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Chap. 12 - Les équations de Maxwell :

Nous allons, dans ce chapitre, décrire brièvement ce qui peut êtreconsidéré comme le couronnement de la théorie électromagnétique au XIXème

siècle, et peut-être la contribution scientifique la plus importante de ce siècle.Les conséquences de la théorie de Maxwell se font sentir tous les jours et peutêtre de plus en plus. Les ondes électromagnétiques jouent un rôle parfoisinsoupçonné dans de nombreux aspects de notre vie courante. Il convient denoter que, à son époque, Maxwell lui même avait du mal à imaginer une ondese propageant dans le vide. Il avait introduit un jeu très complexe de rouesdentées pour relier les champs électrique et magnétique.

A - Rappels :

Nous allons commencer par rappeler les quelques notions demagnétisme et d’électrostatique qui nous seront nécessaires pourintroduire les équations de Maxwell. La description des effetsmagnétiques et électriques se fait en utilisant la théorie des champs. Unecharge électrique par exemple, crée en tout point de l’espace un champélectrique qui est caractérisé par l’effet produit sur une chargeinfinitésimale placée à cet endroit.

Les champs électrique et magnétique sont des champs vectoriels,c’est-à-dire qu’ils peuvent être représentés par un vecteur en chaquepoint de l’espace. Ils ont en outre la propriété de dériver de champs depotentiel, notion que nous ne traiterons pas en profondeur. Le champélectrique dérive du potentiel électrique qui est lui même un champscalaire.

1 . Théorème de Gauss :

Le flux du champ électrique à travers une surface fermée est égal,au facteur 1 eo près, à la charge électrique contenue à l’intérieur de cettesurface :

rE.Ú d

rA = Q

eoEn termes de lignes de champ, ceci signifie qu’autant de lignes de

champ doivent entrer qu’il en sort, dans une surface qui ne contient pasde charge électrique.

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2 . Loi d’induction de Faraday :

La loi d’induction de Faraday précise que le champ électrique, laforce électromotrice (f.é.m.) dans un circuit sont égaux à la variation duflux magnétique qui le traverse :

e =

rE.d

rlÚ = - dfB

dtoù fB =

rB.d

rAÚ

Cette loi est extrêmement importante puisqu’elle introduit une relationentre le champ magnétique et le champ électrique. Si le champmagnétique est constant, il n’y a pas création de champ électrique.

3 . Théorème d’Ampère :

En sens inverse, nous avons vu que la circulation d’un courantdans un circuit produit un champ magnétique. La force du champmagnétique dépend directement de la valeur du courant on peut relierl’intégrale curviligne du champ magnétique le long d’une ligne fermée,au courant qui traverse la surface délimitée par cette ligne. C’est lethéorème d’Ampère.

rB.d

rl = mo IÚ

B - Le courant de déplacement :

La production de champs magnétiques par des champsélectriques variables.

Oersted a découvert qu’un courant électrique continu produit unchamp magnétique, la relation mathématique étant donnée par lethéorème d’Ampère comme nous l’avons vu :

rB.d

rl = mo IÚ

Nous avons vu que la loi d’induction de Faraday prévoit lacréation d’un champ électrique par un champ magnétique variable (sanscirculation de courant). La grande intuition de Maxwell a été de penserque, pour des raisons de symétrie, une relation équivalente inverse devaitêtre vraie : Un champ électrique variable produit un champmagnétique. Notons que pour lui, cela correspondait uniquement audépart à une notion d’esthétique de l’univers.

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Fig. 1 : Décharged'un condensateur.Aucun courant netraverse la surface2, ni en a, ni en b.

A partir de cette intuition, il a développé une description plusphysique de cet effet. Cette description est basée sur le fait que l’on peutchoisir arbitrairement la surface bornée par le parcours sur lequel onintègre le champ magnétique. Il a imaginé une configuration comprenantun condensateur, où la surface coupe le fil conducteur dans un cas, etpasse entre les armatures du condensateur dans l’autre (voir Fig. 1).Dans les deux cas, le champ magnétique doit être le même puisqueaucun changement physique n’a été opéré.

