Leçon : Divisibilité et Nombres Premiers...Diviseurs / Divisible / Multiple Nombres Premiers Nombres Premiers entre eux PGCD Fraction irréductible 7 148 4 2 0 Leçon : D ivisibilité

■ Diviseurs / Divisible / Multiple

■ Nombres Premiers

■ Nombres Premiers entre eux

■ PGCD

■ Fraction irréductible

7 148 4 2

0

Leçon : Divisibilité et Nombres Premiers

8 3

3 x 4 = 12 7 x 4 = 28

Sommaire :

…/… Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet

Pré requis

Ce que vous devez savoir avant de commencer


• Connaître ses tables de multiplications. • Savoir poser une division. • Donner du sens à la division.

Leçon Définitions


On ne travaille ici que sur des nombres entiers naturels :

- 4 2

13 1,3

1/2 0,4

5

526

3/4

-1/5

-8,31

C’est-à-dire des nombres positifs et sans virgule !


Qu’est-ce qu’une division euclidienne ?

148 4 3 2 28 7

0

147 5 29 47

2

322 11 29 102

3 10,5

21,0 2 1 0

0

C’est une division « sans aller après la virgule »

10 21 2 01 1


Qui y a-t-il dans une division euclidienne ?

147 5 29 47

2

Le dividende Le diviseur

Le quotient

Le reste

Vocabulaire :


Synthèse Division euclidienne


à recopier sur le cahier de leçon

Page à recopier sur le cahier de leçon :

Exercice à faire : Posez les divisions euclidiennes suivantes :

Savoir poser une division :


Exp

licat

ion

Diviseurs / Divisible / Multiple


vocabulaire à retenir !

Que signifie la phrase: « 8 est un diviseur de 112 ? »

Que la division euclidienne de 112 par 8 donne un reste de zéro.

112 8

14 32 0


Qui est diviseur de qui ?

9 est-il diviseur de 63 ? 7 63 9 0 oui

9 est-il diviseur de 38 ? 4 38 9 2 non

10 est-il diviseur de 80 ? 8 80 10 0 oui

Car le reste est nul

Car le reste est nul

Car le reste n'est pas nul


Une autre façon de voir les choses avec les tables (de multiplication !)

9 est-il diviseur de 63 ? oui Car 63 est dans la table de 9 63=9x7

9 est-il diviseur de 38 ? non Car 38 n’est pas dans la table de 9

10 est-il diviseur de 80 ? oui Car 80 est dans la table de 10 80=10x8

38=9x?


Test


Parmi les phrases suivantes, lesquelles sont vraies ?

5 est un diviseur de 395 oui 395=5x79

12 est un diviseur de 12 oui 12=12x1

44 est un diviseur de 11 non Car 44 est supérieur à 11, c’est 11 qui est diviseur de 44

1 est un diviseur de n’importe quel nombre

oui N = 1 x N

2 est un diviseur de 41 non Car 41 n’est pas dans la table de 2, il est impair


Comment savoir si un nombre a pour diviseur 2 ?

① On fait la division et on regarde si le reste est zéro.

② Ou on utilise le « truc » : (Propriété de la divisibilité par 2) Le chiffre des unités doit être 0 2 4 6 ou 8

En utilisant le « truc », quels nombres ont pour diviseur 2 ?

39

28 245

180

6

212478

157281



① On fait la division et on regarde si le reste est zéro.

② Ou on utilise le « truc » : (Propriété de la divisibilité par 5) Le chiffre des unités doit être 0 ou 5


39

25 245

180

6

212478

157280



Le « truc » est plus compliqué : (Propriété de la divisibilité par 3) La somme de tous les chiffres doit être dans la table de 3.


43

27 245

180

111

4780

7206

2+7=9

4+3=7

2+4+5=11

1+8+0=9 4+7+8+0=19

1+1+1=3 7+2+0+6=15


D’autres « trucs » qui peuvent être utiles: Le « truc » pour 9 : (Propriété de la divisibilité par 9)

La somme de tous les chiffres doit être dans la table de 9.

Le « truc » pour 10 : (Propriété de la divisibilité par 10)

Le chiffre des unités doit être 0.

63 129 945 9003 7992

6+3=9 1+2+9=12 9+4+5=18 9+0+0+3=12 7+9+9+2=27

28 60 590 234 14700


Test


Nombre 2 3 5 9 10 260 2+6+0=8 147 1+4+7=12 585 5+8+5=18 329 3+2+9=14 100 1+0+0=1

1890 1+8+9+0=18

Nombre 2 3 5 9 10 260 147 585 329 100

1890

Utilisation des « trucs… » :

Quels sont les diviseurs des nombres donnés ?

oui non non non non

non oui oui non oui

oui non oui oui non

non non non non non

non oui oui non oui

oui oui oui oui oui …/… Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet

Synthèse Vocabulaire et Critères de Divisibilité





Quand il n’y a pas de « truc », que faire ? a) On peut toujours faire la division.

b) On peut procéder à une décomposition (gros / petit).

