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Chapitr e 1 Electrostatique

Leçon n°2: Champs et potentiels dans le vide________________________________ Najla FOURATI_ENNOURI et Patrick HOFFMANN

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Leçon n°2 : Champs et potentiels dans le vide

1. Champ électrique

En considérant l'action d'une distribution de charges sur une charge ponctuelle d'épreuve q' , qu'elle soit continue ou discrète, on remarque qu'il est possible de dissocier dans l'expression de la force résultante, ce qui subit l'action de ce qui la provoque.

Dans le cas d'une distribution de charges continues agissant sur une charge d'épreuve ponctuelle q' :

Figure 1 : Résultante des forces élémentaires d'une distribution continue

2 2 0 0

1 u 1 u F q 'dq q ' dq 4 4 r r ∆ ∆

= = π ε π ε ∫ ∫

r r r

La charge d'épreuve est q' . Le terme qui contient l'effet de la distribution continue est une fonction de l'espace et ne dépend donc pas de la valeur de la charge d'épreuve q' , on le désigne sous le nom de champ électrique local :

( ) 2 0

r 1 u E dq E 4 r ∆ = = π ε ∫

uur uuur uuur ur

Sa valeur à l'endroit où se trouve la charge d'épreuve ne dépend que de la distribution de charge de l'environnement. La résultante agissant sur q' peut donc s'écrire sous la forme :

F q ' E = r ur



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Dans le cas d'une distribution de charges ponctuelles discrètes agissant sur une charge d'épreuve ponctuelle q' , le même raisonnement s'applique :

Figure 2 : Résultante des forces élémentaires d'une distribution discrète

N N i i

i i 2 2 i 1 i 1 0 i 0 i

q ' q q 1 F u q ' u

4 r 4 r = =

= = π ε π ε ∑ ∑

r uur uur

Là encore on sépare ce qui subit l'effet q' , de ce qui le crée: le champ électrique E ur également fonction locale de

l'espace.

( ) N i

i 2 i 1 0 i

r q

E u E 4 r =

= = π ε ∑

uuur uuur uuuur ur

de la même façon, la résultante agissant sur q' s'écrit alors sous la forme :

F q ' E = r ur

Le champ électrique s'exprime en Newton par Coulomb, nous verrons plus loin que l'unité équivalente la plus courante est le Volt par mètre :

E s 'exp rime en N / C V / m = ur

Le concept de champ électrique, n'est possible que grâce à l'existence du théorème de superposition. On verra plus loin que cette dépendance impliquera que les équations gouvernant localement le champ électrique seront des équations linéaires.

Le champ électrique, comme le champ de force électrostatique n'est fonction que de la seule position dans l'espace, c'est un vrai vecteur; il sera donc invariant par tout changement d'axes, y compris ceux qui changent le signe du trièdre de référence. Cette propriété est fondamentale pour ce qui va suivre.



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2. L'opérateur gradient en physique

Pour le physicien, il est important de cerner le sens géométrique du gradient. Avant cela il faut définir ce que l'on entend par champs. On nomme champ une fonction de points de l'espace.

On distingue les champs scalaires: ( ) ( ) f f r f x , y , z = = r

, comme par exemple la valeur de la température en un

point de l'espace: ( ) r θ = θ r , qui est un champ scalaire régulier; et les champs de vecteurs: ( ) w w r =

ur ur r comme par

exemple le champ électrique ou le champ de vitesses d'un fluide, tous des champs réguliers (car les dérivées premières et secondes, dans toutes les directions de l'espace, sont des fonctions continues).

Soit un champ scalaire f ( r ) r

régulier au point M de l'espace, en effectuant un déplacement infinitésimal d r r , la

nouvelle valeur du champ est f ( r d r) + r r

.

Notre Objectif est de pouvoir déterminer la valeur de l'accroissement du champ :

d f f ( r d r ) f ( r ) = + − r r r

à partir du déplacement d r r .

Figure 3 : Vecteur gradient

Pour cela considérons toutes les directions possibles autour du point M. Parmi cellesci, il en existe une correspondant à la variation la plus rapide du champ f. Dans cette direction la variation du champ f rapportée à la

distance parcourue l (dérivée d fdl ), donne la valeur du module d’un vecteur que l’on nomme gradient de f.

On le symbolise par grad f uuuuuur

.

