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04/09/2002 école d'été du GRGS 1 LES SECONDS MEMBRES: les forces gravitationnelles Jean-Charles MARTY CNES/GRGS

LES SECONDS MEMBRES: les forces gravitationnelles

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Page 1: LES SECONDS MEMBRES: les forces gravitationnelles

04/09/2002 école d'été du GRGS 1

LES SECONDS MEMBRES:les forces gravitationnelles

• Jean-Charles MARTY• CNES/GRGS

Page 2: LES SECONDS MEMBRES: les forces gravitationnelles

04/09/2002 école d'été du GRGS 2

• Description des forces perturbatrices gravitationnelles telles qu’elles sont utilisées pour le calcul des seconds membres des équations différentielles du mouvement.

• Ces forces dérivent des potentiels suivants

• Potentiel gravitationnel terrestre

• Potentiel perturbateur des autres corps (3eme corps)

• Les marées terrestres

• Les marées océaniques

• La pression atmosphérique

• Ces calculs sont effectués dans le repère terrestre, et les forces obtenues sont tournées dans le repère d’intégration céleste choisi

Page 3: LES SECONDS MEMBRES: les forces gravitationnelles

04/09/2002 école d'été du GRGS 3

( )sinmλScosmλC)(sinPr

ar

GMU lmlmlm

lL

0l

l

0m

e +���

����

�= ��

= =

ϕ

avec: GM : issu du modèle de potentiel

ae : demi-grand-axe terrestre issu du modèle de potentiel

λ),(r,ϕ : coordonnées polaires du satellite

Attraction gravitationnelle de la Terre (1)

)S,C( lmlm : coefficients de Stokes normalisés issus du modèle

: les fonctions de Legendre)(sinP ϕlm

Page 4: LES SECONDS MEMBRES: les forces gravitationnelles

04/09/2002 école d'été du GRGS 4

•Le calcul de U est élémentaire.

Attraction gravitationnelle de la Terre (2)

U de calcul ∇ UF ∇=�

Calcul de la force

U2∇ Calcul du tenseur gradient de gravité pour le second membre des

équations aux variations ( )rF�

∂∂

( )( ) SC

U et, lmlm∂

∇∂Calcul de la dérivée de la force pour le second membre des équations aux variations par rapport à (Clm,Slm)

Page 5: LES SECONDS MEMBRES: les forces gravitationnelles

04/09/2002 école d'été du GRGS 5

Attraction gravitationnelle de la Terre (3)

Les repères:

���

���

=���

���

zyx

ZYX

M

{R}={X,Y,Z} repère d’intégration (céleste)

{r}={x,y,z} repère lié au corps

( ) ( )rR UM.U :a On ∇=∇

( ) ( ) trR MUM.U .22 ∇=∇

Page 6: LES SECONDS MEMBRES: les forces gravitationnelles

04/09/2002 école d'été du GRGS 6

Attraction gravitationnelle de la Terre (4)

Les fonctions de Legendre présentent une

singularité aux pôles (cosφ = 0)

)(sinP ϕlm

Utilisation des polynômes de Helmholtz Hlm(sinφ) tels que:

)(sinH cos)(sinP m ϕϕϕ lmlm =

Etϕϕ sin

HsinP lmlm

∂∂

=∂∂

pour m = 0

ϕϕϕϕ

ϕ sinH

cosH sin cos msinP lmm

lm2mlm

∂∂

+−=∂∂

− pour m > 0

Page 7: LES SECONDS MEMBRES: les forces gravitationnelles

04/09/2002 école d'été du GRGS 7

Les formules de récurrences par ordre (m) utilisées sont :

1) pour l = m

0H , 0 H

H2m11H , 3H 1,H

''mm

'mm

1m1,mmm1100

==⋅+=== −−

2) pour l = m+1

0 H , H 32mHH sin32mH

''m1,mmm

'm1,m

mmm1,m

=+= +=

++

+ ϕ

Attraction gravitationnelle de la Terre (5)

