Les écoulements en charges en régime · PDF fileChapitre 2 Les écoulements en charges en régime permanent 1 Contenu du chapitre Dans un premier temps, ce chapitre définira les

Chapitre 2

Les écoulements en charges en régime permanent

1 Contenu du chapitre Dans un premier temps, ce chapitre définira les écoulements en charge puis fera un rappel des

principes de la mécanique des fluides qui s’appliquent aux écoulements en charge. On passera par

la suite les méthodes de calcul des écoulements dans le but essentiel d’en connaître les

caractéristiques hydrauliques. Pour ce faire, nous passerons en revue les moyen d’évaluer les

pertes de charge par frottement dans les conduites et dans divers composants tels que des coudes,

des jonctions ou des vannes.

Nous verrons ensuite comment établir la ligne de charge et la ligne piézométrique d’un circuit

hydraulique ce qui sera fort utile pour en calculer le comportement hydraulique. Nous étudierons

par la suite les cas des conduites en parallèle et en série. Enfin nous étudierons les méthodes de

calcul des réseaux de conduites.

2 Définitions

2.1 Écoulements en charge Les écoulements en charge sont des écoulements confinés à l’intérieur d’un contenant, en général

une conduite. La pression à l’intérieur de ces écoulements peut être de beaucoup plus élevé que la

GCI 21429 - Systèmes hydrauliques Les écoulements en charge en régime permanent

2

pression atmosphérique ou encore s’abaisser à des valeurs aussi faibles que la pression de vapeur

saturante. Même si la pression à l’intérieur de ce type d’écoulement peut atteindre la pression

atmosphérique, en aucun cas nous considérerons la présence de surface libre dans cette catégorie

d’écoulements.

2.2 Régime permanent Dans ce chapitre, on considérera systématiquement que les diverses variables hydrauliques ne

varieront pas dans le temps. Nous analyserons donc des écoulements qui sont bien établis dans le

temps et s’il est nécessaire, par exemple, de considérer la conception d’un système hydraulique

pour plusieurs débits, on les considérera donc comme des situations indépendantes dans le temps.

2.3 Régimes d’écoulement Selon la vitesse relative aux dimensions géométriques de l’écoulement on observe, à partir d’un

certain seuil l’apparition de fluctuations de la vitesse que l’on nomme turbulence. Le nombre de

Reynolds permet de déterminer si l’écoulement est laminaire (sans turbulence) ou turbulent. La

distinction entre les régimes turbulent et laminaire est importante dans la détermination du

frottement des parois sur l’écoulement. Dans le cas général, le nombre de Reynolds s’écrit :

!

Re=

VL

" 1

où :

V : vitesse moyenne de l’écoulement L :longueur caractéristique de l’environnement de l’écoulement ν : viscosité cinématique du fluide (de l’eau en hydraulique)

Dans le cas d’une conduite circulaire, on considère le diamètre intérieur de la conduite comme

longueur caractéristique, le nombre de Reynolds s’exprime donc ainsi :

!

Re

=VD

" 2

où :

D : diamètre intérieur de la conduite


3

La viscosité varie avec la température. À 15° C, ν = 1,15 × 10-6 m2/s alors à 20° C, elle baisse à

ν = 1,0 × 10-6 m2/s.

0 2 4 6 8 10 12-20

-10

0

10

20

30

40

50

Vitesse [cm

/s]

Temps [s]

Fig 1 – Composante de la vitesse mesurée au moyen d’un vélocimétre ADV (Acoustic Doppler

Velocimeter).

La figure 1.1 illustre le phénomène de la turbulence. Des mesures de la vitesse d’écoulement ont

été réalisées à un taux de 25 mesures par secondes. Pour chaque temps, on mesure les

composantes longitudinales et transversales (horizontale et verticale) de la vitesse instantanée.

L’appareil de mesure étant orienté dans le sens de l’écoulement, on observe en bleu une vitesse

de l’ordre de 30 cm/s alors que les composantes transversales sont en moyenne nulles. Si

l’écoulement avait été laminaire le graphique aurait présenté des lignes horizontales pour chaque

composante de la vitesse. Cet écoulement avait un nombre de Reynolds d’environ 37 500.


4

2.3.1 Régime laminaire

L’écoulement est laminaire, c’est-à-dire que sa vitesse ne présente pas de fluctuation, lorsque le

nombre de Reynolds des conduites circulaires est inférieur à 2500.

2.3.2 Régime turbulent

Pour un nombrée Reynolds supérieur à 2500, la turbulence commence à apparaître avant de

s’établir totalement. On verra, lors de l’étude du frottement en conduite que cette zone de régime

de transition entre le régime laminaire et le régime turbulent dépend des conditions de rugosité de

la paroi de la conduite.

3 Pertes de charge dans les conduites circulaires La charge hydraulique fait référence à la quantité d’énergie potentielle, de pression et cinétique

dans un système hydraulique sous pression. Si on ne considère pas les pertes d’énergie causées

par le frottement, la charge disponible en tout point du système doit être constante. Cette situation

est traduite par l’équation de Bernoulli :

!

p

"+ z +

V 2

2g= H = constante 3

où :

p : pression en un point du système, [F/L2] z : élévation par rapport à une référence commune à tout le système, [L] V : vitesse moyenne de l’écoulement, [L/T] g : accélération gravitationnelle, [L/T2] (9,81 m/s2) H : charge hydraulique exprimée en hauteur de liquide, [L] γ : poids spécifique, [F/L3]

Si on considère que partie de l’énergie est dissipée par frottement entre deux points d’un système

en négligeant les pertes thermiques et mécaniques présentes aussi dans le principe de

conservation d’énergie vu en mécanique des fluides, on devra compléter le niveau de charge

perdue par une perte de charge. L’équation de Bernoulli avec pertes de charge s’écrit donc :

!

p1

"+ z

1+

V1

2

2g=

p2

"+ z

2+

V2

2

2g+ #H

1$2= H = constante 4

où :


5

∆H1-2 : pression en un point du système, [L]

Les indices 1 et 2 font références à deux points dans le même système hydraulique.

