Les Lignes Op

7/24/2019 Les Lignes Op

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La prsence d'un champ statique entre les conducteurs est la consquence de la capacit entre cesconducteurs, quant au champ magntique, il est d l'inductance propre des conducteurs formant laligne. Nous aurons donc besoin d'inductances et de capacits pour notre modle.

4. Pertes dans les lignes

Dans un monde idal, nous pourrions transporter notre signal dans une ligne de n'importe quelle

longueur sans que ce dernier ne subisse d'attnuation. Mais l'isolant entre les conducteurs n'est pasparfait, et diverses pertes (faibles dans la plupart des cas) s'y situent. Nous modliserons ces pertespar une rsistance entre les deux conducteurs.

Les conducteurs eux-mmes ont une rsistance propre, cette rsistance tant en srie dans lesconducteurs, dans notre modle. Il existe une troisime source de pertes, apparente la seconde,dans les circuits de haute frquence, et c'est probablement la plus importante au del d'une centainede MHz, il s'agit de l'effet pelliculaire. L'effet pelliculaire repousse la conduction dans la pelliculeexterne du conducteur. L'intrieur du conducteur ne participe alors pas la conduction et larsistance apparente augmente puisque la section effective du conducteur diminue.

Pour expliquer la cause de l'effet pelliculaire, considrons que le conducteur est compos defilaments longitudinaux, ayant leur propre inductance et inductance mutuelle. Plus la frquence estleve, plus ces inductances sont importantes, comme pour une bobine. Les champs magntiques de

chaque filament contribuent aussi renforcer l'inductance des filaments dans son voisinage.Cependant, vers la priphrie du conducteurs, les filaments externes voient moins de lignes de forcepuisqu'ils ne sont pas entours par d'autres filaments. En consquence leur impdance est plus faibleque ceux plus l'intrieur du conducteur. Le courant dsirant emprunter le chemin de moindreimpdance se retrouve alors concentr la priphrie du conducteur.

L'paisseur de cette pellicule diminue quand la frquence augmente. Cette paisseur est de 1 m 4,5 GHz, de 6,8 m 100 MHz et de 67 m 1 MHz. La rsistance d'un conducteur de 1 encourant continu (4 m de fil de cuivre de 3/10 mm de diamtre) peut par exemple augmenter plusde 11 100 MHz et atteindre 35 1 GHz (voir figure 2).

Figure 2. Valeur de la rsistance en HF d'un conducteur ayant une rsistance de 1 en courantcontinu. L'axe vertical est gradu en ohms. A 1 GHz, le conducteur prsente une rsistance de 35 en

raison de l'effet pelliculaire.

Ici, puisque nous ne considrerons qu'une seule frquence, nous n'aurions besoin de connatre savaleur qu' la frquence considre. Mais par soucis de simplification, nous considrerons que noslignes sont parfaites, donc exemptes de pertes.

5. Modlisation d'une ligne

La figure 3a ci-dessous reprsente ce que nous avons discut jusqu'ici, soit un segment de lignecomportant les 4 lments identifis. Une inductance srie reprsentant l'inductance desconducteurs, ici pour chaque conducteur puisqu'il s'agit d'une ligne symtrique. Puis, entre les


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conducteurs la capacit entre ces conducteurs et les pertes dans le dilectrique. Nous remarquonsimmdiatement la symtrie de ce circuit, normale puisque nous essayons de modliser un segmentde ligne symtrique. A la figure 3c, une reprsentation quivalente o la symtrie est encore mieuxreprsente est reproduit. Le placement de la connexion de masse entre les conducteurs est lgitimepuisqu'une telle ligne est normalement alimente par une source double, symtrique, en oppositionde phase (ce qui signifie que le point milieu ne bouge pas et se trouve donc au potentiel de la masse(voir diagramme 3b).

Figure 3. En a) modled'un segment de ligne

symtrique.

En b) alimentationsymtrique, montrant que

le point milieu de bouge

pas quivalent uneconnexion la masse.

En c) reprsentation

quivalente d'une lignesymtrique.

En d) modle de ligne

asymtrique.

