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LES TRAJECTOIRES DU CHAMP UNIFI• JACK LEVY INSTITUT HENRI-POINCAR• PARIS, FRANCE (Pr›233 par K. F. Novob• -- Soumis le 29. VIII. 1960) D'un lagrangien unifi› d› est faite d'un syst~me de quatre identit› qui par rinterm› des › des champs conduisent rigoureusement aux › des trajectoires. On peut alors identifier un rapport charge/masse. Introduction Apr~s un rappel des d› classiques de l'› des trajec- toires en relativit› g›233 nous examinerons divers enrichissements heuristi- ques de la structure du tenseur impulsion › qui caract› des fluides granuleux avec tension, pression ou viseosit› Nous allons ensuite consid› un lagrangien dont le choix a d› ›233 justifi› et nous lui appliquerons une variation de LIE-WEYL; ainsi nous serons conduits ~ des identit› rigoureuses. Par l'interm› des › des champs on retrouve ensuite, compl›233 une expression qui rappelle celle donnant les g›233 d'ElsE~HART, et qui apparait comme le systbme diff› v›233 par un ~~courant extremum~~, compre tenu des ph› gravitationnels et ›233 C'est une loi de force plus g›233 que celle de LOnENTZ. On peut › donner l'expression rigoureuse du tenseur impul- sion › xT, v de cette th› mais pour l'interpr› nous passerons rapproximation [10] des champs faibles: supposant ~~~ petit nous indiquons pour zT,~ une structure qui nous renseignera sur la nature profonde du fluide ›233 Nous avons donc fait deux hypoth~ses: -- les trajectoires des particules eharg› lignes de courant du fluide, peuvent ~tre obtenues comme une condition de stabilit› lors d'une libration infinit› de l'ensemble des champs et plus sp› du champ m› trique. -- AptOs l'obtention des r› rigoureux nous supposons que le champ ›233 est faible vis ~ vis d'un scalaire de la th› Acta Phys. Hung. Toro. XI li. Fasc. 1.

Les Trajectoires du Champ Unifié

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LES TRAJECTOIRES DU CHAMP UNIFI•

JACK LEVY

INSTITUT HENRI-POINCAR• PARIS, FRANCE

(Pr›233 par K. F. Novob• - - Soumis le 29. VIII. 1960)

D 'un lagrangien unifi› d› est faite d 'un syst~me de quatre identit› qui par r interm› des › des champs conduisent rigoureusement aux › des trajectoires.

On peut alors identifier un rapport charge/masse.

Introduction

Apr~s un rappel des d› classiques de l '› des trajec- toires en relativit› g›233 nous examinerons divers enrichissements heuristi- ques de la structure du tenseur impulsion › qui caract› des fluides granuleux avec tension, pression ou viseosit› Nous allons ensuite consid› un lagrangien dont le choix a d› ›233 justifi› et nous lui appliquerons une variation de LIE-WEYL; ainsi nous serons conduits ~ des identit› rigoureuses. Par l'interm› des › des champs on retrouve ensuite, compl›233 une expression qui rappelle celle donnant les g›233 d'ElsE~HART, et qui apparait comme le systbme diff› v›233 par un ~~courant extremum~~, compre tenu des ph› gravitationnels et ›233 C'est une loi de force plus g›233 que celle de LOnENTZ.

On peut › donner l'expression rigoureuse du tenseur impul- sion › xT, v de cette th› mais pour l 'interpr› nous passerons rapproximation [10] des champs faibles: supposant ~~~ petit nous indiquons pour zT,~ une structure qui nous renseignera sur la nature profonde du fluide ›233

Nous avons donc fait deux hypoth~ses: -- les trajectoires des particules eharg› lignes de courant du fluide,

peuvent ~tre obtenues comme une condition de stabilit› lors d'une libration infinit› de l'ensemble des champs et plus sp› du champ m› trique.

-- AptOs l 'obtention des r› rigoureux nous supposons que le champ ›233 est faible vis ~ vis d'un scalaire de la th›

Acta Phys. Hung. Toro. X I l i . Fasc. 1.