Exemple: 7 est-il un diviseur de 224 ?

1) Pas loin de 224 il y a un gros morceau 210 qui est bien sûr dans la table de 7 car 7x3=21 et 7x30=210?

2) 224 ce n’est pas tout à fait 210, c’est 210 + 14.

3) Le petit morceau 14 est aussi dans la table de 7.

4) Le gros morceau 210 et le petit 14 sont tous les deux dans la table de 7 donc le total 224 a pour diviseur 7.


178 a-t-il pour diviseur 8 ? Faisons une décomposition…

1) Pas loin de 178 il y a un gros morceau 160 qui est bien sûr dans la table de 8 car 8x2=16 et 8x20=160?

2) 178 ce n’est pas tout à fait 160, c’est 160 + 18.

3) Le petit morceau 18 n’est pas dans la table de 8.

4) Le gros morceau 160 et le petit 18 ne sont pas tous les deux dans la table de 8 donc le total 178 n’ a pas pour diviseur 8.


Test


D’autres décompositions…

Question Décomposition Gros Petit Réponse

7 diviseur de 133 ? 133 = 140 - 7 oui

11 diviseur de 333 ? 333 = 330 + 3 non

13 diviseur de 273? 273 = 260 + 13 oui

4 diviseur de 256? 256 = 240 + 16 oui

8 diviseur de 780? 780 = 800 - 20 non …/… Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet

Trouver tous les diviseurs

d’un nombre


Diviseurs et produits : Dés qu’on peut écrire un nombre comme un produit, on obtient des diviseurs.

Nombre 14 14 = 2 x 7 2 et 7 sont diviseurs de 14




Nombre 13 13 = 13 x 1 13 et 1 sont diviseurs de 13 …/… Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet

Recherche de tous les diviseurs de 12 :

Comme ces diviseurs sont inférieurs à 12, on va passer en revue tous les nombres de 1 à 12 .

12 = 1 x 12

Liste des diviseurs: 1;12;

12 = 2 x 6

2;6;

12 = 3 x 4

3;4;

12 = 4 x 3

4;3;

12 = 5 x ? 12 = 6 x 2

6;2;

12 = 7 x ? 12 = 8 x ? 12 = 9 x ? 12 = 10 x ? 12 = 11 x ? 12 = 12 x 1

12;1

Remarques : C’est long! On trouve les diviseurs deux fois !

A partir du basculement 3 x 4 en 4 x 3 rien de nouveau, on a deux fois les mêmes !


Une observation d’ordre géométrique : observation de l’aire d’un rectangle

12 = 1 x 12

12 = 2 x 6

12 = 3 x 4

12 = 4 x 3

12 = 6 x 2

12 = 12 x 1

Quand la longueur du rectangle diminue, sa largeur augmente.

Dès que la largeur dépasse la longueur, il n’y a plus de nouveaux rectangles.

Plus de nouveaux diviseurs ! …/… Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet

Cherchons tous les diviseurs de 16 :

16 = 1 x 16

16 = 2 x 8

16 = 4 x 4

16 = 8 x 2

16 = 16 x 1

A partir du moment où le rectangle devient un carré, il n’y a plus de nouveaux diviseurs.


Trouvons efficacement tous les diviseurs de 18 :

18 = 1 x 18 18 = 2 x 9 18 = 3 x 6

18 = 4 x ?

18 = 5 x ?

18 = 6 x 3

Inutile d’aller plus loin !

Comme 18 ne dépasse pas 5 x 5 ( 18 < 25) l’essai avec 6 était même inutile.


Test


D’autres recherches de diviseurs :

Ceux de 24 1 x 24 2 x 12 3 x 8 4 x 6 5 x ? Stop

Ceux de 35 1 x 35 2 x ? 3 x ? 4 x ? 5 x 7

Stop

Ceux de 60 1 x 60 2 x 30 3 x 20 4 x 15 5 x 12

Stop

6 x 10 7 x ? 8 x ?

Ceux de 13 1 x 13 2 x ? 3 x ? 4 x ?

Stop

Car 5x5>24

Car 6x6>35

6 x ?

Car 8x8>60

Car 4x4>13


Synthèse Trouver Tous les Diviseurs d’un Nombre




Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet …/…

Trouver tous les diviseurs d’un nombre :



Nombres Premiers


vocabulaire et méthode

Les derniers seront les premiers : Tous les nombres n’ont pas la même richesse en diviseurs

60 a 12 diviseurs: 1;2;3;4;5;6;10;12;15;20;30;60

24 a 8 diviseurs: 1;2;3;4;6;8;12;24

25 a 3 diviseurs: 1;5;25

17 n’a que 2 diviseurs: 1;17 Difficile d’être plus pauvre!