Page 8: LES SECONDS MEMBRES: les forces gravitationnelles

04/09/2002 école d'été du GRGS 8

3) pour l >m+1 ( )m

1lm2,lm1,lmllm αHH sinαH

−−−−= ϕ

( )m1lm2,lm1,lm1,l

mllm αHHH sinαH

−−−−′−+′=′ ϕ

( )m1lm2,-lm1,-lm1,-l

mllm αH-2HH sinαH

-+= ''''''' ϕ

avec =mlα ( )( )

( )( )mlml12l12l

+−−+

Attraction gravitationnelle de la Terre (6)

Page 9: LES SECONDS MEMBRES: les forces gravitationnelles

04/09/2002 école d'été du GRGS 9

Attraction gravitationnelle de la Terre (7)

En pratique, on calcule jusqu’à un degré maximum donné.

Pour le calcul des dérivées partielles on prend en compte les coefficients (Clm,Slm) suivant l’analyse de sensibilité via le logiciel SELECT

Les coefficients du champ (Clm,Slm) sont considérés comme statiques sauf:

•les Cl0 pour 0<l<10

•les (Clm,Slm) pour 0<l<5

on prend aussi en compte les dérives séculaires pour les premiers zonaux.

U et U 2∇∇

Par décades

( ) ( )lmlm SCU ,∂∇∂ /

Page 10: LES SECONDS MEMBRES: les forces gravitationnelles

04/09/2002 école d'été du GRGS 10

Attraction gravitationnelle de la Terre (8)

Quelques coefficients du champ particuliers:

• C00 pour ajustement de GM/r

•C10 , C11 , S11 pour ajustement du géocentre

Page 11: LES SECONDS MEMBRES: les forces gravitationnelles

04/09/2002 école d'été du GRGS 11

Attraction gravitationnelle des autres corps (1)

���

���

+−

−−=

3p

p3

p

pp r

r

rr

rrGmF

��

��

constantes : Gmp: GM du corps

variables : : vecteur géocentrique satellite

: vecteur géocentrique du corps

r�

pr�

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04/09/2002 école d'été du GRGS 12

Attraction gravitationnelle des autres corps (2)

avec : GmL : GM de la Lune ae : demi grand axe terrestre C20 : aplatissement terrestre : vecteur Terre-Lune

et :

On prend en compte aussi le couplage avec l’aplatissement terrestre qui produit la force:

��

��

100

z�

Lr�

2-1-5-= zrrrz.r

aCrGm

23

F LL2L

L2e205

L

L ��

��

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04/09/2002 école d'été du GRGS 13

Attraction gravitationnelle des autres corps (3)

On prend en compte les accélérations gravitationnelles de:

• Soleil, Lune, Mercure, Venus, Mars, Jupiter, Saturne

Les coordonnées des corps sont issues du DE403 du JPL

exprimées dans le repère inertiel J2000 et en TDB.

Page 14: LES SECONDS MEMBRES: les forces gravitationnelles

04/09/2002 école d'été du GRGS 14

Les Marées solides (1) L’accélération de marée terrestre dérive du potentiel de déformation de la Terre, de degrés 2 et 3, sous l’action gravitationnelle de la Lune et du Soleil

Le potentiel de déformation est composé de 4 termes :

U = Uk : potentiel de marée terrestre + ∆Uδk : correction fréquentielle des nombres de Love + ∆Uell : correction d’ellipticité + ∆Upôle : correction de marée polaire

Page 15: LES SECONDS MEMBRES: les forces gravitationnelles

04/09/2002 école d'été du GRGS 15

Les Marées solides (2)Le potentiel de marées terrestre induit des variations des coefficients du géopotentiel (Clm,Slm) .

ki kk I2m

R2m2m +=

Effets de marées de degré 2 (k2)

∆C2m, ∆S2m , ∆C4m, ∆S4m

Effets de marées de degré 3 (k3)

