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L'enseignement des mathématiquesL'enseignement des mathématiques : RESOLUTION DE PROBLEMES
Exemples de situations et ressources / cycles 2 et 3
Audrey Bertin, CPC2013-2014
1. La place des problèmes dans les programmes : B.O n°3 H.S 19 juin 2008
Au Cycle 2 Au Cycle 3L’apprentissage des mathématiques développe l’imagination, la rigueurl’imagination, la rigueurl’imagination, la rigueurl’imagination, la rigueur et la précision la précision la précision la précision ainsi que le goût du le goût du le goût du le goût du
raisonnement. raisonnement. raisonnement. raisonnement.
La pratique des mathématiques développe le goût de la recherche et e goût de la recherche et e goût de la recherche et e goût de la recherche et
du raisonnement, l’imagination et du raisonnement, l’imagination et du raisonnement, l’imagination et du raisonnement, l’imagination et les capacités d’abstraction, la rigueur les capacités d’abstraction, la rigueur les capacités d’abstraction, la rigueur les capacités d’abstraction, la rigueur
et la précision. et la précision. et la précision. et la précision. → dans les 4 domaines
La résolution de problèmesLa résolution de problèmesLa résolution de problèmesLa résolution de problèmes fait l’objet d’un apprentissage progressif et contribue à construire le sens des
opérations : addition, soustraction et multiplication.
Du CE2 au CM2, dans les quatre domaines du programme, l’élève
enrichit ses connaissances, acquiert de nouveaux outils, et continue
d’apprendre à résoudre des d’apprendre à résoudre des d’apprendre à résoudre des d’apprendre à résoudre des problèmes.problèmes.problèmes.problèmes.
L’acquisition des mécanismes en mathématiques est toujours associée à est toujours associée à est toujours associée à est toujours associée à une intelligence de leur significationune intelligence de leur significationune intelligence de leur significationune intelligence de leur signification.
1. a ) La place des problèmes au CYCLE 2
Domaines Domaines Domaines Domaines CP CP CP CP CE1 CE1 CE1 CE1
B.O : « La résolution de problèmes fait l’objet d’un apprentissage progressif et contribue à construire le sens des opérations ».
PROGRESSIONS POUR LE COURS PRÉPARATOIRE ET LE COURS ÉLÉMENTAIRE PREMIÈRE ANNÉE
Nombres et calcul Résoudre des problèmes simples à une opération
Résoudre des problèmes relevant de l’addition, la soustraction et de la multiplication
Grandeurs et mesures Résoudre des problèmes de la vie courante
Résoudre des problèmes de longueur et de masse
Organisation et gestion des données
Lire ou compléter un tableau dans des situations concrètes simples
Utiliser un tableau, un graphique Organiser les informations d’un énoncé
Domaines Domaines Domaines Domaines CE2CE2CE2CE2 CM1 CM1 CM1 CM1 CM2 CM2 CM2 CM2
B.O : La résolution de problèmes liés à la vie courante permet d’approfondir la connaissance des nombres étudiés, de renforcer la maîtrise du sens et de la pratique des opérations, de développer la rigueur et le goût du raisonnement.
Nombres et calcul Résoudre des problèmes relevant des quatre opérations
Résoudre des problèmes engageant une démarche à une ou plusieurs étapes
Résoudre des problèmes de plus en plus complexes
B.O :La résolution de problèmes concrets contribue à consolider les connaissances et capacités relatives aux grandeurs et à leur mesure, et, à leur donner sens. À cette occasion des estimations de mesure peuvent être fournies puis validées
Grandeurs et mesures
Résoudre des problèmes dont la résolution implique les grandeurs : longueurs, masses, capacité, monnaie, temps
Résoudre des problèmes dont la résolution implique éventuellement des conversions
Résoudre des problèmes dont la résolution implique des conversions. Résoudre des problèmes dont la résolution implique des unités différentes de mesure.
