Les connaissances mathématiques ne devraient-elles pas être rêvées avant d’être enseignées ?

Le merveilleux du rêve ouvre à des expressions émotionnelles d’un dynamisme affectif inhérent au désir, à la motivation.

Rêver pour aborder plus aisément les productions plus objectives, plus rigoureuses propres à cette discipline.

P Agostini - CPC ASH 14 - 2

SommaireA

propos des mathématiquesU

ne éducation au problème.l

' ACIM cherche à entraîner à ....D

imension cachée et l'implicite A

spects théoriques

Les 5 “EX”.

http://acim.ouvaton.org/

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« écorché des écrits de WITTGENSTEIN par R PLANCHON »

1 - les mathématiques sont une activité.

autonome qui a sa dynamique propre, ses contraintes intrinsèques et sa cohérence interne.

qui fait des expériences qui sont d’un autre ordre que les expériences empiriques

elle consiste en particulier à manipuler des symboles

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3 - le sens.

Le sens d’un objet mathématique n’existe pas en soi mais dans le cadre d’un réseau conceptuel

Et dans la dynamique de son usage

4 – vers les modélisations.

Nous avons besoin d’une autre forme de représentation

Les mots ne suffisent pas à exprimer les mathématiques, ni à les faire comprendre .

2 - les objets mathématiques.

Les objets mathématiques constituent des formes générales et conceptuelles

Ces formes fonctionnent comme des normes, instruments de mesure à appliquer à la réalité pour structurer ce qu’on peut en dire

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Une éducation au problème.

Un entraînement à vivre la tension :

 entre le sentiment d’impuissance, d’incapacité face à cette situation et le désir de comprendre pour mieux expliquer,

 entre le désordre, l’imbroglio, le nœud que l’on ne peut défaire et la recherche d’un ordre, d’une organisation qui donne sens

 entre ce vide qui nous attire pour nous faire disparaître et ce besoin d’exister, de trouver du sens

 entre la crainte des jugements de notre entourage et la nécessité de rester soi-même.

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La démarche ACIM donne la possibilité de préparer et d’entraîner à la confrontation au problème.La modélisation systémique en est le support central. Par son désordre apparent et sa complexité, elle provoque et pose problème. Un problème à la présentation débarrassée de la langue et de sa grammaire, une situation uniquement formulée au moyen de traces écrites, des signes et des symboles mis en relation.L’utilisation des modélisations permet de se familiariser avec l’abstraction, de s’autoriser à prendre en compte ses intuitions, de développer son imagination. Ainsi la situation de départ se trouve-t-elle enrichie au travers de la production d’hypothèses et l’élaboration de nouveaux contextes.La modélisation encourage l’individu à libérer sa spontanéité, son imagination, afin que s’opère une production intensive d’hypothèses. Ces hypothèses sont indispensables à l’élaboration du contexte propre au problème.

Hypothèses et intuitions sont essentielles à la découverte de la solution. L’intuition est le support premier de toutes les hypothèses, lesquelles, une fois réorganisées, vont pouvoir faire apparaître de nouveaux concepts, de nouvelles connaissances.Toute connaissance est le résultat de la résolution d’un problème.

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ACIM cherche à donner du sens aux mathématiques, àleur redonner une dimension éthique et émotionnelle.

Il s’agit de proposer d’autres formes d’approche des connaissances, des concepts, des définitions, des règles, notamment lorsqu’on s’adresse aux populations en délicatesse avec les mathématiques ou avec les activités scolaires en général.

La démarche ACIM met en avant l’exercice de la pensée mathématique, ce qui implique l’entraînement à l’abstraction et à la manipulation de signes non figuratifs, lesquels assurent une représentation de la réalité facilitant la réflexion et la résolution de problèmes. En effet, la pensée mathématique suppose un effort d’abstraction pour traduire le réel au moyen de signes arbitraires, mais aussi pour rendre compte de ce qui n’existe pas toujours matériellement, de ce qui pourrait exister.

