Apports – méthode RC 1

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LES CALCULS D’APPORTS PAR LA MÉTHODE DYNAMIQUE RC

Apports – méthode RC 2

SOMMAIRE

1. Principe et modélisation du bâtiment ........................................................... 3

2. Méthode de calcul ...................................................................................... 4

3. Mise en équation et résolution ..................................................................... 5

3.1. Calcul des conductances ............................................................................. 5

3.1.1. Calcul de Hgei (ventilation) ...................................................................... 5

3.1.2. Calcul de Hgis (échanges internes par convection et rayonnement) .............. 5

3.1.3. Calcul de Hges (facteur de transmission thermique global) .......................... 7

3.1.4. Calcul de Hgms (facteur de transmission interne) ........................................ 7

3.1.5. Calcul de HTh (composants opaques et ponts thermiques) .......................... 7

3.1.6. Calcul de Hgem (l’environnement extérieur / la surface intérieure) ................. 7

4. Calcul des flux solaires Φsl, Φsh et Φsvl........................................................... 7

4.1. Calcul des températures extérieures équivalentes .......................................... 8

4.1.1. Calcul de θeieq (température de l’air entrant dans le groupe) ....................... 8

4.1.2. Calcul de θes (température ext. équivalente au niveau des baies) ................ 8

4.1.3. Calcul de θem (température ext. Eq. au niveau des parois opaques) ............. 9

4.2. Calcul des flux de chaleur Φm, Φs et Φi aux nœuds θm, θs et θi ......................... 9

4.3. Calcul du flux total Φmtot ............................................................................. 9

4.4. Calcul de la température θm,t..................................................................... 10

4.5. Calcul des températures θs, θi et θop .......................................................... 10

4.6. Calcul de la puissance de couplage ............................................................ 11

5. Justification des équations ........................................................................ 11

5.1. Le calcul selon la méthode de la RT ........................................................... 13

5.2. Le calcul selon la formulation différentielle .................................................. 16

Apports – méthode RC 3

1. Principe et modélisation du bâtiment

Contrairement aux méthodes de l’Ashrae, la méthode RC repose sur une modélisation du

bâtiment et une étude de l’évolution de son point d’équilibre. Ces principes sont exposés au chapitre 11 du Th-CE 2005. Les calculs sont effectués au sein d’un groupe, modélisé par un circuit électrique.

La modélisation du groupe (TH-CE 2005, 11.1.1, figure 6)

Cette modélisation, déjà utilisée par le CSTB dans le cadre de la RT 2000 (pour le confort

d’été), est justifiée par les analogies suivantes : Courant électrique Flux thermique

Différence de potentiel Différence de température

Résistance électrique Résistance thermique

Les températures définissent les nœuds où arrivent les flux de chaleur. Le Th-CE définit les grandeurs qui suivent :

θi température de l’air intérieur θs moyenne de la température de l’air et de la température radiante moyenne,

pondérées par les coefficients d’échanges convectifs et radiatifs aux parois (température Start)

θm température de masse θeieq température de l’air entrant dans le groupe θes température d’air extérieur équivalente des baies θem température d’air extérieur équivalente des composants externes opaques

Hgei facteur de transmission thermique dû à la ventilation ( = 1 / Rei ) Hgis facteur de transmission thermique dû aux échanges internes par convection et

rayonnement ( = 1 / Ris ) Hges facteur de transmission thermique global entre les environnements intérieur et

extérieur ( = 1 / Res )

Apports – méthode RC 4

Hgms facteur de transmission interne ( = 1 / Rms ) Hgem facteur de transmission entre l'environnement extérieur et la surface intérieure

( = 1 / Rem ) Cm capacité thermique du groupe (en kJ/K, déterminée selon la méthode décrite

dans les règles Th-Bât dans leur partie inertie Th-I)i flux de chaleur au nœud d'air θi dû aux sources internes, au rayonnement solaire

direct ou aux apports de chaleur convectifs dus à la lame d'air intérieure ventilée du vitrage

s flux au nœud Star θs dû aux sources internes ou au rayonnement solaire direct

m flux au nœud de masse θm dû aux sources internes ou au rayonnement solaire direct

