Les Équations de Maxwell (Bien)

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  • 1Chap. 12 - Les quations de Maxwell :

    Nous allons, dans ce chapitre, dcrire brivement ce qui peut treconsidr comme le couronnement de la thorie lectromagntique au XIXmesicle, et peut-tre la contribution scientifique la plus importante de ce sicle.Les consquences de la thorie de Maxwell se font sentir tous les jours et peuttre de plus en plus. Les ondes lectromagntiques jouent un rle parfoisinsouponn dans de nombreux aspects de notre vie courante. Il convient denoter que, son poque, Maxwell lui mme avait du mal imaginer une ondese propageant dans le vide. Il avait introduit un jeu trs complexe de rouesdentes pour relier les champs lectrique et magntique.

    A - Rappels :

    Nous allons commencer par rappeler les quelques notions demagntisme et dlectrostatique qui nous seront ncessaires pourintroduire les quations de Maxwell. La description des effetsmagntiques et lectriques se fait en utilisant la thorie des champs. Unecharge lectrique par exemple, cre en tout point de lespace un champlectrique qui est caractris par leffet produit sur une chargeinfinitsimale place cet endroit.

    Les champs lectrique et magntique sont des champs vectoriels,cest--dire quils peuvent tre reprsents par un vecteur en chaquepoint de lespace. Ils ont en outre la proprit de driver de champs depotentiel, notion que nous ne traiterons pas en profondeur. Le champlectrique drive du potentiel lectrique qui est lui mme un champscalaire.

    1 . Thorme de Gauss :

    Le flux du champ lectrique travers une surface ferme est gal,au facteur 1 eo prs, la charge lectrique contenue lintrieur de cettesurface :

    rE.

    drA = Q

    eo

    En termes de lignes de champ, ceci signifie quautant de lignes dechamp doivent entrer quil en sort, dans une surface qui ne contient pasde charge lectrique.

  • 22 . Loi dinduction de Faraday :

    La loi dinduction de Faraday prcise que le champ lectrique, laforce lectromotrice (f..m.) dans un circuit sont gaux la variation duflux magntique qui le traverse :

    e =

    rE.d

    rl

    = -

    dfBdt

    o fB =rB.d

    rA

    Cette loi est extrmement importante puisquelle introduit une relationentre le champ magntique et le champ lectrique. Si le champmagntique est constant, il ny a pas cration de champ lectrique.

    3 . Thorme dAmpre :

    En sens inverse, nous avons vu que la circulation dun courantdans un circuit produit un champ magntique. La force du champmagntique dpend directement de la valeur du courant on peut relierlintgrale curviligne du champ magntique le long dune ligne ferme,au courant qui traverse la surface dlimite par cette ligne. Cest lethorme dAmpre.

    rB.d

    rl = mo I

    B - Le courant de dplacement :

    La production de champs magntiques par des champslectriques variables.

    Oersted a dcouvert quun courant lectrique continu produit unchamp magntique, la relation mathmatique tant donne par lethorme dAmpre comme nous lavons vu :

    rB.d

    rl = mo I

    Nous avons vu que la loi dinduction de Faraday prvoit lacration dun champ lectrique par un champ magntique variable (sanscirculation de courant). La grande intuition de Maxwell a t de penserque, pour des raisons de symtrie, une relation quivalente inverse devaittre vraie : Un champ lectrique variable produit un champmagntique. Notons que pour lui, cela correspondait uniquement audpart une notion desthtique de lunivers.

  • 3Fig. 1 : Dcharged'un condensateur.Aucun courant netraverse la surface2, ni en a, ni en b.

    A partir de cette intuition, il a dvelopp une description plusphysique de cet effet. Cette description est base sur le fait que lon peutchoisir arbitrairement la surface borne par le parcours sur lequel onintgre le champ magntique. Il a imagin une configuration comprenantun condensateur, o la surface coupe le fil conducteur dans un cas, etpasse entre les armatures du condensateur dans lautre (voir Fig. 1).Dans les deux cas, le champ magntique doit tre le mme puisqueaucun changement physique na t opr.

    Dans lun des cas, on applique simplement Faraday, et le champmagntique est donn par le courant qui circule. Dans lautre cas defigure, le champ magntique est le mme, mais il nexiste plus decourant. Maxwell affirmait donc que le champ lectrique variable taitquivalent un courant lectrique. Il a introduit la notion de courant de

  • 4dplacement pour dsigner la variation de charge des plaques ducondensateur. Le champ magntique est donc donn par :

    rB.d

    rl = mo I + ID( )

    o ID est le courant de dplacement, qui est donn par la charge ducondensateur, cest--dire :

    Q = CV = eoAd

    Ed( ) = eo AE

    Lorsque le condensateur se charge, on a une variation de chargegale au courant de dplacement :

    dQdt

    = eo AdEdt

    = ID = eodFE

    dt

    o FE = EA dsigne le flux lectrique, et le thorme dAmpre semodifie donc pour devenir :

    rB.d

    rl = mo I +

    moeo

    dFEdt

    Un champ magntique est donc produit, la fois par un courantcontinu et par la variation dun champ lectrique. Notons cependant quele deuxime terme de cette quation est en gnral trs faible, sauf dansle cas particulier des ondes lectromagntiques.