∆C3m, ∆S3m

Ces variations ∆Clm, ∆Slm sont fonctions des nombres de Love knm,

Le déphasage de marée est introduit au degré 2 par les nombres de Love imaginaires pour une Terre anélastique (Wilmer et al., 1991) :

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pp

m )e(sinH cosra

GMGm

12lk

SiC imλlm

1lplm

lmlm-

+

+=- ϕϕe∆∆

Les Marées solides (3)

Helmholtz de polynôme:H Soleil ou Lune - Terre centre distancer

terrestre équatorial rayon a corps) au lié (repère

Soleil du ou Lune la de uegéocentriq longitude et latitude:λ,Soleil du ou Lune la de GM le:Gm

:avec

lm

pp

p

::

p

e

ϕ

Page 17: LES SECONDS MEMBRES: les forces gravitationnelles

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Les Marées solides (3)La correction fréquentielle des nombres de Love est également introduite sous forme complexe et affecte 26 ondes longues période, 26 ondes diurnes et 2 ondes semi-diurnes. Elle s’exprime sous forme normalisée pour l=2 et m=0,1,2 :

( )sinθδksinθδk4πaH

C∆ Is

Rs

s20 -=

eLongues périodes

Avec: Hs: amplitude de la marée d’équilibre

θ: argument de l ’onde de marée

: corrections du nombre de Love k2mIs

Rs δkδk ,

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=

=

sinθcosθ

δk8πaH

S∆C∆

cosθsinθ

δk8πaH

S∆C∆

Rse

s

22

22

Rse

s

21

21Diurnes

Semi-diurnes

Les Marées solides (4)

Corrections fréquentielles pour ondes diurnes et semi-diurnes

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04/09/2002 école d'été du GRGS 19

Les Marées solides (5)

L’effet d’ellipticité du potentiel terrestre se répercute au degré 4 (pour le potentiel de degré 2)

pp

m )e(sinH cosra

GMGm

5k

=S∆iC∆ -imλ3

ep+2m

4m4m + ϕϕ 2m

pour m = 0, 1, 2

avec : = - .00089= - .00080= - .00057

+20k+21k+22k

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Les Marées solides (6)Correction de marée polaire:

Elle exprime la variation de potentiel centrifuge déduite de la déformation engendrée par les variations de rotation et le mouvement du pôle instantané de rotation.

Pour une terre anélastique et avec = .3111 et = - .0035, on a:

R2k I

2k

moyen pôle du scoordonnéeyxinstantané pôle du scoordonnéeyx

)x -.0112(x-)y -(y )y-.0112(y-)x-(x-

10 .26446 S∆C∆

:,

:,

=

pp

pp

pppp

pppp-321

21

Page 21: LES SECONDS MEMBRES: les forces gravitationnelles

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Les Marées océaniques (1)L’accélération de marée océanique dérive du potentiel de simple couche

t)λ,,(qra

GMGm

12lk1

aG4=U ±ml,n,m

e'l

l±ne ϕΣΣΣΣ

1lp

+

++

π

Il est généré par la charge de marée : q=ρwh ρw : densité moyenne de l’eau de mer

La hauteur de la marée océanique est décomposée en ondes progrades et rétrogrades en fonctions harmoniques sphériques:

: nombre de Love de charge n : nombre d’ondes de marées

'lk

± : onde prograde et rétrograde

Page 22: LES SECONDS MEMBRES: les forces gravitationnelles

04/09/2002 école d'été du GRGS 22

χn: convention de phase de Doodson-Warburgθn : argument de l’onde de marée

( )( )( )( ) )(sinH cosmλ± +tθS

mλ± +tθC=h mml±n nnml,n,

nnml,n, ϕϕ lmsin+cos

±

±

χχΣΣΣΣ

Valeurs de χn

Amplitude marée équilibre >0 <0

marée longue période π 0

Marée diurne π /2 -π /2

Marée semi-diurne 0 π

Les Marées océaniques (2)

Page 23: LES SECONDS MEMBRES: les forces gravitationnelles

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Les Marées océaniques (3)Les modèles utilisés sont issus des grilles des modèles hydrodynamiques (FES95, FES98, FES2002) en amplitude et phase qui sont transformés en harmoniques sphériques pour chaque onde.

