Les mathématiques sont partout

Jean CEA

UNIA20 Mars 2013

Les mathématiques sont partout

• L’informatique a conduit à un développement explosif des sciences, plus particulièrement des mathématiques qui sont transverses aux autres sciences et qui constituent un langage universel.

• Dès qu’un chercheur veut quantifier quelque chose ou décrire un processus, il va déboucher sur une modélisation mathématique avec simulation, essais, corrections, exploitation...

• Les mathématiques peuvent aussi prendre en compte des questions qualitatives via l’analyse de données, les statistiques, les fractales... (sociologie, médecine…)

L’humour aussi !

• Citation de J.J. Risler, président SMF, 1997 : • …De plus, pratiquement tous les processus

industriels élaborés, comme par exemple la C.A.O.(Conception Assistée par Ordinateur), sont conçus avec une base mathématique. Pour faire image, on peut affirmer que si dans un avion on supprimait toutes les parties dans la conception desquelles sont intervenues les mathématiques, il ne resterait que les membres d’équipage, et encore sans leurs uniformes ou sous-vêtements !

Modélisation – Simulation …• « Depuis plusieurs décennies, les applications des

mathématiques connaissent un développement exponentiel qui s’apparente à une explosion. Elles sont partout, aidées en cela par les possibilités inouïes de l’informatique. Les mots « modélisation, simulation, analyse, optimisation et contrôle » se sont introduits dans de nombreux domaines de l’activité humaine. »

• La modélisation mathématique est l'art de représenter la réalité physique en des modèles mathématiques accessibles à l'analyse et au calcul. La simulation numérique est le processus qui permet de calculer sur ordinateur des solutions approchées de ces modèles, et donc de simuler la réalité physique.

• Ces deux phrases sont extraites du programme de la chaire « Méthode Mathématique et Simulation Numérique » de l’École Polytechnique.

Modélisation : un travail multidisciplinaire

• Un modèle n'est pas une loi physique qui a fait ses preuves depuis des siècles. Il est le résultat de tâtonnements et d’un travail multidisciplinaire.

• Petit à petit, après de nombreuses confrontations entre le monde réel et le monde virtuel (des simulations) le modèle sera validé !

• Les modèles mathématiques servent à effectuer des simulations virtuelles et à éviter des tests réels… coûteux, parfois dangereux ou infaisables !

• Dans un modèle, on traduit souvent en termes mathématiques des lois de conservation, des situations d’équilibre, des variations instantanées… d’où des relations entre les fonctions inconnues qui décrivent un processus.

Un exemple de modélisation : le paludisme

• Malaria : mauvais air des marais !• Contagion : Hommes Moustiques du genre anophèles. • Responsable chez l’homme : un parasite (plasmodium)• Louis Pasteur (1822-1895) : maladies et microbes.• Alphonse Laveran (1880) : le moustique est responsable

(Nobel 1908)• Ronald Ross (1897) : le cycle du parasite. (Nobel 1902) • Rendre à César… et à Gauthier Sallet (INRIA) cette

présentation du théorème du moustique extraite de son article : « Modélisation Mathématique et Maladies Infectieuses ».

Dialectique

• A l’époque, les décideurs pensaient que : il y aura toujours des moustiques pour contaminer des hommes, qui contamineront des moustiques... Donc, impossible de débarrasser une région de ses moustiques. Donc, inutile de faire de gros investissements et de mobiliser de la matière grise !

• Ross a montré avec son modèle mathématique ceci : il existe un seuil critique, si le nombre de moustiques passe sous ce seuil, alors le paludisme disparaît de lui-même.

Paludisme : un modèle mathématique

Il y a 2 fonctions inconnues : le nombre h (t) d’hommes infectés et m (t) de moustiques infectés au temps t positif ou nul.