Le but est de calculer θi ou θop. La température intérieure θi sera utilisée pour le calcul des consommations, c’est-à-dire de l’énergie nécessaire pour maintenir l’air à la température souhaitée. θop est la température ressentie : c’est la moyenne entre la température de l’air et la température radiante des parois (elle prend en compte le phénomène physiologique de la paroi froide : à température d’air égale, un local non isolé sera moins confortable qu’un local isolé). Elle est utilisée pour calculer la température de confort réglementaire Tic : Tic est le maximum de θop (sur 24 heures pour le résidentiel, en période d’occupation pour le non résidentiel).

Pour réaliser ce calcul, on doit au préalable connaître la température à la surface du mur, θs (qui contrairement à θi est sensible au rayonnement) et la température de masse θm de la paroi. Pour calculer θm, on résout une équation différentielle qui traduit le fait que le mur perd l’énergie emmagasinée (c’est l’équation de la chaleur). On a besoin en outre des valeurs des températures extérieures équivalentes, que l’on sait calculer. Enfin, on utilise également θr, la température radiante de l’ensemble du bâtiment.

2. Méthode de calcul

On calcule successivement :

les conductances (notées Hxxx) ;

les flux solaires sl, sh et svl ; les températures extérieures équivalentes ;

les flux de chaleur m, s et i aux nœuds θm, θs et θi ;

le flux total mtot ; la température θm,t ; les températures θs, θi et θop ; la puissance du couplage, c’est-à-dire l’énergie à mettre en œuvre pour que θi reste

dans l’intervalle souhaité (dans i).

Apports – méthode RC 5

3. Mise en équation et résolution

3.1. Calcul des conductances

3.1.1. Calcul de Hgei (facteur de transmission thermique dû à la ventilation)

On aboutit à :

).CC(mH eqvaeqgei

avec :

Ca : chaleur massique de l’air = 1006 J.kg-1.K-1

Cv : chaleur massique de l’eau = 1830 J.kg-1.K-1

ωeq : humidité intérieure en kg d’eau par kg d’air sec.

3.1.2. Calcul de Hgis (facteur de transmission thermique dû aux échanges internes par convection et rayonnement)

On note θr la température radiante, égale à la moyenne des températures des parois donnant sur l’extérieur et des parois internes. Soit θs la température start, définie comme la moyenne de la température de l’air intérieur et de la température radiante moyenne, pondérée par les coefficients d’échanges convectifs et radiatifs. Autrement dit :

rsci

rsrciis

hh

h.h.

Ce qui est équivalent à :

θs (hci + hrs) = θi hci + θr hrs

hrs (θs - θr) = hci (θi - θs)

rs

ci

si

rs

h

h

(1)

Considérons maintenant le schéma suivant, où Atgroupe est la surface interne d’échange :

Apports – méthode RC 6

On a : (θs - θr) Atgroupe his = (θi - θs) Hgis et donc

tgroupe

si

rsgis AH

Avec l’équation (1) on obtient :

istgroupe

rs

cigis hA

h

hH

De plus par définition hrs = his - hci. On a donc : cirs

iseigis

hh

h.hH

, d’où :

isci

tgroupe

gis

h

1

h

1

AH

Or on sait calculer Atgroupe, et on connaît les valeurs de hci, hrs et hri (on utilise les valeurs relatives aux conditions d’hiver).

Atgroupe = 4.5 Agr, où Agr est la surface utile du groupe, prise égale à la surface habitable pour les logements et à la SHON pour les autres bâtiments.

his = hci + hrs

hci = 2.5 W.m-2.K-1

hrs = 1.2 hri

hri = 5.5 W.m-2.K-1

On a donc finalement his = 9.1 W.m-2.K-1.