Pour récapituler le gradient d’un champ scalaire f au point M est un vecteur dont :



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• la direction est celle de la variation la plus rapide du champ f • le sens correspond à la croissance du champ f

• le module est la dérivée par rapport au déplacement : d fdl

La projection dans la direction de grad f uuuuuur

du vecteur déplacement d r r , permet d’obtenir la variation de df par

la formule :

df grad f dr = • uuuuuuuuuur uur

Cette expression permet de montrer, qu'à partir de deux dimensions, pour une fonction de points f, le gradient est la généralisation du concept de dérivée spatiale. On note également le gradient sous la forme :

grad f f = ∇ uuuuuur ur

On peut aussi considérer, le symbole ∇ ur

(lire « Nabla ») comme un opérateur agissant sur un champ scalaire ou un champ vectoriel. En coordonnées cartésiennes :

i j k x y z ∂ ∂ ∂

∇ = + + ∂ ∂ ∂

ur r r r

En coordonnées cylindriques :

r z 1 u u u

r r z θ

∂ ∂ ∂ ∇ = + +

∂ ∂ θ ∂

ur uur uur uur

En coordonnées sphériques :

r 1 1 u u u

r r r sin θ ϕ

∂ ∂ ∂ ∇ = + +

∂ ∂ θ θ ∂ ϕ

ur uur uur uur

Et donc, et à titre d’exemple, les composantes cartésiennes du gradient sont tel que :

f f f grad f f i j k x y z

∂ ∂ ∂ = ∇ = + +

∂ ∂ ∂

uuuuuur ur r r r



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On démontre sans difficulté : la propriété de linéarité : pour 1 λ et 2 λ constants :

1 1 2 2 1 1 2 2 grad ( f f ) grad f grad f λ + λ = λ + λ uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuru uuuuuuur uuuuuuur

la propriété fondamentale sur l'intégration d'un champ de gradient sur une courbe orientée C 1 (circulation) : la valeur de la somme d'un champ de gradient, le long de la courbe, ne dépend que des extrémités et pas du chemin suivi entre ces 2 points :

B

A C

grad f dr f (B) f (A) • = − ∫ uuuuuur r

Figure 4 : Chemin ouvert

Conséquence évidente de la précédente relation, la circulation d'un gradient sur une courbe fermée est nulle :

Figure 5 : Chemin fermé

C

grad f dr 0 • = ∫ uuuuuur r

Ñ



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3. Le potentiel électrique

Figure 6 : Champ coulombien

Pour une charge ponctuelle q , le champ créé s'écrit :

2 0

1 q E u 4 r

= π ε

ur r

Il est régulier en dehors de la position occupée par la charge q . C'est par ailleurs un vrai champ de vecteurs, il dérive donc d'un champ scalaire régulier ( ) V V r =

r à travers l'opérateur gradient :

( ) E grad V = − uuuuuuuuuuur uur

Le signe moins est introduit par commodité afin de raisonner par la suite, sur des grandeurs énergétiques positives.

L'intégration de cette dernière relation conduit à l'expression du potentiel :

0

q 1 V cst + r 4 =

ε π

Le potentiel est toujours défini à une constante additive près. Ceci est une conséquence du fait qu'il est introduit à partir du gradient qui est une dérivation. Il est à remarquer que les applications feront intervenir la différence de potentiel et qu'alors la constante additive disparaîtra.

L'unité du potentiel électrique est le Volt dans le système international. La définition du potentiel à partir du champ électrique montre que le champ électrique peut s'exprimer à l'aide des deux unités du système :

E N / C V / m ≈ = ur



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Application Soit une charge électrique qA placée au point A (xA, yA, zA). Montrons que le potentiel électrique en un point M(x,y,z) :

( ) ( ) ( ) A

2 2 2 0 A A A

q 1 V(r) 4 x x y y z z

= × πε − + − + −

conduit à l'expression du champ électrique donné par la loi de Coulomb.