Nous allons étudier les évolutions de ces fonctions entre deux temps, t et t + t, où t est « petit », positif. Comment peut varier la fonction h (t ) ? Il y a trois possibilités :- Infection d’un homme sain (+)- Guérison d’un homme infecté (-)- Décès d’un homme infecté (-)

Infection d’un homme sain entre t et t • Un homme sain. Piqué par un moustique infectieux. Qui

développe la maladie!• On suppose qu’un moustique pique n humains par unité de

temps.• Nombre total de piqûres infectieuses : n . m (t) . t• Nombre total de piqûres sur les hommes sains :

(1 – h(t) / H) . n . m (t) . t• On suppose que la proportion d’hommes sains, piqués par un

moustique infectieux, développe le paludisme est : p (entre 0 et 1)

• Nombre total d’infections nouvelles chez les hommes sains entre t et t + t :

p . (1 – h(t) / H) . n . m (t) . t

Guérisons – Décès (hommes infectés)

• On suppose que la proportion de guérisons par unité de temps vaut g, nombre compris entre 0 et 1.

• Nombre total d’hommes guéris entre t et t + t : g . h (t) . t

• On suppose que la proportion de décès par unité de temps vaut d, nombre compris entre 0 et 1.

• Nombre total d’hommes décédés entre t et t + t : d . h (t) . t

• Nombre total de guérisons et décès entre t et t + t : ( g + d ) . h(t) . t

• h (t+ t) = h (t) + nouveaux infectés - guéris - décédés

• h(t+ t) = h(t) + p . (1 – h(t) / H) . n . m (t) . t

- ( g + d ) . h (t) . t

Bilan : hommes infectés entre t et t+ t

h = a . h + b . m + c . h. m pour tout t positif

Variation moyenne, variation instantanée de h (vitesse de variation ) : quand t se rapproche de zéro, on obtient : h = p . (1 – h / H ) . n . m - (g + d ) . h en tout t positifoù h désigne la variation instantanée de h , sa dérivée.

( h(t+ t) - h (t) )/ t = p . (1 - h(t) / H ) . n . m (t) - ( g + d ) . h (t)

a, b, c sont 3 nombres qui dépendent des paramètres du modèle

Un système de 2 équations différentielles

• On vient de trouver une relation du type :h = a . h + b . m + c . h. m

• On trouverait de même :m = d . h + e . m + f . h. m

• a, b, c, d, e, f sont des nombres qui dépendent des paramètres de la modélisation.

• On connait les conditions initiales : h (0) et m (0) • Il s’agit d’un système de 2 équations différentielles

à 2 fonctions inconnues h et m.

Différentes phases de la modélisation

• Recherche du modèle • Les mathématiciens savent calculer de façon approchée les

solutions de ce modèle d’équations. On peut donc connaître l’évolution de h(t) et de m(t). Satisfaction ?

• Ajustement des paramètres : souvent les paramètres proposés sont le résultat d’estimations et manquent de précisions. La comparaison entre les valeurs des fonctions calculées (simulées) et des fonctions mesurées (réelles) permettent d’arriver à une « meilleure approximation » des paramètres. Itérations.

• Validation• Exploitation

Exploitation du modèle : le seuil critique• Question : y a-t-il des cas où h (t) se rapproche de 0 quand

t devient grand ? • Ce qui signifie que le paludisme va disparaître. Ross a mis

en évidence un nombre R, le seuil critique du type : R = k . M / H où k dépend des paramètres.

• Le théorème du moustique (Ronald Ross, 1911) : Si R <= 1 alors h(t) se rapproche de 0 quand t est

grand.La condition peut s’écrire : k. M / H <= 1 ou M <= (1/k) . H

Politique de santé publique : réduire le nombre M de moustiques, pour que le paludisme disparaisse. Assainissements !

Images et sons Compressions

Mémoires… informatiques !

• 1 bit = une position 0 ou 1 (Binary digIT). Avec un bit, on peut repérer 2 nombres : 0 et 1. (en base 2, on a besoin de 2 signes pour écrire un nombre)

• 1 octet = 8 bits, on peut repérer 28 nombres, soit 256 nombres notés de 0 à 255. Ex avec 1 bit : (0), (1). 2 bits : (0,0), (0,1), (1,0), (1,1). Doublement !