Exercice 1

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Qui se souvient du Programme d’Enrichissement Instrumental de Feurstein, des ARL, la dimension cachée et l'implicite ? »

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Petit conte : la découverte du ciel par une nuit d’été :

C’est une soirée d’été. Un adulte et un enfant se promènent. La nuit tombe. Le ciel étoilé se découvre peu à peu.─ Regarde ce ciel. Regarde, c’est magnifique !─ Oui, c’est beau, toutes ces étoiles dans le ciel. On n’y comprend rien. Il y en a vraiment beaucoup. Est-ce qu’on peut les compter ?− C’est très difficile de les compter. Regarde, il y en a qui sont plus brillantes que d’autres, certaines sont à peine visibles, il y en a même qu’on ne peut pas voir. On dira qu’il y en a un très grand nombre.− Mais combien ? Plus de mille ?− A l’œil nu, on peut compter jusqu’à 5 à 6 000 étoiles, avec des jumelles on peut aller jusqu’à 10 000, avec des outils plus performants on arriverait à des millions et pour les astronomes ce seraient des milliards d’étoiles.− Alors on peut dire qu’il y a une infinité d’étoiles dans le ciel. Et que je vois l’infini !− Si tu veux, oui. Parmi toutes ces étoiles, il y en a une qui est particulière et que je voudrais te montrer, c’est l’Etoile Polaire, l’étoile qui indique le Nord. Elle est là, regarde... L’adulte tend son bras dans la direction de l’Etoile Polaire.− C’est laquelle ? Celle-là ou celle-là ?

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L’enfant fait le même geste que l’adulte. Lequel prend alors conscience que l’indication qu’il donne est bien insuffisante pour repérer l’étoile désignée.− Pour trouver cette étoile, nous allons d’abord nous mettre à la lumière avec un papier et un crayon.− Qu’est-ce que tu fais ? C’est quoi ce dessin ?− Je fais un dessin. C’est là la forme de la constellation que l’on appelle la Petite Ourse ou Ursa Minor. Là, les gros points sont les représentations des étoiles. Ce dessin, il est dans le ciel. Le dessin lui-même n’est pas tracé, c’est l’emplacement des étoiles qui va permettre de retrouver le dessin de la constellation dessinée.− Il faut que je retrouve ton dessin dans le ciel. C’est pas facile, il faudrait effacer des étoiles.

− C’est ce que j’ai fait sur le papier. Regarde bien le dessin et essaie de le replacer avec les étoiles pour faire correspondre l’emplacement des étoiles avec le dessin ; les traits ne figurant évidemment pas dans le ciel, il faut les imaginer. On pourrait dire que cette constellation est composée d’une partie que l’on peut appeler le char, qui serait tiré par trois chevaux, trois étoiles. Sur le dessin, regarde, là le char, là les trois étoiles et elles se terminent par l’Étoile Polaire.

L’enfant regarde le papier attentivement, mémorise le dessin.

Se perd dans l’immensité étoilée. L’aide de l’adulte s’avère alors utile.

La direction qu’il indique permet à l’enfant de mieux se repérer.

− Ca y est ! J’ai trouvé ! Je vois ton dessin ! Je vois la constellation ! Alors c’est ça l’Etoile Polaire, elle est toute petite, elle est difficile à trouver et elle ne brille pas beaucoup.− Pour la reconnaître, on se sert de la constellation de la Petite Ourse. Et pour aider encore à trouver la Petite Ourse on peut se repérer avec des étoiles plus brillantes qui forment la constellation de la Grande Ourse.− Tu me fais le dessin de la Grande Ourse ?─ Voilà le dessin de la constellation de la Grande Ourse. Tu pourras la repérer plus facilement parce qu’elle est formée par des étoiles plus brillantes. Regarde comment elle se situe par rapport à la Petite Ourse. Ce sera un moyen de vérifier que tu as bien situé la Petite Ourse. Et donc de retrouver plus facilement l’étoile Polaire.

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La multiplicité des objets que l’on peut voir et imaginer dans ce ciel nocturne a donné lieu à des constructions arbitraires, les constellations. De même, en mathématiques se sont élaborés différents domaines, différentes structures, organisées de façon cohérente, fermées comme des constellations mais aussi en liaison les unes avec les autres. Ces différentes structures, ces différentes constellations, forment un ensemble : le ciel, les mathématiques.Ce dialogue peut être un exemple illustrant des stratégies possibles pour l’éducation de la pensée mathématique. Au départ, il y a une réalité intouchable, un monde extérieur complexe, difficile à appréhender, un monde que je dois investir, ici : le système stellaire. Il s’agit de ramener ces faits vers un monde plus proche par la médiation de traces écrites. Ceci peut s’effectuer par une projection de ce qui est perçu et sa traduction dans un langage artificiel et conventionnel, dans notre cas : l’organisation arbitraire de quelques étoiles entre elles. Le dessin de la constellation, observé et mémorisé, facilite la reconnaissance des étoiles ainsi que leur distinction au sein de la multitude et du désordre qu’elles constituent.