Dans l’un des cas, on applique simplement Faraday, et le champmagnétique est donné par le courant qui circule. Dans l’autre cas defigure, le champ magnétique est le même, mais il n’existe plus decourant. Maxwell affirmait donc que le champ électrique variable étaitéquivalent à un courant électrique. Il a introduit la notion de courant de

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déplacement pour désigner la variation de charge des plaques ducondensateur. Le champ magnétique est donc donné par :

rB.d

rl = mo I + ID( )Ú

où ID est le courant de déplacement, qui est donné par la charge ducondensateur, c’est-à-dire :

Q = CV = eoA

dÊË

ˆ¯ Ed( ) = eo AE

Lorsque le condensateur se charge, on a une variation de chargeégale au courant de déplacement :

dQ

dt= eo A

dE

dt= ID = eo

dFE

dt

où FE = EA désigne le flux électrique, et le théorème d’Ampère semodifie donc pour devenir :

rB.d

rl = mo I +Ú moeo

dFE

dt

Un champ magnétique est donc produit, à la fois par un courantcontinu et par la variation d’un champ électrique. Notons cependant quele deuxième terme de cette équation est en général très faible, sauf dansle cas particulier des ondes électromagnétiques.

C - Le théorème de Gauss applicable au magnétisme,

Nous avons vu que l’on pouvait définir le flux du champmagnétique à travers une surface par :

FB =

rB.d

rAÚ

Nous avons aussi vu que le théorème de Gauss exprimait que leflux du champ électrique à travers une surface fermée était égal à lacharge totale contenue dans cette surface :

rE.d

rAÚ = Q

eo

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Dans la mesure où il n’existe pas d’équivalent magnétique auxcharges électriques, l’équivalent magnétique du théorème de Gausss’écrit :

rB.d

rAÚ = 0

En termes de lignes de champ magnétique, ceci signifie que, si l’onconsidère une surface donnée, autant de lignes de champ magnétique ensortent qu’il y en a qui y rentrent (voir Fig. 2).

Fig. 2 : Lignes de champmagnétique d'un barreauaimanté.

D - Les équations de Maxwell,

L’ensemble des équations qui décrivent le comportement,intimement lié, du champ électrique et du champ magnétique, peut doncs’écrire :

rE.d

rAÚ = Q

eo

Loi de Gauss

rB.d

rAÚ = 0 Idem, appliquée au champ magnétique,

rE.d

rlÚ = - dfB

dtLoi de Faraday

rB.d

rl = mo I +Ú moeo

dFE

dtTh. d’Ampère, modifié par Maxwell.

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Les deux premières équations correspondent donc au théorème deGauss pour l’électricité, et pour le magnétisme, la troisième est la loi deFaraday et la quatrième correspond au théorème de Gauss modifié parMaxwell.

Ces équations sont les équations fondamentales del’électromagnétisme.

Ces équations nous signifient que l’on peut séparer le traitementdes champs électrique et magnétique pourvu que ceux ci ne varient pasdans le temps. Inversement, ils sont indissociables s'ils varient dans letemps. Nous verrons plus loin que ceci est d’une importancefondamentale en ce qui concerne les ondes électromagnétiques.

E - La production d’ondes électromagnétiques,

En étudiant de plus près les équations ci- dessus, Maxwell s’estrendu compte qu’un champ électrique variable créait un champmagnétique variable qui, à son tour, pourrait créer un champ électrique,et ainsi de suite. Cette interaction mutuelle est la base des ondesélectromagnétiques. Nous allons voir maintenant comment cetteinteraction mutuelle peut se propager.

Nous procédons à partir de deux tiges, des “antennes”, reliéesaux bornes d’un générateur de tension alternative. Si nous considérons lecomportement du dispositif au moment où débute l’application duchamp électrique variable (voir Fig. 3), un courant va se propager dansles deux tiges.

