TRAITEMENT DE LA DIFFICULTTRAITEMENT DE LA DIFFICULTÉÉ SCOLAIRESCOLAIREÉÉVALUATIONS NATIONALES CM2VALUATIONS NATIONALES CM2

Jean-Paul Laurent, maître formateur

mai 2009 Argenteuil Nord

LES NOMBRES DLES NOMBRES DÉCIMAUXÉCIMAUXPistes d’activités

Pour le maître

FAIRE AGIR POUR APPRENDREFAIRE AGIR POUR APPRENDREFAIRE APPRENDRE POUR AGIRFAIRE APPRENDRE POUR AGIR

� Pratiquer le calcul au quotidien et finaliser son enseignement.

� Promouvoir le calcul réfléchi.

� Systématiser les correspondances décimaux et fractions.

� Faire construire les concepts d’unité étalon et d’instrument.

� S’appuyer sur la manipulation pour conceptualiser.

� Provoquer le débat mathématique.

� Etablir les ponts nécessaires entre les champs disciplinaires.

� Mettre les savoirs construits au service des autres disciplines.

APPRENTISSAGES MATHAPPRENTISSAGES MATHAPPRENTISSAGES MATH ÉÉÉMATIQUESMATIQUESMATIQUES

Pour l’élève

PERCEVOIR DES ENJEUX D’APPRENTISSAGEPERCEVOIR DES ENJEUX D’APPRENTISSAGE

� Agir sur des objets réels puis virtuels pour réaliser.

� Éprouver les nombres pour s’approprier le système décimal.

� Explorer le langage mathématique pour communiquer.

� S’entraîner dans la perspective de performer son action.

� Automatiser ses procédures et mémoriser les répertoires.

� S’approprier les concepts mathématiques clés.

UN ENSEIGNEMENT DIFFICILEUN ENSEIGNEMENT DIFFICILE

*Quel est le nombre le plus près de 76,9 ou 7,08 ?

CM1 � 22% CM2 � 30% 6ème � 27% 5ème

� 29%

Les scores évoluent peu entre le CM1 et la cinquièm e.

L’entrée dans l’apprentissage est donc décisiveL’entrée dans l’apprentissage est donc décisivepour la conceptualisation de ces nombres.pour la conceptualisation de ces nombres.

*Jeanne Bolon, l'enseignement des décimaux à la charnière école-collège, Thèse de Sciences de l'éducation, université Paris-5-Sorbonne, 1996.

Qu’estQu’est--ce qu’un nombre décimal ?ce qu’un nombre décimal ?

� C’est un nombre rationnel qui peut s’écrire sous la forme d’une fraction décimale a/10n et sous la forme d’un nombre à virgule. ex : 3/5 = 6/10 = 0,6

� Il permet d’approcher d’aussi près qu’on le souhaite (filtre décimal) la mesure d’une grandeurcontinue quelconque par fractionnements successifsde celle-ci en dixièmes, centièmes, millièmes…

Mercredi, Théo veut inviter 3 copains pour un après-midi console de jeu. Le matin, il achète pour 24 euros de tartelettes à 8 euros pièce et une tablette de chocolat à 2 euros. Comme il a trouvé une recette de cocktail très sympa, il prend aussi pour 8 euros de fruits pour faire découvrir ce cocktail à ses invités.

Les différents sens des nombres rationnels Les différents sens des nombres rationnels et les gestes mentaux associés au signe et les gestes mentaux associés au signe ÷÷

� La quotition 24 : 8

� La proportion 1 pour 6

� La partition de la pluralité 3 : 4

� Le fractionnement de l’unité 1/4

cocktail de fruits

� 1/6 de lait de coco

� 1/2 de jus d’orange

� 1/3 de jus de pamplemousse

Quelle entrée dans l’apprentissage ?

On préconise aujourd’hui d’enseigner d’abord les fractions décimales avant d’introduire les nombres à virgule. La plupart des manuels propose des situations de fractionnement de l’unité en entrée de l’apprentissage.

Pour Rémi Brissiaud, cette entrée n’est pas la plus pertinente pour construire efficacement l’équivalence fondamentalel’équivalence fondamentale entre partition de la pluralitépartition de la pluralité et fractionnement de l’unitéfractionnement de l’unité .

