Les radiofréquences Les radiofréquences et leur utilisation en RMNet leur utilisation en RMN

Première partiePremière partie

Ilana PERETTIFaculté de médecine Paris Diderot

La longueur d’onde des ondes radio est de l’ordre de :

A) du kilomètre

B) du mètre

C) du micron

D) du nanomètre

E) autre

Si on augmente l’intensité du champ magnétique extérieur B0

d’un facteur 2, la fréquence de l’onde radio nécessaire à la résonance :

A) ne change pas

B) est multipliée par 2

C) est multipliée par 4

D) est divisée par 2

E) autre

Le moment magnétique des noyaux a pour origine :

A) les neutrons

B) les protons

C) les électrons

D) les deux types de nucléons

E) autre

Une onde sonore et une onde électromagnétique

de même fréquence ont :

A) la même période

B) la même célérité

C) la même longueur d’onde

D) la même pulsation

E) aucune des propositions précédentes

L’existence du moment magnétique d’une particule nécessite

que la particule soit :

A) animée d’un mouvement de rotation

B) animée d’un mouvement rectiligne

C) chargée

D) neutre

E) aucune des propositions précédentes

Un noyau de nombre de masse A pair et de numéro atomique Z pair

a un spin :

A) entier

B) demi-entier

C) nul

D) aucune des propositions précédentes

I I – Le rayonnement – Le rayonnement électromagnétiqueélectromagnétique

A - Caractère ondulatoire du rayonnement 

L’onde électromagnétique correspond à la propagation de 2 vecteurs :

un champ électrique E et un champ magnétique B couplés,

E et B sont transverses : perpendiculaires entre eux

et perpendiculaires à la direction de propagation

Une onde ne correspond jamais à un transport de matière. Il y a par contre transport d’énergie et d’une grandeur physique caractéristique du type d’ondes.

vitesse de propagation de l’onde = célérité c de l'onde

Dans le vide :

E

cB

c = « vitesse de la lumière »

c = 3.108 m/s = 300 000 km/s

c = vitesse limite dans la théoriede la relativité restreinte

la polarisation d’une onde décrit le comportement du vecteur champ électrique (ou magnétique), au cours du temps, la coordonnée d’espace étant fixée.

exemple précédent : Le champ électrique reste parallèle à la direction Oy

onde polarisée rectilignement

La direction de propagation est repérée par un vecteur :

le vecteur d’onde : k!!!!!!!!!!!!!!

E

B

k , et forment un trièdre direct

y

x

z

EB

k

0 $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ E (r,t) E cos( t k.r )

écriture générale d’une écriture générale d’une onde progressiveonde progressive sinusoïdalesinusoïdaleà un instant à un instant tt et en un point repéré par le vecteur position et en un point repéré par le vecteur position

0 $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ B (r,t) B cos( t k.r )

r

phase de l'onde

= pulsation de l’onde

nombre d'ondec

k

exemple

si l’onde se propage suivant Ox et si le champ électrique est dirigé suivant Oy :

0 $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$

yE (r,t) E cos( t k x)uE0 = amplitude de l’onde

200

ε cI = E

2

unités SI : Watt/m2

intensité I de l’onde : énergie transportée par unité de temps et par unité de surface traversée :

dans le vide 

Propriétés de E(x, t) et B (x,t)

fonction de 2 variables : doublement périodique

temps 2T

t

O

E0 (xo,t)

T

a

T

T = période temporelle = « période »

= distance parcourue par l'onde pendant 1 période

espace

2 2c T c

k

O

x

E0 (x,to)

a

période

= période spatiale = « longueur d’onde »

Ondes périodiques non sinusoïdales :Ondes périodiques non sinusoïdales :

superposition d’ondessinusoïdales de diverses périodes

Théorème de Fourier :

Toute onde périodique peut être décomposée en une somme d’ondes sinusoïdales de fréquences , 2 , 3 ....