Ici, il faut distinguer le problème de l’adulte et celui de l’enfant :

- Pour l’adulte : comment donner les informations nécessaires pour que la connaissance soit accessible à l’enfant ? Comment aider celui-ci à élaborer l’image qui peut conduire à la connaissance ? Cette image, l’enfant aura besoin de la comprendre, de l’enrichir par extension, de l’interpréter pour en trouver différentes représentations possibles, avant de la mémoriser et de pouvoir l’appliquer dans des domaines variés. Les étoiles qui forment ici une constellation pourraient être des mots amenant à produire une proposition, image de la réalité d’une pensée.

- Pour l’enfant : écouter les propositions, les règles, les comprendre, les mémoriser, imaginer des représentations. Observer et retrouver la place du dessin dans la réalité afin de vérifier sa validité au travers de son application.

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Exercice 2

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La situation du ciel étoilé nous fait retrouver les caractéristiques de la démarche ACIM. Il s’agit de :

  Partir d’une réalité impossible à manipuler directement pour aboutir à un système de signes, de traces, par un exercice d’abstraction qui permet de travailler sur la construction d’une représentation de la réalité.

  Travailler sur cette représentation pour chercher, inventer de nouvelles relations, de nouvelles organisations entre les signes afin de leur donner des significations nouvelles proches de connaissances déjà acquises.

  Porter un autre regard sur la réalité pour produire du sens qui conduit à reconnaître du connu. En effet, avant de se perdre dans les étoiles, il faut trouver une sécurité, une représentation familière, une référence assurée. Ici : reconnaître un char formé de quatre étoiles et son attelage de trois chevaux.

  Chercher à appliquer la règle pour résoudre le problème.

  Découvrir l’objet recherché, la réponse, la définition, le concept, et même la règle, à la suite de cheminements personnels dans la résolution de la situation problème. Situation balisée par les traces écrites du système : la "modélisation systémique".

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4202

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8611

8848

3776

6959

5895

3764

200

Mac Kinley 6194m Alaska

Amérique du Nord

Mont Gunnborg

3700m Groënland Danemark Antartique

Pic Gannet

4202m Etats-Unis Amérique du Nord

Mont Popocateptel

5452m Mexique

Amérique du Nord

Mont Blanc 4807m France Europe

Godwin Austen 8611m

Pakistan Asie

Everest 8848m Népal Asie

Fuji Yama 3776m Japon Asie

Aconcagua 6959

Argentine Amérique

du sud

Kilimanjaro Mont Uhuru

5895 Tanzanie Afrique

Mont Cook 3764 Nelle

Zélande Océanie

Icebergs Les plus hauts atteignent

200m Antartique

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LE PROBLEME

Exploration

Expérimentation

ExplicitationExploitation

Extension

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"les 5 ex- "Exploration : Il s’agit d’affronter (collectivement et individuellement) une situation complexe, de commencer à se repérer dans l’espace de la planche, puis de l’explorer et analyser activement. On y découvre des éléments connus, on projette des images personnelles, on propose des mots pour en rendre compte. C’est un temps d’expression orale et de mobilisation intellectuelle où l’on pourra expérimenter des premières hypothèses, prendre conscience de l’existence de différentes interprétations possibles, mais aussi convenir d’un vocabulaire commun. Parallèlement, on s’entraîne à se confronter à un problème, à se familiariser avec un certain chaos. L’enseignant, durant ce temps, peut évaluer quelque chose du niveau actuel du groupe et orienter ainsi la suite du travail.Expérimentation : C’est le temps de la recherche proprement dite. À partir du problème posé par la modélisation, il s’agit d’entrer dans les activités proposées par l’enseignant, mais aussi prendre en compte les idées de consigne qui ont pu émerger du groupe lui-même. Intervient l’élaboration de démarches cognitives et de raisonnements au travers de la mise en activité graphique de l’élève sur la planche (colorier, tracer, repasser, compléter, écrire,...) ; Il s’agit d’une expérimentation active, faite de recherche, d’investigation, de mise à l’épreuve d’hypothèses,... Le travail est individuel au début, suivi par un temps de discussion, confrontation et validation collectives.Explicitation : C’est le moment consacré à la mise en forme des résultats, à l’énonciation des lois, à la verbalisation, organisation et institutionnalisation des connaissances. Durant ce troisième temps, on reprend ce qui a été produit spontanément et intuitivement pendant l’expérimentation dans le but d’unifier, reformuler, organiser et normaliser les nouvelles connaissances, de découvrir la cohérence d’un champ conceptuel ou la vision globale d’un algorithme.Exploitation : Il s’agit de l’application directe du contenu de l’explicitation à des situations apparentées. C’est un moment d’entraînement (et non d’évaluation) et d’articulation avec la réalité concrète. C’est aussi le temps des réalisations pratiques s’appuyant sur les nouvelles connaissances qui ont été dégagées. Celles-ci sont introduites dans des situations et problèmes aussi variés que possible afin de valider et éprouver leur utilité, de délimiter leur champ d’utilisation.Extension : Sont proposés différents prolongements et approfondissements facultatifs, mais aussi des liens avec d’autres connaissances, des ouvertures où trouvera à s’exercer la créativité individuelle de chacun.