Partant de ce constat, nous pouvons simplifier le modle et reprsenter une ligne asymtrique, c'est--dire coaxiale, en ne considrant que la moiti du circuit, et puisque notre ligne est parfaite,supprimons les pertes, c'est--dire les rsistances, pour finir avec le modle de la figure 3d.

6. Amlioration du modle

Le modle tel que reprsent ci-dessus souffre cependant de deux lacunes importantes; il a laconfiguration d'un filtre passe-bas et a par consquent une frquence de coupure (il agit comme unfiltre au del d'une certaine frquence), de plus, il prsente une frquence de rsonance (circuitLC). deux caractristiques que l'on ne rencontre pas dans les lignes de transmission relles.

Nous devons donc effectuer une comparaison plus critique de notre modle avec une ligne relle, etconstater que s'il reprsente l'inductance et la capacit de la ligne, il fait abstraction de sa longueur.En effet dans notre modle toute l'inductance et toute la capacit sont regroups en un seul endroit.Dans la ralit, chaque petit segment de ligne quelle que soit sa longueur (10 cm, 1 cm, 1 mm,0,1 mm etc.) comporte ces deux lments. Plus la section de cble considre est courte, plus cesdeux lments ont une valeur faible. En fait, il n'y a pas de limite la petitesse des segments quel'on peut considrer. Plus les lments L et C sont faibles, plus la frquence de coupure de noslments de filtre passe-bas est leve. De mme, plus la frquence de rsonance de ces lmentsLC est leve. En fait pour des segments infiniment courts, ces deux frquences sont repousses l'infini. Voila qui explique qu'une ligne de transmission, bien que pouvant tre reprsente partird'lments L et C ne prsente ni frquence de coupure, ni frquence de rsonance.

Figure 4. Le modle de notre ligne. On peut varier sa longueur en modifiant le nombre de cellules LC.

En pratique, nous ne pouvons pas considrer un modle compos d'un nombre infini de cellules LC,mais il suffira que les frquences de coupure et de rsonance de notre modle soient suffisammentleves en regard de la frquence laquelle nous dsirons travailler. Cela dterminera dans unegrande mesure les valeurs de L et C pour chaque cellule lmentaire.


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7. Impdance caractristique

Nous le savons, les lignes de transmissions sont caractrises par leur impdance, mais o se trouvecette impdance, car nous ne sommes en prsence que de deux conducteurs spars par un isolant ?

Utilisons le modle de la figure 4, et appliquons son entre une tension continue travers uninterrupteur. Considrons encore que la ligne ainsi modlise soit extrmement longue, disons delongueur infinie (Figure 5 haut).

Lors de la fermeture de l'interrupteur, un front de tension trs raide va tre appliqu l'entre de laligne. Nous savons cependant qu'une inductance va s'opposer tout changement brusque, ce qui vafreiner (dans le temps) la propagation de ce front vers la cellule LC suivante. De plus, lecondensateur va vouloir se charger cette nouvelle tension, ce qui va aussi prendre du temps.Chaque cellule va ainsi contribuer temprer la progression du front de tension, et chaquecondensateur va se charger, avec un petit dcalage temporel.

Figure 5. En haut, ligne de longueur infinie, en dessous, ligne de longueur finie, termine sur son

impdance caractristique.

Ainsi le front va progresser le long de la ligne, une vitesse infrieure la vitesse maximale depropagation du courant lectrique, soit 300'000 km/s. Ce ralentissement par rapport la vitessemaximale dpend des valeurs lmentaires de L et de C, et se situe entre 0,6 et 0,8 pour les lignescoaxiales usuelles. Ce facteur de ralentissement est nomm Facteur de Vlocit.

Nous voyons que la source va dbiter un certain courant, utilis pour charger tour tour une infinitde petites capacits le long de la ligne. Une source, un courant, nous sommes bien en prsenced'une impdance selon ce cher Georg Ohm, dcouvreur de la loi ponyme.

On peut dmontrer en quelques lignes de math que l'impdance d'une ligne compose de cellulesLC, comme la ntre, peut tre calcule au moyen de :

C

LZ =0

Ainsi, pour le calcul des lments LC de notre modle de ligne, nous n'aurons qu' choisir l'un deslments, par exemple C et l'autre (ici L) sera aisment calcul au moyen de la formule ci-dessus.

