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LES ECHANGEURS THERMIQUES
I) Généralités :
Un échangeur thermique est destiné à transmettre de la chaleur, d’un fluide à un autre. Généralement les
fluides sont séparés par une paroi, à travers laquelle les échanges se font par conduction, convection et
rarement par rayonnement.
Dans certains appareils, l’échange de chaleur est associé à un changement d’état.
L’étude complète d’un échangeur comporte :
- Analyse thermique :
Détermination de la surface d’échange.
Détermination du flux échangé.
Détermination de la distribution des températures des fluides, de l’entrée jusqu’à la sortie de
l’appareil.
- Etude hydraulique : évaluation des pertes de charge dans l’appareil (= variation de pression)
- Etude mécanique : calcul des efforts et contraintes en fonctionnement, compte tenu des
températures et pressions.
- Optimisation économique.
On distingue 3 catégories d’échangeurs thermiques :
- Les échangeurs continus ou à fluides séparés = tubulaires ou à plaque selon la géométrie.
- Les échangeurs discontinus ou régénérateurs = la surface d’échange est alternativement mise en
contact avec le fluide froid et le fluide chaud.
- Les échangeurs par mélange ou à contact direct (ECD) = les 2 fluides sont mélangés.
Ex : Tours de refroidissement des centrales thermiques.
II) Les échangeurs à fluide séparés : cas des échangeurs tubulaires :
Le coefficient d’échange thermique global est :
1
ℎ=
𝑟2
ℎ1 .𝑟1+ 𝑟2.
ln 𝑟2𝑟1
𝑘+
1
ℎ2+ 𝑟𝑒𝑛 avec 𝑟𝑒𝑛 : résistance thermique liée à l’encrassement de l’échangeur = f(t)
Fluide chaud Fluide froid Sens de rotation
Fluide froid
Fluide froid
Fluide chaud
Zoom
Fluide froid
Isolant thermique
Fluide chaud
ϕ
𝑥 0
k
𝑟1 𝑟2
𝑟3
𝑠1, ℎ1
𝑠2, ℎ2
Transfert :
- Convection
- Conduction
- Convection
Remarques :
Si l’épaisseur de la paroi est faible, 𝑠1 ≈ 𝑠2 = 𝑠 :
Alors : 1
ℎ≈
1
ℎ1+
e
𝑘+
1
ℎ2+ 𝑟𝑒𝑛 avec e : épaisseur de la paroi
Et : 𝜙𝑥 = ℎ. 𝑠. (𝑇1𝑥 − 𝑇2𝑥)
En toute rigueur, 𝒉 n’est pas constant en fonction de 𝒙 .Donc pour un calcul très précis, il faut en
tenir compte.
1) Cas d’une circulation à courant parallèles :
Co-courant ou anti-méthodique.
Circulation des fluides dans le même sens.
Posons (1) = (3) ⟺ 𝑑𝑇1
𝑇1−𝑇2= −ℎ.
𝑑𝑆
𝑞1 (4)
Il existe une relation entre 𝑇1 et 𝑇2 , à laide du bilan thermique entre 0 et 𝑥.
De plus, en utilisant (1) = (2) :
𝜙 = −𝑞1. 𝑑𝑇1 =𝑇1
𝑇1𝑒 𝑞2. 𝑑𝑇2
𝑇2
𝑇2𝑒 ⟺ 𝑇2 = 𝑇2𝑒 +
𝑞1
𝑞2(𝑇1𝑒 − 𝑇1) (5)
On remplace (5) dans (4) et on intègre :
𝑑𝑇1
𝑇1−𝑇2𝑒−𝑞1𝑞2
(𝑇1𝑒−𝑇1)= − ℎ.
𝑑𝑆
𝑞1
𝑇1𝑠
𝑇1𝑒
𝑇1𝑠
𝑇1𝑒
Résultat de l’intégration : 1
1+𝑞1𝑞2
× ln 1 +𝑞1
𝑞2 . 𝑇1𝑠 −
𝑞1
𝑞2. 𝑇1𝑒 + 𝑇2𝑒 − ln(𝑇1𝑒 − 𝑇2𝑒) = −
ℎ
𝑞1. 𝑑𝑆 (7)
Et on remplace (7) dans (6) : −ℎ.𝑆
𝑞1=
1
1+𝑞1𝑞2
× ln 𝑇1𝑠−𝑇2𝑠
𝑇1𝑒−𝑇2𝑒 (8)
De plus 𝑞1
𝑞2 peut-être calculé à l’aide de (7), et on pose :
∆𝑇𝑒 = 𝑇1𝑒 − 𝑇2𝑒
∆𝑇𝑠 = 𝑇1𝑠 − 𝑇2𝑠 et (8) ⇔ 𝜙 = 𝑞1. 𝑇1𝑒 − 𝑇1𝑠 ⇔ 𝜙 = ℎ. 𝑆.