• 1 Ko : pour les informaticiens 1 Ko vaut 1024 (=210) octets, pour les autres 1Ko vaut 1000 octets !

• Et ainsi de suite : 1 o, 1 Ko, 1 Mo, 1 Go, 1 To, 1 Po, 1 Eo… (Kilo, Méga, Giga, Téra, Péta, Exa…)

Une image de loin, de près

Un grossissement de 8 fois fait apparaître des petits carreaux colorés !IMAGE INFORMATIQUE : un carrelage rectangulaire, chaque carreau ayant sa propre couleur. Un carreau est appelé un PIXEL. La couleur de ce carreau est repérée par un ou plusieurs nombres (noir et blanc ou couleurs). IMAGES ET FONCTIONS.

Images - stockage• COULEURS :• 256 niveaux de gris ( stockés sur 1 octet, noir = 0 et blanc = 255.• 16 millions de couleurs à partir de R, V, B. Chaque couleur est stockée sur

1 octet, donc 3 octets au total, soit 28 X 28 X 28, soit 224, soit 16.777.216 possibilités.

• (Imprimerie, 4 couleurs : Cyan, Magenta, Jaune, Noir)

• STOCKAGE :• Une image de 512 x 512 pixels en noir et blanc :

512 x 512 x 1 octet = 262.144 octets division par 1024 265 Ko 0,258 Mo

• Une image de 1600 x 1200 pixels en 16 millions de couleurs : 1600 x 1200 x 3 octets = 5.760.000 octets 5625 KO 5,49 Mo

• Vidéo !

• FONCTIONS : une image 1 ou 3 fonctions

Représentations des fonctions Fourier - Ondelettes

• Joseph Fourier (1768-1830) a réussi à exprimer certaines fonctions périodiques comme une somme infinie de fonctions élémentaires du type cosinus ou sinus. Cette méthode a été utilisée pendant les deux derniers siècles.

• Actuellement, une nouvelle technique dite des « ondelettes » est souvent mise à contribution pour approcher des fonctions assez irrégulières (sons, images…). Les fonctions élémentaires utilisées sont mieux adaptées au type de fonction à repérer.

Ondelettes• Les précurseurs : Alfred Haar (1909), Jean Morlet

(géophysicien, 1975), Alexandre Grossmann (physicien), Stéphane Mallat (mathématicien)…

• Histoire, hasard, photocopieuse X, ondelettes• La théorie mathématique : Yves Meyer, 2005.

Prix Gauss 2010.• Utilisation : compression des images, des sons

(JPG, JEPG, JEPG2000, MP3, MP4, MP5, MPEG…) • Google : Wavelet 8 220 000 pages

(19/03/2013)

1 image 2 images 4 images Les nombres 0, 1, 2… 9 servent à repérer des emplacements. Ces cases contiennent chacune un nombre : niveau de gris, niveau de rouge, de vert, de bleu.

D’abord, moyennes et écarts sur une ligne. Ensuite, moyennes et écarts sur une colonne.La transformation est réversible.

Méthode de Haar 1909

1 image 2 images 4 images…

Réitération du processus !!!

Merci à Wikipédia.

La photo modèle : LENA

Décomposition jusqu’au niveau 3Référence : http://www.math.uiowa.edu/~jorgen/Haar.html

Compressions• La moyenne va lisser la photo, les écarts marquent des

différences entre des points voisins. Ces écarts vont être de + en + petits. On peut choisir un seuil et supprimer les écarts au-dessous de ce seuil (mise à 0). On réalise une économie de nombres à stocker : c’est une compression.

• On peut modifier la méthode « Moyenne - Ecart » en introduisant des « opérateurs » plus généraux.

• On peut appliquer ce genre de méthode au cas des fonctions continues.