Considrons pour la suite de cet expos que nous utilisions une ligne de 50 . Que se passe-t-il, sinous coupons une ligne de 50 de longueur infinie, et si nous plaons une rsistance de 50 la

coupure (figure 5 bas), rien!En effet chaque nouvelle cellule rencontre par le front de tension prsente une impdance de 50 (selon la formule ci-dessus), et donc, remplacer toutes les cellules restantes par une telle rsistancen'a aucune consquence en ce qui concerne la source, qui n'y voit que du feu (si j'ose dire).

8. Construisons notre ligne de 50

Comme mentionn ci-dessus, il nous suffit de slectionner l'un des lments, par exemple C, l'autretant alors aisment calcul. Nous pourrions prendre une valeur de C au hasard et exprimenter,essayons cependant de coller la ralit. Nous allons travailler une frquence de 100 MHz, soit


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une longueur d'onde de 3 m. Un facteur de vlocit typique pour un cble genre RG-58 est de 0,66et sa capacit est de 100 pF/m. Puisque nous travaillerons essentiellement avec des longueurs de , (quart d'onde), nous aurons une longueur approximative de ligne de 50 cm.

cmMHz

skmlligne 504

166,0

100

/000'300=

Un tel segment aura donc une capacit totale de 50 pF. Utilisons cette valeur pour C. L est alors de :

nHCZL 12510.502500 1220 ===

Ces deux valeurs seraient celles utiliser pour un modle tel celui de la figure 3d. Il nous reste donc dterminer le nombre de cellules que nous dsirons. Au del d'une dizaine de cellules, nous seronssrs d'avoir un bon modle, mais puisque nous allons utiliser notre modle principalement pour deslongueurs de l'ordre de , soit 90, choisissons 18 cellules, afin d'avoir une cellule tous le 5.

Finalement, afin d'avoir des chiffres plus aiss manipuler pour L/18 et C/18, modifionslgrement L 126 nH (au lieu de 125 nH) car 126/18 = 7 nH. De mme, passons C 50,4 pF (aulieu de 50 pF) car 50,4/18 = 2,8 pF. Cela ne change rien l'impdance de notre ligne puisque :

===

5010.4,50

10.12612

9

0C

LZ

9. Construisons le netlist

Le netlist (en franais on pourrait dire fichier de description du circuit) est un fichier, destin ausimulateur, dcrivant le circuit simuler, la ou les sources d'entre et le genre de simulation effectuer. Le format du netlist sera identique pour tous les simulateurs de type SPICE, mais denombreux dtails seront diffrents suivant son fournisseur. La version de SPICE utilise ici n'estpas une version commerciale, et le netlist de la figure 6 n'est donn ici qu' titre d'exemple.Cependant les simulations effectues dans le cadre de cet article sont aisment reproductibles avecn'importe quelle autre version de SPICE.

Figure 6. Le netlist pour une ligne de 100 MHz.

La figure 6 reproduit notre netlist. Un titre sur la premire ligne, suivit des valeurs de base quenous avons choisi pour L et C. Puis 'v1', une source sinusodale de 100 MHz et de 1 V de crte, larsistance interne de la source 'r1' de 50 , puis une srie de 18 cellules LC (l1-c1, l2-c2, etc.). Ledernier lment est rl, la rsistance de charge de la ligne, qui vaut 50 si la ligne est normalementtermine, quelques milliohms si la ligne est court-circuite, et quelques mgohms si la ligne estouverte (on ne peut pas aisment court-circuiter ou ouvrir un lment dans SPICE). Finalement laligne 'tran 0.2n 20n' demande SPICE de simuler le circuit pendant 20 ns et faisant une relve destensions/courants tous les 200 ps.


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10. Rgime transi toire, rgime tabli

Dans le cas qui nous intresse, il y a deux temps de fonctionnement considrer. D'abord lemoment entre l'application initiale de la tension sur la ligne, la propagation de ce signal le long de laligne et son ventuel retour vers la source (nous verrons cela plus loin). Puis aprs cette priodeinitiale, nous entrons dans le rgime tabli, le comportement de la ligne est alors indpendant dutemps.

