Arch. Math. 80 (2003) 71–780003–889X/03/010071–08© Birkhauser Verlag, Basel, 2003 Archiv der Mathematik

Les shifts a poids de croissance polynomiale sont hyper-reflexifs

Par

Xavier Dussau

Abstract. We prove that the bilateral weighted shift on �2w(Z) is hyper-reflexive when w is a

weight who verifies: 1 � w(n) � C(1 + |n|)α .Resume. Nous montrons que le shift bilatéral sur �2

ω(Z) est hyper-réflexif lorsque ω est unpoids qui vérifie la condition: 1 � ω(n) � C(1 + |n|)α pour n ∈ Z.

1. Introduction et principaux résultats. On appellera poids toute applicationω : Z →]0, +∞[ vérifiant

0 < infn∈Z

ω(n + 1)

ω(n)� sup

n∈Z

ω(n + 1)

ω(n)< + ∞.

Etant donné un poids ω, on introduit l’espace de Hilbert

�2ω(Z) :=

u = (un)n∈Z / ‖u‖ω =[∑

n∈Z

|un|2ω(n)2

] 12

< ∞ .

On pose ω∗(n) = 1ω(−n)

, pour tout n ∈ Z. Le poids ω∗ ainsi défini est appelé le poids dual

de ω. Alors, l’application bilinéaire de �2ω(Z) × �2

ω∗(Z) → C

qui à (x, y) associe∑n∈Z

xny−n permet d’identifier le dual de �2ω(Z) à �2

ω∗(Z).

Considérons le shift S : (un)n∈Z �→ (un−1)n∈Z dans �2ω(Z) qui est borné et inversible. Un

sous-espace fermé M de �2ω(Z) sera dit invariant par translation si S(M) ∪ S−1(M) ⊂ M .

Un sous-espace M invariant par translation est non trivial(noté SEINT) si M = {0} etM = �2

ω(Z). Nous dirons que S est hyper-réflexif si tout opérateur borné T de �2ω(Z),

qui laisse invariant tous les sous-espaces invariants par translation, commute avec S. Nousallons montrer dans cet article le résultat suivant.

Théorème 1. Soit ω un poids tel que

1 � ω(n) � C(1 + |n|)α ∀n ∈ Z

C et α étant des entiers positifs. Alors le shift S sur �2ω(Z) est hyper-réflexif.

Mathematics Subject Classification (2000): 47B37.

72 Xavier Dussau arch. math.

En prélude à ce théorème, nous avons ajouté deux résultats élémentaires d’hyper-réflexivité,qui peuvent être considérés comme bien connus, bien que nous ne les ayons pas trouvésexplicitement mentionnés dans la littérature.

Proposition 2. Si ω est un poids qui vérifie∑n∈Z

1ω(n)2 < + ∞,

le shift S sur �2ω(Z) est hyper-réflexif.

Proposition 3. Si ω est un poids tel que ω(n) � 1 pour tout n ∈ Z et tel que∑n∈Z

ω(n)2

1+n2 <

+∞, alors le shift S sur �2ω(Z) est hyper-réflexif.

Ces deux propositions prouvent l’hyper-réflexivité du shift pour ω(n) = (1 + |n|)α avecα = 1/2. Le cas α = 1/2 est donné par le Théorème 1. L’hyper-réflexivité du shift sur�2(Z) est un résultat standard [5]. Notons que Jean Esterle [3] a montré l’hyper-réflexivité dushift sur certains poids très irréguliers(poids d’Apostol). Soit ω un poids tel que ω(n) � 1pour tout n ∈ Z. Considérons

L2ω(T) :=

f ∈ L2(T) / ‖f ‖ω =[∑

n∈Z

|f (n)|2ω(n)2

] 12

< ∞ .

Alors l’application de L2(T) dans �2(Z) qui à f associe (f (n))n induit un isomorphismeisométrique entre L2

ω(T) et �2ω(Z).

De plus l’opérateur S : f (eiθ ) �→ eiθf (eiθ ) sur L2ω(T) est unitairement équivalent au

shift S sur �2ω(Z). Ainsi dans la suite de cet article, nous identifierons les opérateurs S et S.