L’onde de fréquence s’appelle « fondamentale » et les autres sont les « harmoniques »

(t) = a1 sin t + a2 sin t + a3 sin [ t ] +….

représentation spectrale d’une onde complexe

a1

a2

a3

2 3

amplitude des composantesde l’onde

fréquences

• à toutes les particules sont associées des ondes• à toutes les ondes sont associées des particules

E h

hp

Relation de Planck-Einstein

Relation de De Broglie

2

h

2

kp

vecteur d ’onde

vecteur quantité de mouvement

B - Caractère corpusculaire du rayonnement 

physique quantique

Cas particulier de la particule « photon »

• particule de masse nulle m = 0

quantité de mouvement p du photon : p ≠ 0 malgré m = 0

hp

• onde associée : onde électromagnétique

• photon = particule relativiste (v = c dans le vide)

Énergie d’un photon associé à l’onde électromagnétique de fréquence

ch

cpE

hE

Remarque : relation générale en relativité

2 2 2 2 4E p c m c

C - Spectre du rayonnement électromagnétique 

Le spectre électromagnétique classe les ondes électromagnétiques

en fonction de leur longueur d’onde ou de leur fréquence.

Elles sont toutes de même nature mais elles portent des noms différents

fréquence  Gamme  Exemples d'applications 

0 Hz  Champs statiques 

Electrostatique, Magnétostatique 

3-300 Hz  Extrêmement basses fréquences (ELF) 

Réseau électrique et électroménager 

300 Hz à 30 kHz 

Fréquences intermédiaires 

Ecrans vidéo, chauffage par induction 

30 kHz à 300 GHz  Radiofréquences  Radiodiffusion, télédiffusion, téléphone mobile, four à micro-ondes, radars, communications par satellites. 

300 GHz à 385 THz  Infrarouge  Détecteurs anti-vol, Télécommandes 

385 THz à 750 THz  Visible  Soleil, lasers 

750 THz à 3 PHz  Ultraviolet  Soleil, photothérapie 

3 PHz à 30 PHz  Rayons X  Radiologie 

Au delà de 30 PHz  Rayons X et gamma 

Médecine nucléaire 

k =kilo=103, M=Méga=106, G=Giga=109, T=Téra=1012, P=Péta=1015)

• Les ondes radiofréquences sont les ondes électromagnétiques

dont la fréquence est comprise entre 30 kilohertz et 300 gigahertz.

• Leur longueur d’onde s’étend de 1 mm à 10 km.

• Elles permettent de transmettre des informations à distance par voie

hertzienne. Elles sont à la base des communications sans fil en général.

Que sont les radiofréquences ?

Les radiofréquences trouvent de nombreuses applications dans les activités

variées de la vie moderne :

télécommunications, radiodiffusion, télévision,

industrie, recherche, médecine et dans les produits à usage domestique

comme les fours à micro-ondes, les systèmes d’alarme, les télécommandes…

Exemples d’applications des Radiofréquences

Gamme de fréquences en Hertz 

Exemples d’application 

30 kHz - 30 MHz  Radiodiffusion 

30 MHz - 300 MHz  Radio , Télévision, RMN protonRadio FM : 88 - 108 MHzTélévision : 47 - 830 MHz 

300 MHz - 3 GHz  Télévision et Téléphonie mobileTélévision : 47 - 830 MHzGSM : 890 – 960 MHzDCS : 1710 – 1880 MHzUMTS : 1900 – 2100 MHZWiFi : 2400 MHz 

3 GHz - 30 GHz  Radars et Télévision par satellites 

30 GHz -300 GHz  Communications « indoor » et Faisceaux hertziens 

II II - Matière et rayonnement - Matière et rayonnement

électromagnétiqueélectromagnétique

Matière :

Assemblage plus au mois ordonné d’atomes, d’ions, de molécules.

Atomes :

Noyau (neutrons +protons) + électrons

Molécules :

Interaction entre plusieurs atomes

matière : sources d’émission ou d’absorption de tous les matière : sources d’émission ou d’absorption de tous les rayonnementsrayonnements

physique quantique : l’énergie est quantifiéephysique quantique : l’énergie est quantifiée

atome : niveaux d’énergie électronique En (couches électroniques)

(atome de Bohr dans le cas de l’hydrogène)

2

n 0 2

Z bE E

n

molécule : niveaux de vibration et de rotation

noyau : niveaux d’énergie des nucléons (modèle en couches du noyau)

Etatsexcités

absorption

État fondamentalEfondamental

Niveaux d ’énergie (quantifiés)