Aprs ce travail prparatoire, nous pouvons appliquer un signal notre ligne et observer soncomportement. Pour le moment, nous allons lui fournir une sinusode de 100 MHz, d'une source de50 et terminer la ligne par 50 galement. La dure d'une priode d'un signal de 100 MHz tantde 10 ns, simulons sur 20 ns, et observons le signal de la source (noeud 1 du netlist), au milieude la ligne (noeud 10) et la fin de la ligne, aux bornes de la rsistance de charge (noeud 19).Rappelons que notre segment de ligne est tudi pour avoir une longueur de la frquence de100 MHz.

Le rsultat de cette simulation est reproduit la figure 7. Nous y voyons le signal de la source (tracen pointill fin, ayant son origine au temps zro). Son amplitude est de 0,5 V peak, la valeur de lasource 'v1' est de 1 V, mais sa rsistance interne de 50 ('r1') et l'impdance de la ligne (50 )forment un diviseur de tension.

Figure 7. Propagation d'un signal dans une ligne de /4, termine sur son impdance caractristique.

Apres un temps de 1,25 ns, le signal atteint le milieu de notre segment de ligne (trace en traitill),puis aprs 2,5 ns enfin le signal fait son apparition en bout de ligne (trace en trait plein). Notonsdonc que pour les premires 2,5 ns, pendant que le signal d'entre chemine le long de la ligne, il n'ya aucun signal sa sortie (premires 2,5 ns de la trace en trait plein).

Puisque notre ligne est termine par une rsistance de 50 , gale l'impdance de la ligne et de lasource, tout le signal y est dissip, le rgime transitoire est termin. Alors commence le rgimetabli, une onde avance dans la ligne, et est entirement dissipe (absorbe) par la charge. Cest lergime dit apriodique ou ondes progressives dans lequel courant et tension sont en phase etconservent respectivement la mme valeur quelle que soit lendroit auquel on fait la mesure le longde la ligne. Par consquent, le quotient de la tension U par le courant I est lui aussi constant tout au

long de la ligne, et correspond limpdance caractristique de celle-ci.

11. Ligne en court-circu it

Considrons un segment de ligne de longueur arbitraire (ici 660, soit 1,833 ) court-circuit en sonextrmit, et tudions son comportement avant de le simuler.


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Figure 8. Cheminement d'un signal sinusodal le long d'un segment de ligne de longueur arbitrairetermin par un court-circuit. Voir le texte pour explications.

Les figures de apreprsentent la situation des instants successifs le long de notre ligne.

En a, une pleine priode du signal a dj progress le long de la ligne, nous somme dans la priodetransitoire. En c, le signal atteint juste la fin de la ligne et rencontre le court-circuit. Sur les figuresde dp, la courbe en trait plein reprsente l'onde directe, celle qui se dplace le long de la ligne degauche droite. La ligne pointille reprsente l'onde rflchie, qui se dplace de droite gauche. Lacourbe en trait gras reprsente la somme des deux autres lignes chaque instant, le long de la ligne,et ne se dplace donc pas. Cest une onde stationnaire.

En d, l'onde directe a progress et a rencontr le court-circuit. Que s'est-il pass ? Puisqu'il y a uncourt-circuit en bout de ligne, la tension doit y tre nulle. Si l'onde directe (trait plein) montre unecertaine valeur positive (point A) il faut qu'il y ait une onde rflchie ayant la mme valeur mais


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ngative (point B) cet endroit, pour une somme nulle (train gras - point C). Gardons l'esprit quel'onde rflchie (pointill) se dplace le long de la ligne de droite a gauche. Notons aussi que surtoutes les figures subsquentes, la somme de l'onde directe et de l'onde rflchie, au point de court-circuit (en bout de ligne) est toujours zro. Cest un nud de tension.

Une ligne en court circuit impose automatiquement un nud de tension (tension nulle) lendroitdu court circuit auquel correspond un ventre de courant (courant maximum) cet endroit. Voir la

figure 8c). Ici, seule londe de tension est reprsente.En e, f, g et h, l'onde directe progresse vers la droite, et l'onde rflchie vers la gauche. Le trait grasreprsente la somme instantane de ces deux ondes se dplaant en sens opposs. De mme, en i, j,k et l.

