L’équation d’onde

Remarque: Cette section est facultative !

Cas général

Soit la fonction d’onde progressive

Posons:

alors

y = f x - vt( )

α =x - vt

y = f x - vt( ) = f α( )

Dérivons p/r à x

Posons:

Alors:

Dérivons une seconde fois p/r à x

Posons: d’où

y ' =∂y∂α

∂y

∂x=

∂y

∂α×

∂α

∂x=

∂y

∂α×1

∂y

∂x= y '

∂2y∂x2

=y''

∂2y∂x2

=∂y'∂x

=∂y'∂α

×∂α∂x

=∂y'∂α

×1

y '' =∂y'∂α

Dérivons p/r au temps

car

alors

Dérivons une seconde fois p/r au temps

d’où ∂2y∂t2

=v2y''

∂α∂t

= −v

∂y

∂t= −vy'

∂y

∂t=

∂y

∂α×

∂α

∂t= −vy

∂2y∂t2

=∂∂t

−vy'( ) =-v ∂y'∂t

=-v∂y'∂α

×∂α∂t

=+v2y'

Équation d’onde

En combinant et

On obtient

Remarque: on peut vérifier avec la fonction d’onde progressive harmonique.

∂2y∂x2 =y''

∂2y∂t2

=v2y''

∂2y∂x2 =

1v2 ×

∂2y∂t2

y =Asin kx - ωt+φ( )

Autre méthode

Fy = may = F sin 1 - F sin 2 = F (sin 1 - sin 2 ) = may

F sin1-sin2( ) =μΔx×∂2y∂t2

Équation d’onde (suite)

Pour des petits angles

Ce qui donne:

Si

On obtient:

Ou encore: Avec: v = Fμ

∂2y∂x2

=1v2 ×

∂2y∂t2

sin ≈tan

F Δ tan Δx

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =μ ×

∂2y∂t2

Δ x → 0

F ∂2y∂x2 =μ×

∂2y∂t2