émission

Emission ou absorption de rayonnements de fréquence fnp entre 2 niveaux notés En et Ep

n p npnp

hcE E h

Type de spectroscopie

Type de transition

émission de rayons 0,0005-0,14 nm nucléaire

absorption, émission, fluorescence et diffraction de rayons X

0,01-10 nm électrons internes

absorption d’UV lointain 10-180 nm électrons liants

absorption, émission, fluorescence dans l’UV et le visible

180-780 nm électrons liants dans les molécules

absorption IR et diffusion Raman

0,78-300 µm vibration et rotation des molécules

absorption micro-ondes 0,75-3,75 µm rotation des molécules

RPE 3 cm spin électronique

RMN 0,6-10 m spin nucléaire

III III – Le magnétisme de la matière– Le magnétisme de la matière

La matière est composée de particules en La matière est composée de particules en mouvement de rotationmouvement de rotation : :

- mouvement orbital de rotation des électrons autour du noyau

- mouvement de rotation propre (intrinsèque) des électrons et de nucléons autour de leur axe (spin)

d’où l’existence de moments cinétiques et l’apparition de momentsmagnétiques dans le cas où la particule est chargée

A - Les moments cinétiquesA - Les moments cinétiques

a) Le moment cinétique orbital :

Mr

Om

v

L= moment cinétique v = vitesse de la particuleen mouvement de rotationorbital autour du point O

L m vr sin(r, v) en physique classique :

• En physique classique L et || L || peuvent avoir une valeur

quelconque (continue) en fonction de r, m et v

• En physique quantique, ce n’est plus vrai :

les valeurs de L et || L || sont quantifiées (discrètes)

L .(nombre)

plus précisément :

L = + 1

l = nombre quantique entier

2 2L = +1

Quantification de la norme

Quantification de la composante Lz

zL m

Dans le cas d’une direction privilégiée dans l’espace (exemple : direction d’un champ magnétique)

m = - , - +1, .......0, ...... -1,

nombre quantique « magnétique » orbital

m Conditions sur m l :

conséquence : seules certaines orientations du vecteur seront possiblesL

$$$$$$$$$$$$$$

b) Le moment cinétique intrinsèque

Rotation sur elle-même d’une particule autourd’un de ses axes

Moment cinétique intrinsèque: « spin »S

S .(nombre)

plus précisément :

sS = s + 1

nombre quantique s demi-entier

Quantification de la norme du vecteur spin

3S

1

2 4s =

Pour l’électron, le neutron et le proton, il n’y a qu’une seule valeur possible de s

Quantification de la composante Sz du vecteur spin

z sS m

Dans le cas d’une direction privilégiée dans l’espace (exemple : direction d’un champ magnétique)

s s

1 1m = - et m = +

2 2

nombre quantique « magnétique » de spin

s

1 1- m +

2 2

Conditions sur mS :

conséquence : seules certaines orientations du vecteur seront possiblesS

s 1

2

Trouver les orientations possibles du vecteur

- dans le plan

- dans l’espace à 3 dimensions

S

Application

z sS m

s s

1 1m = - et m = +

2 2s

1

2

zS2

zS2

3norme de S une seule valeur

4

L’extrémité du vecteur Spin est :- dans le plan sur un cercle, - dans l’espace sur une sphère

• représentation du vecteur moment cinétique dans le plan xOz

z

O x

2

2

4

3cercle de

rayon

dans le plan : 4 orientations possibles du vecteur moment cinétique

l’extrémité de décrit 2 cônes de sommet 0 et d’axe 0z

dans l’espace à 3 dimensions

/ 2

z

0

S

/ 2

c) Le moment cinétique total

SLJ

Quantification de la norme du vecteur J

J = j j + 1

j = nombre quantique entier ou demi-entier

z jJ m

Dans le cas d’une direction privilégiée dans l’espace (exemple : direction d’un champ magnétique)

mj : nombre quantique « magnétique » total

jj m j

Conditions sur m j :

conséquence : seules certaines orientations du vecteur J seront possibles

Quantification de la composante Jz du vecteur J

B - Les moments magnétiques élémentairesB - Les moments magnétiques élémentaires

1) Moment magnétique d’une particule chargée en mouvement circulaire orbital de rotation

r

L

v

q, me

• charge = q

• masse = me

• vitesse = v

L = moment cinétique orbital

Le déplacement de la charge q est équivalent à un courant électrique d’intensité i

t

qi

t = temps nécessaire à la charge pour effectuer un tour complet

r2

qvi

v

r2t

r

L

v

m

L m v r

sin r,v 1

L = moment cinétique orbital

L m vr sin(r, v)