Même si les deux gestes mentaux afférents sont différents, « C’est « C’est cette équivalence qui fonde le concept de fraction. » cette équivalence qui fonde le concept de fraction. »

� soit on travaille sur un ensemble d’unités 75 : 100� soit on travaille sur les quantièmes d’une unité 75 /100

1. Découverte de nouveaux nombres : les rationnels

2. Construction de l’équivalence a : b � a/b (cas a<b et cas a>b)

3. Fractionnement décimal et système de mesure

4. Simplification de fractions et écritures équivalentes

5. Calcul sur les fractions usuelles et décimales

6. Découverte d’une autre notation : l’écriture à virgule

7. Étude des nombres décimaux

UNE PROGRESSION POSSIBLEUNE PROGRESSION POSSIBLEPOUR LE CYCLE 3POUR LE CYCLE 3

Propositions d’activitésPropositions d’activités

Découverte de nouveaux nombresDécouverte de nouveaux nombres

� Éprouver le besoin d’approcher au plus près la mesure d’une grandeur continue à partir de situations sociales :

partition de la pluralité

fractionnement de l’unité

rapport de quantités et proportionnalité

� Réaliser la nécessité d’un système d’écriture socialisé pourcommuniquer et garder en mémoire les nouveaux nombres.

� Apprendre à partager (perception et mesure) et différencier la partie et le tout (extension du concept d’unité).

� Passer d’un monde physique encore très qualitatif (autant/plusque/moins que) à un monde physique quantitatif (combien ?).

Étape n°1Étape n°1

Découverte de techniques et utilisation d’outils Découverte de techniques et utilisation d’outils de mesurage et de fractionnementde mesurage et de fractionnement

� pliage d’une bande et d’un disque� machines à segmenter (guide âne et parapluie)

� unité étalon et report (aires, masses, capacités)� balance de Roberval et comparaison directe

Instruments de fractionnement

Partager 5 crêpes entre 4 enfants.division fraction 5 : 4 = 1 + 1/4

Partition de la pluralité a : b = q + r / b

Partager un paquet de 13 sablés entre 3 enfants.division fraction 13 : 3 = 4 + 1/3

Partition de la pluralité a : b = q + r / b

Partager une barre de chocolat entre 4 copains.

Fractionnement de l’unité en x parts égales

Partager une boisson en 6 parts.

Fractionnement de l’unité a / b

Partager une boule de pâte sablée entre 3 enfants pour que chacun puisse faire une tartelette.

Fractionnement de l’unité a / b

cocktail de fruits� 1/6 de lait de coco� 1/2 de jus d’orange� 1/3 de jus de pamplemousse

Proportion et rapport a / b

Organiser une mesure pour respecter des proportions.

Proportion et rapport a / b

Comment tracer le schéma du terrain dans notre règle de jeu en respectant les dimensions réelles ?

LE ROLLER-POUBELLE

Construction de l’équivalenceConstruction de l’équivalencePartition pluralité / Fractionnement unitéPartition pluralité / Fractionnement unité

Pour traiter un problème de fractionnement :

� Soit on s’appuie sur la partition des unités a : b

� Soit on s’appuie sur le fractionnement d’une unité a/b

C’est le principe d’économie qui prévaut C’est le principe d’économie qui prévaut dans le choix du traitement des situations proposée s.dans le choix du traitement des situations proposée s.

Ex : 75 : 100 � 75/100 154/4 � 154 : 4

Étape n° 2

1 0 2 3 4 5 6

Pour comprendre les mathématiques, ©HACHETTE ÉDUCATION

Sidonie se déplace en faisant des sauts réguliers. Elle part de 0 et en 3 sauts, elle arrive à la borne 4. Quelle est la valeur d’un saut ?

Construction de l’équivalence a : b � a / b

Partager 3 pizzas entre quatre copains ?J’apprends les maths CM1, Rémi Brissiaud, ©RETZ

Construction de l’équivalence a : b � a / b

17 amis se rendent dans une pizzéria fêter l’anniversaire de l’un des leurs. Ils commandent 17/4 de pizzas. Combien de pizzas va-t-il falloir ?