Maintenant l'onde rflchie a atteint la source, et le rgime transitoire est termin. Cependant, l 'ondedirecte continue son cheminement vers la droite et l'onde rflchie vers la gauche (m, n, o et p).Notons que la courbe en trait gras, qui est la somme des 2 ondes partielles voyageant en directionoppose, reprsente la vraie tension mesurable en tout point de la ligne, et se trouve tre toujourszro au point de court-circuit, ce qui est la moindre des choses!

L'examen de toutes ces courbes, met en vidence le fait que la courbe en trait gras passe d'unminimum (met o), un maximum (netp), mais aussi le fait que les maximas (tantt positifs, tanttngatifs) le sont toujours au mme endroit le long de la ligne. Il s'agit du phnomne d'ondestationnaire.

12. Ligne ouverte, ligne proprement termine

Nous n'avons pas besoin d'aller aussi en dtail dans le cas des lignes ouvertes. Passons sur le rgimetransitoire, similaire au cas de la ligne court-circuite, puisque le signal avanant le long de la lignene sait pas encore ce qu'il va rencontrer.

Quand le signal arrive en bout de ligne (ouverte), il ne peut pas y tre absorb, et doit donc trerenvoy vers la source. De plus, comme l'impdance en bout de ligne est infinie, la tension y est un maximum. La figure 9 ci-dessous reprsente cet tat de fait. Comme pour le cas de la ligne encourt-circuit, le signal en trait plein reprsente l'onde directe et se dplace de gauche droite, lesignal en pointill est le signal rflchi qui se dplace de droite gauche, quant au signal en traitgras, c'est la somme instantane des deux autres signaux, et il ne se dplace donc pas, c'est l'ondestationnaire.

Figure 9. Cheminement d'un signal sinusodal le long d'un segment de ligne de longueur arbitraire non

termin (circuit ouvert). Voir le texte pour explications.

Le signal rflchi ne peut pas subir d'inversion car alors la tension serait nulle en bout de ligne, cequi ne correspond pas au cas d'une ligne ouverte. Le signal est donc renvoy sans inversion.


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Le troisime cas, d'une ligne proprement termine est trivial, seule une onde directe se dplace lelong de la ligne, pour tre totalement absorbe par la charge. Dans ce cas, il n'y a pas d'onderflchie. Cest le rgime dit apriodique ondes progressives comme dj expliqu.

13. Coefficient de rflexion, rapport dondes stationnaires (ROS).

A la figure 8, toute l'onde directe est rflchie, 100% du signal est renvoy vers la source, le

coefficient de rflexion, qui est un chiffre de zro (toute la puissance est absorbe par la charge) 1(toute la puissance est rflchie) est ici de 1. En fait il est ici de 1, car si tout le signal est renvoyvers la source, il est invers dans le court-circuit. Le coefficient de rflexion est normalementreprsent par la lettre grecque (Gamma majuscule).

Dans le cas de la ligne ouverte, tout le signal est aussi renvoy vers la source, mais sans inversionde phase. Le coefficient de rflexion est alors de +1. Quant au cas de la ligne proprement termine,il n'y a pas de rflexion du signal, et le coefficient de rflexion est de zro. Le coefficient derflexion est donc un nombre compris entre 1 et +1. Il est dfini comme le rapport entre l'onderflchie et l'onde directe, il est cependant calcul plus aisment en terme des impdances en jeu :

0

0

ZZ

ZZ

l

l

+

= exprim sans unit.

oZlest l'impdance de la charge etZ0l'impdance de la ligne.Le rapport d'ondes stationnaire (ROS) ou SWR est le rapport entre les valeurs maximales et lesvaleurs minimales de l'onde stationnaire (voir http://www.pilloud.net/op_web/faq.html#06 pourplus de dtails) il est abrg par ROS (SWR ou VSWR en anglais). Dans les deux cas mentionnsci-dessus, nous remarquons que la valeur minimale est de zro par instants l'onde rflchie ayantla mme amplitude que l'onde directe, elle annule cette dernire par moments. Nous sommes doncen prsence d'une division par zro, ce qui donne un rsultat infini. Dans ce cas, le ROS est infini(). Le ROS est calcul de la faon suivante :

min

max

1

1

V

VROS =

+= exprim sans unit.

o les barres de chaque cot de signifient d'en ignorer le signe (valeur absolue) et Vmax estl'amplitude maximale de l'onde stationnaire, alors que Vmin est son amplitude minimale.