θr θs θi

his Atgroupe Hgis

Apports – méthode RC 7

3.1.3. Calcul de Hges (facteur de transmission thermique global entre les environnements intérieur et extérieur)

Hges = 1∕Res est le facteur de transmission des fenêtres :

n

1k

kkges UAH

3.1.4. Calcul de Hgms (facteur de transmission interne)

Hgms est la conductance à travers la couche d’air sur le mur, entre θm et θs :

misgms AhH

avec his = 9.1 (cf. § 3.1.2) ; Am est la surface d’échange équivalente des parois opaques avec l’ambiance (définie dans les règles Th-I, annexe 1).

3.1.5. Calcul de HTh (facteur de transmission des composants opaques donnant sur l’extérieur et des ponts thermiques les concernant)

On a :

opop batbatTh U.AH

Notons ici que la transmittance U d’un bâtiment doit être calculée pour les conditions d’hiver.

3.1.6. Calcul de Hgem (facteur de transmission entre l’environnement extérieur et la surface intérieure)

gmsTh

gem

H

1

H

1

1H

4. Calcul des flux solaires Φsl, Φsh et Φsvl

Pour ce calcul faisant intervenir les paramètres d’éclairement, on se reportera aux équations 86, 87 et 90 du Th-CE 2005.

Apports – méthode RC 8

4.1. Calcul des températures extérieures équivalentes

4.1.1. Calcul de θeieq (température de l’air entrant dans le groupe)

Sont requises les données suivantes :

Hfg : énergie d’évaporation de l’eau : Hfg = 2 501 000 J.kg-1 Ca : chaleur massique de l’air : Ca = 1006 J.kg-1.K-1 Cv : chaleur massique de la vapeur : Cv = 1830 J.kg-1.K-1 heq : enthalpie équivalente. C’est la moyenne des enthalpies des arrivées d’air dans

les différentes pièces :

j

maj

j

jmaj

eqQ

h.Q

H . Les enthalpies des pièces se calculent avec la

formule hj = (Ca + Cv.ωj) . Tj + Hfg . ωj, où Tj est la température de l’air entrant et ωj son humidité relative. Quand Tj n’est pas connue, elle peut être retrouvée à partir du coefficient de réduction de température beq. On applique alors la formule :

Tj = θi - beq (θi - θei)

On obtient donc en fin de compte :

eqva

eqfgeq

eieqCC

Hh

4.1.2. Calcul de θes (température extérieure équivalente au niveau des baies)

Sont requises les données suivantes :

sl : flux de chaleur transmis au local dû au rayonnement solaire absorbé et au rayonnement émis, le tout par les composants transparents (Th-CE 2005, équation 86).

Hges : facteur de transmission thermique global entre les environnements intérieur et extérieur pour les baies.

On calcule :

ges

sleies

H

Apports – méthode RC 9

4.1.3. Calcul de θem (température extérieure équivalente au niveau des parois opaques)

Sont requises les données suivantes :

sh : flux de chaleur transmis au local dû au rayonnement solaire absorbé et au rayonnement émis via les composants opaques (Th-CE 2005, équation 89) ; Hgem : facteur de transmission entre l’environnement extérieur et la surface

intérieure (flux convectif à travers le mur) ; Hgms : facteur de transmission interne, tenant compte des échanges superficiels.

On calcule :

Th

sheiem

H

d’où l’on tire :

gmsgem

sheiemH

1

H

1

4.2. Calcul des flux de chaleur Φm, Φs et Φi aux nœuds θm, θs et θi

Les données sont les flux issus des sources internes et les pertes récupérables du réseau d’eau chaude ou du système de climatisation (cf. équations 91,92 et 93 du Th-CE 2005).