1. b) La place des problèmes au CYCLE 3
Domaines Domaines Domaines Domaines CE2CE2CE2CE2 CM1 CM1 CM1 CM1 CM2 CM2 CM2 CM2 B.O : Les problèmes de reproduction ou de construction de configurations Les problèmes de reproduction ou de construction de configurations Les problèmes de reproduction ou de construction de configurations Les problèmes de reproduction ou de construction de configurations géométriques diverses mobilisent la connaissance des figures usuelles. Ils sont l’occasion d’utiliser à bon escient le vocabulaire spécifique et les démarches de mesurage et de tracé.
Géométrie Reproduire des figures (sur papier uni, quadrillé, pointé) à partir d’un modèle Construire un carré ou un rectangle de dimensions données
Compléter une figure par symétrie axiale Tracer une figure simple à partir d’un programme de construction ou en suivant des consignes
Tracer une figure simple (sur papier uni, quadrillé, pointé) à partir d’un programme de construction ou d’un dessin à main levée ( avec des indications relatives aux propriétés et aux dimensions)
B.O :Les capacités d’organisation et de gestion des données se développent par la résolution de problèmes de la vie courante ou tirés d’autres enseignements
Organisation et gestion des données
Savoir organiser les données d’un problème en vue de sa résolution
Utiliser un tableau ou « la règle de trois » dans des situations très simples de proportionnalité
Résoudre des problèmes relevant de la proportionnalité et notamment les problèmes relatifs aux pourcentages, eux échelles, aux vitesses moyennes ou aux conversions d’unité, en utilisant des procédures variées (dont « la règle de trois »)
2. Un problème mathématique ? a) DÉFINITION DU PROBLÈME
« Est un problème, pour un élève donné, toute situation (réelle ou
imaginaire) dans laquelle des questions sont posées, ces questions
étant telles que l’élève ne peut y répondre de manière immédiate. » D. Pernoud
« Il y a problème dès qu’il y a réellement quelque chose à chercher,
que ce soit au niveau des données ou du traitement et qu’il n’est pas
possible de mettre en jeu la mémoire seule ». Equipe Ermel
→ Les problèmes sont donc à distinguer des exercices d’automatisation.
2. b) Différents types de problèmes pour des diverses finalités
Selon la situation d’apprentissage, un même problème peut avoir différentes fonctions et correspondre à différents types de problèmes
PROBLÈMES POUR APPRENDRE PROBLÈMES
POUR CHERCHER
Types de
problèm es
Situation-problème
40 %
Problème d’application
directe
Problème de réinvestissement /
transfert
Problème ouvert 20 %
Construction d’une nouvelle connaissance ou d’un nouvel aspect d’une connaissance antérieure
Entraînement pour maîtriser le sens d’une connaissance nouvelle
Problème complexe nécessitant l’utilisation de plusieurs connaissances construites dans différents contextes
Développement des capacités à chercher
40 %
Exemple :
« J'ai 250 œufs.Combien de boîtes de 6 sont nécessaires pour les ranger ?"
Exemple : « J'ai 250 œufs Combien de boîtes de 6 sont nécessaires pour les ranger ?"
Amorce de programmation
La classification des problèmes arithmétiques à l'école s'appuient sur la classification des problèmes proposés par selon G. Vergnaud :
2. c) Typologie de problèmes :
- les problèmes se situant dans le champ conceptuel des structures additives : Problèmes additifs et soustractifs.
- les problèmes se situant dans le champ conceptuel des structures multiplicatives : Problèmes multiplicatifs, divisifs et de proportionnalité.
Problèmes de transformations 1. Transformationpositive ; recherche de l’ETAT FINAL
Léo avait 3 billes. Puis Juliette lui a donné 5 billes. Combien de billes a maintenant Léo ? »
2. Transformationnégative ; recherchede l’ETAT FINAL
« Léo avait 8 billes. Puis il a donné 5 billes à Juliette. Combien de billes a maintenant Léo ? »
3. Transformationpositive ; recherche de L’ÉTAT INITIAL
« Léo avait des billes. Puis Juliette lui a donné 5 billes. Maintenant Léo a 9 billes. Combien de billes avait Léo ? »
4. Transformationnégative; recherche de L’ÉTAT INITIAL
« Léo avait des billes. Puis il en a donné 5 à Juliette. Maintenant Léo a 3 billes. Combien avait–il de billes ?»