A

A = vecteur perpendiculaire à la surface

µ i Aµ

i

2qv q vrµ i A r

2 r 2

i A

• Par définition le moment dipolaire magnétique d’une boucle de courant parcourue par un courant d’intensité i est

A = aire de la boucle = norme du vecteur surface

µ//LetmvrLet2

qvrµ

donc : Lm2

qµ

en écriture vectorielle : Lm2

qµ

Le moment magnétique orbital est donc proportionnel à son moment cinétique orbital.

µ // L pour une charge positive

µ antiparallèle à L pour une charge < 0

exemple de moment magnétique:

Lm

eµ

e

2

19

30e

e 1,6.10 C

m 0,9.10 kg

e

e

2m

• mouvement de rotation orbital d’un électron

= rapport gyromagnétique de l’électron

L

µ

z ze

eµ L

2m

ze

eµ m

2m

z e ee

eµ µ m avec µ magnéton de Bohr

2m

z eµ µ m

zL = m

le moment cinétique est quantifié le moment magnétiqueest donc aussi quantifié

• par analogie, on définit, dans le cas du proton,le magnéton nucléaire

p = p

e2m

p : magnéton nucléaire

(2000 fois plus faible que le magnéton de Bohr)

z pµ = - µ m

avec

s ee

eµ g S

2m

spin S = moment cinétique intrinsèque

Cas de l’électron

moment magnétique intrinsèque µsS

µs

facteur de Landé = constante = 2,0023

2) Moment magnétique intrinsèque d’une particule chargée

physique classique :

seesz mµgµ

em

e

2

S

12m12

0

Z

)2

1m( s

)2

1m( s 2

µgµ e

esz

2

µgµ e

esz

Z

0

µs est quantifié

s//µs

et de même sens

2

1s

)eq(

proton et électron ont le même « spin »

(1 seule valeur de s)

S µs

Cas du proton

s pp

eµ g S

2m

µp = magnéton nucléaire

z z zp p

e eµ S µ m

2 m 2 m s

qµ L

2m

* moments magnétiques d’une particule chargée en mouvement de rotation orbital

électron Lez mµµ

Magnéton de Bohr

proton Lpz mµµ

Magnéton nucléaire

Résumé :

* moments magnétiques intrinsèques

1) électron seesz mµgµ

Facteur de Landé 21

21

2) proton sz p p sµ g µ m

)1s(sS

2

1et

2

1ms

nb quantique magnétique de spin

2

1s

1 seule valeur (spin)

Z

0

µs

RemarqueRemarque

Bien que sa charge soit nulle, le neutron possède égalent un momentmagnétique intrinsèque

cause probable : le neutron est composé de trois quarks portant des charges électriques fractionnaires

proton = (u, u,d)neutron = (u, d, d)

up = u = 2/3 charge de l’électrondown = d = - 1/3 charge de l’électron

Jµ

• cas du noyau composé de plusieurs nucléons

Rapport gyro-magnétique

Le moment cinétique total est toujours

appelé spin du noyau

SLJ

Un noyau ayant un moment cinétique total

se comporte donc comme un petit aimant

0J

le spin J du noyau est quantifié :

• Noyau de Z pair et N pair → spin total nul

• Noyau de Z impair et N pair ou Noyau de Z pair et N impair → spin demi-entier ( . )

• Noyau de Z impair et N impair → spin entier ( . )

même règle que pour les électrons :associés par paire de spins opposés- si en nombre pair → spin total nul- si en nombre impair : il existe des spins

non appariés → spin total non nul

valeurs du spin de quelques noyaux (en unités de )

• Noyau 1H (Z = 1 et N = 0) → spin = 1/2

• noyau 12C (Z = 6 et N = 6) → spin = 0

• noyau 13C (Z = 6 et N = 7) → spin = 1/2

• noyau 14N (Z = 7 et N = 7) → spin = 1

• noyau 23Na (Z = 11 et N = 12) → spin = 3/2

• noyau 31P (Z = 15 et N = 16) → spin = 1/2

C – Action d’un champ magnétique extérieurC – Action d’un champ magnétique extérieur

M

Moment cinétique total macroscopique

0µM i

(en général)