4.3. Calcul du flux total Φmtot

Conformément au Th-CE, on calcule avec les paramètres hiver :

hci = 2.5 W.m-2.K-1

hri = 5.5 W.m-2.K-1

hre = 5.5 W.m-2.K-1

hrs = 1.2 hri = 6.6 W.m-2 K-1

Ptop = 0.5.(1 + hci∕hrs) = 0.6893

On a alors :

Apports – méthode RC 10

gesgei

1

H

1

H

1

1U

ges12 HUU

gms2

3

H

1

U

1

1U

et finalement :

2

eieq

gei

i1esgess

3emgemmmtotU

HUH

UH

4.4. Calcul de la température θm,t

On calcule de proche en proche la température à partir de la température à l’heure précédente avec la formule :

gem3m

mtotgem3m

1t,m

t,m

HU5,06,3

C

HU5,06,3

C

4.5. Calcul des températures θs, θi et θop

Durant l’intervalle d’une heure donnée, on utilise comme valeur de θm la moyenne des valeurs trouvées aux extrémités de l’intervalle :

2

1t,mt,m

m

On peut alors calculer les différentes températures :

1gesgms

gei

ieieq1esgessmgms

sUHH

HUHH

Apports – méthode RC 11

geighi

ieieqgeisgis

iHH

HH

itopstopop )P1(P

4.6. Calcul de la puissance de couplage

On suppose que la température intérieure θi varie linéairement en fonction de la puissance transmise au système d’émission, notée Psys. Si θi est comprise entre θifr (la température de consigne d’été) et θich (la température de consigne d’hiver), alors Psys est nulle. Sinon, on suppose que Psys est une fonction affine de la température :

On va ainsi calculer la température obtenue θi,10W en injectant une puissance de 10 W au

niveau de i. On résout donc le système :

0BA i

10BA W10,i

On trouve ainsi A et B. Si on est au-dessus de θifr (resp. en dessous de θich), on calcule Psys = A θifr + B (resp. Psys = Aθich + B).

5. Justification des équations

On écrit les équations issues de la loi de Kirchhoff aux nœuds θi, θs et θm. On en déduit les valeurs des différentes températures et finalement la température opérative θop qui est la moyenne entre la température de l’air et la température radiante moyenne.

On pose :

gisgei

1

H

1

H

1

1U

- la résistance équivalente est isei1 RRR

ges12 HUU - la résistance équivalente est

es1

2

R

1

R

1

1R

{

Apports – méthode RC 12

gms2

3

H

1

U

1

1U

- la résistance équivalente est ms23 RRR

On peut écrire l’équation au nœud θi :

0RR is

isi

ei

ieieq

(3)

En utilisant la bonne vieille formule élémentaire :

« si a/b = c/d, alors (a + c) / (b + d) = a / b », cette équation se réécrit :

is

si

isei

siieiieieq

RRR

.R

Et donc :

is

si

1

ieiseieq

RR

.R

On écrit maintenant l’équation au nœud θs :

0RRR ms

sms

es

ses

1

si

En remplaçant la première fraction par la valeur précédente, on obtient :

0RRR

.R

ms

sms

es

ses

1

ieiscieq

(4)

et donc :

es1

sm

es

mes

1

mcieq

i

1

eis

ms

ms

R

1

R

1)(

RRR

R

R

Or on a : 2es1 R

1

R

1

R

1 , et l’on peut donc écrire :

Apports – méthode RC 13

2

sm

es

mes

1

mcieq

i

1

eis

ms

ms

R

)(

RRR

R

R

ce qui donne :

es

mes

1

mcieq

i

1

eis

2ms

msRRR

R

R

1

R

1)(

es

mes

1

mcieq

i

1

eis

2

ms2

ms

ms

RRR

R

R

RR.

R

Comme R2 + Rms = R3, nous pouvons écrire à présent l’équation au nœud θm :

m

em

mem

ms

ms

RR

(5)

ou :

es

mes

1

mcieq

i

1

eis

3

2m

em

mem

RRR

R

R

R

R

(6)

5.1. Le calcul selon la méthode de la RT

On écrit l’équation de la chaleur sous la forme :

)(6.3

C1t,mt,m

m

Par ailleurs, on a : 2

1t,mt,m

m

Si on remplace et θm par les valeurs ci-dessus dans l’équation (6), on obtient :

Apports – méthode RC 14

2R

1

R

1.