5. Recherche de latransformation positive
« Léo avait 3 billes. Puis Juliette lui a donné des billes. Léo a maintenant 9 billes. Combien de billes Juliette a-t-elle données à Léo ? »
6. Recherche de latransformationnégative
« Léo avait 9 billes. Puis il a donné des billes à Juliette. Maintenant Léo a 4 billes. Combien de billes Léo a–t–il données à Juliette ? »
➢ Problèmes additifs et soustractifs:
Problèmes de combinaison de 2 états7. Recherche de lacombinaison de deux états.
« Léo a 3 billes. Juliette a 7 billes.Combien de billes ont Léo et Juliette ensemble?»
8. Recherche d’un état connaissant un second état et la combinaison des deux états.
« Léo et Juliette ont 17 billes ensemble. Juliette a 8 billes. Combien Léo a–t–il de billes ? »
Problèmes de comparaison de 2 états
E1 C E29/10. Recherche de l’état à comparer connaissant :- l’état comparé - la comparaison positive ou négative.
« Léo a 3 billes. Juliette a 5 billes de plus que lui.Combien de billes Juliette a–t-elle ? »
« Léo a 9 billes. Juliette a 5 billes de moins que lui.Combien de billes Juliette a–t-elle ? »
E1 _______ ? C+ C-
➢ Problèmes additifs et soustractifs:
Problèmes de comparaison de 2 états
E1 C E2
11/12. Recherche de l’état comparé avec une comparaison positive ou négative.
« Léo a 9 billes. Il en a 7 de plus que Juliette. Combien de billes Juliette a t-elle ? »
? ______ E2 C+ C-« Léo a 9 billes. Il en a 5 de moins que Juliette.
Combien de billes Juliette a–t–elle ? »
13/14. Recherche de lacomparaison positive ou négativeconnaissant les deuxétats.
« Léo a 3 billes. Juliette en a 9. Combien de billesJuliette a t–elle de plus que Léo ? »
E1 _______ E2 ?
« Léo a 8 billes. Juliette en a 6. Combien de billesJuliette a t–elle de moins que Léo ? »
➢ Problèmes additifs et soustractifs:
Problèmes de composition de transformationsT1 T2
T
15- Recherche de lacomposée de plusieurstransformations
« Léo a gagné 18 billes, puis il en a perdu 5. En a-t-il plus ou moins qu’au départ? Et combien? »
?
16. Recherche d’une des composantes.
« Léo a gagné 18 billes. Puis il en a perdu. Il a maintenant 2 billes de moins qu’au départ. Combien a-t-il perdude billes »
?
➢ Problèmes additifs et soustractifs:
Problèmes de proportionnalité directe :a bc d
Problème relevant de l'addition réitéré.a=1
« Il y a 4 élèves. La maîtresse distribue 3 jetons à chaque élève.
Combien distribue–t–elle de jetons en tout ? »
Problème de division partition On recherche la valeur d’une part.
La maîtresse a 12 jetons. Elle les distribue à 4 élèves. Chaque élève a le même nombre de jetons. Combien de jeton a chaque élève ?
4 X ? = 12 12 : 4 = ?
Problème de division quotition On recherche du nombre de parts .
« La maîtresse a 12 jetons. Elle les distribue à un groupe d’élèves. Chaque élève reçoit 3 jetons. Combien y a–t–il d’élèves ? »
➢ Problèmes multiplicatifs:
1 b
c ?
1 ?
c d
1 b
? d
Problème relevant du produit de mesures
Problème relevant du produit de mesures
La représentation rectangulaire rend visible la
propriété de commutativité de la multiplication.
« Quel est le nombre de carreaux que contient une
tablette de 3 sur 4 ?
➢ Problèmes multiplicatifs:
3. Représentations des élèves sur la résolution de problèmes
Quand on interroge les élèves sur ce qu’il faut faire pour résoudre un problème, leurs principales propositions sont :
-Il faut faire des opérations
-Il faut calculer
-Il faut trouver la solution
- Il faut écrire une phrase réponse…
Ils se focalisent principalement sur le résultat attendu et sur des connaissances supposées ou nécessaires pour y parvenir.