On remarque que si I est un arc ouvert de T, l’ensemble EI = {f ∈ L2

ω(T)/f (x) =0 p.p. sur I

}est un sous-espace invariant par translation. Pour les poids intervenant dans la

Proposition 2 et le Théorème 1, il est facile de voir que si I = T, EI est un SEINT.Plus généralement si ω(n) � 1 pour tout n ∈ Z et si

∑n∈Z

log ω(n)

1+n2 < ∞, alors EI est un

SEINT si I = T, d’aprés le théorème de Beurling-Malliavin [1].Dans la Proposition 1, nous obtenons l’hyper-réflexivité car L2

ω(T) ⊂ C(T). Parcontre dans la Proposition 2, l’hyper-réflexivité provient du fait que les fonctions indi-catrice d’intervalle engendrent un sous-espace vectoriel dense de L2

ω(T). Le cas ω0(n) =(1 + |n|)1/2 est intéressant car d’une part L2

ω0(T) ne contient aucune fonction indicatrice,

et d’autre part ses éléments ne sont pas tous continus. Néanmoins, L2ω0

(T) contient D(T),l’espace des fonctions C∞ sur T, ce qui va nous permettre d’utiliser la théorie des distri-butions.

Notons D(R) l’ensemble des fonctions définies sur R, C∞ à support compact et D′(R)

l’espace des distributions.Nous avons utilisé dans la preuve du Théorème 1, le raisonnement de Jaak Peetre [4] qui

a prouvé le théorème suivant.

Vol. 80, 2003 Les shifts a poids de croissance polynomiale sont hyper-reflexifs 73

Théorème. Soit � : D(R) → D′(R) un opérateur non borné local (i.e. supp(�f ) ⊂supp(f )pour toutf ∈ D(R)). Alors pour tout compactK ⊂ R il existea0, . . . , an ∈ D′(R)

tels que �f =n∑

k=0akf

(k), pour tout f ∈ D(K).

Ce théorème utilise de manière essentielle le théorème des noyaux de Laurent Schwartz.

2. Deux résultats élémentaires.

Proposition 1. Si ω est un poids qui vérifie∑n∈Z

1ω(n)2 < + ∞, le shift S sur �2

ω(Z) est

hyper-réflexif.

D é m o n s t r a t i o n. Soit (un)n ∈ �2ω(Z), alors

∑n∈Z

|un| �

(∑n∈Z

|un|2ω(n)2

) 12(∑

n∈Z

1

ω(n)2

) 12

,

d’aprés l’inégalité de Cauchy-Schwarz.Par conséquent

∑n∈Z

unzn converge pour tout z ∈ T et l’application

�z : �2ω(Z) → C

u �→∑n∈Z

unzn

est une forme linéaire continue pour tout z ∈ T.Posons Ez := ker�z; alors Ez est un hyperplan fermé de �2

ω(Z) qui est invariant partranslation car �z(u) = 0 implique �z(Su) = z�z(u) = 0 et �z(S

−1u) = z−1�z(u) = 0.Considérons un opérateur borné T de �2

ω(Z) qui laisse stable Ez pour tout z ∈ T. Fz,l’orthogonal de Ez, est une droite vectorielle et T ∗(Fz) ⊂ Fz. De façon évidente T ∗ et S∗commutent sur Fz, pour tout z ∈ T. D’où T ∗ et S∗ commutent sur (vectz∈T(Fz))

−. Soitu ∈ ⋂

z∈T

Ez; alors∑n∈Z

unzn = 0 pour tout z ∈ T et donc u = 0. Ainsi (vectz∈T(Fz))

− =(⋂

z∈T

Ez)⊥ = �2

ω(Z), ce qui implique T ∗S∗ = S∗T ∗ et donc TS = ST . D’où S est hyper-

réflexif. �

Nous allons maintenant prouver un lemme qui interviendra dans les preuves de laProposition 2 et du Théorème 1.

Lemme 1. Soient ω un poids tel que ω(n) � 1 pour tout n ∈ Z et F une partie densede L2

ω(T). Considérons un opérateur borné T de L2ω(T) qui vérifie T (f ) = gf pour tout

f ∈ F , avec g ∈ L2ω(T). Alors T (f ) = gf pour tout f ∈ L2

ω(T) et ainsi T S = ST .

