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04/09/2002 école d'été du GRGS 1
LES SECONDS MEMBRES:les forces gravitationnelles
• Jean-Charles MARTY• CNES/GRGS
04/09/2002 école d'été du GRGS 2
• Description des forces perturbatrices gravitationnelles telles qu’elles sont utilisées pour le calcul des seconds membres des équations différentielles du mouvement.
• Ces forces dérivent des potentiels suivants
• Potentiel gravitationnel terrestre
• Potentiel perturbateur des autres corps (3eme corps)
• Les marées terrestres
• Les marées océaniques
• La pression atmosphérique
• Ces calculs sont effectués dans le repère terrestre, et les forces obtenues sont tournées dans le repère d’intégration céleste choisi
04/09/2002 école d'été du GRGS 3
( )sinmλScosmλC)(sinPr
ar
GMU lmlmlm
lL
0l
l
0m
e +���
����
�= ��
= =
ϕ
avec: GM : issu du modèle de potentiel
ae : demi-grand-axe terrestre issu du modèle de potentiel
λ),(r,ϕ : coordonnées polaires du satellite
Attraction gravitationnelle de la Terre (1)
)S,C( lmlm : coefficients de Stokes normalisés issus du modèle
: les fonctions de Legendre)(sinP ϕlm
04/09/2002 école d'été du GRGS 4
•Le calcul de U est élémentaire.
Attraction gravitationnelle de la Terre (2)
U de calcul ∇ UF ∇=�
Calcul de la force
U2∇ Calcul du tenseur gradient de gravité pour le second membre des
équations aux variations ( )rF�
�
∂∂
( )( ) SC
U et, lmlm∂
∇∂Calcul de la dérivée de la force pour le second membre des équations aux variations par rapport à (Clm,Slm)
04/09/2002 école d'été du GRGS 5
Attraction gravitationnelle de la Terre (3)
Les repères:
���
�
�
���
�
�
=���
�
�
���
�
�
zyx
ZYX
M
{R}={X,Y,Z} repère d’intégration (céleste)
{r}={x,y,z} repère lié au corps
( ) ( )rR UM.U :a On ∇=∇
( ) ( ) trR MUM.U .22 ∇=∇
04/09/2002 école d'été du GRGS 6
Attraction gravitationnelle de la Terre (4)
Les fonctions de Legendre présentent une
singularité aux pôles (cosφ = 0)
)(sinP ϕlm
Utilisation des polynômes de Helmholtz Hlm(sinφ) tels que:
)(sinH cos)(sinP m ϕϕϕ lmlm =
Etϕϕ sin
HsinP lmlm
∂∂
=∂∂
pour m = 0
ϕϕϕϕ
ϕ sinH
cosH sin cos msinP lmm
lm2mlm
∂∂
+−=∂∂
− pour m > 0
04/09/2002 école d'été du GRGS 7
Les formules de récurrences par ordre (m) utilisées sont :
1) pour l = m
0H , 0 H
H2m11H , 3H 1,H
''mm
'mm
1m1,mmm1100
==⋅+=== −−
2) pour l = m+1
0 H , H 32mHH sin32mH
''m1,mmm
'm1,m
mmm1,m
=+= +=
++
+ ϕ
Attraction gravitationnelle de la Terre (5)
04/09/2002 école d'été du GRGS 8
3) pour l >m+1 ( )m
1lm2,lm1,lmllm αHH sinαH
−−−−= ϕ
( )m1lm2,lm1,lm1,l
mllm αHHH sinαH
−−−−′−+′=′ ϕ
( )m1lm2,-lm1,-lm1,-l
mllm αH-2HH sinαH
-+= ''''''' ϕ
avec =mlα ( )( )
( )( )mlml12l12l
+−−+
Attraction gravitationnelle de la Terre (6)
04/09/2002 école d'été du GRGS 9
Attraction gravitationnelle de la Terre (7)
En pratique, on calcule jusqu’à un degré maximum donné.
Pour le calcul des dérivées partielles on prend en compte les coefficients (Clm,Slm) suivant l’analyse de sensibilité via le logiciel SELECT
Les coefficients du champ (Clm,Slm) sont considérés comme statiques sauf:
•les Cl0 pour 0<l<10
•les (Clm,Slm) pour 0<l<5
on prend aussi en compte les dérives séculaires pour les premiers zonaux.