En revanche, ils répondent rarement :
-Il faut trier les informations pour comprendre ce qui est demandé
-Il faut dessiner, schématiser ou manipuler
-Il faut éliminer ce qui ne sert pas après avoir lu la question
-Il faut écrire, raturer, faire plusieurs essais
-Il faut échanger avec les autres pour savoir s’ils cherchent de la même façon
-Il faut savoir expliquer ce que l’on a voulu dire…
Les savoirs méthodologiques sont flous, voire inexist ants, dans leur esprit.
3. Représentations des élèves sur la résolution de problèmes
4. Les enjeux d’apprentissage•Des compétences liées à la capacité de raisonnement :
-percevoir le but de la tâche
-trouver les informations utiles
-construire un argumentaire
-émettre des hypothèses
-percevoir les différentes étapes et les hiérarchiser
•Des compétences liées à la prise d’informations :
-utiliser différents supports (texte, dessin, schéma, tableau…)
-construire des méthodes pour aller rapidement à l’essentiel
-se repérer dans l’espace et dans le temps
-maîtriser le vocabulaire nécessaire
• Des compétences liées à la méthodologie :
-mettre en place d’une stratégie de résolution de problèmes
-choisir une technique de résolution (opératoire ou autre)
•Des compétences liées à la maîtrise des opérations :-utiliser à bon escient les quatre opérations
5. Les pistes de travail
✔ Manipulation et schématisation lors de l’apprentissage des notions mathématiques
✔ Manipulation et schématisation lors de la résolution
✔ Constitution progressive d’une mémoire de schémas référents
✔ Entraînement aux techniques opératoires et calcul mental
6. LA DEMARCHE D’ENSEIGNEMENT :situation-problèmes
1. SITUATION DE DEPART
� Présenter la situation problème à l’oral ou à l’écrit à partir
- d’objets concrets ; jeux de cartes, pions…
- d’un énoncé (oral ou écrit)
- d’une situation de la vie de la classe / vie quotidienne
- d’un défi
�
Identifier le problème à résoudre
� Il s’agit de se représenter ce qu’on cherche
2. PRISE EN COMPTE DE CE QUE SAVENT LES ÉLÈVES
� temps de recherche individuelle : chaque élève s’approprie l’énoncé et s’appuie sur ses connaissances préalables / l’enseignant observe, encourage
� temps de recherche en groupe(de 2 à 4) : favoriser les échanges et la mise en forme d’une trace pour communiquer
�
confrontation des procédures
Selon la nature du problème et les objectifs d’apprentissage visés, les élèves feront appel à des procédures personnelles et/ou expertes :
Procédures personnelles
Utiliser des connaissances et des savoirs pour construire et mener une procédure quand on ne dispose pas en mémoire d’un schéma de résolution…
Procédures expertes
Choisir une procédure adaptée à la situation ou à la résolution du problème
Exemples de procédures :
→ importance de garder trace de la recherche
3. MISE EN COMMUN
� Prendre en compte et comparer les procédures des différents groupes :
- rapprocher les procédures identiques,
- confronter celles qui sont différentes,
- analyser les procédures erronées
4. SYNTHÈSE
� Réaliser une affiche de référence comportant :
� des procédures de résolution possibles
� la procédure experte qui permet de résoudre le problème
5. PHASE D’ENTRAINEMENT
Les problèmes d’application appartiennent à la même catégorie que
celui de la situation problème.
L’élève s’entraîne à maîtriser le sens d’une nouvelle connaissance
dans des problèmes similaires à la situation de référence.
� L’élève applique et réinvestit une connaissance dans différents
contextes.
6. PHASE DE TRANSFERT
Les problèmes de réinvestissement correspondent à des problèmes complexes faisant appel à plusieurs connaissances et compétences élaborées dans des contextes différents.
L’élève doit :
-reconnaître à quelle catégorie correspond le problème,
-repérer les différentes étapes
→ Au cours de cette tâche complexe l’élève mobilise et intègre des compétences et des connaissances.
