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__________________________ Probabilités Chapitre1 Page 1 Probabilités. Chapitre 1. Les dénombrements. I Les ensembles. On considère un ensemble E et A, B, C des parties de E. 1 Quelques opérations sur les parties d'un ensemble. L'union ou la réunion AB ABC L'intersection AB ABC Le complément La différence A - B La différence symétrique AB 2 Les indicatrices des parties d’un ensemble. L’indicatrice d’une partie A de E est l’application 1 A de E dans {0,1} ainsi définie : (2200xA) 1 A (x) = 1 ; (2200xA ) 1 A (x) = 0. Toute application de E dans {0,1} est indicatrice d’une partie de E et d’une seule. * Exercice : Reconnaître chacune des parties grisées que voici et donner son indicatrice en fonction de 1 A , 1 B , 1 C :

Les dénombrements. I Les ensembles. On considère un ... · On considère un ensemble E et A, B, C des parties de E. 1 Quelques opérations sur les parties d'un ensemble. L'union

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Page 1: Les dénombrements. I Les ensembles. On considère un ... · On considère un ensemble E et A, B, C des parties de E. 1 Quelques opérations sur les parties d'un ensemble. L'union

__________________________ Probabilités Chapitre1 Page 1

Probabilités. Chapitre 1.

Les dénombrements.

I Les ensembles. On considère un ensemble E et A, B, C des parties de E.

1 Quelques opérations sur les parties d'un ensemble.

L'union ou la réunion

A∪B A∪B∪C

L'intersection

A∩B A∩B∩C

Le complément

La différence

A - B

La différence symétrique

A∆B

2 Les indicatrices des parties d’un ensemble.

L’indicatrice d’une partie A de E est l’application 1A de E dans {0,1} ainsi définie :

(∀x∈A) 1A(x) = 1 ; (∀x∈A ) 1A(x) = 0. Toute application de E dans {0,1} est indicatrice d’une partie de E et d’une seule. * Exercice : Reconnaître chacune des parties grisées que voici et donner son indicatrice en fonction de 1A, 1B, 1C :

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3 Un lien entre les ensembles et la logique. On considère un élément x de l'ensemble E. Si l'on désigne par a la proposition : x∈A (x appartient à A) et par b la proposition : x∈B, on peut établir les correspondances suivantes : (Tableau à compléter.)

Partie de E Indicatrice Commentaire Proposition logique

A 1A a

B 1B b

C 1C c

A 1 – 1A négation רa

A ∪ B 1A + 1B – 1A1B ou inclusif (disjonction) a ∨ b

A ∩ B 1A1B et (conjonction) a ∧ b

A ⊂ B 1A ≤ 1B implication a ⇒ b

A = B 1A = 1B équivalence a ⇔ b

A ∆ B 1A + 1B – 2 1A1B ou exclusif (a ∧ רb) ∨ ( רa ∧ b)

A = A 1 – (1 – 1A) = 1A ררa = a

A B∪ = A∩ B 1 – (1A + 1B – 1A1B) =

(1 – 1A)( 1 – 1B) Loi de DE MORGAN ר(a ∨ b) = רa ∧ רb

A B∩ = A∪B 1 – 1A1B =

(1 – 1A) + (1 – 1B) – (1 – 1A)(1 – 1B)

Loi de DE MORGAN ר(a ∧ b) = רa ∨ רb

A ∪ A = A 1A + 1A – 1A1A = 1A a ∨ a = a

A ∩ A = A 1A1A = 1A a ∧ a = a

A∪(B∪C) = (A∪B)∪C

1A+(1B + 1C – 1B1C) – 1A(1B + 1C – 1B1C) = 1A + 1B – 1A1B + 1C –

(1A + 1B – 1A1B)1C

L'union est associative a ∨ (b ∨ c) = (a ∨ b) ∨ c

A ∩ (B∩C) = (A∩B) ∩C 1A(1B1C) = (1A1B)1C L'intersection est associative a ∧ (b ∧ c) = (a ∧ b) ∧ c

A ∩ (B∪C) = (A∩B) ∪ (A∩C)

1A(1B + 1C – 1B1C) = 1A1B + 1A1C - 1A1B1A1C

L'intersection est distributive sur l'union

a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)

A ∪ (B∩C) = (A∪B) ∩ (A∪C)

1A+1B1C – 1A1B1C = (1A + 1B – 1A1B) ( 1A + 1C – 1A1C)

L'union est distributive sur l'intersection

a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)

* Exercice : Dresser la table de vérité associée à chaque proposition du tableau ci-dessus. * Exercice : A l'aide exclusive de l'union et du complément, exprimer A ∩ B, A – B et A ∆ B. A l'aide exclusive de l'intersection et du complément, exprimer A ∪ B, A – B et A ∆ B.

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__________________________ Probabilités Chapitre1 Page 3

4 Le vocabulaire ensembliste.

Les éléments x de E appartiennent à E. On note : x∈∈∈∈E. La négation est : x∉∉∉∉E. Toute partie A de E est incluse dans E. On note : A⊂⊂⊂⊂E. La partie vide de E, qui ne contient aucun élément, est notée :∅∅∅∅. Les parties propres de E sont les parties de E autres que ∅ et E. Deux parties de E sont disjointes si leur intersection est vide. Il est possible de définir l'union d'une famille finie ou infinie de parties de E : c'est l'ensemble des x de E qui appartiennent à au moins une des parties de la famille. Il est possible de définir l'intersection d'une famille finie ou infinie de parties de E : c'est l'ensemble des x qui appartiennent à toutes les parties de la famille. Plusieurs parties de E constituent un recouvrement de E si leur réunion est E. Plusieurs parties de E constituent une partition de E si elles constituent un recouvrement de E

et si, de plus, elles sont deux à deux disjointes.

L'ensemble des parties de E est noté PPPP (E). P (E) n'est jamais vide puisqu'il contient au moins ∅ et E (éventuellement confondus).

* Exercice : Faire l'inventaire des parties de l'ensemble {1,2,3,4}. Le produit cartésien de deux parties A et B de E est l'ensemble des couples (x, y) ou x est élément de A et y est élément de B. Il est noté A×B. Par exemple, si A = {1, 2, 3} et si B ={t, u} alors le produit cartésien A×B peut être représenté par le tableau :

A×B t u 1 (1, t) (1, u) 2 (2, t) (2, u) 3 (3, t) (3, u)

Le produit cartésien B×A est différent. Il est représenté par le tableau :

B×A 1 2 3 t (t, 1) (t, 2) (t, 3) u (u, 1) (u, 2) (u, 3)

On peut définir le produit cartésien de plus de 2 ensembles. Par exemple le produit cartésien A×B×C de 3 parties de E est l'ensemble des triplets (x, y, z) tels que x appartienne à A, y à B et z à C. La représentation en tableau à deux entrées n'est plus possible. Dans tous les cas, l'ordre importe. L’expression « Produit cartésien » rappelle que : si les ensembles A et B possèdent respectivement n et p éléments, alors l'ensemble A×B possède np éléments.

(Le produit cartésien existe même si les ensembles sont infinis.) On peut définir des puissances d’ensembles : A2 = A×A ; A3 = A×A ×A ; etc.