ROS (SWR) en foncti on du Coeffic ient de Rflexion

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

Coefficient de Rflexion

ROS(SWR)

Graphe 1. Graphe permettant de passer sans calcul du ROS au Coefficient de Rflexion et inversement.


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Notons que connaissant le ROS, il est possible de calculer le coefficient de rflexion :

1

1

+

=

ROS

ROS

Les deux quations ci-dessus sont rsumes ci-dessus en un graphe permettant de passer tu ROS aucoefficient de rflexion et inversement.

Note : nous avons soigneusement vit toute mention de TOS (Taux d'Ondes Stationnaires)jusqu' maintenant. La raison en est que cet acronyme est gnralement utilis tord pourparler du ROS, et que dans son sens original, il fait double emploi avec le coefficient derflexion.

14. Simulations

Vrifions maintenant toute cette thorie par quelques simulations. Pour que nos rsultats soient plusparlants, utilisons une ligne lgrement plus courte que celle utilise ci-dessus, soit exactement 7quarts d'onde ce qui reprsente 1,75 ou 630.

Le fait que nous choisissions un nombre impair de quarts d'onde n'est pas un hasard. En fait, lecomportement dpeint ci-dessous se retrouvera pour n'importe quelle nombre impair de quartsd'onde (1, 3, 5, etc.). Nous choisissons 7 afin d'avoir des graphes plus aiss interprter nous

aurons ainsi des sinusodes entires plutt que des portions de sinusode.Le graphe de la figure 10 est le rsultat d'une simulation pour une ligne correctement termine, cest dire connecte une rsistance de valeur gale limpdance caractristique de la ligne.

Figure 10. Ligne de longueur 7 /4. Aprs 17,5 ns, le signal apparat la sortie avec la mme amplitude

que le signal d'entre.

La ligne pointille est le signal de la source. Son amplitude est de +/ 500 mV, et il commence autemps zro. La ligne en trait plein reprsente le signal sur la charge, en bout de ligne. Nousremarquons qu'il y arrive aprs 17,5 ns, soit 7 fois les 2,5 ns de temps de propagation pour .Nous remarquons aussi qu'il a la mme amplitude que le signal de dpart, ce qui est normal puisquenous n'avons pas de pertes ni de rflexions. Apres 17,5 ns, le rgime transitoire est termin et nousentrons dans le rgime tabli. Le retard dans la ligne est de 1,75 longueurs d'onde (1,75 ) 100 MHz, et demeure inchang quoiqu'il arrive. Cela suggre qu'une ligne coaxiale peut treutilise en tant que ligne de retard (utile dans certains circuits) ou ce qui revient au mme commelment de dphasage (ici le dphasage est de 630).

Finalement, mentionnons que le comportement d'une ligne proprement termine, c'est--diretermine sur son impdance caractristique est indpendant de sa longueur (sauf en ce qui concernele temps de propagation du signal le long de la ligne), et les pertes (qui sexpriment en dB par mtrede longueur).


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Passons maintenant la simulation de la mme ligne, mais termine par un court-circuit (figure 11),en rduisant la valeur de la charge 50 m, qui est la rsistance de notre court-circuit.

Figure 11. Signal l'entre d'une ligne de longueur de 7 /4 termine par un court-circuit (voir texte).

La ligne pointille est le signal de la source. Son amplitude est de +/ 500 mV au dbut de la

simulation, c'est--dire pendant la priode transitoire. Puisque la ligne se termine par un court-circuit, tout le signal va tre rflchi, il faut donc que la priode transitoire dure le double du casprcdent, le signal devant aller en bout de ligne puis revenir au dbut. La priode transitoire vadonc durer 14 quarts d'onde, soit 35 ns, ce qui est vident sur le graphe de la figure 11, car aprs celaps de temps, nous constatons que quelque chose se passe au dbut de notre ligne.