• Il existe aujourd’hui une grande variété de standards ou méthodes de compressions : JPEG, JPEG2000, GIF, TIFF… MP3, MP4…

Puissance de la compression

• http://www.academia.edu/1006873/Wavelet_compression_and_decompression_algorithm

Lena (original) Lena, suppression de 75 % des détails

Lena, suppression de 98 % des détails

Taux de compressions

• Le taux de compression est égal au rapport « Taille originale / taille compressée », on le note « n : 1 »

• Exemples :• Radio des poumons : on va jusqu’à 60 : 1 avec

JPEG 2000• Images ordinaires : acceptables jusqu’à 20 : 1• Empreintes digitales : 15 : 1

Hôpital de Caen Christine CAVARO-MENARD, François GOUPIL, Benoît DENIZOT, Jean-Yves TANGUY,

Jean-Jacques LE JEUNE, Christine CARON-POITREAU

• Etudes en double aveugle selon un protocole rigoureux sur les compressions acceptables des radiographies thoraciques (base de la norme JPEG2000).

• 3 radiologues, 11 critères, deux populations de 20 patients. • Résultats : un taux de compression acceptable à 20:1 pour

les radiographies normales et 60:1 pour les images pathologiques.

• L’interprétation rigoureuse d’une radiographie thoracique nécessitant la conservation des structures anatomiques, le taux de 20:1 apparaît être la limite acceptable en pratique clinique.

Haute performance

• Automobiles• Avions• Maillages• Coupe America• Top 500

Automobiles et mathématiques• La simulation numérique est omniprésente :• Combustion dans le moteur, • Température et ventilation, • Acoustique, • Gestion des compatibilités électromagnétiques (le câblage

complet d’une voiture peut exiger jusqu’à dix kilomètres de fils électriques, le courant électrique induit des phénomènes électromagnétiques qu’il faut gérer),

• Suspension, • Echappement, • Tests de sécurité (réaction en cas de choc, protection des

passagers). • Exemple proposé par Pierre-Louis Lions, Médaille Fields, Professeur au Collège de

France. Colloque Maths à venir, 2009

Avions• Un objet très lourd capable de voler, de se maintenir à

l’horizontale, de monter, de descendre, c’est miraculeux !• Un avion est soumis à 2 forces : la gravité qui le tire vers

le sol, la propulsion qui le ferait partir telle une fusée.• Le génie de l’homme a trouvé une autre force : « La

Portance », astucieusement créée par une dépression entre les 2 côtés des ailes, qui pousse l’avion vers le haut et neutralise donc la gravité !

• Accessoirement, il s’est créé une 4ème force, « La Traînée ». C’est la résistance à l’avancement : elle s’oppose au mouvement de l’avion.

Equations de Navier-Stokes • L’écoulement de l’air autour de l’avion a fait l’objet de

nombreuses études, tant du point de vue global qu’au niveau microscopique.

• Bien des composants sont liés : vitesse des particules d’air (u, v, w), pression p, masse volumique , rviscosité , en tout point de l’espace-temps t, x, y, z

• Les équations de Navier-Stokes datent du XIXe siècle. Elles précisent les liens entre ces 6 fonctions.

• Equations non résolubles explicitement (Millenium)• On construit des approximations des solutions.

Passage du continu au discret

• Autour de l’avion, il y a une infinité de points, une infinité d’inconnues… C’est ingérable !

• On se limite à un nombre fini de points, et on essaie de « traduire » les équations en ces points.

• La base d’une méthode très utilisée est la « Triangulation » : on partage l’espace extérieur en petits tétraèdres (des pyramides) de côtés variables. La triangulation se poursuit jusqu’à la surface de l’avion !

• On écrit la contribution de chaque tétraèdre aux équations générales. (Eléments finis)

Maillage Boeing-747

Crédits à : Houman BOROUCHAKI et Pascal J. FREY

Maillage du Falcon-7X de Dassault Aviation

L’étude du Falcon 7X a conduit à la résolution de 140 millions d’équations à 140 millions d’inconnues. L’ordinateur était le Tera-10 qui faisait en 2006 52.8 teraflops, soit 52.800 milliards d’opérations à la seconde.Ref : La Recherche, Mai 2007, N° 408, on pourra consulter le site :http://leat.unice.fr/pages/actualites/actualites09/HPC_2007-fr.pdf

La coupe de l’America• Une des plus vieilles régates du monde. L’idée d’une

compétition, plus ou moins périodique, se finalise en 1870.