Orientations aléatoires des iµ

• En présence de champ magnétique 0B

Chaque moment magnétique individuel à un mouvement de précession (précession de Larmor)analogue au mouvement d’une toupie d’axe incliné, par rapport à la verticale →

iµ

•En l’absence de champ magnétique

iM µ 0

Bo µi

Z

précession de Larmor

vitesse angulaire de rotation de autour

de l’axe de :

µ

0 0B 0 0

µB

J

J = moment cinétique total

0 0ω = γB

(rapport gyromagnétique)J

µ

Relation de Larmor

en présence d’un champ , chaque moment

magnétique individuel a un mouvement de précession

autour de , à la vitesse angulaire

iµ 0B

0B

0 0B

fréquence de rotation :

0 00

ω γ Bν = =

2π 2 π

pour le proton : 0ν = 42,58 MHz pour un champ de 1 T

o oB Démonstration :

• chaque particule, de moment magnétique est

soumise à un couple :iµ

oi Bµ

Moment du coupleColinéaire au moment

cinétique J

• le couple produit une variation du moment

cinétique J

t

J

mouvement de précession de ( et ) autour de J

iµ

0B

• Calcul de la vitesse angulaire de rotation de autour

de :

µ

0B

J +J

µ + µ

Bo

µ

Z

J

J sin

J

’

0

à l’instant t

à l’instant t + t

j

µ

Jj

µµ

)t)(sinJ(J

))(sinJ(J

0

0)sinJ(t

J

maist0

Vitesse angulaire

de rotation de µ

autour de B0

0)sinJ(t

J

maist

J

et oi Bµ

00 )sinJ(sinµB

00 BJ

µ

Niveaux d’énergie magnétiqueNiveaux d’énergie magnétique

p 0E = -µ .B

• L’énergie potentielle magnétique Ep de µ dans

un champ magnétique B0

• si B0 n’a qu’une composante Bz (= B0) suivant

l’axe Oz :

p z 0E = - µ B µ = γJ

avec

le moment magnétique est quantifié l’énergie potentielle est donc quantifiée :

P,j j 0E m B avec m j = - j, - j + 1, …., + j - 1, + j

Si B0 est nul : tous les niveaux correspondent à Ep = 0

Si B0 est non nul : l’espacement entre deux niveaux consécutifs correspond à :

P 0E B

Dans le cas du noyau d’hydrogène (proton unique) :

P P P 0E g B

P 0E h remarque : avec 0 : fréquence de précession de Larmor

pour B0 = 1 T : EP # 1,75 . 10-7 eV (cas du proton)

0 = 42,58 MHz

= 7 mètres (ondes courtes radio)

B0 = 0

B0 0

Ep = h 0 (condition de résonance)

L’énergie potentielle est quantifiée en présence d’un champ B0 :

mS = + 1/2

mS = - 1/2

Chaque niveau d’énergie du noyau éclate en deux sous-niveaux

02 0

BE E

2

01 0

BE E

2

0E

Population des sous-niveaux d’énergie magnétiquePopulation des sous-niveaux d’énergie magnétique

matière contenant un ensemble de noyaux d’hydrogène, de moment cinétique j = 1/2et placé dans un champ magnétique extérieur uniforme B0

La population de chaque niveau d’énergie obéit à la loi de Boltzmann :

Ek TN Ce

k = constante de BoltzmannT = température absolue

B0 0

NN22

NN11

N1 = nombre de protons dans l’état de basse énergieN2 = nombre de protons dans l’état de plus haute énergie

0

0

E EEk T

k T1E E

2 k T

N Cee

NCe

E0

E2

E1

E est petit → développement limité

E

k T11 2

2

N Ee 1 N N

N k T

1

2

60

N E1

N k T

E10 à 300K et B 1 Tesla

kT

N1 ≈ N2 mais N1 >N2

conséquence : moment magnétique résultant non nul

11 2

2

1 2

2

N E E1 N 1 N

N k T k T

N N E

N k T

mais N1 ≈ N2 → N = N1 + N2 ≈ 2 N2 1 2N N 2 E

N k T

→

0

1 2 0N N d'autant plus grand q

E

ue B est i

B

ntense

→ N1 – N2 = 2 pour une population de N = 1 million de protons

Fin de la première partieFin de la première partie