En général, dans un système hydraulique, les pertes de charges ont deux causes :

• les pertes de charge par frottement le long d’un tuyau appelées aussi pertes de charge

linéaires

• les pertes de charge locales causées par des frottements dans des objets de géométrie

complexe comme des coudes, des robinets, des jonctions ou autre. On appelle aussi ce

type de perte : pertes de charge singulières.

3.1 Perte de charge par frottement Les pertes de charge par frottement sont causées par l’interaction entre le fluide en déplacement

et la paroi de la conduite plus ou moins rugueuse.

3.1.1 Expression générale

3.1.1.1 Conduite de section circulaire

En utilisant les principes de l’analyse dimensionnelle, on peut écrire une expression générale pour

les conduites circulaires :

!

"H =fL

D

V 2

2g 5

où :

f : facteur de frottement, [sans dimension] L : longueur de la conduite, [L] D : diamètre intérieur de la conduite, [L] V : vitesse moyenne de l’écoulement, [L/T] g : accélération gravitationnelle, [L/T2] (9,81 m/s2)

Le facteur de frottement dépend du niveau de turbulence de l’écoulement, donc du nombre de

Reynolds et de la rugosité relative des parois de la conduite.

La perte de charge par frottement peut aussi s’écrire en fonction du débit puisque :


6

!

Q = AV et

!

A ="D

2

4

Ainsi on obtient :

!

"H =8 fL

# 2gD5Q2 6

3.1.1.2 Conduite de section quelconque

En basant sur la définition du rayon hydraulique Rh comme étant le rapport de l’aire de la section d’écoulement A sur le périmètre mouillé P :

!

Rh

=A

P

Dans le cas d’une conduite circulaire

!

Rh

="D

2

4"D =

D

4, d’où

!

D = 4Rh. En introduisant D dans

l’expression 5, on obtient une expression applicable à une conduite de section quelconque :

!

"H =fL

4Rh

V 2

2g=

fL

8gRh

V 2 5a

Ou encore en fonction du débit :

!

"H =fL

128# 2gRh

5Q2 6a

3.1.2 Rugosité relative

La rugosité ε/D relative est le rapport des hauteurs moyennes d’aspérités ε de la paroi de la

conduite sur le diamètre D de cette conduite . Selon les matériaux utilisés pour fabriquer le tuyau,

les aspérités sont plus ou moins importantes. Lorsque que la taille des aspérités est inférieure à la

hauteur de couche limite laminaire, elles n’ont plus d’effet sur le frottement, on dit alors que le

tuyau est lisse. Dans le cas contraire, on a affaire à un tuyau rugueux.

3.1.3 Détermination du facteur de frottement

Deux méthodes principales sont utilisées pour déterminer le facteur de frottement :

• L’utilisation du diagramme de Moody


7

• Le calcul par la méthode de White-Colebrook

La première méthode est simple, rapide et peu précise. La seconde est plus compliquée mais elle

permet l’évaluation du facteur de frottement dans des méthodes de calcul utilisant des moyens

électroniques.

3.1.3.1 Diagramme de Moody

Le diagramme de Moody permet d’évaluer graphiquement le facteur de frottement f en fonction

de la vitesse d’écoulement moyenne V, du diamètre D et de la rugosité ε de la conduite et de la

viscosité du fluide ν. Ces quatre variables sont regroupées en deux nombres adimensionnels :

• La rugosité relative

!

"D

• Le nombre de Reynolds

!

Re

=VD

"

On détermine alors le régime d’écoulement. Si le régime est laminaire alors :

!

f =64

Re

Si le régime est turbulent, on choisit le point d’intersection de la courbe correspondant au

!

" D de

la conduite et au nombre de Reynolds. On projète ensuite ce point sur l’ordonnée de gauche du

diagramme pour estimer f.

3.1.3.2 Formule de White-Colebrook

La formule de White-Colebrook est utilisée pour calculer la partie turbulente du diagramme de

Moody :

!

1

f

= "2,0log10

# D

3,7+

2,51

Re

f

$

% & &

'

( ) ) 7

Cette formule implicite peut-être résolue au moyen d’une méthode de Newton-Raphson .


8

Une application en Javascript est disponible sur le site du cours.


9

Fig 2 – Diagramme de Moody


10

3.2 Pertes de charges locales Les pertes de charges locales sont causées par les frottements et les décollements de la couche

limite dans des accessoires tels que des coudes, des raccords, des té, des réductions ou

expansions, des clapets, des robinets-vannes, etc. Chaque accessoire possède un coefficient,

déterminé expérimentalement par le fabricant, qui dépend essentiellement de sa forme et de son

matériau. La perte causée par un des accessoires s’écrit :

!

"H = CL

V2

2g 8

Lorsque la géométrie de la pièce comporte une entrée et une sortie de section différente, les

vitesses d’entrée et de sortie sont différentes. Il est important de connaître par rapport à laquelle

de ces deux vitesses le coefficient CL est associé.

On peut aussi exprimer cette perte de charge en fonction du débit :

!

"H =CL

2gA2

Q2 9

Pour des sections circulaires, cela devient :

!