Construction de l’équivalence a / b � a : b

Cap maths, Roland CHARNAY, Serge COMBIER, ©HATIER

unité

Construction de l’équivalence a / b = a : b

FractionnementFractionnement ddéécimalcimaletet

SystSyst èèmeme de de mesuremesure

Construction d’un système de mesure propre à la classe pour garder en mémoire et communiquer :

� le résultat d’un mesurage ou d’un partage� une position ou un intervalle� la comparaison de deux grandeurs

Étape n° 3

Nécessité de socialiser une unité étalonProblèmes de report et besoin d’instrumentationPrécision de la mesure et fractionnement décimalLimites de la mesure et besoin d’un système cohérent

Quotition et fractionnement de l’unité a / b

Installer des étagères le long d’un mur de la classe.

Report et fractionnement d’une unité étalon

Léo et Léa se déplacent à la même vitesse. Lequel des deux commencera à déguster la salade le premier ?

Carreler le dessus de l’évier d’une cuisine.

Fractionnement de l’unité

Élaboration d’un système de mesure

Comment garder une trace des performances de saut et comment comparer les résultats obtenus ?

Élaboration d’un système de mesureReport et fractionnement de l’unité

départ

Comment garder une trace des différents lancers et comment communiquer les résultats obtenus ?

0 1 2 3 4 5

SpeedoSpeeda

Speedo fait des bonds de 18/10 et Speeda de 27/10.Indique sur la ligne où chacun arrive après un saut.

Repérage d’une position

ét

alon

Mesurage et comparaison

Quel contenant a la plus grande capacité et de combien ?

Mesurage et comparaison

Sur quelle surface collera-t-on le plus de carreaux de faïence et combien de plus ?

Préparer de la pâte à sel

Recette� 3/10 de sel fin� 4/10 de farine� 2/10 d’eau tiède� 1/10 de colorant alimentaire

récipient

Proportion et rapport a / b

Simplification de fractionsSimplification de fractionsetet

Équivalence d’écrituresÉquivalence d’écritures

Repérer et relever des équivalences d’écritures(perspective de la proportionnalité)

Notamment :

3/10 = 30/100 = 0,3 = 0,30 = 30%

1/4 = 25/100 = 0,25 = 25%

1/2 = 5/10 = 50/100 = 0,5 = 50%

3/4 = 75/100 = 0,75 = 75%

Étape n° 4

25/100

1/4

Écritures équivalentes

5/101/2

Fractions équivalentes

Fractions équivalentes

0 1

0

2

10

10

0

10

1

2

5

10

2

2

0

6

2

4

4

4

0

4

3

6

6

6

Calcul sur les fractions usuelles et décimalesCalcul sur les fractions usuelles et décimales

Voir programmes et manuels

Étape n° 5

C’est au début du 17ème siècle, que le mathématicien flamand Simon Stévin (dit Simon de Bruges) introduit l'écriture à virgule que nous connaissons aujourd’hui dans l’intention de simplifier les activités d’écriture, de comparaison et de calcul avec les fractions décimales.

La correspondance fraction décimale et nombre à virgule peut être établie en utilisant la calculette ÷

438 : 100 = 438/100 = 438 ÷ 100 = 4,38

Introduction des nombres à virguleIntroduction des nombres à virgulecomme simple changement de notationcomme simple changement de notation

Étape n° 6

Étude des nombres décimauxÉtude des nombres décimaux

� Eviter les ″ficelles″qui peuvent permettre de réussir desexercices mais vont plutôt à l’encontre de la compréhension.

- Pour diviser par 10n, on déplace la virgule de n chiffres à gauche.

- Pour comparer 2 décimaux, on complète leurs parties décimales par des 0.

� Faire systématiquement oraliser les écritures décimales et s’appuyer sur la désignation orale pour la compréhension

438/100 = 400/100 + 30/100 + 8/100 = 4 + 1/10 + 8/100 = 4,38quatre unités et trente huit centièmes …

Étape n° 7

Lecture et écriture, comparaison et ordre, opérations(voir nouveaux programmes 2008 et socle commun)