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__________________________ Probabilités Chapitre1 Page 4

5 Les cardinaux d'ensembles finis. On suppose que E est fini et qu'il possède n éléments. Le cardinal d'un ensemble fini est le nombre de ses éléments. On le note CARD. Ainsi : CARD(E) = n ; (∀p∈N*) CARD (Ep) = np. Voici quelques résultats :

* Exercice : Exprimer CARD(A ∪ B ∪ C) en fonction des cardinaux de A, B, C, A ∩ B, B ∩ C, C ∩ A, A ∩ B ∩ C. Ecrire une égalité analogue pour CARD(A ∪ B ∪ C ∪ D).

II Les dénombrements. On suppose que E est un ensemble fini non vide de n éléments. Par exemple, on peut imaginer que E est une urne contenant n boules numérotées de 1 à n.

1 Les p-listes d'éléments d'un ensemble de n éléments. (Modèle : p tirages d'une boule parmi n, avec ordre et remise.)

p désigne un naturel supérieur ou égal à 1. Il peut être supérieur à n. ( Les p-listes d’éléments de E sont les éléments de Ep.)

On tire une boule. On note son numéro. On la remet dans l'urne.

On fait de même pour une 2ième boule, puis pour une 3ième,..., enfin pour une pième. On obtient ainsi une suite ordonnée de p numéros compris entre 1 et n, avec d'éventuelles répétitions. C'est une p-liste d'éléments de {1,2,3,...,n}. Il y a n choix possibles du premier numéro. Pour chacun de ces n choix, il y a n choix possibles du second numéro. Il y a donc n2 façons de choisir les 2 premiers numéros.

Pour chacun de ces n2 choix, il y a n choix possibles du 3ième numéro. Il y a donc n3 façons de choisir les 3 premiers numéros.

Pour chacun de ces n3 choix, il y a n choix possibles du 4ième numéro. Il y a donc n4 façons de choisir les 4 premiers numéros. etc. On a compris que :

CARD(∅) = 0 ; (CARD(A) = 0)⇔(A=∅) (A ⊂ B) ⇒ (CARD(A) ≤ CARD(B)) (La réciproque est fausse.) ((A ⊂ B) et (CARD(A) = CARD(B))) ⇒ (A = B) CARD (A ∪ B) = CARD(A) + CARD(B) – CARD (A ∩ B) (CARD (A ∪ B) = CARD(A) + CARD(B)) ⇔ ((A ∩ B) = ∅) Si A, B, C sont des parties de E 2 à 2 disjointes, alors :

CARD(A ∪ B ∪ C) = CARD(A) + CARD(B) + CARD(C). Plus généralement, le cardinal d'une réunion finie de parties de E deux à deux disjointes est la somme des cardinaux de ces parties. CARD(A×B) = CARD(A) × CARD(B). Plus généralement, le cardinal d'un produit cartésien de parties de E est le produit des cardinaux de ces parties.

Les p-listes d'éléments d'un ensemble de n éléments sont au nombre de np.

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* Exercice : Le loto sportif. Dans le jeu du loto sportif, le parieur doit remplir une grille où il indique les résultats qu'il prévoit pour treize matchs de football. Pour chacun des treize matchs, trois réponses sont possibles : l'équipe 1 est annoncée comme gagnante (réponse [1] ), le résultat prévu est un match nul (réponse [N] ), L'équipe 2 est annoncée comme gagnante (réponse [2]). Ces trois réponses recouvrent toutes les éventualités et, à l'issue du match, une et une seule se trouvera réalisée. Voici un extrait de grille :

N° Equipe 1 Equipe 2 Pronostic 1 Nantes Marseille [1] [N] [2] 2 Strasbourg Auxerre [1] [N] [2]

...... ................ .............. ................ 13 Bordeaux Metz [1] [N] [2]

La règle du jeu est la suivante : sur chacune des treize lignes, le parieur coche une et une seule des trois cases [1], [N], [2] correspondant au résultat qu'il prévoit. C'est ce qu'on appelle remplir la grille. 1 De combien de façons différentes peut-on remplir la grille ? 313 = 1 594 323 2 Dénombrer les grilles pour lesquelles, à l'issue des matchs : a) toutes les réponses sont exactes ; 1 b) toutes les réponses sont fausses ; 213 = 8 192 c) les trois premières réponses sont fausses et les dix autres exactes ; 23 = 8 ( Les questions qui suivent trouveront leurs solutions plus loin. ) d) trois réponses et trois seulement sont fausses. 3

13C ×23 = 2 288

3 Pour gagner au loto sportif, il faut avoir au moins onze réponses exactes. Quel est le nombre de grilles gagnantes ? 213C ×22 + 1

13C ×2 + 1 = 339

____________________________________________

Il est possible de calculer le nombre des parties d'un ensemble de n éléments par une méthode analogue : On imagine que les n éléments sont numérotés de 1 à n. On se propose de définir une partie de l'ensemble. Il y a 2 possibilités pour le premier élément : le prendre ou le laisser. Pour chacune de ces 2 possibilités, il y a 2 possibilités pour le second : le prendre ou pas. Il y a donc 22 possibilités pour les 2 premiers éléments. Pour chacune de ces 22 possibilités, il y a 2 possibilités pour le 3ième : le prendre ou pas. Il y a donc 23 possibilités pour les 3 premiers éléments. etc. Ainsi :

( Autant que de n-listes dans un ensemble de 2 éléments. )

2 Les p-arrangements d'éléments d'un ensemble de n éléments. (Modèle : p tirages d'une boule parmi n, avec ordre mais sans remise.)

p désigne un naturel compris entre 1 et n.

On tire une boule. On note son numéro. On ne la remet pas dans l'urne.

On fait de même pour une 2ième boule, puis pour une 3ième,..., enfin pour une pième. On obtient ainsi une suite ordonnée de p numéros compris entre 1 et n, deux à deux distincts. C'est un p-arrangement d'éléments de {1,2,3,...,n}.

il y a 2n parties dans un ensemble de n éléments.

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__________________________ Probabilités Chapitre1 Page 6

Il y a n choix possibles du premier numéro. Pour chacun de ces n choix, il y a (n – 1) choix possibles du second numéro. Il y a donc n(n – 1) façons de choisir les 2 premiers numéros.

Pour chacun de ces n(n – 1)choix, il y a (n – 2) choix possibles du 3ième numéro. Il y a donc n(n – 1)(n – 2) façons de choisir les 3 premiers numéros.

Pour chacun de ces n(n – 1)(n – 2) choix, il y a (n – 3) choix possibles du 4ième numéro. Il y a donc n(n – 1)(n – 2)(n – 3) façons de choisir les 4 premiers numéros. etc. On a compris que :

Les p-arrangements d'éléments d'un ensemble de n éléments sont au nombre de : n n n n p( )( )...( )− − − +1 2 1

p facteurs1 24444 34444

La différence entre une p-liste et un p-arrangement est que les répétitions sont possibles pour les p-listes, mais impossibles pour les p-arrangements. Par exemple (1, 1, 2) est une 3-liste mais pas un 3-arrangement. (2, 1, 3) est à la fois une 3-liste et un 3-arrangement. Tout p-arrangement est une p-liste. Les p-arrangements sont les p-listes sans répétition. * Exercice : le tiercé. 20 chevaux sont au départ. Jouer, c'est prévoir dans l'ordre les numéros des 3 chevaux qui arriveront en tête.

