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27/04/22 JM Dalbarade - Paris Dauphine 1 Les marchés de taux d’intérêt

Les marchés de taux d’intérêt

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Les marchés de taux d’intérêt. Le zéro-coupon. F 1 = 105. i = 5 %. F 0 = 100. Le taux i = 5% est-il un taux d’intérêt ? un taux de rendement ? un taux d’actualisation ?. Prêt + Remboursement Achat + Revente. Trois techniques de calcul. Les taux simples (monétaires) - PowerPoint PPT Presentation

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Page 1: Les marchés de taux d’intérêt

19/04/23 JM Dalbarade - Paris Dauphine 1

Les marchés de taux d’intérêt

Page 2: Les marchés de taux d’intérêt

Le zéro-coupon

19/04/23 JM Dalbarade - Paris Dauphine 2

F0 = 100

F1 = 105

i = 5 %

Le taux i = 5% est-il • un taux d’intérêt ?• un taux de rendement ?• un taux d’actualisation ?

• Prêt + Remboursement• Achat + Revente

Page 3: Les marchés de taux d’intérêt

19/04/23 JM Dalbarade - Paris Dauphine 3

Trois techniques de calcul

• Les taux simples (monétaires)

• Les taux composés (actuariels)

• Les taux continus

Page 4: Les marchés de taux d’intérêt

19/04/23 JM Dalbarade - Paris Dauphine 4

L’intérêt simple

I = i F t

Le flux F La durée t

Post-compté = L’intérêt est calculé sur le flux initial

F = F0

Précompté = L’intérêt est calculé sur le flux final

F = Ft

Base t = d / A

t = Exact / 360

t = Exact / 365

t = Exact / Exact

t = 30 / 360

. . .

Le nominal peut être F0 et l’intérêt est payable à l’échéance (IPE) ou Ft et l’intérêt est payable d’avance (IPA)

Page 5: Les marchés de taux d’intérêt

19/04/23 JM Dalbarade - Paris Dauphine 5

Les taux monétaires (simples)

0

t

Durée t

0F

tF

Capitalisation Actualisation Rendement

Post-compté

Précompté

itFFt 10

itFF t 10

it

FF t

10

it

FFt

1

0

0

01

F

FF

ti t

t

t

F

FF

ti 01

Attention à la mesure de t !

Page 6: Les marchés de taux d’intérêt

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Exercice n° 1Le marché primaire des Bons du Trésor

Quel est le montant dû, lors d’une adjudication de Bons du Trésor à 13 semaines, pour une soumission de 10 millions d’euros, au taux de 1,35 % ?

NB : Le taux pratiqué est post-compté IPA

Page 7: Les marchés de taux d’intérêt

19/04/23 JM Dalbarade - Paris Dauphine 7

Les taux actuariels (composés)

0

t

Durée t

0F

tF

Capitalisation Actualisation Rendement actuariel

tt iFF )1(0 t

t

i

FF

)1(0 1

1

0

tt

F

Fi

Attention à la mesure de t !

Page 8: Les marchés de taux d’intérêt

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La « norme » du taux actuariel

Exemple classique de conversion d’un taux monétaire im en un taux actuariel ia pour une durée d’application de d jours :

36500 )1(

3601

d

am iFd

iF

1360

1

365

d

ma

dii

Page 9: Les marchés de taux d’intérêt

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Exercice n° 2Le marché secondaire des Bons du Trésor

Suite de l’exercice n° 1 :

Les Bons du Trésor acheté lors de l’adjudication sont revendus au bout d’une période de 21 jours au taux de 1,05 %.

• Quelle est la valeur de cession ?

• Quel est le rendement actuariel de l’opération d’achat/vente ?

Page 10: Les marchés de taux d’intérêt

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Les taux continus (composés)

0

t

Durée t

0F

tF

Capitalisation Actualisation Rendement continu

rtt eFF 0 rt

teFF 0

0

ln1

F

F

tr t

Page 11: Les marchés de taux d’intérêt

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Interprétation du taux continu

Limite de la capitalisation d’un taux d’intérêt simple r = 5 %

Nb de périodes Formule Capital dans 1 an

1 (année) 1 + r 1,050000

2 (semestres) (1 + r/2)2 1,050625

4 (trimestres) (1 + r/4)4 1,050945

12 (mois) (1 + r/12)12 1,051162

365 (jours) (1 + r/365)365 1,051267

Infini er 1,051271

On obtient donc si i est le taux sur 1 an : er = (1+i) ou r = ln(1+i) (NB : On peut aussi intégrer l’équation différentielle dF = r F dt … !)

Page 12: Les marchés de taux d’intérêt

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Utilisations comparées

Comparez les 3 types de taux, simples, actuariels et continus, pour le calcul d’un taux global ou moyen.