•Ondes semi-diurnes (N2, M2, S2, K2, 2N2)

•Ondes diurnes (Q1,O1,P1,K1)

•Ondes longues périodes (Mm, Mf, Mtm, Msqm)

Ces modèles sont tronqués pour chaque onde selon la sensibilité du satellite (cf. programme SELECT)

Page 24: LES SECONDS MEMBRES: les forces gravitationnelles

04/09/2002 école d'été du GRGS 24

Les Marées océaniques (4)

( ) ( )

( ) ( )159°+2λ+2θ)δ-2 g(P 10.8 -P110.2

g∆P

=q :S onde

12°+λ+θ)δ-2 g(P 17.2 -P57.7

g∆P

=q :S onde

m0m

42222

m0m

31111

sin=

sin=

Ces modèles ne contiennent pas les marées atmosphériques qui sont calculées à partir du modèle d’Haurwitz et Cowley (1973) qui donne:

moyen sidéral temps θ Pascal enpression :Pavec

m :∆

Page 25: LES SECONDS MEMBRES: les forces gravitationnelles

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En plus du calcul des ondes principales du modèle de marée, on tient compte d’au plus 68 ondes secondaires (16 longues périodes, 30 diurnes, 22 semi-diurnes) interpolées par admittance : le rapport déformation/potentiel gravitationnel estquasi-linéaire entre les ondes principales.Les ondes longues périodes : Ssa, Mm, Mf, Mtm,Msqm ; diurnes : Q1, O1, K1, et semi-diurnes : 2N2, N2, M2, K2 servent d’appui à l’interpolation par polynôme de Lagrange de la hauteur de marée de chacune des ondes secondaires

Les Marées océaniques (5)

Page 26: LES SECONDS MEMBRES: les forces gravitationnelles

04/09/2002 école d'été du GRGS 26

généré par la charge de pression atmosphérique: ( )g

tλ,,∆P=q

ϕ

( ) ( ) ( )( ) )(sinH cosmλsint∆S+mλcostC∆ΣΣ=tλ,,∆P mlmlmml

ϕϕϕ lm

avec k’l : nombre de Love de charge (limité à l = 12)( ) ( )( )t∆S,t∆C lmlm :coefficients normalisés de pression

atmosphérique

La Pression atmosphérique (1)

t)λ,,(qra

12lk1

aG4=U lmm

e'l

le ϕΣΣ

1l+

++

π

Les variations de pression atmosphérique sont principalement l’effet de redistribution des masses atmosphériques. L’accélération gravitationnelle induite dérive du potentiel de simple couche :

Page 27: LES SECONDS MEMBRES: les forces gravitationnelles

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La Pression atmosphérique (2)Dans le cas où l’on prend en compte la pression atmosphérique, on doit retirer l ’effet de marée atmosphérique S1 et S2 de Haurwitz et Cowley rajoutés à la marée océanique.

On peut considérer la pression atmosphérique:

• sur tout le globe

• ou bien uniquement sur les continents

Hypothèse baromètre inverse sur les océans.

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La Pression atmosphérique (3)• Les données initiales sont des grilles:

• de pas de 0,5 degré.

• Toutes les 6 heures

• On leur retire une grille moyenne (sur plusieurs années) de façon à obtenir le ∆P

• On fait l’analyse harmonique en séparant les océans et les continents.

En chaque point on interpole linéairement les

pour calculer ∆P ( ) ( )( )t∆S,t∆C lmlm

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∆P à 6h∆P à 0h

∆P à 12h ∆P à 18h