Combien y a-t-il de jeux ? De jeux gagnants dans l'ordre ? De jeux gagnants dans le désordre ? 320A = 6 840 ; 1 ; 5

3 Les permutations des éléments d'un ensemble fini. Les factorielles.

Le nombre de façons de ranger les n éléments de E est aussi le nombre de n-arrangements

d'éléments de E : il s'agit en effet de choisir sans remise un 1er élément puis un 2ième puis un 3ième, etc., jusqu'à l'épuisement de l'ensemble.

Ce nombre est : n(n – 1)(n – 2)(n – 3)...1. Effectuons le produit de la droite vers la gauche : nous reconnaissons le produit des entiers depuis 1 jusqu'à n compris. Par définition, ce nombre est la factorielle de n.

Il y a n! façons de ranger n éléments. n! = 1×2×3× ....× (n-1)×n

La suite des factorielles peut être définie de la façon suivante : 1! = 1 et, pour tout entier strictement positif n : (n + 1)! = n! × (n + 1). En effet, le produit des entiers de 1 à n + 1 est le produit par (n + 1) du produit des entiers de 1 à n. La seule façon de rendre cette égalité vraie aussi pour n = 0, c'est de poser :

0!×1=1! c'est à dire :

0!=1. La définition par récurrence de la suite des factorielles est donc celle-ci :

0! = 1 et (∀n∈N) ( (n + 1)! = n! × (n + 1) )

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__________________________ Probabilités Chapitre1 Page 7

Il est temps de définir le nombre de p-arrangements d'éléments de E à l'aide des factorielles.

Ce nombre est désigné par n

p

A .

n

p

A = n

n p

!

( )!− ( 0 ≤ p ≤ n )

Ceci est vrai même si p ou n ou les deux sont nuls ; en particulier :

nA0 =

0

0

A = 1 ; n

n

A = n!

4 Les p-combinaisons d'éléments d'un ensemble de n éléments.

(Modèle : tirage simultané de p boules dans une urne qui en contient n, sans ordre ni remise.) Dans ce paragraphe, l'entier p est inférieur ou égal à l'entier n. Les p-combinaisons d'éléments d'un ensemble E de n éléments sont les parties de E à p éléments. On ne tient pas compte de l'ordre. La différence entre une p-combinaison et un p-arrangement est que dans un p-arrangement on tient compte de l'ordre, alors que dans une p-combinaison, on n'en tient pas compte. Par exemple, les 3-arrangements (1,2,3) et (2,1,3) sont différents, alors que les 3-combinaisons {1,2,3} et {2,1,3} sont les mêmes. Dans les p-combinaisons, il n'y a ni ordre ni répétition. A la 3-combinaison {1,2,3} on peut associer les 6 3-arrangements

(1,2,3) , (1,3,2) , (2,1,3), (2,3,1) , (3,1,2) , (3,2,1). Le nombre 6 est le nombre d'ordres possibles pour les 3 éléments 1,2,3, c'est à dire 3! Plus généralement, à toute p-combinaison correspondent autant de p-arrangements que d'ordres possibles pour p éléments, c'est à dire p!. Il y a donc p! fois plus de p-arrangements que de p-combinaisons. Il y a p! fois moins de p-combinaisons que de p-arrangements.

Le nombre de p-combinaisons d'un ensemble de p éléments est noté n

p

C ou encore :

p

n

( remarquer le changement des positions de n et p entre les deux notations ). On retiendra les égalités suivantes : Si ( 0 ≤≤≤≤ p ≤≤≤≤ n ) alors :

n

p

C =

p

n = n

p

Ap!

= n

p n p

!

!( )!− =

n n n n p

p

( )( )...( )

!

− − − +1 2 1

p facteurs6 74444 84444

( La dernière écriture est la plus convenable dans les calculs numériques. )

En particulier : 0

0

C = nC0 =

n

n

C = 1 =

0

0 =

0

n =

n

n

Dans tous les autres cas : n

p

C =

p

n = 0

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__________________________ Probabilités Chapitre1 Page 8

* Exercice : le loto national. (Version simplifiée) Jouer, c'est choisir, sans ordre ni répétition, 5 numéros parmi les entiers de 1 à 49 et un numéro, dit numéro Chance, parmi les entiers de 1 à 10. Il est possible que le numéro Chance soit l’un des 5 entiers choisis. Dénombrer les jeux possibles. 10 × 5

49C = 19 068 840

Si un passionné effectue 2 jeux par semaine, sans jamais se répéter, en combien d'années épuisera-t-il les possibilités ? en 183 354 ans * Exercice : le jeu de cartes. On considère les mains de 5 cartes que l'on peut constituer avec un jeu de 32 cartes à jouer. déterminer le nombre de mains de 5 cartes qui contiennent : 1 Un carré d'as, c'est à dire 4 as. 1

28C = 28

2 Un carré, c'est à dire 4 cartes de même hauteur. 18C ×

128C = 224

3 Un full, c'est à dire 3 cartes de même hauteur et 2 autres cartes de même hauteur. 28A × 3

4C × 24C = 1344

4 Un brelan, c'est à dire 3 cartes de même hauteur, sans full ni carré. 18C × 34C ×

27C × ( )21

4C = 10 752

5 Deux paires, c'est à dire deux fois deux cartes de même hauteur, sans full ni carré. 28C × ( )22

4C × 124C = 24 192

6 Une paire et une seule. 18C × 2

4C × 37C × ( )31

4C = 107 520

7 Une quinte flush, c'est à dire 5 cartes de hauteurs consécutives et de même couleur. ( )214C = 16

8 Une quinte, c'est à dire 5 cartes de hauteurs consécutives, sans quinte flush.14C × ( )51

4C – 16 = 4 080

9 Une couleur, c'est à dire que la main est unicolore mais n'est pas une quinte. 14C × 5

8C – 16 = 208

5 Les combinaisons avec répétitions. Considérons la situation suivante : 4 clients viennent se désaltérer dans un débit de boissons. Ils s'assoient à une même table. Chacun souhaite commander une unique boisson. Il y a 10 types différents de consommations . Quel est le nombre de plateaux différents que peut composer le barman pour satisfaire les clients ? Le barman choisit 4 boissons parmi les 10 types. Il ne tient pas compte de l'ordre. Mais il accepte les répétitions, puisque plusieurs clients peuvent désirer la même type de boisson. Son choix est une 4-combinaison avec répétitions d'éléments pris dans un ensemble de 10 éléments. On peut illustrer les possibilités par des lignes ordonnées de 4 ronds (les clients) et 9 barres (séparant les 10 types) : compléter le tableau ci-dessous.

SCHEMA SIGNIFICATION

oooo 2 boissons du type 1, 1 du type 3, 1 du type 6

oooo 1 boisson de chacun des types 1, 4, 6, 10

oooo 1 boisson du type 5, 3 boissons du type 10

oooo 1 boisson de chacun des types 2,3,6,9

oooo 1 boisson de chacun des types 2, 5 ; 2 boissons de type 8

oooo 2 boissons de chacun des types 3 et 8

oooo 4 boissons de type 5

oooo 3 boissons du type 7, 1 boisson du type 9

oooo 1 boisson de chacun des types 1, 4 ; 2 boissons de type 10

oooo 1 boisson de chacun des types 4, 5, 6, 10

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__________________________ Probabilités Chapitre1 Page 9

Dans chaque schéma, il y a 13 positions numérotées. 4 sont occupées par des ronds et 9 par des barres. Le nombre des schémas est le nombre de façons de choisir 4 positions parmi 13 ( ou 9 positions parmi 13, c'est la même chose ) sans tenir compte de l'ordre. Ce nombre est :

=

==9

13

4

13CC

9

13

4

13

Pour passer au cas général, on remplace 10 par un entier naturel quelconque n et 4 par un entier naturel quelconque p, pas nécessairement inférieur à n.