"H =8CL

# 2gD

4Q

2 10

Ici encore, il faut savoir à quelle section est associé CL si elles sont différentes.

On trouvera dans « A brief introduction to fluid mechanics » de Young et al., à la section 8.4.2

plusieurs exemples de valeurs de ce coefficient.

4 Diagramme d’énergie 4.1 Principes La ligne d’énergie est utilisée pour connaître la répartition des énergies potentielle, de pression,

cinétique ainsi que les pertes et les gains d’énergie le long d’un circuit hydraulique. L’énergie

totale est définie par l’équation de Bernoulli :


11

!

E =p

"+ z +

V 2

2g± #H 7

ΔH est soit une perte d’énergie (positif) ou un gain d’énergie (négatif) apporté en général par une pompe.

On trace le long du circuit à chaque point du trajet l’altitude z, la pression

!

p " , l’énergie de

vitesse

!

V2

2g et le niveau de pertes accumulé.

4.2 Exemples Ce qui suit présente quelques exemples de difficulté croissante pour mieux comprendre comment

tracer systématiquement les diagrammes d’énergie.

A

B

V2

2g

P!

P!

z

z

ligne d'énergieligne piézométrique

"H

V2

2g

Fig 3 – Conduite de diamètre constant entre deux réservoirs.


12

A

B

V2

2g

V2

2g

P!

P!

z

z

ligne d'énergie

ligne piézométrique

"H

Fig 4 – Conduites de diamètres différents entre deux réservoirs avec perte de charge locale à la

restriction.

A B

V2

2g

V2

2g

P!

P!

z z

ligne d'énergie


"H

Fig 5 – Réduction de diamètres de conduite entre deux réservoirs avec pertes de charge locales

aux changements de diamètre.


13

V2

2g

V2

2g

P!

P!

z

z

ligne d'énergie


"H

Fig 6 – Conduite et robinet-vanne entre deux réservoirs.

V2

2g

V2

2g

P!

z

z

ligne d'énergie


"H

Fig 7 – Conduite entre un réservoir et une sortie à l’air libre.


14

A

!

p

"

B

!

V2

2g

!

HA

!

z

!

HB

Fig 8 – Conduites et coudes entre deux réservoirs

A C

!

V2

2g

!

p

"

!

z Pompe

!

#HA$B

!

#HB$C

!

V2

2g

!

HA

!

HC

!

HC $HA

!

p

"

Fig 9 – Conduites et pompe entre deux réservoirs


15

4.3 Calculs hydrauliques Dans les exemples précédents, il faut calculer les pertes de charge et le débits pour pouvoir

évaluer les pressions ainsi que les énergies cinétiques

4.3.1 Conduite de diamètre constant entre deux réservoirs

Dans cette configuration, on peut évaluer le débit qui passe d’un réservoir à l’autre en utilisant

l’équation de Bernoulli (eq.3). Sachant que la charge dans le réservoir du côté A est :

!

EA =PA

"+ zA +

VA

2

2g= HA

et que, pareillement pour le côté B :

!

EB =PB

"+ zB +

VB

2

2g= HB

en tenant compte des pertes de charge, on obtient :

H A! H

B= "H

La perte de charge totale étant causée par le frottement dans la conduite si on néglige les pertes

locales aux entrée et sortie des réservoirs, donc :

!

"H =fL

D

V 2

2g=

8 fL

# 2gD5Q2

La perte de charge totale étant égale à la différence de niveau entre les réservoirs, seul le débit est

inconnu :

!

Q = "g HA # HB( )

8f L

D5

4.3.2 Conduites de diamètres différents entre deux réservoirs avec perte de charge locale à la restriction

Deux aspects sont à considérer :


16

• Le même débit traverse les deux conduites.

• La perte de charge totale est égale à la différence de niveau entre les réservoirs et elle est

composée de la perte par frottement dans la première conduite de longueur L1 et diamètre

D1, de la perte par frottement dans la deuxième conduite de longueur L2 et diamètre D2 et

de la perte singulière dans le rétrécissement

On peut donc écrire :

!

"H =8

# 2g

f L1

D1

5+

f L2

D2

5+

CL

D2

4

$

% & &

'

( ) ) Q

2

d’où :

!

Q = "g HA # HB( )

8f L

1

D1

5+

f L2

D2

5+

CL

D2

4

$

% & &

'

( ) )

4.3.3 Réduction de diamètres de conduite entre deux réservoirs avec pertes de charge locales aux changements de diamètre

En raisonnant de la même façon que précédemment, on trouve :

!

"H =8

# 2g

f L1

D1

5+

f L2

D2

5+

f L3

D3

5+

CL1

D2

4+

CL2

D3

4

$

% & &

'

( ) ) Q

2

d’où :

!

Q ="

D2

g HA # HB( )

8f L

1

D1

+f L

2

D2

+f L

3

D3

+ CL2+ CL3

$

% &

'

( )

4.3.4 Conduite et robinet-vanne entre deux réservoirs

Dans un robinet – vanne, le coefficient de perte de charge locale CL varie de près de zéro à

l’infini, d’où :


17

!

Q = "g HA # HB( )

8f L

D5+

CL

D4

$

% &

'

( )

4.3.5 Conduite entre un réservoir et une sortie à l’air libre

Ici puisque l’écoulement sort en B à la pression atmosphérique, PB = 0 et VB est inconnu (comme

on n’arrive pas dans un réservoir dont le niveau est connu, le niveau de charge nette est inconnu).

On écrit alors :

!

HA " zB +VB

2

2g

#

$ %

&

' ( = )H

En posant :

!