∆𝑇𝑠−∆𝑇𝑒
ln ∆𝑇𝑠∆𝑇𝑒
= ℎ. 𝑆. ∆𝑇𝑚
Avec ∆𝑇𝑚 : moyenne logarithmique de la fonction ∆𝑇 (ML∆𝑇)
Géométrie plane
0 𝑥 L
Fluide froid
Fluide chaud
𝑑𝜙
𝑑𝑠
𝑥 𝑥 + 𝑑𝑥
𝑇2
𝑇1
𝑇2 + 𝑑𝑇2
𝑇1 + 𝑑𝑇1 𝑇1𝑠 𝑇1𝑒
𝑇2𝑠 𝑇2𝑒
Bilan thermique sur l’élément :
(1) Flux perdu par le fluide 1 :
𝑑𝜙 = −𝑚1. 𝐶𝑝1. 𝑑𝑇1 = −𝑞1. 𝑑𝑇1
(2) Flux gagné par le fluide 2 :
𝑑𝜙 = 𝑚2. 𝐶𝑝2. 𝑑𝑇2 = 𝑞2. 𝑑𝑇2
(3) Flux transféré de 1 vers 2 :
𝑑𝜙 = ℎ. 𝑑𝑠. (𝑇1 − 𝑇2)
Avec 𝑚 ∶ 𝑑é𝑏𝑖𝑡 (𝑘𝑔. 𝑠−1)
2) Circulation à contre-courant :
On effectue le même calcul que pour 1), et on obtient :
−ℎ.𝑆
𝑞1=
1
1 −𝑞1
𝑞2
× ln 𝑇1𝑠 − 𝑇2𝑒
𝑇1𝑒 − 𝑇2𝑠
On calcul 𝑞1
𝑞2 et on pose :
∆𝑇𝑒 = 𝑇1𝑒 − 𝑇2𝑠
∆𝑇𝑠 = 𝑇1𝑠 − 𝑇2𝑒 d’où : 𝜙 = 𝑞1. 𝑇1𝑒 − 𝑇1𝑠 ⇔ 𝜙 = ℎ. 𝑆.
∆𝑇𝑠−∆𝑇𝑒
ln ∆𝑇𝑠∆𝑇𝑒
= ℎ. 𝑆. ∆𝑇𝑚
3) Efficacité d’un échangeur :
L’efficacité (η) est calculée en effectuant le rapport du flux thermique réellement échangé sur le flux
d’échange maximum théoriquement possible dans les mêmes conditions d’utilisation de l’échangeur :
𝜂 =𝜙𝑟é𝑒𝑙
𝜙𝑚𝑎𝑥
𝑇∞
𝑇1𝑒
𝑇2𝑒
T
𝑥 L 0
𝑇1𝑠
𝑇2𝑠 𝑇∞ =
𝑞1. 𝑇1𝑒 + 𝑞2. 𝑇2𝑒
𝑞1 + 𝑞2
Température de convergence :
Bilan thermique sur l’élément :
(1) Flux perdu par le fluide 1 :
𝑑𝜙 = −𝑞1. 𝑑𝑇1
(2) Flux gagné par le fluide 2 :
𝑑𝜙 = −𝑞2. 𝑑𝑇2
(3) Flux transféré de 1 vers 2 :
𝑑𝜙 = ℎ. 𝑑𝑠. (𝑇1 − 𝑇2)
Avec 𝑚 ∶ 𝑑é𝑏𝑖𝑡 (𝑘𝑔. 𝑠−1)
𝑇1𝑠 𝑇1𝑒
0 0 𝑥 𝑥 L L
T T
𝑞1 < 𝑞2 𝑞1 > 𝑞2 𝑇1𝑒
𝑇2𝑠 𝑇1𝑠
𝑇2𝑒
𝑇1𝑒
𝑇2𝑠
𝑇1𝑠
𝑇2𝑒
Tendent à être
identique
Pour un échangeur tubulaire de
longueur ∞ et fonctionnant à
contre-courant
Graphe 2)
- Si 𝑞1 < 𝑞2 : 𝜙𝑚𝑎𝑥 = −𝑞1. 𝑇1𝑠 − 𝑇1𝑒 = −𝑞1. 𝑇2𝑒 − 𝑇1𝑒 ⟺ 𝜙𝑚𝑎𝑥 = 𝑞1. 𝑇1𝑒 − 𝑇2𝑒
- Si 𝑞1 > 𝑞2 : 𝜙𝑚𝑎𝑥 = −𝑞2. 𝑇2𝑒 − 𝑇2𝑠 = −𝑞2. 𝑇2𝑒 − 𝑇1𝑒 ⟺ 𝜙𝑚𝑎𝑥 = 𝑞2. 𝑇1𝑒 − 𝑇2𝑒
D’où :
- Si 𝑞1 < 𝑞2 : 𝑇1𝑠 = 𝑇2𝑒
- Si 𝑞1 > 𝑞2 : 𝑇2𝑠 = 𝑇1𝑒