* Exercice : On dispose de 5 boules indiscernables et de 3 urnes numérotées. De combien de façons peut-on répartir les 5 boules dans les trois urnes ? Réponse : ΓErreur !

6 Résumé.

Il y a n! façons de ranger n éléments. n! = 1× 2× 3× ....× (n-1)× n

Il y a n

p

A façons de choisir p éléments parmi n en tenant compte de l'ordre.

n

p

A = n n n n p( )( )...( )− − − +1 2 1p facteurs

1 24444 34444

Il y a n

p

C façons de choisir p éléments parmi n sans tenir compte de l'ordre.

n

p

C =

p

n =

A

pnp

! =

n

p n p

!

!( )!− =

n n n n p

p

( )( )...( )

!

− − − +1 2 1

Choix de p éléments discernables parmi n

avec ordre sans ordre

avec d'éventuelles répétitions

p-listes np

p-combinaisons avec répétitions

n

pΓ =

−+=−+ p

1pnC

p

1pn

sans répétition

p-arrangements n

p

A p-combinaisons n

p

C =

p

n

* Exercice : Combien y a-t-il de façons de choisir p éléments indiscernables parmi n ? Une seule.

Le nombre des p-combinaisons avec répétitions d'éléments d'un ensemble E de cardinal n est noté

n

pΓ . Il vérifie les égalités suivantes :

n

pΓ =

−−+

=

−+== −

−+−+ 1n

1pn

p

1pnCC

1n

1pn

p

1pn

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__________________________ Probabilités Chapitre1 Page 10

7 Les partitions. Une partition de E est un ensemble de parties de E 2 à 2 disjointes dont l’union est E. On souhaite répartir les n éléments de E en p parties ( 1 ≤ p ≤ n ) numérotées, 2 à 2 disjointes, de cardinaux respectifs n1, n2, ..., np ( n1 + n2 +...+ np = n ). L’ensemble de ces répartitions a pour cardinal :

nn n np

!! !... !1 2

Pour p=2, ce cardinal n’est autre que Cn

n1 , égal à Cnn2 .

* Exercice : 20 personnes sont à répartir en 3 groupes d’effectifs aussi voisins que possible. De combien de façons cela peut-il être fait ? ( 2 groupes de même effectif sont indiscernables. )

20!

7!7!6!2! = 66 512 160

III Les

=p

nC

p

n

1 Calcul (rappel).

2 La symétrie.

Supposons que p et q soient 2 entiers naturels de somme n. Dans un ensemble de n éléments, il y a autant de parties de p éléments que de parties de q éléments, puisque prendre p éléments, c'est laisser les q autres. D'où :

n

p

n

q

c c= ( p + q = n )

Si ( 0 ≤≤≤≤ p ≤≤≤≤ n ) alors :

n

p

C =

p

n = n

p

Ap!

= n

p n p

!

!( )!− =

n n n n p

p

( )( )...( )

!

− − − +1 2 1

p facteurs6 74444 84444

( La dernière écriture est la plus convenable dans les calculs numériques. )

En particulier : 0

0

C = nC0 =

n

n

C = 1 =

0

0 =

0

n =

n

n

Dans tous les autres cas : n

p

C =

p

n = 0

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__________________________ Probabilités Chapitre1 Page 11

3 Le triangle de Pascal.

Dans un ensemble E de n+1 éléments, on isole un élément a.

Le nombre de parties de E possédant p+1 éléments (0≤p≤n) ( c'est à dire n

p

c ++1

1 )est égal

au nombre de parties de E de p+1 éléments ne contenant pas a ( dans E-{a}, il y en a CCCC np 1+ ),

augmenté du nombre de parties de E formées de a et de p autres éléments (il y en a n

p

c ).

D'où l'égalité :

C C Cnp

np

np+ =+

++111

Exercice : Démontrer cette égalité par le calcul. A partir de cette égalité et de celles-ci :

C Cn nn0 = = 1

On peut, de proche en proche, trouver les premiers n

p

c . On dispose les résultats dans un tableau où l'on porte

en colonne les valeurs de n et en ligne celles de p.

n\p 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1 5 1 5 10 10 5 1 6 1 6 15 + 20 15 6 1 7 1 7 21 = 35 35 21 7 1 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1 9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 10 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

Le triangle ainsi obtenu est appelé triangle de Pascal. En fait, il lui est bien antérieur : on le trouve dans un ouvrage chinois de Chou Chi-Kié écrit en 1303. Chaque ligne du triangle de Pascal est symétrique puisque :

C Cni

nn i= −

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4 Le binôme de Newton.

On sait que : (a + b)2 = a2 + 2ab +b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 On reconnaît les coefficients du triangle de Pascal.

Traitons le cas général. Le développement de (a + b)n (n ∈ N) est une somme de monômes en a et b de

degré n. Il est du type : αii

ni n ia b

=

−∑0

avec αi entier que nous cherchons.

αi est le nombre de façons de choisir parmi les n facteurs de (a + b)n les i facteurs dans lesquels on

retient a, sans tenir compte de l'ordre :n

i

c .

Ceci justifie la formule du binôme de Newton :

(a + b) n = n

i

i

ni n ic a b

=

−∑0

* Exercice : démontrer cette égalité par récurrence sur n. Choisissons a et b égaux à 1. La formule du binôme de Newton devient :

n

i

i

nnc

=∑ =

0

2

Or n

i

i

n

c=∑

0

est le nombre des parties de E à 0 élément, 1 élément, 2 éléments, ..., n éléments.

On retrouve le résultat suivant :

un ensemble de n éléments possède 2n parties. ______________________________________________________

Annexe : quelques grands noms.

Chou Chi-Kié (vers 1280-1303) Le dernier et le plus grand des mathématiciens chinois de la période Sung. Il a publié une méthode de résolution d'équations appelée « Fan fa » équivalente à la méthode de Hörner, qui a vécu 500 ans plus tard. Il a également publié un diagramme du triangle faussement appelé « triangle de Pascal ».

De Morgan Augustus (1806-1871) Mathématicien et logicien anglais. Il fut le premier à présenter la logique sous une forme mathématique.

Newton Isaac (1642-1727) Mathématicien, physicien, astronome et penseur anglais. Il découvrit les dérivées en même temps que Leibniz.

Pascal Blaise (1623-1662) Mathématicien, savant, penseur et écrivain français. Il fonda le calcul des probabilités.