Fig. 3 : Champs produits parla charge de deux filsconducteurs.

Ce courant produit donc un champ magnétique qui entoure lesdeux conducteurs. La présence de charges dans les deux conducteursinduit simultanément un champ électrique, qui est lui dans le plan desdeux conducteurs.

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Fig. 4 : Schémas depropagation des champsélectriques et magnétiques àpartir des charges oscillantessur les deux conducteursreliés à une source C.A.:

a) Première alternance,

b) Seconde alternance.

Dans l’alternance suivante, le courant circule dans l’autre sens, etse trouvent donc produits un champ électrique ainsi qu’un champmagnétique, de directions opposées a celles de l’alternance précédente.Pendant ce temps, le champ électrique et le champ magnétique créés parl’alternance précédente continuent à se propager vers l’infini, en formantdes boucles fermées (voir Fig. 4).

Fig. 5 : Champs deradiation (loin del'antenne) produits parun signal sinusoïdal surune antenne dipolaire.

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La description de la variation des deux champs près de l’antenne,les champs proches, est très complexe, et ne présente pas un grandintérêt. Leur comportement loin de l’antenne est plus intéressant. On lesappelle “champs de radiation” (voir Fig. 5).

D’après la description que nous avons donnée, on voit que lechamp magnétique et le champ électrique sont perpendiculaires en toutpoint, et perpendiculaires à la direction du mouvement. De plus, leurintensité oscille simultanément à la fréquence imposée par la source.Nous donnons sur la figure 6 une représentation d'une ondeélectromagnétique le long de l'axe x.

Fig. 6 : Intensité des champs électrique et magnétique dans une ondeélectromagnétique.

C’est cette propagation simultanée d’un champ magnétique etd’un champ électrique oscillants qui constituent les ondesélectromagnétiques. Ces ondes sont produites, en général, par descharges électriques en accélération.

F - Les ondes électromagnétiques et leur vitesseA partir des équations de Maxwell.

Pour décrire plus simplement les équations dont dérivent les ondesélectromagnétiques, nous nous plaçons dans le vide, loin de la source, enun endroit où il n’y a pas de charges électriques ni de courant deconduction. Cette approximation correspond à la description en termesd’ondes planes. Si nous prenons le cas particulier où l’onde se propagesuivant x, le champ électrique étant dirigé suivant y, et le champmagnétique suivant z, nous pouvons écrire :

E = Ey = Eo sin kx - wt( )

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B = Bz = Bo sin kx - wt( )avec

k = 2pl

, w = 2pf , et fl = wk= v

On peut appliquer la loi de Faraday à un élément de bouclerectangulaire situé dans le plan du champ électrique (voir Fig. 7).

Fig. 7 : Application de la loi de Faraday au rectangle (Dy)(dx).

On en déduit :rE.d

rlÚ = - dfB

dtavec :

rE.d

rlÚ = E + dE( ).Dy - E.Dy = dE.Dy

En tenant compte de la hauteur Dy de cet élément de boucle, etde la variation dE du champ électrique sur l’intervalle dx . La variationdu flux magnétique est donnée par :

dFB

dt= dB

dtdx.Dy

donc dEDy = - dB

dtdx.Dy

soit∂E

∂x= - ∂B

∂t

Si nous prenons maintenant un élément de surface dans le plan duchamp magnétique, nous pouvons appliquer la quatrième équation deMaxwell (voir Fig. 8).

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Fig. 8 : Application de la quatrième équation de Maxwell au rectangle(Dz)(dx).

Ce qui nous donne, puisque aucun courant ne circule :

rB.d

rl =Ú moeo

dFE

dt

La largeur du petit élément de surface est Dz et l’on a donc :

B.dlÚ = BDz - B + dB( )Dz = -dBDz

avec

moeodFE

dt= moeo

dE

dtdxDz

En combinant, on obtient :

-dBDz = moeodE

dtdxDz

soit

∂B

∂x= -moeo

∂E

∂t

Si l’on regroupe, on a donc deux équations reliant les champsélectrique et magnétique :

dE

dx= - dB

dtet

∂B

∂x= -moeo

∂E

∂t

Si l’on suppose donc des ondes sinusoïdales, on peut écrire :

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kEo cos kx - wt( ) = wBo cos kx - wt( )

soitEo

Bo

= wk= v = E

Ben tout endroit de l©onde.

