l r

P~-p. s.

On a p p l i q u e a l o r s en s e n s i n v e r s e l e t h 4 o r ~ m e d e F u b i n i .

41 V o i c i l a f o r m e l a p l u s f r 4 q u e n t e d e c e t t e c o n s t r u c t i o n . On p r e n d

f)' = F' = ) et P' est la "loi exponentielle" sur : m

-t P ' ([t, oo[) = e

Pour 4viter des confusions clans la suite, nous ne noterons pas O~ ,

comrne ci-dessus, les mesures produit sur ~' ; nous les noterons _pb . On d~-

signe par S la seconde projection sur W : autrement dit, si w = (t,~), S(w) = t ,

1 S �9 S adrnet une loi exponentielle de param~tre p , et (Sp) et on pose Sp = ~ , P

est un temps d'arr~t de la famille (Qt) . Le noyau PS d4fini par la relation

P

Ps (x,A) = pX{y s , P P

- ~24 -

la faqon du n ~ XlII. 9 , est le noyau pU P

P o s o n s , p o u r t o u t w 6 W

X;(w) = Yt(w) s i t < S (w) P

x ~ ( w ) = ~ si t_>_Sp(W) .

Le sys t~me (W, Q, (G_t) , (X~), ( ~ ) ) e s t a l o r s u n e r ~ a l i s a t i o n c o n t i n u e ~ d r o i t e du

s e m i - g r o u p e ( e - p t p t) . N o u s v e r r o n s p l u s t a r d que de n o m b r e u x s e m i - g r o u p e s

l i ~ s ~ (P t ) a d m e t t e n t d e s r ~ a l i s a t i o n s a n a l o g u e s .

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[Lecture Notes in Mathematics] Processus de Markov Volume 26 ||