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Exercices. 1. Développer le binôme (a+b)10. Un ensemble E est constitué de 10 éléments. Quel est le nombre de ses parties ? 2. Combien y a-t-il de nombres de 6 chiffres ? 3. Dénombrer les anagrammes de « STATISTIQUES ». 4. Hypothèses. Les p-mots sont les collections ordonnées de p lettres (p∈N*), avec d’éventuelles répétitions. On rappelle que l’alphabet est constitué de 6 voyelles et de 20 consonnes. Dénombrer : 1) les 2-mots ; 2) les 2-mots sans consonne ; 3) les 2-mots sans voyelle ; 4) les 2-mots sans lettre répétée ; 5) les 2-mots commençant par une consonne ; 6) les 2-mots finissant par une voyelle ; 7) les 2-mots commençant par une consonne et finissant par une voyelle ; 8) les 2-mots contenant une consonne et une voyelle ; 9) les 4-mots sans voyelle répétée et sans consonne. 5. On attribue 5 billets, numérotés de 1 à 5, à 5 personnes (discernables), à raison d’un billet par personne. Le numéro 1 donne droit à 20 euros. Le numéro 2 donne droit à 10 euros. Le numéro 3 donne droit à 5 euros. Le numéro 4 donne droit à 1 euro. Le numéro 5 donne lui aussi droit à 1 euro. Dénombrer les attributions possibles : 1) des 20 euros ; 2) des 30 euros ; 3) des 35 euros ; 4) des 2 euros ; 5) des 37 euros ; 6) des 5 billets.

6. Calculer : 25!

22! ;

15!

11!2!3! ;

460!

5!457! ; C10000

9998 ; C153 +C15

4 +...+C1513.

7. Simplifier : (n 1)!

n !

+ ;

(n 1)!

(n 1)!

+

− ;

n!

(n 2)(n 3)!− −.

8. Résoudre chacune des équations suivantes : A n+23 = n3 + 2 n2 + 3 n + 12 ; Cn

n+−11 = 55 ; C n

n n4 1

2 32

−+ − = C n

n4 13 4

−− .

9. Un jeu de 32 cartes comprend 4 couleurs (carreau, cœur, pique, trèfle) et, dans chaque couleur, 8 hauteurs (7, 8, 9, 10, valet, dame, roi, as). Une main est un ensemble de 5 cartes choisies parmi les 32 cartes. Dénombrer : 1) les mains ; 2) les mains ne contenant pas de carreaux ; 3) les mains contenant au moins 1 trèfle ; 4) les mains contenant au moins 1 as ; 5) les mains contenant au moins 3 as et au moins 2 trèfles. 10. 1) Une agence de voyages veut organiser des circuits touristiques comprenant, dans un ordre donné, les 6 villes grecques : Athènes, Delphes, Olympie, Corinthe, Sparte, Nauplie. a) Combien y a-t-il de circuits possibles ? b) Si la première ville visitée est Athènes, combien peut-on organiser de circuits ? 2) a) Cette agence propose aussi des excursions permettant de visiter 2 villes parmi les 6 villes citées précédemment : les excursions du type, par exemple, Olympie-Delphes et Delphes-Olympie sont considérées comme des excursions différentes. Combien y a-t-il d’excursions différentes ? b) La même agence organise en Turquie des excursions du même type permettant de visiter 2 villes. Elle propose un choix de 56 excursions. Combien a-t-elle choisi de villes différentes à faire visiter ? 11. Un réseau informatique est constitué de 5 ordinateurs. Chacun est connecté à chacun des 4 autres. Dénombrer les connexions (entre deux ordinateurs) de ce réseau. 12. On se propose de répartir 3 fleurs dans 2 vases, chaque vase pouvant recevoir 0, 1, 2 ou 3 fleurs. Dénombrer les répartitions possibles des 3 fleurs dans les 2 vases dans chacun des cas suivants : 1) les fleurs sont discernables, les vases sont discernables ; 2) les fleurs sont discernables, les vases sont indiscernables ; 3) les fleurs sont indiscernables, les vases sont discernables ; 4) les fleurs sont indiscernables, les vases sont indiscernables.

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13. On dispose de 5 boules et de 3 urnes. On s’intéresse au nombre de façons de disposer les boules dans les urnes. Déterminer ce nombre dans chacune des situations suivantes. 1) Les boules sont indiscernables. Les urnes sont indiscernables. 2) Les boules sont indiscernables. Les urnes sont numérotées. 3) Les boules sont numérotées. Les urnes sont numérotées. 4) Les boules sont numérotées. Les urnes sont indiscernables. 14. 5 employés d’une entreprise ont pour salaires mensuels respectifs 20 000 F, 15 000 F, 10 000F, 8 000F et encore 8 000 F. Par suite d’une panne informatique, les 5 salaires sont attribués au hasard aux 5 employés, à raison d’un salaire par employé. On s’intéresse aux attributions possibles des 5 salaires aux 5 employés. Dénombrer les attributions 1) possibles ; 2) satisfaisantes pour tous les employés ; 3) qui ne désavantagent pas l’employé méritant 20 000 F ; 4) qui avantagent l’employé méritant 15 000 F ; 5) qui avantagent l’employé méritant 10 000 F ; 6) qui avantagent les 2 employés méritant 8 000 F. 15. Un club de 30 jeunes reçoit en cadeau un vélo, 2 planches à roulettes et 5 ballons. Ces objets seront distribués aux membres du club. Les 2 planches à roulettes sont indiscernables. Les 5 ballons sont indiscernables Les 30 jeunes sont identifiables. Dénombrer les possibilités pour chacune des attributions suivantes.

1 Attribution du vélo. 2 Attribution des 2 planches à 2 individus. 3 Attribution des 5 ballons à 5 individus. 4 Attribution des 8 objets à 8 individus. 5 Attribution des 8 objets, chaque individu pouvant recevoir 0, 1 ou plusieurs objets, pourvu qu’ils soient de types différents. 6 Attribution des 2 planches, chaque individu pouvant en recevoir 0, 1 ou 2. 7 Attribution des 5 ballons, chaque individu pouvant en recevoir 0, 1 ou plusieurs. 8 Attribution des 8 objets, chaque individu pouvant en recevoir 0, 1 ou plusieurs, de même type ou de types différents.

16. Un créateur d’entreprise constitue son équipe. Il recherche des collaborateurs de niveaux 1, 2 et 3. Cette classification correspond aux niveaux de rémunération : si l’on prend pour unité le coût annuel d’un employé de niveau 1, le coût annuel d’un employé de niveau 2 est 2 et celui d’un employé de niveau 3 est 3. Il y a six candidats de niveau 1, trois candidats de niveau 2 et deux candidats de niveau 3. Tous les employés seront choisis parmi ces onze candidats. 16.1. On suppose, dans cette question seulement, que le créateur embauchera trois employés de niveau 1, deux employés de niveau 2 et un employé de niveau 3. a) Dénombrer les choix possibles des trois employés de niveau 1. b) Dénombrer les choix possibles des deux employés de niveau 2. c) Dénombrer les choix possibles de l’employé de niveau 3. d) Dénombrer les choix possibles des six employés. 16.2. On suppose, dans cette question seulement, que le créateur embauchera six employés. a) Dénombrer les choix possibles. b) Faire l’inventaire des coûts totaux (pour l’ensemble des six employés) possibles. 16.3. On suppose, dans cette question seulement, que le créateur souhaite consacrer à son équipe un coût équivalent à celui de dix employés de niveau 1. a) Faire l’inventaire des répartitions possibles des embauches entre les trois niveaux, indépendamment des personnes

choisies. b) Dénombrer les choix possibles (en tenant compte des personnes). 17. On dispose d’une table, de deux fauteuils (indiscernables) et de quatre chaises (indiscernables). Ces objets seront attribués à des personnes choisies parmi sept personnes (discernables). 17.1. Dénombrer les attributions possibles de la table. 17.2. (Dans cette question, on ne s’intéresse pas à la table.) Dénombrer les attributions possibles des fauteuils dans chacun des deux cas suivants. a) Les deux fauteuils sont attribués à deux personnes exactement. b) Les deux fauteuils sont attribués à deux personnes ou-bien à une seule personne. 17.3. (Dans cette question, on ne s’intéresse ni à la table ni aux fauteuils.) Dénombrer les attributions possibles des chaises dans chacun des deux cas suivants.