V2

=Q

2

A2

avec, pour une conduite circulaire :

!

A =" D

2

4

Il vient :

!

HA " zB =8

# 2g D41+

f L

D

$

% &

'

( ) Q

2

finalement :

!

Q = " Dg HA # zB( )

8 1+f L

D

$

% &

'

( )

4.3.6 Conduites et coudes entre deux réservoirs

Ici on considère le diamètre constant et on regroupe en L toutes les longueurs de conduites. On

obtient alors, en raisonnant comme précédemment :


18

!

Q ="

D2

g HA # HB( )

8f L

D+ CL1

+ CL2

$

% &

'

( )

4.3.7 Conduites et pompe entre deux réservoirs

La pompe apporte un supplément d’énergie que l’on peut voir comme une perte de charge

négative. En écrivant l’équation de Bernoulli aux deux réservoirs, il vient :

!

PA

"+ zA

H A

1 2 3

+VA

2

2g

0

{

=PB

"+ zB

HB

1 2 3

+VB

2

2g

0

{

+ #HAB $#HP + #HBC

En simplifiant, on obtient :

!

"H = HA # HB =fL

D

V 2

2gAB

#"HP +fL

D

V 2

2gBC

Le gain de charge ΔHP varie en fonction du débit selon une courbe décroissante dont l’allure est

donnée à la figure 10.

Q

!HP

H0

Fig. 10 – Courbe de pompe.

En général, on approxime la courbe de pompe par une fonction parabolique du type :

!

"HP = H0

+ BQ + CQ2


19

En regroupant les longueurs de conduites si elles sont de mêmes diamètres, on écrit :

!

"H = HA # HB =8 fL

$ 2gD5Q2

# H0

+ BQ + CQ2( ) = RQ2# H

0+ BQ + CQ2( )

En regroupant les facteurs, on obtient le polynôme quadratique suivant :

!

R "C( )Q2" BQ " H

0+ HA " HB( ) = 0

dont la solution est :

!

Q =B ± B

2 + 4 R " c( ) H0

+ HA " HB( )2 R "C( )

Il faudra, bien entendu, choisir la solution physiquement acceptable, c’est-à-dire celle qui

correspond à un point sur la courbe de pompe.

5 Principes de base du calcul de systèmes hydrauliques complexes

Des exemples précédents, on constate que :

• le débit entrant dans un réservoir est le même que celui qui en sort ainsi que celui qui

coule dans la conduite qui relie les deux réservoirs;

• l’équilibre de l’écoulement, c’est-à-dire le régime permanent, est atteint lorsque la perte

de charge devient égale à la charge hydraulique disponible.

La première constatation découle du principe de conservation de la masse pour un fluide

incompressible, ce que nous appellerons un principe de continuité des débits.

La seconde constatation provient du principe général de conservation de l’énergie qui stipule que

l’énergie perdue ou consommée doit être égale à l’énergie disponible.

5.1 Mise en situation Nous verrons ici comment appliquer ces deux principes pour analyser des systèmes plus

complexes que les précédents.


20

Considérons l’exemple suivant :

HR

QRQ1 Q3

Q2

Qv1

Qv2

zv2

zv1

1 3

2

Fig. 11 – Écoulement en conduites vers deux vannes.

Examinons le principe de continuité; le débit sortant du réservoir se sépare en deux débits, pas

nécessairement égaux, au niveau de la bifurcation. Comme il y a continuité des débits, il faut

que :

!

QR = Qv1+ Qv2

ou encore :

!

QR "Qv1"Qv2

= 0

Nous avons ici trois inconnues car les débits vont dépendre de la hauteur d’eau dans le réservoir

ainsi que des élévations des vannes.

Voyons le principe de conservation de l’énergie; en régime permanent, on doit avoir équilibre

entre les pertes de charge et la charge disponible. En utilisant l’équation d’énergie de Bernoulli,

écrivons deux relations entre le réservoir et les sorties aux vannes que nous considérerons

ouvertes à 100% et en négligeant les pertes de charge locales :

!

pR

"+ zR

HR

1 2 4 3 4

+VR

2

2g

0

{

=pv1

"

0

{

+ zv1+

Vv1

2

2g+ #HR1


21

!

pR

"+ zR

HR

1 2 4 3 4

+VR

2

2g

0

{

=pv2

"

0

{

+ zv2+

Vv2

2

2g+ #HR2

où ΔHR1 et ΔHR2 sont les pertes de charges accumulées respectivement du réservoir jusqu’à la

vanne 1 et du réservoir jusqu’à la vanne 2. En simplifiant on obtient :

!

HR " zv1=

Vv1

2

2g+ #HR1

HR " zv2=

Vv2

2

2g+ #HR2

Exprimons maintenant les termes d’énergie cinétique et les pertes en fonction des débits Q1, Q2 et

Q3 :

!

HR " zv1=

8 fL1

# 2gD1

5Q

1

2+

8 fL2

# 2gD2

5Q

2

2+

8

# 2gD2

4Q

2

2

HR " zv2=

8 fL1

# 2gD1

5Q

1

2+

8 fL3

# 2gD3

5Q

3

2+

8

# 2gD3

4Q

3

2

Finalement, en regroupant les facteurs de Q1, Q2 et Q3, on obtient :

!

HR " zv1= R

1Q

1

2+ R

2Q

2

2

HR " zv2= R

1Q

1

2+ R

3Q

3

2

où

!

R1

=8 fL

1

" 2gD1

5,

!

R2

=8

" 2gD2

4

fL2

D2

+1

#

$ %

&

' ( et

!

R3

=8

" 2gD3

4

fL3

D3

+1

#

$ %

&

' ( .