- Un même taux est appliqué sur 2 périodes successives de durées t1 et t2

- On applique 2 taux différents sur 2 années successives- Un portefeuille est composé de 2 actifs de rendements annuels différents, dans les proportions 1 et 2.

Page 13: Les marchés de taux d’intérêt

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Exercice n° 3Les taux Euribor

Sur un tableur …

Convertir les taux Euribor du jour, pour les maturités de 1 à 12 mois, en taux actuariels et en taux continus.Représentations graphiques.

Page 14: Les marchés de taux d’intérêt

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Les structures de flux

Une opération de taux peut correspondre à l’acquisition d’une structure de flux.

Prix P

F1 F2

Fn

t1 t2 tn

La décomposition en n emprunts zéro-coupon, avec un même rendement actuariel i, permet d’écrire :

ntn

tt i

F

i

F

i

FP

)1()1()1( 21

21

. . . . .

Page 15: Les marchés de taux d’intérêt

19/04/23 JM Dalbarade - Paris Dauphine 15

Prix et rendement actuariel

• Le prix est entraîné à la baisse par la hausse du taux• Le rendement actuariel s’améliore quand le prix est bas

ntn

tt i

F

i

F

i

FP

)1()1()1( 21

21

Prix

Rendement

P

i

Page 16: Les marchés de taux d’intérêt

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L’analogie avec l’actualisationpour une opération d’investissement

Années 0 1 2 … n

Encaissements R1 R2 … Rn

Décaissements I D1 D2 … Dn

nn

i

CF

i

CF

i

CFIVAN

111 221

Le cash-flow de l’année i est CFi = Ri - Di

Page 17: Les marchés de taux d’intérêt

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Introduction au risque de taux

Achat de 2 emprunts zéro-coupon au taux de 5 %.

Actif Prix d’émission Remboursement

Zéro-coupon 2 ansZéro-coupon 5 ans

100100

100 × 1,052 = 110,25100 × 1,055 = 127,63

Immédiatement après l’acquisition, les taux passent à 6 %.

Actif Prix de marché Remboursement

Zéro-coupon 2 ansZéro-coupon 5 ans

110,25/1,062 =98,12127,63/1.065 =95,37

110,25127,63

Page 18: Les marchés de taux d’intérêt

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La duration d’un zéro-coupon

La variation que subit le prix de marché d’un zéro-coupon lorsque le taux d’intérêt varie est d’autant plus forte que sa durée est longue.

Ainsi, pour un zéro-coupon,

Duration = Durée

Page 19: Les marchés de taux d’intérêt

19/04/23 JM Dalbarade - Paris Dauphine 19

Duration d’une structure de flux

P

F1 F2

Fn

t1 t2 tn

La duration d’une structure de flux est la moyenne des durées pondérées par les flux actualisés.

n

n

tn

tt

tn

ntt

i

F

i

F

i

Fi

Ft

i

Ft

i

Ft

D

)1()1()1(

)1()1()1(

21

21

21

22

11

D

. . . . .

Page 20: Les marchés de taux d’intérêt

19/04/23 JM Dalbarade - Paris Dauphine 20

Exemple de duration

100

10

1

32

32

1,1

110

1,1

10

1,1

101,1

1103

1,1

102

1,1

101

D

D

0

10

2

110

3

i = 10 %

73,2100

64,82326,8209,91

D

D

Page 21: Les marchés de taux d’intérêt

19/04/23 JM Dalbarade - Paris Dauphine 21

La sensibilité

La sensibilité mesure le rapport entre la variation du prix, en pourcentage, et la variation du taux d’intérêt .

i

P

PiPP

S

1

iSD 1

Une sensibilité égale à 5 signifie que le prix baisse de 0,05 % quant le taux monte d’un point de base (0,01 %).

On démontre que sensibilité et duration sont reliés par :

Page 22: Les marchés de taux d’intérêt

19/04/23 JM Dalbarade - Paris Dauphine 22

La date d’immunisation

P

F1 F2

Fn

t1 t2 tn

La duration peut être comprise comme la date à laquelle la valeur de la structure est insensible à la variation des taux

Si les taux montent :

D

. . . . .

Le gain réalisé sur la capitalisation des flux reçus jusqu'à la date D,

compense

La perte réalisée par l’actualisation des flux à la date D.

Page 23: Les marchés de taux d’intérêt

19/04/23 JM Dalbarade - Paris Dauphine 23

Anticipation de hausse des taux d’intérêt

Un investisseur anticipe une hausse régulière des taux d’intérêt jusqu’à la date D (durée du placement).

Comment doit-il placer ses ressources ?

