LesmathmatiquesduchaosClaireChavaudret/Matredeconfrenceenmathmatiques,chercheuseauLaboratoireJ.A.Dieudonn,UniversitdeNice

SophiaAntipolis/September11th,2015sciencedevelopment

Dansdenombreuxdomaines,laprisededcisionestaffecteparladifficulttablirdesprvisionsfiables.Ainsilecomportementdesmarchsfinanciersetdesconsommateurs,lesphnomnesmtorologiques,l'volutiond'uncosystmeouencorelemouvementdecertainscorpsclestesfournissentdesexemplesdecesphnomnesimprvisiblesquiontunimpactsurl'activithumaine.Certainsdveloppementsdesmathmatiquespeuventaiderrduirecetteimprvisibilitou,dumoins,laprendreencompted'unpointdevuestratgique.Lathoriedesprobabilitsjouebiensrcerle,maisgalementlamcaniquedesfluidespourl'tudedelaturbulence,ouencorelessystmesdynamiquespourl'tudedesphnomnesditschaotiques,quiconstituentuneclasseparticuliredephnomnesimprvisibles.

Historiquement,lathoriedessystmesdynamiquesnapasimmdiatementfournidesoutilsdeprvision.Aucontraire,lestravauxdeHenriPoincar,lafinduXIXesicle,ontdabordpermisdeserendrecomptedelatropgrandecomplexitdecertainssystmesqueloncroyaitpourtantsimplesetquitaientdterministes(cestdirequelanotiondehasardnyintervenaitpas).

Cenestquedansundeuximetempsquecertainsoutilsontpermisdecontournercetteimprvisibilit.CestlecasdesmesuresdeSinaiRuelleBowen,unoutilmathmatiquelabordanslesannes1970.Cesmesurespermettentdefairelelienentrelessystmesdterministesetlathoriedesprobabilits,enquantifiantlaprobabilitquunsystmechaotiquefinisseparvisiteruntatdonn.Maislapportdesmathmatiquesduchaosneserduitpaslaprvision,quirestedailleursforcmentlimite.

Lasimulationmathmatiquedephnomnesrelspeutprsenterunintrtpratique:parexemple,lindustriecinmatographiquefaitusagedesfractalespourobtenirdesdcorsplusralistes.

Lasimulationpeutaussiaidermieuxapprhendercesphnomnes,enfaisantapparatredesressemblancesetendveloppantlintuitionetlacomprhension.Lestudessurlechaosprsententeneffetunecertainevaleurexplicative.Lundesdfisdelascienceestdecomprendrelmergencedelacomplexitpartirderglessimples.Lessystmesdynamiquesapportentleurcontributioncedfi.

Lesmathmatiquespeuventenfinfournirdesoutilsdertroactioncontrlesurlaralit.Unbelexempleenestfourniparlessatellites,quisontlaplupartdutempscontrlsde

manireclassiqueavecunequantitsuffisantedecarburant,maispourlesquelslaconnaissanceduchaospourraitpermettredesconomiessubstantielles:cestlobjetdelathorieducontrlechaotique.

Ltudedesphnomneschaotiquesprsentedoncunintrtpratique.Mais,aufait,questcequelechaos?

Lechaos,unenotionexprimentale

Lanotiondechaosestdabordexprimentale,utiliseavanttoutparlesphysiciensettenduedansdautressciencesexprimentalestellesquelcologie,lamtorologieoulamdecine.Parexprience,ilfautentendreaussibienlobservationdephnomnesrels,parfoisrecrsenlaboratoire,quelanalysedesimulationsnumriques,quiatrenduepossibleparledveloppementdelapuissancedecalculdesordinateursdepuislesannes1970.

CestainsiquelesastronomesontobservduchaosdanslorbitedunsatellitedeSaturne,Hyprion.Bienquvoluantglobalementsuruneorbitergulire,Hyprion,quinestpasdeformesphrique,prsentedesvariationssoudainesdesesaxesderotation,parlesimplejeudesinteractionsgravitationnellesaveclaplanteetlesautressatellites.