De façon générale, les résistances Ri peuvent inclure, outre les effets du frottement sur la paroi de

la conduite, les résistances causées localement et associées au débit Qi, soit :

!

Ri =8

" 2gDi

41

sortie à # l air libre

{ + CL$pertes locales

1 2 3 +

fLi

Di

pertes par frottement

{

%

&

' ' '

(

)

* * *

Nous obtenons donc, grâce à l’application du principe de continuité des débits et de la

conservation de l’énergie un système de trois équations à trois inconnues :


22

!

Q1"Q

2"Q

3= 0

R1Q

1

2+ R

2Q

2

2= HR " zv1

R1Q

1

2+ R

3Q

3

2= HR " zv2

Ce système d’équations est non linéaire et il n’est pas possible de le résoudre tel quel. Pour

obtenir une solution, il est nécessaire de le linéariser puis d’utiliser une méthode itérative.

Il est important ici de conserver le signe du débit en appliquant la relation suivante :

!

RiQi

2= Ri Q

0i Qi

Les étapes de cette méthode sont :

1) Choisir une solution initiale Q0i quelconque, soit ici Q01, Q02 et Q03.

2) Écrire le système linéarisé :

!

Q1"Q

2"Q

3= 0

R1Q

01Q

1+ R

2Q

02Q

2= HR " zv1

R1Q

01Q

1+ R

3Q

03Q

3= HR " zv2

3) Résoudre pour trouver une estimation de Q1, Q2 et Q3.

4) Calculer une norme de convergence, par exemple

!

Qi "Q0i#

5) Comparer la norme avec une précision acceptable, si elle est atteinte on arrête sinon on

continue à l’étape suivante :

6) Calculer de nouvelles valeurs de Q01, Q02 et Q03 en faisant la moyenne des valeurs des

deux ensembles précédents :

!

Q0i = Q

0i + Qi( ) 2

7) Retourner à l’étape 2)

Une feuille Excel, disponible sur le site du cours, illustre cette méthode.


23

À partir de cet exemple, on constate que l’application de la continuité des débits et l’équilibre des

pertes de charge avec les différences de charge disponible permet de décrire complètement le

comportement du système hydraulique sous pression.

Voyons encore deux exemples :

A

B

C

1

2

3

Continuité à la jonction

!

Q1"Q

2"Q

3= 0

Équilibre entre les pertes de charge et les différences de charge disponibles de A vers B et de A

vers C.

!

HA " HB = R1Q

1

2+ R

2Q

2

2

HA " HC = R1Q

1

2+ R

3Q

3

2

Ce n’est pas la seule façon de voir le problème, si les sens des débits sont différents, il faut en

tenir compte dans l’écriture des équations de continuité et d’équilibre des pertes de charge :


24

A

B

C

1

2

3


!

Q1

+ Q2"Q

3= 0

Équilibre entre les pertes de charge et les différences de charge disponibles de A vers C et de B

vers C.

!

HA " HC = R1Q

1

2+ R

3Q

3

2

HB " HC = R2Q

2

2+ R

3Q

3

2

Voici un exemple où l’on introduit les débits entrant et sortant des réservoirs comme inconnues

en plus des débits dans les conduites :

A B

C

1

2

3



25

!

QA "Q1"Q

2= 0

QB + Q1"Q

3= 0

Q2

+ Q3"QC = 0

Équilibre entre les pertes de charge et les différences de charge disponibles de A vers B, de B

vers C et de A vers C :

!

HA " HB = R1Q

1

2

HB " HC = R3Q

3

2

HA " HC = R2Q

2

2

5.2 Formulation générale Voici les définitions et les règles à appliquer à l’analyse d’un circuit hydraulique :

1) Dans un circuit hydraulique, les points de jonctions sont appelés NŒUDS.

2) On établi des liens entre les différentes charges connues dans le circuit (niveau de

réservoir) de façon à pouvoir exprimer une différence de charge sur ces liens. Si R est le

nombre de réservoirs, le nombre de liens sera R-1.

3) On définit comme MAILLES, les circuits fermés du système, y compris ceux formés par

les liens entre les réservoirs

4) On écrit pour chaque nœud la continuité.des débits en tenant compte du signe des débits

aux nœuds :

!

"N QN

N = i, j,kK

# = 0

N est le numéro des débits connectés à un nœud et ε représente le signe du débit et vaut –1

ou 1.

La convention de signe peut être :


26

-

-

+

et doit être conservée pour tous les noeuds

5) Pour chaque maille, on exprime la conservation de l’énergie en faisant la somme

algébrique (positif dans le sens du débit et négatif en sens inverse) tel que :

!

"M #HM = 0

M = i, j,kK

$

M est le numéro des débits le long du parcours de la maille et ε représente le signe du

débit et vaut –1 ou 1.

La convention de signe peut être :

-

-

+

+

et doit être conservée pour tous les nœuds.

6) Dans les équations de mailles, on remplace les pertes de charge par une fonction du débit,

pour les conduites, on écrit :

7)

!

"Hi = RiQi

2

8) On vérifie que l’on a autant d’inconnues que d’équations. Si on a trop d’équations, en

général, c’est qu’il y a une équation de continuité redondante. Il suffit d’en éliminer une.


27

9) On applique une méthode de résolution itérative.

EXEMPLE :

A

B

C

D

1

2

3

4

5

I

II

III

Continuité des débits aux nœuds :

Nœuds Équations

A

!

QA "Q1"Q

2= 0

B

!

Q1"Q

3"Q

4= 0

C

!

Q2

+ Q3"Q

5= 0

D

!