Si on pose 𝑞𝑚𝑖𝑛 = 𝑞1 ou 𝑞𝑚𝑖𝑛 = 𝑞2 (selon que 𝑞1 < 𝑞2 ou 𝑞1 > 𝑞2) : 𝜙𝑚𝑎𝑥 = 𝑞𝑚𝑖𝑛 . 𝑇1𝑒 − 𝑇2𝑒
D’où :
- Si 𝑞1 < 𝑞2 : 𝜂 =𝜙𝑟é𝑒𝑙
𝜙𝑚𝑎𝑥=
𝑞1 . 𝑇1𝑒−𝑇1𝑠
𝑞𝑚𝑖𝑛 . 𝑇1𝑒−𝑇2𝑒 =
ℎ .𝑆.∆𝑇𝑚
𝑞𝑚𝑖𝑛 . 𝑇1𝑒−𝑇2𝑒
- Si 𝑞1 > 𝑞2 : 𝜂 =𝜙𝑟é𝑒𝑙
𝜙𝑚𝑎𝑥=
𝑞2 . 𝑇2𝑠−𝑇2𝑒
𝑞𝑚𝑖𝑛 . 𝑇1𝑒−𝑇2𝑒 =
ℎ .𝑆.∆𝑇𝑚
𝑞𝑚𝑖𝑛 . 𝑇1𝑒−𝑇2𝑒
Ou encore :
- Si 𝑞𝑚𝑖𝑛 = 𝑞1 : 𝜂 = 𝑇1𝑒−𝑇1𝑠
𝑇1𝑒−𝑇2𝑒 ⟹ Efficacité partielle en température côté fluide chaud.
- Si 𝑞𝑚𝑖𝑛 = 𝑞2 : 𝜂 = 𝑇2𝑠−𝑇2𝑒
𝑇1𝑒−𝑇2𝑒 ⟹ Efficacité partielle en température côté fluide froid.
Si on connait , on peut en déduire le flux échangé : 𝜙 = ℎ. 𝑆. ∆𝑇𝑚 = 𝜂. 𝑞𝑚𝑖𝑛 . 𝑇1𝑒 − 𝑇2𝑒
Il existe des relations permettant de calculer η avec seulement : 𝑞𝑚𝑖𝑛 , 𝑞𝑚𝑎𝑥 , ℎ et la surface 𝑆.
On pose : 𝑟 =𝑞𝑚𝑖𝑛
𝑞𝑚𝑎𝑥
- Courant parallèle (= co-courant) : 𝜂∥ =1−𝑒
− 1+𝑟 ℎ𝑆𝑞𝑚𝑖𝑛
1+𝑟
- Contre – courant : 𝜂𝑐𝑐 =1−𝑒
− 1−𝑟 ℎ𝑆𝑞𝑚𝑖𝑛
1−𝑟 .𝑒 −
1−𝑟 ℎ𝑆𝑞𝑚𝑖𝑛
4) Nombre d’unité de transfert : NUT
𝑁𝑈𝑇 =ℎ .𝑆
𝑞𝑚𝑖𝑛 ⟹ Il existe des relations entre η et NUT.
5) Echangeurs frigorifiques : (Voir Tp)
Car échangeur en contre-courant et de longueur ∞.
Voir graphe 2)
C
Fluide
frigorifique Evaporateur Condenseur
eau eau
Compresseur
Détendeur
Echangeur eau / fluide
frigorifique :
𝑇𝑒𝑎𝑢 augmente
⇒ Pompe à chaleur
Echangeur eau / fluide
frigorifique :
𝑇𝑒𝑎𝑢 diminue
⇒ Climatiseur, frigo
Condenseur : Evaporateur :
Fluide chaud change d’état et cède cette chaleur au
fluide froid.
Fluide froid change d’état et récupère la chaleur du
fluide chaud (eau)
𝑥
T
𝐿
𝑇1𝑒
𝑇1𝑠
𝑇2𝑒 = 𝑇2𝑠 = 𝑇𝑐𝑜𝑛𝑑𝑒𝑛𝑠𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛
Fluide froid
(eau)
Fluide chaud
(frigorigène)
𝑇2𝑒 = 𝑇2𝑠 = 𝑇é𝑣𝑎𝑝𝑜𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛
𝐿 𝑥
T
𝑇1𝑠
𝑇1𝑒
Fluide chaud
(eau)