Figure 12. Rpartition du courant et de la tension dans les cas de a) quart d'onde en court-circuit, b)

quart d'onde ouvert.La figure 12 est un bref rappel de la distribution de la tension (onde stationnaire) le long d'un quartd'onde. Ceci est galement valable pour n'importe quel nombre impair de quarts d'onde. En a),puisque la tension est nulle au point de court-circuit, un quart de sinusode avant c'est--dire endbut de ligne, la tension est maximale voir http://www.pilloud.net/op_web/faq.html#05pour plusde dtails.

Puisque pour notre ligne, nous avons un nombre impair de quarts d'onde (7), nous nous trouvonsdans la mme situation, et la tension rflchie s'ajoute l'onde directe en dbut de ligne, c'estpourquoi, la fin de la priode transitoire (figure 11), la tension double pour atteindre +/ 1 V.Nous sommes alors dans le rgime tabli et plus rien ne change. Notons quand mme la ligne zrovolt, elle reprsente la tension en bout de ligne, qui est nulle puisque la ligne est en court-circuit.

Il y a cependant encore quelques observations importantes faire. Comme on peut le voir sur la

figure 12a, la source ne dbit aucun courant dans la ligne. Ceci peut encore se voir sur la figure 13ci-dessous qui reprsente la source avec sa rsistance interne connecte la ligne (point A).

La figure 11 nous apprend qu'aprs la priode transitoire, l'amplitude de la tension au point A, c'est--dire au dbut de la ligne est de 1 V en pointe. La source aussi a une tension de 1 V pointe (voir netlist), la tension tant la mme des deux cots de la rsistance, cette dernire n'est le siged'aucun courant. On dit d'un circuit qui n'absorbe aucun courant qu'il est ouvert, il agit comme unisolant. En fait, ce comportement n'est exact qu'aux frquences pour lesquelles la ligne a unelongueur lectrique multiple impair de /4, ce qui est notre cas. Une ligne de /4 ou ses multiplesimpairs agit comme un 'inverseur d'impdance'. Un court-circuit devient un circuit ouvert. Nous


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verrons ci-dessous que la rciproque est aussi vraie. En fait, la ligne /4 agit comme untransformateur dimpdance puisque lon trouve tout au long de celle-ci, toutes les valeursdimpdance comprise entre zro et l'infini.

Figure 13. Source idale de 1 V avec sa rsistance interne (par exemple 50 ) alimentant

une ligne court-circuite de /4.

Finalement intressons-nous au cas de la ligne ouverte. Comme pour les autres graphes, la tracepointille sur la figure 14 reprsente le signal fourni la ligne par la source, et celui en trait plein lesignal en fin de ligne.

Figure 14. Comportement d'une ligne ouverte d'une longueur de 7 /4. En pointill, le signal l'entre

et en trait plein, le signal en bout de ligne.

Apres le temps ncessaire pour que le signal progresse le long de la ligne, soit 17,5 ns, le signal faitson apparition en bout de ligne. Cependant il a le double de l'amplitude de l'onde directe, normalpuisqu'il y est immdiatement rflchi, sans inversion, et que ce signal rflchi s'ajoute a l'ondedirecte.

Le signal rflchi voyage maintenant le long de la ligne vers la source, pour un autre laps de tempsde 17,5 ns, soit jusqu'au temps 35 ns. ce moment l, le rgime transitoire est fini et nous entronsdans le rgime tabli, en prsence dondes stationnaires.

Figure 15. Quatre instants successifs d'une sinusode le long d'un segment de 7/4 , non termin.


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Au dbut de la ligne le signal rflchi arrive en opposition de phase avec le signal de la source ; il ala mme amplitude, mais se trouve invers. Ceci est visible sur la figure 15 qui montre un segmentde ligne ouvert d'une longueur de 7 /4 exactement.

Quelle que soit l'amplitude de l'onde directe, l'onde rflchie arrive avec une amplitude gale, maisune polarit inverse, ce qui a pour rsultat que le signal en ce point est nul. On pourrait se dire quepuisque le signal est nul, il n'y a donc rien qui voyage le long de la ligne, il n'en est rien. Il y a une

onde directe et une onde rflchie qui se dplacent, mais leur addition, en ce point, chaque instant(l'onde stationnaire) donne un rsultat nul. Nous nous trouvons un nud de l'onde stationnaire. Cepoint est a basse impdance puisque la tension y est nulle et le courant un maximum. Ceci estvisible sur la figure 14. Aprs 35 ns, il n'y a plus de signal apparent l'entre de la ligne (les petitesondulations sont dues au fait que notre ligne est compose d'lments LC non infiniment petits etprsente donc une frquence de rsonance suffisamment leve ici).