Solution

En partant de la relation ( ) E grad V =− uuuuuuuuuur uur

, on peut déterminer les composantes du vecteur champ électrique

E uur .En effet :

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

A x 2 2 2

0 A A A

A y 2 2 2

0 A A A

A z 2 2 2

0 A A A

V x, y, z q 1 E x 4 x x x y y z z

V x, y, z q 1 E y 4 y x x y y z z

V x, y,z q 1 E z 4 z x x y y z z

∂ ∂ = − = − ∂ πε ∂ − + − + − ∂ ∂ = − = − ∂ πε ∂ − + − + − ∂ ∂ = − = −

∂ πε ∂ − + − + −

Et donc :

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

A A x 3/2 2 2 2

0 A A A

A A y 3/2 2 2 2

0 A A A

A A z 3/2 2 2 2

0 A A A

x x q E 4 x x y y z z

y y q E 4 x x y y z z

z z q E 4 x x y y z z

− = × πε − + − + −

− = × ⇒ πε − + − + −

− = ×

πε − + − + −



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( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

A A x 2 2 2 1/2 2 2 2

0 A A A A A A

A A y 2 2 2 1/2 2 2 2

0 A A A A A A

A A z 2 2 2 1/2 2 2 2

0 A A A A A A

x x q 1 E 4 x x y y z z x x y y z z

y y q 1 E 4 x x y y z z x x y y z z

z z q 1 E 4 x x y y z z x x y y z z

− = × × πε − + − + − − + − + −

− = × × πε − + − + − − + − + −

− = × × πε − + − + − − + − + −

Les termes entre crochet ne sont autres que les composantes selon x, y et z du vecteur unitaire AM u r

. Si on appelle r la distance qui sépare le point M du point A, alors :

( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 A A A r x x y y z z = − + − + −

Et on a donc : A AM 2

0

q E u 4 r

= π ε

r r

Remarque

En partant toujours de la relation ( ) E grad V =− uuuuuuuuuur uur

, on peut déterminer les composantes du vecteur champ

électrique E uur

1) En coordonnées cylindriques :

( )

( )

( )

r

z

V r, , z E

r V r, , z 1 E

r V r, , z

E z

θ

∂ θ = − ∂

∂ θ = − × ∂ θ ∂ θ = −

∂

2) En coordonnées sphériques :

( )

( )

( )

r

V r, , E

r V r, , 1 E

r V r, , 1 E

r sin

θ

ϕ

∂ θ ϕ = − ∂

∂ θ ϕ = − × ∂ θ ∂ θ ϕ = −

θ ∂ ϕ

Tout cela vous semble sans doute bien compliqué! Cela se clarifiera à l'usage.



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La régularité du champ scalaire ( ) V V r = r

engendre l'existence dans l'espace, de surfaces équipotentielles.

Les propr iétés du gradient impliquent que les vecteur s champs sont or thogonaux aux sur faces équipotentielles.

Les courbes normales aux sur faces équipotentielles sont qualifiées de lignes de champs.

V S A

B

E r

Figure 7 : représentation des surfaces équipotentielles

Les conclusions des raisonnements effectués sur les deux types de distributions continue ou discrète sont similaires. Dorénavant les résultats déduits ne le seront qu'à partir d'une seule des deux distributions. Pour une distribution discrète de charges,

Figure 8 : Champ d'une distribution discrète

Le champ électrique produit localement s'écrit :

N N i

i i 2 i 1 i 1 0 i

q 1 E E u

4 r = =

= = π ε ∑ ∑

ur uur uur



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Pour chaque charge ponctuelle, le potentiel créé s'obtient par :

( ) i i E grad V = − uuuuuuuuuuuur uuur

il vient :

( ) ( ) N N

i i i 1 i 1

E E grad V = =

= = − ∑ ∑ uuuuuuuuuuuuur ur uur

L'opérateur gradient étant linéaire :

( ) ( ) N N

i i 1 i 1

i grad V grad V = =

=

∑ ∑

uuuuuuuuuuuuuuuuuuuruu uuuuuuuuuuuuur

En représentant la somme locale des potentiels par V :

N

i i 1

V V =

= ∑

Ce potentiel est associé au champ électrique résultant :


La relation champ/potentiel est identique quelques soient les champs électriques considérés.

Si l'envisage de déplacer "doucement" une charge q' dans la zone d'influence d'une distribution de charges électriques, il faut dépenser de l'énergie: c'est le travail des forces électrostatiques.

Figure 9 : Travail des forces électrostatiques



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Pour évaluer l'énergie nécessaire au déplacement d'une particule d'épreuve q' , sur une courbe C entre les points A et B, reprenons la définition du travail d'une force qui déplace son point d'application :

B B AB A A

W F d q ' E d = • = • ∫ ∫ uuuur uuuur uur uur l l

C C

Le champ électrique dérivant d'un potentiel :


il vient :

B AB A

W grad V d q' = − • ∫ uuuur uuuuuuuuuur l

C

Le vecteur élémentaire d uuuur l appartenant à l'ensemble des vecteurs déplacements élémentaires :

d d r ∈ uuuur uuur l

on reconnaît alors la formule de définition du gradient vue plus haut :

d V grad V d r = • uuuuur r

⇒

B B B AB A A A

W grad V d grad V d dV q ' q ' q ' r = − • = − • = − ∫ ∫ ∫ uuuur uuuuuuuuuur uuuuuuuuuur uuur l

C C C

⇒

B A AB V V W q'

− =

L'énergie nécessaire pour déplacer la charge de A à B est égale à la charge multipliée par différence de potentiel entre A et B.