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a) Les quatre chaises sont attribuées à quatre personnes exactement. b) Les quatre chaises sont attribués à une, deux, trois ou quatre personnes. 17.4. Dénombrer les attributions possible de l’ensemble du mobilier dans chacun des cas suivants. a) Les sept meubles sont attribués à sept personnes exactement. b) Aucune personne ne reçoit deux objets identiques mais chacune peut recevoir plusieurs objets différents. Il peut donc y avoir des personnes qui ne reçoivent rien. c) Chaque personne peut recevoir un ou plusieurs objets, identiques ou différents. Il peut donc arriver qu’une même personne reçoive tout. 18. Une pâtisserie propose exclusivement des croissants, des chocolatines et des tartelettes. Les croissants sont indiscernables entre eux ; les chocolatines sont indiscernables entre elles ; les tartelettes sont indiscernables entre elles. On s’intéresse à six clients identifiables. On appelle « achat » la collection, nominative, des articles achetés par les six clients. On appelle « vente » l’ensemble des articles achetés globalement par les six clients. Dénombrer les achats possibles et les ventes possibles dans chacune des situations suivantes. 18.1. L’établissement dispose d’au moins six articles de chacune des trois sortes. Chaque client achète un unique article. 18.2. L’établissement dispose seulement de trois croissants, deux chocolatines et une tartelette. Chaque client achète un unique article. 18.3. L’établissement dispose seulement de trois croissants, deux chocolatines et une tartelette. Chaque client peut acheter 0, 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 articles, pourvu que la totalité des six articles soit achetée par l’ensemble des six clients. 18.4. L’établissement dispose seulement de trois croissants, deux chocolatines et deux tartelettes. Chaque client achète au moins un article. Aucun client n’achète deux articles identiques. 19. Cinq souris sont destinées à trois chats. Les souris sont discernables. Les chats aussi. 19. 1. On suppose, dans cette question seulement, que chaque chat mangera une unique souris. a) Dénombrer les possibilités. b) Après le repas des trois chats, il restera deux souris. Dénombrer les restes possibles. 19. 2. On suppose, dans cette question seulement, que deux chats mangeront deux souris chacun et qu’un chat mangera une unique souris. Dénombrer les possibilités. 19. 3. On suppose, dans cette question seulement, qu’il y a quatre possibilités pour chacune des cinq souris : être mangée par l’un des trois chats ou ne pas être mangée. a) Dénombrer les possibilités. b) Dénombrer les restes possibles à la fin du repas des trois chats. c) Les cinq souris constituent l’unique nourriture des trois chats. Elles ont toutes le même poids. On pèsera chaque chat à la fin de son repas, qu’il ait mangé ou pas. On obtiendra donc une collection ordonnée de trois poids en lien direct avec le nombre de souris mangées par chacun des trois chats. Dénombrer les possibilités. 20. On dispose de trois paniers A, B, C et de trois grilles horizontales LA, LB, LC comme celle-ci :

Le panier A contient 25 jetons portant chacun un unique numéro de 1 à 5. Chacun des numéros de 1 à 5 est porté par 5 jetons exactement. Les jetons portant un même numéro sont indiscernables. Les paniers B et C sont vides. Les trois grilles sont vierges. On tire un jeton du panier A. On note son numéro dans la première case de la grille LA (la case de gauche). On met le jeton dans le panier B et l’on note aussi son numéro dans la première case de la grille LB. On tire un deuxième jeton du panier A. On note son numéro dans la deuxième case de la grille LA. Si le deuxième jeton porte le même numéro que le premier, on le met dans le panier C et l’on note aussi son numéro dans la première case de la grille LC. Sinon, on le met dans le panier B et l’on note aussi son numéro dans la deuxième case de la grille LB.

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On tire un troisième jeton du panier A. On note son numéro dans la troisième case de la grille LA. Si le troisième jeton porte le même numéro que l’un des deux premiers, on le met dans le panier C et l’on note aussi son numéro dans la première case libre de la grille LC. Sinon, on le met dans le panier B et l’on note aussi son numéro dans la première case libre de la grille LB. On procède de manière analogue pour un quatrième jeton, puis pour un cinquième. Après ces opérations, le panier A contient 20 jetons. Les numéros des cinq jetons tirés sont notés sur la grille LA. Le panier B contient de 1 à 5 jetons, sans aucune répétition de numéro. Leurs numéros sont notés sur la grille LB. Le panier C contient les autres jetons tirés. Il peut être vide. S’il n’est pas vide, les numéros des jetons qu’il contient sont notés sur la grille LC. On appellera « panier » le contenu d’un panier et « grille » le contenu d’une grille. Les grilles sont ordonnées, les paniers ne le sont pas. Dénombrer les paniers A, B, C et les grilles LA, LB, LC possibles après la série des cinq tirages. On donnera toutes les explications utiles. On terminera tous les calculs. Il pourra être utile de compléter le tableau suivant.

Type de contenu du panier C

∅ {a} {a, a} {a, a, a} {a, a, a, a} {a, b} {a, a, b} Total

Nombre de paniers C

Nombre de listes LC associées

21. Un groupe de neuf personnes visite une exposition sur l’Afrique. Il s’arrête devant un présentoir contenant trois paquets de dix plaquettes chacun : un paquet de dix plaquettes sur l’Angola, un paquet de dix plaquettes sur le Bénin et un paquet de dix plaquettes sur le Congo. Les plaquettes d’un même paquet sont parfaitement identiques entre elles. 21.1. (Questions de cours). Dénombrer :

a) les classements possibles des neuf personnes ; b) les parties de l’ensemble des trois pays ; c) les 6-listes de pays choisis parmi les trois pays ; d) les 5-arrangements de personnes choisies parmi les neuf personnes ; e) les 4-combinaisons sans répétitions de personnes choisies parmi les neuf personnes ; f) les 7-combinaisons avec d’éventuelles répétitions de pays choisis parmi les trois pays.

21.2. On suppose, dans cette question seulement, que le groupe emporte exactement trois plaquettes, une sur chacun des trois pays, et que personne ne prend plus d’une plaquette. Dénombrer les possibilités. 21.3. On suppose, dans cette question seulement, que chacun des neuf membres du groupe emporte une plaquette et une seule. Dénombrer : a) les possibilités ; b) les états possibles du présentoir après le passage du groupe. 21.4. On suppose, dans cette question seulement, que le groupe emporte exactement quatre plaquettes sur l’Angola, trois plaquettes sur le Bénin, deux plaquettes sur le Congo et que personne n’emporte plus d’une plaquette. Dénombrer les possibilités. 21.5. On suppose, dans cette question seulement, que chacun des neuf membres du groupe peut emporter zéro, une, deux ou trois plaquettes et que personne n’emporte plus d’une plaquette sur un même pays. Dénombrer : a) les possibilités ; b) les états possibles du présentoir après le passage du groupe.

