Mathématiques financières

Emprunts indivis

M. HOUSSAS

Les emprunts indivis

1 Définition : L’emprunt indivis se caractérise par le fait que

l’emprunteur (un particulier ou une entreprise) s’adresse à un seul créancier (le nominal K de la dette n’est pas divisé). L’emprunt indivis s’oppose donc à l’emprunt obligataire pour lequel l’emprunteur (une grande entreprise ou l’état) recourt à une multitude de créanciers (le nominal K de la dette est divisé en titres).

Le remboursement par annuités constantes Dans ce cas, toutes les annuités sont constantes. Le montant du prêt à la date de déblocage est la valeur

actuelle de l’ensemble des remboursements. Nous appliquons alors l’actualisation d’une suite de

versements constants au taux nominal périodique du prêt (i ).

Soit K, le montant du capital emprunté. au taux périodique (i ). Donc :

a = K et donc K* (table financière n°5) i

i)(11 n

le 1er amortissement M1 est déterminé comme suit :• M1 = annuité constante – intérêts de la période.

• Les autres suivent une progression géométrique :

• M2 = M1 (1+i)

• M3 = M2 (1 + i) = M1 (1 + i)² . .

• Mn = M1 (1 + i)

► Exemple 1 Soit un prêt au taux de 12% de 100 000

dh débloqué en une fois, le 1er janvier 1995, remboursable par annuités constantes, en fin de période, sur 10 ans. Compléter le tableau d’amortissement.

date Capital du en deb. Pér (1)

Intérêt (2) Amortissements (3)

Annuités constantes (4)

01/01/07

total

Amortissement constant

date Capital du en deb. Pér (1)

Intérêt (2) Amortissements (3)

Annuités non constantes (4)

01/01/07 200000 14000 40000 54000

160000 11200 40000 51200

120000 8400 40000 48400

80000 5600 40000 45600

40000 2800 40000 42800

total 42000

Amortissement constant

date Capital du en deb. Pér (1)

Intérêt (2) Amortissements (3)

Annuités constantes (4)

1

2

3

4

5

total

Annuité constante

date Capital du en deb. Pér (1)

Intérêt (2) Amortissements (3)

Annuités constantes (4)

1 200000 14000 34778.2 48778.2

2 165221.8 11565.53 37212.67 48778.2

3 128009.13

8960.64 39817.56 48778.2

4 88191.57 6173.41 42604.79 48778.2

5 45586.78 3191.07 45587.12 48778.2

total 43890.79

Annuité constante

Exercices

Exercice 1 : Tableaux d’amortissement On considère un emprunt indivis de montant

200 000 le 01.01.2006, remboursable en 5 ans au taux d’intérêt de 7%. 1er remboursement le 01.01.2007 (remboursements par annuités)

Présenter le tableau d’amortissement correspondant à chacune des deux modalités possibles de remboursement, les annuités étant perçus tous les 1er janvier. Calculer la somme des intérêts versés.

Exercice 2 : Emprunt à annuités constantes

Une entreprise emprunte 50000 euro le 1er juin 2005 au taux de 7% pour financer l’achat d’une machine. Le remboursement s’effectue par annuités constantes payées à la fin de chaque période. La dernière annuité aura lieu le 31/05/2009

1°) Soit a le montant de l’annuité. Calculez a en détaillant votre calcul.

°) Dressez le tableau d’amortissement de l’emprunt.