Il est à remarquer que cette énergie AB W de dépend pas du chemin C suivi pour aller de A à B; seules la valeur

du potentiel des extrémités ont une importance sur le résultat.

4. Le flux électrique

Un flux est une intégrale de sur face qui sera définie avec un champ de vecteur s r égulier s et une sur face or ientée.

Une surface orientée admet deux faces distinctes, c'est à dire que l'on ne peut pas passer d'une face à l'autre par un déplacement continu.

La surface considérée étant orientable, sur une des faces choisie comme positive, il est possible en un point de construire un vecteur normal unitaire n

r .



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Autour de ce point il existe un élément d'aire infiniment petit dS.

Localement, on désigne par élément de surface dS uuuur

le produit de l'élément d'aire dS par le vecteur normal n uur

:

dS n dS = uuuuur uur

Figure 10 : Surface orientable

Le traitement complet d'une intégrale de surface nécessite de paramétrer la surface avec deux variables u et v, afin de se ramener à une intégrale double ordinaire sur la carte associée. Par exemple la surface terrestre (sphère) est paramétrée avec la longitude et la latitude.

Nos applications dans ce cours n'auront pas besoin de développer ces techniques mathématiques. Les exemples proposés se simplifieront toujours au cours de la déduction de leurs solutions. Néanmoins, pour cela il est impératif d'avoir assimilé les aspects géométriques des concepts mathématiques rencontrés.



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Un champ de vecteurs réguliers ( ) W r uuuuuur r

est défini dans une région de l'espace, en particulier sur une surface

orientable.

Figure 11 : Flux d'un champ de vecteurs

Sur la surface, il est possible en chaque point de faire le produit scalaire du vecteur ( ) W r uuuuuur r

par la normale locale :

( ) ( ) W r n r • uuuuuur uuuuur r r

Le nombre obtenu sera multiplié par l'élément d'aire locale dS , pour obtenir l'élément de flux dΦ , du champ de

vecteur ( ) W r uuuuuur r

à travers la surface Σ :

( ) ( ) d W r n r dS W dS Φ = • = • uuuuuur uuuuur r r uur uur

Le flux Φ du champ de vecteur ( ) W r uuuuuur r

à travers Σ est la somme du flux élémentaire dΦ sur l'ensemble de la surface :

( ) W dS W n dS Σ Σ

Φ = • = • ∫∫ ∫∫ uur uur uur r

Le flux qui est intégrale de surface sera aisément calculable lorsque les symétries du problème permettront de calculer sur toute la surface la même valeur du produit scalaire :

( ) ( ) p W r n r = • uuuuuur uuuuur r r



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Dans ce cas la valeur du flux sera :

p S Φ =

Dans beaucoup de nos applications, les symétries du problème permettront de calculer le flux de cette façon.

Si le champ de vecteurs est le champ électrique, on définit le flux électrique E Φ par :

( ) E E n dS E dS Σ Σ

= • • Φ = ∫∫ ∫∫ uuuur uur ur r

Figure 12 : Flux électrique

Le flux électrique qui est un champ électrique multiplié par une surface s'exprime en Newton mètre carré par coulomb, soit :

2

E N m V m C

≈ = Φ

Parmi les flux important pour les applications, signalons le flux Ω d'un champ Newtonien à travers une surface :

2

u dS r

Σ

Ω = • ∫∫ r uur

Nous montrerons plus tard que cette grandeur entretient un rapport très étroit avec l'angle solide spatial.



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En particulier si la surface est fermée, Ω peut prendre seulement trois valeurs :

• 0 Ω = si l'origine des coordonnées est en dehors du domaine limité par la surface

• 4 Ω = π si l'origine des coordonnées est à l'intérieur du domaine limité par la surface • 2 Ω = π si l'origine des coordonnées est juste positionnée sur la surface

Nous utiliserons ce résultat dans ce qui va suivre.