74 Xavier Dussau arch. math.

D é m o n s t r a t i o n. Soient f ∈ L2ω(T) et (fn)n ⊂ F une suite telle que lim

n→∞‖fn − f ‖ω = 0; alors limn→∞ ‖fn − f ‖2 = 0. Par conséquent, il existe une sous-suite

(fφ(n))n qui converge vers f presque partout, d’où gfφ(n) converge vers gf presquepartout. Autrement dit T (fφ(n)) converge vers gf presque partout. D’autre part la con-tinuité de T implique lim

n→∞ ‖T (fφ(n)) − T (f )‖ω = 0 et donc limn→∞ ‖T (fφ(n)) − T (f )‖2 =

0. On extrait une sous-suite T (fψ◦φ(n)) de T (fφ(n)), qui converge vers T (f ) p.p. AinsiT (fψ◦φ(n)) converge p.p. vers gf et T (f ), ce qui prouve que T (f ) = gf . �

Proposition 2. Si ω est un poids tel que ω(n) � 1, pour tout n ∈ Z et tel que∑n∈Z

ω(n)2

1+n2 <

+∞, alors le shift S sur �2ω(Z) est hyper-réflexif.

D é m o n s t r a t i o n. Pour tout arc I de T, EI = {f ∈ L2ω(T)/f (x) = 0 p.p. sur I} est

un sous-espace invariant par translation. On considère un opérateur borné T de L2ω(T)

qui laisse stable tous les ensembles EI , et on va montrer qu’il commute avec le shift. Lafonction indicatrice d’un sous-ensemble A de T sera noté χA. Prouvons maintenant quel’espace vectoriel F , engendré par les fonctions indicatrices χA(A intervalle de T) est densedans L2

ω(T).Soit Aθ,ε := {eit, t ∈ (θ − ε, θ + ε)} avec (θ, ε) ∈ R

2. On pose fθ,ε := χAθ,ε . Alors

fθ,ε(0) = επ

et pour tout n = 0, fθ,ε(n) = e−inθ

πnsin(nε).

Par conséquent fθ,ε ∈ L2ω(T) pour (θ, ε) ∈ R

2, et ainsi toutes les fonctions indicatricesappartiennent à L2

ω(T).Le dual de L2

ω(T) est l’ensemble des formes linéaires.

�v : L2ω(T) → C

f �→∑n∈Z

f (n)vn, avec (vn)n ∈ �2ω∗(Z).

Supposons que �v(fθ,ε) = 0 pour tout (θ, ε) ∈ R2. Alors εv0 + ∑

n∈Z∗e−inθ sin(nε)

nvn = 0,

pour tout (θ, ε) ∈ R2.

D’aprés le théorème de Cantor sur les séries trigonométriques nous obtenons v0 = 0 etsin(nε)vn = 0, pour (n, ε) ∈ Z

∗ × R. Fixons n ∈ Z∗ et prenons ε tel que sin(nε) = 0; on

obtient vn = 0.D’aprés le théorème de Hahn-Banach, F est dense dans L2

ω(T). Posons g := T (χT).Soient A un arc de T et B son complémentaire. Comme T laisse invariant les ensemblesEI , T (χA) = T (χA)χA et T (χB) = T (χB)χB . De plus g = T (χT) = T (χA) + T (χB) =T (χA)χA + T (χB)χB . En multipliant par χA on trouve gχA = T (χA)χA.

On obtient alors T (χA) = gχA pour tout arc A de T et donc T (f ) = gf, pour f ∈ F .Il suffit alors d’appliquer le lemme pour conclure. �

Vol. 80, 2003 Les shifts a poids de croissance polynomiale sont hyper-reflexifs 75

3. Preuve du Théorème 1.

Théorème 1. Soit ω un poids tel que

1 � ω(n) � C(1 + |n|)α ∀n ∈ Z,(1)

C et α étant des entiers positifs. Alors le shift S sur �2ω(Z) est hyper-réflexif.