• Le vainqueur de l’année précédente est le « Defender ». Une compétition entre les autres candidats désigne le « Challenger » qui sera opposé au Defender.

• La compétition finale donne lieu à une explication entre deux bateaux, de caractéristiques assez voisines pour éviter des classements par catégories et des handicaps…

• La compétition se déroule en plusieurs manches dont le nombre a évolué, passant progressivement de 1 à 9.

1983• Les Américains ont raflé la mise puisqu’ils ont

triomphé de 1870 jusqu’en 1983. • Cette année là, un coup de tonnerre a ébranlé le

monde nautique : « La Coupe de l ’ America » met les voiles (hum !) vers l ’ Australie !

• L ’ Australie venait d’acquérir une avance technologique sur la conception des voiles du bateau.

• Ensuite, elle va changer de mains entre les États-Unis, la Nouvelle Zélande et un pays qui n’a pas d’accès direct à la mer mais qui dispose d’un grand lac : la Suisse, victorieuse en 2003 et 2007. X Lausanne.

Une avance technologique

• Quand le vent souffle, il exerce une pression sur toute la surface de chaque voile. La résultante de ces pressions est la force extérieure qui fait avancer le voilier.

• Cependant, des forces invisibles ont tendance à étirer le tissu des voiles, risquant même de les déchirer. Il s'agit de forces internes appelées « contraintes ».

• En chaque point de la voile, il y a deux directions orthogonales telles que, dans une direction la contrainte est maximum et dans l’autre elle est minimum.

• Les mathématiciens savent calculer ces contraintes. • Il existe un « quadrillage virtuel » de la voile : en chaque point, deux

lignes se croisent orthogonalement. Sur les points d’une ligne, les contraintes sont maximales, sur les points des l’autre lignes elles sont minimales.

Une nouveauté dans les voiles

• Les Australiens ont réalisé la superposition des deux réseaux : tissage et contraintes. La force extérieure devient alors plus importante.

• Le tissage suit ces fameuses lignes de contraintes, et de plus, la qualité et la robustesse des fils utilisés dépendent de l’intensité des contraintes.

• En 1983, les Australiens avaient ainsi pris une avance confortable sur leurs concurrents. Mais cette avance n’a pas duré longtemps, car les techniciens du monde de la voile ont vite compris la raison du succès du challenger. Dans les compétitions suivantes, tous les tissages de voiles suivaient les lignes de contraintes ! Depuis, la technique a encore progressé.

Luna Rossa• Le voilier italien Luna Rossa a été battu dans la

compétition pour sélectionner le challenger. • Sous la houlette de Ignazio Maria Viola, une équipe

de chercheurs s’est attaquée à la modélisation et à la simulation numérique des écoulements hydrodynamiques et aérodynamiques autour du voilier. L’idée étant de dessiner un voilier « optimal »

• Ce travail a mobilisé énormément de compétences et de matériel.

• http://anss.client.shareholder.com/releasedetail.cfm?ReleaseID=390680• http://www.ansys.com/special/news-images/2008/billion-cell-11-17-imagesheet-08.htm

Un record• C’est à cette occasion que la simulation a atteint

des sommets : des systèmes d’un milliard d’équations à un milliard d’inconnues. C’est la société Ansys qui a fourni l’ensemble des logiciels. La puissance de calcul des ordinateurs a atteint les 22 teraflops (22 mille milliards d’opérations à la seconde).

• Il a fallu plus d’une semaine de calculs pour obtenir les résultats attendus !!!

Le vainqueur : l’homme !

• Malgré la haute technologie, le voilier Luna Rossa a été battu.

• La force est restée à l’intelligence de course de l’équipage et du skipper.