Page 24: Les marchés de taux d’intérêt

19/04/23 JM Dalbarade - Paris Dauphine 24

Anticipation de baisse des taux d’intérêt

Un investisseur anticipe une baisse régulière des taux d’intérêt jusqu’à la date D (durée du placement).

Comment doit-il placer ses ressources ?

Page 25: Les marchés de taux d’intérêt

Le marché obligataire

• Les obligations à taux fixe– Amortissement in fine– Zéro-coupon, rente perpétuelle et prêt

amortissable

• Les obligations à taux variable– Références pré et post-déterminées

• Les clauses particulières– Indexation, primes, obligations assimilables

Page 26: Les marchés de taux d’intérêt

Taux fixe coupon annuel

En l’absence de prime à l’émission et de prime au remboursement, le rendement actuariel est égal au taux du coupon (à démontrer…).

Après l’émission, le prix se décompose en prix pied de coupon et coupon couru.

100

4

1

0

4

2

104

3

Page 27: Les marchés de taux d’intérêt

Exercice sur Excel

Identifier sur Internet les caractéristiques d’un emprunt d’état français (OAT) et prélevez son cours et coupon couru.

Calculer le taux de rendement actuariel, la duration, la sensibilité et la convexité.

Page 28: Les marchés de taux d’intérêt

Le prêt amortissable à taux fixe

• A chaque période, une part du capital emprunté est remboursée

• L’intérêt est calculé sur le capital restant dû (encours ou KRD)

• Le total remboursé est la somme des intérêts payés et du capital « amorti ». Il peut être constant sur l’ensemble de la période de remboursement.

Page 29: Les marchés de taux d’intérêt

19/04/23 JM Dalbarade 29

Exercice

Un emprunt de 66 200 $ est remboursé en 3 annuités constantes de 26 620 $ pendant les 3 années suivantes.

1.En construisant le plan d’amortissement du prêt, vérifiez que le taux d’intérêt est de 10 % ?

2.Quel est le taux rendement actuariel du prêt ?

3.Peut-on décomposer le prêt en 3 zéro-coupons ?

Page 30: Les marchés de taux d’intérêt

19/04/23 JM Dalbarade 30

L’annuité de remboursement d’un prêt amortissable

ni

A

i

A

i

AK

111 2

11

1

1

11

1 niii

AK

i

ii

RK

n

11

1

1

11

1

nii

AK

1

11

Page 31: Les marchés de taux d’intérêt

La rente perpétuelle

Le capital n’est jamais remboursé…

ni

A

i

A

i

AK

111 2

i

AK

Page 32: Les marchés de taux d’intérêt

Les emprunts à taux variable

Références prédéterminées : Les taux sont prélevés avant le début de la période d'application (exemple : Euribor).

Références post-déterminées : Les taux sont prélevés à la fin de la période d'application (exemple : TAM).

Montants d'intérêt variables

Achat de l'emprunt

Page 33: Les marchés de taux d’intérêt

Les indices de taux d'intérêt

• Euribor ( ou Libor ) Taux monétaires de 1 à 12 mois

• Eonia( TJJ ) Taux monétaire au jour le jour

• TMM (T4M)Moyenne arithmétique des EONIA d'un mois

• TAMComposition de 12 TMM consécutifs

• TEC 10Taux actuariel d'une OAT de 10 ans

(obtenu par interpolation)

Page 34: Les marchés de taux d’intérêt

Les coupons des empruntsà taux variable

A l'indice prélevé s'ajoute une marge commerciale soit additive Exemple : Euribor + 0,5 % soit multiplicative Exemple : 1,1 × TAM soit mixte Exemple : 0,9 × TAM + 0,5 %

Des seuils plafond et plancher peuvent être définis.

Page 35: Les marchés de taux d’intérêt

Le prix et le coupon des emprunts

Le coupon… Le prix…

Emprunt à taux fixe …reste fixe …s’adapte

Emprunt à taux variable …s’adapte …reste fixe

Quand les taux d’intérêt changent …

… approximativement

Page 36: Les marchés de taux d’intérêt

Le risque associé à unemprunt à taux variable

• Le risque "instantané" est très faible, limité à l'influence du premier coupon à recevoir.

• Le risque relatif à un horizon futur est croissant avec cette date d'évaluation.

Page 37: Les marchés de taux d’intérêt

La marge actuarielle

• Cristallisation

• Tr = Rendement actuariel après cristallisation

• Tc = Taux de cristallisation

• Marge actuarielle Ma = Tr - Tc

Page 38: Les marchés de taux d’intérêt

La courbe des taux d'intérêt

La courbe des taux d'intérêt est la représentation graphique des taux en fonction des durées sur lesquelles ils s'appliquent.