Du corps : niveau périphérique

au Cerveau : Niveau central

Sensation Perception

Images mentales Catégorisation Mémorisation

Réception décentration

Symbolisation Conceptualisation

Recueil d’information

Traitement Production de connaissances

Exploitation

Découverte

Recherche individuelle

Recherche collective Débat

Synthèse Généralisation

Au commencement était le chaos

Je suis l’oiseau métamorphose,

du fond de toi j’ai fait jaillir des images

De ton étonnement quand le soleil se couche j’ai forgé la question que j’ai mise sur ta bouche.

Alors apparut le verbe !

EXploration EXpérimentation EXplicitation EXploitation EXtension

Perte de repère

Confrontation au connu et aux limites

Mise à jour de la question Mise en langages

Mise en signes

De l’intérieur vers l’EXterieur

C O N S T R U C T I V I S T E

S P O E T E

A

C I

M

Titre : Diama Bariadi Modélisation Systémique n°2

Objectifs Liens avec les IO

Développement de la pensée logique

Décoder des symboles Fin de maternelle Interpréter un document

Se repérer sur un quadrillage Espace et géométrie C3 Repérage, utilisation de plans, de cartes: connaissances repérer une case ou un point sur un quadrillage

Calculer

C3 connaissance des nombres : capacités : Donner diverses décompositions d'un nombre en utilisant 10, 100, 1000..., et retrouver l'écriture d'un nombre à partir d'une telle décomposition, comparer des nombres, les ranger en ordre croissant ou décroissant, les encadrer entre deux dizaines consécutives, deux centaines consécutives, deux milliers consécutifs

Situer les plus hauts sommets du monde

La culture humaniste Fin du cycle d’adaptation (6ème) Les continents, les océans et les repères terrestres fondamentaux

M D I D C M M D I D D M M I D D D M I D

M C C C M C C C M C

C M I M M C I M

D I D M C M I C D C M M D C M D

M C C C M C C I I I M C C I M C I I I

I M M M D M C C C C M C M C M M

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D D C I I C D C M M M I D C D C D I C I D I C I

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D I C D C D M C D C I M D C D C I D M C C D M I M I D

C D M C D C I D C M I I D D C M C D D I C

C C

C C

C C

C C

Modèle socio -constructiviste

Démarche ACIM Rôle de l’apprenant Rôle de l’enseignant

Réponses attendues a= affectif s=social c=cognitif i = instrumental D

éco

uv

erte d

u c

on

nu

(

su

ou

per

çu)

Exploration Se repérer sur un quadrillage 1ère consigne : Que voit on ? Que reconnaît-on ? 2ème consigne Comment peut- on être sûr de tous regarder la même case ?

(a) Accepter la nouveauté (a) Maîtriser ses émotions (a) agir sur le document (c) conscientiser ses savoirs (i) repérer le quadrillage (i) repérer les lignes (i) les colonnes (i) les cases (i) les lettres (a) Choisir une case (c) la coder

Présenter le document : insister sur : * Le côté énigmatique * la peur engendrée * l’aspect coopératif de la démarche Organiser Lancement de séance Ecrire tout ce qui a un lien avec le lexique géométrique

Rec

her

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ind

ivid

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sen

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on

s p

rem

ière

s

Rec

her

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C

on

flit

so

cio

cog

nit

if

Expérimentation Décoder Interpréter un document 2ème consigne A quoi cela vous fait-il penser ? Qu’est ce que cela pourrait être ?