Dansuntoutautredomaine,encologie,onobservedesphnomneschaotiques:mmedansuncosystmedelaboratoirerduitsaplussimpleexpression,parexempledesmouchesdansunbocal,lesfluctuationsdeseffectifsdesespcesobservespeuventtrenonseulementvariables,maisaussiapriodiquescestplusforteraisonlecasdescosystmesrels.

Onvoitquelechaossexprimente,enpremierlieu,commeunerupturedanslapriodicitlolonsattendaitobserverdescycles.Celapeutaussiarriverdanslecorpshumain:ainsidestudessurlessignauxlectriquesdanslecerveauontrvllaprsencedechaos,cestdireduneapriodicitquinestpasdueaubruitextrieurniaudispositifexprimental.Onobservediffrentesformesdechaosselonltatducerveau(veille,sommeilouencorepilepsie),cequipourraitouvrirlavoiedenouveauxoutilsdediagnosticpourlesmaladiesdeParkinsonetdAlzheimer.

Uneautrecaractristiqueduchaos,peuttrelaplusconnue,estlasensibilitauxconditionsinitiales.Lemouvementestdautantplusimprvisiblequildpenddemanireinfinitsimaledesontatunmomentdonn:lamoindremodificationengendreraunmouvementtotalementdiffrent.Ainsi,onnepourrapasenfaireuneexpriencetotalementreproductibleenlaboratoire.Aumieux,onpourradgagerdesgrandstraitsquelonserasrderetrouverchaqueexprience.

Cesdeuxaspectssontprsentsdansdesmodlesmathmatiquescourammentutiliss,cequiaconduitlesmathmaticiensformulerleurdfinitionduchaos.

UnepremiredfinitionmathmatiqueduchaosMmesidiffrentsmathmaticienspeuventdfinirdiffremmentlechaos,ladfinitionsuivante,prciseetrestrictive,faitplusoumoinsconsensus.Sonprincipalavantageestdepermettredediredeschoses,cestdiredefairedessimulations,deprdire,decontrler.

Pourtreconsidrcommechaotique,unsystmedoit:

tresensibleauxconditionsinitiales,cestdirequedepetitescausespeuventavoirdegrandseffets.Lasensibilitauxconditionsinitialesestlautrenomdelinstabilit,unconceptexplorparlcolerussedeLyapunov.

contenirdelarcurrence,cestdirequunmouvementpartantdunpointrepasserauneinfinitdefoisaussiprsquelonveutdupointinitial.Enparticulier,ilpeutyavoirbeaucoupdemouvementspriodiques,quiauboutduncertaintempsreviennentexactementleurpointdedpart.

Lapremireconditionnesuffitpas,carlessystmesditshyperboliques,quinesontpaschaotiques,prsententeuxaussiunecertainesensibilitauxconditionsinitiales.Ilsuffitdeprendrelexempleduncolenmontagne:sionlcheunebilleenunpoint,elleseretrouveradansunevallesionlalchequelquesmtresplusloin,ellefiniradanslautrevalle.Celanapourtantriendechaotiqueetcestmmeparfaitementprvisible.

Ladeuximepropritnesuffitpasnonplusobtenirlimprvisibilitpuisquelleestvrifieparlessystmesdonttouteslesorbitessontpriodiques(commedessystmessolairesidaliss),quisontlarchtypedesmouvementsprvisibles.

Ilfautdoncaumoinscesdeuxaspectspourobtenirdelimprvisibilit.Mathmatiquement,celapeutseproduiredansdessystmestrssimples,deuxconditions.

Unepremireconditionestlaprsencedunerelationnonlinaire.Leffetneserapasproportionnellacausecommedansunmodlelinaire,ilsera,aucontraire,disproportionn.Mmelquationnonlinairelaplussimplequisoit,lquationdeRicatti,adessolutionsquiexplosententempsfini.Onnoteraquedanscecasprcis,ilnesagittoujourspasdechaospuisquelessolutionssontaismentcalculables.

Ladeuximeconditiontientaunombredevariablesquiinteragissent.