• C’est réconfortant, le rôle de l’homme reste primordial !

TOP 500 - Novembre 2012Pour mémoire : 1 Giga = 109 1 Téra = 1012 1 Péta = 1015 1 Exa = 1018

Flops : opérations à virgule flottante par seconde

Conception optimale de forme

Conception optimale de forme (I)Problème posé par des physiciens en 1972-73 :Armoire A. Fil électrique F, champ électromagnétiqueD contient des appareils sensibles, perturbés par le champ.

Dispositif simple équivalent à un blindage magnétique

On place 1Kg de matière isolante dans une zone appelée Ω Question : comment choisir Ω pour que « la » mesure du champ soit minimum dans la zone D ?

Conception optimale de forme (II)

• Géométrie : le domaine Ω, notre isolant, nous pouvons changer sa forme, le contrôler. Il est éventuellement plongé dans un ensemble plus vaste.

• Une équation d’état permet de définir une fonction d’état (ici le champ électromagnétique)

• Une autre fonction intervient : la fonction coût J qui dépend en dernier ressort de Ω. Dans notre exemple, c’est une quantité qui « mesure » le champ dans la zone D en fonction du choix de la forme Ω.

• Nous cherchons à trouver un « meilleur » Ω afin que J soit minimum. On se contente souvent d’améliorer un Ω initial

• Google : « Shape optimal design » : 2010 30.200 pages, 19 Mars 2013 7.780.000 pages

Optimisation de forme en magnétostatiqueAntoine Henrot et Gregory Villemin

Un aimant 0 est placé devant une roue dentée. L’aimant peut faire face à une dent « T » ou à un trou « H ». Le champ magnétostatique est dénommé par T ou par H selon le cas. S est une sonde capable de mesurer les champs. Nous voulons maximiser l’écart entre les valeurs du signal magnétique T et H dans l’emplacement « S » . Pourquoi ? Les mesures de la sonde seront plus précises et elle pourra envoyer un signal de commande pour une certaine action (principe du robot : observation , analyse, action) : injection de carburant dans un moteur, action sur un essuie-glace… Comment maximiser cet écart ? En choisissant au mieux la FORME de l’aimant 0 .Ce dispositif électronique remplace un système mécanique.Beaucoup de mathématiques derrière cet exemple simple à formuler.

On modifie une forme initiale pour arriver à une « meilleure » forme

Cylindre

Encoche

Cet aimant peut avoir différentes formes dans les voitures, l'encoche et le cylindre étant deux formes possibles qu'on rencontre dans la pratique,

Nouveaux casques de moto

• Sillage : (Marine) trace que laisse un bâtiment lorsqu’il navigue.

• « Dans certains cas, un sillage turbulent derrière un mobile entraîne une résistance, ou force de traînée, moins importante qu’un sillage laminaire (non turbulent). C’est pourquoi le profil des casques de moto modernes comporte des creux, qui rendent turbulent l’écoulement de l’air en aval du casque. »

• Laure Saint-Laurent, Thomas Sonar, Turbulences sur les équations des fluides.

Optimisation d’une forme en mécanique

• On va appliquer une force au centre d’un cube. La dimension de la base est fixée, ainsi que la hauteur. • Parmi les structures rigides qui supportent la force, nous en cherchons une qui aurait son volume (donc son poids) réduit. La base n’est pas fixée au sol, on peut la déplacer.• Par exemple, réduction à 1% du volume initial… si cette structure existe !!!

RésultatsNous modifions de proche en proche la structure, en orientant nos modifications par ce que nous avons appelé le gradient topologique. Notons la formation de trous par rapport à la formation initiale.Notons que les pieds ne sont pas fixés au sol, sinon la forme aurait été différente.

Résultats au bout de 8, 28, 37, 50 itérations. Les volumes représentent respectivement 50%, 7%, 3% et finalement 1% du volume initial.