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22. On dispose exclusivement de pièces de 5, 10, 20, 50 centimes , de 1 euro et de 2 euros. 22.1. Combien de sommes distinctes peut-on constituer si l’on dispose d’une unique pièce de chaque valeur ? (La somme peut être constituée par 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 pièces.) 22.2. Si l’on dispose de 10 pièces de chaque valeur, combien de sommes distinctes peut-on constituer en utilisant exactement 10 pièces ? 22.3. On suppose maintenant que l’on dispose de 40 pièces de chaque valeur. a) Ecrire dans chaque case du tableau ci-dessous le nombre de façons d’atteindre exactement la somme indiquée dans la marge de gauche, la plus forte pièce utilisée ayant la valeur indiquée dans la marge supérieure.

0.05 € 0.10 € 0.20 € 0.50 € 1.00 € 2.00 €

0.10 €

0.20 €

0.30 €

0.40 €

0.50 €

0.60 €

0.70 €

0.80 €

0.90 €

1.00 €

1.10 €

1.20 €

1.30 €

1.40 €

1.50 €

1.60 €

1.70 €

1.80 €

1.90 €

2.00 €

b) Expliquer la démarche suivie. c) De combien de façons peut-on atteindre exactement 2 euros ? 1 euro 95 ?

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__________________________ Probabilités Chapitre1 Page 18

23. O

p

p

n

n= q

q

0

1 1 1 Unités :

Le réseau dessiné ci-dessus est constitué de carrés élémentaires dont les sommets sont des noeuds et les côtés des mailles. 1. Compter les noeuds visibles. 2. Chaque noeud est caractérisé par un couple (p,q) d’entiers naturels. O est le noeud (0,0). Marquer en rouge le noeud (6,3). 3. On ne peut se déplacer dans le réseau que vers le bas, en suivant les mailles. Marquer sur chaque noeud (p,q) le nombre u(p,q) de chemins qui le relient à O. 4. Exprimer u(p,0) et u(0,q) ; exprimer u(p+1,q+1) en fonction de u(p+1,q) et de u(p,q+1) ; comparer u(p,q) et u(q,p). 5. Exprimer les graduations n de l’axe central en fonction de p et de q. On effectue le changement de notations : v(n,p)=u(p,q). Reformuler les réponses à la question 4.

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19 Probabilités Chapitre 1 Page 19

Réponses. 1. (a+b)10 = a10 + 10a9b + 45a8b2 + 120a7b3 + 210a6b4 + 252a5b5 + 210a4b6 + 120a3b7 + 45a2b8 + 10ab9 + b10. Un ensemble constitué de 10 éléments possède 210 (1024) parties. 2. 900 000. 3. On dénombre les positions possibles pour les 3 S puis pour les 3 T puis pour les 2 I puis pour A puis pour Q puis pour U :

C123 .C9

3 .C62 .4! =

12!

3!3!2!= 6 652 800.

4. 1) 262 = 676 2) 62 = 36 3) 202 = 400 4) 26×25 = 650 5) 20×26 = 520 6) 26×6 = 156 7) 20×6 = 120 8) 120×2 = 240 9) 6×5×4×3 = 360 5. 1) 5 2) A5

2 = 20 3) A53 = 60 4) C5

2 = 10 5) 60 (autant que d’attributions des 35 francs) 6) 5! = 120

6. 25!

22! = 23×24×25 = 13 800

15!

11!2!3! =

12 13 14 15

2 6

× × ×

× = 13×14×15 = 2 730.

460!

5!457! = 805 851

C100009998 = C10000

2 = 10000 9999

2

× = 49 995 000

C153 +C15

4 +...+C1513= 215-(C15

0 +C151 +C15

2 +C1514+C15

15) = 215 - (2C150 + 2C15

1 + C152 ) = 32 631.

7. (n 1)!

n !

+= n+1 ;

(n 1)!

(n 1)!

+

− = n(n+1) ;

n!

(n 2)(n 3)!− −= n(n-1).

8. 4 ; 10 ; 2

9. 1) C325 = 201 376 2) C24

5 = 42 504 3) 201 376 - 42 504 = 158 872

4) 201 376 - C285 = 201 376 - 98 280 = 103 096

5) [C33 × C7

2 ] + [C11 × C3

2 × C72 ] + [C1

1 × C32 × C7

1 × C211 ] +[C1

1 × C33 × C7

1] = 532

10. 1) a) 6! = 720 b) 5! = 120 2) a) A 62 = 30 b) 8 parce que A 8

2 = 56.

11. C52 = 10.

12. 1) 23 = 8 2) 4 3) Γ23 = C4

3 = 4 4) 2 13. 1) Les possibilités sont : 005 014 023 113 122. Il y en a 5.

2) Il y Γ35 5-combinaisons avec répétitions d’urnes choisies parmi 3. Γ3

5 = C72 = 21. On peut aussi déduire 2) de 1) :

Type 005 014 023 113 122 Tous Nombre 3 6 6 3 3 21

3) 35 = 243. 4) A partir de 1) :

Type 005 014 023 113 122 Tous

Nombre 1

5

C5

2=10

C52=10

5

242× C

=15

41

14. 1) A53 = 60 2) 1 3) A4

2 = 12 4) A42 = 12 5) 2 × A4

2 = 24 6) A32 × 3 = 18

15. 1) 30 2) C302 = 435 3) C30

5 = 142 506 4) 30. C292 .C27

5 = 983 291 400

5) 30. C302 .C30

5 = 1 859 703 300 6) Γ302 =C31

2 =465 7) Γ305 =C34

5 = 278 256 8) 30.Γ302 .Γ30

5 = 3 881 671 200.

16. 1) a) 36C = 20 ; b) 2

3C = 3 ; c) 2 ; d) 20 × 3 × 2 = 120.

2) a) 611C = 462. b) Le coût le moins élevé avec 6 employés est 6 ( 6 employés de niveau 1). Le coût le plus élevé est 13

( 2 employés de niveau 3, 3 de niveau 2 et 1 de niveau 1). Il y a donc 8 coûts possibles : les coûts 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13. 3)

Niv. 3 0 0 1 1 1 2 2 2 Niv. 2 2 3 1 2 3 0 1 2 Niv. 1 6 4 5 3 1 4 2 0 Nb de choix 3 15 36 120 12 15 45 3 Cumul 3 18 54 174 186 201 246 249

17.1. 7 17.2. a) 27C = 21 b) 2

7Γ = 28C = 28 17.3. a) 4

7C = 35 b) 47Γ = 4

10C = 210

17.4. a) 17C × 2

6C = 7!

2!4! = 105 b) 1

7C × 27C × 4

7C = 5 145

c) 17Γ × 2

7Γ × 47Γ = 1

7C × 28C × 4

10C = 7 × 28 × 210 = 41 160

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20 Probabilités Chapitre 1 Page 20

18.1. Achats : 36 = 729 ; ventes : 63Γ = 28 (faire l’inventaire).

18.2. Achats : 36C × 2

3C = 60 ; une unique vente.

18.3. Achats : 36Γ × 2

6Γ × 16Γ = 7056 ; une unique vente.

18.4. 4 ventes : tout ; tout sauf une tartelette ; tout sauf une chocolatine ; tout sauf un croissant. Si tout est vendu sauf une tartelette, les achats sont au nombre de 60 (voir la question 2). Si tout est vendu sauf une chocolatine, de même (le calcul est identique).

Si tout est vendu sauf un croissant, les achats sont au nombre de 26C × 2

4C = 90.