On a aussi :

k Bo cos kx - wt( ) = moeow Eo cos kx - wt( )

soitBo

Eo

= moeowk

= moeov

D’où l’on déduit que la vitesse de l’onde électromagnétique nedépend pas de la fréquence de l’onde.

v = 1moeo

Ce résultat ne dépend pas de la fréquence de l’onde, il ne dépendpas non plus de la forme sinusoïdale de cette onde comme on peut levoir en combinant les équations couplées :

dE

dx= - dB

dtet

∂B

∂x= -moeo

∂E

∂tOn obtient alors :

∂ 2 B

∂t∂x= -moeo

∂ 2E

∂t2

et :∂ 2E

∂x2 = - ∂ 2 B

∂t∂xd’où

∂ 2E

∂t2 = 1moeo

∂ 2E

∂x2

On déduit aussi la même équation d’onde pour B, c’est-à-dire :

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∂ 2 B

∂t2 = 1moeo

∂ 2 B

∂x2

Ces deux équations sont bien les équations d’une onde sepropageant à la vitesse :

v = 1moeo

= 1

8.85 ¥10-12( ) 4p ¥10-7( )= 3 ¥108 m / s

ce qui correspond effectivement à la vitesse de la lumière mesurée.

G - La lumière comme onde électromagnétique,Le spectre électromagnétique.

C’est Hertz qui a le premier réussi à produire des ondesélectromagnétiques, à une fréquence de 109 Hz environ. Il a pu détecterces ondes à une certaine distance à l’aide d’une boucle de fil.

Les longueurs d’onde de la lumière avaient pu être mesurées avantmême que l’on sache que c’était une onde électromagnétique, à partir demesures d’interférence. Elles s’étagent pour le visible entre 400 et 800nm (voir Fig. 9).

Fig. 9 Spectre des ondes électromagnétiques

On sait maintenant que leur spectre s’étend, depuis les fréquencesles plus basses, de quelques kHz à 100 GHz pour les ondes radio, lesmicro-ondes vont de 108 à 1012 Hz, de 1010 à 1014 Hz pour les ondesinfrarouges, de 1015 à 1018 Hz pour les rayons ultraviolets, et de 1017 à

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1019 Hz pour les rayons X. Au delà on entre dans le domaine des rayonsgamma et des rayons cosmiques.

H - L’énergie des ondes électromagnétiques ; le vecteur dePoynting.

La densité d’énergie dans un champ électrique E équivaut àuE = 1 2.eoE2 où uE est l’énergie par unité de volume. De la mêmefaçon, nous avons vu que la densité d’énergie correspondant à un champmagnétique s’exprime par uB = 1 2mo B2 ce qui donne une énergietotale pour une onde électromagnétique :

uB = 12eoE2 + 1

2mo

B2

puisque nous avons vu que moeo = 1c et que B = E c , on en déduit :

u = 12eoE2 + 1

2

eomoE2

mo

= eoE2

La densité de puissance associée au champ électrique est égale àcelle associée au champ magnétique.

Par unité de temps, et par unité d’aire, la quantité d’énergie estdonnée par le vecteur de Poynting, appelé S.

rS = 1

mo

rE ¥

rB( )

Sa valeur moyenne est donnée par :

S = 12eocEo

2 = 12

c

mo

Bo2 = Eo Bo

2mo

I - Les équations de Maxwell et les ondesélectromagnétiques dans la matière.