Référence : « The Shape and topological optimizations connection Jean Céa, Stéphane Garreau, Philippe Guillaume, Mohamed Masmoudi ». December 7, 1998. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 188 (2000), no. 4, 713-726.

Un week-end de Laurent

• Un texte, bien anodin, qui contient de nombreux mots derrière lesquels se cachent des mathématiques.

• Google : Jean CEApuis les menus « Ouvrages/Une vie de mathématicien/Les mathématiques sont partout »

• http://www.jean-cea.fr/weekend

MERCI

Météo• Les principales fonctions qui permettent de décrire la situation de

l’atmosphère sont : la pression, la vitesse du vent, la température, l’humidité… en chaque point et à chaque instant (x, y, z, t).

Elles ne peuvent être calculées ou mesurées en tous les points de l’espace, à tous les instants. On se limite donc à un maillage (spatial et temporel) pour se ramener à un nombre fini de points et d’instants. Le maillage spatial est constitué d’une grille horizontale et d’un certain nombre de niveaux verticaux entre le sol et 60 km d’altitude. La distance horizontale entre deux points de grille correspond à la "maille" du modèle. L’espace est donc découpé en « boîtes »

Informations extraites du site de Météo-France :http://comprendre.meteofrance.com/pedagogique/dossiers/science_et_techniques/prevoir_le_temps?page_id=14440

Simulation météo• A l’aide de la mécanique des fluides et de la

thermodynamique, on peut trouver les équations qui lient l’évolution de ces différentes fonctions.

• Mais comme dans tout système dynamique, nous avons besoin des conditions initiales, c'est-à-dire la situation au temps t = 0. La recherche de ces conditions est un problème majeur à cause des incertitudes.

• Réduire la maille, la distance entre deux points, permet de mieux représenter l’atmosphère dans son ensemble et les phénomènes qui l’affectent.

• Mais cela conduit à de gros calculs. La puissance de calcul nécessaire en météorologie est énorme.

La chaîne des 3 modèles de Météo-France• Chaque modèle alimente le suivant!• Arpège, un modèle à l'échelle du globe. Couverture de la planète, maille

sur l’Hexagone de 15 km. Il permet de prévoir les phénomènes de grande échelle (dépressions, anticyclones) qui parcourent le globe. Prévisions à 3 jours sur les zones d’intérêt pour la France.

• Aladin, un modèle régional. Couverture de l’Europe de l’Ouest, maille de 10 km. Alimenté par les simulations d’Arpège, il permet de prévoir le temps sur la France jusqu’à 2 jours et demi d’échéance. Meilleure précision.

• Arome, un modèle régional à maille fine. Couverture de la France, maille de 2,5 km. Il délivre des informations supplémentaires, "zoomées" sur l’Hexagone et bien plus détaillées, essentielles aux prévisionnistes pour anticiper et localiser les phénomènes météorologiques de petite échelle potentiellement dangereux. Arome fournit des prévisions détaillées au-dessus de l’Hexagone pour les échéances de 3 à 30 heures.

• Ainsi les prévisionnistes peuvent mieux prévoir certains phénomènes météorologiques locaux, complexes et dangereux.

Limites de la prévision• Pourquoi ne fait-on pas des prévisions à plus longue

échéance ? Le météorologue américain Edward N. Lorenz, dans un célèbre article de 1963, a montré que c’était probablement sans espoir. L’atmosphère est un système chaotique, c’est-à-dire que toute erreur sur l’état météorologique initial, aussi petite soit-elle, s’amplifie rapidement au cours du temps ; si rapidement qu’une prévision à l’échéance d’une dizaine de jours perd toute sa pertinence. (Extrait de « Le temps qu’il fera » par Claude Basdevant)

• Henri Poincaré l’avait déjà annoncé !

• 6h30 Petit déjeuner, tartines de beurre et confiture, thé bien chaud.• 7h15 Laurent écoute la météo avec sa maman avant de partir au

lycée. Il fait beau, il s'y rendra à pied, c'est de l'autre coté du pont.• 12h00 Déjeuner rapide avec des copains : au préalable, retrait

d’argent dans un distributeur automatique.• 13h30 Sur le chemin du retour à la maison, Laurent fait un détour

par la grande avenue. Il remarque le nouveau pavage du trottoir, il a été totalement refait, c’est magnifique !