    C - Le thorme de Gauss applicable au magntisme,

    Nous avons vu que lon pouvait dfinir le flux du champmagntique travers une surface par :

    FB =

    rB.d

    rA

    Nous avons aussi vu que le thorme de Gauss exprimait que leflux du champ lectrique travers une surface ferme tait gal lacharge totale contenue dans cette surface :

    rE.d

    rA

    =Qeo

  • 5Dans la mesure o il nexiste pas dquivalent magntique auxcharges lectriques, lquivalent magntique du thorme de Gaussscrit :

    rB.d

    rA

    = 0

    En termes de lignes de champ magntique, ceci signifie que, si lonconsidre une surface donne, autant de lignes de champ magntique ensortent quil y en a qui y rentrent (voir Fig. 2).

    Fig. 2 : Lignes de champmagntique d'un barreauaimant.

    D - Les quations de Maxwell,

    Lensemble des quations qui dcrivent le comportement,intimement li, du champ lectrique et du champ magntique, peut doncscrire :

    rE.d

    rA

    =Qeo

    Loi de Gauss

    rB.d

    rA

    = 0 Idem, applique au champ magntique,

    rE.d

    rl

    = -

    dfBdt

    Loi de Faraday

    rB.d

    rl = mo I +

    moeo

    dFEdt

    Th. dAmpre, modifi par Maxwell.

  • 6Les deux premires quations correspondent donc au thorme deGauss pour llectricit, et pour le magntisme, la troisime est la loi deFaraday et la quatrime correspond au thorme de Gauss modifi parMaxwell.

    Ces quations sont les quations fondamentales dellectromagntisme.

    Ces quations nous signifient que lon peut sparer le traitementdes champs lectrique et magntique pourvu que ceux ci ne varient pasdans le temps. Inversement, ils sont indissociables s'ils varient dans letemps. Nous verrons plus loin que ceci est dune importancefondamentale en ce qui concerne les ondes lectromagntiques.

    E - La production dondes lectromagntiques,

    En tudiant de plus prs les quations ci- dessus, Maxwell sestrendu compte quun champ lectrique variable crait un champmagntique variable qui, son tour, pourrait crer un champ lectrique,et ainsi de suite. Cette interaction mutuelle est la base des ondeslectromagntiques. Nous allons voir maintenant comment cetteinteraction mutuelle peut se propager.

    Nous procdons partir de deux tiges, des antennes, reliesaux bornes dun gnrateur de tension alternative. Si nous considrons lecomportement du dispositif au moment o dbute lapplication duchamp lectrique variable (voir Fig. 3), un courant va se propager dansles deux tiges.

    Fig. 3 : Champs produits parla charge de deux filsconducteurs.

    Ce courant produit donc un champ magntique qui entoure lesdeux conducteurs. La prsence de charges dans les deux conducteursinduit simultanment un champ lectrique, qui est lui dans le plan desdeux conducteurs.

  • 7Fig. 4 : Schmas depropagation des champslectriques et magntiques partir des charges oscillantessur les deux conducteursrelis une source C.A.:

    a) Premire alternance,b) Seconde alternance.

    Dans lalternance suivante, le courant circule dans lautre sens, etse trouvent donc produits un champ lectrique ainsi quun champmagntique, de directions opposes a celles de lalternance prcdente.Pendant ce temps, le champ lectrique et le champ magntique crs parlalternance prcdente continuent se propager vers linfini, en formantdes boucles fermes (voir Fig. 4).

    Fig. 5 : Champs deradiation (loin del'antenne) produits parun signal sinusodal surune antenne dipolaire.

  • 8La description de la variation des deux champs prs de lantenne,les champs proches, est trs complexe, et ne prsente pas un grandintrt. Leur comportement loin de lantenne est plus intressant. On lesappelle champs de radiation (voir Fig. 5).

    Daprs la description que nous avons donne, on voit que lechamp magntique et le champ lectrique sont perpendiculaires en toutpoint, et perpendiculaires la direction du mouvement. De plus, leurintensit oscille simultanment la frquence impose par la source.Nous donnons sur la figure 6 une reprsentation d'une ondelectromagntique le long de l'axe x.

    Fig. 6 : Intensit des champs lectrique et magntique dans une ondelectromagntique.

    Cest cette propagation simultane dun champ magntique etdun champ lectrique oscillants qui constituent les ondeslectromagntiques. Ces ondes sont produites, en gnral, par descharges lectriques en acclration.

    F - Les ondes lectromagntiques et leur vitesseA partir des quations de Maxwell.

    Pour dcrire plus simplement les quations dont drivent les ondeslectromagntiques, nous nous plaons dans le vide, loin de la source, enun endroit o il ny a pas de charges lectriques ni de courant deconduction. Cette approximation cor