5. Théorème de Gauss

Ce théorème fort important va être introduit par une présentation « édulcorée », afin de l'utiliser de suite dans les applications. Sa démonstration complète sera reportée au chapitre traitant des équations générales du champ électromagnétique.

Considérons une distribution de charges quelconque et une surface fermée Σ . Cherchons à déterminer le flux

E Φ du champ électrique à travers Σ .

Figure 13: Théorème de Gauss

Le champ est toujours créé par une collection de charges ponctuelles :

N N i

i i 2 i 1 i 1 0 i

q E E u

4 r = =

= = π ε ∑ ∑

ur uur uur

Le flux à travers Σ s'écrit alors :

N N i

E i i 2 i 1 i 1 0 i

q E dS E dS u dS

4 r = = Σ Σ Σ

Φ = • = • = • π ε ∑ ∑ ∫∫ ∫∫ ∫∫

uuuur uuuur uuuur uur uuur uuur



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N i i

2 i 1 0 i

N i

E i 2 i 1 0 i

q u dS 4 r

q u dS

4 r = = Σ Σ

•

π ε Φ = • =

π ε ∑ ∑ ∫∫ ∫∫ uur uur

uuuur uuur

Les intégrales du dernier terme sont des flux newtoniens :

i

2i

i u dS r

Σ

• Ω = ∫∫

uur uur

d'où : N N

i i i i 2

i 1 i 1 0 0 i E

q u dS q 4 4 r = = Σ

• Ω

π ε π ε Φ = = ∑ ∑ ∫∫

uur uur

Parmi les charges ponctuelles on distingue trois populations :

• Les charges à l'intérieur de Σ pour lesquelles i 4 Ω = π

• Les charges à l'extérieur de Σ pour lesquelles 0 ξ Ω =

• Les charges positionnées sur Σ pour lesquelles s 2 Ω = π

Le flux s'écrit alors :

int ext sur i s

i s i s 0 0 0

E q q q

4 4 4 ξ

ξ ξ

Ω Ω Ω π ε π ε π ε

Φ = + + ∑ ∑ ∑

⇒

int ext sur i s

i s 0 0 0 E

q q q 4 2 0

4 4 4 ξ

ξ

π π π ε π ε π ε

Φ = + + ∑ ∑ ∑

En désignant par int

int i i

Q q = ∑ les charges à l'intérieur de Σ et par sur

sur s s

Q q = ∑ les charges de surface,

l'expression du flux électrique total devient :

int sur E

0 0

Q Q 2

Φ = + ε ε

En fait dans les applications, lorsqu'il existe des charges intérieures, les charges de surface ont une importance négligeable (ensemble de mesure nulle).



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On énonce alors le théorème de Gauss :

"Le flux électrique à travers une surface fermée est égale à la somme des charges intérieures divisée par la permittivité du vide" :

0

int E

Q Φ = ε

Signalons le cas des charges sur un corps conducteur, dans ce cas elles se repoussent et sont toutes positionnées sur la surface extérieure du corps conducteur. Le flux électrique à travers la surface externe du conducteur devient alors :

sur E

0

Q 2

Φ = ε

6. Théorème de Coulomb. Pression électrostatique.

En considérant le cas d'un conducteur chargé avec une charge surfacique :

dq dS

σ =

Appliquons le théorème de Gauss sur la petite surface Σ :

Figure 14: Théorème de Coulomb

Le champ électrique sur la surface Σ est orthogonal, parallèle ou nul.

Il vient, d'après le théorème de Gauss :



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E 0

dq d d E dS Σ

Φ = • = ε ∫∫

uuuur uur

Pour dS très petit :

E 0

dq d E dS Φ = = ε

En introduisant la charge surfacique σ , on obtient l'expression du théorème de Coulomb: "Le module du champ électrique, au voisinage d'un conducteur est égale à la charge surfacique divisée par la permittivité du vide".

0 E σ = ε

Par contre, toujours d'après le théorème de Gauss, si la surface Σ pour sa partie externe est confondue avec le conducteur, le champ qui agit sur les charges électrique est donné par la relation :

0 E

2 σ = ε

En rapportant à la surface, les forces électrostatiques qui agissent sur les charges : on obtient la pression électrostatique :

E 0 0

d F E d q d q P

dS dS 2 dS 2 σ σ

= = = = σ ε ε

⇒

2

E 0

P 2 σ = ε

Par exemple, en chargeant électriquement une bulle de savon, la pression électrostatique aura pour conséquence la dilatation de celleci.

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