Si tout est vendu, un client achète un croissant et une chocolatine ou un croissant et une tartelette ou une chocolatine et une tartelette.

Si un client achète un croisant et une chocolatine, les achats sont au nombre de 6 × 25C × 1

3C = 180.

Si un client achète un croisant et une tartelette, de même, les achats sont au nombre de 180.

Si un client achète une chocolatine et une tartelette, les achats sont au nombre de 6 × 35C × 1

2C = 120.

Le nombre total des achats est 60 + 60 + 90 + 180 + 180 + 120 = 690.

19.1. a) Les possibilités sont au nombre de : 35A = 60.

b) Les restes possibles sont au nombre de : 25C = 10.

19.2. Les possibilités sont au nombre de : 3 × 25C × 2

3C = 5!

2!2!1! = 90.

19.3. On suppose, dans cette question seulement, que tout peut arriver. Il y a donc quatre possibilités pour chacune des cinq souris : être mangée par l’un des trois chats ou ne pas être mangée. a) Les possibilités sont au nombre de : 45 = 210 = 1024. b) Les restes possibles sont au nombre de : 25 = 32 (le nombre des parties d’un ensemble à 5 éléments).

c) Les possibilités sont au nombre de : 54Γ = 5

8C = 38C = 56.

20. Type de

contenu du panier C

∅ {a} {a, a} {a, a, a} {a, a, a, a} {a, b} {a, a, b} Total

Nombre de paniers C

1 5 5 5 5 25C = 10 2

5A = 20 51

Nombre de listes LC associées

1 5 5 5 5 10 × 2 = 20 20 × 3 = 60 101

Il y a autant de paniers A que d’extractions possibles : 5

5Γ = 5

9C = 126.

Il y a autant de paniers B que de parties non vides dans un ensemble de 5 éléments : 25 – 1 = 31. D’après le tableau ci-dessus, il y a 51 paniers C. Il y a autant de grilles LA que de 5-listes d’éléments choisis parmi 5 : 55 = 3 125. Il y a autant de grilles LB que d’arrangements non vides d’éléments choisis parmi 5 :

1

5A + 2

5A + 3

5A + 4

5A + 5

5A = 5 + 20 + 60 + 120 + 120 = 325.

D’après le tableau ci-dessus, il y a 101 listes LC.

21.1. 9! = 362 880 23 = 8 36 = 729 A59 = 15 120 C49 = 126 Γ7

3 = C79 = 36

21.2. A39 = 504.

21.3. a) 39 = 19 683 b) Γ93 = C9

11 = 55.

21.4. C49 × C3

5 × C22 =

9! 4! 3! 2!

= 1260.

21.5. a) Il y a 23 = 8 possibilités pour chacun des neuf membres (autant que de parties dans un ensemble de trois pays). Les 9-listes de possibilités choisies parmi ces huit possibilités sont au nombre de : 89 = 227 = 134 217 728. b) Chacun des trois paquets du présentoir peut contenir de une à dix plaquettes. Les 3-listes de nombres choisis entre un et dix sont au nombre de 103 = 1 000.

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22. 1) 26 = 64 (autant que de parties dans l’ensemble des 6 pièces). 2) Γ6

10= C1510= 3003 (autant que de 10-combinaisons avec répétitions de pièces choisies parmi 6.

3) a) 0.05 € 0.10 € 0.20 € 0.50 € 1.00 € 2.00 € Cumul 0.10 € 1 1 0 0 0 0 2 0.20 € 1 2 1 0 0 0 4 0.30 € 1 3 2 0 0 0 6 0.40 € 1 4 4 0 0 0 9 0.50 € 1 5 6 1 0 0 13 0.60 € 1 6 9 2 0 0 18 0.70 € 1 7 12 4 0 0 24 0.80 € 1 8 16 6 0 0 31 0.90 € 1 9 20 9 0 0 39 1.00 € 1 10 25 13 1 0 50 1.10 € 1 11 30 18 2 0 62 1.20 € 1 12 36 24 4 0 77 1.30 € 1 13 42 31 6 0 93 1.40 € 1 14 49 39 9 0 112 1.50 € 1 15 56 49 13 0 134 1.60 € 1 16 64 60 18 0 159 1.70 € 1 17 72 73 24 0 187 1.80 € 1 18 81 87 31 0 218 1.90 € 1 19 90 103 39 0 252 2.00 € 1 20 100 121 50 1 293

b) Par exemple, constituer une somme de 1,90 € avec au moins une pièce de 50 centimes et sans aucune pièce de 1 €, c’est constituer une somme de 1,40 € sans aucune pièce de 1 €. Le nombre des possibilités est : 1 + 14 + 49 + 39 = 103. c) Il y a 293 façons d’atteindre exactement 2 €. Il y a exactement 252 façons d’atteindre 1,95 € (il faut atteindre 1,90 € et ajouter 5 centimes). 23. 1) 1 + 2 + 3 + ... + 11 = 66 2), 3)

1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

4) u(p, 0) = u(q, 0) = 1 ; u(p + 1, q + 1) = u(p + 1, q) + u(p, q + 1) ; u(p, q) = u(q, p) 5) n = p + q. v(n, n) = v(n, 0) = 1 ; v(n + 2, p + 1) = v(n + 1, p + 1) + v(n + 1, p) ; v(n, p) = v(n, n – p). (v(n, p) = Cn

p)

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Correction des exercices pages 1 et 2.

partie Indicatrice

A ∩ )CB( ∪ = A ∩ B ∩ C 1A( 1 – 1B ) ( 1 – 1C )

= 1A – 1A 1B – 1A 1C + 1A 1B 1C

(A ∩ B ∩ C ) ∪ ( A ∩ B ∩ C )

∪ ( A ∩ B ∩ C)

1A + 1B + 1C - 2 ( 1A1B + 1A1C + 1B1C ) + 3 1A1B1C

( A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C)

∪ (A ∩ B ∩ C ) 1A1B + 1A1C + 1B1C – 3 1A1B1C

A ∆ B ∆ C

1A + 1B + 1C - 2 ( 1A1B + 1A1C + 1B1C ) + 4 1A1B1C

Tables de vérité.

négation

a רa

union

a b c a ∨ b ∨ c V F V V V V F V V V F V

V F V V

ou inclusif (disjonction)

a b a ∨ b V F F V V V V F V V V V F V F V F V F V V F F V V F F F F F F F

et (conjonction)

a b a ∧ b

intersection

a b c a ∧ b ∧ c V V V V V V V V F F V V F F F V F V F V F F F F V F F F

F V V F

implication

a b a ⇒ b F V F F V V V F F V F V F F F F F F F V V F F V

A ∩ (B∪C)

a b c a ∧ (b ∨ c) V V V V

équivalence

a b a ⇔ b V V F V V V V V F V V V F F V F F F F V F F V V F F F V F V F F

F F V F

ou exclusif

a b (a ∧ רb) ∨ ( רa ∧ b) F F F F V V F V F V

A ∪ (B∩C)

a b c a ∨ (b ∧ c) F V V V V V V F F F V V F V

V F V V V F F V F V V V F V F F F F V F F F F F

A∩B = BA ∪ ; A – B = BA ∪ ; A∆B = BA ∪ ∪ BA ∪ ; A∪B = BA ∩ ; A – B = A ∩ B ; A∆B = BA ∩ ∩ BA ∩

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