D é m o n s t r a t i o n. Soit T un opérateur borné de L2ω(T) qui laisse stable les sous-

espaces invariants par translation EI = {f ∈ L2ω(T)/f (x) = 0 p.p. sur I}. Notons D(T)

l’ensemble des fonctions de classe C∞ sur T. Si φ ∈ D(T) alors ‖φ‖n :=(∑k∈Z

(1 + k2)n|φ(k)|2)1/2

< +∞, pour n � 0. Ces normes définissent une topologie

d’espace de Fréchet sur D(T). Le dual topologique de D(T) est noté D′(T) et ses élémentssont les distributions sur T. Comme ω est un poids à croissance polynomiale, nous avonsD(T) ⊂ L2

ω(T). De plus L2ω(T) s’injecte dans D′(T) grâce à l’application L qui à f associe

Lf : φ �→ 12π

2π∫0

f (eit) φ(eit) dt. Si on note R la restriction de T à D(T), l’application

� := LR est alors un opérateur de D(T) dans D′(T). Soient f et g appartenant à D(T)

alors

|〈�f, g〉| =∣∣∣∣∣∣ 1

2π

2π∫0

T (f )(eit) g(eit)dt

∣∣∣∣∣∣�

1

2π

2π∫0

|Tf (eit)|2dt

12

‖g‖0

=(∑

n∈Z

|Tf (n)|2) 1

2

‖g‖0.

On obtient:

|〈�f, g〉| �

(∑n∈Z

|Tf (n)|2) 1

2

‖g‖0

�

(∑n∈Z

|Tf (n)|2ω(n)2

) 12

‖g‖0

� ‖T ‖(∑

n∈Z

|f (n)|2ω(n)2

) 12

‖g‖0.

76 Xavier Dussau arch. math.

On en déduit |〈�f, g〉| � C2Zα‖T ‖ ‖f ‖α ‖g‖0.Ainsi l’application

D(T) × D(T) → C

(f, g) �→ 〈�f, g〉est une forme bilinéaire continue.

Pour u, v ∈ D(T), on note u ⊗ v ∈ D(T × T) l’application (x, y) �→ u(x)v(y).D’aprés le théorème des noyaux de Laurent Schwartz (voir par exemple [2] pour une

démonstration), il existe pour tout forme bilinéaire continue B sur D(T) × D(T) unedistribution Q ∈ D′(T × T) telle que B(u, v) = 〈Q, u ⊗ v〉 pour tout u, v ∈ D(T).

Ainsi il existe une distribution Q ∈ D′(T × T) telle que

〈�f, g〉 = 〈Q, f ⊗ g〉 pour f, g ∈ D(T).(2)

On pose D := {(x, x)/ x ∈ T} et on considère un ouvert W de T2\D de la forme U × V .

Soit h ∈ D(W) tel que h = f ⊗ g avec f ∈ D(U) et g ∈ D(V ); alors 〈�f, g〉 = 〈Q, h〉.L’opérateur T laissant invariant les EI , on a supp(�f ) ⊂ supp(f ) ⊂ U et supp(g) ⊂ V .Comme U et V sont disjoints, on obtient 〈Q, h〉 = 0. Ainsi 〈Q, h〉 = 0 pour tout h ∈D(U) ⊗ D(V ) := vect{f ⊗ g, f ∈ D(U) et g ∈ D(V )}. Comme D(T) ⊗ D(T) est densedans D(T × T), on voit que D(U) ⊗ D(V ) est dense dans D(W) et ainsi 〈Q, h〉 = 0 pourtout h ∈ D(W). Ceci montre que supp(Q) ⊂ D.

Q est donc une distribution à support compact dont le support est inclus dans D.D’ apres le théorème de structure des distributions à support compact, on a la décompositionsuivante:

〈Q, h〉 =p∑

i=0

⟨µi,

∂

∂xni ∂ykih(x, y)

⟩, ∀h ∈ D(T × T)

où les µi sont des mesures à support dans D.Soient i tel que 0 � i � p, et f, g ∈ D(T). On a⟨

µi,∂

∂xni ∂ykif ⊗ g

⟩=

∫T×T

f (ni)(x)g(ki )(y) dµi

=∫D

f (ni)(x)g(ki )(x) dµi.