Un naturel qui, comme 17 n’a que deux malheureux diviseurs sera appelé :

Un naturel premier, c’est : « un nombre premier »


Retrouvez les intrus !

Parmi les pauvres naturels premiers suivants, se sont glissés deux intrus. Lesquels ?

5 11

23 21

2

13

9

7 1;3;7;21

1;3;9

Remarque :

Ces pauvres naturels premiers se vengent bien, car aujourd'hui encore, malgré des siècles d’étude par les mathématiciens, ils conservent des secrets qui n’ont toujours pas été percés.


Diviseurs communs :

Cherchons la liste des diviseurs communs à 60 et 75.

Diviseurs de 60 : 1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60 Diviseurs de 75 : 1; 3; 5; 15 ;25; 75

Diviseurs communs: 1; 3; 5; 15

Cherchons la liste des diviseurs communs à 12 et 16.

Diviseurs de 12 : 1; 2; 3; 4; 6; 12 Diviseurs de 16 : 1; 2; 4; 8 ; 16

Diviseurs communs: 1; 2; 4


Un nouveau sigle :

Les diviseurs communs à 60 et 75 sont: 1; 3; 5; 15

Le plus grand d’entre eux est 15

On dit que c’est le

Donc 15 est le plus grand diviseur commun à 60 et 75.

P G C D de 60 et 75.

On écrira: PGCD (60;75) = 15


D’autres PGCD :

Les diviseurs communs à 12 et 16 sont: 1; 2; 4

PGCD ( 12; 16) = 4

Les diviseurs communs à 8 et 24 sont: 1; 2; 4; 8

PGCD ( 8; 24) = 8

Remarque: Comme 8 est diviseur de 24, et que 8 est le plus grand diviseur de lui même, c’est donc le PGCD.

Pour les mêmes raisons on a : PGCD ( 10;60 ) = 10

ou encore PGCD ( 120;12 ) = 12 …/… Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet

Le minimum d’un PGCD :

Les diviseurs de 6 sont: 1; 2; 3; 6

Remarque: un PGCD vaut au minimum 1.

Les diviseurs de 25 sont: 1; 5; 25

Il n’y a qu’un diviseur commun: 1

C’est bien sûr le plus grand de la liste.

Donc PGCD ( 6; 25 ) = 1

Quand le PGCD vaut 1, on dit que les deux nombres sont:

PREMIERS ENTRE EUX


PGCD = 1 : PREMIERS ENTRE EUX

Aucun des couples de nombres suivants ne sont premiers entre eux car ils ont au moins un diviseur commun plus grand que 1. Quel est ce diviseur évident ?

(12;56) (35;95)

(11;22)

(10;760)

(14;63) (4561;45610)

Div:2 Div:5

Div:10

Div:11

Div:4561 Div:7


Parmi les nombres 4 5 9 Quel est le seul qui puisse compléter la phrase: « 12 et … sont premiers entre eux. »

Parmi les nombres Quel est le seul qui puisse compléter la phrase: « 11 et … sont premiers entre eux. »

Parmi les nombres

22 110 6

7 10 6 Quel est le seul qui puisse compléter la phrase: « 35 et … sont premiers entre eux. »

PGCD = 1 : PREMIERS ENTRE EUX


Synthèse

Nombre Premier / PGCD / Premier entre eux





■ Le P G C D : Le Plus Grand Diviseur Commun

Exemple : Déterminez le PGCD de 48 et de 72 :

■ Deux nombres sont premiers entre eux si leur PGCD = 1 Autrement dit, si ces 2 nombres ne possèdent qu’un seul diviseur commun : 1.

■ Nombres Premiers

Exemples Méthode


Un confiseur a un lot de 3 150 bonbons et 1 350 sucettes. Il veut réaliser des paquets contenant tous le même nombre de bonbons et le même nombre de sucettes, en utilisant tous les bonbons et toutes les sucettes.

1) Combien de tels paquets pourra-t-il réaliser au maximum ? 2) Chaque bonbon sera vendu 5 centimes d’euro et chaque sucette 30 centimes d’euro. Quel sera le prix d’un paquet ?

1) Puisque le confiseur doit utiliser ses 3 150 bonbons et ses 1 350 sucettes et que les paquets doivent contenir le même nombre de bonbons et le même nombre de sucettes, le nombre de paquets cherché doit diviser 3 150 et 1 350 : c’est donc un diviseur commun à 3 150 et 1 350. Le nombre maximal de paquets que le confiseur peut ainsi réaliser est donc le plus grand diviseur commun à 3 150 et 1 350. Calculatrice donne PGCD de 3 150 et 1 350 égal à : 450 Le confiseur pourra ainsi réaliser au maximum 450 paquets.