U et U 2∇∇
Par décades
( ) ( )lmlm SCU ,∂∇∂ /
04/09/2002 école d'été du GRGS 10
Attraction gravitationnelle de la Terre (8)
Quelques coefficients du champ particuliers:
• C00 pour ajustement de GM/r
•C10 , C11 , S11 pour ajustement du géocentre
04/09/2002 école d'été du GRGS 11
Attraction gravitationnelle des autres corps (1)
���
�
�
���
�
�
+−
−−=
3p
p3
p
pp r
r
rr
rrGmF
�
��
��
�
constantes : Gmp: GM du corps
variables : : vecteur géocentrique satellite
: vecteur géocentrique du corps
r�
pr�
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Attraction gravitationnelle des autres corps (2)
avec : GmL : GM de la Lune ae : demi grand axe terrestre C20 : aplatissement terrestre : vecteur Terre-Lune
et :
On prend en compte aussi le couplage avec l’aplatissement terrestre qui produit la force:
��
�
�
��
�
�
100
z�
Lr�
2-1-5-= zrrrz.r
aCrGm
23
F LL2L
L2e205
L
L ��
��
�
04/09/2002 école d'été du GRGS 13
Attraction gravitationnelle des autres corps (3)
On prend en compte les accélérations gravitationnelles de:
• Soleil, Lune, Mercure, Venus, Mars, Jupiter, Saturne
Les coordonnées des corps sont issues du DE403 du JPL
exprimées dans le repère inertiel J2000 et en TDB.
04/09/2002 école d'été du GRGS 14
Les Marées solides (1) L’accélération de marée terrestre dérive du potentiel de déformation de la Terre, de degrés 2 et 3, sous l’action gravitationnelle de la Lune et du Soleil
Le potentiel de déformation est composé de 4 termes :
U = Uk : potentiel de marée terrestre + ∆Uδk : correction fréquentielle des nombres de Love + ∆Uell : correction d’ellipticité + ∆Upôle : correction de marée polaire
04/09/2002 école d'été du GRGS 15
Les Marées solides (2)Le potentiel de marées terrestre induit des variations des coefficients du géopotentiel (Clm,Slm) .
ki kk I2m
R2m2m +=
Effets de marées de degré 2 (k2)
∆C2m, ∆S2m , ∆C4m, ∆S4m
Effets de marées de degré 3 (k3)
∆C3m, ∆S3m
Ces variations ∆Clm, ∆Slm sont fonctions des nombres de Love knm,
Le déphasage de marée est introduit au degré 2 par les nombres de Love imaginaires pour une Terre anélastique (Wilmer et al., 1991) :
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pp
m )e(sinH cosra
GMGm
12lk
SiC imλlm
1lplm
lmlm-
+
+=- ϕϕe∆∆
Les Marées solides (3)
Helmholtz de polynôme:H Soleil ou Lune - Terre centre distancer
terrestre équatorial rayon a corps) au lié (repère
Soleil du ou Lune la de uegéocentriq longitude et latitude:λ,Soleil du ou Lune la de GM le:Gm
:avec
lm
pp
p
::
p
e
ϕ
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Les Marées solides (3)La correction fréquentielle des nombres de Love est également introduite sous forme complexe et affecte 26 ondes longues période, 26 ondes diurnes et 2 ondes semi-diurnes. Elle s’exprime sous forme normalisée pour l=2 et m=0,1,2 :
( )sinθδksinθδk4πaH
C∆ Is
Rs
s20 -=
eLongues périodes
Avec: Hs: amplitude de la marée d’équilibre
θ: argument de l ’onde de marée
: corrections du nombre de Love k2mIs
Rs δkδk ,
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=
=
sinθcosθ
δk8πaH
S∆C∆
cosθsinθ
δk8πaH
S∆C∆
Rse
s
22
22
Rse
s
21
21Diurnes
Semi-diurnes
Les Marées solides (4)
Corrections fréquentielles pour ondes diurnes et semi-diurnes
04/09/2002 école d'été du GRGS 19
Les Marées solides (5)
L’effet d’ellipticité du potentiel terrestre se répercute au degré 4 (pour le potentiel de degré 2)
pp
m )e(sinH cosra
GMGm
5k
=S∆iC∆ -imλ3
ep+2m
4m4m + ϕϕ 2m
pour m = 0, 1, 2
avec : = - .00089= - .00080= - .00057
+20k+21k+22k
04/09/2002 école d'été du GRGS 20
Les Marées solides (6)Correction de marée polaire:
Elle exprime la variation de potentiel centrifuge déduite de la déformation engendrée par les variations de rotation et le mouvement du pôle instantané de rotation.