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2 J. LEYY

La gravitation

Les › d'EINsTEIN de la relativit› g›233 s ' › dans le cas

int› S~~-- ZTo~ = O.

Le tenseur S~~ construi t ~ par t i r de la connexion affine sym› est d 'origine pu remen t g›233 Seul, ii nous a permis de met t re en › l ' › des champs. La mati~re charg› ou non est d› par le second membre don t la s t ruc ture caract› celle du fluide mat›

Ainsi zT~~ : Taz repr› 1 un sch› champ ›233 pur. Quan t ~ la mati~re charg› et ~ l ' › de poussi~re sans pression [8 p. 971 elle s ' in t roduira par un te rme en ~u~u~

dxa zT@ : ~u~ u~ -[- ~~~, u~ --

ds

et le tenseur d ' impulsion › d 'un fluide visqueux s'› 2

[Voc~+v,c,~ ~'~(V,c..c,+ ~7~c~.c~)]. + 2

Cette eomplieat ion par jux tapos i t ion ne peut › q u ' a p p r o e h e r aveugl › la r›233 profonde, et ne poss~de pas l 'harmonie d 'une d› pa r t an t d 'un eadre g›233

Les › des t ra jeetoires sont alors donn› s implement: le ten- seur S~~ est na ture l | ement eonservat i f et par le jeu des › d'EINsTEIN on en d› la eonservat ion de zT~,~. Ce qui dans l 'hypoth~se du seh› mati~re pure donne les ›

u~' V x u~ : 0

les t ra jectoires du vecteur vitesse unitaire sont donc des g›233 P a r contre le sch› matibre - - champ ›233 engendre, en a j o u t a n t une hypoth~se de convect ion de LORENTZ (Ja : ~tU~) analogue ~ l 'hypoth~se sur la forme du tenseur impulsion › l 'expression suivante:

jA U;" ~ ~ Ua-~- F a 3 . - - -

F~,: champ ›233 Ja : courant ; #/~ : charge/masse.

i Ta~ tenseur de MAXWELL. P

f dp Ÿ du fluide; V d› z ~,/x sont des coefficients de viscosit› F exp -p~-p-

po covariante dans la m› g a f l = F2ga~; ~ densit› propre et p pression scalaire du fluidc.

,dieta Phys. Hung. Toro. XIII. Fasc. 1.

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LES TRAJECTOIRES DU CHAMP U N I F I • 3

Les trajectoires du champ unifi›

Ex tens ion qui se v e u t directe de la re la t iv i t › g›233 la th› du c h a m p unifi› d'EINSTEI~ n ' a pas r› h donner des t ra jec toi res de par t icules ou t ou t au moins un sys tbme diff› aux lignes de courant .

En re la t iv i t › g›233 les › du c h a m p jouen t un r61e f o n d a m e n t a l dans la d › des › du m o u v e m e n t . Ou bien l ' ident i t › en divergence se r › dans le cas in t › et pa r l ' in te rm› du tenseur impuls ion › en qua t r e ident i t › qui donnen t l ' › aux g›233 ceci › essent ie l lement dª ~ la pr› de la charge. Ou bien la m› des singulari t› joue sur le f lux d ' u n vec teu r qui est d i rec tement issu des › du cas ext › [9]. Un seul t ra i t eommun , l ' appo r t mat › pro- pos› i n d › de tou te g›233 t ien t un r61e d ›

D 'apr6s le th› de NOETHER [6] ii doit exis ter qua t re ident i t › dites de conservat ion . WEYL [6, p. 200] et Ell~STEIN [7, p. 8] ont utilis› une d › inf ini t › du cont inuum, dans le cadre d 'une uni f ica t ion des th› ›233 et gravi ta t ionnel les , et ont bien d ›233 ces ident i t › Mais si le p remier r› une synthbse de l ' ›233 le second › d e v a n t le c h a m p unifi›

Nous avons d› donn› un exemple in t › de fonct ion d ' ac t ion unifi› et nous avons expl iqu› [1] pour quelles raisons son expression nous appara i s sa i t comme ne d e v a n t pas ~tre r ›