(a) Oser s’exprimer devant autrui (s) Accepter la présence des autres. (s) La prendre en compte (s) Attendre son tour (s) Ecouter les autres (s) Coopérer (c) Développer une pensée logique (c) Emettre des hypothèses (c) Les exprimer (les montrer) (c) Les reformuler (c) Les confronter (c) Débattre (c) Inférer

Rassurer Expliquer que toutes les réponses seront acceptées mais que la condition est de les expliciter : Pourquoi dis–tu cela ? Comment le sais-tu ? Organiser les prises de parole Ne pas donner de réponse mais Solliciter chacun Favoriser la dynamique de groupe Quelqu’un pense-t-il différemment ? Quelqu’un a-t-il une autre solution ? Favoriser les recherches : Donner des indices en cas d’absence de lien si ce que tu dis est vrai comment expliquer. Comment prendre en compte ce qu’a dit … dans ton explication ? intégrer les apports des élèves : exemple la numération romaine ? I = 1 : C = 100 : M= 1000 nouveau problème : et le D commencer par la case C2 = 4807 Cela évoque-t-il qqch à qqun ? puis la case E2 = 8848 Cela évoque-t-il qqch à qqun ? puis la case D3 = 5895 lien avec l’histoire

Sy

nth

èse

Réa

lisa

tio

n d

e ré

fére

nts

Explicitation Notion de décomposition Ordre sur les nombres Retour sur le document

(a) Retrouver sa case (c) Décoder sa case (i) Ecrire les décompositions des nombres ( i) Calculer ou (c) Utiliser la modélisation de lecture des grands nombres pour lire le nombre trouvé doc

Soutenir les différentes démarches Différencier : place de la manipulation et de la représentation avant le la procédure experte : le calcul Lier avec les besoins individuels

Gén

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A

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stru

it,

pen

sé Exploitation Calcul

(c) Proposer une démarche pour décoder le document en entier (i) Ecrire les décompositions des nombres de chaque case (i) Comparer les nombres, les ranger

Soutenir les différentes démarches Différencier : place de la manipulation et de la représentation avant le la procédure experte : le calcul Lier avec les besoins individuels

Extension Culture humaniste géographie

Les plus hauts sommets du monde Découverte des noms, placement sur les continents Repérage sur différents outils : planisphère, cartes, plans …

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à rêver le désordre, le complexe

 à poser les problèmes dans leur contexte

 à dominer les émotions qui leurs sont attachées,

 à en donner des représentations écrites symboliques

 à produire des hypothèses,

 à résoudre les problèmes mathématiques

 à se préparer à supporter et traiter les problèmes de la vie.

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ASPECT THEORIQUESL’approche A.C.I.M. (Activité Cognitive et Images Modélisées) articule les mathématiques et le cognitif. A cet effet, la notion de problème est mise en avant comme concept charnière associant la dimension mathématique du cognitif et la dimension cognitive des mathématiques. Le problème se révèle également un outil méthodologique privilégié pour la construction et l’organisation de connaissances, ainsi que pour la pédagogie de disciplines à composantes abstraites et symboliques.La pratique A.C.I.M. conjugue l’apprentissage de contenus notionnels précis avec l’élaboration de contenants de pensée généralisables. Cela au travers d’activités de recherche et de production incluant communication et échanges inter-individuels. L’accent mis sur les interactions entre contenants et contenus, entre cognition et métacognition vise à faire progresser simultanément :  l’acquisition de connaissances mathématiques et symboliques utilisables dans des champs d’application variés (scolaires, professionnels, personnels),  la mise en place de comportements, compétences et attitudes favorisant le traitement des problèmes au sens large.Ces deux dimensions se trouvent associées à l’exploitation d’outils de médiation appelés « Modélisations Systémiques ». Visualisant l’organisation de systèmes complexes, les Modélisations soutiennent la construction, l’organisation et la mémorisation des connaissances. Elles constituent également des supports pour l’élaboration de stratégies de communication et d’action.

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Il s’agit de mettre en oeuvre un dispositif de médiation/remédiation permettant à des enfants, des jeunes ou des adultes de réinvestir certains apprentissages, de construire de nouvelles connaissances, de communiquer à propos de leurs savoirs. Dans tous les cas, on travaille sur des champs conceptuels pluri-notionnels mettant en évidence les interactions qui donnent forme aux notions ainsi que les inter-relations qui leur donnent sens. Il devient alors possible à l’apprenant d’intérioriser des connaissances organisées perçues dans leur globalité, des connaissances ayant le statut d’outils conceptuels susceptibles de recevoir différentes contextualisations.

A cela s’associe l’entraînement à se confronter à un problème, c’est-à-dire à affronter la complexité, à se familiariser avec le désordre (intérieur et extérieur), à aborder la nouveauté, à développer des démarches cognitives pertinentes et efficientes.

En somme, l’utilisation des modélisations A.C.I.M. vise à créer un environnement autorisant la personne à retrouver confiance dans sa capacité à penser et à comprendre. Au travers de l’acquisition de connaissances - sources de reconnaissance pour l’individu - se trouve favorisé le développement d’une dynamique réflexive dans la relation que celui-ci entretient avec son environnement, son savoir et ses propres processus de pensée.