Lesniewski logique vernant

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Sur les fondements de la mathmatique

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DENIS VERNANT

ETUDE CRITIQUE

SUR LES FONDEMENTS DE LA MATHMATIQUE DE STANISLAW LESNIEWSKI *

Stanislaw Lesniewski (1886-1939) professa Varsovie de 1919 sa mort. Il y fonda avec Jan Lukasiewicz la fameuse cole de logique dont la plupart des membres furent assassins ou contraints l'exil. Aujourd'hui Lesniewski reste gnralement moins bien connu en France que Lukasiewicz ou mme que son lve Alfred Tarski, sans doute en raison de la dispersion de ses crits et surtout de l'absence de traduction franaise. Ce dernier handicap est maintenant lev avec la traduction de O podstawach matematyki que M. Georges Kalinowski vient de publier.1 L'vnement mrite d'autant plus d'tre salu que cet ouvrage majeur du matre polonais prsente la gense de ses systmes logiques. Le lecteur est ainsi mieux mme de saisir l'origine de sa dmarche et l'originalit de ses rsultats. Philosophe de formation trs marqu par la tradition aristotlicienne Lesniewski ne s'intressa pas immdiatement la logique moderne. Il y vint progressivement la faveur d'une rflexion sur les antinomies qui menaaient les fondements des mathmatiques. Plutt que d'adopter la solution logiciste, il opra une critique minutieuse des ambiguts du symbolisme logique des Principia Mathematica (chap. I). Prfrant ensuite s'appuyer sur des intuitions de nature proprement philosophique, il dveloppa une approche radicalement nouvelle qui, rompant avec la tradition ensembliste (chap. II & III), le conduisit laborer sa Mrologie , calcul des totalits et de leurs parties (chap. IV). Enfin, il formalisa ses analyses et donna naissance une logique qui lui est propre : l' Ontologie (chap. XI).2 Outre leur intrt intrinsque et leur fcondit la thorie des catgories d'Ajdukiewicz, la mthode de dduction naturelle de Jaskowski, la smantique formelle de Tarski y sont dj en germe ses travaux prsentent le rare mrite de prouver au lecteur franais, imbu de culture logiciste ou formaliste, que l'on peut penser autrement et la logique et sa philosophie. Suivant la dmarche lesniewskienne, nous examinerons successivement : 1 la critique qu'il opre du concept d'assertion et de la confusion entre langue et mtalangue dans les Principia, avant de donner un aperu de la Prothtique correspondant au calcul des propositions,

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Nous tenons ici tmoigner notre gratitude envers Georges Kalinowski qui nous fit connatre la pense de

Lesniewski, Czeslaw Lejewski qui mit notre disposition de nombreux articles difficilement accessibles et DenisMiville dont l'ouvrage en franais qu'il consacra notre auteur nous fut prcieux. 1Sur les fondements de la mathmatique, Herms, Paris, 1989, 148 pages, Prface de Denis Miville, Avant-propos du traducteur, notes, index des matires, index des noms. 2Le traducteur n'a pas retenu les chapitres originaux V X qui dveloppent de faon purement technique les diffrents systmes. A noter que l'uvre parut d'abord en feuilleton dans la revue Przeglad Filozoficzny, n30 (1927), 31 (1928), 32 (1929), 33 (1930), 34 (1931) et qu'elle demeura inacheve.

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2 son abandon du classique concept de classe au profit d'une dfinition du rapport totalit/parties conduisant sa Mrologie, calcul qui vite le paradoxe des classes, 3 son laboration d'un calcul des noms ou Ontologie qui tente tout aussi bien de formaliser les intuitions aristotliciennes que l'Arithmtique et l'Analyse contemporaines.

1.LA CRITIQUE DES PRINCIPIA M ATHEMATICA Lesniewski dcouvre en 1911 la logique symbolique moderne la lecture du livre que Lukasiewicz consacra au principe de contradiction chez Aristote.3 Form la logique de Stuart Mill, la psychologie de Brentano comme aux analyses philosophico-grammaticales de Husserl, il est du et son attitude demeure longtemps sceptique dans la mesure o il ne parvint pas se rendre compte du sens des axiomes et des thormes du nouveau calcul (p. 35). Rcusant tout formalisme vide, il maintint une exigence principielle de signification des constructions logiques. Cet intuitionnisme 4 initial aura pour premier effet de le rendre particulirement sensible certaines ambiguts des Principia Mathematica. Ses doutes de nature smantique le conduisirent dceler dans le symbolisme des calculs labors par Russell et Whitehead deux insuffisances particulirement grosses de consquences. 1.1. L'ambigut interprtative du signe d'assertion Lesniewski relve dans les Principia trois formulations diffrentes proposant une interprtation du signe qui prcde l'expression de tous les axiomes et thormes (pp. 36-37) : 1 : Le signe , appel signe d'assertion, signifie que ce qui suit est assert [asserted].5 Il est requis pour distinguer une proposition complte que nous assertons de toute proposition subordonne qu'elle contient et que nous n'assertons pas .6 2 : Le signe peut tre lu Il est vrai que (bien que philosophiquement ce ne soit pas exactement ce que cela signifie) .7 3 : dans tous les endroits o, dans les Principia Mathematica, nous avons une proposition asserte de la forme .x o u . p, celle-ci doit tre tenue pour signifiant .(x).x ou .(p).p . 8