_~ _~_ g"" [R~~(r) - - m ~ v ] + a (fl/~~ F~ / ' ~ - - 2 a 2 ~/~g~-) (1)

(R~~(r) tenseur de Ricci dans la connexion F~,,

F ; /'~== ~~o ; ~~~ ~ ~~ ]'~ - - ~~ F~; g det . de g~,~; 9 #" = V gi g~'~). V

E n effet la suppress ion 3 d ' un composan t quelconque in t rodu i t des restric- t ions [10] incompat ib les avec la n›233 d 'une compl6te g›233233 de la th› et nous le verrons , avec la d › expliei te d ' ident i t › de con- serva t ion .

Nous allons t r anspose r ~ ce lagrangien une va r i a t ion du t ype LIE-WEyL, sans en chercher pour l ' i n s t an t une signif icat ion physique.

Les identit› rigoureuses

Appl iquons /t la fonct ion d ' ac t ion I cons t ru i te sur ce lagrangien des va r i a t ions quelconques p o r t a n t sur la connexion affine F~~/le scalaire a, le ten-

3 Voir [1]. Partant d'une connexion g›233 (syst~me A) on peut incorporer partielle- ment ~t~v au tenseur de RIEMANN d'un sch› h vecteur de torsion nul (syst~me B). Alors particulariser m revient h d› la d› du courant, comme pour a nul.

] * Acta Pbys. Hung. Toro. X I I I . Fasc. 1.

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4 j . LEVY

seur m› g~'. Supposons-les ind› et nulles aux limites d'int› gratio-, on obtient les › des champs. Ainsi:

G~~ = 0

qui simplifi› par contraction donnent:

puis

G~~ = 0 , G~~~--8~$~~--$~~ F~~-4-~~~ (2)

a O~ ~ V = K $ ~Q ~ , K = , + K 6 ~ ~@ l'~,

m

A ~ g ~ " ] ' ~ F ~ - - 2a 2 = O,

Lg~ ~ H s , - - aa 2 g~z, ~ R#v - - mzr~~ + a ~ ff~ - - aa 2 ggv = O.

(3) (a)

Mais si l 'on fait le ehoix capital d'une transformation de LIE-WEYL sur les ~tres g›233 ou ph›233 qui constituent notre espace, on d› quatre identit› Soit la variation de I

O I - = S G$ ~" OF~v -4- L~. Og u" --f- AOa, D ,d~:

admettons les › dites de (diaison))

G~~ = 0 et la normalisation

A = 0 .

De cette mani~re nous particularisons la variation de l 'unique champ ph› m› ~~~. Nous avons:

~ x " - - x'" - x", (5) ~ II@Y= %(�91 I1~).

Avec des int› par parties et ~ cause de nos hypoth~ses sur le champ �91 (nul aux fronti~res de D) il vient:

O~ [Lue ~~~ + L~u ~~"] -- ~"~ 8~ L~~ ~ 0. (6)

Faisons imm› deux remarques. La forme (6) est analogue celle obtenue dans les th› usuelles (a ou m nuls). Elle est organiquement v›233 en admettant les › (4) du champ g,,.

Rempla~ons maintenant L,, par H,~ - - aa2g~,, ii vient:

Oz [H~~ ~u;' + H~~ g~~] -- ~~' O~ H~~ -}- 2a 2 ~- g 8~ a ~ 0. (7)

Acta Phys. Hung. Toro. X I I I . Fase. 1.

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LES TRAJECTOIRE$ DU CHAMP UNIFI• 5

Puis exprimons Hs~ par sa d› donn› en (4); scindons-le en part ies sym› et ant isym›

I ~ ~~1 +1 [( ~ ~t] 1 aF~ ~ O~ S s. + Ox [Hs, S'~{] -- 1 + a2 V-----g Se a + ~ - -2- sF'~ o~ Hg~ _~_ 0. (8)

A une capacit› scalaire pros on sait [5] que les deux premiers termes consti- tuen t la divergence dans la m›

du tenseur

1 / - T 2 a t ~ ~ V ~ - h '~~ (h~e-~gaa; h det. de h~#) (9)

1 R~~ -- -~- 2o~ R,~ 2~~ (10)

que nous d› en 4

S ~ r zM,~#.