Q4

+ Q5"QD = 0

Équilibre des pertes de charge sur les mailles :

Mailles Équations

I

!

"#H1+ #H

2"#H

3= 0

II

!

"H3#"H

4+ "H

5= 0

III

!

"H1

+ "H4# H

A# H

D( ) = 0


28

Les équations sur les mailles peuvent s’écrire en fonction du débit en introduisant la relation qui

relie le débit à la perte de charge :

Mailles Équations

I

!

"R1Q

1

2+ R

2Q

2

2" R

3Q

3

2= 0

II

!

R3Q

3

2" R

4Q

4

2+ R

5Q

5

2= 0

III

!

R1Q

1

2 + R4Q

4

2" HA " HD( ) = 0

Ici nous avons 7 inconnues et 7 équations.

5.3 Vérification du nombre d’équations Pour un réseau maillé uniquement composé de conduites, il existe une relation, issue de la théorie

des graphes, qui permet de déterminer rigoureusement le nombre d’équations nécessaires et

suffisant pour résoudre le système. Cette relation s’écrit :

!

C = M + N "1 8

où :

C = nombre de conduites (ou d’éléments hydrauliques entre deux nœuds)

M = nombre de mailles (boucles fermées)

N = nombre de nœuds (points de jonctions)

Dans la théorie des graphes, C est appelé « nombre cyclomatique » et sa définition n’est valide

que pour un graphe plan.

On peut donc écrire, un système de N - 1 équations de nœuds et M équations de mailles pour

calculer les C débits des conduites.

Dans l’exemple précédent, si on élimine les réservoirs ainsi que le lien entre ces derniers, il

subsiste 4 nœuds et 2 mailles, on a donc 4 + 2 – 1 = 5 conduites.

Si le réseau contient d’autres éléments (réservoirs, pompes, surpresseurs, réducteurs de pression,

clapets, etc.) chaque élément doivent comporter deux nœuds. Ainsi, l’exemple précédent peut se

redessiner ainsi :


29

Nous observons 3 mailles et 6 nœuds le système comporte donc 8 éléments répartis comme suit :

cinq conduites avec une relation perte de charge – débit

!

"Hi = RiQi

2

deux réservoirs avec une relation perte de charge – débit

!

"Hi= 0 . Les réservoirs

transforment du volume en débit ils comportent donc un nœud de débit nul (nœud de tête)

et un nœud de débit entrant ou sortant du réservoir (nœud de queue). Le nœud de tête doit

être connecté un lien piézométrique et le nœud de queue doit être connecté aux conduites.

un lien piézométrique avec une relation perte de charge

!

"Hi = H j # Hk , où Hj est la

charge du nœud d’origine du lien et Hk est la charge du nœud d’extrémité du lien. Il n’y a

pas de débit dans ce lien.

Ainsi la mise en équations pourra s’écrire :

Continuité des débits aux nœuds :

Nœuds Équations

A

!

Q8"Q

1"Q

2= 0

B

!

Q1"Q

3"Q

4= 0

C

!

Q2

+ Q3"Q

5= 0


30

D

!

Q4

+ Q5"Q

6= 0

E

!

Q7

= 0

F

!

Q7

= 0

Équilibre des pertes de charge sur les mailles :

Mailles Équations

I

!

"#H1+ #H

2"#H

3= 0

II

!

"H3#"H

4+ "H

5= 0

III

!

"H1

+ "H4#"H

6

0

{# H

A# H

D( ) + "H8

0

{= 0

5.4 Antennes et réseaux ramifiés Une antenne est une branche d’un réseau dont un des nœuds n’est pas connecté. Le débit doit être

connu à ce nœud. Si ce nœud est une sortie à l’air libre, ce ne peut pas être considéré comme

l’extrémité d’une antenne mais plutôt une connexion à un réservoir dont la hauteur piézométrique

est égal à l’élévation de la sortie. Ce réservoir doit être connecté à un autre par un lien

piézométrique.

Un réseau ramifié est un réseau dont chaque nœud n’est connecté qu’à deux éléments et se

terminant par des antennes. Il ne comporte pas de mailles et seules les équations de nœuds

(continuité) sont utilisées pour le calculer.

5.5 Méthode de résolutions Ici on présentera deux méthodes de résolutions couramment utilisées dans les logiciels de calcul

hydraulique, soit les méthodes directes et la méthode matricielle par mailles.

5.5.1 Méthodes directes

5.5.1.1 Méthode des débits

Cette méthode est assez simple en ce qui concerne la mise en équations. En effet, il suffit d’écrire

autant d’équations conservation de débit ou d’énergie qu’il y a de débits dans les éléments du

réseau.


31

Dans un réseau maillé, on peut écrire la relation :

C = M + N !1

On peut donc écrire, un système de N - 1 équations de nœuds et M équations de mailles pour

calculer des C débits:

!

"1,1

L "1,C

M M

"N #1,1L "N ,C

"R Qn#1$

% & '

( )

1,1

L "R Qn#1$

% & '

( )

1,C

M M

"R Qn#1$

% & '

( )

M ,1

L "R Qn#1$

% & '

( )

M ,C

*

+

, , , , , , , , , , , , ,

-

.

/ / / / / / / / / / / / /

Q1

M

M

M

M

QC

0

1

2 2 2

3

2 2 2

4

5

2 2 2

6

2 2 2

=

q1

M

qN #1

h1

M

hM

0

1

2 2 2

3

2 2 2

4

5

2 2 2

6

2 2 2

9

• Les N-1 premières lignes de la matrice contiennent les signes εi,j relatifs au iième nœud et à

la jième conduite. Pour les conduites non connectées à un nœud, ε est nul.