Problématique de l’enseignant :
→ préserver de tout guidage le versant action du processus de résolution de problème.
→ aider à comprendre le problème, à mieux décoder et interpréter l’énoncé. (Cf. «Les tâches surajoutées»)
→ ne pas guider la mise en œuvre de telle ou telle procédure.
Les aides minimales sont les plus difficiles à concevoir et à mettre au point,
un simple mot en plus ou en moins dans l’énoncé peut être une aide
efficace à la représentation* de problème.
.*Action par laquelle on rend présent à l’esprit une expérience sensible ou une idée.En d’autres termes, c’est
le contenu de notre mémoire quand elle ne nous échappe pas, c’est ce qui tourne dans nos têtes quand on réfléchit, c’est le sens qu’on donne à ce qu’on perçoit.
Comment aider ni trop, ni trop peu?
7. Situations : problèmes ouverts
Rappel : un problème ouvert
● L’énoncé est court
● L’énoncé n’induit ni la méthode, ni la solution (pas de questions intermédiaires, ni de questions du type « montrer que »). En aucun cas, cette solution ne doit se réduire à l’utilisation ou à l’application immédiate des derniers résultats présentés en cours.
● Le problème se trouve dans un domaine conceptuel avec lequel les élèves ont assez de familiarité. Ils peuvent ainsi prendre possession de la situation et s’engager dans des essais, des conjectures, des projets de résolution, des contre-exemples…
7. Situations : problèmes ouverts
➔ Description du dispositif➔ Pistes de différenciation➔ Quelles difficultés des élèves ? A quel
stade de la résolution ?➔ Quelles aides en réponse à ces
difficultés ?
➔ Connaissances en jeu ;
➔ Procédures attendues ;
➔ Erreurs envisagées ;
1 ère étape :
2 ème étape :
Le nez de PinocchioLe nez de Pinocchio a 5 cm de long. Quand Pinocchio dit un mensonge, la Fée aux cheveux bleus l'allonge de 3 cm, mais quand il dit la vérité, la Fée le raccourcit de 2 cm. A la fin de la journée, Pinocchio a dit 7 mensonges et son nez a 20 cm de long.Combien de fois Pinocchio a-t-il dit la vérité à la Fée au cours de la journée ?
On a tiré 15 cartes avec des carrés et des triangles. On a obtenu 54 côtés.Combien y a –t-il de cartes avec des carrés et de cartes avec des triangles ?
8. Problèmes : Les aides possibles
La reformulation Les tâches surajoutées
Les aides tutorielles La multi-présentation
La reformulation
Les tâches surajoutées
La multi-présentation
La multi-présentation
La multi-présentation
Les aides tutorielles
Problème 5 :Léo a 36 billes, Zoé en a 5 fois plus. Combien Zoé en a-t-elle ?
AIDE 1
Vrai ou faux :
Léo a plus de billes que Zoé ?______
5 fois plus que 7, c’est 35 ? ________
5 fois plus que 7, c’est 12 ? ________
AIDE 2
Entoure la bonne réponse :
« 5 fois plus », c’est
… + 5
… x 5
… - 5
AIDE 3
Entoure le calcul qui correspond à l’énoncé :
6x6=36 36+5=41 5x5=25
36x5=180 25x5=125 36-5=31
AIDE 4
Complète :
Les aides tutorielles
Problème 6 :Mélissa prépare la table pour un repas. Elle doit placer 48 roses de la façon suivante : 12 roses au centre de la table et le reste partagé aux 4 coins de la table. Combien de roses y aura-t-il à chaque coin ?
AIDE 1
Aide à la lecture : Mélissa prépare la table pour un repas. Elle doit placer 48 roses : -12 roses au milieu de la table -le reste partagé aux 4 coins de la table Combien de roses y aura-t-il à chaque coin ?
AIDE 2
Étapes intermédiaires : Elle doit placer 48 roses. Elle met 12 roses au milieu de la table. Combien lui en reste-t-il après ? Elle partage le reste aux 4 coins de la table. Combien de roses y a-t-il à chaque coin ?
AIDE 3
Schéma :