On a en d› la formulat ion rigoureuse suivante:

q- l a F . l",,O~g t'" -~- a2V-~Oe a -4- K H~,~~ ua I'x --

1

2 Soit eneore:

- 1 g~r (0~ H~. + O~ H~a -4- Ox H V) + a V - g Fa zx~' + K Hx# s~'~ I-" -- 2

+ ] / ~ V a (-- zM~,z) ~ O.

(lO)

(11)

( n )

On peut obtenir ~ part i r de cet te expression celles habituelles aux nombreuses var iantes des th› d'EINsTEIr~ et de SCHRSVlrr en faisant a nul.

Notons que dans ce cas la eondition n› et suffisante d 'ob ten t ion d 'un th› de eonservat ion est l 'annulatiort du dernier terme de:

1 g ,"(0oH~ + 0v i l eS+ 0~ ,H~)~ -0 (12) v ~ [s~~ - ( z / ~ ~ ) o = o l -

ce qtti entraine l ' identif icat ion de H , , ~ un ro t a t i onne v

ST# est le t enseur d' EIr~STEIN dans la m› 7a/~; --zMa[J les t e rmes compl›

Acta Phys. Hung. Toro. XIIL Fase. 1 .

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6 J. LEVY

Nous allons donner une nouvelle forme ~ (11). Posons par d›

. .w,, . ,~V_ gjO,,,; f , ' ~ g . � 9 1 ~ ( d e t . ~ . . ) =f/g~ ' ;~e .wt~ .Y ".~ = V ~ ;

~bp z_ H,~; ~ de t . de ~,~p; 1 e,nV, q ~ = V- r q~,e; . 2

I~ -~~ 8~ (V@ @~~); P ~ h~~ I'~; (h ,~ = g,,,).

(13)

II v ient alors toujours r igoureusement :

a (]f~g q ~~ ~ k ~~~ ( V ~ FZ) q- ~-1/2 a~v~ I~. _1_ Vz (V_-~7 % M~x)" (14)

Ce sont diverses expressions des quatre identi t› qui pr› le choix arbi- traire d ' un r›233

La forme du premier membre appelle deux remarques . En associant ~ la nouvelle th› des › de DIRAC [3] le symbolisme du tenseur tour- billon [2] on re t rouve un t e rme en /'~~~, [1]. D ' au t r e par t la d› des g›233 d'EIsE~HXnT fai t in terveni r une › que l 'on peu t › sous la forme tensorielle suivante:

2. D e 2 , - - 2~De2~ = 0. (15)

D a repr › la d› covar iante dans la connexion g›233 F~r et 2 le vec teu r d›233 paral lblement ~ lui-m~me. Si l 'on suppose que le vec teur est conserva t i f il v ient par cont rac t ion une condit ion n›

2 ̀0 D e 2~ =: 2~ D e 2̀ 0 = 0. (16)

On peut dire que l 'expression (11', 14) met en › au second m em b re un › dfi aux forces d 'origine ›233 par r appor t aux lignes de courant . Ces lignes donnen t pour le cas ›233 l 'analogue des g›233 d 'un espace d›233 par la gravi ta t ion seule.

Les identit› approch›

Cependant la signification de cet te ident i t › n ' appa ra i t pas clairement . Pour en d› une in te rpr › plus pr› consid› les › de la gravi ta t ion:

R ~q- a F~F~ ~- aa~v~,~. (17)

Nous allons supposer successivement que le champ %,, est faible, de tel le faqon que l 'on puisse n› les produits au del~ d 'un certain ordre [5, 10], et que nous sommes dans un domaine oh le scalaire a a 2 prend de tr~s grandes valeurs par rappor t ~ %,,.

Acta Phys. Hung~ Toro. X I I I . Fasc. 1.