2) Prix d’un paquet : 3150 ÷ 450 = 7 et 1350 ÷ 450 = 3. Chaque paquet sera constitué de 7 bonbons et 3 sucettes. 7 × 0,05 + 3 × 0,3 = 0, 35 + 0, 9 = 1, 25. Chaque paquet sera donc vendu 1,25 €.


Décomposition en facteurs premiers


vocabulaire et méthode à retenir !

SIMPLIFICATION DE FRACTION :

Pour simplifier une fraction, on divise son numérateur et son dénominateur par un même nombre.

28 24

=

: 4

: 4

7 6

On a pu faire la simplification car 4 est un diviseur commun à 28 et 24.


SIMPLIFICATION ENCORE :

36 24

=

: 4

: 4

9 6

On a pu faire deux simplifications successives avec des diviseurs communs.

=

: 3

: 3

3 2

36 24

=

: 12

: 12

3 2

On a pu aller plus vite en prenant un diviseur commun plus grand.


Simplification : enfin une méthode efficace !

Prenons le PGCD de 60 et 75 qui est 15

60 75

=

: 15

: 15

4 5 On ne peut pas aller plus vite !

puisque 15 est le plus grand diviseur commun.

Le seul diviseur commun qui reste à 4 et 5 est : « 1 » car 4 et 5 sont premiers entre eux.

La fraction obtenue ne peut plus être simplifiée, on dit qu’elle est …

IRREDUCTIBLE …/… Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet

En Résumé :

Quand on a une fraction que l’on veut simplifier, le plus vite possible et d’une façon radicale pour la rendre irréductible…

On utilise le PGCD et le résultat est immédiat !

Ce qui n’est pas immédiat,

c’est de trouver le PGCD facilement et rapidement ! Heureusement, on a la calculatrice pour nous aider :

Tapez : PGCD ( le 1er nombre ; le 2ème nombre) puis EXE PGCD se trouve sous le bouton : CALC

Pour afficher le point virgule : il faut taper « SECONDE 3 »


Test


Pour terminer, quelques petites affirmations :

Sont-elles vraies ? Sont-elles fausses ? Pourquoi ?

Affirmation Vrai Faux Justification 8 et 10 ont le même nombre de diviseurs.

Vrai Div 8 : 1;2;4;8

Div 10 : 1;2;5;10 25 admet 3 diviseurs. Vrai Div 25 : 1;5;25

23 est un nombre premier. Vrai Div 23 : 1;23

Il faut tous les chercher …




Affirmation Vrai Faux Justification 7 est un diviseur de 357 Vrai 357 = 350 + 7

13 divise 259 Faux 259 = 260 - 1

PGCD (16;24)=4 Faux PGCD = 8

PGCD (19;38)=19 Vrai 38 = 19 x 2


Affirmation Vrai Faux Justification 20 et 27 sont premiers entre eux Vrai PGCD = 1

Vrai PGCD = 1

Faux PGCD = 17

Vrai PGCD = 13

15 32

est irréductible

34 51

est irréductible

26 39

n’est pas irréductible


Synthèse

Décomposition en produit de facteurs premiers et

fraction irréductible





Remarque

PGCD / PPCM



Autre méthode pour trouver le PGCD (exemple avec 84 et 270) : En utilisant les décompositions de 84 et 270 en produits de nombres premiers

on ne prend que les facteurs premiers qui apparaissent dans les deux décompositions et on les affecte du plus petit exposant.

Autre méthode pour trouver le PPCM (exemple avec 84 et 270) : PPCM : Plus Petit Multiple Commun

on prend tous les facteurs premiers qui apparaissent dans les deux décompositions et on les affecte du plus grand exposant.


On utilise le PPCM de certains nombres quand … :

■ On s'occupe des multiples communs à ces nombres et qu'on est amené à chercher le plus petit de ces multiples. Le PPCM de deux nombres est toujours supérieur ou égal à chacun de ces nombres.

■ On peut utiliser le PPCM quand on a plusieurs fractions et qu'on veut transformer ces fractions pour qu'elles aient toutes le même dénominateur.

■ Si on cherche un nombre de taille minimale ayant telle ou telle propriété, on pense plutôt au PPCM.

On utilise le PGCD quand … :

■ On s'occupe des diviseurs communs à ces nombres et qu'on est amené à chercher le plus grand de ces diviseurs. Le PGCD de deux nombres est toujours inférieur ou égal à chacun des nombres.

■ On peut utiliser le PGCD quand on cherche à réduire une fraction et qu’on veut savoir le diviseur commun du numérateur et du dénominateur.

■ Si on cherche un nombre de taille maximale ayant telle ou telle propriété, on pense plutôt au PGCD.


Fin …/… Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet



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