Les théorèmes généraux I) Aspect dynamique 1) Modélisation des actions extérieures et intérieures a) Rappels sur les forces

Les théorèmes générauxI) Aspect dynamique

1) Modélisation des actions extérieures et intérieures

a) Rappels sur les forces

Une action mécanique est définie par :

• une intensité algébrique.

• une direction ;

• un point d’application ;

Il existe trois sortes d’actions mécaniques :

• Les actions mécaniques à distance comme le poids, les forces électromagnétiques ;

• Les actions mécaniques de contact comme la réaction d’un solide sur un autre, la force de pression ;

• Les forces d’inertie d’entraînement et de Coriolis liées à la nature non – galiléenne d’un référentiel.

Disque roulant sur un plan horizontal fixe

O

y x

z

G

I

P

N

T



a) Rappels sur les forcesb) Les actions extérieures subies par un

solide

M

dF(M)

Solide (S)

Rext = solide

)M(dF A,ext = solide

)M(d x FAM

A

u

Moment d’une force par rapport à un axe

O,ext

O

,ext

,ext = O,ext.u

Moment d’une force

2m.g

G

bras de levier

= (signe).(bras de levier).(norme de la force) = – m.g..sin

M

m = .d

V

dF(M) = g.dm



a) Rappels sur les forcesb) Les actions extérieures subies par un

solidec) Les actions intérieures subies par un solide

Une action intérieure à un système (S) est une action mécanique qu’exerce toute partie de (S) sur une autre partie de (S).

Définition :

Nous admettrons qu’en vertu du principe des actions réciproques les actions mécaniques intérieures à un système (S) sont caractérisées par :

• Une résultante Rint, somme de toutes les forces individuelles, nulle ;

• Un moment résultant en A, A,int, somme de tous les moments individuels en A, nul en tout point A.

Rint = 0 et A,int = int = 0



2) Le théorème de la résultante cinétique

Définition :

Un référentiel est galiléen s’il vérifie le principe d’inertie :

Dans un référentiel galiléen, un point matériel M isolé ou pseudo-isolé est au repos ou animé d’un mouvement rectiligne uniforme

Théorème de la résultante cinétique :

Dans un référentiel galiléen R, la dérivée par rapport au temps de la résultante cinétique P d’un solide fermé (S), de masse m, de centre d’inertie G, est égale à la résultante Rext des actions mécaniques extérieures qui agissent sur (S).

extR

d m. (G R)

dtP

a / R




3) Le théorème du moment cinétique





a) Théorème du moment cinétique par rapport à un point O fixe

Théorème du moment cinétique par rapport à un point O fixe

Dans un référentiel galiléen R, la dérivée par rapport au temps du moment cinétique LO d’un solide fermé (S), en un point O fixe dans R, est égale au moment en O, MO,ext, des actions mécaniques extérieures qui agissent sur (S).

O,extR

d

dtOL

M

Les théorèmes généraux

b) Dans le référentiel barycentrique R*

I) Aspect dynamique



Théorème du moment cinétique dans le référentiel barycentrique R*

Dans le référentiel barycentrique R*, la dérivée par rapport au temps du moment cinétique L* d’un solide fermé (S), est égale au moment en G, MG,ext, des actions mécaniques extérieures vraies qui agissent sur (S).

G,extR

d

dt *

L*M



b) Dans le référentiel barycentrique R*


c) Par rapport à un axe fixe

Théorème du moment cinétique par rapport à un axe fixe

Considérons un solide (S) en rotation pure autour d’un axe fixe de vecteur unitaire u, à la vitesse angulaire = .u et J son moment d’inertie par rapport à dans un référentiel R galiléen ou dans le référentiel barycentrique R* a priori non galiléen.(dans ce dernier cas = G et J = JG)

Théorème du moment cinétique par rapport à un axe fixe

ΔΔ Δ

Ω,ext

R

dL d J M

dt dt

ΔΔ Δ

ΩGG G,ext

R

dL d J M

dt dt*

* *

Les théorèmes générauxII) Aspect énergétique

1) Rappels de mécanique du point

Cf. feuilles distribuées


2) Théorèmes de l’énergie et de la puissance cinétiques pour un solide

a) Rappel sur la puissance instantanée d’une action extérieure exercée sur un solide




b) Travail d’une action extérieure exercée sur un solide

Définition :

Le travail élémentaire algébriquement reçu par un solide subissant une action de résultante Rext de la part de l’extérieur pendant un laps de temps dt dans un référentiel R est :

Wext/R = Pext/R.dt




b) Travail d’une action extérieure exercée sur un solide

c) Théorèmes de l’énergie et de la puissance cinétiques pour un solide

Théorème de la puissance cinétique dans un référentiel galiléen :

Dans un référentiel galiléen R, la dérivée par rapport au temps de l’énergie cinétique Ec d’un ensemble formé de solides est égale à la somme des puissances des actions tant extérieures Rext qu’intérieures Rint exercées sur le système :

cext/R int

R

dE P P

dt

Théorème de l’énergie cinétique dans un référentiel galiléen :

Dans un référentiel galiléen R, entre deux instants, la variation de l’énergie cinétique d’un ensemble formé de solides est égale au travail de toutes les actions mécaniques, extérieures et intérieures, qui s’exercent sur le système entre ces deux instants :

Ec = [Ec(t2) – Ec(t1)] = Wext/R + Wint


1) Rappels de mécanique du point


3) Théorèmes de l’énergie et de la puissance mécaniques pour un solide

Définition :

On définit l’énergie mécanique Em de l’ensemble de solides par :

Em = Ec + Ep = Ec + Epext + Epint

Théorème de la puissance mécanique dans un référentiel galiléen :

Dans un référentiel galiléen R, la dérivée par rapport au temps de l’énergie mécanique Em d’un ensemble fermé de solides est égale à la somme des puissances des actions non conservatives tant extérieures qu’intérieures exercées sur le système :

nc ncmext/R int

R

dE P P

dt

Théorème de l’énergie mécanique dans un référentiel galiléen :

Dans un référentiel galiléen R, entre deux instants, la variation de l’énergie mécanique d’un ensemble formé de solides est égale au travail de toutes les actions mécaniques non conservatives, extérieures et intérieures, qui s’exercent sur le système entre ces deux instants :

Em = [Em(t2) – Em(t1)] = nc ncext/R intW W

Documents

Les théorèmes généraux I) Aspect dynamique 1) Modélisation des actions extérieures et intérieures a) Rappels sur les forces