La source dbite donc un courant en un point o la tension est nulle, soit un court-circuit apparent.En fait, ce comportement n'est exact qu'aux frquences pour lesquelles la ligne a une longueurlectrique multiple impair de /4, ce qui est notre cas. Une ligne de /4 ou ses multiples impairs agitcomme un 'inverseur d'impdance'. Un court circuit devient un circuit ouvert, comme vu ci-dessuset un circuit ouvert se comporte comme un court-circuit. Ce comportement peut par exemple tremis en uvre pour crer un filtre qui court-circuite une frquence (celle pour laquelle la ligne a unnombre impair de quarts d'onde) sans affecter les autres (filtre rjecteur).

15. Autres longueurs de lignes, autres terminaisons

Les cas analyss ci-dessus font appel des valeurs extrmes de terminaisons, et nous nous sommesaussi prudemment limits des lignes dont la longueur est un multiple du quart d'onde. Ici nousmentionnons brivement ce qu'il se passe dans d'autres cas.

Dans le cas d'un nombre pair de quarts d'onde, l'impdance prsente en bout de ligne estsimplement reflte en dbut de ligne.

Dans le cas de lignes de longueur quelconque. Si la ligne est proprement termine, elle n'est pas lesige d'ondes stationnaires, et seul le temps de propagation (gnralement sans consquence) estproportionnel la longueur de la ligne.

Si la ligne n'est pas termine sur son impdance caractristique, elle est le sige d'ondesstationnaires, et l'analyse de son comportement requiert la connaissance de la terminaison (rsistiveou complexe) afin de dterminer le coefficient de rflexion. Si la terminaison est rsistive, lesformules ci-dessus permettant de calculer et le ROS (SWR) s'appliquent telles quelles, autrementil faudra faire appel des notions de nombres complexes.

Dans tous les cas de terminaisons autres que les cas tudis ci-dessus, l'onde stationnaire sera demoindre amplitude. Le ROS sera suprieur 1 et moins que l'infini.

En rsum, il existe deux modes de fonctionnements possibles pour une ligne, une fois la priodetransitoire termine, soit en mode dit apriodique ou ondes progressives, soit en ligne accorde ou ondes stationnaires. Dans ce dernier cas, surtout si la ligne a une certaine longueur, on prfreutiliser des lignes symtriques en raison de leurs plus faibles pertes.

16. ConclusionJ'espre avoir prsent quelques concepts intressants, de faon didactique et claire. J'espre surtoutavoir dmystifi le principe des lignes de transmission, de l'effet pelliculaire et du ROS enparticulier. Le recours aux simulations permet de vrifier certains concepts et circuits sans lesfabriquer et sans appareils de mesure. Ici, il nous a permis de vrifier le fonctionnement d'unsegment de ligne, comme si nous tions en quelque sorte l'intrieur de la ligne. Ceci a aussi tl'occasion de prsenter le dveloppement d'un modle, simple mais suffisant pour ces simulations.

Quant aux applications pratiques de tout ceci, elles ont t mentionne au cours du texte, les lignesde transmissions pouvant servir de transformateurs d'impdance, de circuits rsonants (quart d'onde


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court circuit), de circuits rjecteur (quart d'onde ouvert), de lignes de retard, d'lment dedphasage et mme pour le transport d'nergie haute frquence vers votre antenne.

Je tiens remercier Werner Tobler HB9AKN pour la relecture de cet article, pour les correctionsqu'il y a apport, pour ses suggestions bienvenues, et surtout pour le graphe du ROS en fonction ducoefficient de rflexion.

Rfrence :

Le Radio-Amateur, prparation l'examen technique, manuel de rfrence. O. PilloudCircuits de llectronique Jean Quinet tome 3 Editeur Dunod consacr la thorie des lignes.La pratique des antennes de Charles Guilbert F3 LG Rdit Editions RadioLes antennes de Robert Piat de F3 XY Editions RadioInductance calculations F.W. Grover 1946

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