• Pour que les comparaisons selon ces durées soient pertinentes, il convient d'utiliser des taux composés, par exemple des taux actuariels.• Pour que les durées d'application soient clairement définies, on ne retient que des opérations à deux flux, c'est-à-dire des emprunts zéro-coupon.

Page 39: Les marchés de taux d’intérêt

Actualisation sur la courbe des taux

P

F1 F2

Fn

t1 t2 tn

La décomposition en emprunts zéro-coupon d'une structure de flux implique l'usage de taux d'intérêt différents prélevés sur la courbe des taux zéro-coupon.

ntn

ntt i

F

i

F

i

FP

)1()1()1( 212

2

1

1

. . . . .

Page 40: Les marchés de taux d’intérêt

Exercice

A partir des taux zéro-coupon ci-dessous,

Durées 1 an 2 ans 3 ans

Taux zéro 0,5 % 1 % 1,5 %

quel est le taux de référence (hors marge commerciale) d’un emprunt obligataire à taux fixe, coupon annuel, de durée 3 ans, émis et remboursé au pair ?

Page 41: Les marchés de taux d’intérêt

Calcul d'un taux à terme (1)

Hypothèse :

Taux zéro-coupon à 1an = 4 %

Taux zéro-coupon à 2 an = 5 %

Quel est le taux à terme à 1an dans 1an ?

0 1

1

1 + i ?

2Taux à terme ?

Page 42: Les marchés de taux d’intérêt

Calcul d'un taux à terme (2)

Opération de terme contre terme :

• Le montant emprunté (sur 2 ans) est de 1/1,04• Le montant produit par le placement sur 1an est alors

de 1• Le montant remboursé 1 an plus tard est donc

( 1/1,04 ) × 1,052 = 1,0601Le taux à terme est donc de 6,01 % .

0

1

1 + i

Placement à 4 %

Emprunt à 5 %

Page 43: Les marchés de taux d’intérêt

La théorie des anticipations

• Si le taux anticipé est inférieur à 6 % Emprunt à 4 % sur 1 an

+ Placement à 5 % sur 2ans• Si le taux anticipé est supérieur à 6 %

Emprunt à 5 % sur 2 ans + Placement à 4 % sur 1an

Le taux à terme, déduit de la courbe des taux, est le taux anticipé par le marché ( LUTZ ) .

0 1 2 4 % 6 %

5 %

Le refinancement au taux du 1 an (1iercas) ou le replacement à 1an (2ème cas) assure un gain spéculatif.

Page 44: Les marchés de taux d’intérêt

Exemple d’une couverture à terme de taux d’intérêt

Une entreprise doit emprunter dans 3 mois un montant de10 000 000 € pour une durée de 6 mois.

6 mois

Aujourd’hui3 mois Taux d’intérêt ?

10 000 000 €

10 000 000 €

+ Intérêt ?

Comment peut-elle fixer dès aujourd’hui le taux d’intérêt futur ?

Page 45: Les marchés de taux d’intérêt

Le terme contre terme

L’entreprise qui souhaite emprunter dans 3 mois 10 000 000 €pour une durée de 6 mois peut :• Emprunter immédiatement sur une durée de 9 mois.• Placer temporairement sur une durée de 3 mois.

Placement 3 mois

Emprunt sur 9 mois

6 mois

L'entreprise fixe ainsi le montant reçu dans 3 mois et le montant remboursé 6 mois plus tard, c'est-à-dire son taux à terme.

Page 46: Les marchés de taux d’intérêt

Le FRA(Forward Rate Agreement)

• Date de conclusion …………………………......• Acheteur et vendeur …………………………….• Montant…………………………………………...• Période d’application ……………………….......• Taux fixe ………………………………………....• Taux variable ………………………………........• Date de détermination du taux variable ……...

Page 47: Les marchés de taux d’intérêt

Le FRA (questions)

Comment est calculé le différentiel ? Comment est déterminé le taux fixe ? Comment couvrir un FRA ?

Page 48: Les marchés de taux d’intérêt

Exercice

Durée 1 an 2 ans 3 ans 4 ans 5 ans

Taux zéro 0,5 % 1 % 1,5 % 2 % 2,5 %

A partir des taux zéro-coupon ci-dessous,

calculer tous les taux à terme calculables sans interpolation, ni extrapolation… Mais au fait, combien y-a-t’il de taux à terme calculables ?

Page 49: Les marchés de taux d’intérêt

Interprétation de la courbe des taux

Selon la théorie des anticipations :• Une courbe des taux normale (croissante)

correspond à une anticipation de hausse des taux .

• Une courbe des taux inversée (décroissante) correspond à une anticipation de baisse des taux .