• Les M dernières lignes de la matrice contiennent les termes signés ! R Q

n"1# $

% &

i, j

relatifs à

la iième maille et à la jième conduite. Pour les conduites non participantes à une maille, ε est

nul.

• Les débits de consommation imposés aux nœuds qi sont placés dans la première partie du

membre de droite.

• Les pertes et gains de charge constants hi attribués à la présence de réservoirs ou de

pompes sont placés dans la dernière partie du membre de droite.

• La seconde partie de la matrice contient des débits qui ne sont pas encore connus. On les

remplace par des débits quelconques Q0 qui sont sans rapport avec la loi des nœuds. On

calcule alors une première estimation du débit Q avec ces débits Q0 arbitraires puis on

améliore la solution en procédant à des itérations.


32

• Pour améliorer la convergence, chaque Q0 pour l'itération suivante se calcule comme la

moyenne du débit Q calculé à l’itération précédente et du débit Q0 précédent.

Q0

(i+1)=

Q( i ) +Q0

( i)

2

Cette technique assure une convergence efficace mais relativement lente. Une autre technique de

résolution a donc été proposée. Elle est basée sur l’application de la méthode de Newton-Raphson

au système 5.18. Cette méthode a été programmé dans le logiciel CASH1. Les essais poursuivis

jusqu'à maintenant ont prouvé, hors de tout doute, la supériorité de la stabilité de ce schéma

numérique par rapport aux méthodes précédentes.

EXEMPLE

Construisons le système matriciel en supposant que les coefficients de résistance R de chaque

conduite sont connus.

1 2

3

4

5

1

2

4

3

5

6

q5

q4

q3

q2

q1

I

II

Il n’est pas nécessaire de choisir des Q0 cohérents, il suffit de leur donner une valeur initiale quelconque mais différente de zéro. On utilise le système 9 pour construire la matrice et le membre de droite :


33

!

"1 "1 0 0 0 0

1 0 "1 "1 0 0

0 1 1 0 "1 0

0 0 0 1 0 "1

"R1Q

0,1

n"1

R2Q

0,2

n"1

"R3Q

0,3

n"1

0 0 0

0 0 R3Q

0,3

n"1

"R4Q

0,4

n"1

R5Q

0,5

n"1

"R6Q

0,6

n"1

#

$

% % % % % % % %

&

'

( ( ( ( ( ( ( (

Q1

Q2

Q3

Q4

Q5

Q6

)

*

+ + +

,

+ + +

-

.

+ + +

/

+ + +

=

"q1

q2

q3

q4

0

0

)

*

+ + +

,

+ + +

-

.

+ + +

/

+ + +

On remplace les Q0,i par les moyennes des Qi et Q0,i précédent et on recommence jusqu’à ce que

les valeurs du débit se stabilisent.


34

5.5.1.2 Méthode des charges

Cette méthode consiste à écrire un système d’équations composé des N équations de nœuds.

Comme il y a C débits inconnus dans ces équations, on remplace les débits par la relation qui

relie le débit à la perte de charge (éq. 5.8) dans laquelle on remplace explicitement la perte de

charge par la différence de deux charges nodales. On obtient donc N inconnues. Il n’est plus

possible, comme dans le cas précédent, de linéariser facilement le système et il est nécessaire

d’utiliser la méthode de Newton-Raphson.

Pour chaque nœud i, il faut alors écrire une équation de ce type :

!

m Ki, N Hi " HN

m"1

N = j,k ,K

#$

% & &

'

( ) ) *Hi "m Ki, j Hi " H j

m"1

*H j "m Ki,k Hi " Hk

m"1

*Hk "K

= " +N Ki, N Hi " HN

m

N = j,k ,K

# + +iqi

$

% & &

'

( ) )

Cette méthode converge bien, la principale difficulté de sa mise en œuvre surgit lors de

l’introduction d’éléments hydrauliques comme des pompes.

5.5.2 Méthode matricielle par mailles

C'est une méthode itérative matricielle qui permet de repartir sur l'ensemble du réseau les

corrections ∆Q pour obtenir l'équilibre des pertes de charge (loi des mailles) à partir de débits

initiaux Q0 choisis en fonction de la loi des nœuds.

• On écrit le système d'équations non linéaires à partir de la loi des mailles auquel on

applique la méthode de Newton-Raphson (voir encadré théorique) pour chaque maille:

nRMQ0, M

n!1"QM( ) = !

M = i, j,k K

# $M RMQ0, M

n

M = i, j,k K

# 10

M est l'indice des conduites participant à une maille.

• On obtient donc autant d’équations qu’il y a de mailles et on a une inconnue par

conduite. Généralement le nombre de conduites est plus grand que le nombre de


35

mailles. Il est donc nécessaire, pour résoudre le problème, de réduire le nombre

d’inconnue.

• Comme une conduite peut appartenir à au plus deux mailles, la réduction du nombre

d'inconnues se fait en sachant qu'une conduite participant à deux mailles subit les

corrections de chacune de ces mailles adjacentes :

!QM = !QA - !QB 11

• Cela revient à faire un changement de variables dans lequel chaque correction de débit

appliquée à une conduite M est remplacée par la différence de corrections appliquées

aux mailles A et B communes à la conduite M. Si une conduite n’appartient qu’à une

maille, on lui attribue seulement la correction de cette maille. Le nombre d’inconnues

devient donc égal au nombre de mailles et la résolution est alors possible.