zasadzie sprzecznosci u Arystotelesa, Krakw, 1910, trad. ang. J.Barnes, Articles on Aristotle, vol. III, Mtaphysique, St. Martin Press, 1979. A l'poque Lesniewski venait de terminer sa thse Przyczynek do analizy zdan egzystencjalnych [Contribution l'analyse des propositions existentielles] sous la direction de Kazimierz Twardowski, professeur Lww. 4 Je me livre dans la construction de mon systme un formalisme assez radical justement parce que je suis un intuitionniste invtr , Lesniewski, Grundzge eines neuen Systems der Grundlagen der Mathematik , Fundamenta Mathematicae, 14, 1929, p. 66. Ce passage est cit en exergue de sa traduction (p. 9) par G. Kalinowski. 5Nous croyons devoir prfrer ici ce nologisme au terme franais affirm que nous rservons pour un autre oprateur, cf. infra,1.3. 6Principia Mathematica (PM), first ed. vol I, 1910, vol. II, 1912, vol III, 1913, second ed. vol. I, 1925, vol II & III, 1927, cit ici d'aprs Paperback Edition to * 56, Cambridge U.P., 1973, Intro., ch. 1, p. 8. 7PM, *1, p. 92. Ce passage contient une note historique : Nous avons emprunt la fois l'ide et le symbole d'assertion Frege . 8PM. , Intro. to the second ed., p. xiii. En 1925, les auteurs dnient valeur d'ide primitive l'assertion d'une fonction propositionnelle et la rduisent la simple assertion d'une proposition universelle.

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Lesniewski carte l'interprtation suggre par la formulation 2 dans la mesure o les auteurs eux-mmes ne la reconnaissent pas pour philosophiquement pertinente : le lecteur ne trouve dans les commentaires des auteurs qu'une seule directive nette selon laquelle il est dfendu de relire les expressions du type . p, sans en modifier le sens, l'aide des expressions du type il est vrai que p . 9 Se pose la question de savoir si l'assertion fait on non partie de ce qui est exprim. Sur ce point, Lesniewski examine trois interprtations possibles : La formulation 3 suggre selon lui la conception A selon laquelle : si l'expression p est une proposition, alors l'expression correspondante .p est aussi une proposition ; la proposition .p a le mme sens que la proposition nous assertons que p, mais n'a pas le mme sens que la proposition p (pp. 37-38). En d'autres termes, l'assertion elle-mme doit faire partie de ce qui est exprim. Si tel est bien le cas, on est invitablement conduit confondre les Principia avec les Confessions de J.J. Rousseau : Les axiomes et les thormes en question constatent seulement que les crateurs de la thorie donne assertent ceci et cela et, partant, que ce sont des propositions parlant spcifiquement des auteurs de la thorie ; le systme compos de telles propositions n'est assurment pas un systme de logique ; on pourrait le considrer plutt comme une sui generis confession dductive des auteurs de la thorie en question (p. 39). Cette difficult serait leve si l'assertion ne faisait pas partie de ce qui est exprim. Selon cette conception B, autorise par la formulation 1 : les expressions du type .p peuvent tre lues sans modification de leur sens l'aide des expressions du type est assert ce qui suit : p ; si l'expression p est une proposition, alors l'expression correspondante du type .p n'est pas une proposition ; en particulier est l'axiome *1.3 non pas l'expression : q. . p v q, mais l'expression q. . p v q partie de l'expression prcdente (p. 38). Ainsi le signe d'assertion est-il la marque commode de l'assertion de la proposition qui le suit immdiatement et qui seule fait partie du symbolisme logique. A cette nouvelle interprtation, Lesniewski objecte l'existence de passages des Principia dans lesquels les auteurs placent aussi le signe de l'assertion devant les propositions formules en symboles qu'ils n'assertent point ; on trouve notamment dans leur ouvrage l'expression suivante : De mme : (y) : (x).(x,y) il est cependant vident que MM. Whitehead et Russell n'assertent nullement la dite proposition (p.40). Lesniewski ne prcise pas pourquoi il lui semble vident qu'en ce cas la proposition incrimine n'est pas asserte. Il se trouve qu'en fait elle est asserte en tant que conclusion d'une infrence.10 Comme pour la formulation 3, Lesniewski n'a sans doute pas peru que les auteurs s'autorisaient, ct de l'assertion des axiomes et des thormes relevant d'une dimension dductive de l'assertion, l'assertion d'une fonction propositionnelle en l'occurrence ici .(x,x) prmisse de l'infrence qui relve d'une tout autre problmatique.11 L'objection n'est donc pas formellement exacte mais elle est foncirement juste en ce qu'il y a bien l un nouvel usage du signe d'assertion.12p.37. Nous verrons plus loin, 1.2. que Lesniewski possde une bonne raison d'carter les i