Lechaospeutmergerdansdessystmespetitedimension,maispasdansdessystmesuneoudeuxvariables.CestuneconsquenceduthormedePoincarBendixson,quiestfondsurlefaitquedansunplan,unecourbefermepossdeunintrieuretunextrieur.LethormedePoincarBendixsonmontrequendimensiondeux,cequelonpeutobserver,cesontsoitdestatsstationnaires,soitdesmouvementspriodiques.

Dsladimensiontrois,enrevanche,lechaospeutsemanifester.UnbonexempleestlesystmemtorologiquesimplifideLorenz.Onyvoitcommentunpetitnombredquations,contenanttrspeudevariables,suffisentgnrerdesmouvementsdifficilesprdire,surtoutsilonsintresselasuccessiondesdiffrentstatsetnonpasseulementltatdusystmelongterme.

ObserverdelordredanslechaosHeureusement,lesmathmatiquesnepermettentpasseulementdeconstaterlaprsencedunsignaloudunequantitquivoluentdemanirechaotiqueouimprvisible,maisaussidedpasserlanotiondechaos,unpeudsesprante,pouroffrirdenouveauxoutilsdedescription.

Onpourraainsidcrirecequisepasseenmoyenne,oupresquesrement(enadoptantunpointdevueprobabiliste),ouencoregnriquement(dunpointdevuetopologique).Carlechaos,pourunmathmaticien,nestpassynonymededsordreabsoluoudetotaleinstabilit.

Pourdistinguerdesformesdanslessystmeschaotiquesetformulermalgrtoutquelquesprdictionsoudescriptions,ondisposededeuxnotions:celledattracteur,quifaitappellatopologie,etcelledemesureinvariante,quifaitappellathoriedesprobabilits.

Unattracteurdlimiteunezonedanslaquelleilestcertainquelesystmevolueralongterme.Unsystmechaotiquesedistingueparlefaitquecettezoneauneformetrscomplexe,commedanslesystmemtorologiquedeLorenz(onparlealorsdattracteurtrange).

Unemesureinvariantedonneletempsmoyenquunetrajectoiredusystmepassera,probablement,dansunensembledtatsdonn.Notonsquici,lintroductiondelathoriedesprobabilitsnesefaitquedansundeuximetemps,lintrieurdusystmeetnonpaspourreprsenterunbruitextrieur.Celatraduitunevisionpragmatiquedesprobabilitsetdelalatoire:onintroduitlanotiondalatoireloilestpratiquementimpossibledeprdirecoupsr,sanspourautantsupposerquelalatoireestintrinsqueauxphnomnesquelonobserve.

Lesfrontiresduchaosclassique:lalatoireetlimprdictible

Danslesphnomneschaotiquesausensstrict,ledsordreestintrinsqueausystme.Celaexclutlessystmesalatoires,danslesquelsledsordrevientdelextrieur.Cettedistinctionestutilepourconsidrerlaquestiondesmarchsfinanciers,parexemple.Limprvisibilitestelleintrinsqueauxmarchs,ouvientelledetouslesalasquilesinfluencent?Cettequestionnestpastranche.

Lechaossedfinitentoutcascommeuncomportementapparemmentalatoire.Cestundsordre,maisquisinscritnanmoinslintrieurdunsystmedterministe.

Ceciappellequelquesprcisions.Laplace,danssonEssaiphilosophiquesurlesprobabilits,dfinitainsiledterminisme:cestlepostulatselonlequel,sinotreintelligencetaitinfinie,nouspourrionscalculeravecuneprcisioninfinieltatfuturdunsystme,unhorizondetempsarbitrairementgrand,laconditiondeconnatre,avecuneprcisioninfinie,ltatactueldusystmeetsonpass.Autrementdit,lestatspasss,prsentsetfutursdusystmesontentirementrelis.

Historiquement,cepostulatatinterprtcommelapossibilitdeformulerlesloisdelanaturepardesquationsdiffrentiellesordinaires,danslesquelleslaconnaissancedeltatdusystmeunmomentdonnsuffiteneffetcalculeraussibienlepassquelefutur.Lemploidemodlesdterministesdanslessciencesestuneapplicationdecepostulat.

Certainsphnomnesdterministessonttoutefoispratiquementimprvisibles,etcesticiquelonparledechaos.

