Les expressions

arithmétiques

Qu’est-ce qu’une expression?

Les expressions arithmétiques sont formées à partir de deux (ou plusieurs) nombres séparés à l'aide des opérateurs arithmétiques (+, -, *, /) et éventuellement des parenthèses.

Les opérateurs arithmétiques possèdent un ordre de priorité. Ainsi, si on souhaite modifier la priorité par défaut des opérateurs, il est possible d'utiliser des parenthèses.

Mots et nombres

opérationsponctuation

+ - * / () [] {}, ; - . : ()

NombresMots

Une expression peut être formée même à travers les mots: séparés par des symboles appelés “ponctuation”, ils forment des expressions linguistiques.

Les parenthèses

Les parenthèses indiquent des sous-ensembles de l’expression et il faut les éliminer seulement quand toutes les opérations ont été exécutées en donnant une valeur unique.

Dans les expressions avec parenthèses il faut exécuter d’abord les opérations contenues dans les parenthèses ( ), selon l’ordre des opérations, après les opérations contenues dans les crochets [ ] et, à suivre, celles des accolades { }. Lorsque deux opérateurs possèdent la même priorité, le calcul s'effectue de la gauche vers la droite.

Expression sans parenthèses

On exécute d’abord les multiplications et les divisions, l’une après l’autre selon l’ordre dans lequel elles apparaissent.

On exécute enfin les additions et les soustractions, l’une après l’autre selon l’ordre dans lequel elles apparaissent.

Expression avec parenthèses, crochets et accolades

On exécute d’abord les opérations contenues dans les parenthèses, en respectant les règles des expressions sans parenthèses.

On exécute après les opérations contenues dans les crochets, en respectant les règles des expressions sans parenthèses.

On exécute enfin les opérations contenues dans les accolades, en respectant les règles des expressions sans parenthèses.

Après avoir exécuté les opérations contenues dans une parenthèse, il faut éliminer cette dernière.

Exemple 1

( ) ( )( ) ( )

[ ][ ]

25 2 10 5 9 8 :{56 3 5 6 3 4 10 17 5 4}

50 50 9 8 :{56 3 5 6 12 10 17 5 4}

100 9 8 :{56 3 5 6 2 17 20}

100 9 8 :{56 3 5 12 17 20}

100 9 8 :{56 3 0 20}

100 9 8 :{56 20}

100 9 8 : 36

10

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ − − − ⋅ = = + + ⋅ + ⋅ + ⋅ − − − ⋅ = = + ⋅ + ⋅ + ⋅ − − =

= + ⋅ + ⋅ + − − == + ⋅ + ⋅ − == + ⋅ − == + ⋅ == 0 72 : 36

100 2 102

+ == + =

Exemple 2

( )( )

[ ][ ][ ]

51:{12 3 2 18 9 24 : 6 2 : 6 60} 7

51:{12 3 36 9 4 2 : 6 60} 7

51:{12 3 36 9 2 : 6 60} 7

51:{12 3 36 18 : 6 60} 7

51:{12 3 36 3 60} 7

51:{12 3 33 60} 7

51:{12 99 60} 7

51:{111 60} 7

51: 51 7

1

+ ⋅ ⋅ − ⋅ − − + = = + ⋅ − ⋅ − − + = = + ⋅ − ⋅ − + =

= + ⋅ − − + =

= + ⋅ − − + == + ⋅ − + == + − + == − + == + == + 7 8=

Suppression des parenthèses

Quand on résout les expressions quelques parenthèses superflues peuvent être éliminées tout en respectant les règles suivantes.

Les nombres qui ne sont précédés d’aucun signe d’opérations, sont positifs et on sous-entend le signe +. 12 + 3 = (+)12 + (+)3

Les parenthèses précédées par le signe + peuvent être éliminées en réécrivant les nombres (qui étaient à l’intérieur de la parenthèse) avec le signe qui les précède.12 + ( 3 – 1 ) = 12 + ((+)3 - 1) = 12 + 3 -1

Les parenthèses précédées par le signe - peuvent être éliminées en réécrivant les nombres (qui étaient à l’intérieur de la parenthèse) avec le signe opposé à celui qui les précède. 12 – ( 3 – 1) = 12 - ((+)3 - 1) = 12 - 3 +1

Exercices

Résous les expressions suivantes:

{1+3·26-[(4·5–2·3)·5-(3·5-2):(2·4-1)+2·5]}:[2·4:(2·4-7)-(8·4-8·2):2] =

{[(138:3-2·20):3+56:7]:5+52:4}:3+[12·2-(15+4)] =

{81-[(5·4-2·3)·5-(15·2-2):(2·4-1)+10] }·[8:(2·3-5)-64:8] =

14·3:7:6–(13·2 + 70·10):{93-[500:5+(29-45:3):7+8]:5-5}:11 =

{4·25+2·25+(3·5)·[2·25–5·(36:6-2·2)]-24·25}:(27:3+1) =

Du texte à l’expression arithmétique équivalente.

Traduis les textes suivants par une expression arithmétique et calcules-en la valeur.

Ajoute le produit de trois fois quatre à sept.

Divise quatre-vingt-un par neuf et ajoute quarante à cette valeur.

Divise douze par quatre et ajoute au résultat obtenu la différence de six par trois.

Ajoute les quotients de quatre-vingt-huit par onze et de douze par six.

Calcule la différence entre le quotient de 36 par 2 et le produit de 2 par 3.

Calcule la somme entre le quotient de 12 par 4 et le produit de 2 par 3. Trouve, enfin, le quotient entre le résultat précédant et neuf.

Du texte à l’expression arithmétique équivalente.

Tu disposes d’économies pour un total de 123 euros. Si tu prélèves la première fois 15 euros, la deuxième fois 23 euros et la troisième fois 12 euros combien d’économies tu as encore à disposition ?

Ta mère achète pour toi 10 cahiers à 3 euros chacun et 9 stylos à 2 euros. Combien d’argent elle dépense pour toi ?

Jean achète 5 paquets d’images et Jacques en achète 3. Si chaque paquet contient 6 images, combien de images ils ont au total?

Tu achètes un stylo à 1 euro et un cahier à 2 euros, pour toi et tes deux frères. Combien d’argent tu dépenses au total ?

Trois amis mettent ensemble leurs images et les partagent à parts égales à la fin de la journée. S’ils en mettent 15, 12 et 18 chacun, combien de images appartiennent à chaque ami ?

Du texte à l’expression arithmétique équivalente.

En partant du terminus, un autobus contient 24 passagers. Si dans les trois arrêts suivants 3, 4, 7 passagers descendent et personne ne monte, combien de passagers il y a encore sur l’autobus ?

Dans ta collection de pièces de monnaie, il y a 5 pièces de 5 centimes, 7 pièces de 10 centimes, 2 pièces de 20 centimes e 12 pièces de 50 centimes. Combien de centimes tu possèdes au total?

À la loterie du quartier, tes grands-parents achètent d’abord 8 billets et après encore 10. ils les partagent parmi leurs 6 petits-fils. Combien de billets appartiennent à chaque petit-fils ?

Pour son anniversaire, Jean reçoit de la part de ses grands-mères 10 et 20 euros, de sa tante 35 euros et de son père 25 euros. Combien d’argent il a au total ?