R

R

R

1

RRR

R

R

R

R)(

6.3

C

1t,mt,m

es13

2

em

es

es

1

cieq

i

1

eis

3

2

em

emm1t,mt,m

m

et donc :

3em

m1t,mmtot

3em

mt,m

R

1

R

1*5,0

6.3

C

R

1

R

1*5,0

6.3

C

On obtient bien la formule cherchée (équation 70 du Th-CE 2005) :

3em

m

mtot

3em

m1t,m

t,m

R

1

R

1*5,0

6.3

C

R

1

R

1*5,0

6.3

C

En reprenant (4) on exprime θs :

1

eieq

es

es

ms

mi

1

eis

es

s

1

s

ms

s

RRRR

R

RRR

On retrouve également la formule attendue :

es1ms

1

eieq

es

es

ms

mi

1

eis

s

R

1

R

1

R

1

RRRR

R

En reprenant (3) on obtient :

ei

eieq

is

si

ie

i

is

i

RRRR

Apports – méthode RC 15

On retrouve ainsi :

ieis

ei

eieq

is

si

i

R

1

R

1

RR

En remplaçant la notation 1∕R par U, on retrouve exactement les mêmes formules :

3gemm

mtot3gemm

1t,m

t,m

UH*5,06.3

C

UH*5,06.3

C

eseseieq1i

ei

1s

2

3ememmmtot HU

H

U

U

UH

ges1gms

eieq1esgesmgmsi

gei

1s

sHUH

UHHH

U

(7)

giegis

eieqgeisgisi

sHH

HH

La température opérative θop est la moyenne de la température de l’air et de la température radiante moyenne :

i

rs

cirs

is

mrsici

rs

cirsirop

h

hh

h

.h.h*

h

hh

2

1

2

1

En posant :

2

h

h1

P rs

ci

top

et en utilisant la formule :

Apports – méthode RC 16

is

rrsicis

h

.h.h

(8)

on obtient bien :

itopstopop )P1(P

hci et hrs étant connues, on peut d’ailleurs calculer Ptop. On trouve une valeur voisine de 0.689.

5.2. Le calcul selon la formulation différentielle

On écrit l’équation de la chaleur sous la forme :

dt

d

6,3

C mm

En remplaçant par cette expression dans l’équation (5), on obtient :

)(H

UHHH

U

HUH

H

)(H)(Hdt

d

6,3

C

memgem

meieq1sgesmmsi

gei

1s

ges1gms

gms

m

memgemmsgmsmmm

On obtient la deuxième égalité en remplaçant θs par sa valeur donnée dans l’équation (7). Puis on remarque que :

2

3

ges1gms

gms

U

U

HUH

H

Et on obtient :

Apports – méthode RC 17

mtotgem3m

emgemeieq1sgesi

gei

1s

2

3

mgemgmsgms

2

3m

memgem

meieq1sgesmgmsi

gei

1s

2

3m

mm

HU

HUHH

U

U

U

HHHU

U

)(H

UHHH

U

U

U

dt

d

6,3

C

Il s’agit donc de résoudre l’équation différentielle du premier ordre :

mtotmgem3mm )HU(dt

d

6,3

C (9)

On commence par résoudre l’équation sans second membre :

mm

gem3mmgem3

mm

6,3

C

HU

dt

d0)HU(

dt

d

6,3

C

Elle a pour solution :

t

6,3

C

HU

0m

m

gem3

Ce

, où C est une constante. En lui ajoutant une

solution particulière évidente, on en déduit la solution de (9) :

gem3

mtot

t

6,3

C

HU

mHU

Cem

gem3

Il faut encore trouver la valeur de C. Considérons les conditions à l’instant 0 : à ce moment θm = θm,t-1, et donc :

gem3

mtot1t,m

HUC

On obtient donc finalement :

Apports – méthode RC 18

gem3

mtot

t

6,3

C

HU

gem3

mtot1t,mt,m

HUe

HU

m

gem3

Remarque :

En considérant simplement le premier terme du développement en série de l’exponentielle :

6,3

C

HU1e

m

gem3

t

6,3

C

HU

m

gem3

on obtient :

6,3

C

6,3

C

HU1

m

mtot

m

gem3

1t,mt,m

ce qui est bien une approximation de la formule (2).