Enpratique,pourtreslectionnsetregroupsparlacommunautscientifiquesousceterme,lesphnomnesdterministesimprvisiblesdoiventdriverderglessimples.Cestlecasparexempledesquationsdelamcaniqueclassique.Cestaussilecasdesrglesditrationdutypeprendreunnombre,passersoninverse,enleverlapartieentire(applicationdeGauss).

Pourtreditschaotiques,cesphnomnesdoiventgalementapparatredansdessystmespetitnombredevariables.Ainsi,lamcaniquedesfluides,quimodlisedessystmesrassemblantuntrsgrandnombredeparticules,nerelvepasdesmathmatiquesduchaos.

Lechaos,ausenscommunmentadmisparlesscientifiques,dsignedoncuneformededsordrequiestencorerelativementconfortablepournotreesprit.Ildrivedemodlesextrmementsimples,tandislaralitquinousentoure,pourtreparfaitementdcriteparlesmathmatiques,ncessiteraitsansdouteunnombreimmensedevariablesetdeparamtres.

Lacomplexitdelanaturenestpaspuiseparlesmathmatiquesduchaos,mmesicesdernirespermettentdelexpliquerenpartie.

Enparticulier,lesmathmatiquesduchaosneportentpassurlessystmesdedimensioninfinie.

Celaexclutdeuxgrandstypesdquations.Lespremiressontlesquationsdiffrentiellesretard,olvolutiondeltatprsentdpendexplicitementdeltatpass.Cesquationsontdepossiblesapplicationsenaronautique,encologieouenconomie.

Lessecondessontlesquationsauxdrivespartielles,quisontpourtantindispensablesenphysique:onlesutilisenotammentpourprdireetmesurerlaturbulencedansunfluide.Cetteturbulencenerelvepas,strictosensu,desmathmatiquesduchaos.Celavautdtrenot,carhistoriquementltudedelaturbulenceapermisdemettreenvidenceunphnomnechaotique,celuidescascadesdedoublementsdepriode(quisobserveparexempleendynamiquedespopulations).

Certainsmathmaticiens,dontYakovSinai(prixAbel2014),peroiventlaturbulencecommelexpressionphysiquedunesingularit,cestdireduneexplosiondessolutions,danslesquationsdeNavierStokes.Puisquecesquationsfontintervenirdesdrivespartielles,leproblmeestmathmatiquementdedimensioninfinieetnerelvedoncpasduchaos,mais,pourreprendreunedistinctiondelaphilosopheMarieFarge,delimprdictibilit.

Pourcesraisons,lesrisquesnaturels(tsunamis,ouragans,sismes)seretrouventpluttductdelimprdictibilitqueduchaos.Notonscependantquelescommunautsmathmatiquesquitudient,lunelechaos,lautrelessystmesendimensioninfinie,nesontplusaussisparesquellesneltaient:certainestechniquesleursontcommunes.

Cesfrontiresduchaosquesontlessystmesalatoiresetlessystmesendimensioninfiniesont,enellesmmes,desdomainesderechercheextrmementstimulantsetdifficiles,urgentsetenpleineexpansion.

*

Conjointementsonapparitiondansdenombreusessciencesexprimentales,lanotiondechaosapeupeutprciseenmathmatiquescommetantuncertaintypedecomportementapparemmentalatoiredessolutionsdunsystmedterministe.Pourlobserver,ilfautunsystmenonlinairededimensionaumoinsgale3.

Danslesfaits,lacommunautscientifiqueneparledechaosquesicettecomplexit,cetteapparencealatoire,sobservedansunsystmesimple,relativementpeudevariables,cequipermetdunifierleseffortsdecomprhensionetdedescriptionautourdunensembledetechniquescommunes,issuesengrandepartieaujourdhuidelathoriedessystmesdynamiques.

Cesensrestrictifexclutbeaucoupdesystmesaucomportementdsordonn,quinesontpasmoinsimportants.Maisencontrepartie,cetterestrictionpermetdlaborerdesoutilsdedescriptionetdeprvisiondontonesprequilsdeviendrontunjourexportablesdansdautresdomaines,etcedautantplusquelesfrontiresentrecommunautsscientifiquesvoluent.

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