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LES TRAJECTOIRES DU CHAMP UNIFI • 7

La p remib re h y p o t h ~ s e p e r m e t d ' e x p r i m e r (17) au second o rdre p a r

Gr, , -[-- G '... -R a I'~ I~v -~ a a 2 ),.,, (18) 1,2

S t V e C . "5

~,== ltv.K~. +v.K~.l- lvoI~o..(v.~o.- v.~.. + v0~o.) + 1,2 2

+ s y m en #, vi + 1 - V ~ [KS ~ (~v~ 7~~ + q~x'v~ 3(Pe~ 7,~)] K'2 -- S~ S~ 6 2

- - 2 ~~~~ + v'. ~.~ - ~- ~~. + v ~ ~./,,,

en effe t 6 on a p a r c o n s t r u c t i o n :

--1 V , V . l o g g + Ue,~U e - - (U,,eU~,-]-~ L#o ~ L~).~ R~~_~----G~~-f-_ Ve U~~-- 2 (19)

Ces › c o m p r e n n e n t ou t r e G~~ et les t e r m e s en a a ~ un t e r m e r

GI,, au m i e u x du p r e m i e r ordre p a r r a p p o r t ~ q, . . D ' a p r ~ s la d › (10) o n a l ' exp re s s ion :

1 - - z M . . = G:~-- ~ Y. . G" (20)

m a i s la c o n t r i b u t i o n de ce t t e q u a n t i t › ne se ra n› vis h v is des t e r m e

1 K H ~ $z,, F~, - - 2 ~~~ [0o H,,:: + O~ Ho 4, + O~ H,~~]

q u e dans la m e s u r e ofi n o t r e seconde h y p o t h 6 s e est va lab le . S u b s t i t u o n s alors c e t t e v a l e u r dans l ' i d e n t i t › (11) ' :

a ]/---g F" ~-z~ -R KH~.~, ) /~~ F ~ - - 1- ~~.~ (0~ H~~ -4- 0~H~.~@ 0k H~~) v 2

i ' 1 ~") + ]/---~ V ~ ~,~G~z - - ~ 7 . ~ , ,,~ = O.

(21)

Nous utiliserons indiff› /~a ou Sa (voir [1]). e u~ v partie sym› de la connexion; {~,} est le symbole de CnRtSTOFFEL et L'j,,

la partie antisym› "

L~~_= {~~} + v~. + %, % = 0.

Les indices point› sont ›233 ou abaiss› par la m› ~/.

Acta Phys. Hnng. Toro. X I I I . Fase. 1.

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8 J. LE'v Y

Ce sont les trajectoires du vec teur / '~ . Notons enfin, et ceci est tr~s impor tant , que l 'expression (21) disparait

ident iquement avec a nul et se r › pour F~ isotrope (a = 0) ~:

P~ V x/~~ = 0. (22)

Si l 'on suppose a constant , H,~ › ~ un rotat ionnel , et une hypothbse v

de convection:

dx~ (23) /'~ =- ]/2 a u,, u , u" = 1, u , = ~ , ds

on retrouvc les r› de la relat ivi t› g›233

K o � 9 1

u ~ Vz u , V ~ %z u ~' = 0. (24)

L ' impor tan te conclusion que nous retiendrons ici est que, avec la pr› sence n› du scalaire a, le terme Ka apparait comme un rapport de charge ~t masse.

Le tenseur ›

Donnons enfin la s t ructure rigoureuse du tenseur › gT,~ d› par (10') et les › de la gravi tat ion (17, 18, 19)

1 _ ~~ 1 -- Z T~~ =__ L,~ -- ~ y~~ L~# y -- S~~ = R~~ -- ~ y~~ R -- S~~ -- aa 2 yg.+

+ a ~ g - - - Y " ~ ( - - 4 a a 2 + a F X F x ) . 2

(25)

Supposons main tenan t [10] que le champ q,~ est pet i t , en n› les ermes d 'ordre sup› au second il vient:

t e n f l n I

- - 1,2

1 a (26)

laa Phys. Hung. Toro. X I I L Fasc. I.

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LES TRAJECTOIRES DU CHAMP UNIFI•

B I B L I O G R A P I I I E

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Acta Phys. Hung. Toro. XIII . Fase. ?