De plus∫D

f (ni)(x)g(ki )(x) dµi = ∫T

f (ni)(x)g(ki )(x) dνi , où νi est la mesure image de µi

par l’application (x, x) �→ x de D dans T. On a∫T

f (ni)(x)g(ki )(x) dνi = 〈νi, f(ni )g(ki )〉 = (−1)ki 〈(f (ni )νi)

(ki ), g〉,

Vol. 80, 2003 Les shifts a poids de croissance polynomiale sont hyper-reflexifs 77

la dérivation étant faite au sens des distributions. En utilisant la formule de Leibniz pourles distributions, nous obtenons donc

⟨µi,

∂

∂xni ∂ykif ⊗ g

⟩=⟨

ni+ki∑j=ni

ajf(j), g

⟩,(3)

les aj étant des éléments de D′(T). Nous déduisons de (2) et (3) que �f =N∑

n=0bnf

(n),

pour tout f ∈ D(T), où les bn sont des éléments de D′(T). Nous supposerons pour la suiteque bN = 0.

Montrons maintenant que les distributions bn sont des éléments de L2ω(T). Notons ek :

eit �→ eikt , pour k ∈ Z.

Alors �ek =N∑

n=0(ik)nbnek , pour tout k ∈ {1, . . . , N +1}. Les distributions bn sont donc

les solutions du système

N∑n=0

(ik)nbn = e−k(�ek) ∀ k ∈ {1, . . . , N + 1}.

Comme e−k(�ek) ∈ L2ω(T), il suffit de montrer que la matrice M associée à ce système

est inversible pour avoir bn ∈ L2ω(T). On remarque que le determinant de M est egal a un

determinant de Vandermerde et donc M est inversible. Ainsi nous obtenons,

Tf =N∑

j=0

bjf(j), pour tout f ∈ D(T)

où les bj sont des éléments de L2ω(T) et bN = 0. Pour k � 0, soit fk ∈ D(T) défini par

fk(eit) = eikt

ω(k). On a ‖fk‖ω = 1 et

‖Tfk‖2ω =

∑n∈Z

|Tfk(n)|2ω(n)2(4)

=∑n∈Z

∣∣∣∣∣∣N∑

j=0

bj (n − k)(ik)j

ω(k)

∣∣∣∣∣∣2

ω(n)2.(5)

78 Xavier Dussau arch. math.

Comme bN = 0, il existe n0 ∈ Z tel que bN (n0) = 0. En minorant la somme (5) par leterme n = n0 + k, nous obtenons:

‖Tfk‖2ω �

∣∣∣∣∣∣N∑

j=0

bj (n0)(ik)j

ω(k)

∣∣∣∣∣∣2

ω(n0 + k)2

=∣∣∣∣∣∣

N∑j=0

(bj (n0)ij )kj

∣∣∣∣∣∣2 (

ω(n0 + k)

ω(k)

)2

�

∣∣∣∣∣∣N∑

j=0

(bj (n0)ij )kj

∣∣∣∣∣∣2

C2n0 , avec C = infn∈Z

ω(n + 1)

ω(n).

On voit que si N � 1,

limk→+∞

∣∣∣∣∣∣N∑

j=0

(bj (n0)ij )kj

∣∣∣∣∣∣ = +∞.

Donc d’aprés la continuité de T , on doit avoir N = 0. Ainsi Tf = b0f pour tout f ∈ D(T),avec b0 ∈ L2

ω(T). Il suffit alors d’appliquer le lemme 1, avec F = D(T), pour obtenir lerésultat. �

L’auteur tient à remercier le Professeur Jean Esterle pour ses nombreux conseils pendant lapréparation de cet article.

References

[1] A. Atzmon, On the existence of hyperinvariant subspaces, J. Oper. Theory 11(1), 3–40 (1984).[2] L. Ehrenpreis, On the theory of kernels of Schwartz, Proc. Amer. Math. Soc. 7, 713–718 (1956).[3] J. Esterle, Apostol’s bilateral weighted shifts are hyperreflexive. Oper. Theory: Advances and Applica-

tions, à paraître.[4] J. Peetre, Rectification a l’article “Une caracterisation abstraite des operateurs differentiels”, Math Scand.

8, 116–120 (1960).[5] H. Radjavi and P. Rosenthal, Invariant subspaces, Ergeb. Math. Grenzgeb. 77, New York (1973).

Received: 13 April 2001

Xavier DussauLaboratoire de Mathématiques PuresUniversité Bordeaux I351, Cours de la libérationF-33405 Talence CedexFrancedussau@math.u-bordeaux.fr