Pour une terre anélastique et avec = .3111 et = - .0035, on a:
R2k I
2k
moyen pôle du scoordonnéeyxinstantané pôle du scoordonnéeyx
)x -.0112(x-)y -(y )y-.0112(y-)x-(x-
10 .26446 S∆C∆
:,
:,
=
pp
pp
pppp
pppp-321
21
04/09/2002 école d'été du GRGS 21
Les Marées océaniques (1)L’accélération de marée océanique dérive du potentiel de simple couche
t)λ,,(qra
GMGm
12lk1
aG4=U ±ml,n,m
e'l
l±ne ϕΣΣΣΣ
1lp
+
++
π
Il est généré par la charge de marée : q=ρwh ρw : densité moyenne de l’eau de mer
La hauteur de la marée océanique est décomposée en ondes progrades et rétrogrades en fonctions harmoniques sphériques:
: nombre de Love de charge n : nombre d’ondes de marées
'lk
± : onde prograde et rétrograde
04/09/2002 école d'été du GRGS 22
χn: convention de phase de Doodson-Warburgθn : argument de l’onde de marée
( )( )( )( ) )(sinH cosmλ± +tθS
mλ± +tθC=h mml±n nnml,n,
nnml,n, ϕϕ lmsin+cos
±
±
χχΣΣΣΣ
Valeurs de χn
Amplitude marée équilibre >0 <0
marée longue période π 0
Marée diurne π /2 -π /2
Marée semi-diurne 0 π
Les Marées océaniques (2)
04/09/2002 école d'été du GRGS 23
Les Marées océaniques (3)Les modèles utilisés sont issus des grilles des modèles hydrodynamiques (FES95, FES98, FES2002) en amplitude et phase qui sont transformés en harmoniques sphériques pour chaque onde.
•Ondes semi-diurnes (N2, M2, S2, K2, 2N2)
•Ondes diurnes (Q1,O1,P1,K1)
•Ondes longues périodes (Mm, Mf, Mtm, Msqm)
Ces modèles sont tronqués pour chaque onde selon la sensibilité du satellite (cf. programme SELECT)
04/09/2002 école d'été du GRGS 24
Les Marées océaniques (4)
( ) ( )
( ) ( )159°+2λ+2θ)δ-2 g(P 10.8 -P110.2
g∆P
=q :S onde
12°+λ+θ)δ-2 g(P 17.2 -P57.7
g∆P
=q :S onde
m0m
42222
m0m
31111
sin=
sin=
Ces modèles ne contiennent pas les marées atmosphériques qui sont calculées à partir du modèle d’Haurwitz et Cowley (1973) qui donne:
moyen sidéral temps θ Pascal enpression :Pavec
m :∆
04/09/2002 école d'été du GRGS 25
En plus du calcul des ondes principales du modèle de marée, on tient compte d’au plus 68 ondes secondaires (16 longues périodes, 30 diurnes, 22 semi-diurnes) interpolées par admittance : le rapport déformation/potentiel gravitationnel estquasi-linéaire entre les ondes principales.Les ondes longues périodes : Ssa, Mm, Mf, Mtm,Msqm ; diurnes : Q1, O1, K1, et semi-diurnes : 2N2, N2, M2, K2 servent d’appui à l’interpolation par polynôme de Lagrange de la hauteur de marée de chacune des ondes secondaires
Les Marées océaniques (5)
04/09/2002 école d'été du GRGS 26
généré par la charge de pression atmosphérique: ( )g
tλ,,∆P=q
ϕ
( ) ( ) ( )( ) )(sinH cosmλsint∆S+mλcostC∆ΣΣ=tλ,,∆P mlmlmml
ϕϕϕ lm
avec k’l : nombre de Love de charge (limité à l = 12)( ) ( )( )t∆S,t∆C lmlm :coefficients normalisés de pression
atmosphérique
La Pression atmosphérique (1)
t)λ,,(qra
12lk1
aG4=U lmm
e'l
le ϕΣΣ
1l+
++
π
Les variations de pression atmosphérique sont principalement l’effet de redistribution des masses atmosphériques. L’accélération gravitationnelle induite dérive du potentiel de simple couche :
04/09/2002 école d'été du GRGS 27
La Pression atmosphérique (2)Dans le cas où l’on prend en compte la pression atmosphérique, on doit retirer l ’effet de marée atmosphérique S1 et S2 de Haurwitz et Cowley rajoutés à la marée océanique.
On peut considérer la pression atmosphérique:
• sur tout le globe
• ou bien uniquement sur les continents
Hypothèse baromètre inverse sur les océans.
04/09/2002 école d'été du GRGS 28
La Pression atmosphérique (3)• Les données initiales sont des grilles:
• de pas de 0,5 degré.
• Toutes les 6 heures
• On leur retire une grille moyenne (sur plusieurs années) de façon à obtenir le ∆P
• On fait l’analyse harmonique en séparant les océans et les continents.
En chaque point on interpole linéairement les
pour calculer ∆P ( ) ( )( )t∆S,t∆C lmlm
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∆P à 6h∆P à 0h
∆P à 12h ∆P à 18h