• Il passe devant la "Sécurité sociale", un vieux bâtiment totalement rénové. Le hall accueille une exposition sur des peintres contemporains locaux.

• En sortant, il est interviewé par un groupe d’étudiants de l’IUT.• Puis, il reçoit un SMS de son amie sur son téléphone mobile, c’est

inquiétant, elle lui demande de venir la chercher aux urgences de l’Hôpital central.

Un week-end de Laurent (samedi matin)

Un week-end de Laurent (après-midi)• 14h30 Il arrive chez lui, laisse son sac à dos qui lui tient lieu de cartable et prend

son scooter pour se rendre rapidement urgences.• Mais avant de démarrer, pour se distraire car il est inquiet, il branche son Ipod.• Il arrive aux urgences, trouve Marie avec un beau plâtre : fracture du poignet

gauche, résultat d’une chute accidentelle. Elle lui montre une radio et essaie de lui faire deviner où se trouve la fracture.

• 15h30 Il raccompagne Marie chez elle. Bisous… mais elle est pressée de raconter son aventure sur Facebook, même si elle ne peut se servir que d'une main.

• Ils regardent ce que disent les internautes sur Google au sujet des fractures.• 17h30 Marie dispose d’un piano électronique dont elle vient de changer le

logiciel. Laurent se laisse aller à jouer quelques morceaux.• 19h00 Laurent rentre chez lui, une odeur agréable vient de la cuisine, plus

précisément de la cocotte minute, un excellent pot au feu est en préparation !• 20h00 En attendant de dîner, Laurent met un CD, il a bien remarqué quelques

poussières dessus, mais le lecteur fonctionne quand même.

Un week-end de Laurent (dimanche)• 7h30 Il fait beau, départ en voiture pour une journée de ski.• 9h00 Arrivée à la station : achats de forfaits, puis montée dans un Télébenne. Toute la

famille est pressée de chausser les skis.• 9h30 Chacun dévale une pente en laissant de belles traces sur la neige fraîche. Dans le

ciel bleu, des avions laissent eux-aussi de belles traces.• 11h00 Sur le télésiège, Laurent demande à son père des explications sur ces traces

des avions. Papa répond rapidement, mais comme il est plutôt « voileux », il préfère lui parler de la coupe de l’América et lui raconter comment les Australiens ont pu battre les Américains avec des voiles nouvelles.

• 13h00 Un stop pour déjeuner dans un restaurant qui offre un bel Hotspot, le Wifi y est excellent.Avec son iphone, Laurent se branche sur l’internet, plus précisément sur Facebook pour revoir… le plâtre de Marie et surtout pour lire les commentaires des copains !

• 17h00 Sur la route du retour, alors que papa connaît parfaitement l’itinéraire, Laurent s’amuse à brancher l’appareil de navigation TomTom. A la fin d’une longue ligne droite, la voiture aborde une courbe tout en douceur.

• 17h30 Sa mère demande à Laurent s'il a fini ses devoirs, il répond oui, mais ajoute-t-il, je dois encore revoir un texte qui semble dire que...

• ... les mathématiques sont partout !

Des mots qui cachent des mathématiques

• « Un week-end de Laurent » est un texte, bien anodin, qui contient, entre autres, 26 mots derrière lesquels se cachent des mathématiques

• Thé bien chaud, Météo, Pont, Distributeur automatique, Pavage, Interview-Sondage, Sécurité sociale, Téléphone mobile, Scooter et vélomoteur, Ipod, Radiographie, Facebook, Google, Piano électrique, Cocotte minute, CD, Automobile, Skis, Avions, Télésiège, Voiles, Wifi, Internet, GPS et Tom tom, courbe.

• Google : Jean CEA• http://www.jean-cea.fr/weekend