• Par exemple, pour une maille A adjacente aux mailles B et C, la relation (5.11)

devient :

nRMQ0, M

n!1

M = i, j, kK

"#

$ %

&

' ( )QA ! nRABQ

0, AB

n!1 ! nRACQ0, AC

n!1= ! *M RMQ

0, M

n

M = i, j, kK

"

• Où les indices AB et AC réfèrent aux conduites communes respectivement aux mailles

A et B puis aux mailles A et C.

• En pratique, le système est organisé sous forme matricielle, en tenant compte que les

sens des débits ne seront pas mis à jour et que le débit gardera son signe, de la façon

suivante :

!

nR Q0

n"1

A

# " nR Q0

n"1$ % & '

( )

AB

L " nR Q0

n"1$ % & '

( )

AM

" nR Q0

n"1$ % & '

( )

BA

nR Q0

n"1

B

# M

M O M

" nR Q0

n"1$ % & '

( )

MA

L L nR Q0

n"1

M

#

*

+

, , , , , , ,

-

.

/ / / / / / /

0QA

0QB

M

0QM

1

2

3 3

4

3 3

5

6

3 3

7

3 3

= "

8 R Q0

n"1

Q0

A

#

8 R Q0

n"1

Q0

B

#

M

8 R Q0

n"1

Q0

M

#

1

2

3 3 3

4

3 3 3

5

6

3 3 3

7

3 3 3

12

• On résout ce système pour obtenir le vecteur des corrections de débits.


36

• On applique les corrections !Q de chaque maille aux débits des conduites constituant

la maille en tenant compte du signe :

QM =Q0, M + !A"Q + ! A"Q

• On remplace Q0 par Q et l’on continue d'appliquer le processus de correction jusqu'à

ce que la loi des mailles soit respectée avec une précision suffisante sur toutes les

mailles


37

EXEMPLE

Construisons le système matriciel en supposant que les coefficients de résistance R de chaque

conduite sont connus.

1 2

3

4

5

1

2

4

3

5

6

q5

q4

q3

q2

q1

I

II

Dans un premier temps, il faut calculer des débits initiaux satisfaisant la loi des nœuds :

Q0,1= q

12

Q0,2= q

12

Q0,3= q

3!Q

0,2

Q0, 4= Q

0,1!Q

0,3! q

2

Q0,5=Q

0,2+Q

0,3! q

3

Q0,6=Q

0, 4! q

4


38

On utilise le système 12 pour construire la matrice et le membre de droite :

!

nR

1Q

0,1

n"1

+ R2

Q0,2

n"1

+R3

Q0,3

n"1

#

$

% %

&

'

( (

"nR3

Q0,3

n"1

"nR3

Q0,3

n"1

nR

3Q

0,3

n"1

+ R4

Q0,4

n"1

+R5

Q0,5

n"1

+ R6

Q0,6

n"1

#

$

% %

&

'

( (

)

*

+ + + + + + +

,

-

.

.

.

.

.

.

.

/QI

/QII

0 1 2

3 4 5

=

""R

1Q

0,1

n"1

Q0,1

+ R2

Q0,2

n"1

Q0,2" R

3Q

0,3

n"1

Q0,3

R3

Q0,3

n"1

Q0,3" R

4Q

0,4

n"1

Q0,4

+ R5

Q0,5

n"1

Q0,5" R

6Q

0,6

n"1

Q0,6

0

1 6

2 6

3

4 6

5 6

On applique les corrections en tenant compte des signes :

Q1= Q

0,1! "Q

I

Q2= Q

0,2+ "Q

I

Q3= Q

0,3! "Q

I+ "Q

II

Q4=Q

0, 4! "Q

II

Q5= Q

0,5+ "Q

II

Q6= Q

0,6! "Q

II

On remplace les Q0,i par les Qi et on recommence jusqu’à ce que le membre de droite s’approche

de zéro


39

Aspects théoriques des méthodes de résolution

Dans la méthode de correction par mailles, on désire que pour chaque maille, la somme

algébrique des pertes de charges s’annule :

!M hM = 0M = i, j,k K

"

On doit donc écrire M équations de ce type, avec M, le nombre de mailles du réseau.

Comme on connaît les C débits initiaux Q0 satisfaisant la loi des nœuds et la relation qui lie le

débit à la perte de charge, on peut écrire les M équations précédentes sous la forme suivante :

!M RM Q0, M + !M"QM( )

n

= 0M = i, j,k K

#

Ce qui signifie que l’on doit déterminer les corrections !QM , pour chaque conduite qui doivent

être appliquées aux débits initiaux Q0 de telle sorte que l’ensemble de ces expressions s’annule.

Pour réussir à résoudre ce problème nous devons développer chaque équation en série de Taylor

en considérant qu’elles sont fonctions de plusieurs variables indépendantes, c’est-à-dire les

corrections de débit à appliquer à chaque conduite :

!M RM Q0, M + !M"QM( )

n

=M = i, j,k K

# !M RMQ0, M

n+

M = i, j, kK

# !M"QM

$

$Q0, M

!M RMQ0, M

n( ) = 0M =i, j,k K

#

!M RM Q0, M + !M"QM( )

n

=M = i, j,k K

# !M RMQ0, M

n+

M = i, j, kK

# !M"QM !M RMnQ0, M

n$1( ) = 0M =i, j,k K

#

Sachant que !M

2

=1, on obtient finalement pour chaque maille :

nRMQ0, M

n!1"QM( ) = ! #M RMQ

0, M

n

M = i, j,k K

$M = i, j,k K

$

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Les écoulements en charges en régime · PDF fileChapitre 2 Les écoulements en charges en régime permanent 1 Contenu du chapitre Dans un premier temps, ce chapitre définira les