La propagation des ondes électromagnétiques dans la matière estmodifiée par la présence des électrons du système. On doit modifier laconstante diélectrique eo et la perméabilité magnétique du vide mo parcelles du milieu de propagation :

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e = keo et m = kmmo:

La vitesse de propagation des ondes électromagnétiques devientdonc :

v = 1em

= c

kkm

Dans la mesure où km est en général de l’ordre de 1, et puisque kest toujours supérieur à 1, la vitesse de la lumière est toujours plus faibledans un milieu matériel.

Par ailleurs, nous avons vu que le champ électrique ne peut paspénétrer un conducteur, donc une onde électromagnétique est réfléchie àla surface d’un conducteur. Si l’on regarde cet effet précisément, onverra que l’onde pénètre néanmoins sur une faible épaisseur appeléeépaisseur de peau.

J - La forme différentielle des équations de Maxwell.

Il existe une façon plus compacte d’écrire les équations deMaxwell. Cette forme peut s’obtenir en utilisant l’opérateur gradient quise définit par :

r— =

ri∂∂x

+rj∂∂y

+rk∂∂z

et qui nous permet d’écrire la divergence d’une fonction comme :

r—.

rF =

ri∂Fx

∂x+

rj∂Fy

∂y+

rk∂Fz

∂z

Le théorème de Gauss nous dit que, pour une fonction Fquelconque, l’intégrale du flux sur une surface A est égale à l’intégralevolumique à l’intérieur de la surface A, de sa divergence.

rF.d

rA =

r—.

rF.dV

Volume VÚ

Aire AÚ

En utilisant le théorème de Stokes qui établit une relation entrel’intégrale curviligne et l’intégrale de surface par :

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rF.d

rlÚ =

r— ¥

rF.d

rA

Aire AÚ

expression dans laquelle r— ¥

rF s’appelle le rotationnel de F, et s’écrit :

r— ¥ F =

ri .

∂Fy

∂z- ∂Fz

∂y

ÊËÁ

ˆ¯̃+ ∂∂x

+rj .

∂Fz

∂x- ∂Fx

∂zÊËÁ

ˆ¯̃+

rk .

∂Fx

∂y-∂Fy

∂x

ÊËÁ

ˆ¯̃

Utilisant ces deux théorèmes, nous obtenons :

rE.d

rAÚ = Q

eo

=r—.

rE dVÚ = 1

eo

r dVÚ

Les volumes d’intégration étant les mêmes pour le membre dedroite et celui de gauche, les fonctions intégrées doivent être égales entout point.

r—.

rE = r

eo

En traitant de la même façon la deuxième équation de Maxwell,on aboutit aussi simplement à :

r—.

rB = 0

Selon le théorème de Stokes, la troisième équation s’écrit :

rE.d

rlÚ =

r— ¥

rEÚ .d

rA = - dfB

dt

comme :

FE =

rE.d

rAÚ

on a :

r— ¥

rEÚ .d

rA = - ∂

∂t

rB.d

rAÚ

soit :

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r— ¥

rE = ∂

rB∂t

La quatrième équation ,

rB.d

rl = mo I +Ú moeo

dFE

dt se transforme

par l’intermédiaire du théorème de Stokes en notant que :

FE =rE.d

rAÚ

Alors :

r— ¥

rB.d

rA = mo I +Ú moeo

∂∂t

rE.d

rAÚ

Si l’on note que la densité de courant I s’écrit : I =rj.d

rAÚ , on a :

r— ¥

rB.d

rA = mo

rj.d

rAÚ +Ú moeo

∂∂t

rB.d

rAÚ

ce qui donne finalement :

r— ¥

rB = mo

rj + moeo

∂rE∂t

Pour récapituler, nous avons :

rE.d

rAÚ = Q

eo

soit

r—.

rE = r

eo

rB.d

rAÚ = 0 soit

r—.

rB = 0

rE.d

rlÚ = - dfB

dtsoit

r— ¥

rE = - ∂

rB∂t

rB.d

rl = mo I +Ú moeo

dFE

dtsoit

r— ¥

rB = mo

rj + moeo

∂rE∂t